Prob. Prop CAP III (Aguiar).docx

PROBLEMAS PROPUESTOS EJERCICIO Nº 04

q0

Solución 

Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0 M

M' V



V'

Para carga uniforme distribuida se tiene:

V   V 

  3 X  2 2 X 3   q0 2 ( x)dx  q0 1  2  3 dx 0  L      L

 L

L



0

q0 L 

2

L



 M  

2

   X   q 0 3 ( x)dx   q 0 X 1   dx 0    L  

 L

0

2

 M 

q 0 L 

V '  V '

12  L



0



0

 X 2   2 X   q0 2  3  dx  L    L  

q0 L 

 M ' 

2  L



0

 M '   

q0 5 ( x)dx 

L

  X 2    X   q0 6 ( x)dx  q0 1  dx 0  L    L   L

q 0 L2

12

Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

2

q0 L

q0 2

12

q0 L 12

q0 L

q0 L

2

2

EJERCICIO Nº 05

q0

Solución 

Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son:

q0 M

M' V



V'

Para carga uniforme distribuida se tiene:

V   V 



 L / 2



q0 2 ( x)dx 

0

 L / 2



0

  3 X  2 2 X 3   q0 1  2  3 dx  L      L

13q0 L 32

 M  

 L / 2



0

q0 3 ( x)dx 

 L / 2



0

2

   X   q0 X 1   dx    L  

2

 M 

11q 0 L 

V '  V '

192  L / 2



0



0

 X  2   2 X   q0 2  3  dx  L    L  

3q0 L 

 M ' 

32  L / 2



0

 M '   

q0 5 ( x)dx 

 L / 2

q0 6 ( x)dx 

 L / 2



0

  X  2    X   q0 1  dx  L    L  

5q0 L2 192

Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera:

2

5q0 L

q0 2

192

11q0 L 192

13q0 L

3q0 L

32

32

EJERCICIO Nº 06 q0

Solución 

Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son: q0

M

M' V



Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existe una pendiente:  P ( y) 

 X  

V'

q0

 P ( y)

 L



q0 X   L

Para carga uniforme distribuida se tiene:

V   V 



 L

  P ( y)  ( x)dx  2

0

L

0

q0 X    3 X  2 2 X 3   1  2  3 dx  L    L  L  

3q0 L 20

 M  

 L

  P ( y)  ( x)dx  3

0

L

0

2

q 0 X  2    X   1   dx  L    L  

2

 M 

q 0 L 

V ' 

30  L

  P ( y)  ( x)dx  0

5

L

0

q0 X 3   2 X   3  dx  L    L3  

V '

7q0 L 

 M ' 

20  L

  P ( y)  ( x)dx 

 M '  



6

0

L

0

q0 X 3    X    2 1  dx  L    L  

q 0 L2

20

Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera: q0

2

2

q0 L

q0 L

30

20 3q0 L

7 q0 L

20

20

EJERCICIO Nº 07 q0

Solución 

Distribuimos la carga uniforme a los largo de la barra (ejes locales), convirtiéndolo en cargas puntuales:

  n  a  s e q   

 q   0  L

0    

q 0L

De donde:  sen  

 H   H    L 2

2

y

 L

cos     H 

2

2

  L

L    c    o    s   

a    



Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida a los largo de la barra son: N     '    

M'

V'   a  e  n   L s q     q   0 0    

q0L

L    c    o    s   

a    

M N    

V



Para carga puntual se tiene: 2 2    H    L    q 0 LH    2 1  N   q0 Lsen( ) 1 ( x)  2 2  2 2   H    L  H    L      

q0 LH 

 N   2

 H 

2



2

L

2 3   2 2   2 2          3  H    L    H    L   2  2      2 2 q0 L         1   V   q 0 L cos( ) 2 ( x)   2 3 2 2   2 2 2 2  H    L  H    L  H    L        







2

q0 L

V   2

 H 

2



2

L

   2   H 2   L2 q0 L  M   q 0 L cos( ) 3 ( x)   2 2 2  H    L    

2 2 2        H    L    1    2  2 2    H    L         

2

 M 

q 0 L 

8

   H 2   L2     q 0 LH    2  N '  q 0 Lsen( ) 4 ( x)  2 2  2 2   H    L  H    L        N ' 

q0 LH  2  H 2   L2



2    2 2    H    L    2  2 q 0 L      V '  q 0 L cos( ) 5 ( x)  2 2 2  2 2  H    L  H    L    





  2 2       H    L    2 3   2 2 2    H    L         

2

q0 L

V '  2

 H 

2



2

 L

2     2 2       H    L     2 2 q 0 L       M '  q0 L cos( ) 6 ( x)  2 2 2 2  H    L   H    L    

  2 2       H    L   1   2 2 2    H    L         

2

 M ' 

q 0 L 



8

Entonces la viga con sus respectivas reacciones quedaría de la siguiente manera: q0 LH  2

2

 H 



2

L

2

q0 L 8

  a  e  n q      L s

 q   0

0    

q0L

2

L    c    o    s   

2

a    

q0 L 2

q0 L

2

 H 



2

L

8

q0 LH  2

2

 H 



2

L

2

q0 L 2

2

 H 



2

L

Para los siguientes ejercicios, selecciones un sistema de coordenadas Q – q y encuentre la expresión de las elásticas horizontal y vertical del elemento BC en términos de las coordenadas q i y las funciones  1 ,  2 ,..., características del miembro.

EJERCICIO Nº 08 B

C

 A0  I0

A=

A=œ

œ

I0

I0

A

D

Solución 

El sistema de coordenadas Q – q es: 1

2

3 4





Para el elemento BC se tiene: u1



v1



 1



q1

u2



0

v2



q2

 2



q3

0 q4

Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):  L

 1 ( x)



1

 X  



 L

1



2  L

1 

2

2

3 X  2

 2 ( x)  1 

2



2 X  3 3

 L

 L

3

  L    L  3  2  1 2 2  1    2     3    L

2

 L

2

   L   2    L  L    X   2  3 ( x)   X 1    1     L  2 8    L          L

 4 ( x)

 X  

 L

1

2





 L

2 2

 5 ( x) 

 X 

2

2

 L

  L      L   2        2 X     2     2    1 3    2 3   L    L  2  L        

  L    2  X     X     2   6 ( x)   1      L    L    L 

2

    L      1    2      L   L  8      

Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica: u( x)  u1 1 ( x)  u2 4 ( x) u ( x)



1 2

q1

1



2

q3

( )  v1 2 ( x)   1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x)

v  x

u ( x)

 L 

8

q2

 L 

8

q4  ( x)



v

' ( x)

2 2   X     X      X    ( x)  1    1 X 1     2 d ( x)   L    L    L         4 X  3 X  2     2 X  3 X  2    2    2    2   ( x)   1 1   L  L  L  L        

d 

Para x=L/2: 1 q1  ( x ) 4 



1 

4

q2

EJERCICIO Nº 09 B

 A0  I = œ

 A0

C

 I0

A0  I0

A

D

Solución 

El sistema de coordenadas Q – q es: 2

1

3

4





Para el elemento BC se tiene: u1



q1 cos    q 2 sen 

u2



q 4 cos  

v1



q 2 cos    q1 sen 

v2



q 4 sen 

 1



q3

 2



De acuerdo a la figura 4 u1



v1



 1



5



37º :

3 q1



q2



4 5

 

5

q2

u2



q1

v2



3

q3

5

4 5

q4

3 5

 2  0

q4

0



Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):  L

 1 ( x)

1



 X  



 L

1

1

2





 L

2 2

3 X  2

 2 ( x)  1 

2



 L

2 X  3 3

 L

3

  L    L  3  2  1 2 2  1    2     3    L

 L

2

2

   L   2    L  L    X   2  3 ( x)   X 1    1     L  2 8    L          L

 4 ( x)

 X  



 L

2  L

1 

2 2

 5 ( x) 

 X 

2

2

 L

  L      L   2        2 X     2     2    1 3    2 3   L    L  2  L        

  L    2  X     X     2   6 ( x)   1      L    L    L 

2

    L      1    2      L   L  8      

Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica: u( x)  u   ( x)  u   ( x) 1 1 2 4 u ( x)  v( x)



u ( x) 

 ( x)



1  4

3   2  q1  q 2   q 4 2  5 5   5

v1 2 ( x)   1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x)

1  4

3    L 3  q 2  q1   q3  q 4 2  5 5   8 10

v

' ( x)

2 2    3 X  2 2 X  3   2 X    X       X      ( x)   v1 1  2  3    1 X 1    v2 2  3  d ( x)     L    L    L  L    L      

d 

  6 X  6 X  2     4 X  3 X  2    6 X  6 X  2      1 1   ( x)  v1   2   2   v2  2  3  3    L  L  L  L    L            L Para x=L/2: 3  4 3   1 9  ( x)   q4  q 2  q1   q3  2 L  5 5   4 10 L

EJERCICIO Nº 10 C

 A0  I = œ

 A0  I0

B

A0  I0

A

Solución 

El sistema de coordenadas Q – q es: 4

2 3

1





Para el elemento BC se tiene: u1



q1 cos    q 2 sen 

u2



q 4 cos  

v1



q 2 cos    q1 sen 

v2





 1



q3

 2



0

De acuerdo a la figura 4 u1



v1



 1



5



37º :

3 q1



q2



4 5

 

5

u2



q1

v2



3

q3

5

4

q2

5

 2  0

q4

3 5

q4

q 4 sen 

D



Evaluamos las funciones de forma en el punto medio del elemento BC (X=L/2):  L

 1 ( x)

1



 X  



 L

1

1

2





 L

2 2

3 X  2

 2 ( x)  1 

2



 L

2 X  3 3

 L

3

  L    L  3  2  1 2 2  1    2     3    L

 L

2

2

   L   2    L  L    X   2   3 ( x)   X 1    1    L  2 8    L          L

 4 ( x)

 X  



 L

 5 ( x) 

 X 

2  L

2

2

 L

1 

2

  L      2 X     2  3   2  L  L    

2

    L   2     3    2    1   L  2      

  L    2  X     X     2   6 ( x)   1      L    L    L 

2

    L      1    2      L   L  8      

Reemplazamos las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica: u( x)  u   ( x)  u   ( x) 1 1 2 4 u ( x) 

1  4

3   2  q1  q 2   q 4 2  5 5   5

( )  v1 2 ( x)   1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x)

v  x

u ( x )   ( x)



1  4

3    L 3  q 2  q1   q3  q 4 2  5 5   8 10

v

' ( x)

2 2    3 X  2 2 X  3   2 X    X       X    ( x)   v1 1  2  3    1 X 1    v2 2  3  d ( x)     L    L    L  L    L      

d 

  6 X  6 X  2     4 X  3 X  2    6 X  6 X  2      1 1   ( x)  v1   2   2   v2  2  3  3    L  L    L    L        L    L Para x=L/2: 3  4 3   1 9  ( x)   q4  q 2  q1   q3  2 L  5 5   4 10 L

EJERCICIO Nº 11

Encontrar v(x) en el punto medio (x = 2.5 m) del vano derecho del pórtico en la siguiente figura, donde todos los elementos son totalmente flexibles: 35.4 kg/cm B

C

30x40

25x25

30x25

 

25x25

A

E

25x25

F

D

Solución 

El sistema de coordenadas Q – q es: 2

1

5 3

8 7

4 6



El cálculo del vector de coordenadas generalizadas computación:

9

q, se obtuvieron utilizando un programa de

  0.4069752    0.1181176    4   8.759498 x10    0.4152865    q    0.4196969   4  6 . 020483 10   x     0.4336346     0 . 1657211     3.315262103    

Para el cálculo de v(x), es necesario encontrar las coordenadas locales del miembro CE: v1



q5



 1



q6



v2

 2





q8

q9

0.4196969mm.



6.020483 x10

4





rad .

0.1657211mm.

 

3.31526210 x10 3 rad .

 





Evaluamos las funciones de forma en X = 2.5 m:  2 ( x)  1 

3 X  2 2



2 X  3 3

 L

 L

 1

32.5

3



52

2

22.5

2

 0.5m.

53

2

5   2.5     X    3 ( x)   X 1    1    0.5m. 2 5  L        

 5 ( x) 

 X 

2

 L

 6 ( x)   



24 EI 

2

 X 

2

 L

2.5    X   1     5    L  

2

  2.5  1    0.625m. 5    

35.4

 30 x 403   24 x 217370 x 65  12     

1

 4.241028 x10 11

cm

3

Luego:  X 



  2 X   2.5   22.5  3   3    0.5m. 5    L   5 2    

Por otra parte el factor P 0/24EI es:  P 0



2

4

  X 

2

2

 L



3

2 X   L



2.5

4



2

2.5  x5

2



3

2 x 2.5  x5



39m

4



12

39 x10

4

mm .

Luego se reemplaza en la siguiente ecuación: v( x)



v1 2 ( x)   1 3 ( x)  v2 5 ( x)   2 6 ( x) 

( )

 

( )



v  x

v  x

0.4196969 x0.5 6.020483 x10 

4



 P 0

24 EI 

 X 

4

  X 

2

2

 L



2 X  3 L 

500 0.1657211 x0.5 3.31526210 x10

 x





3



 x



625 4.241028 x10 

4.319773 mm.

Ésta es la deformación instantánea en el centro del segundo vano, el signo m enos indica que en ese punto el eje de la viga se desplaza hacia abajo.

14



39 10  x

12

EJERCICIO Nº 12

Deducir las ecuaciones correspondientes al momento y cortantes en el nudo inicial de una viga de sección constante con carga trapezoidal. q0

Solución 

Las reacciones en la viga con carga uniformemente repartida son: q0

M

M' V



V'

Teniendo presente que la variable Y corresponde a la variación de carga P(y) y que existen dos pendientes, y una uniforme: Para 0