Prob y Ejercicios de Analisis Matematicos

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T. H. BEPMAH

C B O P H M K 3 A A A 4 110 K Y P C Y M A T E M A T H H E G K O r O AHAJIH3A

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G. N. BERMAN

de análisis matemático

EDITORIAL MIR MOSCÚ

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Problemas y ejercicios

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Traducido del tuso por N. N. Serdiukova

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©

Traducción al español. Editorial MIR. 1977

Impreso en la URSS. 1977

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El presento libro de «Problemas y ejercicios de análisis matemá­ tico» se destina a los alumnos de ingeniería que estudian el análisis matemático, de acuerdo con los programas correspondientes, en es­ cuelas técnicas superiores. Contiene diversos ejercicios que en su mayor parte tienen por objeto controlar y profundizar el nivel de conocimientos que hayan adquirido los alumnos en el análisis matemático. En el manual no se dan explicaciones teóricas ni fórmulas. Se estima que el lector las encontrará en cualquier manual de análisis matemático. Para un conjunto de problemas y ejercicios análogos por su contenido se dan indicaciones instructivas, comunes para ellos. Los problemas y ejercicios para cuya solución es necesario cono­ cer las leyes de física van precedidos de la correspondiente informa­ ción. En los más difíciles (señalados por un asterisco I*]) se dan suge­ rencias para su solución, que aparecen en la parte de «Respuestas a los ejercicios». Esta es la traducción al español de una de las últimas variantes del manual escrito por los siguientes autores: I. G. Aramanóvich, G. N. Berman, A. F. Bermant, B. A. Kordemski, R. I. Pozoiski, M. G. Shestopal. B. A. Kordemski 11 de septiembre de 1976

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Prefacio

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. . ........................ ............................... ...

-5

C A PÍT U LO I. Función . .............................9 § 1, Nociones elementales sobre la función . . . . . ................ § 2. Propiedades más elementales do las funciones ........................ § 3. Funciones más simplos ....................................................... - . § -Í. Función inversa. Funciones potencial, oxponencial y logarítmica § 5. Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas § 0. Problemas de c á lc u lo ......................................... . . . . . . .

PREFACIO

. . . . . .

9 14 18 24 26 30

C A PÍT U LO IT. Lím ite. C o n t in u id a d .................................................... § 1 . Definiciones principales ........................................t ................. § 2. Magnitudes infinitas! Criterios do oxistoncia del límite . . . § 3. Funciones continuas .................................... > . ...................... § 4. Operación do hallar los límites. Comparación de las magnitudes infinitesimales ........................................................

32 32 34 37

C A PÍT U LO I I I . Derivada y diferencial. Cálculo diferencial . . . . § 1. Derivada. Velocidad do variación de la f u n c i ó n ........................ § 2 . Diferenciación de las funciones . . . . .................................... § 3. Diferencial. Dííerenciabilidad de la fu n c ió n ................................ § 4. La derivada como velocidad do variación (utros ejemplos) § 5. Derivación sucesiva ...................................................................

50 50 53 71 75 83

CAPÍTU LO IV. Análisis de las funciones y de sus gráficas . . . . § 1. Comportamiento de la f u n c i ó n .................................................... § 2. Aplicación de la primera d e r i v a d a ............................................ § 3. Aplicación de la segunda d e r i v a d a ........................................; § 4. Tareas complementarias. Resolución de e cu ac io n e s ................ § 5. Fórmula de Taylor y su a p l i c a c i ó n ........................................... . § 6. Curvatura ................................................................................... § 7. Problemas de c á l c u l o ...................................................................

90 90 91 102 105 113 115 118

C A PÍTU LO V. Integral d e fin id a ................................................................ § 1. Integral definida y sus propiedades más e le m e n ta le s............. § 2. Propiedades fundamentales de la integral d e f i n i d a ................

119 119 123

CA PÍT U LO V I. Integral indefinida. Cálculo in te g r a l............................ § 1. Métodos más simples do integración ............................ § 2. Métodos principales dó ih te g r a tíió n .................... ....................... § 3. Tipos principales de las funciones in te g r a b le s ........................

129 129 133 138

C A PÍT U LO V IL Métodos para calcular integrales definidos. Integra­ les i m p r o p ia s ............................................................... § 1. Métodos do integración e x a c t a ....................................................

146 146

40

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Indice

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§ 2. Métodos aproximados § 3. Integrales impropias

........................ ............................ .....................................................................

155 158

C A P ÍT U LO V I I I . Aplicaciones de 1« integra! , ..................................... § 1. Algunos problemas de geometría y de e s t á t i c a ......................... § 2. Algunos problemas de tísica .........................................................

164 164 181

C A P IT U L O IX . Series ........................................ § 1. Series numéricas ............................................................................. § 2. Series fu n c io n a le s ............................ .... . . ................................ S 3. Series de potencias ......................................................................... § 4 . Algunas aplicaciones de las series de Taylor .................................

192 192 197 201 204

C A P ÍT U L O X . Funciones de varias variables. Cálculo diferencial | 1. Funciones de varias variables ......................................................... § 2 . Propiedades más elementales de las funciones . . ..................... § 3. Dorivadas y diferenciales de las funciones de varias variables § 4 . Derivación de las funciones . . . . ............................ § 5. Derivación sucesiva . . . . . . . . . . . . .............................

208 208 210 215 219 223

C A P ÍT U L O X I. Aplicaciones del cálculo diferencial de las funciones de varias variables . . . . ......................................... § 1 . Fórmula do Taylor. Extremos de las funciones de varias variables § 2. Lineas planas . . . . . . ¡ . . . . . . . .......................... § 3. Función vectorial del argumento escalar. Líneas alabeadas. Superficies ..................................................................................... § 4. Campo escalar. Gradionte. Derivada respecto a la dirección.

228 228 234 236 242

C A P ÍT U LO X II. Integrales múltiples e integración m últiple . . . . § 1. Integrales dobles y t r i p l e s ............................................................. § 2. Integración múltiplo ..................................................................... § 3. Integrales en los sistemas de coordenadas polares, cilindricas y esféricas . . ................................................................................. § 4. Aplicaciones de integrales dobles y t r i p l e s ................................. § 5. Integrales impropias. Integrales dependientes del parámetro

245 245 246

CA PÍT U LO X I I I . § 1. Integrales § 2. Integrales § 3. Integrales

271 271 275 281

Integrales curvilíneas e integrales de superficie curvilíneas do primer género ..................................... curvilíneas de segundo género ................................. do superficio .................................................................

250 254 264

CA PÍTU LO X IV . Ecuaciones [diferenciales ............................................. § 1. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Ecuaciones de primer orden (continuación) .......................... § 3. Ecuaciones de segundo orden y de órdenes superiores . . . § 4. Ecuaciones linéalos . ......................... ■•..................................... § 5. Sistemas de ecuaciones d ife re n c ia le s ............................................. § 6. Problemas de cálculo .............................................................., . ,

285 285 298 302 306 312 315

CA PÍT U LO XV . Series trigonométricas ............................................. .... § 1 . Polinomios trigonométricos ............................................. $ 2. Series de Fourier ¿ ............................. § 3. Método de Krilov. Análisis arm ón ico .............................................

318 318 319 323

C A P ÍT U LO X V I. Elementos de la teoría del c a m p o ......................... RESPUESTAS A LOS E JE R C IC IO S . . . ............................................. SUPLEM ENTO. Tablas de ciertas funciones e le m e n ta le s ..................... .

324 331 465

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Capítulo I

Función

Funciones y formas de su expresión 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo plano es función del número de sus lados. Expresar analíticamente esta función. ¿Qué valores puede tomar el argumento? 2. La función y de x está dada en la siguiente tabla: Variable independiente x Función y ..........................

0 - i,5

Variable independiente x Función y ..........................

4 5 - 1 ,8 - 2 ,8

0,5 —1

6 0

1 0

1,5 3,2

2 2,8

3 0

7 1.1

8 1.4

9 1.9

10 2,4

Construir su gráfica, uniendo los puntos con una línea «suavé». Siguiendo la gráfica y determinando los valores de la función para x = 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, hacer la tabla «más com­ pleta». 3. La función viene expresada por la gráfica representada en la fig. 1. Pasar el dibujo al papel milimetrado, elegir la escala y unos

Fie. 1

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§ 1. Nociones elementales sobre la función

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Cap. I- Función

cuantos valores de la variable independiente. Después de leer en el dibujo- los valores de la función, correspondientes a los valores ele­ gidos de la variable independiente, formar la tabla de dichos valores. 4. La función viene dada por la gráfica representada en la fig. 2. Ateniéndose a la gráfica contestar a las siguientes preguntas: S'

Fig. 2

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6 5

a) ¿Qué valores de la variable independiente hacen que la función se anule? b) ¿Cuáles deben ser los valores do la variable independiente para que la función sea positiva? c) ¿Cuáles deben ser los valores de la variable independiente para que la función sea nagativa? 5. La fórmula de la ley de Coulomb expresa la relación do depen­ dencia que existo entre la fuerza F de interacción de dos cargas eléc­ tricas ex y e2, por una parte, y la distancia r que inedia entre ellas, por otra:

Poniendo e, = e2 = 1 y 6 = 1 formar la tabla de los valores de la función dada para r = 1,2, 3, . . 10 y construir su gráfica uniendo los puntos con una línea «suave». 6. Escribir la función que exprése la dependencia entre el radio r de un cilindro y su altura h siendo el volumendado V = 1. Calcular los valores do r, teniendo h los siguientes valores: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Construir la gráfica de la función. 7. Expresar el área de un trapecio isósceles de bases a y b como función del ángulo a de base a. Construir la gráfica de la función para a — 2, 6 = 1. 8. Expresar la dependencia entre la longitud b de un cateto de un triángulo rectángulo y la longitud a de otro cateto, siendo la hipo­ tenusa constante e igual a c = 5. Construir la gráfica de esta función.

www.elsolucionario.net § 1. Nociones, elementales sobra la función

11

9¿> Dadas las funciones'-

hallar: /{ O );/(l);/(2 );/ ( — 2); / ( - i ) V / ( / 2 ) ; | / ( 1 ) |;