Pritisak i Zatezanje Klasicna Teorija

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

P2/1

P8. Dimenzionisati stub pravougaonog poprečnog preseka, širine 30 cm, opterećen silama pritiska usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja. Uticaj izvijanja se može zanemariti. Ng = 500 kN

Np = 1000 kN

MB 30

GA 240/360

Dopušteni središnji napon u betonu se određuje prema članu 122 Pravilnika BAB 87. Pretpostavlja se da je manja dimenzija stuba min(b,d) ≥ 20 cm, pa sledi: MB 30

ss = 8 MPa = 0.8 kN/cm2

Þ

Iz veze napon-dilatacija (za oba materijala važi Hooke-ov zakon) i uslova zajedničkog rada betona i čelika sledi jednakost dilatacija, odnosno: eb =

sb s E = ea = a Þ sa = a ´ sb = n ´ sb Eb Ea Eb

U proračunu po teoriji dopuštenih napona se usvaja vrednost broja ekvivalencije n=10, bez obzira što je stvarni odnos modula deformacije čelika i betona manji. Dakle, napon u armaturi je desetostruko veći od napona u betonu ss, što je znatno manje od dopuštenih vrednosti napona u armaturi i za glatku i za rebrastu armaturu (član 124 PBAB). Uslov ravnoteže normalnih sila može napisati u obliku: N = Ab ´ s b + Aa ´ s a = Ab ´ s b + Aa ´ n ´ s b = s b ´ (Ab + n ´ Aa ) = s b ´ Ai gde je sa Ai označena tzv. idealizovana površina preseka.Uslov ravnoteže momenata savijanja identički je zadovoljen ukoliko se usvoji simetričan presek, armiran tako da se težište betonskog preseka i usvojene armature poklapaju i nalaze na napadnoj liniji spoljašnje sile. Gornji izraz se piše i u obliku: æ A ö N = Ab ´ s b ´ çç1 + n ´ a ÷÷ = Ab ´ s b ´ (1 + n ´ m ) Ab ø è pri čemu se za napon u betonu usvaja dopuštena vrednost ss, a za procenat armiranja m po pravilu minimalna vrednost mmin = 0.6%: N = 500 + 1000 = 1500 kN m = 0.6% Þ Ab ,potr . =

d potr . =

Ab ,potr . b

=

N 1500 = = 1769 cm2 -2 ss ´ (1 + n ´ m ) 0.8 ´ 1 + 10 ´ 0.6 ´ 10

1769 = 59 cm 30

(

Þ

)

usvojeno d = 60 cm

Dobijena vrednost je veća od 20 cm, pa je učinjena pretpostavka o dimenizijama elementa (min(b,d) ≥ 20 cm) zadovoljena. U protivnom, bila bi sprovedena korekcija dopuštenog napona i proračun bi bio ponovljen. Aa,potr. = m×Ab,potr. = 0.6×10-2×1769 = 10.61 cm2 Þ usvojeno: 8Ø14 (12.32 cm2)

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

a I = a0 + Øu +

P2/2

Ø 1.4 = 2.5 + 0.8 + = 4.0 cm 2 2

ì min( b ,d ) = 30 ü ï ï eu £ í15Ø = 15 ´ 1.4 = 21ý = 21 cm Þ ï ï 30 î þ

usvojeno UØ8/20

1 2Ø14

18

2 UØ8/20, 3 UØ8/20

17

1 2Ø14 2 UØ8/20

8

17

1 2Ø14

21

21

55

55

25

8 25

3 UØ8 L=108 (0) 25

4

60

4

25

2 UØ8 L=176 (0)

1 2Ø14 4

22

4

30

P9. Dimenzionisati stub iz primera P8, ukoliko se umesto pravougaonog usvoji kružni poprečni presek. Uticaj izvijanja se može zanemariti. Potrebna površina betona i armature ne zavise od oblika preseka, pa sledi: Dpotr . =

4 ´ Ab ,potr . = p

4 ´ 1769 = 47.6 cm p

2 UØ8/20

usvojeno D = 50 cm 4

Aa,potr. = 0.6×10-2×1769 = 10.61 cm2

Napominje se da se kod kružnog preseka ne sme usvojiti manje od šest profila. D = 50 ì ü ï ï eu £ í15Ø = 15 ´ 1.6 = 24 ý = 24 cm ï ï 30 î þ BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

42

1 6Ø16

4

usvojeno: 6Ø16 (12.06 cm2)

50

Naravno, moguće je usvojiti istu armaturu kao u prethodnom primeru, ali i:

Þ

usvojeno UØ8/20

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

P2/3

P10. Dimenzionisati stub iz primera P8, ukoliko je presek pravougaoni, dimenzija 30/50 cm. Zadate dimenzije preseka i kvalitet materijala ne menjati. U ovom slučaju je jedino moguće iz uslova ravnoteže normalnih sila odrediti potrebnu površinu armature, tako da ne bude prekoračen dopušteni napon u betonu (sb = ss):

14 4.5

1500 - 30 ´ 50 ´ 0.8 = 37.5 cm2 10 ´ 0.8 usvojeno: 8Ø25 (39.27 cm )

1 2Ø25 3 UØ8/30 1 2Ø25 2 UØ8/30

4.5 14

2

50

Aa =

13

N = sb ´ (Ab + n ´ Aa )

1 2Ø25

N - Ab ´ ss Þ Aa = n ´ ss

min( b ,d ) = 30 ì ü ï ï eu £ í15Ø = 15 ´ 2.5 = 37.5 ý = 30 cm ï ï 30 î þ

1 2Ø25 4.5

usvojeno: UØ8/30

1 2Ø14 4 17

Formulacija »trenutak t=0« podrazumeva da se sračunaju naponi ne uzimajući u obzir uticaj tečenja i skupljanja betona. Pri proračunu napona je uobičajeno da se koristi stvarni odnos modula deformacije čelika i betona:

18

GA 240/360

3 UØ8/20

17

MB 30

1 2Ø14

1 2Ø14 2 UØ8/20

4

Np = 1000 kN

60

Ng = 500 kN

1 2Ø14 4

Þ Eb = 31.5 GPa (član 52. PBAB 87)

n=

4.5

30

P11. Stub pravougaonog poprečnog preseka, armiran prema skici, napregnut je silama pritiska usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja. Potrebno je sračunati napone i dilatacije u betonu i armaturi (trenutak t=0) usled ukupnog opterećenja.

MB 30

21

22

4

30

Ea 210 = = 6.67 Eb 31.5

Aa = 12.32 cm2 sb =

Þ

Ai = Ab + n×Aa = 30×60 + 6.67×12.32 = 1882 cm2

N 500 + 1000 = = 0.796 kN/cm2 = 7.96 MPa Ai 1882

sa = n×sb = 6.67×7.96 = 53.1 MPa eb =

sb 7.96 s = = 0.253‰ = ea = a 3 Eb 31.5 ´ 10 Ea

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

P2/4

P12. Za stub iz prethodnog primera sračunati napone i dilatacije u betonu i armaturi, uvodeći u proračun efekte skupljanja i tečenja betona (trenutak t→¥). Smatrati da se element nalazi »napolju« (vlažnost sredine ≈70%) i da je opterećenju izložen pri starosti od 28 dana. Skupljanje je proces nezavisan od nivoa spoljašnjeg opterećenja. Tečenje je povećanje početne (elastične) deformacije usled dugotrajnog (stalnog) opterećenja. Kada eksploatacioni naponi ostaju u granicama sb ≤ 0.5×fpr, za uspostavljanje veze napon-dilatacija za beton koristi se linearna teorija tečenja (član 62. Pravilnika BAB 87)1: ebt =

1 ´ (at ´ sbt + bt ´ sb0 ) + est Ea

gde su bezdimenzione veličine at i bt definisane kao: at = n ´ (1 + c ´ j )

bt = n ´ (1 - c ) ´ j

;

Korišćene su sledeće oznake: ebt sb0 sbt j c

-

ukupna deformacija betona u posmatranom trenutku vremena t početni (elastični) napon u betonu napon u betonu u posmatranom trenutku t koeficijent tečenja – odnos deformacije tečenja i elastične deformacije koeficijent starenja, koji zavisi od istorije nanošenja opterećenja i uobičajeno se usvaja kao c = 0.8 - deformacija skupljanja u posmatranom trenutku vremena t

est

Naponi u betonu i armaturi usled skupljanja betona Za datu vlažnost sredine i srednju debljinu elementa dm, krajnja vrednost skupljanja je određena članom 57. Pravilnika BAB 87: dm =

2 Ab 2 ´b´d 30 ´ 50 = = = 18.75 » 20 Ob 2 ´ ( b + d ) 30 + 50

Þ es¥ = 0.34‰

Konačna vrednost koeficijenta tečenja je, za iste parametre i starost betona pri opterećenju od 28 dana, određena članom 59. Pravilnika BAB 87: dm ≈ 20 cm, wl = 70%, t = 28 dana

Þ

j¥ = 2.6

Naponi u betonu i armaturi SAMO usled skupljanja određeni su kao: sbet = -

m=

m ´ Ea ´ est 1 + at ´ m

;

saet =

1 ´ Ea ´ est 1 + at ´ m

12.32 = 0.0068 = 0.68% 1500

1

Za detaljnije informacije o proračunu vremenskih deformacija: Mirko Aćić, Aleksandar Pakvor, Života Perišić - Teorija armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija, Naučna knjiga, Beograd 1983, Poglavlje IV – granična stanja upotrebljivosti.

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

at = 6.67×(1+0.8×2.6) = 20.53 sbet = saet =

P2/5

;

bt = 6.67×(1-0.8)×2.6 = 3.47

0.0068 ´ 210 ´ 10 - 3 ´ 0.34 ´ 10 3 = -0.43 MPa (zatezanje) 1 + 0.0068 ´ 20.53

1 ´ 210 ´ 10 - 3 ´ 0.34 ´ 10 3 = 62.6 MPa (pritisak) 1 + 0.0068 ´ 20.53

ebt =

1 20.53 ´ ( -0.43 ) ´ (at ´ sbt + bt ´ sb0 ) + est = + 0.34 = 0.298‰ Ea 210 ´ 10 3

eat =

saet 62.6 = = 0.298‰ = ebt Ea 210 ´ 10 3

Naponi u betonu i armaturi usled stalnog opterećenja sGb0 =

G 500 = = 0.266 kN/cm2 = 2.66 MPa Ai 1882

sGa0 = n ´ sGb0 = 6.67×2.66 = 17.7 MPa eGb0 =

sGb0 2.66 sGa0 G = = 0 . 084 ‰ = e = a0 Eb 31.5 ´ 10 3 Ea

U slučaju centrično pritisnutih elemenata, vrednosti napona u betonu i armaturi u toku vremena se dobijaju množeći elastične (trenutne) vrednosti ovih napona koeficijentima abFt, odnosno aaFt 2: abFt = 1 -

n ´m´j 6.67 ´ 0.0068 ´ 2.6 =1 = 0.896 1 + at ´ m 1 + 20.53 ´ 0.0068

sGbt = abFt ´ sGb0 = 0.896×2.66 = 2.38 MPa aaFt = 1 +

j 2.6 =1 + = 3.28 1 + at ´ m 1 + 20.53 ´ 0.0068

sGat = aaFt ´ sGa0 = 3.28×17.7 = 58.1 MPa Dilatacije usled stalnog opterećenja: at ´ sGbt + bt ´ sGb0 20.53 ´ 2.38 + 3.47 ´ 2.66 e = = = 0.277‰ Ea 210 ´ 10 3 G bt

sGat 58.1 e = = = 0.277‰ = eGbt 3 Ea 210 ´ 10 G at

2

Aćić, Pakvor, Perišić - Teorija armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija, str. 259

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

P2/6

Naponi u betonu i armaturi usled povremenog opterećenja sPb0 =

P 1000 = = 0.531 kN/cm2 = 5.31 MPa Ai 1882

saP0 = n ´ sPb 0 = 6.67×5.31 = 35.4 MPa ePb0 =

sPb0 5.31 sPa0 P = = 0 . 169 ‰ = e = a0 Eb 31.5 ´ 10 3 Ea

Ukupno, stalno + povremeno opterećenje + skupljanje sbt = 2.38 + 5.31 + (-0.43) = 7.26 MPa sat = 58.1 + 35.4 + 62.6 = 156.1 MPa ebt = 0.277 + 0.169 + 0.298 = 0.744‰ = eat =

sat 156.1 = Ea 210 ´ 10 3

Kontrola uslova ravnoteže normalnih sila: SN = Ab×sbt + Aa×sat = 1800×0.726 + 12.32×15.61 = 1500 kN = G+P

P13. Dimenzionisati konzolni stub, visine 3.0 m, pravougaonog poprečnog preseka, širine 30 cm, opterećen silama pritiska usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja. Ng = 500 kN

Np = 1000 kN

MB 30

GA 240/360

Problem izvijanja se po klasičnoj teoriji rešava povećanjem zahtevanog procenta armiranja i smanjenjem dopuštenog napona u betonu (članovi 189. i 126. Pravilnika BAB 87). Najpre se utvrđuje vitkost stuba, koja pri proračunu po teoriji dopuštenih napona treba da se nalazi u granicama od 50 do 120. Kako jedna dimenzija preseka nije poznata, pretpostavlja se da je ona veća od poznate b=30 cm, pa širina postaje merodavna. Ukoliko se pretpostavka pokaže pogrešnom, proračun se ponavlja.

ib =

lb =

Jb = A

b ´ d3 12 = b = 30 = 8.66 cm b´d 12 12

Li ,b 2 ´ H 2 ´ 300 ì > 50 = = = 69.3 í ib ib 8.66 î< 120

Dopušteni napon u betonu pri ovoj vitkosti: si = 1.4 ´ ss - 0.4 - (ss - 1) ´

l 69.3 = 1.4 ´ 8.0 - 0.4 - (8.0 - 1) ´ = 6.92 MPa 125 125

Posebno se naglašava da se vrednost dopuštenog središnjeg napona u betonu ss (član 122 PBAB 87) u izraz za si unosi u MPa. BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

m min . =

P2/7

l 69.3 - 0.4 = - 0.4 = 0.986% 50 50

Uvrštavanjem dopuštenog napona si i minimalnog procenta armiranja u uslov ravnoteže normalnih sila, sledi: Ab ,potr . =

d potr . =

N 500 + 1000 = = 1973 cm2 -2 si ´ (1 + n ´ m min . ) 0.692 ´ 1 + 10 ´ 0.986 ´ 10

(

Ab ,potr . b

=

1973 = 65.8 cm 30

Þ

)

usvojeno d = 65 cm

Dobijena vrednost je veća od b=30 cm, pa je učinjena pretpostavka o merodavnoj dimeniziji za izvijanje zadovoljena. U protivnom, bila bi sprovedena korekcija dopuštenog napona i proračun bi bio ponovljen.

1 2Ø20

Aa,potr. = m×Ab,potr.

U ovom slučaju je usvojena nešto manja površina preseka nego što je proračunom dobijeno. Međutim, usvojena je nešto veća površina armature, pa je napon u betonu u dopuštenim granicama: 2

19 18

usvojeno: UØ8/30

1 2Ø20

3 UØ8/30 1 2Ø20 2 UØ8/30

4.5

ì min( b ,d ) = 30 ü ï ï eu £ í15Ø = 15 ´ 2.0 = 30 ý = 30 cm ï ï 30 î þ

65

usvojeno: 8Ø20 (25.13 cm2)

19

4.5

Aa,potr. = 0.986×10-2×1973 = 19.45 cm2

1 2Ø20 4.5

21

4.5

30

Ai = 30×65 + 10×25.13 = 2201 cm sb =

N 1500 kN kN = = 0.681 < si = 0.692 2 Ai 2201 cm cm2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE

CENTRIČNI PRITISAK I ZATEZANJE

P2/8

P14. Dimenzionisati element pravougaonog poprečnog preseka, opterećen silama zatezanja usled stalnog, odnosno povremenog opterećenja. Zg = 300 kN

Zp = 400 kN

GA 240/360

Dopušteni napon u armaturi se određuje prema članu 124 Pravilnika BAB 87. Pretpostavlja se da će se koristiti profil Ø ≥ 14, pa sledi: GA 240/360

Þ

sa = 140 MPa = 14 kN/cm2

Kako je po definiciji sbz ≡ 0, iz uslova ravnoteže normalnih sila sledi: 1 12Ø25

11

2 UØ8/25

usvojeno: 12Ø25 (58.90 cm2) b ≥ 2×(2.5+0.8)+4×2.5+3×5.0 = 31.6 cm

20

300 + 400 = 50.0 cm2 14

4.5

Aa =

4.5

Z Zg + Z p Z = Aa ´ sa Þ Aa = = sa sa

3

4.5

8.5

9

8.5

4.5

35

d ≥ 2×(2.5+0.8)+3×2.5+2×3.0 = 20.1 cm usvojeno: b/d = 35/20 cm

P15. Sračunati napon i dilataciju armature za usvojeni presek iz prethodnog primera. Z = Zg + Zp = 300 + 400 = 700 kN Aa = 58.90 cm2 (12Ø25) sa =

Z 700 = = 11.88 kN/cm2 = 118.8 MPa Aa 58.90

ea =

sa 118.8 = = 0.566‰ Ea 210 ´ 10 3

3

Izuzetno, kod zatega se, radi kvalitetnijeg ugrađivanja betona, preporučuje da čisto horizontalno rastojanje armature bude bar 5 cm, kako je i prikazano na skici. BETONSKE KONSTRUKCIJE 1

TEORIJA DOPUŠTENIH NAPONA - PRIMERI ZA VEŽBE