Pro. Oscilador Resuelto

Relación de problemas: Tema 4

1.-Un oscilador armónico del tipo bloque-muelle con k=23 N/m y m=0.47 kg tiene una energía mecánica de 25 mJ. a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?  b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bloque? c) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando x=11 mm? d) ¿Cúal es la distancia del bloque al centro cuando el módulo de su velocidad es de 0.25 m/s?

a) Datos:

k = 23 N / m m = 0.47 kg   E = 25 mJ = 0.025 J  1 2 E  2 ⋅ 0.025  E = kA2 → A = = = 0.04662 m 2 k  23  A = 0.04662 m

 b)

1 mv 2 2 1 2 E   Ec max = mvmax 2 = E → vmax = = 2 ⋅ 0.025 = 0.326 m / s 2 m 0.47  Ec =

vmax = 0.326 m / s

c)

1 1  E = mv 2 + kx 2 2 2 2 E − kx 2 2 ⋅ 0.025 − 23 ⋅ 0.011 v= = m 0.47 v = 0.31695m / s

1

d)

1 1  E = mv 2 + kx 2 2 2 2 E − mv2 2 ⋅ 0.025 − 0.47 ⋅ 0. 0.252  x = = k  23  x = 0.02994 m

2.-Un reloj de péndulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en un lugar donde g= 9.823 m/s2 retrasa 40 s por día cuando se lleva a otro lugar geográfico. ¿Cuánto vale g en ese lugar?

En un día retrasa 40 s. Luego el reloj con la nueva g tarda 3600·24·T+40 segundos en marcar un día, donde T es su periodo (en segundos). Luego:

T  =

3600 ⋅ 24 + 40 3600 ⋅ 24

Sabemos que para un péndulo:

T  =

l   g 

Si con g , T=1s → l = g1 1

1 T 2 T 2 1  3600 ⋅ 24+40  Entonces:  = = =    g l  g1 g1  3600 ⋅ 24  g 2 = 9.814 m / s

3.-Un muelle tiene una longitud natural de 15 cm. Cuando le colgamos una masa de 50 g, queda en reposo con una longitud de 17 cm. Si ahora lo estiramos 5 cm, calcular: a) La ecuación del movimiento (en la forma cosenoidal) si ponemos en marcha el cronómetro cuando la masa pasa por primera vez por la posición de equilibrio.  b) Los valores de la elongación elon gación para los cuales cuale s la aceleración valga valg a amax/2. c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa desde su posición más baja hasta la primera de las posiciones anteriores.

2

mg  50 ⋅ 9.8 ⋅10−3 k= = = 24.5 kg / s 2 − 2 ∆ x0 2 ⋅10 a)

 x = Asen (ωt + φ ) con ω 2 =

k k  ; ω =  = 22.14 rad / s m m

φ  = 0 ya que en t = 0 pasa por la posición de equilibrio. A= Amplitud o elongación máxima = 5 cm x=5sen (ω t+0 )  x = 5senω t   b)

dx = ω A cos (ωt + φ ) dt  dv a= = −ω 2 Asen (ωt + φ ) = −ω 2 Asen (ωt + 0 ) → amax = −ω 2a   dt  a A 1 1 a = max = −ω 2 → senωt = → x = 5senω t =  5 2 2 2 2  x = 2.5 cm v=

 x (elongación correspondiente a

a max  A )= ± 2.5 cm = ± 2 2

3

c) − A

−A

∫

∫

2

2

− A

2

 2 1 1   A  1 W = Fdx = −kxdx =− kx 2  = − k  −  + kA = 2 2  2 2  − A − A −A 2

= 1 kA2 − 1 k  A = 3 kA2 ≈ 0.023 J   2 2 4 8 W = 0.023 J 

4.-Con un muelle, colgado de uno de sus extremos, se observa lo siguiente: (1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g, su longitud inicial aumenta 15 cm. (2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posición de equilibrio, el sistema efectúa un m.a.s. Calcular para la situación (2): a) El periodo de oscilación.  b) La velocidad máxima alcanzada por el cuerpo. c) La aceleración máxima. d) La aceleración y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino entre la posición de equilibrio y una de sus posiciones extremas. e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto, partiendo de la posición de equilibrio.

(1)  F = −kx m g  0.5 ⋅ 9.81 k= 1 = = 32.7 N / m  x 0.15 ( 2)

( a) ω=

m k  2π  ; T= = 2π  2 = 1.55 s m2 k  ω 

T = 1.55 s b)  x = A sin (ωt + φ ) ; v = vmax = ω A =

k  A m2

dx = ω A cos (ωt + φ ) ; a = dv = −ω 2 Asen (ωt + φ )   dt dt   vmax = 0.81m / s

4

c) amax = ω 2 A = d )  A = Asenωt 2

k  A m2

amax = 3.27 m / s 2

(φ = 0 )

senωt =

 A  v   = ω A cos ωt = ω A ⋅ 0.866 2  A  Aω 2 a  = 2 2

1 → ωt = 30º   2  A v   = 0.699 m / s  2

 A a   = 1.635 m / s 2  2

e) m 1 → ω t = π → t = π = π  2 2 6 6ω  6 k 

enωt =

t = 0.13 s

5.- Si la Tierra fuese una esfera homogénea y se hiciese un pequeño conducto recto de  polo a polo, al dejar caer por él un cuerpo, éste adquiriría un m.a.s.. ¿Por qué? Calcule el periodo de ese movimiento.

Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la Tierra: RT y no compensa cuando sube (T1 l 0  x   F x = F cosθ  = F    L   l 0   x d 2x   L = l + ∆l  F x = −k ( L − l0 ) = −k 1 −  x = m 2  L L dt     F = −k ( L − l 0 )    l   l −l    l0 l l = 0 ≈ 0 → ω  = k 1 − 0  = k   0   L l + ∆l l m l  m  l  

ω  =

k   l − l 0    m  l  

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