Princípios de Telecomunicações 1 PDF

 

 

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

PRINCÍPIOS DE TELECOMUNICAÇÕES I ELE-31 - NOTAS DE AULA - v.1.0 - 1997

Prof F T Sakane

Colaboradores: AspOf M. Santiago Prof. Flávio Rezende Marques ( i n mem memori am) am)  

Departamento de Telecomunicações - IEET Divisão de Engenharia Eletrônica - IEE

SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP

 

 

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PRÓLOGO  Estas notas de aula são baseadas em livros-textos adotados no curso e não se destina a uso externo. Nào se busca,  portanto, originalidade no tratamento da matéria mas, basicamente, a sua organização e registro como memória de curso e roteiro para uso do(s) livro-texto(s). Os exercícios apresentados são uma coletânea daqueles apresentados aos alunos como séries ou provas, havendo, conseqüentemente, alguns muito semelhantes.  

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO I.1 - Programa do Curso Ementa: Elementos de um sistema de comunicações. co municações. Análise e representação de sinais e sistemas. Análise de Fourier: espectros contínuos e discretos, densidade espectral de potência e de energia. Sistemas lineares. Modulação linear e exponencial. Receptores para sistemas de modulação com portadora contínua. Amostragem e modulação de pulsos e por código de pulsos. Noções de comunicações digitais: modulação digital. Objetivo do Curso: apresentar noções de sistemas de comunicações co municações e, principalmente, como os sinais são representados, analisados e processados tendo em vista a sua transmissão (e recepção). r ecepção). Assim, ao final do curso, o aluno deverá ter plena compreensão sobre as formas de representação de sinais (determinísticos) nos domínios do tempo e da freqüência (e a relação entre elas) e sobre os processos de modulação mais comumente utilizados na prática. Requisitos principais: a matéria pode ser considerada uma matéria de "trigonometria aplicada" e, como tal, os alunos devem ter forte embasamento matemático em trigonometria, particularmente sobre as relações entre as funções trigonométricas. Bibliografia básica do curso1 

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12. A.B. CARLSON: Communication Systems, Systems, 3rd Ed., McGraw-Hill, 1986 1. Introdução 2. Análise de sinais e sistemas 3. Transmissão de sinais e filtragem 4. Probabilidade e variáveis aleatórias 5. Sinais aleatórios e ruído 6. Modulação CW  (  (continuous wave) linear 7. Modulação CW  exponencial  exponencial 8. Sistemas de modulação CW   9. Ruído em modulação CW 10. Amostragem e modulação de pulsos 11. Transmissão digital em banda-base 12. Modulação por código de pulsos 13. Codificação com controle de erros 14. Transmissão digital passa-faixas 15. Teoria da Informação

23. S. HAYKIN: An HAYKIN: An Introduction to Analog and Digital Communications, Communications , J. Wiley & Sons, 1989

1. Introdução 2. Análise de Fourier 3. Filtragem e distorção de sinais 4. Densidade espectral e correlação 1Em negrito os temas tratados nesta matéria 2Referência principal para o semestre 3Referência complementar

 

 

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5. Codificação digital de formas de onda analógicas 6. Interferência entre-símbolos e suas curas 7. Técnicas de modulação 8. Teoria da probabilidade e processos aleatórios 9. Ruído em modulação analógica 10. Receptores ótimos para comunicação de dados 34. B.P. LATHI - Sistemas de Comunicações, Comunicações, Guanabara Guanabara Dois, Dois, 1979 (tradução de livro de 1968) 1: Análise de sinais 2: Transmissão de sinais e espectros de densidade de potência M od odulação ulação em em Amp Amplilitude tude))   3: Sistemas Sistemas de de comunicações: comunicações: FM AM (( Modula 4:  Modulaçã ção o em F req reqüê üênc ncia) ia)  5: Sistemas de comunicações: modulação de pulsos 6: Ruído 7: Desempenho de sistemas de comunicações 8: Introdução à transmissão da informação 9: Elementos de comunicações digitais

Telecomunicações, McGraw-Hill do Brasil, 1976 45. J.C. MELO: Princípios MELO: Princípios de Telecomunicações, 1. Sinais determinísticos 2. Sinais aleatórios 3. Sistemas em amplitude 4. Sistema angular 5. Sistemas pulsados 6. Teoria da informação 56. H. TAUB e D.L. SCHILLING: Principles SCHILLING:  Principles of Communications Systems, Systems, 2d.Ed., McGraw-Hill, 1986 1. Análise espectral 2. Variáveis e processos aleatórios 3. Sistemas AM 4. Sistemas FM 5. Conversão Análogo-Digital 6. Técnicas de modulação digital 7. Representação matemática de ruído 8. Ruído em sistemas AM 9. Ruído em sistemas FM 10. Limiar em FM 11. Transmissão de dados 12. Ruído em sistemas PCM e DM 13. Teoria da informação e codificação 14. Sistemas de comunicação e cálculos de ruído 15. 16. Comutação Sistemas de telefônica comunicação de computadores 17. Modulação por espalhamento espectral

4Referência complementar 5Referência complementar 6Referência complementar

 

 

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I.2 - Elementos e limitações li mitações de sistemas de comunicações (adaptado de Carlson)  I.2.A - Função de sistemas sistemas de comunicação A principal função de um sistema de comunicações (Fig.1) é a transferência de informação. Contudo, para evitar a necessidade de se definir este conceito (assunto de outras disciplinas), d isciplinas), tratamos de mensagem, que pode ser definido como a caracterização física da informação, e de sinal, que é a representação da mensagem. No caso de comunicação por meios elétricos, sinais são representados por tensão ou corrente variantes no tempo ( sinais ( sinais elétricos ). elétricos  ).

Figura 1. Transmissão de informação (adaptado de Carlson)

I.2.B - Sinal ( i ) Conceituação:

"Sinal", para fins deste curso, é a representação de uma quantidade ou qualidade física (e.g. , temperatura, brilho, cor, pressão, etc.) que porta informação. Sinais podem pode m ter diferentes origens (e.g. biológica, mecânica), porém consideramos ser possível representá-los ou modelá-los através de funções de uma ou mais variáveis e, para transmissão via meios elétricos, tais funções por tensões ou correntes que variam, em geral, com o tempo ou distância (variáveis temporais ou espaciais). Obs.: Não iremos tratar neste curso curso de como transformar informação em sinal, mas de com como, o, dado um sinal, analisá-lo e transmití-lo ( ii ) Classificação (para fins acadêmicos): acadêmicos): 1. Real ou Complexo : Sinais podem ser representados representados por funções ou valores reais ou complexos. complexos. Exemplos:  f (t )  A cos(2  f 0 t )    f (t )  A exp( j 2 f 0 t )  A cos(2 f 0 t )  j Asen sen ( j 2  f 0 t )  

sinal real sinal complexo

2. Periódico ou Aperiódico (ou não-periódico) : Um sinal  f (t ) é periódico se  f (t )  f (t  nT 0 ) , onde n  é inteiro qualquer e T 0  é uma constante, denominado período. Exemplo (Fig.2):  f (t )  A cos(2  f 0 t )  é periódico, com período T 0



  n  f ( t )  A cos( 2 f 0 t )  A cos[2  f 0 ( t  )]   f ( t  nT 0 ) ,    f 0

1  f 0

 , pois

n inteiro

 

 

 

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Figura 2. sinal periódico Sinais aperiódicos são aqueles que não têm T 0  que satisfaça a condição de periodicidade. Exemplo (Fig.3):  f (t )  A exp( 

t 



) u( t )

1    se t  0 , onde A e  são constantes reais e  u (t )   se t   0 0

Figura 3. sinal aperiódico' 3. Analógicos ou Contínuos e Digitais ou Discretos Di scretos Sinais contínuos ou analógicos: são aqueles que podem pode m assumir qualquer valor em amplitude e no tempo (Obs.: para simplicidade de notação, consideramos a variável independente como tempo, sem perda de generalidade). Ex.: A tensão na saída do microfone tem parâmetros, como a amplitude e a freqüência, que variam de maneira análoga à variação da pressão acústica sobre o transdutor acusto-eletrônico, daí o uso da palavra análogo ou analógico para este tipo de sinais. sinais. Entretanto, essa terminologia tev tevee seu significado estendido de m modo odo a significar qualquer sinal contínuo, mesmo que não tenha sido gerado pela p ela transdução de um sinal físico contínuo. Exemplos.: Figs. 2 e 3 Sinais discretos no tempo e contínuos em amplitude: são sinais definidos apenas a iintervalos ntervalos regulares (quase sempre) de tempo e, portanto, representáveis r epresentáveis por seqüências de números. É o caso de sinais amostrados. Um exemplo de sinal amostrado (a intervalos não regulares) r egulares) é o conjunto de notas usadas para avaliar um aluno ao longo de um curso. O conhecimento ("amplitude" do sinal) dos alunos é contínuo mas tomam tomam-se -se apenas algumas amostras de tempos em tempos (através de provas) a fim de representá-lo. Um outro exemplo: o filme usado no cinema é um sinal amostrado e armazenado, no qual o sinal (imagem bi-dimensional) é contínuo no espaço (eixos x e y) e em amplitudes de cinza, caso de imagens preto branco), de porém discreto tempo, a umaataxa 24 ( Obs.:: Anoamostragem Obs. quadros por(níveis segundo. é umaem etapa doeprocesso conversão deno sinal analógico sinaldedigital a ser definido adiante). Exemplo (Fig.4).:  f (n)  Asen(2  nf 0 T ) , onde T  é  é o

período de amostragem,  f 0 

1 T 0

 é a freqüência da senóide

Figura 4. sinal discreto: senóide amostrada, de amplitude A amplitude A e  e T0  6T  (sinal contínuo  Asen(2 f 0t )  em  pontilhado)

 

 

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Sinais Quantizados: são aqueles contínuos no tempo mas que podem apenas assumir valores discretos em amplitude (Fig.5). Obs. Obs.:: A quantização também é uma etapa do processo de conversão conversão de sinal analógico a sinal digital.

Figura 5. sinal quantizado (senóide  –  em  em pontilhado –  quantizado  quantizado em sete níveis de amplitudes) Sinais Digitais: sinal digital é aquele discreto no tempo e em amplitudes, com estas codificadas numericamente, (com códigos numéricos ou palavras de comprimento finito, usualmente na forma binária). O  processo de digitalização (conversão (conversão analógico-digital ou A/D), portanto, requer discretização discretização no tempo (amostragem), discretização em amplitudes (quantização) e codificação numérica (associação de um código numérico aos diversos níveis de amplitude quantizados). A conversão digital-analógico digital -analógico (D/A) é um processo que, a  partir dos códigos representativos das amostras quantizadas de deve ve reconstituir o sinal contínuo. O Observe bserve que os  processos de amostragem amostragem e quantização (não necessariamente necessariamente nesta ordem) são fun fundamentais damentais na digitalização. Um Umaa vez que sistemas digitais operam com números (em ponto flutuante ou ponto fixo) de comprimento de código finito, o número de níveis de amplitude representáveis é limitado. Ex.: no caso de disco de áudio a laser (CD's), usa-se normalmente um código de 16 bits; conseqüentemente, 216  níveis digitais de amplitude a mplitude (antes da reconstituição do sinal analógico para reprodução). 4. Determinísticos e Aleatórios Um sinal é determinístico se não há nenhuma incerteza associada ao seu valor a qualquer instante. i nstante. Tais sinais podem ser completamente representados por funções no tempo, através de fórmulas matemáticas ou outros meios, como tabelas. Exemplos:  f (t )  A cos(2  f 0 t )  

1  u(t )   0

se t   0 se t   0

n 

 x(n) 

-1 0 1 ...

8.0 7.0 9.0 ...

Um sinal aleatório, a grosso modo, é aquele cujo valor específico a cada instante é incerto até o instante de sua manifestação. Esse tipo de sinal só pode ser caracterizado em termos de suas médias estatísticas, como o "valor médio" e "variância" ou "dispersão" (que reflete r eflete o espalhamento das amplitudes do sinal em torno de seu valor médio), entre outros, ou através de uma função "densidade de probabilidade",  p x ( x ) , (essa função reflete a  probabilidade de ocorrência de um certo valor de x) .Exemplo: caso da chamada densidade de probabilidade  gaussiana (Fig.6):  x é o valor alor mé dio    ( x  2    x)2  1  exp   p x ( x )   , onde  x   é a vari variâ ância ncia ou dispersão  2 x 2   x 2       x   é o desvio padrão

 

 

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Figura 6. função densidade de probabilidade gaussiana com média  x  é desvio padrão   Para o caso particular de um processo denominado "estocástico "estocástico estacionário" estacionário" , o sinal  x (t )  apresenta médias temporais iguais às estatísticas. Assim, um sinal gaussiano apresenta no tempo a distribuição de amplitudes gaussiana descrita pela função densidade de probabilidade acima e pode-se pode -se afirmar que o mesmo terá amplitude entre  x    x   e  x    x   durante aproximadamente 68% de sua sua duração, mas não se pode precisar quando ocorrerá determinado valor específico de amplitude. Cada "realização " realização"" (Fig.7) deste tipo de sinal apresentará uma forma de onda diferente, embora com as mesmas médias estatísticas (e temporais, neste caso). Em resumo, se for possível determinar o valor de um sinal em qualquer ponto de seu domínio, domínio , o mesmo será determinístico; caso a forma de onda seja imprevisível, o sinal será aleatório. Um caso particular part icular e importante de sinal aleatório gaussiano é o chamado ruído gaussiano branco de amplitude média nula e potência dada por   x 2 ,   x 2  1   e variando em torno do zero com a função densidade de probabilidade dada por  p x ( x )  exp   2 x 2   x 2 espectro de freqüências plano (constante) na faixa de interesse, utilizado como um dos principais modelos para o ruído em canais de comunicação (a ser definido adiante). O espectro de freqüências é tratado no Capítulo 2.

Figura 7. duas realizações de processo gaussiano de média zero e variância 1 5. Sinais de potência e sinais de d e energia: Em sistemas de comunicação por meios elétricos, os sinais são representados por tensão ou corrente. Considerando uma tensão v (t )  sobre um resistor R resistor  R , a potência instantânea dissipada pelo resistor é dada por: 2

 p(t ) 

v (t )  R

 Ri 2 (t )  

É convencional, em análise de sinais, supor R supor R normalizado  normalizado em 1. Nesse caso, a potência instantânea é numericamente igual ao quadrado da amplitude do sinal (seja tensão ou corrente). E Em m análise de sinais é usual trabalhar-se com esta potência instantânea normalizada e define-se, portanto potência (instantânea e normalizada, a menos de indicação em contrário) contrário) de (t )  de como: p( t )  f 2 (t )   De acordo com esta convenção, define-se a energia total de um sinal qualquer  f ( t )  como:

 

 

8 T 

 E

f

 lim

T 

2

(t )dt  

 T 

e a potência média como: 1

T 

 f  T 

 P  lim T 

2

(t ) dt  

 T 

Diz-se que (t )  é um sinal de energia se e somente se 0  E   . Diz-se que (t )  é um sinal de potência se e somente se 0  P     Regra geral: sinais periódicos e os aleatórios são sinais de potência.( power  power signal ) e os determinísticos d eterminísticos aperiódicos são sinais de energia (energy ( energy signal ). ). Pode-se provar que sinais de energia têm potência média nula, e um sinal de potência têm energia infinita.

I.2.C - Elementos de um sistema de comunicação Um sistema genérico de comunicações pode ser modelado como a seguir (Fig.8):

Figura 8. sistema de comunicação O transmissor  processa o sinal de entrada a fim fim de adaptá-lo ao canal de comunicaç comunicação ão desejado ou disponível. Normalmente envolve um processo de modulação e eventualmente codificação (este, principalmente nos casos de comunicação digital). o meio dede comunicação entre transmissor e o receptor. normalmente Ex: par de fios, cabo canal de de rádio comunicação coaxial,Oenlace , feixe deéluz, cabos fibras ópticas, etc.o O canal de comunicação envolve perdas ou atenuação do sinal e contaminação por ruído. Além disso, ocorrem distorções e interferências que  provocam mudanças na forma do sinal sinal transmitido. O receptor processa o sinal recebido para entrega ao transdutor de saída tendo como funções básicas: a ampliação do sinal (para compensar as perdas no canal), a demodulação e a decodificação (processos que revertem os de modulação e codificação no transmissor) e a filtragem (para reduzir efeitos de ruído e interferência - em em freqüências diferentes da do sinal sinal - e, eventualmente, de distorções - através de filtros equalizadores - na faixa de freqüências do sinal) OBSERVAÇÕES.: (1) Ruído (sinal aleatório, produzido por fontes naturais), interferência (sinal indesejável, gerado por  processos criados pelo homem) homem) e distorções (mudanças na forma de onda devido à resposta im imperfeita perfeita do sistema em relação ao sinal) podem ocorrer ocorr er em qualquer ponto do sistema de comunicação, mas é convencional concentrar o seu estudo no canal de comunicação, co municação, tratando o transmissor e receptor como ideais. Esses fatores (ruído, interferência, distorção), que também ocorrem no transmissor e no receptor, são dimensionados nesses dispositivos nos questão. limites da qualidade aceitável ou possível e, portanto, pode-se ignorá-los no estudo do sistema de comunicação em (2) Um sistema de comunicação comunicação pode ser classificado em (a) sistema simplex, quando a comunicação é feita em apenas um sentido (unidirecional); (b) sistema half-duplex, quando se pode estabelecer a comunicação nos

 

 

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dois sentidos, porém, sendo um de cada vez; e (c) full-duplex, quando a comunicação pode ser simultâneamente estabelecida nos dois sentidos (bidirecional). (3) Em geral, a filtragem é utilizada para reduzir ou minimizar o ruído r uído ou interferência em faixa de frequências diferentes daquelas do sinal. Existem processos através dos quais é possível reduzir o efeito do ruído que ocupe a mesma faixa de frequências do sinal, porém seu estudo foge do escopo deste curso. (4) O modelo de comunicações da Fig.8 é bastante geral e ppode ode ser utilizado para representar sistemas de telecomunicações (comunicações a distância, como os de telefonia e radio-difusão), r adio-difusão), assim como de outros processos como de gravação magnética e comunicação escrita. Neste curso serão considerados apenas os que utilizam meios elétricos e os estudos se concentrarão na análise de sinais e nos processos de modulação (e, conseqüentemente, conse qüentemente, de demodulação) na ausência de ruído.

I.2.D - Limitações fundamentais  No projeto de sistemas, sistemas, em geral, existem restrições (Fig.9) que, a ggrosso rosso modo, podem ser class classificadas ificadas em limitações de caráter tecnológico e de caráter físico. As primeiras têm, em princípio, soluções que dependem do desenvolvimento tecnológico, como no caso dos sistemas de TV com linhas de atraso e gravação de vídeo em fita cassette, ou soluções teoricamente viáveis. As de caráter físico, contudo, são restrições impostas pelas leis da natureza e que, portanto, estabelecem o limite do possível.

Figura 9. limitantes a projetos de engenharia  No caso de comunicação comunicação por meios elétricos, as principais limitações físicas fundamentais são a largura de faixa e o ruído:  (i) Largura de faixa: relacionada r elacionada com a velocidade de transmissão da informação. Como veremos mais adiante, sinais que variam rapidamente apresentam um conteúdo de frequências, descrito pelo seu espectro de freqüências, (a distribuição de energia entre e ntre as frequências que compõem o sinal é denominado espectro de energia), que se estende sobre uma "largura de faixa" maior. A largura de faixa, a grosso modo, é a diferença entre as frequências máxima máxima e mínima do sinal . Exemplos: Telefonia - 3100 Hz (faixa de 300 Hz a 3400 Hz) Áudio em rádio AM - 5 kHz Áudio em rádio FM - 15 kHz Vídeo em TV - 4,2 MHz (padrão M) OBS: (1) Todos os sistemas sistemas elétricos contém elementos elementos que armazenam energia energia e a energia armazenada não não pode ser mudada instantâneamente, o que significa limitação na velocidade de variação do sinal, ou seja limitação da largura de faixa. (2) Conseqüência da largura de faixa ser menor que a do sinal: distorção (na forma de onda) do sinal, que se torna tanto mais séria quanto menor for a largura de faixa do sistema em relação à do sinal. (ii) Ruído: é inevitável a qualquer temperatura acima do zero absoluto, po pois is a energia térmica faz com que as  partículas elementares exibam exibam um movimento aleatório e o movimento de partículas carregadas, com comoo elétrons, gera correntes (ou tensões) conhecidas como ruído térmico, presente em todos os sistemas elétricos. OBS: (1) Mede-se a potência potência relativa do sinal sinal e do ruído em termos de uma relação sinal-ruído (SNR ou S/N; ). Problemas surgem quando a relação S/N é "baixa", isto é, quando o nível de "contaminação do sinal pelo ruído".é significativo, mascarando o sinal..(a noção de baixo ou alto, significativo ou qualquer outra qualificação qual ificação que  possamos dar depende da aplicação aplicação e do sistema). sistema). Por exemplo, uma S/N de 1.000 (30 dB) é "boa "boa"" para recepção de rádio AM mas para um CD de áudio esta relação deve ser maior que 100.000 (50 dB). (2) Considerando os limites em largura de faixa e SNR, Shannon (1948) estabeleceu um limite superior para a transmissão de informação ( C apacidade apacidade de canal) como sendo: C  B log 2 (1 

onde:

S   N 

) 

bits/s

 B  é a Largura de Faixa S   N 

 é a relação entre potências do sinal e do ruído (gaussiano)

 

 

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Essa relação é também conhecida como a "Lei de Hartley-Shannon" e mostra que, dado um ccerto erto canal com largura de faixa fixa, quanto maior for a relação sinal/ruído, maior será a capacidade do canal, isto é, de transmissão de informação (detalhes sobre este tema são cobertos em e m outras disciplinas, como as de Teoria da Informação e Teoria de Comunicações).

I.3 - Modulação e Codificação São processos efetivados no transmissor, visando a uma transmissão tra nsmissão eficiente e confiável. Nesse curso será estudada a modulação de sinais sem a presença de ruído. Em Princípios de Telecomunicações II (EET-32), são analisados os casos de sinais e desempenho de sistemas de modulação na presença de ruído. A codificação de sinais,  particularmente para transmissão digital, é coberta pela disciplina Transmiss Transmissão ão de Dados (EET-88) e em outras em nível de pós-graduação.

I.3.A - Modulação É o tratamento dado ao sinal que se quer transmitir para melhor adequá-lo ao canal desejado ou disponível e,  basicamente, consiste consiste na variação sistemática de algum atributo de uma forma de onda, chama chamada da de (onda) portadora, tais como amplitude, frequência ou fase de acordo com o sinal que se deseja transmitir (sinal que representa a mensagem: o sinal modulador). Os processos de modulação podem ser geralmente classificados em algumas categorias básicas: (a) de acordo com a portadora: modulação de onda onda contínua (cw: continuous ontinuous  wave ave,, geralmente com um sinal senoidal como portadora) e modulação de pulsos (geralmente tendo como portadora um trem de pulsos retangulares). Na modulação cw, pode-se ter a amplitude (AM), freqüência (FM), ou fase (PM) da portadora variando de acordo com o sinal modulador. Na modulação de pulsos, a amplitude ( PAM), largura ou duração (PWM, sendo W de width idth), ), posição (PPM) ou freqüência ( PFM). Exemplos (Figs.10 e 11).:

Figura 10. modulação modulação cw (a) em amplitude: AM; (b) em freqüência: FM

Figura 11. modulação modulação de pulsos (a) amplitude (PAM); (b) duração duração (PWM) (ii) de acordo com o sinal modulador: modulação analógica, quando o sinal modulador é contínuo e modulação digital, quando o sinal modulador é pulsado (trem de pulsos). As Figs. 10 e 11 ilustram exemplos de modulação analógica. Os tipos básicos de modulação digital são, no caso de sinal modulador binário (o sinal modulador apresenta apenas dois estados ou níveis níveis), ), os de chaveamento chaveamento de  de fase (PSK ), ), freqüência (FSK ) e amplitude (ASK )).. OBS.:um os determinado vários tipos de modulação podem ser combinados e ospor citados acima únicos possíveis. Além disso, sistema pode utilizar vários deles, como exemplo emnão TV,são noos qual o sinal de áudio é transmitido em FM, as informações sobre côr em modulação de amplitude combinada com a de fase de uma subuma  sub-

 

 

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 portadora que, por sua vez, modula, junto com a informação sobre o brilho, uma portadora em AM (detalhes sobre  portadora que, o processamento de sinais em TV são vistos na disciplina Sinais em TV - EET-81).

I.3.B - Por quê modular Há várias aplicações para o processo de modulação dos sinais, dentre as quais as principais são: (i) Para transmissão transmissão eficiente: A transmissão a longa distância envolve sempre a propagação de ondas eletromagnéticas em meios abertos (e.g.: radiodifusão, rádio-enlaces) ou em meios confinados (e.g.: par de fios, cabo coaxial, fibras ópticas, guias de onda).Antenas só são eficientes quando suas dimensões são da ordem de grandeza do comprimento de onda, , do sinal (0,1 a 0,5 0,5 detalhes  detalhes na disciplina Antenas e Propogação, EMO-10). Por exemplo, um tom (senóide) de 1 kHz exigiria, para sua transmissão em meio aberto, antenas com dimensões da ordem de 150 km (     300 km); contudo, este mesmo sinal modulando uma portadora de 100 MHz requereria uma antena com cerca de 1,5m. Outros exemplos: TV-VHF, na faixa de 54 MHz a 216 MHz utiliza, na recepção, antenas com cerca de 1 m e TV-UHF, na faixa de 470 MHz a 890 MHz , antenas com cerca de 25 cm, embora o sinal modulador seja sej a o mesmo. (ii) Para reduzir problemas de "hardware": Usa-se modulação para "transladar" o "espectro de freqüências" (faixa de frequência ocupado pelo sinal) para faixas de frequências mais adequadas do ponto de vista de "hardware". Por exemplo, na gravação em fita magnética, a relação entre a maior e a menor frequências não pode exceder dez "oitavas" (o aumento de uma oitava em freqüência significa duplicar a frequência do sinal). Assim, um sinal de áudio, ocupando uma faixa de 15 Hz a 15 KHz tem um espectro que cobre 10 oitavas e, portanto, é possível a gravação direta. Contudo, um sinal de vídeo em TV ocupa uma faixa de aproximadamente 7,5 Hz a 4,5 MHz, o que significa cerca de 20 oitavas. Nesse caso, é necessário o uso de modulação para transladar o espectro. Em gravadores de uso doméstico, utiliza-se a modulação em freqüência (FM) para transladar o espectro de vídeo para a região de 1 a 6 MHz, passando a ocupar cerca de três oitavas. Em geral, circuitos eletrônicos têm custo e complexidade de "hardware" menor se a "largura de faixa fracionária" (definida como a largura de faixa do sinal dividida pela sua frequência central) for da ordem de 0,01 a 0,1 (1 a 10%). Por exemplo, no caso de sinais com espectros ilustrados na Fig. 12, é mais simples projetar sistemas s istemas ou circuitos com as características do segundo.

Figura 12. dois sinais de mesma largura de faixa, mas largura de faixa fracionária diferentes (fora de escala) (iii) Para reduzir efeitos de ruído, interferência e distorção É possível reduzir a influência de ruído e interferência interferência aumentando-se a potência do sinal, m mas as há circunstâncias em que processos de modulação podem ser mais eficientes. Por exemplo, a gravação de vídeo em FM em vez de AM (ambas (a mbas serviriam para a transladação do espectro do sinal de vídeo) reduz os efeitos que advir adviriam iam de flutuaçoes na amplitude do sinal (distorção e ruído aditivo). Obs: Um processo de "modulação em faixa-larga", como a FM em radio-difusão, promove a reduçã reduçãoo do ruído ao custo de uma maior largura de faixa (implícito na equação de Hartley-Shannon). (iv) Para alocação de frequências: frequências: Por exemplo, em radio-difusão (TV (T V e Rádio), diferentes estações em uma mesma "zona de cobertura" (área coberta pelo serviço, com determinado nível de qualidade) devem ter diferentes frequências de portadoras para que não haja interferências de uma estação em outra. (Fig.13)  Nesta mesma figura é ilustrado, de modo grosseiro, o princípio de recepção recepção "superheterodina "superheterodina"" de sinais de rádio, na qual os diversos canais (ou estações) de rádio são transladados, por modulação (ou "mistura"de freqüências),dopara um canal fixo em ecom m torno da mesmos chamadacircuitos "freqüência intermediária" ( FI)(ampliação, , a fim de simplificar o "hardware" receptor, fazendo que os de tratamento do sinal demodulação, etc.) possam ser aproveitados qualquer que seja a estação sintonizada. (v) Para multiplexagem em freqüência:

 

 

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Multiplexagem é o nome dado ao processo utilizado para se combinar vários sinais para transmissão utilizando um único canal, sendo as principais formas a FDM ( Frequency ( Frequency Division Multiplexing ) no qual os sinais ocupam  posições diferentes em freqüência freqüência e a TDM (Time (Time Division Multiplexing, mais utilizado em sistemas analógicos), no qual os sinais ocupam intervalos diferentes no tempo te mpo (usado mais freqüentemente em sistemas digitais). A modulação cw é utilizado para a FDM, por exemplo, para a transmissão FM-estéreo (Fig.14), na qual a informação adicional (sinal-diferença) para a geração dos sons nos no s canais esquerdo e direito é transmitida em uma faixa de freqüências diferente daquela que corresponde ao sinal da transmissão FM não estereofônica (mono-aural), sendo que tanto o sinal FM mono-aural como o estéreo ocupam a mesma faixa de transmissão (ou canal), e em e m telefonia (Fig. 15), na qual vários sinais de voz (até 1800) são multiplexados para transmissão utilizando um único cabo coaxial.

Figura 13. aplicação de modulação para alocação de estações e para transladar o espectro do sinal para simplificar o "hardware" do receptor ("superheterodino")

Figura 14. espectro do sinal banda-base do FM estéreo, que modula em freqüência a portadora principal (do canal ou estação de rádio)

 

 

13

Figura 15. etapas iniciais para obtenção do sinal FDM telefônico de 900 a 1800 canais de voz, através de vários processos FDM intermediários (uma das alternativas)

I.3.C - Codificação Codificação: é a representação de sinais por símbolos maisdigital adequados a uma transmissão utilizados codificadores de fonte (utilizados para a representação do sinal, para os quais o eficiente. critério dePodem ser eficiência mais usual é a taxa de transmissão dos dados, para uma deter determinada minada qualidade) e codificadores de canal (que visam, essencialmente, à proteção contra erros no canal, através de códigos detetores de erro ou detetores e corretores de erro). Há técnicas de codificação simultânea de fonte e de canal. A Fig.16 ilustra um sistema de comunicacao digital.

Figura 16. esquema básico de sistema de comunicação co municação digital (os codificadores de fonte e de canal não são necessariamente distintos) Por exemplo, para comunicação comunicação de voz (sinal com faixa de 300 a 3,4 KHz e amostrado a 8 KHz ), pode-se ter sistemas de comunicação digital com diferentes taxas de dados (bits/s), dependendo da codificação de fonte escolhida. Para a mesma qualidade (telefonia) subjetiva, as taxas podem pode m variar de cerca de 2,4kb/s a 2.028kb/s (Fig.17). É possível reduzir-se ainda mais esta taxa, mantendo-se a inteligibilidade da comunicação, porém, sacrificando a possibilidade de identificação do interlocutor. A grosso modo, acima de 16kb/s utilizam-se utilizam -se técnicas de codificação da forma de onda no tempo; entre 1kb/s e 16kb/s são utilizadas as chamadas técnicas de codificação  paramétrica (ou de análise e síntese), nas quais em vez vez de se transmitir amostras da forma forma de onda do sinal, extraemse parâmetros (análise) representativos do sinal e, no receptor, reconstitue-se a forma de onda no tempo a partir desses parâmetros (síntese). Abaixo de 1 kb/s são utilizadas técnicas de codificação simbólica, como as de síntese a  partir de fonemas pré-gravados e a partir de texto escrito escrito (técnicas que não permitem identificar o interlocutor, em aplicações como de comunicação máquina-homem). O custo e a complexidade aumentam com a redução da taxa de transmissão.

 

 

14

Figura 17. Esquema representativo de diferentes taxas de transmissão para diferentes tipos de codificadores de fonte  Na Fig.17, estão indicados alguns dos codificadores típicos para as respectivas tax taxas as de transmissão : LDM: modulação delta linear, com código de apenas 1bit por amostra, cuja maior vantagem é a sua simplicidade e, conseqüentemente, baixo custo de codificação. ADM: modulação delta adaptável, também com código de 1 b/amostra, porém com características que se adaptam ao sinal. Há codificadores cod ificadores comerciais deste tipo que per permitem mitem a codificação de voz a taxas próximas de 32kb/s, com qualidade telefônica, e ainda mais baixas com qualidade menor mas suficiente para comunicações  ponto a ponto (ex.: militar). PCM: modulação por código de pulsos, com níveis de quantização igualmente espaçados (PCM uniforme) ou logaritmicamente espaçados espaçados (PCM não linear), com os níveis codificados em binário (12 e 8 bits por amostra, respectivamente). ADPCM: PCM diferencial ("preditivo") e adaptável ("adaptativo"), no qual se transmite a diferença entre uma estimativa da amostra e o seu valor real em codificação PCM de 4 bits/amostra. LPC: codificação linear preditiva, na qual se busca modelar o sistema gerador de voz (o trato vocal ou sistema fonador) através de cavidades ressonantes, e estas através de equivalentes eletrônicos (filtros digitais adaptáveis), cujos parâmetros são transmitidos (digitalmente) em vez das amostras da forma de onda da voz. O LPC-10 indicado na Fig.17 representa uma estrutura proposta pelo Departamento de Defesa Americano, que utiliza 10 parâmetros na transmissão. Dos esquemas básicos indicados, neste curso serão abordados, ainda que superficialmente, o LDM e o PCM. Os demais são temas da disciplina Codificação Digital de Sinais (ET-235). Para codificação de canal, dentre os esquemas mais utilizados estão: (i) o do teste de paridade, no qual acrescenta-se a cada palavra digital a ser transmitida um código indicando-se alguma informação sobre o número de 1's ou 0's na palavra. Por exemplo, com um bit de paridade,  pode-se informar se o número de 1's é par ou ímpar. Caso haja o erro de uum m número ímpar de bits na palav palavra, ra, este teste permite detetar o erro. (ii) o do teste majoritário, no qual as palavras são transmitidas repetidas.Por exemplo, repetindo-se cada  palavra três vezes, se se uma das palavras repetidas for recebida recebida com erro, as duas rem remanescentes anescentes sem erro podem sser er identificadas por serem iguais: este teste permite detetar e corrigir erro(s) em uma das três palavras. Esquemas mais elaborados de codificação de canal são abordadas abor dadas na disciplina Teoria de Códigos (ET-285). (ET -285).

I.3.D - Comentários finais  Neste capítulo inicial foram, ainda que superficialmente, discutidos aalguns lguns dos conceitos básicos de sistemas de comunicações. No restante do curso, serão abordadas as técnicas básicas de análise de sinais (Série e Transformada de Fourier) e de modulação de sinais na ausência de ruído. ruído . A caracterização de sinais não determinísticos, ou aleatórios, como ruído, é abordada na disciplina Probabilidade e Variáveis Aleatórias (ELE-33) e a análise de desempenho dos sistemas de modulação na presença de ruído em Sinais Aleatórios (ELE-34). A modulação digital e o processo pro cesso de comunicações digitais são tratadas em disciplinas como Teoria de Comunicações, Teoria da Informação, Redes detemas Computadores, etc., todas todcomo as de nas pós-graduação.  Na pós-graduação, são tratados também são mais específicos, específicos, disc disciplinas iplinas Análise Espectral Digital (ET-239), onde são cobertas técnicas “clássicas” (utilizando o algoritmo da Trasformada Rápida de Fourier FFT) e “modernas” (utilizando modelamento paramétrico) para estimativa do conteúdo espectral de sinais

 

 

15

digitalizados, Codificação Digital de Sinais (ET-235), (ET -235), onde se analisam em detalhes técnicas de amostragem, quantização e representação digital de sinais, etc.

CAPÍTULO 2 SINAIS E ESPECTROS Um sistema de comunicação não opera necessariamente apenas com sinais elétricos. Contudo, nesse curso, nosso é estudar somente aqueles utilizam meios elétricos, operando com sinais que correspondem corresp ondem à tensãoobjetivo ou à corrente elétricas variando no que tempo. Uma análise e representação no "domínio da freqüência" é feita, inicialmente, considerando-se que o sinal é constituído de componentes senoidais de várias freqüências (via Série de d e Fourier). Posteriormente, Poster iormente, a análise será generalizada para sinais que tenham conteúdo de freqüências variando continuamente (via Transformada de Fourier). O espectro de freqüências de um sinal é a sua descrição no domínio da freqüência e o seu estudo é denominado análise espectral ou análise harmônica (esse, para sinais com componentes senoidais). Uma das principais aplicações da análise espectral é a de se descobrir o comportamento do sinal (ou de uma classe de sinais) no domínio da freqüência para, por exemplo, conhecendo-se a sua largura de faixa poder-se ter subsídios para projetar circuitos e sistemas. Há, ainda, aplicações como para deteção de alvos em sistemas de radar,  para transmissão de sinais sinais (codificação paramétrica) e para processamento processamento de sinais (processamento homomórfico, no qual um sinal, em vez de ser processado no seu domínio natural - tempo ou distância, por exemplo - é processado no domínio da transformada - freqüência, por exemplo -) O primeiro passo para se efetuar a análise espectral é a representação do sinal como uma função matemática, ou seja, modela-se idealmente modela-se idealmente o  o sinal, mas com modelos ideais que sejam próximos o suficiente dos sinais físicos que representam para fins de aplicacões e projetos em engenharia.  Na parte de Análise Espectral Espectral do curso serão estudadas: ###  Série de Fourier ###  Transformada de Fourier ###  A relação entre entre a Série e a Transformada de Fourier É importante ressaltar que sistemas (definidos como "caixas " caixas pretas", Fig.1, que, dado um sinal de entrada  x ( t ) , têm como saída um sinal  y ( t ) ) podem também ser modelados matematicamente (através de "operações", "transformações", "mapeamentos", "algoritmos", etc., que são aplicados ao sinal de entrada  x ( t )  para gerarem um sinal de saída  y ( t ) ) e, freqüentemente, tais sistemas podem ser também estudados e studados através de técnicas de análise de sinais.

Figura 14. Um "sistema"

II.1 - Análise de Fourier II.1.A - Fasores e "Espectro de linhas" linhas" Seja um sinal um sinal senoidal , Fig.2, modelado matematicamente pela função v(t )  A cos( 0t   ) , onde  A  é uma constante real,  0  é a freqüência angular (em radianos por segundo) segundo) e ### é a fase (em radianos). A relação entre a freqüência angular  0 (radianos por segundo) e a freqüência "temporal"  f 0  (Hertz ou ciclos por segundo) é  0  2    f 0 , e entre a freqüência da senóide e seu período T 0  (em segundos) é  f 0  1 /T 0 .

 

 

16

Figura 15. Um sinal senoidal A função matemática cos( )  pressupõe   variando de  a +  . Sinais reais reais têm, na prática, duração finita. O modelamento matemático, contudo, é válido se a duração do sinal for muito maior que o período da senóide. Lembrando que e j   cos ( )  j sen( )  , que é a relação de Euler entre a função exponencial complexa    j 

, onde  j  1 , e as funções trigonométricas seno e coseno, o sinal senoidal pode ser representado por meio de fasores (vetor giratório no plano complexo).como a seguir (Fig.3): e

Figura 16. Fasor representativo de sinal senoidal O sinal senoidal v(t )  A cos( 0 t   )  pode, portanto, ser representado pelo fasor da Fig. 3..Para t    0 , o fasor está a um ângulo ### do eixo real. r eal. São necessários apenas três parâmetros para a representação de um fasor e, conseqüentemente, de um sinal senoidal: a amplitude ou magnitude, A, a freqüência angular ou cíclica,  0 ou ou f   f 0 , respectivamente, e o ângulo de fase ou, simplesmente, fase, ###  Uma forma alternativa de representação, no domínio da freqüência, deste mesmo sinal é apresentado na Fig. 4, denominado espectro de freqüências, sendo que neste caso são também utilizadas as designações espectro de raias ou espectro de linhas, uma vez que as amplitudes e fases representativas do sinal são raias ou linhas. O gráfico amplitude vs. freqüência é conhecido como espectro de amplitudes e o de fase vs. freqüência como espectro de fases (Fig.4).

Figura 17. Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase Observações: i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito  por v(t )   A cos( 0 t   )  deve ser re-escrito como v(t )  Acos( 0 t     ) . É indiferente se é utilizado    ou   . ii.  t  t  tem a dimensão radianos e, portanto, a fase   deve ser expressa em radianos. No entanto, é possível encontrar na literatura (por exemplo, no livro-texto adotado, de Carlson) uma notação mista, com a fase expressa em graus. Lembrar que   2   f  ,   em rad/s e em Hz. iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário. iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que de

sen( t )  cos( t    / 2) , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado atrasado de  de

0   2  (ou, 90 )

 não recomendado): recomendado): esboçar o espectro de linhas Exemplo (Carlson - atente para a notação mista  –  não

 

 

17  s (t )  7  10 10 cos(40 t  60 )  4sen(120  t )  

A forma de onda deste sinal é ilustrada na Fig.5..

Figura 18. Forma de onda (cerca de dois períodos) do sinal-exemplo Esta função pode ser re-escrita como:  s(t )  7 cos(2 0t )  10cos( 2 20 20t  120 )  4cos( 2  60 60t  90 ) . e, por inspeção, desenhar o seu espectro (Fig.6):

Figura 19. Espectro de linhas unilateral do sinal-exemplo A Fig. 6 ilustra uma forma de representação espectral conhecida como espectro de linhas ( ou de raias) unilateral , no  , no qual se representam apenas as freqüências positivas. Existe uma outra forma de representar o espectro de freqüências (forma mais comum), tratada a seguir.

II.1.B - Espectro Bilateral sen( ) , um sinal senoidal pode ser representado em Lembrando a Relação de Euler: e j   cos( )  jsen termos de exponenciais complexas da seguinte forma:   A   A  j  j  0t       A cos( 0 t   )    e j e j 0t  e e  a a   2 2

onde a   é o complexo conjugado de a    Nesse caso, o diagrama diagrama fasorial passa a ser (Fig.7): (Fig.7): 



Figura 20. Diagrama fasorial para senóide real e os espectros de fase e de amplitude, respectivamente, para um sinal senoidal real (Fig.8):

 

 

18 Figura 21. Espectro bilateral de senóide real (a) espectro de fase; (b) espectro de amplitude

Esta forma de representação, com o domínio de freqüências no intervalo (  , ) , é conhecida como: espectro de freqüências bilateral  Observações: 1. a menos de indicação em contrário, quando se menciona espectro de freqüências está-se referindo ao espectro bilateral   horário.. 2. a "freqüência negativa" ,  f 0 , indica rotação do fasor representativo do sinal no sentido horário 3. uma senóide real  de  de freqüência  f 0  deve ter no seu espectro de freqüência bilateral componentes de igual magnitude em 0  e em  f 0 , sendo que o espectro de amplitudes tem simetria par e o de fase, simetria ímpar. sinais complexos só raia no4.espectro bilateral. têm espectro bilateral assimétrico. Por exemplo, uma exponencial complexa tem uma

II.2.C - Teorema (da Potência) de Parseval Parseval Seja v (t )  um sinal periódico qualquer com período T 0 . Sua potência média é  P   

1



T 0

2

v(t ) dt  

T 0 

1 T 0

 v(t ).v (t )dt    

T  0 



     mas v (t )     cne j n  t    cne   j n   t  , logo n   n           j n  t  1   1  2   j n   t    v (t )e  P  v(t )   cn e dt . cn   cn cn   cn   dt       T 0 T    n   n  T  n  n  0  T   0

0

0

0

0

ou seja,  P 

1

T     0

T 

2

v(t ) dt

0





c  

2

n

(Teorema de Parseval )

 

n

0

A expressão acima indica que a potência do sinal é a soma das potências de cada uma das componentes superposição para as potências de cada uma das componentes senoidais do sinal). senoidais (vale o princípio o princípio da superposição para Esta relação mostra também que a potência do sinal pode ser determinada a partir da descrição do sinal no domínio do tempo ou no de freqüências. Em vez de se traçar o espectro de freqüências (amplitude e fase), freqüentemente basta traçar o gráfico cn

2

 f n  , chamado de espectro de potências (não envolve a informação sobre a fase).

II.3 - Transformada de Fourier II.3.A - Definição A Transformada de Fourier é aplicada, em princípio, princípio, a sinais não periódicos e é definido pelo par: 

V( f ) 

v(  t ) e

dt   

( fórmula de análise )

df   

(fórmula de síntese)

dt  

(fórmula de análise)

 j  t 

(fórmula de síntese)

 j 2 ft 

  j 2 ft 



v(t )  V ( f )  e 

ou, em termos de freqüência angular, pelo par: 

V ( )  v (t ) 

v(  t ) e

 j  t 

 

1



V ( ) e 2  

d  



A condição (suficiente, mas não necessária) para a existência da Transformada de Fourier é

 v(t)dt    ,

ou seja, que a função seja absolutamente integrável. Compare o par de Transformada de Fourier com o par de análise e síntese da Série de Fourier (aplicada a  pulsos periódicos ): cn  c(n f 0 ) 

1 T 0



 

v (t ) e

T 0 

 j 2 nf0t 



dt  e   v(t ) 

c  e  

 j 2 nf 0t 

n

. Observe que, no caso do exemplo do

n

trem de pulsos retangulares de amplitude  A, duração ### e período T 0 , se ### e  A  são mantidos constantes e T 0   cresce, então o número de raias raias entre os zeros da função função sinc(###) cresce e as raias se juntam (componentes discretas   nf0  f   contínuo), tal que é possível imaginar-se que quando T 0  ### ###, v (t )  deixa de ser periódico, discretas

 

 

19

tem-se um pulso retangular isolado e o espectro se torna contínuo em freqüência. Portanto, a Transformada de Fourier pode ser interpretada como uma Série de Fourier aplicada a um sinal periódico cujo período é tornado infinito.  Nota Importante : os sinais periódicos apresentam espectro discreto (de linhas e de raias ) e os sinais ap aperi eriód ódii cos têm têm um espe espectr ctro o contínuo contínuo em fr eqüênci qüências as.   No caso, por exemplo, de um pulso retangular isolado (Fig.15):

 t    T (  t )   ( )  rect   

  1  t  

    0

 

v(t)

  2    

t  

2  

2

2

Figura 225. Pulso retangular isolado

Os espectros de amplitude e fase são   t  v(t )  A rec t (  )  

 

T 

 

2



V( f ) 

  A  sen( f ) = V ( f )  A sinc( f  )     A e j 2 f t  dt     f  T 

 



2

mostrados na Fig. 16 :





 

Figura 16. Espectro de pulso retangular isolado

 

 Note que: 

     = área do pulso retangular. De forma geral, V (0) =  v(t ) dt  dá 1. V (0)   A   a área sob a curva 

representativa do sinal 2. para  A  constante, se  se ### diminui, o espectro se "alarga " (no caso, observe, por exemplo, que o primeiro zero - e os demais - da função sinc( ###) se afastam da origem). 3. pulsos estreitos (sinais de curta duração, de maneira geral) e sinais de rápida variação têm "espectros largos" (sinais com largura de faixa faixa elevada) e vice-versa ( propriedade do espalhamento recíproco ).  tem simetria  simetria hermitiana.  hermitiana.  4. Se v (t )  for real, então V ( f )  V   ( f )  e diz-se que V ( f )  tem

arg[V ( f )]   arg[V ( f )]   simetria ímpar    .   V ( f )  V ( f )     simetria par   II.3.B - Propriedades da Transformada Transformada de Fourier Fourier 1. Superposição ( Linearidade ) Dados dois sinais v1 (t )  e v2 (t )  e se formarmos for marmos um terceiro sinal como uma combinação linear das d as  primeiras: v(t )  a v1(t )  b v2 (t )

e, de modo geral,

a  v (t )   a 

k

k 

k 

k

   V ( f )  a V1( f )  b V2 ( f )   

Vk  ( f ) .

k 

OBS.: estade formulação combina as propriedades d e homogeneidade de (produto por um escalar) e de aditividade (soma dois sinais) que caracterizam um sistema li linear. near. 2. Deslocamento no tempo 

 

 

20 Dado v (t ) , se deslocarmos o sinal para v(t -   )  então 



[v(t  )] 

 v(t  ) e

 j 2 f t

dt



 v( ) e

 j 2 f

e j 2

f

d

 e j 2  f 

V (  f )   





logo,  

    e v(t -   ) 

 j 2 f  

V( f )  

[v(t   )]  [v(t )]  [v(t   )]  [v(t )]  2 f    OBS.: Note a componente adicional de fase de  fase linear no novo espectro. 3. Mudança de escala no tempo  Dado v (t ) , se mudarmos a variável t   para   t   t ,     0, obter-se-ão mudanças de escalas no tempo (Fig.17):

sinal

reversão

compressão v(-t)

v(t) A

v(2t)

A

0





t 

expansão v(t/2)

A

0

A



0

t 

t 



0

Figura 17. Exemplos de mudanças na escala de tempo

t 

 

Então: 

[v ( t )] 

v( t ) e

   j 2 f t 

dt  

.

Seja  ### ### 0 , por exemplo. Nesse caso: Seja 



[v(t )] 

v(-   t ) e

 j 2 ft 

dt dt



1

 



  

 j 2 ( 

v( ) e

f 

 

)  

d 





1

  f  V (  )       

Assim.: Compressão no tempo (     1)    expansão no espectro Expansão no tempo (     1###)    compressão no espectro espectro Reversão no tempo (     1)    reversão no espectro 4. Diferenciação no tempo  dv(t )

Seja v(t  )  dt  . Então, aplicando integração por partes temos: 

[v (t )]  ,

 v (t ) e ,

 j 2ft

dt

 v (t )



 j 2 ft  e  



 j 2 f

 v (t ) e

 j 2 ft 

dt   



Se v(t )  0 para t     , então [v , (t )]  j 2  f V ( f )  e, assim, a operação de diferenciação no tempo é  f   no domínio da freqüência, o que implica acentuação acentuação   equivalente à multiplicação do espectro de amplitudes por 2   j

 

crescente para freqüências crescentes, e o espectro de fase é modificado pelo fator  j  e 2 . OBS.: de modo geral, aplicando-se sucessivamente a operação de diferenciação, pode-se escrever:

[

d nv(t ) n

dt 

5. Integração no tempo  t 

Seja  f (t )   v ( ) d   , então  f (t )  v(t ) . 

]  ( j 2   f )n V ( f ) .

 

 

21 Aplicando a propriedade de diferenciação, se  F ( f )  [ f (t ) ]  , então [ f , (t )]  j2 f F( f ) , desde que

li lim m f (t )  0 , i.e,

t 

 v ( t ) dt   0  (área sob a curva, curva, ou nível dc,

z

nula ). Portanto  F ( f  ) 



1  j 2  f 

 [ f

,

(t ) ] , ou

seja: t 

[  v( )  d  ] 

1

[v(t )] 

1

V ( f )

  OBS.1: a operação de integração integração no domínio do tempo corresponde à de div divisão isão no domínio da freqüên freqüência cia  f  , provocando atenuação do espectro do sinal original por 2  atenuação crescente  crescente para a freqüências crescentes. 

 j2 f 

 j 2 f 

OBS2: este Teorema será atualizado mais adiante, para o caso



v(t ) dt   0  

6. Propriedades de simetria: 





Dado v( f )   v(t ) e j 2 f t  dt   v(t ) cos(2 f t ) dt  j  v(t ) se sen(2 f t ) dt ,  podemos escrever que: 





V ( f )  Ve ( f )  j Vo ( f )  Re ReV ( f )  j ImV ( f )   

onde os índices na segunda igualdade se referem a componentes com simetria par (e = "even") e ímpar (o = "odd"), com: 

Ve ( f )  ReV ( f ) 

v(t )  cos(2 f t )dt

 

 



V ( f )  Im V ( f ) o







 sen(2 f t )  dt  v(t ) se  





  OBS.: A representação gráfica do espectro de V ( f )  é usualmente apresentada em termos de 1. módulo e fase, i.e., V ( f )  e ### V ( f )   argV ( f )  , ou 2. componentes real e imaginária, i.e., ReV ( f )  e ImV ( f )   As propriedades de simetria são, então: (a) se v(t ) for simétrico par, i.e., v(t )  v(t ) , v(t )  cos(2  f t )  será   simétrico par e v(t )  sen(2  f t )  será   simétrico ímpar, donde: 

Ve ( f )

 2 v(t ) cos(2 ft )dt 0

Vo ( f )  0

 

 

 Nesse caso, V ( f )  Ve ( f )  e se, além disso, v(t ) for real, então V ( f )  será real com simetria par.     (b) Se v(t )  for simétrico ímpar, i.e., v(t )  v(t ) , v(t )  cos(2  f t )  será simétrico ímpar e v(t )  sen(2  f t )  será simétrico par, donde: Ve ( f )  0    Vo ( f )  2 v(t ) cos(2 ft )dt   0

 Nesse caso, V ( f )  Vo ( f )   e se, além disso, v(t ) for real, então V ( f )  será puramente imaginário com simetria ímpar. 7. Teorema da energia de Rayleigh   Seja (t )  v (t  ).w  (t ) .Lembrando que  v (t )  V ( f  )  e  w (t ) W (f  )  temos:  



        j 2 f t w (t )    W ( f ) e  df    W ( f ) e j 2 f t  df      logo,

 

 

22 



 

 v(t ) w (t ) dt   v(t ) 

-





       j 2  f t  d dtt     v(t ) e dt  W ( f ) df       





e, portanto

 

    j 2 f t df   W ( f ) e  

 

v(t ) w (t )  dt

 V ( f ) W ( f )

d dff  . No caso particular em que v (t )  w(t )  :







 v (t ) 

2

dt

  V( f )

2

df   



A expressão acima é o Teorema da Energia de Rayleigh, que corresponde ao T Teorema eorema de Parseval (visto para a Série de Fourier). Ela mostra que a energia de um sinal pode ser calculada a partir das descrições descriçõe s do mesmo no tempo ou em freqüência. 

V ( f )

2

 é denominada Densidade Espectral de Energia, pois

V ( f )

2

df    é a energia total do sinal, de acordo

com o Teorema de Rayleigh. 8. Teorema da dualidade  Sejam  v (t )  V (f  )  e um sinal no tempo  z (t ) V (t ) , onde V (t )  é o mesmo sinal V ( f ) , com substituído por t  . Então: 

 z(t )  Z ( f ) 



 z(t ) e

 j 2 f t





dt  V ( ) e

j 2 (  f  )  

d   v( f )

 



Conseqüentemente, se  v (t )  V ( f  )  então  z(t )  V (t )  v( f )   (Teorema da dualidade) Caso particular: se v (t )  for real com simetria par, isto é, v(t )  v(t ) , V ( f )  é real com simetria par, o mesmo acontecendo com  z (t )  e  Z ( f  ) . Nesse caso,  Z (f )  v ( f  )   Exemplo (Fig.18).: Seja v(t )  rect (t ) . A sua Transformada de Fourier é V ( f )  rect(t )  sinc( f ) . Então,   se  z (t )  sinc(t ) , então, pelo Teorema da dualidade,  Z ( f )  sinc(t )  rect( f )    z(t)

 Z(f)

  Figura 238. Transformadas de Fourier das funções funções rect(·) e sinc(·) unitárias  

 sinc(2Wt ) , Fig.19, a sua Transformada de Fourier é  Z ( f )  Generalizando: para  z(t )  A si

Figura 19. Transformada de Fourier de uma função sinc(·) genérica

A 2 

rect(

f 

)  2W 

 

 

23 OBS.1:  Z ( f  )  dado na Fig.19 é característica de um filtro passa-baixas ideal, com (freqüência de) corte em

W . OBS.2: O filtro passa-baixas ideal não é realizável na prática (observe que o sinal correspondente no tempo não é nulo para t    0 ) OBS.3: Outros tipos básicos de filtros ideais: F. P. Altas (espectro unilateral)

Figura 20. Resposta em freqüência de filtro passa-altas ideal F. P. Faixa (espectro unilateral) Figura 21. Resposta em freqüência de filtro passa-faixa ideal F. Rejeita Faixa (espectro unilateral) Figura 22. Resposta em freqüência de filtro rejeita-faixa ideal 9. Translação (transladação) em freqüência e modulação   Se  v (t )  V ( f  )  e  z (t )  v (t )  e j 2 f 0t    então 



 Z ( f ) 

v(t ) e

 j 2 f 0t

 e

 j 2 f t

dt 

v(t ) e

j 2 ( f

 f 0 ) t 

dt  V ( f

 f 0 )

 

Logo, 

 v(t )   V ( f

 fc )    Esse resultado é chamado de teorema da transladação tr ansladação (deslocamento ) em freqüência ou teorema da modulação complexa (Fig.23). Observe que a multiplicação de um sinal por uma exponencial complexa resulta em um sinal com o espectro transl adado adado pela freqüencia da exponencial complexa. Observe a dualidade desta  propriedade com a da de deslocamento deslocamento no tempo (Prop. 2)  j 2 f ct 

e

V(f)

 Z(f)

 A

 A V(f)

V(f- f c )

V(f)

-w

0

w

 f 

 f c -w

0

V(f- f c )

 f c

 fc +w

 f 

  Figura 23. Modulação complexa    e j 2f ct     2 ( )  ( ) c o s ( )  ( )  s t v t f t v t  Seja agora (modulação de portadora senoidal) : c

 

 e   j 2 f t  c

2

 

Aplicando a propriedade da linearidade e o teorema do deslocamento (modulação complexa) a cada um dos do s termos da soma, obtém-se:   V  ( f  f c ) V (  f  f c )   S ( f )    2

2

 Nesse caso, os espectros espectros do sinal original e do sinal sinal modulado ficam (Fig.24):

 

 

24 V(f)

S(f)

 A V(f)

 A 2

V(f)

-w

0

- f c -w

 f 

w

- f c

- f +w c

 f c -w

 f c

 f c +w

 

 f 

  Figura 24. Modulação de senóide real

Observe que, nesse caso, o espectro do sinal modulante, ou modulador, é replicado em tor torno no das raias em  f c  da senóide. Este processo, conhecido como modulação em amplitude de portadora senoidal , é tratado com maiores detalhes no Capítulo 3.  

t 

Exemplo (Carlson): seja  z(t )  A  rect(   ) co  s(2  f ct ) . Esta função é conhecida como pulso como  pulso rf. Para se determinar o seu espectro, podemos interpretá-lo como um sinal senoidal modulado por um pulso retangular e, nesse  

caso, como V ( f )  A    sinc(

f 

 

),   A   Z ( f )  sinc( f 2

    A 

 f c ) 

2

sinc( f

 A

 A

2

f c )   

 Z( f)

 z(t)

- 





2

 2

t 

-A

-f c

 f c  f c -

1



  f c +

 f  1



 

Figura 25. Modulação de senóide real por um pulso retangular (espectro de pulso rf) OBS.: a multiplicação de uma função por uma função retangular (rect) é uma operação freqüentemente utilizada em  processamento de sinais sinais e é conhecida como de "janelamento "janelamento retangular"

10. Convolução e multiplicação  Define-se a operação de convolução entre dois sinais v(t )  e como:

(t ) , através de uma

integral de convolução, convolução,



v(t ) w(t ) 

 v ( )w(t   ) d   



A convolução entre dois sinais pode ser graficamente interpretada como sendo uma função cujo valor a cada instante é a área sob as curvas resultantes do produto de um dos sinais pelo outro rebatido no tempo e    a  . transladado de  Exemplo (Carlson):

 Ae   t , t  0   t  e w(t )  , 0  t  T , a convolução entre esses dois sinais pode ser representado v(t )   T  0   , t  0 graficamente como na Fig.26, na qual (a) ( a) e (b) representam, respectivamente v(t) e w(t) w(t),, (c) representa w(-  )  ),, (d) representa w(t-  )  para vários valores de t de t (note que se representa na abcissa a variável ), (e) nessa figura, por exemplo, nos instantes t 1  e t 2 , deve-se calcular a curva resultante do produto ponto a ponto dos dois sinais na região hachurada (fora dela o produto é nulo) e a área sob a curva resultante do produto dá o valor da integral de convolução no instante considerado , (f) representa a função resultado da convolução

 

 

25

Figura 26. Ilustração gráfica da convolução Matematicamente: se v(t ) w(t )  f (t ) , pode-se reconhecer três trechos distintos para o sinal resultante: (a) para t    0 ,  f (t )  0 , no caso porque

t 

  A

(b) para 0  t  T ,   f   f 1 (t ) 

t  e T 

f 2 (t ) 

  T 

 1 , pois

 f (t ) 

 

 Ae  

  t     d    T 

 

0

t 

  A

(c) e para t  T,

(  )   0  para      0 

T  e T 

T

 1e

 t T 

, pois  f (t ) 

 

 

 

   

Ae

t T 

t     T 

d    

(  fim fi m do exem xemplo )     W ( f ) , e sendo (t )  v (t )w (t )  , podemos   V ( f )  e w (t )  Dados, então dois sinais quaisquer, v(t )  determinar a relação entre  v (t )w (t )  ,  v (t )  e  w (t ) , tomando-se a Transformada de Fourier da integral de convolução:        j 2ft   v(t ) w(t )     v( )  w(t   )d e dt   v( )   w( t   )e j 2 ft dt d             



Porém,

w( t   )e

   j 2ft

dt

 W( f )  e  j 2f   , pela propriedade do deslocamento. Assim, 



v(t ) w(t ) 

 v( )W( f )  e

 j 2f



d  W( f )   v( )e

j 2f 

d

  W(  f ) V ( f )  V ( f )  W( f )   



Tem-se então que: 

 V ( f ) W ( f )  , v(t ) w(t )  ou seja, a convolução de dois sinais no domínio do tempo implica produto (ou multiplica multiplicação) ção) de seus espectros no domínio da freqüência  freqüência  OBS.: A integral de convolução descreve convolução descreve a resposta de sistema linear invariante com o deslocamento no tempo. (LTI: Linear Time Invariant). Um sistema Um sistema pode  pode ser caracterizado como um dispositivo (Fig. 27) cuja saída

 

 

26

 para uma entrada x (t )  é  y (t )  T x (t ) , onde T x (t )  descreve uma operação, transformação, mapeamento ou algoritmo qualquer aplicado a  x (t ) . T[·]

 x(t)

 y(t) = T[x(t)]

 

Figura 247. Um sistema genérico Um sistema é caracterizado como linear e invariante com o deslocamento no tempo se tempo  se T x (t )  possui as  propriedades de linearidade e de invariância invariância com o deslocamento, i.e.: 1) Linearidade:  x1(t )  a x1(t )  b  x2 (t )  y(t )  a T[ x1( t)]  b T[ y2 ( t)]  a y1( t)  b x2 ( t ) 2) Invariância com o deslocamento no tempo: T[ x(t   )]  y(t    )   Tais sistemas podem ser inteiramente caracterizados através de uma função denominada Resposta denominada  Resposta ao Impulso Unitário. Define-se o impulso unitário, função delta delta ou  ou função  função Delta de Dirac, Dirac, ###(t), (t), pela propriedade: 

  (t ) (t ) dt    (0) ,



testadora, e ###(t) é (t) é uma "função generalizada", onde  (t )  é uma função contínua em t    0 , denominada função denominada função testadora, e o valor  ( 0)  à função testadora. Na expressão acima, a integral "função simbólica" ou "distribuição", que atribui o  não tem o sentido convencional (ordinário) : a integral e a função ###(t) são definidas pelo número  ( 0)  atribuído atribuído a  a  (t ) , e não têm significados independentes. OBS.: em geral, uma distribuição é definida para funções testadoras que t, para tenham derivadas de qualquer ordem e que tendam a zero mais rapidamente que qualquer potência de t, para t   impulso , que requer apenas continuidade em t    0 7.    , porém esta restrição pode ser relaxada no caso do impulso, 

Observe então que, se  f (t )  1 ,

  (t)  dt  1 , ou seja, a "área" do Delta de Dirac (ou impulso unitário) é 1. Observe 

 

também que

  (t)  dt  1,  ### arbitrariamente pequeno.

  

Representa-se esta função Delta de Dirac ou impulso unitário (na origem) graficamente como na Fig.28. Subentende-se que a "área sob a curva" ( a "área do impulso") seja unitária:

Figura 28. Representação gráfica do Delta de Dirac ou Impulso Unitário 

O impulso deslocado no tempo de  é  (t      )  e

 f ( ) (t   )d   f (t ) , pois  (t     )  associa a

(  )  o valor

t      0 , ou seja, em    t , pela definição do Delta de Dirac como uma distribuição. desta função em ao impulso"   ou Definindo-se a "resposta ou "resposta impulsiva"  de  de um sistema LTI como a saída  y (t )  h (t ) do sistema para uma entrada  x (t )   (t ) , então se o sistema é linear e invariante com o deslocamento, a saída para uma entrada  A  (t    ) , onde A onde A é  é uma constante qualquer em relação à variável independente t , é  Ah (t    ) . Fazendo-se 

 A  x( ) , a saída será  x ( ) h (t    )  e se a entrada for

 x( ) (t   )d   x(t ) , então a saída será



 y(t ) 

 x ( )h( t   )  d    x(  t ) h( t ) , ou seja, a saída de um sistema LTI é a convolução entre o sinal de entrada,



 x (t ) , e a resposta impulsiva do sistema, h (t ) . Portanto, o conhecimento da resposta impulsiva de um sistema LTI, LTI,   h (t ) , é suficiente para caracterizar completamente esse sistema, pois é possível determinar a sua saída para qualquer

entrada (Fig.29).

7Ver A. Papoulis: The Fourier Integral and its Applications, McGraw-Hill, NY, McGraw-Hill, NY, 1962, Apêndice I

 

 

27

Figura 29. Respostas de um sistema linear e invariante com o deslocamento (LTI) Portanto, um sistema LTI pode ser analisado nos domínios do tempo ou da freqüência (Fig.30):

Figura 30. relação entre a entrada e a saída de um sistema LTI, nos domínios do tempo e da freqüência OBS.: Pode-se, então, caracterizar um sistema através do um sina  sinall , , h(t), que é a sua resposta ao impulso unitário. Portanto, técnicas de análise de sinais podem ser utilizadas para análise de sistemas LTI. A Transformada de Fourier,  H ( f )   h (t ) , de h(t), é definida como sendo a Resposta a Resposta em Freqüência do Freqüência do sistema. O aspecto importante a ser lembrado é que dado um sistema linear e invariante com o deslocamento, a saída deste sistema no tempo é a convolução do sinal de entrada com a resposta impulsiva do sistema e, na freqüência, a saída é o produto do espectro do sinal de entrada pela resposta em freqüência do sistema.   11. Convolução em freqüência    V ( f )  e w (t )     W ( f )  , prova-se que o produto o produto dos sinais no tempo Dados dois sinais quaisquer, v(t )  implica convolução dos respectivos espectros na freqüência  



v(t ) w(t ) 

  dt   v(t )   W ( )e j 2t d e j 2ft dt 



      1





 v(t )w(t )e 

 j 2ft

 



  w( t ) 





   j 2t  j 2ft   W ( ) v ( t ) e e d t  d      





 

 

   j 2 t    j 2ft   W( ) v(t )e dt e d  W( )V ( f   )d  W ( f )V ( f )    

 

 v ( t ) V ( f ) 

        

 

V ( f   )  pela propriedade do  

deslocamento

ou seja, 

v(t )  w(t )   V ( f )W( f )   

II.3.C - Transformada de Fourier e Sinais de energia infinita Pela definição, sinais de energia infinita (como, (co mo, por  por exemplo, exemplo, os sinais periódicos e o sinal constante no tempo) não têm Transformada de Fourier. Porém, se utilizarmos o conceito da função Delta de Dirac ou Impulso, veremos que é  possível generalizar-se a representação representação por Transformada de Fourier para es esse se tipo de sinais.  No item II.3.B.10 foi definida a função função impulso unitário (ou Delta de Dirac) ###(t) como (t) como uma "função generalizada" 

ou "distribuição" tal que

 v(t ) (t ) dt  v(0) , onde v(t )  é uma função contínua em t    0 .



 

 

28 

 

  (t)  dt  1,  ### arbitrariamente

 

Observamos, portanto, que se v(t )  1 , então

 (t ) dt  1 , assim como

 

 pequeno. Portanto, ###(t)  (t)  pode ser interpretado como uma função função que tem área unitária conc concentrada entrada em t    0  e que  (t )   0 para t    0 .  

Dada uma função   (t )  tal que lim  v  (t )  (t )  dt  v(0) , podemos dizer que o seu limite para   0  pode ser  0

  

interpretado como o Delta de Dirac ou função impulso unitário, i.e. que lim    (t )   (t ) . .  0

Uma função convencional, ou ordinária, que satisfaz a condição acima é o pulso retangular isolado com duração   e aamplitude mplitude 1/, portanto com área unitária (Fig.31).   (t ) 

1 



rect(

t 

 

) 

Figura 31. Pulsos retalgulares de duração  e amplitude 1/, para   0 : interpretação do Delta de Dirac Há diversas outras funções cujo limite para duração no tempo tendendo a zero pode ser interpretado como originando o Delta de Dirac, como o pulso sinc, de amplitude 1/  e com zeros em n , n inteiro, i.e. 1      t      (t )  sinc  .        É, contudo, importante manter em mente que o Delta de Dirac só tem sentido como função generalizada ou distribuição, como definido originalmente, caso contrário, o resultado do produto de qualquer função por outro de amplitude infinita resultaria em sinal de amplitude também infinita. 

De modo geral, se (t )  é uma função ordinária e  (t )  uma função testadora tal que

 v(t ) ( t )dt   exista para



cada  (t ) , então a integral (ordinária) é um valor  I v    (t )  que depende de  (t ) . Podemos, então redefinir   v(t )    (t )  o valor  I v    (t ) , ou seja, uma função ordinária pode ser interpretada como uma distribuição distribuição que como uma distribuição. que atribui a 

Por exemplo, seja a função degrau unitário v(t )  u(t ) . Como





u(t ) (t )dt



   (t )dt  , podemos interpretar 0

u (t )  como uma distribuição que distribuição que atribui a  (t )  um número que é igual à área de  (t )  de 0 a   

Este processo de atribuição de valores a integrais pode ser extendido a distribuições que não têm sentido como funções ordinárias, como é o caso do impulso unitário, e serve co como mo uma das justificativas para o uso da notação com o operador de integração para a sua definição. Uma distribuição (t )  não pode ter valores específicos para um dado t , porém ela pode ser igualada a uma função ordinária v (t )  em um certo intervalo (a,b ) , i.e., (t )  v (t ) , se para todas as funções testadoras que forem iguais a zero fora do intervalo (a,b ) , i.e. com  (t )  0, t  a e t > b  , tivermos: 

b

 a

 f (t ) (t )dt 

v(t ) (t )dt  

e isso permite, por exemplo, que se escreva que  (t )   0 para t    0 .

Um outro aspecto importante no uso da notação com o operador de integração é que as operações formais envolvendo integrais são válidas para as distribuições, distribuições, como por exemplo, integração por partes, mudança de variáveis, linearidade, etc. Algumas propriedades da função impulso:

 

 

29

a)  ( t ) 



1

 

 (t ),    0 , pois

 

 ( t )dt



1





 ( x)dx . Portanto,  (t )   (t ) , i.e., a função impulso é par.   



 b) v(t ) (t   0 )   v( ) (t   0   ) d  v(t    0 ) , ou seja a convolução de um sinal com um impulso deslocado 

no tempo translada o sinal da origem (tomando t    0  como referência de tempo para o sinal) para o instante em que o impulso ocorre (Fig.32) v(t)

  (t- 0)

=

* 0

0

t 

v(t- 0)

0

t 



0



0

Figura 32. Deslocamento do sinal por convolução com Delta de Dirac deslocado

t 

 



c)

v(t ) (t   ) dt  v(  ) . Esta operação é freqüentemente representada simplificadamente por 0

0

v(t )   (t   0 )  v( 0 )  e diz-se que é tomada uma amostra do sinal no instante em que o impulso ocorre,

"multiplicando-se o sinal pelo impulso". Nessa impulso".  Nessa representação representação simplificada, fica implícito implícito o  o operador de integração ou, em outras palavras, que o impulso é uma distribuição. d) define-se, também, a derivada da função delta por uma relação de integração: 





 (t ) ( t )dt



    (  t ) (t ) dt     (0)    

  d (t )  é uma função generalizada que atribui o valor   (t ) ou seja,  (t  )    (0 )  d  dt  dt  t 0  à função testadora. Esta definição é consistente com a operação formal de integração por partes pois, considerando que  (t )  0, t    : 



 (t ) ( t )dt







  (t ) (t )      (t ) (t ) dt     ( t ) (t  )dt    



0

De maneira geral: 

  

( n)

(t ) f (t )dt

 (1)

n

 

f   (0)  ( 1) (n)

n

d n f (t )

 

n

dt 



t 0

(e) v(t ) (t )  v(0) (t )  , pois 







 v(t ) (t) (t ) dt    (t )v(t ) (t) dt  v(0) (0)  v(0)   (t ) (t) dt   v(0) (t ) (t ) d  t   









e a prova desejada é obtida comparando-se o primeiro e último termos da expressão acima   du(t )

(f) u(t  )  dt    (t ) , i.e. a derivada a derivada de uma função degrau unitário é um impulso unitário, unitário , pois: 

 u(t )( t )dt 



 u(t ) (t ) 







 u (t ) (t ) dt     (t ) dt   (0) ,  



0

lembrando que a função testadora se anula para t      . Com esta propriedade, é possível definir a derivada (generalizada) de uma função (sinal) que apresente descontinuidades finitas , pois tal função pode ser representada como a soma de uma função contínua (derivável) e degraus que ocorrem nos pontos de descontinuidades (Fig.33), tal que a derivada de tal função com descontinuidades é igual à derivada da função contínua mais impulsos nos pontos de descontinuidade, com áreas iguais às amplitudes das descontinuidades.

 

 

30

Figura 33. Sinal com descontinuidade (a), representado como soma de sinal contínuo (b) com degrau (c)  No exemplo da Fig. 33, v(t )  f (t )  g(t )  f (t )  Au(t   ) , tal que v(t )   f (t )  g   (t )   f (t )  A (t   )   (g) Trem de impulsos como função como função amostradora: amostradora: definindo-se a "função repetição" ou "função repetida" a    f (t  nT ) , tem-se que rep  (t ) =  (t  nT )  representa   intervalos T  como  como rep  f (t ) um Trem de







T 







T 

n

n 

 Impulsos espaçados  Impulsos  espaçados de T (Fig.34) re rep p [  t  ] T

 

... -T

...

0   T 

t 

2T 

 

Figura 34. Trem de impulsos

Assim, dado um sinal (t )  qualquer, v(t )  repT  (t )  representa o sinal v(t) v(t) amostrado  amostrado idealmente (Fig. 35) a intervalos T , de modo que o  o proc  proce esso ou operaçã ração de amostrage stragem m idea ideal de um sinal pode ser representado pela multiplicação desse sinal por um trem de impulsos. Esta amostragem é considerada ideal pois o trem de impulsos não é realizável na prática.  prática.   rep  [  t  ] T x

0

t 

...

... -T

0

 

T 

2T 

=  

t 

...

... -T

0

 

T 

2T 

t 

(a) sinal ( b) tr e m de im pulsos de a m ostr a ge m

( c ) sina l a m ostr a do

Figura 35. Amostragem ideal de um sinal. Em (c), o sinal original é indicado em linha pontilhada  Note a convenção adotada, segundo a qual as "amplitudes" dos impulsos são desenhadas proporcionais às áreas dos mesmos, que são iguais aos valores do sinal nos instantes considerados. A seguir, são dados exemplos da utilização do conceito da função impulso para a determinação da Transformada de Fourier de sinais que não sejam absolutamente integráveis ou que não tenham energia finita. 1. Sinal constante no tempo (sinal (sinal dc): Considere o sinal v(t )  A  ### constante. Este sinal não tem Transformada de Fourier na forma definida anteriormente, pois tem energia infinita, mas note que v(t )  lim A sinc(2 t )  A . Mas w0

A f     A sinc(2 t )  ).     rect( 2 2 

Como lim  A rect( f  )   A ( f )  então possível dizer que:  0

2

2 

 

 

 

31   A  A   lim Assiinc(2 t )  li m  0  0  2

 





rect(

 2   f 

)   A ( f ) .



De fato,   A ( f )   A ( f )e 1

 j 2ft

df



 A   ( f )e j 2 ft  df  A , portanto (Fig.36) 

  A      A  ( f  )   v(t)

 A  

 A



 A (f)

 

t 

0

f 

0

 

Figura 36. Sinal constante no tempo ("dc") e sua Transformada de Fourier 2) Sinais periódicos a) sinal senoidal  Pela propriedade do deslocamento em freqüência, se  A       A ( f ) , então  Ae j 2 f t     A ( f  f c )  e como c

 A cos( ct   ) 

 e j (  ct  )  e j ( ct  ) A 2

 

, tem-se que (aplicando as propriedades pr opriedades de linearidade e de deslocamento):  

 j 

 j

Ae



 A cos( ct   )   

  Ae

 O sinal e o seu espectro de freqüências são ilustrados na Fig.37. 2

 ( f

f c ) 

2

 ( f

  f c )  

Figura 37. Sinal senoidal (a) forma de onda, (b) espectro de amplitude e (c) espectro de fase Comparando esta representação gráfica do espectro e a da Fig.8, a diferença é que na descrição por Transformada de Fourier (Fig.37), as funções representativas dos espectros de amplitude e fase são impulsos enquanto que na da Fig.8 (que equivale à da representação pela Série Exponencial de Fourier), são utilizados segmentos de reta com os valores dos coeficientes da expansão. Na representação por impulsos, a função descritiva tem valor nulo (zero) nos instantes onde não existem impulsos, ou seja, é definido para todo f todo f (i.e, contínua em f em f ). Na representação em Série, os valores de f de f são discretos e só são definidos nos pontos nf 0 , n inteiro.

 b) Sinal periódico qualquer Dado um sinal periódico, ele pode ser representado (obedecidas certas condições) por uma combinação linear de senóides (expansão em Série de Fourier), i.e.,

v~(t ) 



C e

 j 2 nf 0t 

n

  . Utilizando as propriedades de superposição

n 

(linearidade) e de deslocamento em freqüência, tem-se então que v~(t ) 



C  ( f  nf )    n

n

0

 

 

32

OBS.: para enfatizar o fato de se estar representando um sinal periódico, utiliza-se a notação com um til sobre a função, i.e, v~(t )  em vez de v(t ) . Esta notação especial para sinais periódicos só será utilizada quando houver necessidade de se destacar a periodicidade do sinal. Para um sinal periódico, existe uma correspondência entre seus espectros de amplitude obtidos a partir da série e da transformada de Fourier. c) Considerando o caso particular de um trem de impulsos : 

repT  (t ) 

 (t  nT )   

n

Como se trata de um sinal periódico, ele pode ser expresso em termos de termos de uma Série de Fourier: repT  (t ) 



, 0   2  T 

Ce

 jn 0t 

n

n

Logo, repT  (t ) 

1 

 2  f 0   e

C n



1 T 



T 

 (t )e   jn 0t dt   1   T 



e T 

  . A sua Transformada de Fourier é:

 jn 0t 

n

repT  (t ) 



1



1

1

 ( f   nf  )  rep    e   T   T   T    jn 0t 

0

n

n

 

1

 ( f )  

T 

Assim, a Transformada a Transformada de Fourier de um trem de impulsos é também um trem de impulsos impulsos : : 

repT  (t ) 

1

 (t  nT)    T  rep 

n

 

 ( f ) 

1 T 

 

1





 ( f T  n

 nf 0  )  

(d) Seja agora o exemplo de trem de pulsos retangulares O trem de pulsos retangulares pode ser representado pela convolução de um pulso retangular isolado e um  

t 

trem de impulsos (Fig.38), i.e., por v(t )  Arect( ) * repT  (t )  , pois a operação de convolução de um sinal com um trem de impulsos implica reproduzir este sinal a cada ocorrência de um impulso (v.Fig.32 e o texto correspondente). rep [  ]tt     T 

v(t)

rep [v(t) ] T 

* ... 0

t 

= ...

... -T

0

 

T 

2T 

t 

... -T

0

 

T 

2T 

t 

  Figura 38. Trem de pulsos retangulares como resultado da convolução entre pulso retangular e trem de impulsos Conhecendo-se as Transformadas de Fourier do pulso retangular isolado e do trem de impulsos i mpulsos e aplicando as  multiplicação  propriedades do escalonamento escalonamento e convolução convolução    multiplicação,, calcula-se facilmente a Transformada de Fourier    do trem de pulsos retangulares (Fig.39):   t  1 n     A   n   Arect ( ) * re   A  sinc( f)). . rep 1 ( f )     sinc( )( f   )     pT (t )  T   T  T    n  T  T 

Figura 39. Transformada Fourier (b) de Trem retangulares: amostrada como produto das de pulso p(c) ulso retangular: sincdecontínua com adedepulsos trem de impulsos nosinc tempo: trem de(a)impulsos na freqüência e) A transformada de Fourier da "função sinal" ou "função signum" e da “função degrau unitário”  

 

 

33

 1  ,  t   0 Função sinal (Fig.40a): sgn(t )   1, t   0 e at   Para a determinação do espectro desse sinal, seja: v a (t )   at  e Observe que lim va (t )  sgn(t )  e que

t   0 t   0

 

a 0

e

 at



 u(t )  0

e

 ( a  j 2 f ) t

 ( a  j 2 f ) t   

  e dt      a  j 2f



 



0

 a  j 2f  .    2 a  j 2f   a  (2f ) 2 1



Considerando que se v(t )    V ( f ) , então v(t )    V ( f ) ,  tem-se que  j 4f  1 1 v a (t )         2 . 2 a  j2f a  j2f   a  (2f )  

Logo, tomando-se o limite para a  0 na equação acima, tem-se que  sng(t )  

j  f



1 jf 

, ou seja:

 1 , t   0  1       jf  1,  t   0  

sgn(t )  

(a)sinal

(b) espectro de amplitude

Figura 40. Função "signum" "signum" e seu espectro espectro de amplitudes

Função degrau unitário (Fig.41a). Observando que u(t ) 

1 2

sgn(t ) 

1 ,  t   0  ( f ) 1     u(t )   j2f  2 0, t  0  

1 2

 

:

 

1

(a) degrau unitário

(b) espectro de amplitudes

Figura 41. Função degrau e seu espectro de amplitudes

 

3) Generalização da propriedade de integração Com o conceito da função Delta de Dirac, é possível retirar a condição imposta no item II.3.B.5 para a Transformada de Fourier da integral de um sinal, qual seja a de que o seu nível dc (ou a área sob a curva representativa do sinal) seja nulo, aplicando a propriedade da convolução e a Transformada de Fourier de um degrau e observando que: t 



v( ) d  v( )u(t   )d  v(t )u(t )  . Tomando-se a Transformada de Fourier obtém-se:

  t    1   1    ( f )     v( ) d   v(t )u(t )  v(t )  u(t )  V ( f )     2   j 2  f     

 

 

34

e, portanto, considerando que V ( f ) ( f )  V (0) ( f ) : t 

1

v( )  d      j2  f   

onde V (0)   v (t ) e

V( f ) 

1 2

V (0)  ( f )

 

  j 2  0t 

 dt

 v (t )





dt  é  o nível dc do sinal.



II.4 - Sinais amostrados e seu espectro 1



Dado um sinal qualquer  x(t )     X ( f ) , esse sinal amostrado idealmente, a intervalos T    f  s , pode ser representado (v. II.3.C, Fig. 35) por: v(t )  x(t )  repT   (t )    O espectro do sinal amostrado pode ser determinado tomando-se a Tr Transformada ansformada de Fourier de ambos os membros da equação acima como:

v(t )  x(t )  repT  (t )    x(t ) repT  (t )  X ( f )  

1 T 

rep 1  ( f )  T

1 T 

rep 1  X ( f )   T 

que pode ser representado graficamente como na Fig. 42: 1 T 

 X(f)

rep 1 X(f) [   ] T 

T 

* -F  0  F 

1 T 

 

rep 1  [  f   ]

...

  -

 f 

1 T 

0

 

=

... 1 T 

 

2 T 

 f 

...

  -

1 T 

-F  0 F 

... 1 T 

2

 f 

T 

  Figura 42. Espectro de sinal amostrado amostrado como convolução do espectro do ssinal inal original com trem de impulsos em freqüência Verifica-se, portanto, a portanto, a reprodução (ou repetição) do espectro original em torno das harmônicas da  freqüência de amostragem, a amostragem, a menos da constante 1/T, constante  1/T, e desde que a freqüência de amostragem seja

 s   

1 T 

 2 F  ,

onde F é a maior freqüência do sinal. Logo, sinal.  Logo, o sinal original (contínuo, ou analógico), nessas condições, pode ser recuperado multiplicando-se o espectro do sinal amostrado por uma função Trect fT  , que é um filtro passa-baixas ideal com corte em  f c 

1 2T 



 f  s 2

 e ganho T  na  na faixa de passagem ( 0 aa f   f c ). Essa operação de filtragem ideal anula a nula

as réplicas do espectro original em torno das harmônicas da freqüência de amostragem ( nf s ,  n  0  inteiro) e reconstitui o espectro do sinal em e m torno da origem. No te tempo, mpo, essa operação equivale a convolver as amostras do sinal com uma função sinc

  t 

, conhecida como função como função interpoladora ideal .

T  M N

A possibilidade de representação de um sinal contínuo no tempo (sinal analógico) por meio de amostras digitalização de (sinal discreto no tempo) é um resultado importante, utilizado nos processos de digitalização  de sinais, necessários  para o processamento digital digital de sinais analógicos, com comoo armazenamento (e.g. discos digitais de áudio - CD's - e de vídeo), transmissão e tratamento digital de voz e imagens, sistemas digitais de controle, sensoriamento remoto, etc., e que pode ser expressa pelo denominado Teorema da Amostragem ou Teorema de Nyquist:

Teorema de Nyquist (teorema da amostragem)8: Um sinal limitado em faixa (que não contenha componentes de  freqüência acima de F Hz) pode ser completamente recuperado recuperado a partir de amostras tomadas a uma taxa de 2F amostras/s ou maior. Quando se amostra um sinal tipo passa-baixas (sinal com espectro de freqüências em torno da origem) a uma taxa inferior à Taxa de Nyquist ocorre uma superposição uma superposição dos  dos espectros reproduzidos em torno da freqüência de amostragem e de suas harmônicas (Fig.43)

8 Há

diferentes formulações para o Teorema da amostragem, como resultado de pesquisas independentes sobre o  problema da discretização no no tempo de um sinal e sua reconstituição.

 

 

35 1 rep 1  [  f   T  T 

 X(f)

* ... 0

-F 

 F  f 

0

 

... 0

- T 1 -F 

 f 

2

1 T 

]

= ...

... - T 1

1 rep 1 X(f) [   T  T 

 

]

T 

F  1

2

T 

T 

 f 

Figura 43. Amostragem abaixo da Taxa de Nyquist: espectros repetidos com superposição   O efeito da superposição é tanto pior quanto menor for a freqüencia de amostragem em relação à freqüência de  Nyquist (Fig.44). 1 rep 1 X(f) [   T  T 

]

...

... 0

- T 1 -F 

 F 

1  T 

 f 

2 T 

  Figura 44. Espectro de sinal amostrado com superposição das réplicas dos espectros em torno da primeira e segunda harmônicas da freqüência de amostragem sobre o espectro banda-base (do sinal original)  Nesse caso, o uso uso do filtro de reconstrução ideal, com corte em sim um sinal cujo espectro é limitado a

 f  s

c



1 2T 



 f  s 2

, não recupera o sinal original, mas

e "contaminado" por parte do(s) espectro(s) reproduzido(s) em torno

2

da(s) harmônica(s) da freqüência de amostragem (Fig.45): 1 T 

 X(f)

0

 F

 f 

~

 X(f)

T 

filtro ideal de reconstrução

... -F 

] [ rep 1 X(f)

... ...

  -

1 T 

(a) sinal original

-F 

0

F 

1 T 

 f 

2

-

T 

(b) sinal am ostrado

1 T 

-F 1 2 T 

0

1  F  2 T 

1 T 

 f 

2 T 

(c) sinal re constituído

Figura 45. Reconstrução de sinal amostrado a taxa sub-Nyquist. Espectros dos sinais (a) original, (b) amostrado e (c) reconstituído  reconstituído  Observe, na Fig.45c, que o efeito da superposição de espectros reproduzidos no sinal reconstituído com filtro ideal  pode ser interpretado como um dobramento ("fold-over" , em inglês )  ) das  das componentes de sinal cujas freqüências excedem a metade da freqüência de amostragem para dentro da faixa de 0 a

 f  s 2



1 2T 

 F . Esta parte do espectro

"dobrado" significa componentes antes inexistentes no sinal e, portanto, p ortanto, conhecidos como "alias frequencies" (em inglês) e o processo como de "aliasing". Seja, por exemplo, um sinal senoidal,  s(t )  A cos(2 f 0t ) . O sinal amostrado correspondente e seu respectivo espectro são: v(t )  A cos(2f 0t ). repT  (t )    A 2

v(t )     ( f  f 0 )   ( f  f 0 )

1 r  ep 1  ( f )     T  T 

 

 

36 Se

 s    2 f 0 ,

não ocorre "aliasing", como mostrado na Fig.46

Figura 46. Espectros de senóide e sua versão amostrada a uma taxa maior que a de Nyquist Observe que se for utilizado um filtro de reconstrução ideal com corte em

c



1 2T 



 f  s 2

, e ganho T, o espectro do

sinal original (raias em  f 0 ) é exatamente recuperado e, de acordo com a unicidade da Transformada de Fourier, se o espectro recuperado é igual ao do sinal original, então o sinal no tempo correspondente é também exatamente recuperado. Diz-se que um sinal é amostrado à Taxa de Nyquist   quando quando as amostras são tomadas a exatamente duas vezes a maior freqüência presente nele, i.e. quando se amostra àà Freqüência  Freqüência de Nyquist:  s    f Nyq  2F .  Contudo, se o sinal for amostrado a uma freqüência  s    2 f 0  (diz-se, então, que o sinal é sub-amostrado é sub-amostrado  - em relação à taxa de Nyquist -; se  s    f Nyq , diz-se que o sinal é super-amostrado é  super-amostrado))9, o espectro do sinal amostrado será, por exemplo,como indicado na Fig.47:

Figura 47. Espectros de senóide e sua versão sub-amostrada Observe que o sinal reconstruído é uma senóide de freqüência  f s  f 0 

1 T 

  f 0  diferente da original

 s ,

donde o

nome "alias" (do latim alias : de outra maneira, ou por outra ). outra ). Como exemplo, na na Fig.48 são ilustrados: (a) em e m linhas cheias, o sinal senoidal original, (b) com impulsos, as amostras tomadas a intervalos maiores que o de Nyquist (portanto, com freqüência, ou taxa, de amostragem inferior) e (c) em linhas tracejadas, a senóide que seria reconstituída com um filtro passa baixas ideal com corte na metade da freqüência de amostragem: o "alias". "alias".   sinal

T

"alias"

2T  T 0

Figura 48. Senóide sub-amostrada e o conseqüente conseqüente 'aliasing" na reconstituiçã reconstituiçãoo do sinal

 

O sinal senoidal (portanto com espectro impulsivo) i mpulsivo) não pode normalmente normalmente ser  ser amostrado à Taxa de Nyquist, pois nesse caso ocorreria superposição de raias dos espectros do sinal original e do espectro reproduzido em tor torno no da freqüência de amostragem e de suas harmônicas. Na prática, pr ática, é usual utilizar-se taxas de amostragem de 2,5 a 5 vezes 9  A

amostragem à taxa de Nyquist é condição suficiente para permitir a sua reconstrução exata, porém não é condição necessária.

 

 

37

a maior freqüência do sinal (e.g, voz, limitado a 3,4 kHz amostrado a 8 kHz ou 10 kHz, vídeo limitado a 4,2 MHz amostrado a 10,7 MHz, áudio limitado a 15 kHz amostrado a 50 kHz, etc.), a fim de se poder usar filtros não ideais na reconstrução. Alguns detalhes adicionais serão vistos quando do estudo da modulação por código de pulsos, ou PCM ( Pulse ( Pulse Code Modulation ). Modulation ). Detalhes mais profundos e situações em que o Teorema de Nyquist (condição suficiente mas não necessária) não é utilizado na amostragem a mostragem são tratados na disciplina Codificação Digital de Sinais (ET-235).

CAPÍTULO 3 MODULAÇÃO EM AMPLITUDE - AM Modulação, como vista no Capítulo 1, é um processo no qual alguma(s) característica(s) de uma forma de onda chamada de portadora de portadora é  é (são) alterada(s) sistematicamente de acordo com a(s) de uma outra forma de onda, denominado moduladora moduladora.. Quando a portadora é uma senóide, diz-se que a modulação é cw (do inglês: C ontinuous ontinuous W ave) ave) e quando a portadora é um trem de pulsos diz-se que a modulação é pulsada é pulsada . . Em qualquer dos casos, a modulação em amplitude ( amplitude (AM, do inglês A mplitude M odulation odulation)) pode ser definida como aquela em que a amplitude de amplitude linearmente  de uma onda portadora é variada de acordo com o sinal modulador (a mensagem) e, conseqüentemente, este tipo de modulação é também conhecido como cw linear .  Neste capítulo é estudada estudada a modulação em amplitude de uma portadora senoidal, analisa analisando-se ndo-se diversas  possibilidades.

III.1 - AM-DSB com portadora (ou, simplesmente, si mplesmente, AM) III.1.1 - Análise no domínio do tempo: A forma mais simples (e convencional) convencional) de modulação em am amplitude plitude é descrita pela seguinte equação: (t )  Ac 1  k av m (t ) cos( 2 f c t )  a(t ) cos( 2 f c t )   

onde: (t )  é o sinal modulado  Ac cos(2  f c t )  é a portadora a portadora senoidal  senoidal de amplitude A amplitude A e  e freqüência c . k a  é uma constante positiva denominada sensibilidade denominada  sensibilidade (de  (de modulação) m (t )  é o sinal modulador a(t )  é a amplitude do sinal modulado

em amplitude do amplitude do modulador

 Na Fig.1 são apresentadas apresentadas as formas de onda de um sinal modulador senoidal (a), da portadora senoidal senoidal (b) e do sinal modulado (c):

Figura 25. Modulação em Amplitude - AM (DSB com portadora) Define-se como envoltória envoltória do  do sinal modulado o sinal que se obtém da interpolação dos picos positivos do sinal modulado (Fig.1c). A variação pico-a-pico da envoltória depende do índice de modulação. modulação. Define-se   (t )  k a v m (t )

 como o índice instantâneo  instantâneo de modulação (em porcentagem se multiplicado por 100%) e

  (t )  modulação. O sinal modulado pode, então, também  como o índice índice de modulação. ta mbém ser escrito como máx

(t )  Ac 1  x m (t ) cos( 2  ft ) ,  se  x m (t )  representar o sinal modulador normalizado para

máxima igual a 1.

uma amplitude

 

 

38

Observe que se      1 (i.e., índice de modulação menor ou igual a 100% ), o termo 1  k a v m (t ) .será sempre  positivo e se f c    W  , onde W é a maior freqüência presente no sinal, então a envoltória do sinal modulado (Fig.1c) reproduz a forma de onda do sinal modulador (Fig.1a), a menos de uma constante que depende do índice de modulação, e o processo de demodulação demodulação (processo  (processo de recuperação do sinal modulador a partir do sinal modulado)  pode ser realizado simplesmente simplesmente extraindo-se do sinal modulado a sua envoltória, através de um detector de envoltória (a envoltória  (a ser visto mais tarde). Com o índice de modulação de 100%, o sinal modulado terá amplitudes variando entre zero e 2 Ac . Contudo, se o índice de modulação exceder 100%, a envoltória do sinal modulado não reproduzirá a forma de onda do sinal modulador nos instantes em que os índices instantâneos índices  instantâneos de modulação forem tais que o fator 1  k a v m (t )  seja negativo (Fig.2) e,(Fig.2c), nesse caso, o processo de demodulação não pode de detecção de envoltória. , no detalhe ampliado como há uma inversão i nversão de polaridade (fase)serdoo sinal modulado em relação Observe à da portadora não modulada, nos instantes em que há sobre-modulação há  sobre-modulação (índices  (índices instantâneos de modulação superiores a 100%). Observe, também, a envoltória e o sinal modulador sobrepostos ao sinal modulado (Figs.2a e 2b) e note que o sinal modulador pode ser recuperado interpolando-se os picos do sinal modulado que ocorrem nos instantes correspondentes aos picos positivos da portadora não modulada (Fig.2c) em vez dos picos positivos da por portadora tadora modulada.

Figura 26. Sinal modulado em amplitude, com índice de modulação maior que 100%

III.1.2 - Análise no domínio da freqüência: Reescrevendo o sinal modulado em amplitude como: v (t )  Ac cos( 2 f c t )  Ac k a v m (t ) cos(2  f c t ) .  e achando-se a Transformada da Fourier:   A V ( f  )  c  ( f 2

 

 f c )   ( f  f c ) 

Ac k a 2

V m (f

 f c ) V m ( f  f c  )  

 pode-se observar que o processo processo de modulação em amplitude amplitude simplesmente translada (desloca) de c , que é a freqüência da portadora, o espectro do sinal modulador (a menos de uma constante, que de depende pende do índice de modulação)

V(f) V(0) V(f)

V(f)

-w

0

w

(a) espectro do sinal modulador  Largura de faixa = w

 f 

  (b) espectro do sinal modulado

 

 

 

39 Figura 27. Espectros do sinal modulador (a) e modulado (b) em amplitude (AM-DSB (AM -DSB com portadora)

Observe (Fig.3b) que no espectro do sinal modulado aparecem impulsos que correspondem à portadora senoidal, em torno das quais são reproduzidos o espectro (a menos de uma constante) do sinal modulador, donde este tipo de portadora. A presença das bandas laterais superior (USB, do inglês U   pper Side modulação é denominado com portadora. B and ) e inferior (LSB, do inglês L ower Side B and ) faz com que este tipo de modulação em amplitude seja conhecido, em inglês, como DSB (D ouble Side B and ). ). Note, também, que nesse caso a largura de faixa do sinal modulado é de 2W   em torno da portadora, para um sinal modulador de largura de faixa W  . . Isto significa que a largura de faixa do canal para transmissão do sinal AM-DSB (nesse caso, com por portadora) tadora) é de duas vezes a largura de faixa que seria necessária para a transmissão do sinal na banda-base, banda-base, sem modulação.

III.1.3 - Caso particular de sinal modulador senoidal Seja o sinal modulador modulado é dado por:

m (t )

 A m cos(2 f m t ) e  a portadora

c (t )

 Ac cos(2  f c t ) .  Nesse caso, o sinal

v (t )  Ac 1  k a A m cos( 2f m t ) cos (2f c t )  Ac 1  cos( 2f m t ) cos ( 2f c t )  a (t ) cos( 2f m t ) , 

onde    (t ) máx   k a A m    Note que

amáx amín



 Ac  (1   )  Ac (1   )

 e, conseqüentemente, o índice de modulação pode ser determinado por :     

am áx amáx

 amín    amín

 No domínio da freqüência,   A V ( f  )  c  ( f 2

 

   Ac  ( f 4

 f c )   (f  f c ) 

 f c  f m )   (f  f c  f m )   ( f  f c  f m )   (f  f c   f m )  

Figura 28. Espectros de sinal modulador senoidal (a) e do sinal modulado em amplitude (AM-DSB com  portadora)  Note, na Fig .4b as duas raias de amplitude  A   c 4

  Ac A m

 k a

4

 A c 2

 em  f c , correspondentes à portadora, e as raias de amplitude

 em  ( f c  f m ) , correspondentes à banda lateral superior, e em  ( f c  f m ) , correspondentes à

 banda lateral inferior. O diagrama fasorial correspondente é apresentado na Fig.5:

 

 

40 Im  f m

  A c

 f c

m t 

4

- m t 

2



c t 

-

 Ac

 Ac

- f m

4

c t 

 A c 2

resultante total

 f m

Re

m t 

- f c 

 Ac

- m t 

4

- f m

Figura 29. Diagrama fasorial de senóide modulada por outra senóide  Ac

 Note, na Fig.5, que as resultantes resultantes das somas vetoriais dos fasores de amplitude  

4

 

, correspondentes ao

sinal modulador, girando modulador, girando com freqüência  f m  Hz em relação aos fasores correspondentes correspon dentes à portadora, estão portadora,  estão imaginário  do diagrama sempre em fase com esses, que giram com co m freqüência  f c  Hz, em relação aos eixos real e imaginário do fasorial. A resultante da soma vetorial de d e todos todos os  os fasores (correspondentes aos sinais modulador e portador) está em fase com o eixo real, ou seja, um sinal senoidal modulado por outra senoide em AM-DSB é um sinal real, com amplitude variando de  Ac 1     a  Ac 1    . Uma forma alternativa, mais simples, de representação fasorial de sinal senoidal modulado por outra senóide, é o da Fig.6, na qual a portadora aparece sempre em fase com o eixo real   (corresponde ao diagrama da Fig.5 Fig.5 para o instante t tal que  c t    0 ). Note que a resultante da soma dos fasores do sinal modulador e da portadora também está em fase com o eixo real e tem amplitude variando de  Ac 1     a  Ac 1    , como na representação anterior: Im



2

 f c  A c

 f m

 Ac m t 

- m t 

 

Re

  A c 2

- f m

  Figura 30. Diagrama fasorial de senóide modulado por senóide para  c t    0   O diagrama fasorial pode ser utilizado para se analisar graficamente, por exemplo, efeitos decorrentes da  passagem de um sinal sinal modulado em amplitude por um canal de trans transmissão missão assimétrico ou ssee o próprio processo de modulação provoca tal assimetria, como ilustrado na Fig.7a

 

 

41 Im  f m

resultante total componentee em quadratura component quadratura

 f c  Ac

componentee em fase component

Re

-

 f m

(b) diagrama fasorial

(a) espectro da portadora modulada

Figura 31. Sinal AM com sinal modulador senoidal e com a raia lateral inferior atenuada em relação à superior (a) espectro (b) diagrama fasorial Observe, na Fig.7b, que a assimetria entre as raias laterais inferior e superior faz com que (a) o fasor resultante da soma vetorial dos fasores correspondentes ao sinal modulador tenha uma componente em fase, na direção do eixo real, e uma componente em quadratura, quadratura, na direção do eixo imaginário; (b) a resultante total ((soma soma dos fasores correspondentes à portadora, de amplitude  Ac , e ao sinal modulador) tem, portanto, também uma componente em quadratura. Conseqüentemente, a menos dos instantes em que os fasores correspondentes às raias inferior e superior do sinal modulador estão alinhados na direção do eixo real, a resultante total apresenta uma fase que varia em relação à da portadora (convencionado como sendo na direção do eixo real). A defasagem é máxima quando os fasores correspondentes ao sinal modulador se alinham na direção do eixo imaginário. A "ponta" "po nta" do fasor resultante  percorre a elipse pontilhada mostrada mostrada na Fig.7. No caso em que um umaa das raias (no exemplo, seria a corres correspondente pondente à raia inferior) é totalmente eliminada, a elipse se transforma em um círculo.

III.1.4 - Potência do sinal modulado   A potência média normalizada (dissipada sobre impedância unitária) é definida como: T 



 

2  P  T    v (t )

2

Quando o sinal é real, v (t )





z 2

1

li m T  t  

2

v (t ) dt  



 

T  2

2

v (t )    e considerando o caso geral de sinal modulado em amplitude:

(t )  Ac 1  k av m (t ) cos( 2 f c t )  

tem-se que

2

(t )  Ac 2 1  k av m (t ) 2

v (t )



 Ac2 2

2

    2 1   cos( 4  ft ) cos2 ( 2  f c t )  Ac 2 1  k av m (t )   2

2 1  2 k av m (t )  k a 2v  m (t ) 



 Ac2 2

M N

1  k av m (t ) 

2

, logo:

cos ( 4  f c t )    

Se c    W  , onde W é a maior freqüência presente no sinal sinal modulador, o segundo termo se anula (por causa causa do 2 termo em cosseno) e se v m (t )    0 (i.e., valor médio ou dc do sinal nulo) e v m (t )     P m  (potência média do sinal modulador), então:



  k a 2 Pm Ac 2 4



2

  Ac

onde  P c 

  A 2   A 2 v 2 (t )    c 1  k a 2P m  c 2 2

2

 é a potência da portadora.e  P   sb 

Ac 2 k a 2 Pm   2 1 2

 Pc  2P sb  

k a2 Pm P c  é a potência em cada uma das bandas

laterais Para a condição k av m (t )    1, tem-se que k a 2 P m  1. A potência em cada uma das bandas laterais será e assim,  P   sb

  P c



2

 

Como a potência do sinal modulado é a soma das potências da portadora e das bandas laterais, isto é,   P 

  P 

 2  4T  . Portanto, na modulação em amplitude com portadora e  dupla banda lateral (AM), no mínimo metade da potência é "gasta" com a portadora.

 PT

v 2 (t )

 Pc

 2P sb , tem-se que  P c

T 

 sb  e  P 

 

 

 

42

Considerando um sinal modulador senoidal

m (t )

  Am

 A m cos(2 f m t ) , tem-se que  P m 

2 P sb

 k a

 2 A m 2 Ac 2 2

2

2

2

 e que

 

Define-se eficiência de modulação a parcela da potência contida nas bandas laterais, em relação à potência total, como: 

   

2 P   sb  P  T 

2 2 2  A m Ac k a

4



2

 Ac

2

 k a2

 A A

2

2

m

c

4



2 k a2 A m 2

2

a

m

2k A

 

Mas k a A m      é o índice de modulação e, portanto, em AM, tem-se que, por exemplo, para um índice de 1

modulação de 100%,   , ou seja, apenas 33% da potência total está contida nas faixas laterais (67% na 3

 portadora). Com um índice de modulação modulação de 20%, a eficiência (em porcen porcentagem) tagem) cai a cerca de 2% (98% na  portadora). Como a informação informação a  a ser transmitida está nas bandas laterais e não na portadora, este processo de modulação é ineficiente do ponto de vista de utilização da potência total do transmissor  trans missor . Porém, apesar de ser ineficiente do ponto de vista de utilização da potência para transmissão de informação ., a AM é a adotada para a radiodifusão comercial, devido à simplicidade do demodulador (que pode ser um simples "detector  de  de envoltória" - a ser visto mais tarde ).

III.1.5 - Geração de sinais AM Os principais processos utilizados para geração de sinais AM podem ser, a grosso modo, classificados em sistemas de modulação em baixo nível (utilizados também para a mistura mistura ou  ou deslocamento em freqüência do espectro de um sinal qualquer), quando o objetivo principal é a transladação do espectro e não a transmissão a longas distâncias (o que requer potências mais elevadas na saída do dispositivo), e os sistemas de modulação em alto nível , quando o objetivo é a geração direta de sinais AM em alta potência para transmissão. A modulação em alto nível evita a utilização de ampliadores lineares ampliadores lineares de  de alta potência, de projeto mais difícil (mas, também utilizados), que seriam necessários para a transmissão de sinais AM gerados em baixo bai xo nível. Neste nível. Neste curso só serão apresentados os  princípios dos esquemas básicos, sem detalhes de circuitos ou dispositivos específicos, que são tratados em outras disciplinas.. disciplinas a) Modulação em baixo nível a.1) Modulador quadrático Utiliza-se um dispositivo não linear com função de transferência quadrática (simplificadamente "dispositivo diodo,   quadrático"), do tipo, o  a1v i  a2v i 2 , onde o  é o sinal de saída para uma entrada i . Por exemplo, um diodo, operando a baixas tensões, tem uma característica de transferência que pode ser aproximado por essa função quadrática. Utilizando-se para um tal dispositivo uma entrada v i (t )  A c cos(2  f c t ) v m (t ) ,  tem-se como saída:





2a2

2

vm (t )  cos(2 f c t )  a1vm ( t )  a2 vm2 (t )  a2 Ac 2 cos ( 2 f ct )        a eliminados por filtragem 1       termos que devem ser eliminados

v0 ( t )  a1 Ac 1 

 AM 

Tomando-se a Transformada de Fourier, tem-se: tem- se: V 0 (f ) 

1 2

a1A c  ( f

 f c )  a2 A cV m (f  f c )  a1V m ( f )  a2

1 1 V m ( f ) V m (f )   A c2  ( f )  a2 Ac2  ( f    2 f c  )   2 4

Comparando-se esta equação com a da Transformada de Fourier de um sinal AM:

  A   A k  V ( f  )  c  ( f  f c )   ( f  f c )  c a V m ( f  f c ) V m ( f  f c  )   2 2   k a  podemos notar que se a1  1, a2   e se a largura de faixa do sinal modulador for tal que os espectros dos termos 2

indesejáveis não interfiram no espectro do sinal AM desejado (Fig.8), então um filtro passa-faixa adequado pode ser utilizado para se isolar apenas os termos ter mos correspondentes à portadora modulada (componentes do espectro em torno de

c ).

 

 

43 1 2

2

a  A 2  c  (f )

1 2

a  A    (f - f c ) 1 c

a Vm (f)

1 4

2

a  A     2 2 c (f - fc )

1

a  A Vm (f - f c) 2 c a2 [Vm (f) * Vm (f) ] - 2w

-w

0

w

2w

 f c -w

 f c

f c +  w

2 f c

 f 

  Figura 32. Espectro na saída do dispositivo quadrático (não está em escala, ilustrado apenas para

 0)

Portanto, este processo de geração AM pode ser esquematicamente representado representado como na Fig. 9

filtro passa-faixa

Figura 33. Modulação em amplitude utilizando dispositivo quadrático

 

Observação: na Fig.9 foi utilizada uma notação gráfica para filtros baseada na idéia de se dividir o espectro de freqüências em três faixas: baixa, intermediária e alta, representando-as por ondas (dentro do bloco), sendo que as ondas com um corte diagonal indicam as faixas rejeitadas. Assim, representa-se simbolicamente os quatro tipos  principais de filtros como a seguir: seguir: O principal problema neste esquema de geração AM reside na dificuldade prática de se conseguir dispositivos com característica de transferência quadrática perfeita. Observe, porém, que se existirem termos de ordem maior, as componentes espectrais resultantes podem ainda ser eliminadas por filtragem, desde que as freqüências envolvidas (freqüência da portadora, faixas do sinal e do sinal elevado às potências significativas da expansão em série da característica de transferência do dispositivo não linear) não impliquem interferência na faixa desejada em torno de c . a.2) Modulação por produto  Nesse esquema, esquema, implementa-se eletronicamente a equaçã equaçãoo de definição da modulação em am amplitude plitude (AM): (t )  Ac 1  k av m (t ) cos( 2 f c t )  

Multiplicadores analógicos podem ser implementados de diversas maneiras, como, por exemplo, utilizando dispositivos de transcondutância variável, processadores homomórficos (acha-se o antilogaritmo da soma dos logaritmos do sinal modulador e da portadora) e também com dispositivos não li lineares neares seguidos de filtragem (como no item a.1). O diagrama de blocos básico é o da Fig. 10.

Figura 34. Geração AM por produto a.3) Modulação por chaveamento Este esquema é baseado no conceito de amostragem de sinais. Foi visto no Cap.2, item II.4, que um processo de amostragem (ideal) provoca a reprodução do espectro em torno das harmônicas da freqüência de amostragem. Como o efeito da modulação em amplitude é o deslocamento do espectro do sinal modulador (v. Cap.2, item II.3.B.9),

 

 

44

desde que a freqüência de amostragem (ou de uma de suas harmônicas) seja a da portadora e desde que não ocorra superposição dos espectros reproduzidos (v. Cap.2, item II.4, Figs. 42 e 43), se o sinal amostrado for aplicado a um filtro passa-faixa centrado na portadora, obtém-se o btém-se na saída deste filtro o espectro deslocado desejado. A amostragem idealizada pode ser aproximada através do produto de um sinal por um trem de pulsos retangulares. Uma análise matemática simplificada é apresentada a seguir: Seja um trem de pulsos retangulares e o seu par de Fourier (v.Cap.2.3.C.Figs.38 e 39):   t rep T    Arect( )  

M N

m

P Q

     



sincG HT  J K ( f    T )   T 

A

n 

  n

n=- 

Multiplicando-se o trem de pulsos retangulares por  B  Nv (t ) , onde B onde B   é um nível dc, dc, N  N é uma constante e t   é o sinal modulador, obtém-se: (t )  B

 Nv m (t )  repT 

Tomando-se a Transformada de Fourier:

 

t 

A rect ( ) M   N

 



  n n     ) , sincG J  ( f   M HT  K T  N

  A   V ( f )  B ( f )  NVm ( f )   T 

n=- 

ou seja, o resultado é a convolução de  B ( f )  NV m ( f  )  com um trem de impulsos com áreas freqüências

n 

n T 

 A  T 

n  G HT   nas

sinc

, como ilustrado na Fig.11.

Figura 35. Espectros da convolução entre sinal mais nível dc com trem de impulsos (ilustrado apenas para Escolhendo-se adequadamente um filtro passa-faixa centrado em

c 

1 T 

 0 

 (a freqüência da portadora) por tadora) e as constantes

  T c   ,  A , B e N requeridas para um índice de modulação desejado, obtém-se um sinal AM. Deve-se escolher     para que não ocorra excessiva excessiva atenuação em c .  b) Modulação em alto nível Para transmissão em AM, é possível evitar-se evitar -se o uso de aampliadores mpliadores lineares de alta potência através de um esquema de modulação alto nível (i.e,decom saída Classe em níveis potência, como emem radio-difusão) potência C .,., elevados através do uso em de ampliadores nos quaisde o dispositivo ativoosdeutilizados saída opera modo chaveado, tendo como carga um circuito tanque (circuito tanque (circuito RLC) sintonizado na freqüência freq üência de chaveamento, que é a freqüência da portadora. Detalhes deste tipo de circuito fogem do escopo deste curso, porém o modo de operação chaveado do circuito ampliador funciona como o gerador do trem de pulsos retangulares visto no item anterior (a.3) e o circuito tanque é o filtro passa-faixa, de modo que o ampliador classe C utilizado como modulador chaveado  pode ser idealmente modelado modelado como na Fig.12:

Figura 36. Modulador chaveado para geração de sinal AM

 

 

45

 Na Fig.12, e

c (t )  é

1 (t )

 B  Nv m (t ) ,

(t )  B

 Nv m (t )  rep T 

  t  A rect ( )  

M N

, como analisados no item anterior (a.3),

o sinal AM desejado. A chave fecha brevemente durante  s a cada T  

1  f c

 s

O esquema básico usado em rádio difusão AM é ilustrado na Fig.13:

Figura 37. Transmissor AM com modulação em alto nível

III.1.6. Demodulação de sinais AM A principal vantagem do sinal modulado em amplitude com portadora e dupla banda lateral (AM) é a simplicidade do circuito demodulador que, como mencionado anteriormente, pode ser o chamado detector de envoltória, envoltória, utilizado largamente nos receptores de rádio AM. Nessa seção serão descritas resumidamente este e outros tipos de detector es es que podem ser utilizados. a) Detector de envoltória O esquema básico do detector de envoltória é o da Fig.14:

Figura 38. Detector de envoltória O diodo, no esquema da Fig.14, conduz quando c (t )  v 1 (t ) , tal que nessas condições, 1 (t )  acompanha c (t ) .  se descarrega com constante de tempo RC tempo  RC através do resistor R resistor R   Quando c (t )  v 1 (t ) , o diodo corta e o capacitor C  se (supondo impedância de entrada do filtro muito maior que que R  R); ); o capacitor C 1 bloqueia o nível dc correspondente aos  picos da portadora não modulada. As As formas de onda são ilustra ilustradas das na Fig.15, onde c (t ) , em linhas cheias, é a  portadora modulada e

1 (t ) ,

em pontilhado, é a tensão sobre C .

Figura 39. Formas de onda no detector de envoltória, com constantes de tempo (a) adequada, (b) muito alta e (c) muito baixa  Na fig.15a, a constante de tempo RC tempo RC é a adequada para a largura de faixa W do sinal: nesse caso, o sinal 1 (t )  filtrado é uma boa aproximação do sinal modulador m (t )  e o filtro passa-baixas pode ser simples. Na Fig. 15b, o sinal modulador foi modificado de tal maneira que a constante de tempo do detector de envoltória é muito elevada: observe que quando a envoltória de c (t )  varia muito rapidamente, 1 (t )  não diminui suficientemente rápido para rastrear a variação dos d os picos do sinal modulado. Na Fig.15c, a constante de tempo é ajustada para

 

 

46

acompanhar a rápida variação de c (t ) : nesse caso, quando a envoltória varia mais lentamente (metade inicial da forma de onda de v c (t ) ), 1 (t )  diminui muito entre dois períodos da portadora e a sua forma de onda se torna muito ondulada, dificultando a filtragem  ( 1  (t )  não é uma boa aproximação da envoltória). Portanto, para se usar o detector de envoltória, normalmente se requer a condição: W 



1  RC 

  f c  

onde W é a largura de faixa do sinal modulador, c  é a freqüência da portadora e RC e RC a constante de tempo do detector. Por causa do bloqueio do nível dc, este tipo de detector é inadequado para sinais com conteúdo importante em baixas freqüências.  b) Demodulação AM por retificação O esquema básico é apresentado na Fig.16. O sinal de entrada, c (t ) , deve ter amplitudes tais que o diodo possa ser considerado um retificador ideal, ou seja, como uma chave.ideal que permite a passagem do sinal quando este é  positivo e o bloqueia quando negativo. negativo.

Figura 40. Demodulação AM por retificação  Nesse caso, 1 (t )  é um sinal constituído apenas pelos ciclos positivos da portadora e, conseqüentemente, podendo ser modelado pelo produto de c (t )  por uma onda quadrada síncrona com a portadora (a fase da onda quadrada é tal que os seus nulos coincidem com os ciclos ciclo s negativos da portadora), como ilustrado na Fig. 17b. A análise matemática é similar ao realizado para o processo de modulação por chaveamento (item III.1 III.1.5.a3 .5.a3 e Fig. 11), com

    

 T  2

 nas equações desenvolvidas naquela seção. Em resumo, a multiplicação de

c (t )  por

uma onda quadrada

(trem de pulsos retangulares em que a relação entre a duração do pulso e o período do sinal, denominado duty cycle , cycle , é 0,5) faz com que o espectro de sinal resultante seja formada pela reprodução do espectro de c (t )  em torno dos impulsos do espectro da onda quadrada, ou seja, em torno de n  0,  f c ,  2f c ,    . Filtrando-se a componente em torno da origem do espectro do sinal chaveado, obtém-se o sinal demodulado, desde que os espectros reproduzidos não apresentem superposição. O desenvolvimento matemático não será repetido aqui. A eficiência deste tipo tip o de detector é muito baixa (tem comportamento semelhante ao do detector de envoltória com constante de tempo muito  baixa).

Figura 41. Modelo e formas de onda para a demodulação AM por retificação c) Demodulação quadrática O esquema de demodulação quadrática é o da Fig.16 (item anterior), po porém rém nesse caso o sinal de entrada modulado c (t )  deve ter amplitudes tais que o diodo opere na região não linear. Aproximando-se (como na modulação quadrática, item III.1.5.a1) a característica de transferência do diodo em baixas tensões por uma função quadrática, tem-se na saída desse dispositivo:

 

 

47



2

2

  A 2k v

vc ( t )  Ac 1  ka v m ( t ) cos( 2 f c t )

2

c

a

m

  2 2 ( t )  1  ka v m

   1  cos(4 f t )   (t )   2    2         c

eliminado por filtragem  passa-altas  

A análise espectral deste sinal é análoga à feita no item III.1.5.a1 e não será repetida aqui. Esse esquema, por operar com níveis de tensão muito baixos, é menos eficiente do que o de detecção de envoltória, que é o processo mais utilizado para demodulação AM. O termo ka2 vm2 (t )  não pode ser eliminado por filtragem, portanto, é necessáro que se tenha ka2 vm2 (t )  2ka vm (t )  e o fator 1 eliminado por um bloqueio dc dc (perde-se  (perde-se o nível dc do sinal, se houver). d) Demodulação síncrona AM Este esquema consiste em se multiplicar o sinal modulado, c (t ) , por uma senóide de freqüência e fase exatamente iguais à da portadora e baseia-se na seguinte identidade matemática:

 

c

(t ) cos ( 2 f c t )  A c 1  k av m (t ) cos 2 ( 2  f c t )  A c 1  k av m (t )  

1  cos ( 4    f c t )

M N

2

 

Observe, então, que o sinal desejado, m (t ) , pode ser recuperado por uma filtragem adequada. Este processo é  pouco utilizado para a demodulação demodulação AM, devido à complexidade do ssistema istema comparado ao de detecçã detecçãoo de envoltória. Contudo, tem a vantagem de poder ser utilizada para índices de modulação maiores que 100% (situação evitada na prática). Maiores detalhes sobre este esquema de demodulação síncrona serão vistos na seção sobre demodulação de sinais AM-DSB com portadora suprimida, a seguir.

III.2 - AM-DSB com portadora suprimida (ou, simplificadamente, simplificadamente, DSB) O sistema de modulação em amplitude com portadora por tadora (AM) tem como maior vantagem a demodulação simples (detector de envoltória), ao custo de um uso ineficiente da potência transmitida (a portadora consome acima de 67% da potência total, v. item II.1.4). Uma alternativa para uso mais eficiente da potência transmitida é a chamada modulação em amplitude com  portadora suprimida. suprimida.  Na modulação em amplitude, estudada estudada na seção III.1, c (t )  A c 1  k av m (t ) cos ( 2 f c t )  A c cos ( 2 f c t )  Ac k av m (t ) cos ( 2  f c t )   Suprimindo-se a portadora e fazendo-se k a    1, sem perda de generalidade, obtém-se: c (t )  A cv m ( t ) cos ( 2  f c t )    que é a equação que descreve o sinal AM-DSB com portadora suprimida (AM-DSB/sc, ou DSB)

III.2.1 - Análise no tempo As formas de onda do sinal modulador, portadora e sinal modulado (DSB), além do modelo de geração por produto, são mostradas na Fig. 18.

 

 

48

t 

t 

t 

 

Figura 42. Geração e formas de onda do AM-DSB/sc Observe que o sinal modulado é nulo quando o sinal modulador é nulo e nulo  e que quando o sinal modulador se torna negativo, há uma inversão de fase da portadora (v. portadora  (v. também o item III.1.1, Fig.2)

III.2.2 - No domínio da freqüência Tomando-se Transformada de Fourier da equação que q ue descreve o sinal DSB tem-se:  A c

1

 )   ( f   2 V m ( f  f c ) V m ( f  f c  )   Observe que o espectro do sinal modulado em DSB consiste apenas do espectro do sinal modulador deslocado para  f c  (a menos de uma u ma constante). Portanto, o espectro do DSB é semelhante àquele do AM, porém sem os impulsos representativos da portadora em  f c  (Fig.19), uma vez que a portadora foi suprimida. Vc

(f ) 

A cV m

( f )  2  (f

fc

f c  )

V(f) V(0) V(f)

V(f)

-w

0

w

 f 

(a) espectro do sinal modulador  Largura de faixa = w

 

 

(b) espec tro do DSB

Figura 43. Espectros do sinal modulador (a) e do sinal modulado (b) em AM-DSB/sc AM -DSB/sc (DSB)

III.2.3 - Caso particular de sinal senoidal (t )  A m cos ( 2  f m t ) ,  o sinal DSB é:   A cos (  m t ) cos (  c t )   cos (  c   m )t  cos (  c   m )t   2

 No caso particular de sinal sinal modulador senoidal: c

(t )  A c A m

m

 

 f i   onde  A  A c A m  e  i  2   Observe que o resultado do produto das duas senóides de freqüências m  e c  são outras senóides de freqüências obtém-se -se uma senóide com freqüência c  f m . Filtrando-se apenas o termo resultando da soma (ou da diferença), obtém

que énecessariamente uma mistura mistura das  dassenóide) freqüências das duas senóides originais. Portanto, o processo deou multiplicação de um sinal e (não por uma senóide é também conhecido como conversão mistura de freqüências e freqüências os dispositivos que desempenham essas funções (multiplicação por senóide e filtragem) são conhecidos como

 

 

49

conversores ou misturadores de freqüências , freqüências  , quando o objetivo não é a transmissão mas, simplesmente, o deslocamento do espectro de um sinal. Voltando ao caso de sinal modulador senoidal, o diagrama fasorial correspondente ao sinal DSB pode ser visualizado como sendo o do sinal AM, no qual o fasor correspondente à portadora é reduzida até se anular (Fig.20) Im

Im

Im



- m t 

  

Re

 A c

 Ac 2

2

m t 

- m t 

  

2

- m t 

Re

Re

 Ac

 Ac

- f m

(a) AM

 f c m t 

c

 f m

 Ac

2

 f  m t 

c

 f m

 Ac



2

 f   A c

 f m

 Ac

2

- f m

- f m

(b) AM sobremodulado

(c) DSB

  Figura 44. Transição de AM para DSB, reduzindo a amplitude da portadora O diagrama fasorial para senóide modulada em DSB DS B consiste, portanto, de apenas dois fasores, corr correspondentes espondentes ao respectivamente, em relação ao eixo real , sinal modulador. Esses fasores giram a  f m  ciclos/s, com fase   m t , respectivamente, em que por sua vez gira a c  ciclos/s.

4

4

( a ) AM

( b) AM sobr e m odula do

(c) DSB

  fora Figura 45. Espectros e formas de onda de sinais (a) AM, (b) AM sobremodulado e (c) DSB - desenhos de escala  Na Fig.21 são traçados apenas apenas os espectros para  0 do espectro bilateral (o espectro de amplitudes é simétrico 0  para  ; o espectro uniteral teria todas as raias com valores multiplicados por 2). O sinal modulador é apresentado em linhas pontilhadas: note a reversão de fase da portadora no sinal DSB (e também no caso da AM sobremodulada) e, portanto, nesse caso.não se pode utilizar a detecção de envoltória (demodular-se-ía o módulo do sinal modulador).

III.2.4 - Potência transmitida (DSB) Dada uma portadora de amplitude  A c , a potência transmitida em DSB, para um sinal modulador qualquer, é:  Pt

 2 Psb 

1 2

A c 2 P m ,

onde  P t  , 2 P   sb  em cada) e do sinal  sb  e  P m  são, respectivamente, as potências transmitida, das bandas laterais ( P  modulador. 2

Se a amplitude máxima permitida no transmissor é  A max (i.e, com potência de pico  A ma x), em condições de máxima modulação, na AM o índice de modulação deve ser 100%, ou seja,  A max   2 A c , e na DSB o pico do sinal

 

 

50

modulado deve ser  A max   A c . Nessas condições, a relação

2 P   sb 2  A m ax

, que é a razão entre a potência transmitida na

 bandas laterais relativa à potência potência de pico de transmissão, transmissão, pode ser utilizada para se com comparar parar a DSB e a AM:

Para DSB:

2 P   sb  A 2 má x 2 P 

Para AM:

 sb 2  A má x



 

1  A c 2 P m 2  A c

 



 P m

2

 A c



 P m 2

 

2

 P 

4 A c

22



m

8

 

Portanto, mesmo para um índice de modulação de 100% na AM (condição li limite mite nesse processo de modulação, de modo a permitir o uso do detector de envoltória), a DSB é quatro vezes mais eficaz (em termos de uso da po potência tência do transmissor para transmissão da informação, que está contida apenas nas bandas laterais). la terais). Esta eficácia maior da DSB, contudo, é atingida a custo de um processo mais elaborado para demodulação, como será visto mais adiante.

III.2.5 - Modulação DSB a) Modulador balanceado O diagrama de blocos deste esquema de geração DSB é mostrado na Fig.22. Utilizam-se dois moduladores AM (por exemplo, o quadrático, item III.1.5.a1, Fig.9). A montagem é denominada balanceada balanceada,, pois com os dois moduladores AM sendo idênticos idênticos,, a portadora (e, eventualmente, termos de distorção na geração AM, devidos, por balanceado  exemplo, ao uso de dispositivos quadráticos não ideais) será concelada (ou suprimida). O modulador balanceado  funciona, portanto, como um multiplicador (sinal   portadora, no caso). Níveis dc em m (t )  não se cancelam, como se pode observar acompanhando o fluxo, até a saída, dos sinais nos ramos superior e inferior do diagrama de  blocos da Fig.22.

Figura 46. Modulador balanceado para geração de sinal DSB  b) Modulador chaveado, em ponte  Neste esquema, quatro quatro diodos balanceados (idênticos) ssão ão colocados em uma estrutura em ponte (Fig.23), tal que todos conduzem durante meio ciclo (período) da portadora e todos são cortados na outra metade. Os diodos funcionam, portanto, como uma chave paralela controlada pela portadora e, podendo este modulador ser modelado  pelo produto do sinal por uma onda quadrada quadrada síncrona ( p (t ) , na Fig.24). A análise matemática é semelhante à do item III.1.5.a3 (AM por chaveamento), substituindo-se, na equações daquela seção, a entrada  B  Nv m (t )  por constante B resulta na supressão da portadora no sinal resultante. m (t ) ; a supressão da constante B  p(t) ,

(a) modulador DSB em ponte

(b) modelo com chave sincrona

Figura 47. Modulador DSB chaveado, em ponte

 

 

 

51

Figura 48. Modelo e formas de onda para o modulador DSB chaveado, em ponte  Na Fig.24 são ilustradas as formas de onda do modelo do m modulador odulador DSB chaveado, em ponte, ponte, sem  sem o filtro passa faixa de saída . saída . É também ilustrada a forma de onda da portadora, como referência. c) Modulador chaveado, em anel (ou treliça)  Nesta estrutura, os diodos conduzem conduzem aos pares, dependendo dependendo da polaridade da portadora (Fig.25): ou os diodos dos ramos superior e inferior (AB e CD), quando o sinal de saída tem a mesma polaridade da do de entrada, os os outros dois diodos (AD e BC), quando a polaridade do sinal de saída é oposta à de entrada. Os diodos em anel funcionam,  portanto como uma chave síncrona, síncrona, controlada pela portadora, que rev reverte erte ou não a polaridade do sinal de eentrada ntrada (multiplica por 1). Este modulador pode, então, ser modelado pelo produto de sinal com uma onda quadrada com nível dc nulo (amplitudes 1 ), como na Fig.26

B

A A

B

D

C

v (t) > 0 c

C

D

+ v (t) = cos (2 f t ) c c

B

A

C

D

vc (t) < 0 (b) estado do anel de diodos

(a) modulador 

  Figura 49. Modulador chaveado, em anel: (a) esquema; (b) funcionamento do anel de diodos de acordo com a polaridade da portadora

Figura 50. Modelo e formas de onda do modulador DSB, chaveado em ponte, antes da filtragem A análise análoga à realizada no item III.1.5.a3, substituindo-se a ondapelo quadrada com dc por outra sem matemática nível dc, ouéseja, baseia-se na convolução do espectro do sinal modulado espectro denível um trem de impulsos para o deslocamento do espectro do sinal modulado para a banda-base e não será repetida aqui.

 

 

52

d) Modulador DSB por produto O esquema (Fig.27), neste caso, é semelhante semelhante ao da modulação AM por produto (v. item III.1.5.a2), III.1. 5.a2), porém sem adicionar a portadora à saída do multiplicador analógico como naquele caso.

Figura 51. Modulação DSB por produto

III.2.6. Demodulação DSB O processo de demodulação DSB é mais complexo que o de AM, devido à ausência da portadora, que deve ser restaurado no demodulador. a) Demodulador síncrono (coerente) por produto Dado um sinal DSB: (t )  Acv m (t ) cos(2 f c t )  , multiplicando-o por uma senóide de freqüência e fase exatamente iguais obtém-se:    1  cos( 4  f c t )   y (t )  A cv m (t ) cos(2f c t ) cos(2 f c t )  Ac v m (t )       2 v m (t ) , pode, então, ser recuperado (a menos de uma constante), por filtragem de  y (t ) . O sinal modulador, Contudo, se houver uma diferença de fase entre a portadora modulada e a  portadora local (a senóide usada para o  produto no processo de demodulação), demodulação), tem-se:    cos( )  cos (4 f c t    )   y (t )  A cv m (t ) cos(2f c t ) cos(2f c t   )  A cv m (t )       2

Após filtragem passa-baixas obter-se-ía  Acv m (t )

cos( ) 2  

 fase),  fase ), o sinal é demodulado como desejado; se    

2

. Observe que se     0  (portadoras modulada e local em

quadratura), a saída é nula nula e  (portadoras em quadratura),  e para os outros

casos, o sinal demodulado é atenuado por cos( ) , donde a necessidade de se sincronizar  se sincronizar  adequadamente  adequadamente a fase do  do   oscilador local   (dispositivo (dispositivo que gera a portadora local) à da portadora modulada. A freqüência do oscilador local deve ser também igual à da portadora, mas como existem técnicas que permitem projetar osciladores de freqüências iguais (com oscilador a cristal), a preocupação se concentra na sincronização de fase. O esquema básico de demodulação DSB é, então, o da Fig.28.  A c v m (t ) cos( 2    f c t )

x

cos( 2   f c t )

eferência de fase da  portadora modulada

osciladora  local

  Figura 52. Demodulador DSB síncrono por produto A referência de fase pode ser, por exemplo, obtida a partir de um sinal um  sinal de referência de fase transmitida junto com o sinal DSB. Esta técnica é utilizada, por exemplo, (i) no sistema FM estéreo. Resumidamente, no sistema de rádio-difusão FM estéreo, transmitem-se sinais constituídos pela soma pela soma dos  dos canais de áudio esquerdo (  L, L, do inglês L eft) e direito ( R,  R, do inglês R ight ) e pela diferença,, ou sejam, os sinais  L  R  e  L  R , respectivamente. Como ambos ocupam a mesma faixa de freqüências diferença de áudio (50 Hz a 15 kHz), o sinal-diferença deve ser deslocado em freqüência para que não haja interferência

 

 

53

mútua entre ele e o sinal-soma. Este deslocamento é efetuado modulando-se em DSB uma sub-portadora uma sub-portadora10 de freqüência c    38 kHz com o sinal-diferença. Como se necessita demodular o sinal  L  R , em DSB, no receptor, transmite-se um sinal referência (denominada nesse caso de sinal de  sinal piloto ) piloto ) de fase da sub-portadora, que, por sua vez, também não interfira com os sinais soma e diferença: escolheu-se então um sinal de exatamente a metade da freqüência da sub-portadora DSB, ou seja  p    19  kHz, a partir do qual se recupera c   em fase. fase. Na Fig.29 é mostrado o espectro (apenas para freqüências positivas e fora de escala) do sinal banda-base do áudio em FM estéreo: note as larguras de faixa de 15 kHz do canal   L L  R  e de 30 kHz do canal L  R  (esta diferença de larguras de faixa reflete o fato de o canal do sinal soma não ser modulado e o de diferença modulado em DSB). Este sinal  banda-base é um exemplo exemplo de sinal multiplexado em freqüência (v. Ca Cap.I.3.B). p.I.3.B).

Figura 53. Espectro (para f  (para f   >0 e fora de escala) do sinal banda-base para rádio-difusão de áudio em FM,com sinal-piloto em 19 kHz (ii) no caso de TV em cores, a informação de cor (sinal de crominância crominância)) modula uma sub-portadora uma sub-portadora de cor   em DSB (com algumas modificações, a serem vistas mais tarde) tar de) e a referência de fase é transmitida na forma de uma salva (em inglês: burst ) de cerca de 10 ciclos dessa sub-portadora, multiplexado no tempo (Fig.30), onde : A indica sinal auxiliar para formação da imagem; B imagem; B é a referência de fase da sub-portadora de cor   e C é a forma de onda responsável pela imagem na tela

v(t)

C

A

C

t 

A B

B

  Figura 54. Forma de onda (fora de escala) de sinal de TV em cores  b) Demodulação síncrona por chaveamento ou amostragem Estas técnicas de demodulação se baseiam no processo de deslocamento do espectro do sinal modulado para a  banda-base através da convolução convolução no domínio da freqüên freqüência cia com um trem de impulsos espaça espaçados dos de c , que é a freqüência da portadora. No tempo, corresponde a multiplicar o sinal modulado por um sinal que tenha o espectro impulsivo desejado (Fig.31), que pode ser um trem de impulsos de área constante (trem amostrador ideal) ou uma onda quadrada com nível dc nulo.

Figura 55. . Demodulação DSB por amostragem ou chaveamento  Na demodulação por amostragem, amostragem, 10Denomina-se Denomina-se sub-portadora,  sub-portadora, pois  pois o nome portadora, nome  portadora, no caso, é utilizado para identificar aquele modulado em freqüência para

transmissão, pelo conjunto dos sinais soma e diferença que constitui o sinal o  sinal banda-base modulador banda-base modulador (Fig.29). 

 

 

54  p (t )  repT    (t )   c

e por chaveamento,

   t       1  p (t )  repT   2rect c  T    c      Em ambos os casos, deve haver sincronização adequada de fase: no caso do tr trem em de impulsos, estes devem ocorrer nos instantes de pico positivo da portadora e no caso da onda quadrada, os ciclos positivos deste devem coincidir com os ciclos positivos da portadora não modulada. A análise matemática é similar às realizadas anteriormente e não será repetida aqui. A demodulação d emodulação síncrona por chaveamento pode sere interpretada, tempo,como comona uma que p reverte o processo descrito item III.2.5c, Fig.26, que pode ser no ilustrado Fig.operação 32, na qual a função de de modulação anular a reversão deno (t )  tem fase ocorrida na modulação (v. Fig.26).

Figura 56. . Ilustração da demodulação DSB síncrona por chaveamento. c) demodulação com o "Costas loop" (elo ( elo ou anel de Costas)  Nos processos de demodulação demodulação DSB vistos, é necessária necessária uma referência de fase fase para sincronizar o oscilador local, o que exige a transmissão de um sinal específico para tal. Uma técnica que dispen dispensa sa a transmissão da referência de fase é a demodulação com o chamado c hamado Costas loop  loop  (Fig.33)

Figura 57. Demodulação DSB por Costas Loo p O sinal DSB passa por dois demoduladores síncronos, denominados I (de I n Phase ) Phase ) e Q (de Quadrature uadrature ),  ), sendo que o primeiro deve, em princípio, ter a fase da portadora local em fase com a portadora modulada e o segundo, com a portadora local em quadratura com a modulada. Caso haja uma diferença de fase  entre as portadoras local e 1

1

modulada, os sinais demodulados serão, respectivamente,  Acv m (t ) ccoos( )  e  Acv m (t )sen(  ) . Note, então, que 2 2 1  A v (t ) , que é a saída de um demodulador síncrono 2 c m

se   0 , a saída do ramo inferior é nula e a do superior é   convencional (v. item III.2.6a). Portanto, o circuito ilustrado na Fig.33 é um demodulador DSB, que embora mais elaborado que os analisados anteriormente, não requer um sinal de referência de fase.

 

 

55

O discriminador de fase  fase  mostrado na Fig.33 é um dispositivo dispositivo que permite detectar a diferença de fase fase  entre as  portadoras local e modulada e gera um sinal que corrige a fase da osc osciladora iladora local controlada por tensã tensãoo (VCO, do inglês V oltage oltage C ontrolled ontrolled O scillator ) até se ter a condição     0 . O esquema básico para o discriminador de fase é mostrado na Fig.34, tendo como entradas os sinais indicados na Fig.33:

Figura 58. Discriminador de fase 1

1

4

4

A saída do multiplicador é  y (t )  Ac 2 v m 2 (t ) cos( )sen( )  Ac 2 v m 2 (t )  , se   for pequeno ( pois, nesse caso, cos( )   1 e sen( )    ). O filtro passa-baixas dá como saída,  s (t ) , o valor médio de médio de  y (t ) , que é uma constante no tempo. Logo,  s (t )  é diretamente proporcional  a  a e, portanto, esse sinal tem polaridades opostas para     0  e     0  e é nulo para     0 . Portanto, s (t )  pode ser utilizado para controlar a fase do VCO, variando-a enquanto   for  for diferente de zero. Observe que a estrutura do discriminador de d e fase é nada mais que a de um misturador de freqüências e, também, de um demodulador DSB, diferindo apenas no tipo de sinais de entrada. A estrutura de demodulação DSB da Fig.33 é também conhecida como Costas PLL System (PLL, do inglês P hase L ocked L oop oop), ), pois é um sistema que rastreia variações de fase (e freqüência, dentro de certos limites) do sinal de entrada, no caso o sinal DSB. Os PLL's são também utilizados para detectar  variações  variações de fase (nesse caso, o sinal de saída de interesse passa a ser  s (t ) ) e, como veremos mais adiante, como demoduladores FM e PM. São também os dispositivos utilizados para se sincronizar a fase da osciladora local ao do sinal de referência de fase, segundo o esquema básico indicado na Fig. 35. Detalhes sobre a teoria e prática de PLL's fogem do escopo deste curso. O Costas PLL segue, PLL segue, como vimos, basicamente o mesmo princípio, com o detalhe que o distingue dos PLL's convencionais na forma como o sinal de referência de fase é obtido (diretamente do próprio sinal, e não de um sinal  próprio e distinto de referência, como como os exemplificados nos itens III.2.6a(i) e (ii)).

Figura 59. Esquema básico de um PLL d) Técnica de reinserção da subportadora Seja um sinal DSB: c

(t )  v m (t  ) cos( c t )   

Com reinserção reinserção (i.e.,  (i.e., soma) de subportadora de mesma freqüência, porém com defasagem   , obtém-se o sinal:  y (t )  v m (t ) cos(c t )  Ac cosc t     v m (t ) cos(c t )  Ac cos   cos(c t )  Ac sen ( )sen (c t )     que pode ser re-escrito como:  y (t )  a(t ) cosc t   (t )   onde 2

 Ac 2 sen2 ( )    A sen( )    (t )  Arctan    v (t )  A cos( )  Observe que se     0 , a(t )  Ac v m (t )  e, portanto, se  Ac v m (t )  0, um detector de envoltória pode ser utilizado como na demodulação de sinal AM (Fig.36). a(t ) 

v m (t )  Ac cos( )

 

 

56

Figura 60. . Demodulação DSB e SSB por re-inserção de portadora Se, porém,    0 , então: a(t )  A c

e, nesse caso, se  A c  v m (t )

v m 2 (t )  A c 2



2v m (t ) cos( )  A c

1  1

má

 , a envoltória pode ser aproximado, lembrando que 1  x  1  x  se x    1, 2

 por:



a(t )  A c 1 

 v m (t )   cos( )   A c   A c

v m (t ) cos( )    Portanto, com um detector de envoltória obtém-se demodulado o sinal m (t ) co cos( )   III.2.7. Modulação e demodulação em quadratura O processo de modulação/demodulação síncrona permite multiplexar e transmitir dois sinais sinai s DSB, independentes, de tal maneira a ocuparem a mesma faixa transmissãoeme,quadratura mesmo assim, poderem ser recuperados, separadamente, no receptor. Esta técnica é conhecida comodemodulação (QAM   , , do inglês Quadrature A mplitude  M odulation). Suponha duas portadoras de exatamente a mesma freqüência (ocupando, portanto, por tanto, a mesma posição no espectro de freqüências), porém defasados de Seja agora

 

2

 (ou 

 

2

), e dois sinais independentes

1 (t )  e

2 (t ) .

(t )  v 1 (t ) cos(2f c t ) v 2 (t )sen sen(2 f c t )  

Cada um dos termos da soma no segundo membro da equação, que caracteriza um sinal QAM, é um sinal DSB. Multiplicando-se este sinal por cos(2   f c t )  obtém-se:   v1 ( t ) 1 cos(4 f ct )    v2  (t  )sen( 4 f ct )    y1 (t )   v1 (t ) cos( 2f c t )  v2 (t )sen( 2f c t ) cos(2 f c t )     2

2

Observe, portanto, que 1 (t )  pode ser recuperado a partir de  y 1 (t )  por filtragem passa-baixas, independente de 2 (t ) . Analogamente, multiplicando-se o sinal QAM por sen(2   f c t ) , obtém-se:





 





 y2 (t )  v1 ( t ) cos( 2f ct )  v2 (t )sen(2f c t ) sen(2 f c t )  v1 ( t ) sen( 4 f c t )   v2 ( t )  1  cos(4 f c t )    2 2 e, por filtragem passa-baixas, pode-se recuperar 2 (t )  a partir de  y 2 (t ) , independente de 1 (t ) .

Este esquema de modulação e demodulação em quadratura é ilustrado na Fig.37, onde o bloco indicado por  f c t   f c t ) , a sua saída é cos(2  um defasador tal que se sua entrada é o sinal cos(2 

  2

)  sen(2 f c t ) .

v 1 (t ) x

x

referência de fase

cos( 2   f c t ) +

-

v 2 (t )

 2

x

+ +

v(t)

QAM

 y 1 (t )

cos( 2   f c t ) v(t)

-

 2

x

 y 2 (t )

Figura 61. Modulação e demodulação QAM (sem filtragens de saída)

 

  

2

 é

 

 

57

 Note que (t )  pode ser re-escrito como:



(t )  a(t ) cos 2f c t

  (t )   

 2 2 a(t )  v 1 (t )  v 2 (t )   onde         (t )  arctanv 2 (t )   v (t )     1    portanto, o sinal QAM pode ser interpretado como um processo de modulação em amplitude e em fase de uma  portadora senoidal .  Note também que o sinal QAM QAM pode ser representado por um fas fasor or de magnitude a(t )  e fase  (t )  em relação ao eixo real, feito coincidir a todo instante com a fase da portadora não modulada (Fig.38). O pr processo ocesso de modulação  pode ser representado fasorialmente fasorialmente como na Fig.38a, na qual o eixo de modulação em fase indica fase  indica a portadora modulada em fase e o eixo de modulação em quadratura, quadratura , a portadora modulada em quadratura. O processo de demodulação é representado fasorialmente como como na Fig.38b, na qual o eixo real é feito coincidir sempre com a f ase da portadora e, portanto, o eixo de demodulação em fase deve coincidir com ele; o eixo de demodulação em quadratura   é defasado de  quadratura

 

2

 em relação ao eixo em fase e, portanto, deve ter a mesma direção e sentido oposto

ao do eixo imaginário. Os sinais moduladores em quadratura podem ser representados pela projeção pela  projeção de  de a (t )  sobre os eixos de demodulação.

Figura 62. Representação fasorial da modulação (a) e demodulação (b) em quadratura: QAM Se o oscilador local não estiver em fase com a portadora portador a modulada, os eixos de demodulação estarão deslocados em relação aos eixos real e imaginário, i maginário, i.e., em relação aos eixos de modulação e, conseqüentemente, os sinais demodulados apresentarão distorção em relação ao sinais moduladores (Fig.39). Note que os sinais demodulados (w 1 (t )  e 2 (t ) ), que são as projeções pr ojeções sobre os eixos de demodulação, são de amplitudes diferentes dos esperados (fasores tracejados), que seriam as projeções sobre os eixos real r eal e imaginário (nesse, no sentido oposto).

Figura 63. Demodulação QAM com defasagem   entre portadora e oscilador local É possível provar que: w 1 (t )  v 1 (t ) cos( ) v 2 (t )sen   ( )  

 

 

58

e que w 2 (t )  v 2 (t ) cos( ) v 1 (t )sen   ( )  

 Note, portanto, que se que se o oscilador local não estiver exatamente em fase com a portadora modulada, há interferência entre os dois canais (sinais) , comumente denominada cross-talk , por analogia com o que aconteceria se os dois sinais fossem de voz. Este processo de modulação e demodulação é utilizado nos sistemas de TV em cores NTSC ( N ational ational T elevision elevision  S ystem C ommittee) ommittee) e PAL ( P hase A lternating L ines ines), ), o primeiro adotado em países como os EUA e Japão e o segundo no Brasil, entre outros, para a transmissão das informações de cor (saturação e matiz). É também amplamente utilizado em sistemas de comunicação de dados e em sistemas que operam com sinais complexos (um dos sinais é a componente real e o outro, a imaginária).

III.3 - AM-SSB (Single Side Band, ou Supressed  Side Band) III.3.1 - Preâmbulo: equivalente passa-baixa de sinal passa-faixa. Seja um sinal um sinal passa-faixa bp (t ) , real, com espectro V bp (f  ) , Fig.40, não necessariamente simétrico com relação a  f c , tal que V bp (f  )  0 para  f  f c W  e f  f c W  , com c   W   . Como bp (t )  é real, o seu espectro deve ser simétrico hermitiano (v.Cap.II.3.C), i.e., V bp (f )  V  bp (f )   Vbp (f)

- f c -W 

- f c

- f c +  W 

0

 f c -W 

 f c

 f c +  W 

 f 

  Figura 64. Espectros de amplitude (linha cheia) e de fase (tracejado) de sinal passa-faixa. O sinal correspondente no tempo é bp (t )  a(t ) cos c t   (t ) . Como c   W  , o seu aspecto é de uma senóide com amplitude e fase variando lentamente (Fig.41). Definimos a(t )  como sendo a envoltória envoltória   do sinal sinal e, como tal, não-negativo: quando a "amplitude" se torna negativa, a sua fase deve ser corr corrigida igida de    (é como se fosse um sinal DSB, porém com suas bandas laterais, em relação à portadora suprimida, podendo ser assimétricas). Observe, na Fig.41, que, diferentemente do DSB, o período do sinal "senoidal" varia, devido ao termo  (t ) , e que, como no DSB, quando a(t )  tende a se tornar negativa, há uma reversão de fase da "portadora".

Figura 65. Forma de onda de sinal passa-faixa Este mesmo sinal pode ser representado fasorialmente, no plano complexo, como na Fig.42a, Fig.4 2a, ou, mais convencionalmente, como na Fig.42b, na qual fica implícita a rotação constante a c  ciclos/s.

 

 

59 Im

Im v bp (t )

v bp (t )

a (t  )

a (t  )

c t

  (t )

v q (t )

 (t ) v i (t )

Re (a)

Re

(b)

Figura 66. Representação fasorial de sinal passa-faixa  Na Fig.42b, com a rotação implícita a função de suas componentes em fase,

 

pode-se ver que o sinal passa-faixa pode também ser escrito em   cos  (t ) , e em quadratura, q (t )  a(t )sen  (t ) , como: i (t )  a(t ))c        ( t ) v ( t ) c o s ( t ) v ( t ) c o s      t    v (t ) cos(c t ) v q (t )sen( c t )    bp i c q   c 2  i Compare esta expressão com a do sinal QAM (v.item III.2.7). Por analogia, pode-se, então, afirmar que as passa-baixas , de largura componentes em fase e em quadratura, v i (t )  e q (t ) , respectivamente, devem ser sinais ser sinais passa-baixas, de faixa W , caso , caso contrário, bp (t )  não será passa-faixa de largura de faixa 2W 2W . O espectro do sinal passa-faixa, em função dos espectros das componentes em fase e quadratura é, pela  propriedade da modulação de Transformadas de Fourier: V bp (f ) 

1 2

c  ciclos/s,

 j

 f c ) V i (f  f c  )  

V i (f

2

V q (f  f c ) V q (f

 f c )  

com V i (f ) V q (f )   0  para  f W  .

Define-se como equivalente passa-baixas do passa-baixas do sinal passa faixa, v bp (t ) , o sinal lp

(t ) 

1 2

lp

(t )  tal que:

v i (t )  j v q (t ) 

com espectro passa-baixa equivalente (do sinal passa-faixa): V lp (f ) 

Como

i

  cos  (t )  e (t )  a(t ))c

q

1 2

V i (f )  j V q (f ) 

(t )  a(t )sen  (t ) , podemos concluir que:

lp

(t ) 

1 2

a(t )e

 j (t )

.

 v q (t )  onde (fig.41) a(t )  v i 2 (t ) v q 2 (t )   e que  (t )  arctan   v (t )  . i Portanto, o sinal passa-faixa pode ser escrito em função de seu equivalente passa-baixa: bp (t ) 



Re a(t )e

 j ct    j (t )

e

  2 Re  v

lp (t )e

 j ct 

 

e, no domínio da freqüência:

 f c ) V lp  (f  f c  )   O equivalente passa-baixas é, portanto, a representação de um sinal passa-faixa passa -faixa real por um sinal passa-baixa complexo , cujo espectro é igual ao espectro de sinal passa faixas para  0 , porém deslocado para a origem Fig.43).. Fig.43) V bp ( f ) V lp (f

 

 

60

Vlp (f)

-W 

0

W 

 f 

  Figura 67. Espectro do sinal passa-baixa equivalente do sinal passa-faixa da Fig.40 OBSERVAÇÃO : alguns autores definem o equivalente passa-baixas sem o fator subseqüentes devem, então, ser adequadamente corrigidas.

1 2

. Todas as expressões

III.3.2 - Análise do SSB A transmissão em banda (ou faixa) lateral simples (ou singela, ou única), SSB (do inglês Single Side B and ) baseiase na constatação de que no DSB, devido à simetria do espectro em torno de  f c , a informação contida nas duas faixas laterais é a mesma, sendo, portanto, redundante transmitir ambas. Pode-se, portanto, suprimir uma das bandas laterais sem prejuízo da informação a ser s er transmitida e, com essa supressão, necessitar de metade da largura de faixa de transmissão para o SSB, comparado às requeridas r equeridas pela DSB e AM (Fi (Fig.44). g.44).

Figura 68. Espectros de sinais modulados em amplitude: (a) DSB - Dupla Banda Lateral, (b)SSB/USB Banda Lateral Superior e (c) SSB/LSB - Banda Lateral Inferior O sinal SSB pode, em princípio, princípio, ser obtido com o esquema básico da Fig. 45, no qual um sinal DSB é inicialmente gerado e, posteriormente, uma das bandas laterais é suprimida por filtragem passa-faixa ideal.

 

 

61

Figura 69. Modelo de geração SSB por filtragem ideal a partir de sinal DSB Para a representação matemática do sinal SSB, podemos po demos considerar incialmente o sinal DSB como um sinal passafaixa, com i (t )  Acv m (t ) , v q (t )  0  e com bandas laterais simétricas em relação a  f c : bp (t )  A cv m  (t ) cos( c t )    Como bp (t )  é um sinal passa-faixa (com  (t )   0), ele pode ser representado pelo seu equivalente passa-baixas. Para o caso geral de

bp



(t )  a(t ) cos c

  (t ) , o equivalente passa-baixas é v lp (t ) 

 para o DSB: lp

(t ) 

1 2

a(t )e

 j (t )

 e, portanto,

1

1  A cv m (t )   V lp (f )  AcV m (f )   2 2

Tomando o caso do SSB/USB (banda lateral superior), o filtro passa-faixa ideal para sua geração a partir do sinal DSB é o da Fig. 46a, com o equivalente passa-baixa da Fig.46b.

Figura 70. (a) Filtro passa-faixa ideal para geração do SSB/USB a partir de sinal DSB e (b) seu equivalente passa-baixa O filtro SSB passa-baixa equivalente é  H lp (f )  u (f )  u ( f W ) , onde u (f  )  é o degrau unitário. Este filtro 1,  f    0 1  pode também ser descrito por H lp (f )  1  sgn(f ) , f W  , onde s gn( f  )   . 2 1,  f   0 Trabalhando-se, agora, com os equivalentes passa-baixas do sinal DSB e do filtro SSB, a saída desse filtro é, no domínio da freqüência, levando em consideração que V m (f  )  0  para  f W  :

  A   4c V m (f )  s gn(f )V m (f )    Designa-se Filtro Designa-se  Filtro Transformador de Hilbert (ou, simplesmente, Filtro de Hilbert) um filtro com função de transferência: lp

( f )  V lp (f )H lp (f  )   A c V m (f )1  s gn( f  ) 4

 H ( f

 j ,  f   0 sgn n(f  )   )   jsg ,  j , f   0

Um sinal na saída desse filtro tem um deslocamento de fase, fase,  em relação ao sinal na entrada, de 

 0 e de 

 

2

 para

 0, mantendo inalterada a sua magnitude  pois  pois,,

Filtro de Hilbert é h (t )  dualidade tempo

1

  t 

 

2

 para

 . A resposta ao impulso do

 H ( f )    1

 signum (sinal)  (recordar a Transformada de Fourier da função função signum  (sinal) e a propriedade da

  freqüência) e, portanto, aplicando-se um sinal  x (t ) ,qualquer , à entrada deste filtro, obtém-se a

saída:  x ( t )  h(t ) x (t ) 

1

 t 

 x (t ) 



 x (  ) d  .    t    1



 

 

62

Diz-se que  x (t ) é a Transformada de Hilbert  de  de  x (t ) .Por exemplo, dado um sinal senoidal: se noidal:  x (t )  A c  os( c t ) , a sen   sua Transformada de Hilbert é  x (t )  A sen (  c t )  (OBS.: é mais fácil visualizar este resultado no domínio da freqüência, comparando os espectros das funções seno e co-seno co -seno e o efeito da Transformação de Hilbert sobre o espectro de um sinal). Re-escrevendo a saída do filtro SSB passa-baixa equivalente, no domínio da freqüência: lp

( f  ) 

 A c 4

V m (f )  sgn(f )V m (f )  

 A c 4

V m (f )  j   js gn(f )V m (f )   

o sinal correspondente no tempo é, tomando-se a sua Transformada inversa:



O sinal passa-faixa correspondente é:





 ylp (t )   Ac vm ( t )   jvm ( t )    4  A   vc (t  )  2c  vm (t ) cos(ct )   vm (t )sen( ct )  

 j ct 

 ybp (t )  2 Re ylp (t ) e

que é a expressão matemática que descreve um sinal SSB/USB, no domínio do tempo. Observe que se v m (t )  A m   cos( m t ) ,  i.e., com sinal modulador senoidal, c

(t ) 

 A m . A c 2

 A m . A c

 cos(m t ) cos(c t )  sen( m t )sen(c t )   

2



cos ( m

 c )t    

com apenas uma raia, no caso, a lateral superior (compare com espectros da AM e da DSB, para o caso senoidal), como esperado.  No caso do SSB de faixa lateral lateral inferior (SSB/LSB), se chega, analogamen analogamente, te, a vc (t ) 

 Ac 2

 vm (t ) cos(ct )   vm (t ) sen( ct )   

Fig. 47 são ilustrados os do sinalmodulador modula dos sinais SSB, superior deslocada (Fig.47b) e 0 e dor W  e da inferior Na (Fig.47b). No SSB/USB, o espectros espectro entre banda-base dobanda sinal élateral simplesmente  para  f c  a ( f c W  ) . Contudo, no SSB/LSB, o deslocamento é para ( f c W  )  a  f c  com inversão do espectro em relação ao da banda-base de  0 e W  .

Figura 71. Espectros do (a) sinal modulador, (b) SSB/USB e (c) SSB/LSB SSB/ LSB

III.3.3 Geração do SSB O modelo de geração do sinal SSB a partir de um DSB, por filtragem ideal, é conveniente para a caracterização matemática, porém não realizável na prática. Os principais métodos práticos de geração de sinais SSB são descritos a seguir. a) Método de discriminação em freqüência Este método tem como esquema básico a Fig.45, com um filtro um  filtro SSB que seja realizável  na  na prática e, portanto, aplicável apenas a sinais v m (t )  com espectro banda-base tipo passa-faixas, isto é, com espectro nulo em torno da origem (Fig.48a). Nesse caso, o sinal DSB à saída de um modulador balanceado apresenta um espectro (Fig.48b) que pode ter uma de suas bandas laterais suprimida por um filtro passa-faixa não ideal , realizável na prática. Filtros  práticos não devem ter, normalmente, normalmente, regiões de transição entre entre as faixas de passagem e rejeição com largura menor que cerca de 1% da d a freqüência de corte. Assim, se    é a largura de faixa da região região de amplitudes desprezíveis desprezíveis do

 

 

63

sinal próximo à origem (Fig.48a) e 0  é a freqüência de corte do filtro SSB próximo à portadora, po rtadora, suprimida     , o que (Fig.48b), considerações de realizabilidade prática pr ática impõem 2     0.0 1f 0 ou, equivalentemente, 0  200 limita a freqüência máxima da portadora

Figura 72. Características desejáveis desejáveis dos espectros dos ssinais inais (a) modulador e (b) DSB, para geração geração de sinal SSB, no exemplo SSB/USB (característica do filtro tracejado) Por exemplo, se a largura de faixa do "vale" em torno da origem (na Fig.48, a região com espectro nulo nas vizinhanças de  f    0 ) é      300Hz, deve-se ter c    60kHz, pois a restrição prática para a faixa de transição      e, portanto, c  f o max  60kHz. impõe 0  200 max

Caso se necessite de freqüências de portadora  f c   20 200 0   (no  (no exemplo, maiores que 60kHz), o processo de modulação SSB (por esta técnica de discriminação em freqüência) deve ser realizado com estágios múltiplos, pois a cada estágio de modulação SSB se aumenta a largura de faixa do "vale" (Fig. 49). Observe nessa figura que, dado um sinal m (t )  com um "vale"    , o primeiro estágio de modulação SSB1, com portadora de freqüência c1 , gera um sinal m 2 (t ) , passa-faixa, com "vale"       , o que permite utilizar portadoras de freqüência segundo estágio modulador SSB2.

c2

 f c1  no

Figura 73. Geração de sinal SSB em duas etapas Sinais SSB/LSB podem ser gerados de maneira análoga, escolhendo-se adequadamente a característica (resposta em freqüência) do filtro SSB.  b) Método da discriminação em fase fase Tomando como exemplo a geração de um sinal SSB de banda lateral superior (USB), a expressão que caracteriza esse tipo de sinal é: vc (t ) 

 Ac 2

 vm (t ) cos(ct )   vm (t )sen( ct )   

O método de geração de sinal SSB por discriminação em fase se fase se baseia na implementação física desta equação, de acordo com o esquema da Fig.50:

 

 

64

Figura 74. Modulador SSB por discriminação em fase O sinal SSB/LSB pode ser gerado da mesma forma, mudando-se apenas a polaridade do ramo inferior do somador da Fig.50. Este método de modulação SSB tem como principal dificuldade a implementação do Filtro de Hilbert que, na  prática, pode apenas ser aproximado aproximado (foge do escopo deste curso curso estudar detalhes de implementação dess dessee tipo de filtros). c) Método de Weaver Este método evita a dificuldade de se implementar Filtros (Transformadores) de Hilbert, de acordo com a estrutura W 

da Fig.51, na qual os filtros indicados são filtros passa-baixas com corte em 2 , onde W é a maior freqüência do sinal, dispensando o uso de filtro SSB passa-faixa. Utilizam-se dois osciladores, de freqüências

W  2

 e

c 

W  2

,

conforme se deseje USB ou LSB (muda, também, a polaridade de um dos ramos do somador). Sugere-se, como exercício, escrever as equações em cada ponto relevante do diagrama de circuito, para um sinal senoidal com freqüência m    W   e verificar que se obtém na saída um sinal SSB.

Figura 75. Modulador SSB de Weaver

III.3.4 - Demodulação SSB A principal técnica de demodulação SSB, por ser basicamente um sistema de portadora suprimida (embora não necessariamente), é a da detecção coerente (ou síncrona) por produto pr oduto com uma portadora p ortadora local com freqüência e fase exatamente iguais à da portadora modulada. Dado um sinal SSB: vc (t ) 

 Ac 2

 vm (t ) cos(ct )   vm (t )sen( ct )  , o produto desse por cos( c t )  dá como resultado:

   cos(2c t ) v m (t )sen(2 c t )    A c  A c v m (t )     y (t )  2 v m (t ) cos(c t ) v m (t ) sen(c t ) cos( c t )   2  2 v m (t ) 2 2      eliminado por filtragem e, por filtragem, obtém-se o sinal modulador (a menos de uma constante). O esquema básico é mostrado na Fig.52.

 

 

65

Figura 76. Demodulação SSB por produto Sugere-se, como exercício, fazer uma análise gráfica do processo de demodulação no domínio da freqüência, considerando o espectro do sinal modulado SSB e a convolução com o espectro de uma senóide de freqüência igual à da portadora (suprimida na modulação).

III.4 - Modulação VSB (Vestigial Side Band) O processo de modulação SSB apresenta como principal vantagem o uso eficiente do canal de transmissão, pois a largura de faixa do sinal modulado é igual à do sinal modulador, porém tem a desvantagem, nos sistemas práticos, de não ter uma resposta muito boa para baixas freqüências. A DSB, por sua vez, tem boa resposta para baixas freqüências, porém requer o dobro da largura de faixa da correspondente SSB. Uma técnica de modulação que tem um desempenho próximo ao da SSB, em termos de largura de faixa requerida  para o canal de transmissão, transmissão, é a denominada VSB (do inglês inglês V estigial estigial Side B and ) na qual uma das bandas laterais é transmitida quase completamente e o outra é quase totalmente suprimida, deixando apenas "vestígios". Na Fig.53 é ilustrado o caso em que a banda lateral inferior é quase totalmente suprimida.

Figura 77. Espectros dos sinais (a) modulador modulador e (b) VSB O filtro VSB deve ter, portanto, uma característica de transição em torno de c  como a indicada na Fig.54, em vez da transição abrupta do filtro SSB (Fig.46), o que o torna realizável e não requer "vales" em torno de  0Hz (dc) no espectro do sinal modulador, como no caso da SSB (item III.3a e Fig.48a). Observe que o espectro da banda lateral não suprimida é atenuada próximo pró ximo à portadora, com uma resposta anti-simétrica anti-simétrica em  em relação ao ponto de ganho

1 2

 (em

 f c ), de modo que a potência do sinal demodulado seja constante em toda a faixa (se a banda b anda não

suprimida fosse transmitida sem essa atenuação, as componentes de freqüência entre c  e c      , no exemplo da Fig.54, seriam acentuadas devido à presença da banda vestigial, em relação às componentes de freqüência maiores que c      , que são SSB).

Figura 78. Característica desejada para o filtro VSB, em torno de

c

 

A largura de faixa requerida para transmissão VSB é, portanto,  BT   W     W  , se a largura de faixa da banda "vestigial" é     W  . Na prática, contudo, é mais freqüente implementar-se a filtragem VSB no receptor, transmitido-se o sinal com largura de faixa pouco maior que W      . Por exemplo, no caso do sinal de vídeo em

 

 

66

televisão, no padrão adotado no Brasil, o espectro do sinal transmitido, em torno da portadora de vídeo, é mostrado na Fig.55a e caraterística de resposta r esposta em freqüência do chamado estágio de FI ( F reqüência I ntermediária ), onde se efetua a filtragem VSB, é mostrada na Fig.55b. Observe que o sinal de vídeo é transmitido com largura de faixa de aproximadamente 5,5 MHz, para um sinal modulador (vídeo) de largura 4,2 MHz, o que exigiria larguras de faixa mínima de 8,4 MHz e 4,2 MHz se fossem adotadas AM e SSB, respectivamente.. O filtro VSB, na Fig.55b, tem característica em freqüência "invertida" em relação à do sinal transmitido, em termos ter mos de banda lateral suprimida, e freqüências de corte bem definidas e fixas (enquanto as freqüências limite do sinal transmitido dependem da freqüência da portadora, c ), por razões que serão vistas na seção seguinte (III.5: Receptor AM).

Figura 79. Espectro de sinal de TV transmitido (a) e da resposta em freqüência do estágio de FI (b), fora de escala, padrão M, adotado no Brasil O canal de TV, no Brasil, tem largura de faixa total de 6,0 MHz, pois deve ser transmitido também o sinal de áudio (em FM, sobre portadora com freqüência 4,5 MHz maior que a da portadora de vídeo). O sinal VSB pode ser transmitido com portadora ,como portadora ,como no caso do sinal rf (de r ádioádio-  f  f reqüência) reqüência) de televisão (Fig.55a), ou com(descrito portadora suprimida suprimida, , como casoéda modulação da sub-portadora sistema de TV em cores, em QAM na seção III.2.7). Na no Fig.56 ilustrado o espectro do sinal de de TVcor emnocores, na banda-base (esse é o sinal  o sinal  composto de TV em cores que modula a portadora rf em AM-VSB com portadora): observe que a sub-portadora modulada ( sinal  sinal de croma ) tem banda lateral superior com largura de faixa de 0,5 MHz e a inferior, com 1,3 MHz, para uma sub-portadora (suprimida) de aproximadamente 3,58 MHz. Esse sinal de croma pode ser considerado como um sinal DSB para o sinal o sinal de crominância (sinal crominância (sinal com informação de cor, não modulada ) modulada ) na faixa de 0 a 0,5 MHz e em SSB na faixa de 0,5 a 1,3 MHz.

Figura 80. Espectro do sinal banda-base de TV em cores Para demodulação de sinais VSB, se a portadora estiver presente, pode ser utilizado um detector de envoltória (como na detecção do sinal de vídeo em TV). Contudo, a assimetria das bandas laterais provoca uma distorção na envoltória do sinal (v.item III.1.3 e Fig.7, para análise do caso senoidal), o que requer cuidadosa (embora empírica) escolha de índices de modulação e largura da banda vestigial, estudo que foge do escopo deste curso.  No caso de VSB com portadora suprimida, suprimida, utiliza-se a detecção síncrona síncrona,, como no caso da demodula demodulação ção do sinal de cor nos sistemas de TV em cores NTSC e PAL (na demodulação, deve ser compensado o fato de que parte do d o sinal, na faixa de 0,5 a 1,3 MHz, é DSB e parte, de 0 a 0,5 MHz , SSB).

III.5 - Receptor AM A recepção de um sinal AM pode ser realizada de acordo com o seguinte esquema (Fig.57)

 

 

67

Figura 81. Possível estrutura para receptor AM  Na estrutura receptora da Fig.57, o sinal sinal transmitido (sinal AM com largura de fa faixa ixa de 10 kHz, p.ex., na faixa de Ondas Médias, Médias, com uma portadora de freqüência entre 535 e 1605 kHz, para um sinal modulador de áudio limitado a uma largura de faixa de 5 kHz) seria captado pela antena, ampliado (para compensar a atenuação do sinal pelo efeito de propagação à distância) para que o sinal possa atingir níveis suficientes para detecção, no caso, através de um detector de envoltória. O sinal demodulado seria, então, ampliado e aplicado ao transdutor de saída (altofalante). O ampliador rf ( rr  ádioádio-  f  f reqüência), reqüência), assim denominado pois sua faixa de operação é centrada em torno da freqüência, na faixa de rádio-freqüência rádio-freqüência ("freqüências utilizadas para transmis transmissões sões pelo espaço livre por radiação radiação", ", ou seja, para "rádio-difusão"), da portadora do sinal AM, tem também a função de selecionar de  selecionar a estação de rádio e isso significa que sua característica de resposta em freqüência deve ser tal que sint  sinto onize o sinal AM desejado e rejeite todas as demais (i.e demais (i.e.,., seletividade ) . . Considerando  Considerando os níveis de tensão (ou de potência) do sinal que podem ser captados pela antena nos sistemas de radio-difusão, radio -difusão, esse ampliador rf deve ter características de de sensibilidade  sensibilidade (capacidade de operar com níveis "baixos" de sinal), Figura sinal), Figura de Ruído (parâmetro que define a variação da relação sinal-ruído na saída de um dispositivo eletrônico para uma dada na sua entrada) e ganho e  ganho (relação entre as potências de saída e de entrada), além da seletividade, tais que tornam o seu projeto muito elaborado (e, conseqüentemente, de custo elevado) caso se deseje um receptor capaz de atuar em uma larga faixa de freqüências de portadoras. O estudo das dificuldades envolvidas em tais projetos foge ao escopo deste curso, sendo suficiente destacar que existe uma alternativa que as reduz. Esta alternativa, utilizada nos receptores em sistemas de radiodifusão radiodifusão comercial (rádio AM, FM e TV), é a chamada técnica de recepção superheterodina. superheterodina. Os elementos básicos básicos de  de um receptor superheterodino  superheterodino AM são mostradas na Fig. 58: antena; estágio sintonizador, constituído de ampliador rf , oscilador local e misturador (conversor de freqüências); estágio ampliador de FI; detector de envoltória; ampliador de áudio e alto-falante.

Figura 82. Esquema básico de receptor AM (superheterodino)  No sistema de recepção superheterodina, superheterodina, o sinal captado captado é inicialmente ampliado apena apenass o suficiente para que, através de um misturador (conversor de freqüências), ele tenha o seu espectro tr transladado ansladado para uma freqüência, denominada F reqüência I ntermediária (FI), comum  comum  a todas as estações de estações  de rádio. O ampliador de rf deve ter baixa Figura de Ruído (deve introduzir pouco ruído ao sinal captado) e resposta em freqüência que rejeite apenas parcialmente as estações adjascentes. Portanto, as suas características de ganho e seletividade são mais simples de serem satisfeitas que para o ampliador do esquema da Fig.57. O ampliador de FI, com características de resposta em freqüência fixas, independente da estação sintonizada, é, então, responsável pela ampliação do sinal aos níveis necessários para a demodulação e pela seletividade final do receptor (rejeição das estações adjascentes).

 

 

68

O oscilador local deve ser ajustado de acordo com a estação que se quer sintonizar, tal que a saída do misturador seja sempre a FI. Considerando que se deseje sintonizar uma portadora c , podemos escolher uma de duas   f ol  f FI  f c frequências do oscilador, a fim de convertê-la à freqüência da portadora FI,  F :    FI  I     f ol  f FI  f c diferença entre  No primeiro caso, a diferença  entre as freqüências da osciladora local e da portadora resulta na  F  FI  I  ; no segundo, é da da soma  soma que  que se obtém a FI. Adota-se o esquema na qual o oscilador funciona com a freqüência maior, i.e., ol  f FI  f c , pois, nesse caso, pode-se provar que a variação nos valores das componentes eletrônicas do oscilador pode ser bem menor que no outro caso, para cobrir toda a faixa de freqüências de portadoras possíveis , o 11

que do sintonizador. Por exemplo, 540facilita   f   1o6projeto 00  kHz,:

 FI  para  f  FI 

   455 kHz e uma portadora em Ondas Médias , i.e,

c

 f c  f FI ,  então 995   f ol   2055  kHz se ol  f c  f FI ,  então 85   f ol   1145  kHz A razão de sintonia, sintonia, definida como a relação entre a maior e menor freqüências do oscilador, é, no primeiro caso se

 f max  f min 0



 2,07  e, no segundo, 1 2   LC 

 f max  f min

ol

 1347 , . Lembrando que circuitos LC têm freqüências de ressonância dadas por

, pode-se ver que quanto menor a razão de sintonia, menores podem ser as variações em em L  L ou C para

cobrir toda a faixa de freqüências desejadas para ol . O valor  FI   FI    455 kHz foi adotado para receptores AM, empiricamente, levando-se em conta que a FI não deve interferir ou sofrer interferência das portadoras AM e, também, o problema da freqüência da  freqüência imagem. Suponha ol  f co  f FI  ,  onde co  é a freqüência da portadora da estação a sintonizar (observe que escolhemos a frequência do oscilador como a soma entre as frequências da portadora e intermediária). Se existir um sinal com  portadora de frequência c1  f co  2f FI  ,  a diferença entre a freqüência desse sinal e ol  também gera um sinal em frequência intermediária, pois :  f c1  f ol  (f co  2f FI )  (f co  f FI FI )  f FI .  Portanto, os sinais AM com  portadoras em co  e em  f c 1 , se existirem simultâneamente na entrada do misturador, gerariam, ambos, sinais em FI. Dizemos, então, que c 1 é a freqüência a freqüência imagem de imagem de co . Para evitar que a freqüência imagem interfira na estação que se quer sintonizar, deve-se impor que na entrada do misturador não apareça a freqüência imagem, o que pode ser feito escolhendo-se uma característica de resposta em freqüência do ampliador rf tal que a freqüência imagem seja rejeitada. Assim, a largura de faixa do ampliador rf deve ser tal que: 2 B m  B A M  B rf  2f FI    onde  B m , B A M e B rf  são, respectivamente, as larguras de faixa do sinal modulador (áudio de 5 kHz), da portadora   modulada (sinal AM, de 10 kHz) e do ampliador rf. Em princípio, a largura de faixa do ampliador rf poderia ser escolhido com  B r  B AM  , mas com isso o seu projeto seria mais custoso, pois a largura de faixa fracional (i.e.,

 B rf   f c

) tenderia a ser muito baixo.(v. Cap.I.3.bii, Fig. 12).

Por essa razão, escolhe-se B r  B AM   e, conseqüentemente, na saída do misturador estão presentes a estação  B r  2f FI   rejeita-se a freqüência imagem. A seletividade final é conseguida desejada e mais as adjascentes. Com limitando-se a largura de faixa do estágio FI a  B AM   (Fig.59).

11 a faixa de freqüências reservada para o serviço de radiodifusão AM é de 535 kHz a 1.605 kHz  

 

 

69

Figura 83. Espectros no "front end" de receptor superheterodino Tipicamente, em receptores AM (por exemplo, rádio e vídeo em TV), a tensão induzida nos terminais da antena é da ordem de microvolts a milivolts. O ampliador de rf tem ganho (relação entre as potências de saída e entrada) da ordem de 20 a 30 dB, o misturador ,cerca de 20 dB e o estágio de FI, de 30 a 70 dB. O detector de envoltória requer tensões da ordem de centenas de milivolts a alguns volts. Para assegurar níveis de detecção aproximadamente constantes,. independente do nível do sinal captado (que varia devido a diferenças na potência do transmissor e devido a variações na distância do transmissor ao receptor), é usual manter-se um sistema de Controle Automático de Ganho atuando Ganho atuando sobre os ampliadores rf e de FI. O sintonizador deve atuar simultâneamente sobre os circuitos LC circuitos  LC (ou equivalentes eletrônicos)  eletrônicos) do ampliador rf, oscilador e entrada do misturador. O estágio FI, com ganho elevado e alta seletividade, e o detector são comuns (assim como os demais estágios de saída) a todas as estações, ou seja, suas características de resposta em freqüência não variam com a portadora sintonizada, o que simplifica o projeto e implementação, sendo esta a principal vantagem dos receptores superheterodinos. A outra vantagem é que o sinal de saída do estágio FI tem freqüências bem diferentes das do sinal rf, o que reduz o problema de estabilidade no projeto do ampliador rf, com boa isolação entre a entrada rf em baixos níveis de tensão e saída FI ampliada. Como cuidados  principais, além da rejeição da freqüência imagem, deve-se atentar ao fato de qu quee não linearidades presentes podem 1

gerar interferências na FI a partir de sub-harmônicas próximas de  f  FI  . 2

Dependendo da freqüência da portadora, o estágio de conversão da freqüência da portadora rf à freqüência da FI utilizada para demodulação pode ser constituído de duas (ou ( ou mais) etapas de mistura (por exemplo, na recepção de sinais UHF de TV, com portadoras entre 470 MHz a 890 MHz, pode ser inicialmente convertido a um sinal VHF, tipicamente na faixa de 60 a 72 MHz - canais 3 e 4 - e de 76 a 82 MHz - canal 5 -, e depois para a FI de vídeo, em 45,75 MHz, para um sinal de vídeo com largura de faixa de 4,2 MHz). CAPÍTULO 4 Modulação cw exponencial ou angular Define-se um sinal senoidal generalizado por: vc (t )  Ac cosc t     (t )   onde  Ac  é uma constante e ct   (t )  c (t )  é o ângulo instantâneo. A equação acima pode, então, ser re-escrita re -escrita como:  j  ( t )   vc (t )  Ac cos c (t )  Ac Re e c  

  



Se  c  (t )   variar com o sinal modulador, com  Ac   constante, tem-se um processo definido como modulação angular ou exponencial. São utilizados dois tipos básicos de modulação angular: a modulaçã odulação o em fr eqüênci qüência a ( F M , do inglês  F requency requency M odulation) odulation)   e a modulação em fase ( P M , do inglês P hase hase M odulation) odulation) . IV.1 - Modulação em fase (PM)  Nesse caso,  (t )    . vm (t ) e, portanto,

 

 

70





vc (t )  Ac cos c t    vm (t )  ,

onde   é uma constante que representa o máximo desvio de fase, fase, se vm ( t )  for normalizado tal que vm (t )    1. Na prática, em PM se faz     para se evitar ambiguidades de fase na demodulação.   equivale

ao índice de modulação,  da modulação em amplitude, podendo também ser denominado índice de modulação em  fase. Observe que a fase a fase instantânea, instantânea,  (t ) , varia linearmente com o sinal modulador. O diagrama fasorial a seguir (Fig.1) ( Fig.1) ilustra o processo de modulação exponencial, com portadora senoidal de amplitude  Ac . A portadora tem um ângulo total  c  (t ) , constituído de uma componente constante (  c t ) e uma componente   (t )  que depende do sinal modulador.  f (t )

Im

 Ac

 (t )

 c  (t )

 c t 

Figura 1. Diagrama fasorial ilustrativo da modulação exponencial

Re  

d  A taxa de rotação angular é: c (t )   c (t )  e, portanto, a  freqüência instantânea, instantânea, que é a taxa de rotação em dt 

 f (t ) 

 c (t ) 2

  f c 

1 2 

ciclos/s (Hz), é

 ( t ).   

Logo, em PM, a fase varia linearmente com o sinal s inal e a frequência, linearmente com a derivada do sinal .

IV.2 - Modulação em frequência (FM)  Nesse caso, é a frequência a frequência instantânea que varia linearmente com o sinal , isto é,  f (t )  f c

 f .

vm (t ) ,

freqüência , com  f  fc , para vm (t )    1, para garantir que f(t) onde  f  é o desvio de freqüência , que f(t) não  não se torne negativo. Na  prática,  f  fc . Comparando-se as duas expressões para f(t) para  f(t) acima, tem-se que a fase,  (t ) , do sinal FM é: t 

 ( t )  2 f

v

m ( )

d

  (t 0  ), t  t 0    

t 0

Tomando-se t 0  tal que  (t 0 )  0  (i.e., fase inicial nula), tem-se que:

 

 

71 t 

  

 (t )  2 f vm ( ) d     

ou seja, a fase a fase do sinal FM varia linearmente com a integral do sinal e a freqüência, linearmente com o sinal. O sinal modulado em freqüência é dado por:. por: .

  vc (t )  Ac cos ct  2 f  

t 



  vm ( ) d        

É necessário que o sinal tenha nível dc nulo, i.e. vm (t )    0 , para que a integral convirja para t   . Na  prática, um nível dc no sinal sinal provoca um desvio constante  f c  f  vm (t )  na freqüência da portadora 

IV.3- PM, FM e AM. IV.3.1. PM e FM: Tabela 1. Fase e freqüência instantânea na modulação exponencial modulação

fase instantânea  (t )  

PM

freqüência instantânea  f (t )  

  . . vm (t )   t 

FM 2  f



1

 f c 

2 

  . vm (t )  

 f c  f . vm (t )   vm ( )  d    

Os dois tipos de modulação exponencial são, de acordo com a tabela acima, essencialmente equivalentes, a menos de uma diferenciação ou integração do sinal, ou seja, um modulador em fase pode gerar um sinal FM e vice-versa. vice -versa.

IV.3.2. Modulação exponencial e AM: Dada uma portadora de amplitude A amplitude  Ac  e um sinal modulador com potência P  potência P m , as potências transmitidas são: Tabela 2. Potências transmitidas na modulação exponencial e em amplitude modulação  potência transmitida

PM/FM 1 2

2  Ac  

independente do sinal modulador  

AM 1 2

DSB 2

2  Ac



    P m

    k a Ac  é

2

o índ índii-

ce de modulaç modulaç ão

1

 

2

2

 Ac P m  

SSB 1 4

2

 Ac P m  

 

Observe que na modulação exponencial, como a amplitude do d o sinal senoidal é mantida constante, a potência po tência de transmissão não depende do sinal modulador. Na DSB e SSB, quando o sinal modulador é nulo, a potência transmitida é nula (portadora suprimida).  Na Fig.2 são ilustrados (cf. Carlson) Carlson) sinais AM, PM e FM, com o sinal modulador modulador traçado em linhas pontilhadas sobre as formas de onda do sinal modulado.

sinal modulador

AM

PM

FM

(a)

(b)

(c)

(d)

 

 

72

(e)

(f)

(g) Figura 2. Formas de onda do sinal modulador e sinais AM, PM e FM

(h)

Observe nas Figs.2b e 2f que em AM a 1amplitude da portadora varia de acordo com o sinal e o cruzamento de zeros ocorre a intervalos regulares iguais a , independente do sinal. Na modulação exponencial, os instantes de 2 f c

cruzamento de zeros dependem do sinal modulador, mas a amplitude é constante. No caso de sinal modulador senoidal, os resultados da modulação em fase (Fig.2c) e em freqüência (Fig.2d) diferem apenas na fase, uma vez que a integral (ou derivada) de um sinal senoidal é outro sinal senoidal. No caso do sinal com rampa (Fig.2e), observe que na PM (Fig.2g) a freqüência instantânea da portadora é constante durante o intervalo de duração da rampa enquanto que na FM (Fig.2h), a freqüência varia linearmente.  linear, no qual o espectro do sinal sofre apenas uma transladação e a A modulação em amplitude é um processo pr ocesso linear, faixa de freqüências ocupada pelo sinal modulado é W  para o SSB  SSB e 2W  para AM e DSB , onde W é a largura de faixa do sinal modulador. Como veremos mais adiante, na modulação exponencial, o espectro do sinal modulado geralmente ocupa uma largura de faixa maior que 2W (ou muito maior, dependendo do índice de modulação e o  processo é não linear.

IV.4 - Modulação exponencial em Faixa Estreita IV.4.1. Caso geral Dado um sinal modulado exponencialmente:





vc (t )  Ac cos ct     (t )  

 podemos representá-lo também por: vc (t )  vci (t ) cos(c t )  vcq (t )sen sen( c t )   

onde: vci (t )  Ac cos  (t )



 

Ac 1 

1 2!

2

 (t ) 

1 4!

 

4

  (t ) . ..  

e v cq

( t )  A sen  ( t ) c

Se  (t )  for tal que  (t )  1, então









1

c 

3!

A  (t ) 

3

 (t ) 

1 5!

5



 (t ) . . .  



vci (t )  Ac  vcq (t )  Ac .  (t )  

logo, sen( c t )         (t )sen

vc (t )  Ac cos c t

Tomando-se a Transformada de Fourier, para análise do espectro do sinal modulado exponencialmente com a condição  (t )   1 , obtém-se: Vc ( f ) 

 Ac 2

 ( f  f c )   ( f  f c )  j ( f  f c )  j ( f  f c )  

   . Vm ( f ) (PM (PM))  onde ( f )    (t )   j  f  Vm ( f )   (FM)     f 

 

 

73 Pode-se observar que o espectro do sinal modulado, Vc ( f ) , é constituído de impulsos i mpulsos em  f c  (freqüência da

 portadora) e o espectro do sinal modulador, Vm ( f ) , deslocado também para  f c  e multiplicado por uma constante no caso PM e por uma função inversamente proporcional à freqüência no caso FM. Por exemplo, se

  f   1      Vm ( f )   vm ( t )  sinc(2Wt )  rect  2W  2W  então os espectros dos sinais PM e FM são, respectivamente: Vc ( f ) 

 Ac 2

      f  f c        f  f c   ( f  f c )   ( f  f c )  j   rect rect   j  2W   2W   2W    2W 

e Vc ( f ) 

 Ac 2

   f  f c    f  f c   f   f     ( f  f c )   ( f  f c )   rect rect  2W   2 f  f c W   2W    2 f  f c W 

 Na Fig.3 são ilustrados os espectros espectros do (a) sinal banda-base e dos ssinais inais (b) PM e (c) FM, sendo que ess esses es dois últimos apenas em torno de  f c . Observe que (i) há impulsos de área tem um deslocamento de fase de

 

2

 Ac 2

 nas Figs. 3b e 3c; 3c ; (ii) o espectro da PM

, representado na Fig.3b pelo j pelo j multiplicando a amplitude; (iii) a amplitude do

espectro FM é distorcida, em relação ao espectro do sinal modulador , devido ao termo

1

 que multiplica o

 f  f c

espectro deslocado (só estão assinalados na Fig.3c os valores da amplitude nos extremos da faixa de passagem) e (iv) a largura de faixa dos sinais PM e FM é 2W, devido à condição  (t )   1 . Essa condição caracteriza a modulação exponencial faixa estreita, respectivamente NBPM (do inglês N arrow arrow B and P hase M odulation ) e  NBFM (do inglês N arrow arrow B and F requency M odulation ). Note também que a NBFM, a menos da defasagem de tem um espectro semelhante ao da AM.

(a)

(b)

2  j

2 W 

-W

0

 Ac

 Ac  

2

4W 

 Ac f  2

4W 

 f c  W  W 

 f c  W     f c   fc   W 

 f 

2

(c)

 Ac 1

 

 f c   fc   W 

f

f 

  A c 2f  4W 

 

Figura 3. Espectros do (a) sinal modulador e, para  f    0 , dos sinais (b) NBPM e (c) NBFM

IV.4.2. Caso de sinal modulador senoidal Como a derivada ou a integral de uma senóide é uma outra senóide, a análise da modulação exponencial para um sinal modulador senoidal pode ser unificada para a PM e a FM considerando-se os sinais moduladores: vm (t )  Amsen sen   (  mt )  e  vm (t )  Amcos  ( mt ) , respectivamente, para as modulações em fase e em freqüência. Assim, tanto a PM quanto a FM podem ser representados por



vc (t )  Ac cos ct  sen sen mt

,    A

onde       Am  para a PM, uma vez que  (t )    vm (t )  para a modulação em fase, e       f   f m  para a FM, m

considerando que  (t )  2  a modulação em freqüência.   f vm (t )dt  para  

,

 

 

74

  e  f   são, respectivamente, os desvios em fase e em freqüência para a PM e a FM e    é o índice de modulação exponencial , que é proporcional à amplitude da senóide moduladora para ambos os tipos de modulação exponencial e, apenas para a FM, inversamente proporcional à freqüência do sinal modulador. Para a modulação exponencial em faixa estreita,      1 e, nesse caso, pode-se escrever que: vc (t )  Ac cos(ct )  Ac sen(mt )sen(ct )     

ou, equivalentemente:

vc (t )  Ac cos( c t )  

 Ac      2

cos(c   m ) t 

 Ac    2

cos(c   m ) t  

 Na Fig.4 são ilustrados (a) o espectro espectro e (b) o diagrama fasorial ccorrespondente orrespondente ao espectro un unilateral ilateral do sinal modulado. Note a simetria do espectro em torno da origem, pois o sinal modulado é real, e a anti-simetria anti -simetria em torno da freqüência da portadora. Observe que, em relação aos espectro e diagrama fasorial correspondentes da AM (v. Cap. 3, seção III.1.3, Figs.4b e 6), há uma inversão de fase do fasor correspondente à raia lateral inferior, o que  provoca o surgimento de uma componente componente em quadratura na modulação modulação exponencial em faixa es estreita. treita. As amplitudes relativas das raias laterais (e de seus fasores correspondentes) na Fig.4 estão fora de escala, pois      1   para a modulação em faixa estreita. estreita. Im

 Ac  

 Ac

 Ac

2

2

 Ac  

4

4

 f c

  f m  f c 

- f c  f m   f m - f c -  f c 

 f c  f m  f 

 f c

0

 Ac  

a (t )

 f m

 (t )  

Ac

Re

 Ac  

 A4c  



2  f m

4 (b (b))

(a) (a)

Figura 4. Modulação exponencial em faixa estreita: (a) ( a) espectro e (b)diagrama fasorial,  para sinal modulador senoidal senoidal (fora de escala) 

 

IV.5 - Modulação exponencial em faixa larga Um sinal modulado exponencialmente pode ser representado por:



  Ac   cos  (t ) . cos(ct )  sen  (t ) .sen(ct )    

vc (t )  Ac cos ct   (t )

IV.5.1. Sinal modulado exponencialmente por uma única senóide Para simplificar a análise, consideremos um único sinal modulador senoidal, ou tom tom.. Nesse caso:





 ( t )   sen  mt  , com

 . Am       f . Am         f m 

 para PM para FM

 

e, portanto, os sinais WBFM (do inglês W ide ide B and F M ) e WBPM (do inglês W ide ide B and PM ) para modulação tonal  podem ser ambos representados representados por:

 





 



vc (t )  Ac cos   sen(mt ) . cos(c t )  sen  sen(mt ) . sen( c t )

Sabe-se que





  cos   sen mt

   J0 (  ) 



2 J

n(

) cos(n m t ), n  0

n par 





sen   sen mt

 



2 J n ímpar 

 

e n(

) sen(n m t ),

n0

 

 

 

75  1

onde  Jn (    ) 

 

  e  2 

 j   sen( ) n 

as funções de Bessel de primeiro tipo (ou primeira espécie), de d   , que são as funções

 

ordem n e argumento   , com a propriedade  J n (   )  (1) n J n (  ) .

 Na Fig.5 são traçadas as curvas para as funções de Bessel de primeiro tipo, sendo que em (a) o parâ metro é a ordem (0, 1, 2, 3 e 10) e a variável, o argumento     e em (b) o parâmetro é o argumento (2, 5 e 10) e a variável, a ordem n . Observe que  J n (  )   0  para        e, também, para n   .

Figura 5. Funções de Bessel de primeiro tipo. (a) ordem n fixa e argumento    variável e (b) argumento  fixo e ordem n variável O sinal modulado exponencialmente exponencialmente por uma senóide pode, então, ser representa representado do por: 

vc (t )  Ac  J 0 (   ) cosc t 

A J

c n( n ímpar ímpar >0





) cos(c  nm )t  co cos(c  nm )t     

 





 A J

c n ( 





) cos(c  nm )t  cos(c  n m )t 

n par par >0

n

Usando a propriedade  J  n (   )  (1) J n (  ) , tem-se: 

vc (t )  Ac

 J   (  ) cos( n

n

Observe que

c

 n m )t  

 

 

 

76 (i) a amplitude da portadora é multiplicada por  J 0 (  ) , onde o argumento da função de Bessel é o índice

de modulação exponencial. Devido ao comportamento oscilatório de  J 0 (  ) , a amplitude da portadora po rtadora pode assumir valores positivos, negativos e, também, valores nulos (esses, para      2,40; 5,52; 8,66; etc) com a variação do índice de modulação. Como o índice de modulação depende do sinal modulador, esse afeta a portadora na modulação exponencial, o que não ocorre na modulação em amplitude. (ii) as funções de Bessel de primeiro tipo têm ainda a propriedade de decairem monotonicamente para zero  para

n  1  e, além disso,  J n (  )    

 1 para

n

  

 1.

(iii) ao contrário da modulação linear, além das raias correspondentes à portadora e ao sinal modulador senoidal, surgem infinitas outras nas freqüências  f c  nf m. Na prática, a largura de faixa do sinal modulado exponencialmente pode ser limitado, considerando-se apenas aquelas com amplitudes relativas significativas. Para      1 (NBFM e NBPM), bastam apenas as correspondentes à portadora e ao sinal modulador deslocado para a    vizinhança daquela; pois para      1,  J 0 (  )   1,  J 1 (  )   e  J n (  )  J 1 (   )  para n  2 . Porém, para índices 2

de modulação maiores, as raias adicionais devem ser consideradas (v. item IV.6, a seguir) O espectro unilateral  espectro unilateral  , , nas vizinhanças de  f c , é apresentado na Fig.6 e o diagrama fasorial correspondente na Fig.7. Observe (Fig.6) que as raias correspondentes às harmônicas ímpares são anti-simétricos em relação à  portadora e os de ordem par, simétricos. simétricos.  Ac J 0 (   )  Ac J 1 (   )

 Ac J 

2

(   )

 

Ac J  (   ) 2

 Ac J  (   ) 3

 f c  3   f  m c J 4 (   )

 f c   f  m  f c     f    f   f   2  3 c m c   f m f c   f m  

 f c  2   f  m  Ac J  (   )

Ac J  (   )

 

f 

4

3

 Ac J  1      (  ) 

 

Figura 6. Espectro de sinal modulado exponencialmente por senoide    Na Fig. 7 é ilustrado o diagrama diagrama fasorial correspondente (portadora e apena apenass os primeiros 3 pares de raias laterais)   Note que se fossem considerados apenas a portadora, de amplitude amplitude  Ac J 0 (  ) , e o primeiro par de raias laterais, de amplitudes  Ac J 1 (  ) , o fasor resultante teria amplitude e(t) e a forma de onda correspondente apresentaria uma modulação angular e uma modulação em amplitude, devidas à componente em quadratura cuja amplitude varia com o sinal modulador (na modulação em faixa estreita, esta variação em amplitude é desprezível pois      1). 

 

 

77

- 2  f m  Ac

 Ac J 2 (   )

e(t) -  f 

 f m

m

 Ac J -1    ( )

 Ac J 1 (   )

 Ac J 0 (   )

 

Figura 7. Diagrama fasorial de modulação exponencial por senóide O segundo par de raias laterais, de amplitude  Ac J 2 (  ) , gera um fasor em fase (alinhado) com a portadora, que reduz a variação em amplitude; o terceiro par gera outro fasor em quadratura com a portadora; o quarto, em fase e assim por diante, tal que a soma de todos os fasores que compõem o sinal modulado resulta em um de amplitude constante , Ac , mas com um ângulo que varia com o sinal modulador. Portanto, Por tanto, o resultado final é um sinal modulado angularmente 

IV.5.2. Sinal modulado exponencialmente por duas senóides Para dois sinais senoidais moduladores não harmonicamente relacionados (a freqüência de um não é múltiplo inteiro da do outro), pode-se mostrar que o sinal modulado exponencialmente é dado por: 

vc (t )  Ac



   J

n (  1 ) J m (  2 ) cos( c t

 n1t  m 2 t )    

n n

Observa-se, então, que o sinal modulado tem componentes (raias) em  f c   e em  f c  n f1  m f 2 , i.e., aparentemente aparecem os produtos da intermodulação (batimento ou mistura) das harmônicas dos sinais moduladores em torno da portadora. O resultado pode ser interpretado interpretado como  como sendo constituído de uma portadora com amplitude  Ac J 0 (  1 ) J 0 (  2 )   e, aparentemente aparentemente   ( pois as amplitudes dependem de  Ac Jn (  1 ) J m (  2 ) , i.e. de ambas as senóides , de raias nas freqüências  f c  n  f 1 devidas a uma das senóides, de raias em  f c  n  f 2  devidas à outra senóide, e de) raias em  f c  n f1  m f 2 , com n e m diferentes de zero, correspondentes a senóides resultantes do batimento (soma e subtração das freqüências) entre as duas senóides moduladoras e suas harmônicas. Este resultado pode ser estendido a um u m número maior de senóides, porém o seu estudo se torna matematicamente complicado e foge ao escopo deste curso. É possível, contudo, concluir que a modulação exponencial é um pprocesso rocesso altamente não linear, com o surgimento de inúmeras componentes de freqüências não presentes no sinal modulador (mas relacionadas por harmônicas e batimentos).

IV.6 - Estimativa da largura de faixa de transmissão Em princípio, a largura de faixa do sinal modulado em freqüência (ou fase) é infinita pois, por exemplo, no caso de modulação por uma senóide de freqüência  f m , há infinitas raias em  f c  nf m. Na prática consideram-se para o cálculo da largura de faixa do sinal modulado apenas as raias de amplitudes significativas, isto é, tipicamente raias com amplitude maior que 1% a 10% (dependendo da aplicação) da aamplitude mplitude da portadora não modulada. Supondo que   seja a menor amplitude a mplitude significativa, para sinais senoidais, dado um certo índice de modulação    , pode-se calcular n0 (  )  J n (  )      para n  n0 (  ) , tal que se possa po ssa escrever que a largura de faixa do sinal modulado em freqüência por uma senóide é  BW FM  2n0 (   ) f m .

 

 

78

, para fins de análise da largura de faixa necessária Para outros tipos de sinais, com espectro de largura de faixa W , para  para transmissão, pode-se considerar considerar um sinal senoidal cuja am amplitude plitude seja a máxima do sin sinal al e de frequência igual à máxima, W. Essa aproximação não leva em consideração que a modulação em freqüência é um processo não linear, porém a análise dos resultados de uma modulação multi-tonal, i.e., por múltiplas senóides (que foge do escopo desse curso), leva a concluir que a largura de faixa do sinal FM é essencialmente determinada pelo tom dominante e, assim, o uso do tom tom  máxima-freqüência máxima-amplitude para máxima-amplitude para estimativa da largura de faixa de transmissão para um sinal qualquer produz resultados satisfatórios, convalidados pela prática. A análise das funções de Bessel do primeiro tipo permite escrever que n0 (  )     2 , para      2  e 0,01      0,1   Nessas condições,

  A  f    m  BW FM  2(    2) f m  2  2  f m   2( Am f  2 f m )    f      m relação ou razão  de desvio como desvio como a razão entre o desvio de freqüência,  f  , e a máxima freqüência do Definindo-se relação  ou razão 

sinal, W, para W, para  Amax  1 (amplitude máxima do sinal normalizada), i.e.  D 

    f    W 

tem-se que:  BW FM    2( D  2)W  

Por exemplo, em rádio-difusão AM, a largura de faixa requerida para transmissão era de 10 kHz, para um sinal  banda-base com W = 5 kHz. Na radio-difusão FM,  f    75 kHz e  f máx   15 kHz . Logo,  D   BW   FM    2  (5  2)  15  210 kHz .

75 15

 5  e

A largura de faixa do sinal FM, para  D  1, pode ser aproximada por  BW FM    2 DW . Por outro lado, se  D  1, a fórmula geral não se aplica pois o sinal se torna NBFM, com  BW NBF  NBFM  M    2W . Esses dois resultados podem ser combinados em uma única expressão aproximada, conhecida como regra de Carson, para Carson, para a largura de faixa de um sinal FM nos casos  D  1(FM faixa larga) e  D  1 (FM faixa estreita):  BW FM    2( D  1)W  

Com essa aproximação, a largura de faixa para a rádio-difusão FM é  BW     2  (5  1)  15  180 kHz .  FM 

IV.7- Melhoria do desempenho com o aumento da largura de faixa do sinal modulado  (cf. Lathi) A modulação em freqüência gera sinais com largura de faixa muito maior que a modulação em amplitude e, conseqüentente, o canal para transmissão em FM deve ter uma capacidade muito maior que para AM. A capacidade de canal é relacionada com a sua largura de faixa,  B, e  B, e a relação entre as potências do sinal e do ruído,

S   N 

. Seja I  Seja  I   aa

capacidade de um canal utilizada para a transmissão de uma mensagem com um sinal de largura de faixa  BT , com uma relação sinal-ruído

S i  N i

; então, pela lei de Hartley-Shannon (v. Cap.1, seção I.2D):  I

 BT  log 2 (1 

S i  N 

) 

i

O sinal demodulado idealmente idealmente,, com largura de faixa W e relação sinal-ruído informação (mensagem) (mensagem) que o sinal modulado. Logo,

S o  N o

, deve ter o mesmo mesmo conteúdo  conteúdo em

 

 

79  I

 BT  log 2 (1 

Da equação acima:

(1 

S i  N i

S o

)  (1 

 N o

e, para relações sinal ruído elevadas, i.e. :

S i

 1  e

 N i

)  W log 2 (1 

S i  N i

S o

S o  N o

) 

 BT 

) W   

 1:

 N o  BT 

S o   S i   W        N o   N i   Portanto, quanto maior  BT , maior a qualidade (em termos de relação sinal-ruído) do sinal demodulado. Um sinal transmitido em FM apresenta, então, uma qualidade melhor que quando transmitido em AM. Contudo, por causa da maior largura de faixa do sinal modulado, sistemas em FM requerem portadoras de freqüências mais elevadas que os em AM.

IV.8 - Modulação e demodulação FM São apresentados resumidamente apenas alguns exemplos de moduladores e demoduladores FM.  

IV.8.1. Modulação a.. Método direto Princípio: utiliza-se um oscilador controlado a tensão (VCO, do inglês V oltage oltage C ontrolled ontrolled O scillator ), ), que é um oscilador cuja freqüência de operação é linearmente proporcional à tensão (sinal) aplicada. Detalhes sobre esse tipo de dispositivos fogem do escopo desse curso, porém, por ém, é conhecida a dificuldade prática para a implementação de VCO’s com as características de dependência linear da freqüência de oscilação à tensão aplicada. Para freqüências elevadas ( f c   1 Ghz), dispositivos conhecidos como klystrons apresentam essa característica. Para portadoras de

freqüências menores, é possível partir-se de uma modulação com portadora de freqüência elevada, utilizando klystrons, e convertê-la para uma de freqüência mais baixa ((down-conversion) down-conversion) ou utilizar osciladores LC sintonizados ou, ainda, multivibradores ou outros dispositivos VCO em circuitos integrados.

 No caso de osciladores LC  osciladores LC , a freqüência angular instantânea é dada por c (t )   c 

1  LC 

 Utilizam-se, então,

varactores (dispositivos de reatância variável), e.g. varicaps (diodo varactor de capacitância variável), como parte de um circuito ressonante LC  ressonante LC  paralelo.  paralelo. Por exemplo, se a capacitância equivalente é do tipo: C(t )  Co  Cvm (t )   com C o  e C constantes, tem-se que:

 C  1 2 1  vm (t )   c (t )    L  C 0  C 0 1



 t    C   f c vm ( )d  . vm ( t )   e , portanto,  c (t )  2  f ct  Se vm ( t )    1, então  2C 0  C o C 0 A frequência de oscilação é aproximadamente proporcional à amplitude a mplitude do sinal modulador, com desvio em   C 

c (t )   c 1 

freqüência  f    para

C  C o

C  2C o

C 

  

 f c . Para v m ( t )    1, a aproximação para  c  (t )  indicada acima vale dentro de 1% de precisão

 0,013 , logo o máximo desvio que se pode atingir com esse processo de modulação é 0,006 0,006 f   f c .

Um diagrama de blocos simplificado de modulador em freqüência utilizando oscilador LC com varicap é mostrado na Fig.8: C b  é usado apenas para bloqueio dc (necessário para isolar a tensão contínua, não representada na figura, utilizada para polarização do varicap). A freqüência de oscilação é determinada pela indutância indutância L  L e  e pela capacitância Cv  C p  , com C v  variando com o sinal modulador.

 

 

80 C b o

vm (t )   C v

 

C  p

 L

oscilador 

o

  Figura 8. Modulador em freqüência utilizando oscilador LC  oscilador LC    b. Método indireto (Armstrong) Um modulador em fase, em faixa estreita, pode ser implementado diretamente a partir da equação de caracterização do sinal PM, para    v vm (t )  1 rad., que é:



  Ac cosct  Ac   vm (t )senct      

vc (t )  Ac cos c t   vm (t )

O diagrama de blocos da Fig.9a gera a aproximação para v c (t )  da equação acima.     vm (t )

x

+

 

vc (t )

+ +



 Ac sen ( c t )

2

 

Ac cos( c t )



 

Figura 9a. Modulador em fase, faixa estreita A principal vantagem deste modulador é que o oscilador pode ser projetado com alta estabilidade (e.g., oscilador a cristal) e o esquema de modulação é relativamente simples, pois o defasador de

 

2

 atua sobre uma

senóide de freqüência fixa e se necessita somente de mais um multiplicador e somador. Para se obter um sinal NBFM, com o esquema da Fig.9a, basta integrar o sinal modulador antes da modulação em fase. Para a geração do sinal FM, faixa larga, o desvio de freqüência deve ser aumentado, com o uso de um multiplicador de freqüências (Fig.9b) freqüências (Fig.9b)..       Ac cos c t  vm ( ) d     1 T 



gerador NBFM vm (t )

1 T 



multiplicador  de freqüências

modulador  em fase



n

vc (t )

 c

1

  Figura 9b. Modulação em freqüência pelo método indireto

    O sinal na saída do modulador de fase é v (t )  Ac cos c1 t   v m ( ) d   , que é um sinal FM, com desvio de   T       freqüência  f    (v. IV.3.a, Tab.1), onde T é a constante de proporcionalidade do integrador. O sinal gerado é



2  T 

do tipo NBFM. Portanto, para se chegardispositivos ao sinal FMnão com o desvio d esvio desejado, utiliza-se um multiplicador de freqüências. Utilizam-se, tipicamente, lineares e filtragem passa-faixas para seleção da freqüência multiplicada (.e.g., com um dispositivo quadrático e filtragem filtra gem adequada pode-se dobrar a freqüência de um sinal senoidal). O sinal resultante é:

 

 

81



vc ( t )  Ap cos n c t  n  1

 

 

v T 

m ( )d    

      com freqüência de portadora  f c2  nf c1  e desvio de freqüência  f 2  n . 2  T 

É usual que os fatores multiplicativos desejados para os aumentos da freqüência da portadora e do desvio sejam diferentes, o que não acontece no processo pr ocesso descrito acima. A solução é a adoção do fator n necessário para se obter o desvio de freqüência desejado e se ajustar a freqüência da portadora por transladação (conversão de freqüências: v. Cap.3, III.2.3).

IV.8.2. Demodulação São apresentados apenas os princípios básicos para alguns dos processos de demodulação de sinais modulados em freqüência. Os demoduladores de sinais FM são também ta mbém conhecidos como discriminadores. discriminadores. Considera-se  Considera-se que se o sinal a demodular não tenha variações em amplitude. a mplitude. Na prática, limitações na largura de faixa do sistema e ruído limitadores de  provocam flutuações na amplitude amplitude da portadora, que são eliminados por ceifamento ((limitadores  de amplitude) antes da demodulação. Detalhes sobre a recepção e o comportamento de demoduladores FM na presença de ruído são vistos na matéria EET-32.  EET-32.  a. Demodulação por conversão FM-AM Esse processo de demodulação se baseia na conversão de um sinal modulado em freqüência para outro modulado em amplitude e esse demodulado por um detetor de envoltória. A conversão FM-AM pode ser realizada observandose que a derivada de um sinal modulado em freqüência é um sinal modulado em amplitude: Seja um sinal modulado em freqüência fr eqüência vc (t )  Ac  cos c (t ) ,  com c (t )  2  f c  f  vm (t )  . Derivando-se esse sinal obtém-se vm (t )    Acc (t )sen  c (t )

 2  f c  f  vm (t )  sen c (t )       Usando-se esse sinal na entrada de um detetor de envoltória, pode-se recuperar o sinal modulador v

m ( t ) .

Idealmente, um circuito diferenciador tem uma característica de resposta em freqüência dada (v. Cap.II, item II.3.B4) por  H ( f )    2  f  . Um circuito ressonante LC ressonante LC tem uma característica de resposta em freqüência tal que,  próximo à freqüência de ressonância, ressonância, a magnitude varia de forma aproximadam aproximadamente ente linear com a freqüência (Fig. 10a). Assim, uma montagem como a da Fig.10b pode ser utilizada para a demodulação de um sinal FM. E Esse sse esquema de demodulação FM é também conhecido como detetor de inclinação, inclinação, pelo fato de fazer uso da inclinação da curva de resposta em freqüência de um circuito ressonante. ressonante . 

"diferenciador"

detetor de envoltória

 H(f)

aproximadamente

vc (t )

linear 

 f c  f  0

(a)

 

f 

 L C 1  

C 2

circuito ressonante  f 0    f c

(b)

Figura 10. (a) resposta em freqüência de circuito sintonizado LC, sintonizado  LC, utilizado para conversão FM-AM (b) demodulação FM por conversão FM-AM (por diferenciação) Pode-se obter melhores resultados estendendo-se a região de característica aproximadamente linear de um circuito ressonante LC ressonante LC com a montagem da Fig.11b. Dois circuitos ressonantes, sintonizados contra-- fase  fase (i.e., com polaridades opostas) respectivamente em  f 01  f c  e  f 02  f c , são alimentados em contra  pela portadora modulada, de freqüência freqüência  f c . Essa forma de alimentação faz com co m que resposta do conjunto de circuitos sintonizados seja o indicado por linhas cheias na Fig.11a (note a inversão de polaridade da resposta do circuito sintonizado em  f 01 - curva tracejada - em relação à do sintonizado em  f 02 - curva  pontilhada). O trecho linear da resposta resposta em freqüência assim obtido é usado para a conv conversão ersão FM-AM, que é seguido pelo estágio de deteção de envoltória. A saída final é obtida pela diferença diferença entre  entre as saídas dos

 

 

 

82

detetores de envoltória, uma vez que a entrada de um deles te tem m a polaridade invertida. O esquema indicado na Fig11b. é conhecido como discriminador balanceado. balanceado.

  f 02   f 01  f c

 f 02

 

saída

f 

  f 01  (a)

(b)

Figura 11. (a) resposta da combinação dos dois circuitos ressonantes do (b) discriminador de fase balanceado

 

Há variantes desse esquema básico de demodulação FM, utilizando propriedades propr iedades de circuitos sintonizados em freqüências ligeiramente acima e abaixo da da portadora, como os chamados detetor de relação e discriminador de  Foster-Seely (v. laboratório).  b. Demodulação por deteção de de cruzamento de zeros  Nesse esquema, esquema, o sinal senoidal modulado em freqüênc freqüência, ia, vc (t ) , é inicialmente transformado em onda o nda quadrada modulada em freqüência, vq (t ) , através de um “quadradador” (por ampliação e limitação de amplitude). Um monoestável é então gatilhado a cada borda positiva (ou negativa) do trem de pulsos, o que equivale a detetar os cruzamentos de zeros correspondentes à passagem do sinal de amplitudes negativas para positivas (ou vice-versa). Se a freqüência da portadora for muito maior que a do sinal modulador, i.e.  f c    W , e se considerarmos um intervalo de tempo T tal que W 

1 T 

  f c , então dentro desse intervalo se tem um trem de pulsos p ulsos retangulares,

v p ( t ) , com período aproximadamente constante e igual a

1  f ( t )

, onde  f (t )  é a freqüência instantânea do sinal

modulado. O número, nT , de pulsos retangulares dentro do intervalo T é, portanto, diretamente proporcional à freqüência instantânea, i.e., nT    Tf (t ) .      se cada pulso tiver Integrando-se o sinal sobre o intervalo T  obtém-se  obtém-se a área total sob os n T  pulsos, que é nT  A amplitude A amplitude  A e duração   . Logo, t 

1

v T 

  )d    p ( 

t  T 

1 T 

nT A

 A f  (t )  

Como a freqüência instantânea de um sinal FM é dado por  f (t )  f c  f  vm (t ) , o sinal modulador, vm (t ) ,  pode ser recuperado, multiplicado por uma uma constante  , que depende do desvio de freqüência, da constante de  proporcionalidade do integrador e da duração duração e amplitude dos pulsos ggerados erados pelo mosnoestável. mosnoestável. Bloqueia-se o nível dc correspondente ao termo  f c  com um filtro. O diagrama de blocos desse esquema de demodulação é ap apre rese sent ntad adoo na na Fig Fig.12 .12.. vc (t )

"quadradador" (limitador)

v q (t )

monoestável

v p (t )

1



t 

T   t T 

 A  f ( t )

 

    vm (t )

 bloqueio  bloq ueio dc

Figura 12. Demodulação FM por deteção de cruzamento de zeros  

 

 Na Fig.13 são ilustradas as formas de onda de vc (t ) , vq (t )  e v p (t ) . É intuitivo que a quantidade de pulsos dentro de um dado intervalo T  , , em v p (t ) , reflete a amplitude do sinal modulador, portanto, esse esquema possibilita também uma deteção digital, substituindo-se o integrador analógico por um digital (contador ou acumulador, para contagem número de pulsos ou seja, de cruzamento de zeros, em um dado intervalo T ), ),  seguido de conversor análogo-digital.

 

 

83 1

  f (t ) v c (  t )

t 

v q (t ) t   A

v p ( t )

t 

T 

 

  Figura 13. Formas de onda em um demodulador FM por deteção de cruzamento de zeros T 

c. Demodulação FM com um Phase Locked Loop (PLL) O esquema básico de demodulação FM com um PLL é mostrado na Fig.14. Qualitativamente (o estudo de PLL’s foge do escopo desse curso), um PLL é um dispositivo que permite sincronizar a fase e freqüência (dentro de certos limites) de um oscilador local controlado a tensão (VCO) a um sinal de referência externa. Se esse sinal varia em freqüência, o discriminador de fase gera uma tensão que, aplicada ao oscilador local, tende a forçar uma mudança na sua freqüência de oscilação a fim de igualá-la à do sinal de entrada. Portanto, a tensão sobre o VCO depende da modulação em freqüência do sinal de entrada e, conseqüentemente, o sinal modulador pode ser recuperado (sob determinadas condições de operação do PLL). discriminadorr de f ase discriminado

v c (t )

x

e( t )

filtro   passa pas sa-ba baixas ixas

     v m (t )

r ( t )

VCO

  Figura 14. Demodulação FM com PLL 

CAPÍTULO 5 COMPLEMENTOS  V 1- Modulação por código de pulsos Em sistemas de armazenamento, transmissão e processamento digital de sinais, esses devem ter o formato digital. Caso o sinal seja originalmente analógico (contínuo ( contínuo no tempo e em amplitudes), a sua representação digital é obtida através de um processo de conversão A/D (análogo-digital ou analógico-digital), também conhecido por modulação por código de pulsos. pulsos. A principal vantagem da representação digital, para fins de transmissão, é a robustez do robustez  do sinal, i.e., o sinal digital apresenta alta tolerância a distorções, interferência e ruído, pois, além de ser suficiente que se possa identificar entre apenas dois níveis ou o u estados (alto ou baixo, on ou off, off, etc),  etc), é possível regenerar  o  o sinal (recuperar o formato original dos pulsos a partir de puls pulsos os distorcidos ou contaminados por ruído ou interferências). A modulação por código de pulsos pulsos (PCM, do inglês P ulse C ode ode M odulation odulation)) envolve basicamente (Fig.1) os  processos de discretização no no tempo (amostragem (amostragem), ), discretização em amplitudes (quantização ( quantização)) e representação das amplitudes discretizadas por um código de pulsos binário (codificação ( codificação numérica). numérica).

 

 

84 disc r e tiza ç ã o no te m po

disc re tiza ç ã o e m a m plitude

amostrador 

quantizador 

codificação

sinal analógico

sinal amostrado

 por pulsos pulsos

sinal amostrado e quantizado

sinal modulado por  código de pulsos (P CM)

Figura 1. Operações necessárias para representação digital de sinais sinai s analógicos 

 

O processo de amostragem ideal e os espectros do sinal amostrado, comparado ao do sinal contínuo, foram analizados no Capítulo 2 (v. seção II.4). Dado um código binário de n bits, só podem ser ser representados 2 n  valores distintos, ou seja, 2 n  níveis de amplitude quantizados quantizados.. Por exemplo, com n = 8 podem ser representados 256 níveis de amplitude; com n = 16, 65.536 níveis, etc. Se forem utilizados pulsos retangulares no processo, pode-se, por exemplo, associar o nível baixo do pulso ao código “0” e o alto ao “1”. A função de transferência de conversor A/D pode, então, ser representado como na

Fig.2a e de um conversor.D/A (digital-analógico), (d igital-analógico), utilizado para converter um sinal digital em um analógico, como na Fig.2b. Os níveis discretizados de amplitude estão espaçados uniformemente de q ((degrau degrau ou ou   passo), passo), constituindo o chamado quantizador uniforme. Há casos em que o espaçamento entre os níveis não é uniforme (quantizadores não lineares) lineares) ou mesmo que se adaptam de acordo com o sinal (quantizadores ( quantizadores adaptáveis). adaptáveis). A estrutura mais comum de quantização é aquele em e m que o sinal contínuo é quantizado ao nível discreto mais  próximo. digital contínuo

-

0101 0100

3q 2q q4q

0011

-

0010 0001 0000

q 2q 3q 4q

contínuo

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

digital

0 1 0 0

(a)

(b)

Figura 2. Funcões de transferência para conversores (a) A/D e (b) D/A 

 

Quando se representa um sinal contínuo por um quantizado, comete-se um erro de representação, conhecido como erro de quantização, quantização, que se manifesta como um ruído r uído adicionado ao sinal. De acordo com a aplicação, o número de níveis de quantização, i.e., o número de bits por amostra do código digital, é escolhido de modo que esse ruído de quantização seja quantização seja imperceptível. Por exemplo, em áudio digital se utilizam 16 bits/amostra e em TV digital, 8 bits/amostra.  Na fig.3 são ilustradas esquematicamente as formas de onda de um sinal contínuo genérico (linha contínu contínua), a), do sinal amostrado e quantizado (traços (tr aços em negrito) e do sinal modulado por código de pulsos (trem de pulsos retangulares). São também indicados os níveis de quantização (linha pontilhada) e os códigos có digos (arbitrariamente escolhido o binário simples). níveis de quantização

código binário 110 sinal c ontín ontínuo uo 101 100 011 010

amostras quantizadas

001 000

sinal modulado por  código de pulsos

000

100

110

011

 

t 

Figura 3. Formas de onda de sinal contínuo, amostrado e codificado em PCM

 

prática,tenha os processos process os de quantização e codificação codifica ção não ocorrempara instantâneamente instantâneame nte e,deportanto, é usual o sinal Na amostrado sua amplitude retida durante o tempo necessário que o processo conversão A/D que se complete, através de um dispositivo conhecido como hold (retentor ou memorizador analógico). analógico). O conversor A/D, que é o conjunto dos dipositivos quantizador e codificador, é, por portanto, tanto, normalmente precedido de um dispositivo amostrador e retentor (sample & hold ).

 

 

85

As vantagens da representação em PCM são obtidas às custas de uma maior largura de faixa. É intuitivo que o sinal PCM ocupa uma largura de faixa muito maior que o do d o sinal modulador, pelo fato do sinal ser representado  por pulsos muito estreitos (v. Fig.3). A grosso grosso modo, essa largura de ffaixa aixa é da ordem de grandeza do produto ddoo número de bits/amostra pela freqüência de amostragem ( nf c ). Detalhes sobre a representação digital de sinais são tratados na matéria EET-33/ET-235: Codificação Digital de Sinais.

V.2. Modulação pulsada Um sinal amostrado (rever amostragem, Cap. II.4) pode ser utilizado para modular um trem de pulsos retangulares, dando origem a um processo de modulação pulsada. Os principais tipos de modulação pulsada são: (i) PAM (do inglês P ulse A mplitude M odulation odulation), ), Fig.4a, no qual a amplitude de um trem de pulsos retangulares é variada de acordo com o sinal modulador (para análise, recordar o Exercício 37 do Capítulo 2). (ii) PWM ou PDM (do inglês P ulse W idth idth M odulation e P ulse D uration M odulation odulation), ), Fig.4b, no qual a largura (ou duração) do pulso é que varia com o sinal modulador. A análise matemática para esse tipo de modulação é complexa e foge do escopo desse curso. (iii) PPM (do inglês P ulse P osition M odulation odulation), ), Fig.4c, no qual a posição do pulso, relativa ao caso não modulado, é variada de acordo com o sinal modulador. A análise matemática também deixa de ser feita, por sua complexidade. odulation), (iv) PFM (do inglês P ulse F requency M odulation ), Fig.4d, no qual a freqüência de uma onda quadrada é variada de acordo com o sinal. A análise matemática pode ser realizada recordando que a onda quadrada pode ser representada por uma somatória de senóides harmonicamente relacionadas. A modulação em freqüência da onda quadrada implica, portanto, na modulação em freqüência de cada uma dessas harmônicas.

Figura 4. Modulação pulsada A modulação pulsada pode ser utilizada em situações em que se deseja maior imunidade a ruído, interferências e distorções (casos PPM, PWM e PFM), além de aplicações que variam de sistemas de multiplexagem no tempo (caso do PAM) a controle de velocidade de motores (caso de PWM). A maior desvantagem é a necessidade de sistemas com largura de faixa muito maior que o do sinal modulador (porém, ainda muito menor que na representação por PCM).