ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE OPEN PTIS POR MÉTODOS PROBABILÍSITCOS
Universidad de Oviedo Dr. MIGUEL RODRÍGUEZ -
[email protected] Servicios Técnicos de Ingeniería Minera y Medioambiental stimma – Universidad de Oviedo Abril, 2013 1
Índice Universidad de Oviedo
1. Distribución de frecuencias. Representaciones gráficas y parámetros estadísticos 2. Teoría de probabilidades 3. Funciones de densidad y distribución 4. Distribución de probabilidades de variable discreta 5. Distribución de probabilidades de variable continua 6. Teoría de la estimación 7. Contraste de hipótesis
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Índice Universidad de Oviedo
8. Criterios de estabilidad 9. Rotura plana 8.1 Cono de fricción 8.2 Estudio estadístico mediante el software DIPS © 8.3 Estudio estadístico mediante el software ROCPLANE © 10. Rotura en cuña 9.1 Identificación de cuñas inestables 9.2 Estudio estadístico mediante el software SWEDGE © 11. Toppling
12. Estudio estadístico en base al mapeo del Pit
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Recomendaciones Universidad de Oviedo
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Recomendaciones Universidad de Oviedo
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Universidad de Oviedo
1. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS. REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y PARÁMETROS ESTADÍSTICOS
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Unidades estadísticas
Se denomina población estadística al conjunto de todos los individuos que son objeto de estudio. Se denomina muestra a cualquier subconjunto de la población. Se denomina unidad estadística a cada uno de los elementos de la población.
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Variables estadísticas
Cada individuo de una población se puede estudiar según uno o varios caracteres, que pueden ser cualitativos o cuantitativos.
Un carácter cuantitativo es medible y, por lo tanto sus modalidades son valores numéricos. Al conjunto de los posibles valores numéricos se le conoce con el nombre de variable estadística. Una variable estadística se dice que es discreta cuando sólo puede tomar un número fijo de valores aislados. Una variable estadística es continua cuando sus posibles valores pueden ser, en principio, cualesquiera en un intervalo. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Variables estadísticas
Para estudiar una variable estadística continua se definen clases que no son otra cosa que intervalos en los que se van agrupando los datos. A cada límite del intervalo que define una clase se le llama límite de clase inferior y superior. Al punto medio de cada clase se le llama marca de clase. A la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de cada clase se le llama amplitud o tamaño de clase. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
Se denomina frecuencia absoluta de cada modalidad xi, para i=1, 2, …,k, al número de individuos que pertenecen a dicha modalidad en la muestra seleccionada. La identificaremos por fi.
El cociente entre cada fi y el número de elementos de la muestra (N) se denomina frecuencia relativa. Lo llamaremos hi. hi
fi N
Además se cumple: k
f i1
i
N
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k
h i1
i
1
10
Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
Se llama distribución de frecuencias a una tabla que contiene cada una de las modalidades del carácter estudiado con su frecuencia absoluta. Modalidad del carácter
Frecuencia absoluta
x1 x2 x3 x4
f1 f2 f3 f4
……..
……..
Total
N
xk
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fk
11
Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Frecuencia absoluta y frecuencia relativa Ejemplos
Profesiones
Número trabajadores
Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras
4 8 2 10 11 8 7
Número de hijos
Número de familias
0 1 2 3 4
8 6 11 4 1 N = 30
N = 50 Estatura en cm
Número personas
150 - 160 160 – 170 170 – 180 180 - 200
3 12 21 4 N = 40
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Representaciones gráficas Gráfico circular o de sectores Ángulo central para “Ciencias”:
Profesiones
Número trabajadores
Ángulos centrales
Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras
4 8 2 10 11 8 7
28o 48´ 57o 36´ 14o 24´ 72o 00´ 79o 12´ 57o 36´ 50o 24´
N = 50
360o
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4 360o 28o 48´ 50
Número de trabajadores
Ciencias Económicas Farmacia Ingeniería Abogado Medicina Letras
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Representaciones gráficas Diagrama de barras
Se disponen una serie de barras rectangulares de altura igual o proporcional a la frecuencia absoluta de cada modalidad. Número de hijos
Número de hijos
Número de familias
12
0 1 2 3 4
8 6 11 4 1
10
N = 30
8 6
Número de familias
4 2 0 0
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1
2
3
4
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Representaciones gráficas Histogramas y polígonos de frecuencias
Estas representaciones solo son válidas para el caso de variables continuas. El histograma consiste en una serie de rectángulos de base igual a cada tamaño de clase y área proporcional a la frecuencia de clase. Según esto, mientras en el diagrama de barras se interpreta por alturas, el histograma de frecuencias ha de interpretarse por áreas. Uniendo los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos del histograma se obtiene el polígono de frecuencias. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Representaciones gráficas Histogramas y polígonos de frecuencias
Estatura en cm
Estatura en cm
Número personas
25
150 - 160 160 – 170 170 – 180 180 - 200
3 12 21 4
20
N = 40
5
15 Número personas
10
0 150-160
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160-170
170-180
180-190
190-200
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Parámetros estadísticos Clasificación
De centralización Parámetros estadísticos
De dispersión
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Moda Mediana Media Momentos Desviación media Varianza Desviación típica Momentos centrados
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Parámetros estadísticos de centralización Moda
Se llama moda al valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. En el caso de variable continua se identifica en primer lugar la clase modal. Posteriormente se obtiene la moda aplicando la siguiente expresión:
D1 Mo Li c D1 D2 Li: Límite inferior de la clase modal. c: Amplitud de los intervalos. D1: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la de la clase anterior. D2: Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la de la clase siguiente. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Parámetros estadísticos de centralización Mediana
Se denomina mediana al valor de la variable que divide a la muestra en dos partes con el mismo número de elementos, suponiendo los datos ordenados de menor a mayor. En el caso de variable continua se identifica en primer lugar la clase mediana. Posteriormente se obtiene la moda aplicando la siguiente expresión: N Fi1 M Li c 2 fi Li: Límite inferior de la clase modal. c: Amplitud de los intervalos. N: Número total de datos. Fi-1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana. fi: Frecuencia absoluta de la clase mediana. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Parámetros estadísticos de centralización Media
Dada una variable discreta x con la siguiente distribución de frecuencias dadas por la siguiente tabla: x
f
x1 x2 x3
f1 f2 f3
……..
……..
xk
fk
se llama media de la variables x a: k
x
f x i
i1
N
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i
k
hi x i i1
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Parámetros estadísticos de dispersión Desviación media
Dada una variable discreta x con valores x1, x2, …, xk, y frecuencias respectivas f1, f2, …, fk, se llama desviación media a: k
DM
f x i
i
x
i1
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N
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Parámetros estadísticos de dispersión Varianza y desviación típica
Dada una variable discreta x con valores x1, x2, …, xk, y frecuencias respectivas f1, f2, …, fk, se llama Varianza:
f x k
var
i1
i
i
x
2
N
Así mismo, se llama desviación típica a la raíz cuadrada positiva de la varianza.
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Distribuciones de frecuencias Universidad de Oviedo
Otros parámetros estadísticos Momentos centrados y no centrados
Dada una variable discreta x con valores x1, x2, …, xk, y frecuencias respectivas f1, f2, …, fk, se llama momento no centrado de orden r, y lo denotaremos por r a: k
r
r f x i i i1
N
Así mismo, se llama momento centrado o momentos respecto a la media, de orden r, y lo denotaremos por r a:
f x k
r
i1
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i
i
x
r
N 23
Ejemplo 1 Universidad de Oviedo
Dada la distribución de frecuencias que se muestran en la tabla adjunta, correspondientes a la fricción de una familia de diaclasas cerradas, se pide determinar mediana, moda, varianza, desviación típica y porcentaje de juntas con fricción perteneciente al intervalo (media desviación típica). (o)
f
27 28 29 30 31 32 33
1 3 2 8 3 2 1
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Ejemplo 2 Universidad de Oviedo
Dada la distribución de frecuencias que se muestran en la tabla adjunta, correspondientes a la resistencia a compresión simple de una caliza, se pide determinar mediana, moda, varianza, desviación típica y porcentaje de muestras con resistencia comprendida entre la media y desviación típica). c (MPa)
f
55 - 60 60 – 65 65 – 70 75 – 80 80 – 85 85 - 90
2 4 9 10 3 1
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Universidad de Oviedo
2. TEORÍA DE PROBABILIDADES
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Espacio muestral
Se denomina Espacio muestral, y lo denotaremos por E, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denomina Suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. En particular el conjunto vacío es un suceso que se denomina imposible, y el propio espacio muestral es un suceso que se denomina suceso seguro.
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Axiomas de probabilidad
Axioma 1: A cada suceso A se le asigna un número llamado probabilidad de A, P(A), tal que: 0 P( A ) 1
Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral es 1. P(E) 1
Axioma 3: La probabilidad del suceso imposible es 0. P() 1
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Axiomas de probabilidad
Axioma 4:
E A
B
P( A B) P( A ) P(B) P( A B) Axioma 5:
P A 1 PA
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Probabilidad condicionada
Dado un suceso A, con P(A) > 0, se llama probabilidad de B condicionada por A, a la probabilidad de que ocurra B supuesto que ha ocurrido A, y lo denotaremos por P(B/A). PA B P(B / A ) P( A )
A AB Espacio muestral B
PA B PA P(B / A )
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E
30
Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Sucesos independientes
Se dice que un suceso B es independiente de otro A, o que A y B son independientes, cuando P(B) = P(B/A). Si A y B son independientes, entonces: PA B PA P(B)
Si tenemos k sucesos, entones: PA1 A 2 ... Ak PA1 PA 2 / A1 PA 3 / A1 A 2 ... PAk / A1 A 2 ... Ak 1
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Teoremas de la probabilidad total y de Bayes
Dados n sucesos A1, A2, …, An que forman una partición de E, tales que: i j A1 A 2 ... A n E Ai A j
y B cualquier suceso para el que se conoce P(B/Ai), i=1, 2, …, n. Si se conocen además P(Ai) i=1, 2, …, n, se puede calcular lo siguiente: E n
P(B) P( A i ) PB / A i
A1
i1
P( A i / B)
A2 A3
B
PA i PB / A i
A4
n
P( A ) PB / A i1
i
i
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An
A5
32
Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Combinatoria
Dados m objetos, se denominan variaciones de orden n de estos m objetos a los grupos ordenados de n de los m objetos dados, de tal forma que dos variaciones son distintas si tienen algún elemento distinto o si, teniendo los mismos, éstos están colocados en distinto orden: Vm,n m m 1 m 2 ... m n 1
Dados m objetos, se denominan combinaciones de orden n de estos m objetos a los distintos conjuntos que se pueden formar eligiendo n de los m objetos dados, de forma que dos combinaciones son distintas si contienen al menos un elemento distinto: Cm,n
m m! n n !m - n !
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Combinatoria
Se denominan permutaciones de m elementos a las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos. Coincide con las variaciones de m objetos de orden m : Pm m !
Variaciones con repetición: Se definen de manera análoga a las variaciones ordinarias con la única diferencia de que en los grupos ordenados de n de los m objetos que dan lugar a las variaciones con repetición, éstos pueden aparecer repetidos: VR nm mn Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Teoría de probabilidades Universidad de Oviedo
Combinatoria
Se definen combinaciones con repetición de orden n a los grupos de n objetos de entre m y pudiendo ser distintos o repetidos, de forma que las combinaciones serán iguales sólo cuando tengan los mismos objetos repetidos el mismo número de veces: CR Cmn1, n n m
m n 1 n
Dados m objetos, de los cuales h1 son iguales entre sí, h2 iguales entre sí. …, hk iguales entre sí, se denominan permutaciones con repetición de esos m objetos a las distintas formar de ordenarlos: PRhm1, h2 , ..., hk Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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m! h1 !h2 ! . . . hk ! 35
Ejemplo 3 Universidad de Oviedo
En una zona de un open pit se encuentran tres familias de discontinuidades, A, B y C, por las que podría desarrollarse un deslizamiento planar. En dicha zona las frecuencias medias de dichas juntas son 3, 2 y 1 juntas/m respectivamente. Una vez realizado el análisis de estabilidad planar para cada una de las familias, se ha obtenido que las probabilidades de fallo son 1/10, 1/15 y 1/12, respectivamente. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de que se produzca un deslizamiento planar en dicha zona del pit. 2) Habiendo ocurrido un deslizamiento plano, calcular la probabilidad de que haya sido por la discontinuidad A. 3) Sabiendo que en dicha zona del pit no se ha registrado ningún deslizamiento planar, calcular la probabilidad de que se produzca un deslizamiento planar por la discontinuidad A. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Universidad de Oviedo
3. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Función de distribución. Propiedades
Dada una variable aleatoria , la función de distribución de asigna a cada número real x la probabilidad acumulada hasta dicho valor. Es decir: x R : F( x) P x
Propiedades de la función de distribución: x R : 0 F( x) 1 a b : Pa b Fb Fa
La función de distribución es continua por la derecha en todo punto. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Función de densidad de una variable discreta
Dada una variable aleatoria , que puede tomar los valores x1, x2, …, xn, se denomina función de densidad o cuantía de a la función f(x) que asigna a cada valor de la variable la probabilidad de que ocurra. Es decir: f ( xi ) P xi
Propiedades de la función de densidad: xi : 0 f ( xi ) 1 n
f(x ) 1 i1
i
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Función de densidad de una variable continua
Se dice que f(x) es una función de densidad de probabilidad o simplemente una función de densidad de la variable continua, si se verifica: x R : f x 0
f x dx 1
b
Pa x b f x dx a
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Relación función de densidad y distribución Variable discreta Fx j f x i j
i1
f x j Fx j Fx j1
Variable continua Fx
x
f x dx
f x Fx
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Esperanza matemática
Variable discreta Sea una variable aleatoria discreta con valores x1, x2, …, xn y probabilidades p1, p2, …, pn. Considerando una función real g() definida para los valores x1, x2, …, xn, se define la esperanza matemática de g(), y se denota por E[g()], como sigue: n
Eg gx i pi i1
Variable continua Si la variable aleatoria es de tipo continua, se define como sigue: Eg gx f x dx
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Varianza y desviación típica
Variable discreta Sea una variable aleatoria discreta con valores x1, x2, …, xn y probabilidades p1, p2, …, pn. La varianza de es:
n
E E x i E pi 2
2
2
i1
Variable continua Sea una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). La varianza de es:
2 xi E f x dx
E E 2
2
A la raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica. A E() se suele denotar por la letra . En lo sucesivo así lo haremos. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Propiedades de la esperanza y la varianza
Ec c Ec 1 c 2 c 1 E c 2 E 2 2 2 2 k k 2 2 2 k 0
2 k 2
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Momentos
Los momentos son medidas que caracterizan a las distribuciones de probabilidad y, a partir de ellos, se pueden definir nuevas medidas estadísticas como los coeficientes de asimetría y apuntamiento. Momento no centrado de orden r
r E r
Momento centrado de orden r
r E Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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r
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Distribución bidimensional de probabilidad
Dadas dos variables aleatorias y se dice que F(x, y) es su función de distribución conjunta si está definida como sigue: Fx, y P x, y
Se llama función de densidad conjunta para el caso de variables y discretas a f(x, y) definida como sigue: f x, y P x, y
La función de densidad conjunta para variables discretas tiene las dos propiedades siguientes: f x, y 0
(x, y)
f x, y 1 x
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y
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Distribución bidimensional de probabilidad
Se dice que f(x, y) es una función de densidad conjunta para el caso de variables y continuas si verifica lo siguiente: f x, y 0 x, y
f x, y dx dy 1
P, A A f x, y dx dy siendo A cualquier región del plano
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Distribución bidimensional de probabilidad Distribución condicional
Dado un valor x de la variable tal que g(x) > 0 se define la función de densidad condicionada de la variable aleatoria por: f x, y f y x
gx
Análogamente, dado un valor y de tal que h(x) > 0 se define la función de densidad condicionada de la variable aleatoria por: f x, y f x y
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hx
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Distribución bidimensional de probabilidad Variables independientes
Se dice que dos variables aleatorias y , con funciones de densidad g(x) y h(x) respectivamente, y densidad conjunta f(x,y), son estadísticamente independientes si: f x, y gx hx
x, y
La definición anterior se generaliza para cualquier número de variables.
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Distribución bidimensional de probabilidad Covarianza
Dadas dos variables aleatorias y con densidad conjunta f(x, y), se llama covarianza, y la identificaremos como a: E
Covarianza para variables discretas x y f x, y x
y
Covarianza para variables continuas
x y f x, y dx dy
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Funciones de densidad y distribución Universidad de Oviedo
Teorema de Chebyshev
El teorema de Chebyshev indica que la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor que diste de la media menos de k desviaciones típicas es por lo menos de 1 – 1/k2 . Es decir:
P k k 1
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1 k2
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Ejemplo 4 Universidad de Oviedo
En una zona de un open pit los bancos presentan una orientación de 120/60, encontrándose también presente una familia de discontinuidades que, como media, tiene el mismo rumbo que los bancos pero con una desviación típica de 5º. Atendiendo solamente a las condiciones cinemáticas, estimar una probabilidad para el fallo por deslizamiento plano a través de dichas discontinuidades.
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Universidad de Oviedo
4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Se denomina también de Bernoulli o de las pruebas repetidas con probabilidad constante. Considérese un experimento aleatorio que sólo pueda dar dos resultados posibles y mutuamente excluyentes: C con probabilidad p de ocurrir, y K con probabilidad q = 1 – p. Se suele hablar de estos resultados como éxito y fracaso respectivamente. Considérese también que se realiza este experimento aleatorio n veces en las mismas condiciones, y que además es independiente el resultado de cada prueba de todas las demás. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Considerando la variable aleatoria = número de éxitos en las n pruebas, su función de probabilidad es la siguiente: n x n x P x p q x
La variable aleatoria anterior , puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n, se denomina binomial de parámetros n y p. E n p
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2 n p q
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Tablas de la función de distribución binomial acumulada
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56
Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)
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57
Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)
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58
Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)
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59
Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución binomial
Tablas de la función de distribución binomial acumulada (continuación)
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución de Poisson Siguen esta distribución muchas variables, como por ejemplo el número de llamadas telefónicas en una centralita, el número de vehículos que llegan a un control de peaje en una autopista, el número de siniestros entre asegurados de una compañía de seguros, etc. Se dice que tiene una distribución de Poisson de parámetro , cuando es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores enteros 0 a con la siguiente probabilidad: P x e
x
E
x!
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución Poisson Distribución de Poisson como límite de la binomial
x n x n x p q e lim x! n x
Esta propiedad indica que la distribución de Poisson es una buena aproximación de la binomial, cuando n es grande y
p
n
0
Es habitual considerar como buena la aproximación de Poisson cuando p 0,1 y n p 5 Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución de Poisson
Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución de Poisson
Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada (continuación)
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución de Poisson
Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada (continuación)
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución de Poisson
Tablas de la función de distribución de Poisson acumulada (continuación)
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Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución multinomial
Considérese un experimento aleatorio en el que hay k resultados posibles mutuamente excluyentes A1, A2, …, AK. Sea además pj la probabilidad de obtener el resultado Aj en una prueba, y supóngase, además, que se realizan n pruebas independientes. A este experimento se puede asociar una variable aleatoria k dimensional (1, 2, …, k). 1 indica el número de veces que ha ocurrido A1 en las n pruebas, y análogamente 2, …, k. Se dice que esta variable es multinomial si: P1 x1, 2 x 2,..., k x k
E1, 2, ..., k np1 np2 ... npk Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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n! p1x1 p2x 2 ... pkxk x1 !x 2 !... xk !
2 i npi 1 pi 68
Distribuciones de variable discreta Universidad de Oviedo
Distribución hipergeométrica
Supóngase que se dispone de N datos de los cuales k son considerados como éxito y N – k fracaso. Considérese además que se toma una muestra de n. La variable “número de éxitos de entre estos n datos” se denomina variable hipergeométrica de parámetros N, n, k si la probabilidad de obtener x éxitos es: k N k x n x P x , N n
nk E N Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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x 0, 1, 2, ..., n
Nn k k n 1 N1 N N 2
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5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución Normal: N(0,1)
Se dice que la variable tiene una distribución normal o que es N(0,1) si su función de densidad es de la forma: f x
1 e 2
x2 2
x R
f(x)
E 0 x
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2 1
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución Normal: N(0,1)
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución Normal: N(,)
Dada N0,1 se define , siendo y dos números reales cualesquiera con >0. A esta variable se le denomina N(,). Su función de densidad es la siguiente: 1 f x e 2
x 2 2 2
x R
E 2 2
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Propiedades de la distribución normal
1. Dada la variable aleatoria :N(,), se deduce que la variable aleatoria sigue una N(0,1).
2. Si es una variable con distribución B(n, p), entonces el límite cuando n tiene a infinito de sus probabilidades coincide con una distribución Nnp, npq .
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Propiedades de la distribución normal
3. Si 1, 2, …, k son variables aleatorias independientes y con distribuciones j N(j,j) j = 1,…., k, entonces la variable suma = 1 + 2 + …,+ k es también normal de media = 1 + 2 + …,+ k y desviación típica 12 22 ... k2 4. Si 1, 2, …, k son variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas según una N(,), la variable
1 2 ... k se distribuye según una N , . k k
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución 2 de Pearson
Se define la variable 2 de Pearson como la suma de cuadrados de variables N(0,1) independientes. Al número de variables normales que se suman se le denominó número de grados de libertad de la 2. Es decir, si 1, 2, …, n N(0,1), se define la variable 2 con n grados de libertad como sigue: n n2 12 22 ... n2
2n
lim n2 N n, 2n
n Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Distribuciones de variable continua Distribución 2 de Pearson
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n
n2
Dejan a su derecha un área igual a (1ª fila) para distintos grados de libertad n (1ª columna).
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución t-Student
Sean , 1, 2, …, n n+1 variables aleatorias independientes con distribuciones N(0,) todas ellas. Se denomina variable t de Student con n grados de libertad a la siguiente variable: tn =
η 1 n
(η
2 1
+ η22 + ... + ηn2 )
Cuando n tiende a infinito, se demuestra que tn tiende a la N(0,1). Eta aproximación es buena para n > 30.
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución t-Student n
t
La tabla proporciona los valores t que dejan a la izquierda un área igual a (1ª fila) para n grados de libertad (1ª columna)
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución uniforme
Se dice que una variable es uniforme en el intervalo (a, b) si su función de densidad es constante en el intervalo (a, b) y 0 en el resto: 0 si x ≤a 1 si a x b f x b - a 0 si b ≥x
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2
ab 2
1 2 b - a 12
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución lognormal
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución exponencial
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución exponencial
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución Beta
z 1 t z e t dt 0
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución Beta
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución de Fisher
K sen eKcos f eK e K
K
N1 NR
K es la constante de Fisher o factor de dispersión, es la desviación angular respecto al vector medio, N el número de polos y R la magnitud del vector resultante.
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Distribuciones de variable continua Universidad de Oviedo
Distribución de Weibul
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6. TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Estimadores de la media y la varianza
Para estudiar un cierto parámetro poblacional en el que se está interesado, se define un estimador H, que es una función que actúa sobre los datos de la muestra. Las dos propiedades siguientes son deseables para un estimador: 1. Que el estimador sea insesgado para , es decir, que E[H] =. 2. Dados dos estimadores H1 y H2 del parámetro , insesgados, se dice que H1 es más eficiente que H2 si 2 (H1) < 2 (H2).
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Estimadores para la media y la varianza
E x 2 2 x n
x1 x 2 ... xn Hx n
x x
2
H s2
2 n 1 2 Es n
i
n
2
ns HS n 1 Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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2
x x
2
i
n 1
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Teorema central del límite
Si las variables 1, 2, …, n son independientes, igualmente distribuidas con media y desviación típica distinta de cero, entonces la distribución de la variable 1 2 ... n n tiende, cuando n a una distribución normal de media y desviación típica . n
Esto quiere decir que la distribución de la correspondiente a la suma 1 2 ... n tiende a una
N n , n Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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variable
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la media Caso 1: Población normal con conocida
Si se tiene una población normal, se ha visto que: x x N , N0,1 n n
Es decir, dado un nivel de confianza 1 - , se puede obtener en las tablas de la normal el valor /2 tal que P / 2 / 2 1 siendo N(0,1). Según esto, el intervalo de confianza buscado es: , x / 2 x / 2 n n Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la media
Caso 2: Población cualquiera con conocida
El teorema central del límite permite utilizar el intervalo de confianza anterior en este caso, siempre que n sea suficientemente grande. Se suele utilizar n > 30.
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la media
Caso 3: Población normal con desconocida
x
Se puede demostrar que la variable
s
n sigue una
distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. De este modo, el intervalo de confianza buscado al 1 100 % es : s s x t , x t /2 /2 n n
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la media
Caso 4: Población cualquiera con desconocida
En la práctica se suele utilizar el intervalo de confianza indicado en el caso 1, estimando la mediante s, en el caso de que n sea mayor de 30.
Para el caso de muestras pequeñas, el intervalo de confianza a utilizar es el correspondiente al caso 3.
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la diferencia de medias Caso 1: Poblaciones normales con 1 y 2
Se consideran las poblaciones normales de varianzas conocidas y se pretende estimar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, 1 - 2, seleccionando muestras de tamaño n1 y n2 respectivamente de la población. 2 2 x1 x 2 N 1 2 , 1 2 n n 1 2
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la diferencia de medias Caso 1: Poblaciones normales con 1 y 2
El intervalo de confianza al 1 100 % es: 2 2 2 2 1 x1 x 2 / 2 2 , x1 x 2 / 2 1 2 n n n n 1 2 1 2
Este tipo de intervalo también se utiliza si las poblaciones no son normales, pero 1 y 2 son conocidas, siempre que n1 y n2 sean mayores de 30. Si 1 y 2 son desconocidas, se utiliza este mismo intervalo estimando 1 y 2 por s1 y s2. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la diferencia de medias
Caso 2: Poblaciones normales con 1 y 2 desconocidas pero iguales
Estimando 1 y 2 mediante s1 y s2, se llega al siguiente intervalo de confianza utilizando una t de Student con n1 + n2 – 2 grados de libertad: 2 2 n s n s 1 1 2 2 x1 x 2 t / 2 1 1 , 2 2 n1 n2 2 n1 n2
n1 s12 n2 s22 1 1 x1 x 2 t / 2 2 2 n1 n2 2 n1 n2
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Teoría de la estimación Universidad de Oviedo
Intervalos de confianza para la varianza ns
Se puede demostrar que 2 2 es una variable 2 de Pearson con n – 1 grados de libertad. Esta circunstancia permite establecer el intervalo de confianza a (1 - ) 100% para la varianza como sigue:
n s2 n s2 , 2 12 2 2
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7. CONTRASTE DE HIPÓTESIS
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100
Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Se trata de estimar un parámetro poblacional a partir de una muestra. Para ello se define un estimador y se enuncia una hipótesis H0, llamada hipótesis nula, y una alternativa H1. Fijado el nivel de significación, se obtienen las regiones de aceptación Ra y de rechazo Rc, y se adopta la siguiente regla de decisión: Si el valor del estimador definido para la muestra dada cae en la región Ra, se acepta H0. Si cae en Rc, se acepta H1.
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101
Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la media Caso 1: Población con varianza conocida o n > 30
Se desea contrastar la hipótesis de que la media de una población sea un valor , a un nivel de significación de 100 %. Hipótesis nula, H0: media = Hipótesis alternativa, H1: media Teniendo en cuenta que la distribución de medias muestrales de tamaño n de una población de media y desviación típica es una N(, /n), se define el estimador siguiente, que sigue una N(0,1):
x z n Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la media Caso 1: Población con varianza conocida o n > 30
Para el nivel de significación seleccionado se obtienen en la normal N(0, 1) los valores /2 y - /2 tales que:
x P 1 2 2 n La región de aceptación es el intervalo (- /2 , /2) y la regla de decisión es la siguiente: Si - /2 < z < /2 se acepta H0 al nivel 100 %; en caso contrario se rechaza H0 al nivel de significación del 100 %. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la media
Caso 2: Población con varianza desconocida pero n > 30
Si la desviación típica poblacional es desconocida, pero se realiza una muestra de tamaño mayor de 30 (n > 30), el teorema central del límite permite utilizar el contraste del caso 1 sustituyendo por la s muestral.
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la media Caso 3: Población con varianza desconocida y n < 30
Se desea contrastar la hipótesis de que la media de una población sea un valor , a un nivel de significación de 100 %. Hipótesis nula, H0: media = Hipótesis alternativa, H1: media En este caso se tiene en cuenta que la variable
x s n1
sigue una
distribución t-Student con n – 1 grados de libertad.
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la media Caso 3: Población con varianza desconocida y n < 30
Para el nivel de significación seleccionado, 100 %, se obtienen en la t-Student los valores t/2 y - t/2 tales que:
x P t t 1 s 2 2 n 1 La región de aceptación es el intervalo (- t/2 , t/2) y la regla de decisión es la siguiente: Si - t/2 < z < t/2 se acepta H0 al nivel 100 %; en caso contrario se rechaza H0 al nivel de significación del 100 %. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la diferencia de medias Caso 1: Varianzas conocidas
Dadas dos poblaciones de varianzas conocidas 12 y 22 , se seleccionan muestras de tamaños n1 y n2, respectivamente. Se trata de contrastar, al nivel de significación de , la hipótesis: Hipótesis nula, H0: 1 - 2 = d Hipótesis alternativa, H1: 1 - 2 d Se define para el contraste el siguiente estadístico: z
x1 x 2 d 12 22 n1 n2
La región de aceptación es el intervalo (-/2, /2) correspondiente a la N(0, 1), adoptando la regla de decisión como en los casos anteriores. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contraste de hipótesis para la diferencia de medias Caso 2: Varianzas desconocidas pero iguales
Si las muestras son grandes n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30, se pueden estimar 1 y 2 por s1 y s2, y utilizar el test del caso 1. Si los tamaños muestrales son pequeños, menores de 30, se utiliza el siguiente estadístico: t
x1 x 2 d 1 1 s n1 n2
s
n1 1 s12 n2 1 s22 n1 n2 2
A partir de la t-Student con n1 + n2 -2 grados de libertad se obtiene para un nivel de significación , un intervalo (- t/2 , t/2) que permite dar una regla de decisión como en los casos anteriores. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contrastes unilaterales
En los casos de contrastes de hipótesis anteriores, la alternativa era la negación de la hipótesis nula, utilizando las dos colas en las distribuciones correspondientes, como por ejemplo H0: =10; H1: 10. En otros casos, se debe utilizar solo una de las colas de la distribución, como por ejemplo: H0: =10; H1: >10. En estos caso, por ejemplo si el estadístico es una N(0, 1) y = 0,05, se determina el valor 0,05 que deja a su derecha un área bajo la curva normal igual a 0,05. Si el valor de z es menor que 0,05 se acepta H0 al nivel de significación considerado. En caso contrario de rechaza. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contrastes de la bondad de un ajuste
El problema que se trata de resolver es decidir si una muestra obtenida al azar procede de una población con una cierta distribución. Para ello se hace una hipótesis nula que asegura que la población tiene una distribución de probabilidad dada. Bajo esta hipótesis se calculan las frecuencias esperadas para la muestra y se denotan por ei. Estas frecuencias se comparan con las frecuencias realmente obtenidas en la muestra, que se denominan frecuencias observadas y se denotan por oi. Si la diferencia entre frecuencias observadas y esperadas es grande o significativa se rechaza la hipótesis, es decir, el modelo de probabilidad propuesto. Universidad de Oviedo - stimma Expositor: Dr. Miguel Ángel Rodríguez Díaz. E-mail:
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contrastes de la bondad de un ajuste
El estadístico a utilizar en estas pruebas es el siguiente: k
oi ei
i 1
ei
2
2
Se puede demostrar que la distribución del anterior estadístico es aproximadamente una 2 con k – 1 grados de libertad, si no es necesario estimar ningún parámetro poblacional a partir de la muestra para obtener las frecuencias esperadas, y con k – r – 1 si es necesario estimar r parámetros.
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Contraste de hipótesis Universidad de Oviedo
Contrastes de la bondad de un ajuste
Una vez concretado el número de grados de libertad que se va a utilizar, se fija el nivel de significación del test y se calcula en la tabla de la 2 el valor t2 que deja a su derecha una probabilidad igual a . Por último, se adopta la siguiente regla de decisión: Si t2 > 2 se acepta como bueno el ajuste. Si t2 < 2 se rechaza el ajuste.
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8. CRITERIOS DE ESTABILIDAD
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Criterios de estabilidad Universidad de Oviedo
Priest & Brown (1993) Valores aceptables Categoría del talud
Categoría del talud
Ejemplos
Mínimo
Máximo
Media CS P(CS)
