Probab i Lida Des
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Descripción: ejercicios de probabilidades...
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5 de tipo tipo espec especia iall (cost (costoo del del pasaje pasaje 3 dóla dólare res) s).. Una Una perso persona na tien tienee que viajar entre las dos ciudades (ida y vuelta) durante los 5 días laborables de la semana, y para transportarse toma el primer bus que aparece en esa ruta, sin diferenciar el tipo; ¿cúanto espera gastar esta persona en la semana? Planteamiento del problema. DATOS: n : numero de buses x : costo de viaje($/día) BN : bus normal BE : bus especial G: gasto semanal de transporte n = 10 BN : 5 costo de pasajes: $2 BN : 5 costo de pasajes: $3
Como: Dist Distrribuc ibucio ion n Uniforme discreta
Nottacio No acion n
E(X) n+1 2
U ( U (n)
Var(X) n2 +1 2
Fun. un. de dens densid idad ad f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) =
Resolusión del problema x P ( P (x)
4
5
6
1 1 1 2(2) = 4
2 12 ( 12 ) = 21
1 1 1 2(2) = 4
P ( P (BN ) BN ) = P ( P (BE ) BE ) =
=1
5 1 = 10 2 5 1 = 10 2
G = 5X
E (G) = E (5X (5X ) = 5(E 5(E (X )) )) = 5(5) = 25[$=semana 25[$ =semana]] 1 1 1 E (X ) = 4( ) + 5( ) + 6( ) = 5[$=d 5[$ =d{a] {a] 4 2 4
Conclusión: En la semana espera gastar 25 dólares. EJERCICIO 4: 4 :6 : 3
pag136 pag 136
En una escuela primaria se registró el número de palabras por minuto que leían los estudiantes, encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable aleatoria que describe el número de palabras leídas está uniformemente distribuida. a)Halle la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras: 2
1 n
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
5 de tipo tipo espec especia iall (cost (costoo del del pasaje pasaje 3 dóla dólare res) s).. Una Una perso persona na tien tienee que viajar entre las dos ciudades (ida y vuelta) durante los 5 días laborables de la semana, y para transportarse toma el primer bus que aparece en esa ruta, sin diferenciar el tipo; ¿cúanto espera gastar esta persona en la semana? Planteamiento del problema. DATOS: n : numero de buses x : costo de viaje($/día) BN : bus normal BE : bus especial G: gasto semanal de transporte n = 10 BN : 5 costo de pasajes: $2 BN : 5 costo de pasajes: $3
Como: Dist Distrribuc ibucio ion n Uniforme discreta
Nottacio No acion n
E(X) n+1 2
U ( U (n)
Var(X) n2 +1 2
Fun. un. de dens densid idad ad f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) =
Resolusión del problema x P ( P (x)
4
5
6
1 1 1 2(2) = 4
2 12 ( 12 ) = 21
1 1 1 2(2) = 4
P ( P (BN ) BN ) = P ( P (BE ) BE ) =
=1
5 1 = 10 2 5 1 = 10 2
G = 5X
E (G) = E (5X (5X ) = 5(E 5(E (X )) )) = 5(5) = 25[$=semana 25[$ =semana]] 1 1 1 E (X ) = 4( ) + 5( ) + 6( ) = 5[$=d 5[$ =d{a] {a] 4 2 4
Conclusión: En la semana espera gastar 25 dólares. EJERCICIO 4: 4 :6 : 3
pag136 pag 136
En una escuela primaria se registró el número de palabras por minuto que leían los estudiantes, encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable aleatoria que describe el número de palabras leídas está uniformemente distribuida. a)Halle la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras: 2
1 n
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
b)Determine el número de palabras que se esperaría lea un estudiante seleccionado al azar. Planteamiento del problema Datos: Datos: Variable aleatoria: X Número de palabra leida Espacio muestral = f80:::: 80::::139 139g n : es el número de palabras n = n = 59 Hallar P (X = = 100) =? a)P ( b)E (X ) =? Como: Dist Distrribuc ibucio ion n Nottacio No acion n E(X) Var(X) Fun. un. de dens densid idad ad n+1 n2 +1 Uniforme discreta U ( U (n) f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) = n1 2 2 Resolución del problema. a) P =
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
casosfavorables 139 100 39 = = = 0: 0 :66 casoposibles 59 59
b) E(X) =
59 + 1 = 30 30 + 80 = 110 2
Conclusión: El numer numeroo de palabras palabras que que espera espera leer leer es de 110 por minut minuto. o. EJERCICIO 4: 4 :6 : 4
pag135 pag 135
Sea X una variable aleatoria que sigue una ley uniforme sobre {-1,0,1}. Calcule 1. Planteamiento del problema Datos X ! f1; 0; 1g Hallar a) E (X k ) para k=1,2,... b) V ar( ar(X k ) Como Dist Distrribuc ibucio ion n Nottacio No acion n E(X) n+1 Uniforme discreta U ( U (n) 2 Resolucion Resolucion del problema. problema. n E (X ) = pk xk P ( P (X = k) k ) = n1 a) E (
Var(X) n2 +1 2
Fun. un. de dens densid idad ad f ( f (k ) = P ( P (X = k) k ) =
P
k=1
k
k
E (X ) = ( 1)
1 1 1 ( 1)k 1 ( 1)k + 1 k k ( ) + (0) ( ) + (1) ( ) = + = 3 3 3 3 3 3
3
1 n
Fun. un. de de dist dist.. F ( F (Xk) Xk ) =
k n
V ar(X k ) = E (X 2k )
(E (X k ))2
Conclusión i) ii)
V ar(X k ) = 32 V ar(X k ) = 32
94 = 922 k es par 0 = 3 k es impar
3 LEY HIPERGEOMÉTRICA: EJERCICIO 4:6 : 5 pag135
Una variable X tiene distribucióN HIPERGEOMÉTRICA H (7; 4; 5). Calcule: a)P (X = 3); b)la esperanza utulizando la de…nición y verifíquela empleando la fórmula de E (x); c)la varianza de X . PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Datos: n = 4 N = 7 r = 5
Hallar a)P (X = 3) =? b)E (X ) =? c)V (X ) =? Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema a)
b)
rn N
3 4
5 3 7 4 3 7
r N (1
nr )
C = C C P (X = 3) = E (X ) =
c) V (X ) =
5 (1 7
2 3
3 4 3 7
5(4) 20 = = 2: 8571 7 7
54 ) = 285 = 0:17857
Conclusión: 4
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
E (X ) = 2: 8571 V (X ) = 0:17857 EJERCICIO 4:6 : 6
pag135
En una linea de control de calidad se revisan 10 articulos, determinándose que hay 3 que no cumplen con las especi…caciones. Si se escogen al azar dos artículos, identi…que los parámetros de la ley y halle la esperanza de la variable aleatoria X , que describe el número de peizas correctas entre las dos escogidas. Planteamiwento del problema. 1.Datos: Variable aleatoria X - número de peiza correcta entre la escogida. N = 10 n = 3 r = 2
Hallar E (X ) =?
Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema. E (X ) =
rn N
r N (1
nr )
2(3) = 0:6 10
Conclusión E (X ) = 0:6 EJERCICIO 4:6 : 7
pag135
Para llenar 4 vacantes de contador se presentan 10 personas, 7 hombres y 3 mujeres. Salen seleccionados 3 hombres y 1 mujer. Las mujeres acusan al empleador de descriminación sexual, por lo que le llevan a juicio. Si el juez supone que la seleccion fue al azar, ¿puede decirse que existió discriminación al hacer la elección? Planteamiento del problema Datos n = 7 N = 10 r = 4
Hallar 5
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
P (X = 5) =?
Como Tabla de distribución: Distribucion Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema. 5 7
rn N
4 3 10 7 5 10
r N (1
nr )
C C C = C = C C P (X = 3) = 5 7
1 3
3
5 10
5 7 5 10
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
= 0:5
Conclusión: Por o tanto no existe descriminación porque la probabilidad es alta. EJERCICIO 4:6 : 8
pag135
El examen de graduación de los abogados consta de 50 temas. La forma de examinar es la siguiente: por sorteo se eligen 6 temas de los que hay que contestar 3 para aprobar. Si el estudiante solo ha estudiado 30 temas: a) ¿Cual es la probabilidad de los 6 temas sepa contestar correctamente a 3? Datos variable aleatoria: Z ! N umero de tema para aprobar Número total de temas (N ) : 50 Número de temas estudiado (n) : 30 Número por sorteo de temas (r) : 6 a) Número de temas para aprobar (k) : 3 b) Número de temas para aprobar (k) : f 3; 4; 5; 6g Hallar: La probabilidad de los 6 temas sepa contestar correctamente a 3 Como Distribucion Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
rn N
Hipergeométrica H (N;n;r) Planteamiento del problema
r N (1
r n)
rk C nk C N n P (Z = K ) = r C N
a) 63 3 3 3 C 30 C 50 30 = C 30 C 20 = 2204 = 0:29126 P (Z = 3) = 6 6 C 50 C 50 7567
b) 63 64 65 66 3 4 5 6 C 30 C 50 30 C 30 C 5030 C 30 C 5030 C 30 C 5030 P (Z = (3; 4; 5; 6)) = + + + = 0:83566 6 6 6 6 C 50 C 50 C 50 C 50
6
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
Conclusión P (Z = 3) = 0:29126 P (Z = 0:83566 EJERCICIO 4:6 : 9
pag135
Un auditor comprueba la contabilidad de una empresa y toma como muestra 3 cuentas de una lista de 8 cuentas por cobrar. Calcule la probabilidad de que el auditor encuentre por lo menos una cuenta vencida. si hay: a) 2 cuentas vencidas entre las 8 selecionadas b) 4 cuentas vencidas Planteamiento del problema. Datos N = 8 n = 6 r = 3
Hallar 2 cuentas vencidas entre las 8 selecionadasllar 4 cuentas vencidas. 7 cuentas vencidas. Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) (k )( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica
H (N;n;r)
rn N
r N (1
nr )
Resolución del problema. 3
2
C 2 C 6C 3 8 C 63 C 22 1) = 1
P (X
> 1) = 1
P (X
>
C 83
P (X
> 2) = 1
P (X
> 2) =
b) 7
9 14
6! 3!3!
2!2!0!
8! 3!5!
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
1
2
C 4 C 4C 3 8 4! 4! 4 1) = 1 1!3! 2!2! =
P (X
> 1) = 1
P (X
>
P (X
> 1) =
4 7
8! 3!5!
7
c) C 11 C 72 C 83
1! 7! 5 1!0! 2!5! 1) = 1 =
P (X
> 1) = 1
P (X
>
P (X
> 1) =
5 8
8! 3!5!
8
Conclusión P (X > 2) =
9 14
P (X > 1) =
4 7
P (X > 1) =
5 8
EJERCICIO 4:6 : 10 pag135
Una empresa renta autos, a los que no les da el mantenimiento debido, por lo que algunos funcionan mal. Un día tienen disponibles 8 autos para ser rentados, de los cuales 3 funcionaba mal. Ese día se rentaron 4 autos, calcule la probabilidad que: a) Ningún cliente reciba un auto que funcione mal b) Por lo menos un cliente reciba un auto que funcione mal c) Tres clientes reciban autos que funcionen mal Planteamiento del problema Datos: Variable aleatoria X ~ numero de personas a las que se le rentara el auto N : numero total de autos N = 8 n : numero de autos que funcionan mal n = 3 r : numero de autos que funcionan bien r = 4 k : numero de personas Hallar a)P (X = 0) b)P (X 1) c)P (X = 3) 8
Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den.
Fun. de dist.
P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Hipergeométrica H (N;n;r) Resoluciòn del problema. a)
rn N
3 0
r N (1
nr )
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
5 4
1 = 14 P (X = 0) = 8 4
b) P (X
1)
= P (X = 0) + P (X = 1) =
(X = 1) =
c)
3 1
1 3 1 3 13 + = + = = 0:92857 14 7 2 7 14
5 3
3 = 7 = 0:42857 8 4
P (X = 3) =
1 2 5 + = 14 7 14
Conclusión 1 P (X = 0) = 14 P (X 1) = 0:92857 5 P (X = 3) = 14
4 LEYES DE BERNOULLI Y BINOMIAL: EJERCICIO 4:6 : 11 pag136.
Una variable aleatoria X tiene distribución Bin(4,0.2)
Planteamiento del problema. Datos: X tiene distribución Bin(4,0.2) Bin(4; 0:2)
Como Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) (k )( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica
H (N;n;r)
rn N
Hallar
9
r N (1
nr )
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
a) c) P (X = 2) b) d) P (X 2) Resoluciòn del problema.
P (X 2) E (X )
e)
V ar(X )
P (X = k) = C nk pk q nk P (X P (X P (X P (X P (X
= = = = =
0) 1) 2) 3) 4)
(0:2)0 (0:8)40 = 0:4096 (0:2)1 (0:8)41 = 0; 4096 (0:2)2 (0:8)42 = 0; 1536 (0:2)3 (0:8)43 = 0; 0256 (0:2)4 (0:8)44 = 0; 0016
= C 40 = C 41 = C 42 = C 43 = C 44
a) P (X = 2) = 0; 1536
b) P (X
2) = P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) = 0:1536+0:0256+0:0016 = 0:1808
c) P (X
2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = 0:4096+0:4096+0:1536 = 0:9728
d) E (X ) = np = 4 0:2 = 0:8
e)
V ar(X ) = npq = 4 0:2 0:8 = 0:64
Conclusión
P (X = 2) = 0; 1536 P (X 2) = 0:1808 P (X 2) = 0:9728 E (X ) = 0:8 V ar(X ) = 0:64 EJERCICIO 4:6 : 12 pag136
Una maquina llena las cajas de palillos de fósforo. En una proporción del 10% la maquina no llena la maquina por completo. Se toma al azar 25 cajas de fósforos, Calcule la probabilidad de que no haya mas de dos cajas incompletas. 1. Planteamiento del problema. Datos.
10
Bin(25; 0:1)
Probabilidad de exito o fracaso = 0:1 Número de experimentos = 25 X = probabilidad de cajas incompletas Hallar Calcule la probabilidad de que no haya mas de dos cajas incompletas. Como. Distribucion Notacion E(X) Var(X) Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica H (N;n;r) Resolución del problema.
rn N
r N (1
r n)
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
P (X = k) = C nk pk q nk n P r(X 2) = pk q nk k 25 25 25 P r(X 2) = p2 q 252 + p1 q 251 + p0 q 250 2 1 0 25 25 25 P r(X 2) = 0:12 0:9252 + 0:11 0:9251 + 0:10 0:9250 2 1 0 25 = 0:12 0:9252 = 0:26589 2 25 = 0:11 0:9251 = 0:19942 1 25 = 0:10 0:9250 = 7: 1790 102 0 = 0:26589 + 0:19942 + 7: 1790 102 = 0:5371
Conclusión. P r(X 2) = 0:5371: EJERCICIO 4:6 : 13 pag136.
Una encuesta revela que el 20% de la población es favorable a un politico y el resto es desfavorable. Si se eligen 6 personas al azar, se desea saber. 1. Planteamiento del problema. Datos. Bin(6; 0:8)
Probabilidad de persona desfavorable = 0:8 Número de experimentos = 6 Hallar 11
P (X = 6) P (X = 4)
Como: Distribucion
Notacion
E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
rn r r Hipergeométrica H (N;n;r) N N (1 n ) Resolusion del problema. X = probabilidad de 6 personas desfavorables
P (X = k) = C nk pk n P r(X = 6) = k 6 P r(X = 6) = 6 6 = 0:86 6
n k
q p q
k
n k
p6 q 6
6
0:266 = 0:26214
Probabilidad de persona favorable = 0:2 Número de experimentos = 6 X = probabilidad de 4 de 6 personas favorables P (X = k) = C nk pk n P r(X = 4) = k 6 P r(X = 4) = 4 6 = 0:24 4
n k
q p q
k
n k
p4 q 6
4
0:864 = 0:01536
Conclusión P (X = 6) = 0:26214 P (X = 4) = 0:01536 EJERCICIO 4:6 : 14 pag136.
Una determinada raza de perros tienen cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0.55,se pide calcular : a) La probabilidad de que en una camada 2 exactamente sean hembras b) La probabilidad de que en una camada al menos 2 sean hembras 12
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
Distribucion
Binomial
Notacion
E(X)
Fun. de den.
Var(X)
Función de dist.
nP (X = k) = pk (1 p)n k ; k = 0; 1; :::; n
Bin(n; p)
np
npq
k
Plantamiento del problema Datos: X : Variable aleatoria > k : numero de hembras probabilidad de que 1 sea macho
k
k) = P P (xi)
F ( X
i=1
p = 0; 55
probabilidad de que ninguno sea macho P (X = 0) = 1
p = q
= 1 0:55 = 0:45 q = 0:45
La probabilidad se calcula mediante: Distribucion binomial Hallar a)P (X = 2) b)P (X 2 Como: Distribucion Notacion E(X)
Var(X)
Fun. de den. P (X = k) ( k)( r k ) = n kN n (N )
Fun. de dist.
Hipergeométrica
rn N
H (N;n;r)
r N (1
P (X = k) = C nk = pk q nk
r n)
k = 0; 1;:::;n
Resolución del problema. a) P (X = 2) = C 42 (0:55)2 (0:45)42 =
4! (0:55)2 (0:45)2 = 0:36754 2!(4 2)!
b) P (X
2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = 0:367 54+0:200 48+0:0410062 = 0:60903 P (X = 0) = C 40 (0:55)0 (0:45)40 = 0:0410062 P (X = 1) = C 41 (0:55)1 (0:45)41 = 0:20048
Conclusión: 13
(Xr )(nN Xr ) (N n)
P (X = x) =
a)P (X = 2) = 0:36754 b)P (X 2) = 0:60903
EJERCICIO 4:6 : 16 pag136.
En una instalación militar que dispone de 5 radares , la probabilidad de que un solo radar descubra a un avión de combate es de 0,7 a) ¿Cuál es la probabilidad que sean exactamente 4 radares los que descubren el avión? b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno los descubra? c) ¿De cuántos radares debe constar la instalación para asegurarse en detectar aviones al menos en un 98% de las veces? Planteamiento del problema. Datos variable aleatoria X : número de aviones que descubre el radar n = 5 p = 0; 7
Hallar a) P (X = 4) b) P (X 1) c) P (X = k) Como Distribucion Binomial
Notacion
E(X)
Bin(n; p)
np
Var(X)
npq
Funcion de densidad P (X = k) k k = C n p (1 p)nk ; k = 0; 1;:::;n
Mediante la distribución binomial : Bin(n; p) ; P (X = k) = C nk pk (1 p)nk Resolusión del problema a) P (X = 4) =
5 4
(0:7)4 (0:3)1 = 0:36015
b)
1) = 1 P (X 95)
Resolusión del problema P (X
95)
= = 1
=
1 P (X > 95) [P (X = 96) + P (X = 97) + P (X = 98) + P (X = 99) + P (X = 100)] 100 1 C k pk q nk
=
Conclusión P (X
95) = 1
1 100
k=96
k=96
n
k k 100k 100 (0:05) (0:95)
P C
k=96
k k 100k 100 (0:05) (0:95)
P C
EJERCICIO 4:6 : 23
100
P
pag137.
En un examen se plantea 10 preguntas a las que deban responderse verdadadero o falso. un alumno aprobara el examen si al menos 7 respuestas son acertadas. ¿ que probabiidad de aprobar tiene un estudiante que responda al azar ¿ y cuando uno se sabe que el 30% de la asignatura. 1. Datos: n K p q
= = = =
10 7 0:3 0:7
Hallar ¿Cuál es la probabilidad que el actor recite corectamente su diálogo en la sexta vez?. Resolución del problema. Como Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) x
B(n; p)
n k
k
n k
p (q ) f (x) =
2. Resolución del problema.
19
X p (q ) F (x) = n k
k=0
k
n k
np
P (X = P (X =
n 7) = p (q ) k 10 7) = (0:3) (0:7) 7 10 k
n k
7
3
(0:3)7 (0:7)3
P (X = 7) =
7 P (X = 7) = 0:2362:
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:2362:
5 LEYES GEOMÉTRICAS Y BINOMIAL NEGATIVA. EJERCICIO 4:6 : 24 pag137.
Cuando se graba un comercial de televisión, la probabibildad de que un actor recite correctamente el diálogo de tu tema es de 0.3. 1. Datos: Hallar ¿Cuál es la probabilidad que el actor recite corectamente su diálogo en la sexta vez?. Resolución del problema. Como Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) G( p) BN (r; p)
f (k) = P [X = k] = (1 p)k 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
x
F (x) = i=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:2362: EJERCICIO 4:6 : 25
pag137.
En un examen el profesor realiza varias preguntas a un estudiante. La probabilidad de que el estudiante responda correctamente a cualquier pregunta es igual a 0.9. El profesor interrumpe el examen apenas el estudiante mani…esta el desconocimiento de la pregunta hecha. Hallar 20
1 p r p
a) Formar la ley de distribución de la variable aleatoria que describe el número de preguntas que realiza el profesor. b) Hallar el número esperado de preguntas que ha realizado el profesor. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
x i=0 (1
P F (x) =
f (k) = P [X = k] = (1 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
Resolución del problema. X 1 2 3 a) P 0.1 0.09 0.081
k
k1
(0:1) (0:9)
i
si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
f alla p = %negativo r1 C k1 pr q kr 1 (0:1)1 (0:9)11 = 0:1 P (X = 1) = C 11 1 1 (0:1)1 (0:9)21 = 0:09 P (X = 2) = C 21 1 1 (0:1)1 (0:9)31 = 0:081 P (X = 3) = C 31 1 1 = 10:0 b) E (X ) = pr = 0:1 EJERCICIO 4:6 : 26 pag138.
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
f (x) p)k
p) p
r = primera
Va
1 p r p
La probabilidad de que un tirador haga blanco en un solo disparo es igual a 0.2. Al tirador se le entregan cartuchos hasta tanto no yerre el tiro. a)Forme la ley de distribución que describe el número de cartuchos utilizados. b)¿Cúantos cartuchos se espera que utilice el tirador? Datos P = 0:2
a) Según la fórmula de Probabilidad Pr(X=k)=p(1-p) k- 1 , k=1,2 , , ,n. se calcula la siguiente ley de distribución. P (X = 1) = 0:2(1 P (X = 2) = 0:2(1 P (X = 3) = 0:2(1 P (X = 4) = 0:2(1 P (X = k) = 0:2(1
0:2)0 = 0:2 0:2)2= 0:2(0:8) = 0:16 0:2)3 = 0:2(0:64) = 0:128 0:2)k=1 0:2(0:512) k=10:102 0:2) = 0:2(0:8) = 0:2(0:8)k1
En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos. X 1 2 3 4 ::::::: p 0:2 0:16 0:128 0:102 ::::::
b) La esperanza de la variable aleatoria "número de cartuchos" está dada por : E (X ) =
Por los tanto se espera que en 5 tiros el tirador falle. EJERCICIO 4:6 : 27 pag138.
21
1 p
=
1 0:2
=5
k 0:2(0:8)k- 1
::::::: :::::::
En un examen, en el que se realiza preguntas sucesivas, para aprobar hay que constastar correctamente a las 10 preguntas. suponiendo que el alumno sepa el 80% de las respuestas. 1. Datos: X : preguntas sucesivas que se toma a un aluno para que apruebe el examen. r p q k
= = = =
10 0:8 0:2 12
Hallar ¿ Cual es la probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
f (x) p)k
f (k) = P [X = k] = (1 1 r kr P (X = k) = kr 1 P (q )
Resolución del problema.
Función de distribución F(X) Esperanza E (x) F (x) = xi=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
P (X = 12): P (X =
r 1 12): = P (q ) k1 9 r
P (X = 12): =
k r
(0:8)10 (0; 2)2
11 P (X = 12): = 0:2362:
Conclusiòn. La probabilidad de que aprueben en las 12 primeras preguntas es de 0:2362: EJERCICIO 4:6 : 28 pag138.
Una jugadora de tenis gana el 33% de los partidos que realizan. Ella jugará en un torneo mientras no sea elimidada por perder el partido. 1. Datos: p = 0:33 q = 0:67
Hallar 22
1 p r p
a) Halle la probabilidad de que sea eliminada en el segundo partido. b) Si para ganar el torneo se debe ganar 5 partidos consecutivos. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugadora pierda pierda en la …nal del torneo. c) Cuantos partidos espera que llegue a jugar en el torneo. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
f (x) p)k
f (k) = P [X = k] = (1 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
Resolución del problema.
Función de distribución F(X) Esperanza E (x) F (x) = xi=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
1 p r p
P (X = 2) P (X = 2) = (0:67)2 (0:33) P (X = 2) = 0:2211
Conclusiòn. Halle la probabilidad de que sea eliminada en el segundo partido es 0:2211 Si para ganar el torneo se debe ganar 5 partidos consecutivos. ¿Cuál es la probabilidad de que la jugadora pierda pierda en la …nal del torneo es 0:007946 Cuantos partidos espera que llegue a jugar en el torneo es 3 partidos. EJERCICIO 4:6 : 29 pag138.
Una marca de refresco tiene impresas, en cada una de las tapas, una de las …guras de los 4 jinetes del apocalisis y quien reuna completa ganara un premio. Si un comprador cree que hay igual al número de …guras de cada unos de los personajes en la promoción. ¿ Cuantos refrescos ha de esperar comprar para ganar el premio?. 1. Datos: BN (33:32; 4)
Hallar Cuantos refrescos ha de esperar comprar para ganar el premio. Como Notación G( p) BN (r; p)
Función de densidad
f (x) p)k
f (k) = P [X = k] = (1 1 n k P (X = k) = k+n n1 p r
23
Función de distribución F(X) Esperanza E (x) F (x) = xi=0 (1 p)i p si x > 0 I p (r; k + 1) donde I p (x; y)
P
1 p r p
Resolución del problema. BN (33:32; 4) 33 4 E (x) = 8:33 E (x) =
Conclusiòn. E (X ) = 8:33; es decir 9 refrescos. EJERCICIO 4:6 : 30 pag138.
Un pájaro de cierta especie come gusanos de una población muy grande, estos gusanos pueden comer, a su vez, de una planta venenosa, de manera que si el pájaro como un gusano envenenado deja de comer gusanos ese día, suponiendo que el 33%de la población de gusanos come de la planta venenosa, hallas el número medio de gusanos comidos por un pájaro en un día. Tabla función de distribución: Distribucion Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Geométrica
G ( p)
1 p p2
1 p
k1
P (X = k) = p (1 p) k = 1; :::; n
1.Datos: Variable aleatoria: X Número gusanos p : es la probabilidad de éxito. p = 0; 33 2.Buscar: E (X ) =?
3.Solución: 1 E (X ) = p1 = 0:33 = 3: 0303 al menos tres gusanos por día. EJERCICIO 4:6 : 31 pag138.
Un lepidopterista solo esta interesado en los ejemplares de una clase mariposa que constituyen el 15% de todas la mariposas de la zona. Halle la probabilidad de que esta persona tenga que casar 8 mariposas de las que no le interesan antes encontrar: 1. Datos: X : Mariposas de las clase deseada. p = 0:15 q = 0:85 k = 8
Hallar 24
Func. de dist. ; F (X )=
X
k 1
P q p
k=1
a) Un ejemplar de la clase deseada. b) Tres ejemplares de la clase deseada. Como Distribucion Notacion Geométrica
G ( p)
E(X) 1 p
Funcion de densidad
Var(X)
k1
P (X = k) = p (1 p) k = 1; :::; n
1 p p2
p)k1
7
P (X = 8) = (0:15) (0:85) P (X = 8) = 0:4087
Conclusiòn. Un ejemplar de la clase deseada es 0:4087 Tres ejemplares de la clase deseada 0:03564 EJERCICIO 4:6 : 32 pag138. En una fabrica, el departamento de control de calidad, revisa los lotes de pieas que entran, de acuerdo con el siguiente criterio: se van extrayendo piezas sucesivamente y el lote es rechazado si se encuentra la primera pieza defectuosa antes de la vigesima extraccion. Si conocemos que el 2% de las piezas son defectuosas, ¿cual es la probabilidad de que un lote sea defectuoso? 1 lote = 20 piezas entonces nuemro de intentos antes de obtener una pieza defectuosa k=19 1 1 Exito ; pieza defectuos 50 49 0 Fracaso ; pieza buena 50
1 1 18 P (X = 19) = 50 (1 50 ) 0; 13902 EJERCICIO 4:6 : 33 pag138.
En una fábrica se examinan las piezas que salen de una determinada máquina. Supongase que si en una hora salen mas de 5 piezas defectuosas es de 0.2 y es la misma para todas la piezas fabricadas; 1. Datos. n = 5 p = 0:2 q = 0:8
Hallar: 25
; F (X )=
X
k 1
P q p
k=1
Resolución del problema. P (X = k) = p (1
Func. de dist.
La probabilidad de que se tenga recalibrar la máquina cuando se ha inspeccionado 20 piezas. La probabilidad de que se recalibrar la máquina sin haber producido ninguna pieza buena. Como Distribucion Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Geométrica
G ( p)
1 p
k1
P (X = k) = p (1 p) k = 1; :::; n
1 p p2
Func. de dist. ;
k 1
P q p
k=1
Resolución del problema. P (X = k) = p (1
X
F (X )=
p)k1
EJERCICIO 4:6 : 34 pag138.
Se sabe que aproximadamente, el 20% de los usuarios de windows no cierran el programa adecuadamante. supongase que el windows esta instalado en una computadora pública que es utilizada aleatoriamente por personas que actúan independientemente una de otras. 1. Datos q : los usuarios de windows no cierran el programa adecuadamante X: Usuario que cieran windows adecuadamente p = 0:80 q = 0:20
Hallar ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer usuario seal el primero que cierra adecuadamente el windows?. Como: Notación Función de densidad f (x) Función de distribución F(X) Esperanza E (x) G( p)
f (k) = P [X = k] = (1
p)k
F (x) =
x i=0 (1
P
p)i p
si x > 0
Resolucion del problema: P (X = 3) = p( p)2 = (0:80) (0:20) = 0:032
Conclusión La probabilidad de que el tercer usuario seal el primero que cierra adecuadamente el windows es de 0:032: 26
1 p
6 LEYES POISSON. EJERCICIO 4:6 : 35 pag139.
Sea Y una variable aleatoria que sigue una distribuciòn de poisson de media = 2: calcule
1. Datos: = 2
Hallar a) P (Y = 4) b) P (Y 4)
Como Notación
Función de densidad
f (x)
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
k
e k!
P ()
p(x; ) =
k
" k!
Resolucion del problema. P (Y = 4) P (Y P (Y P (Y
24 "2 4! 16" 2 = 4) = 24 = 4) = 0:0902 = 4) =
P (Y 4) P (Y P (Y
> 4) = 1 0:9473) > 4) = 0:0527
EJERCICIO 4:6 : 36 pag139.
El promedio de las llamadas que reciben una central telefonica en un minuto es de 1.5. Halle la probabilidad de que en 4 minutos se reciban. 27
Va
1. Datos: = 1:5 t = 4 t = 6
Hallar: a) 3 llamadas. b) menos de 3 llamadas. Como: Notación
Función de densidad
Función de distribución F(X) Esperanza E (x)
f (x)
k e k!
P ()
p(x; ) =
Resolucion del problema. 3 llamadas. P (X = 3) = P (X = 3) = P (X = 3) = P (X = 3) = P (X = 3) =
e6 63 3! e 6 63 6 3 6 6 e6 216 6 e6 0:89235
Menos de 3 llamadas. P (X P (X P (X P (X P (X
< 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) e 6 60 e 6 61 e 6 62 3) = + + 0! 1! 2! 1 6 18 3) = + + e6 e6 e6 25 3) = e6 3) = 0:06197
Conclusion :
28
k " k!
Va
3 llamadas. es 0:89235 Menos de 3 llamadas. es 0:06197 EJERCICIO 4:6 : 37 pag139.
Suponga que el número de pacientes que ingresan a la sala de emergencia de un hospital en la noche del viernes tiene una distribución de Poisson con media igual a 4.Evalue las probabilidades de que: 1. Datos: X: Número de pacientes que ingresan a la sala de emergencia de un hospital E (X ) = = 4
Hallar: (a) Durante una noche haya exactamente haya 2 personas en la sala de emergencia. (b) Durante la noche aya mas de 3 personas. Como: Dist.
Notacion
Poisson
P ()
E(X)
Var(X)
Funcion de densidad P (X = k) =
e
k k! ;
k = 0; :::; n
Resolución del problema. P (X = 3) e4 42 P (X = 2) = 2! 8 P (X = 2) = 4 e P (X = 2) = 0:1465 P (X > 3) P (X P (X
> 3) = 1 > 3) = 1
P (X 3) [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 3) + P (X = 3)] e4 40 e 4 42 e 4 41 e 4 43 3) = 1 [ + + + ] 0! 2! 1! 3! 1 4 4 32 3) = 1 [ 4 + 4 + 4 + ] e e e 3 e4 9 32 3) = 1 [ 4 + ] e 3 e4
P (X
>
P (X
>
P (X
>
P (X
> 3) = 0:5653
Conclusión: Durante una noche haya exactamente haya 2 personas en la sala de emergencia es 0:1465 29
Func. de dist. F (X ) =
X
P
k=0
e
k k!
1. (a) Durante la noche aya mas de 3 personas es 0:5653 EJERCICIO 4:6 : 38 pag139.Problema 38.
En un hotel, el promedio de pedidos de servicio a la habitación es igual 2 cada media hora. Allá la probabilidad de que en una hora se reciban: a) 3 pedidos b) menos de 3 pedidos c) no menos de 3 pedidos Dist. Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Poisson
P ()
P (X = k) =
e
k
k!
X
; k = 0; :::; n
Plantamiento del Problema Datos: X : es la variable > . X P (2) t : intervalo de tiempo de servivio a la habitación. ; t = 2 k : numero de eventos que pueden suceder en un cierto tiempo. : promedio de pedidos de servivio a la habitacion ; = 2 Resolución: Mediante la probabilidad de Poisson P () ; P (X = k) = e k!(t) ; k = t
k
0; 1; 2;:::;n 2(2) x(2x2)3 a)P (X = 3) = e = 0:19536 3! b)P (X 2) = 1 P (X 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] = 0 1 1 (e3 30! + e3 31! + 29 e3 ) = 0:57681 0 c) P (X 1) = 1 [P (X = 0)] = 1 e3 30! = 0:9502
Conclusion: a)La probabilidad de que resulten dos botellas rotas es de 0:22404 b)La probabilidad de que resulten mas de dos botellas rotas es de 0:57681 c)La probabilidad de que resulten al menos una botella rota es de 0:9502 EJERCICIO 4:6 : 40 pag139.
Se supone que el número de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria X con Distribución de Poisson de parámetro = 0:5 a) ¿Cuál es la probabilidad de que 1mm3 de agua del estanque no hay ninguna bacteria? b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm3 de agua en cada tubo). ¿Qué distribución sigue la variable Y: número de tubos de ensayo, entre los 40 que no contienen bacterias? c) Si sabemos que en un tubo hoy bacterias, ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres? Tabla función de distribución: Dist. Notacion E(X) Var(X) Funcion de densidad Poisson
P ()
P (X = k) =
e
k k! ;
1.Datos: Variable aleatoria: X número de bacterias por mm 3 = 0:5
2.Buscar: P (X = 0) P (X 20)
3.Solución: ( 0 5) (0:5)0 = 0:60653 a)P (X = 0) = e 0! ( 0 5) (0:5)0 = 0:60653 + 0:303 27 = 0:9098 b)P (X = 0) = e 0! c)P (X 4) = 1
P ( P (X 4) 4) = 1 [P ( P (X = = 0) + P ( P (X = = 1) + P ( P (X = = 2) + P ( P (X = = 3) + P ( P (X = = 4)] e5 50 e 5 51 e 5 52 e 5 53 e 5 54 4) = 1 [ + + + + ] 0! 1! 2! 3! 4! e5 50 e 5 51 e 5 52 e 5 53 e 5 54 4) = 1 [ + + + + ] 1 1 2 6 24 4) = 1 [0: [0:44]
P ( P (X
>
P ( P (X
>
P ( P (X
>
P ( P (X P ( P (X
> > 4) = 0:56
P ( P (X = 0) e5 50 0! 1 P ( P (X = 0) = 5 e P ( P (X = 0) = 0:0674 P ( P (X = 0) =
Conclusión. A mas de 4 veces es 0:56 Ni una sola vez es 0:0674 EJERCICIO 4:6 : 47 pag140 pag 140::
Si hay en promedio un 1% de zurdos, ¿Cuál es la probabilidad de tener por lo menos 4 zurdos entre 200 personas? Solución: Solución: Distribución de Poisson P ( P (X = = k) k ) =
e
k k!
; k = 0; 1; 2;:::
En este caso tenemos: De…nimos la variable aleatoria: X :númer númeroo de zurdos zurdos entre entre un grupo de 200 personas n = 200
36
X
P
k=0
k k!
e
p = 0:01 = np = 200 0:01 = 2 P (X 4) = 1 P (X 3) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] 2 0 2 1 2 2 2 3 = 1 [ e 0!2 + e 1!2 + e 2!2 + e 3!2 ] 2 = 1 19 3 e
t 0:142876 EJERCICIO 4:6 : 48 pag140:
En una investigación de mercado se determinó que el 2 por ciento de la población toma regularmente una marca de yogourt .Se escogio una muestra de 300 personas , determine la probabalidad. DATOS El 2 % de 300= 6 toman un yogourt de la misma marca = 6
FORMULAS %t k k!
(Distribuci n de Poison)
RESOLUCIÓN a)Exactamente 5 personas tomen yogourt de esa persona %t k %6(1) (6)5 %6 7774 %6 324 = = = = 0; 161 k! 5! 120 5
b)a lo más tiene tres personas Pr (X 3) = Pr (X = 3) + Pr (X = 2) + Pr (X = 1) + Pr (X = 0) %t k %6(1) (6)3 % 6(1) (6)2 % 6(1) (6)1 % 6(1) (6)0 = + + + k! 3! 2! 1! 0! 6(1) 6(1) 6(1) 1 6(1) % 216 % (36) % (6) % (6)0 = + + + 6 2 1 0! = 0; 08923 + 0; 04462 + 0; 01487 = 0; 151198
c)al menos tomen cinco personas Pr (X
5)
= 1 =
Pr (X = 4) + Pr (X 3) % 6(1) (6)4 1 + 0; 151198 4! 6(1)
% 1 54 + 0; 151198 1 0; 1338 + 0; 15198
= 1
= = 0; 71422
37
P (X = 0) =
5
exp
(5)0
0; 00673
0!
EJERCICIO 4:6 : 49 pag140:
La tasa mensual de suicidios es de 4 por un millón de personas. En una ciudad de 500000 habitantes, halle la probabilidad de que: a) en un mes dado, hayan menos de 5 suicidios; b) ¿Será sorprendente que durante un año, al menos en 2 meses ocurran más de 4 suicidios? Solución: a) Distribución de Poisson P (X = k) =
e
k k!
; k = 0; 1; 2;:::
En este caso tenemos: De…nimos la variable aleatoria: X : numero de suicidios en un mes Si por millón de habitantes se tiene 4 suicidios por mes, en 500000 habitantes se reduce a la mitad por mes, así: = 2 P (X 4) = 1 P (X 4) = 1 P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 3 = 1 [ e 0!(22) + e 1!(22) + e 2!(22) + e 3!(22) + 2 2 (22)4 ] 4! = 1 103 e4
e
t
3
0; 37116
Entonces, la probabilidad que durante un año, al menos en 2 meses ocurran más de 4 suicidios es del 37.11% lo cual es un valor relativamente moderado. EJERCICIO 4:6 : 50 pag140:
38
En estudios demográ…cos sobre matrimonios que tienen algún tipo de plani…cación familiar, el número X de hijos por matrimonio es igual a 2, salvo ciertas desviaciones debidas al azar. Se ha comprobado que, o bien: X = 2 (Y + 1) donde Y es una variable de Bernoulli de parámetro p = 0:3, y esto ocurre con probabilidad p = 21 (pues se cumple en el 50% de los matrimonios), o bien es: X = 2 + Z donde Z sigue una distribución de Poisson de parámetro ; y esto también ocurre con probabilidad p = 21 Hallar: a) el valor de sabiendo que E(X) = 2 b) la probabilidad de que un matrimonio tenga 1 o 2 hijos. a) X = 2 + Z E (X ) = E (2 + Z ) 2 = E (2) + E (Z ) 2=2+ = 0
b) De…nimos la variable aleatoria Y que sigue una ley de Bernoulli
1; si es exito; p Y = 0; si es fracaso; q P (Y = 1) = 0:3 P (Y = 0) = q = 1 p = 1 0:3 = 0:7
Un matrimonio tenga un hijo: P (X = 1) = 2
(P (Y = 1) + 1) = 2 (0:3 + 1) = 0:7
Un matrimonio tenga dos hijos: P (X = 2) = 2
(P (Y = 0) + 1) = 2 (0:7 + 1) = 0:3
(Chapter head:)Capitulo 4.10
7 LEY UNIFORME EJERCICIO 4:10 : 1 pag 151:
Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme sobre [-3,1].Calcule: a)P (X = 0); b)P (X t) = 31
39
Dist.
Not.
Uni. Cont.
Función de Densidad
U (a; b)
f (x) = [a; b] ba ; si x 0; si x = [a; b] 1
Resolución: 1 a)P (X = 0) = 1+3 = 41 b)P (X b
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
3 4
R
EJERCICIO 4:10 : 2 pag 151:.
Realice el ejercicio anterior considerando que X ~U [3; 2]. Dist. Not. Función de Densidad Función de Dist. Uni. Cont.
U (a; b)
f (x) = 1 ; si x [a; b] ba 0; si x = [a; b]
2 2
8< :
F (X ) = 0; si x < a xa x b ba ; si a 1; si x > b
¿Qué quiero? a)P (X = 0) =? b)(X b
E(X)
Var(X)
a+b 2
(ba)2 12
RESOLUCION: P (425 < X 2:4) = = 0:069483
j
Pr(X>8:8) Pr(X>2:4)
F (8:8) = 11 F (2:4) = 6: 9483
102
Respuesta a) Mayor que 3 grados en la escala Richter. P (X > 3) = 0:2865 b) Entre 2 y 3 grados en la escala de Richter. P (2 X 3) = 0:14809 c) El sismo producido en la India el 30 de septiembre de 1993 tuvo la intensidad de 6:4 grados, ¿Cuál es la probabilidad de que un sismo supere esta
intensidad? P (X > 2:4 + 6:4 X > 2:4) = 0:069483 EJERCICIO 4:10 : 20 pag 154:
j
El tiempo de reparacion de unas computadoras tiene una distribucion aproximadamente exponencial con media de 22 minutos a) Halle la probablilidad de que el tiempo de reparacion sea menor que diez minutos b) El costo de reparacion es de 20 dolares por cada media hora o fraccion ¿Cual es la probabilidad de que la reparacion cueste 40 dolares? c) Para efectuar una programacion ¿cuanto tiempo se debe asignar a cada reparacion para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparacion mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1? 8.0.1 Planteamiento del problema
8.1 ¿Que tengo ? Datos =
1 22
8.2 ¿Que quiero? Calcular la probabilidad de que: a) P (X t)
8.3 ¿como lo hago? Dist. Exp.
Notacion "()
E(X) 1
Var(X) 1 2
50
Fun. de den. k P (X = k) = e k!
Fun. de dist. F (x) =
k
k k!
P e
8.4 Solución: Consideramos la variable aleatoria X :que representa el tiempo de reparacion de las computadoras.Como 1 1 E (X ) = 22 = 1 ;entonces = 22 ) y X v "( 22 su funcion de densidad es: 1 f (x) = 22 e X 10 1 a) P (X 0
R
j
R
j
= 0:19033
c) Representamos por t con ( t >0) al tiempo asignado a una reparacion debe veri…carse: P (X > t) = 0:1
es decir
X dx = e 22 1 t t = e 22 = 0:1 y esto se cumple para t = 22 log(0:1) = 50:657
R 1 t
1 22 e
X
22
j
51 minutos
8.4.1 Conclusion: La probablilidad de que el tiempo de reparacion sea menor que diez minutos es de 0.36 La probabilidad de que la reparacion cueste 40 dolares es de 0.190 El tiempo que se debe asignar a cada reparacion para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparacion sea solo de 0.1 es de 51 minutos EJERCICIO 4:10 : 21 pag 154:
Una re…nadora e azucar tiene cinco plantas de proceso, y todas reciben azucar blanca y a granel. La cantidad de azucar que puede procesar en un dia se puede representar mediante una ley exponencial con promedio de 3(medidas de tonelada), para cada una de las cinco plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcule la probabilidad de que exactamente dos de las cinco plantas se procese mas de 4 toneladas en un dia determinado. Planteamiento del problema Datos 51
X : La cantidad que puede procesar una planta en un dia determinado.
Plantas de proceso= 5 Ley exponencial con promedio = 3 toneladas Resultado (Que queremos) a) Calcule la probabilidad de que en exactamente dos de las cinco plantas se procese mas de 4 toneladas p(x > 4)
Como lo hago Distribucion Exponencial Distribucion Binomial Solucion F (x)
1 x 3 3e
x > 0 0 otros
1
¡ p(x > 4) 41 13 e 3 dx 1 ¡ p(x > 4) 13 41 e 3 dx = 0:26
R R
Utilizamos la distribucion Biniomial p = 0:26 q = 0:74 n = 5 k = 2 P (k) = C kn pk (q )(nk) P (k) = C 25 (0:26)2 (0:74)(52) P (k) = 0:27
Conclusion La probabilidad de que en exactamente dos de las cinco plantas se procese mas de4toneladas es 27%
9 LEY NORMAL. EJERCICIO 4:10 : 24 :pag 155
Usando la tabla de la ley Normal estandar, determinar: a) P (Z 1:27) P (Z > 1:27) > 0:1020 e) P (0:47 < Z 12; 492) = 0; 05 1-P r(X 12; 492) = 0; 05 ) = 1 0; 05 ( 120;3 ) = 0; 95 ( 120;3 ) = (1; 65) ( 120;3 12 0;3 = 1; 65 = 12 (1; 65)(0; 3) = 12 0; 495 = 11; 505 12
R: El peso medio de los tarros es de 12 onzas EJERCICIO 4:10 : 44 :pag 156
La anchura en mm de una población de coleopteros sigue una distribusión N (; 2 ). Se estima que el 77% de la población mide menos de 12mm y que el 84% mide más de 7 mm. Halle los parámetros de la ley.
9.13 Planteamiento del problema. 9.13.1 ¿Qué tengo?(Datos) X :"Anchura de un coleoptero" P (X 7) = 0:84 X v N (; ), la variable aleatoria X sigue una ley de distribución Normal
72
9.13.2 ¿Qué quiero? =? =?
9.13.3 ¿Como lo hago? P (X < x) = F (x) = x P (X > x) = 1 P (T < x)
Nota: En todos los casosnos ayudaremos de la tabla de la Distribusión Normal Estandar 9.13.4 Resolución del problema
P (X 7) = 1 P (X
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