Principios de algebra elemental (1ra Revisón)

Principios de Álgebra Elemental

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Introducción La presente guía proporciona una ayuda básica presentando los conceptos elementales del álgebra así como los métodos mas comunes de solución de problemas fundamentales presentados en esta rama de las matemáticas, cabe mencionar que el álgebra es una herramienta indispensable para la solución de numerosos problemas matemáticos en ámbitos profesionales, así como en otras ramas de las matemáticas que se deberán estudiar mas adelante como la geometría analítica, el calculo diferencial, calculo integral entre otras. El algebra es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las cantidades de una forma muy general

OPERACIONES FUNDAMENTALES Suma o Adición: Operación que consiste en reunir dos o más expresiones (sumandos) en una sola (suma) Resta o Sustracción: Operación que consiste en quitar de una expresión (minuendo) otra expresión (Sustraendo), obteniendo como resultado una resta o diferencia. Multiplicación: Operación que involucra varias sumas en una expresión, esta conformada por factores y da como resultado un producto, Ej. (3)(6)=18 indica que se sumara 6 veces el numero 3 o 3 veces el número 6, con esto llegamos a la conocida propiedad conmutativa que expresa: EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO División: Operación Inversa a la multiplicación, la cual si se tiene el producto (dividendo) y un factor (divisor), se requiere encontrar el factor restante (cociente), como no siempre la división es exacta en ocasiones se obtiene un residuo que al sumarlo con el producto del cociente y el divisor el resultado es el dividendo. Potenciación: Operación que involucra varias multiplicaciones de un numero por si mismo, expresada mediante una base y un exponente. Ej. mn =(m)1(m)2(m)3…(m)n. =p Esto significa que multiplicaremos el número “m” “n” veces hasta encontrar el producto final “p”, donde “m” es la base y “n” es el exponente. Radicación: Operación Inversa a la potencia, la cual es expresada por medio del signo radical, sus elementos son: el índice, signo radical y radicando. Ej. n p = m donde “n” es el índice de la raíz, y “p” es el radicando, ya que se encuentra bajo el signo radical. Proceso: se debe encontrar un numero “m” tal que multiplicado “n” veces por si mismo se obtenga el numero “p”.

REGLAS DE LOS SIGNOS Suma y Resta • Signos Iguales se suman y se escribe el mismo signo. • Signos Diferentes se restan y se escribe el signo del mayor. Ej. 4+4=8 -4 - 4= - 8 -3+9=6 -9+5= - 4 Multiplicación y División • Signos Iguales Resultado Positivo. • Signos Diferentes Resultado Negativo. Ej. (4)(7)=28 (-4)(-7)=28 (-4) (7)= - 28 (4)(-7)= - 28 (m)(n)= mn (-m)(-n)= mn (-m)(n)= -mn (m)(-n)= - mn Elaborado por: Jesús Alberto Pérez Martínez

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Potencia • Cualquier base elevada a una potencia par el resultado es positivo. • Cualquier base elevada a una potencia impar el resultado tiene el mismo signo de la base. Ej. (3)2=9 (-3)2=9 (2)4=16 (-2)4=16 (-m)6=m6 (mn)4= m4 n4 (2)3=8 (-2)3= - 8 (3)5=243 (-3)5= -243 (-m)7= -m7 (-mn)5= -m5 n5 Radicación • Cuando se obtiene la raíz con índice par el resultado tiene doble signo +. Si el índice es par y el radicando negativo, la raíz será imaginaria. • Cuando se obtenga la raíz con índice impar, el resultado tendrá el mismo signo del radicando. Ej. 4 = ±2 m 2 = ±m − 4 = 2i − (m 2 ) = m − 1 = mi −1 = i

Donde Nótese que: 3

8=2

unidad imaginaria.

− ( m 2 ) ≠ ( − m) 2 3

− 8 = −2

5

− 32 = −2

3

m3 = m

3

− m 3 = −m

LEYES DE LOS EXPONENTES 1. El 1 como coeficiente1 o como exponente no se escribe, tampoco se escribe el signo + al inicio de una expresión.

Es incorrecto Escribir 1a2 3x1 +32y +25a1+12a2b1

Se debe escribir a2 3x 32y 25a+12a2b

2. En suma y resta de expresiones no hay operaciones con exponentes, únicamente con coeficientes, siempre y cuando sen términos semejantes. Que cada término tenga las mismas bases y cada base su mismo exponente. 3x+2x=5x, 2y2-3y2= - y2, -mn+2mn= -mn Se suman de acuerdo a las reglas de los signos

3t3-2t2=3t3-2t2,

-5xa-3x2a =-3x2a -5xa

No son Términos Semejantes

3. Cuando se multipliquen potencias de una misma base los exponentes se suman. (3)2(3)3=35 x -2 • x3 = x an • am= a(m+n) Son bases iguales 2 2 2 2 x •y =x y t3•r3= r3t3=( r t)3 Son Bases Diferentes 4. Cuando se dividan potencias de las mismas bases, los exponentes se restan, el exponente del numerador menos el exponente del denominador. 1

Coeficiente: En el Producto de dos factores, uno de ellos es llamada coeficiente del otro, para el objetivo del curso llamaremos coeficiente a la parte numérica de alguna expresión. Ej. 5x, su coeficiente es 5, 4x2y3 el coeficiente es 4

Elaborado por: Jesús Alberto Pérez Martínez

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20 a 2 b 3 c 5 a ( 2 − 4 ) b ( 3 − 2 ) c (1−1) 5 a −2 b 1 c 0 5b = = = 4 2 3 3 12 a b c 3a 2 5. Cualquier base elevada a la potencia 0 es igual a la unidad (1). -(3x)0= -1 ab0=a

x0=1

6. Toda base con exponente negativo cambia de posición, de numerador a denominador y viceversa y el exponente cambia de signo. 3a 2 c 32 9 12a 3 b 4 c −3 12a 3 b 4 c 2 4b 2 − 2 2 −1 3a 2 b −5 c = 5 3 2 ∗ 2 −3 = 3 = = = 4 a b c = 8 b 2 3a 5 b 2 c − 2 3a 5 b 2 c 3 a 2c 7. Cuando se eleva una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican. a6 a6 = 4 2 b 4 16b 4 8. Cuando se obtenga la raíz de una potencia los exponentes se dividen, el exponente entre el índice de la raíz. 4a 2 c 6 −12 3 2 −4 3 64a b c = 4a b c = 4 b 9. Cuando se obtenga la raíz con índice 1 de una potencia, es igual a la misma potencia. 14a 3 c 4 1 14a 3 b − 2 c 4 = 14a 3b − 2 c 4 = b2 10. Cuando se obtenga la raíz con índice 0 de una potencia, esta no existe porque la división entre 0 no esta definida. 0 21x5 y 2 z −2 = ∞ Operación no definida 11. La raíz con índice – de una potencia es igual al reciproco2 de la raíz pero con índice positivo.

(32)3=36

( 4 a −3 b 2 ) − 2 = 4 − 2 a 6 b − 4 =

(x5)2=x10

−3

64a 6 b −12 c 3 =

1 3

64a 6 b −12 c 3

1 b4 = 4a 2 b − 4 c 4 a 2 c

=

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Definición de Término: Es la agrupación de expresiones algebraicas (números, letras, símbolos, etc.), ligadas con operaciones de multiplicación, división, potencia y raíz, se separan con símbolos de +,-. Ejemplos:

3x2 y3z−6

4abc

2π r

A la expresión formada por un término se le llama Monomio. A la expresión formada por dos términos se le conoce como Binomio. A la expresión formada por tres términos se le conoce como Trinomio. Análogamente a la expresión formada por más de dos términos se le conoce como polinomio.

2

Recíproco: Conocido también como inverso, toda cantidad multiplicada por su recíproco es igual a la unidad

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Grado de una expresión algebraica En un monomio: Es la suma de los exponentes de cada una de las literales. En un polinomio: Es el exponente de mayor grado. La reducción de términos semejantes es la agrupación de 2 o más términos que contienen las mismas bases y los mismos exponentes en uno solo, esto se logra aplicando la ley 2 y las reglas de los signos para la suma y la resta.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN Existen 4 tipos de signos de agrupación, paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y barra ¯¯¯¯¯¯. Cada uno de estos signos indica que se debe hacer primero la operación que esta dentro de ellos, en ocasiones no se puede reducir la expresión indicada por lo que se procede a eliminar los signos, esto se logra identificando el signo de operación (+, - ) que precede al signo de agrupación ya continuación, se escribe cada uno de los términos con su signo si es signo de operación es + y con el signo contrario si el signo de agrupación es -.

VALOR NUMÉRICO Al dar valor numérico a expresiones algebraicas, es necesario tener en cuenta el orden de las operaciones que es el siguiente:
Potencia
Multiplicación
División
Suma y resta
Raíz

MULTIPLICACIÓN MONOMIOS: Se multiplican los coeficientes, se escriben todas las literales en orden alfabético y se escriben con el exponente resultante de la suma de los exponentes de donde aparecen, si es necesario se simplifica la expresión con las leyes de los exponentes. (4a 2 c −5b 3 )(3c 7 b 4 d 2 ) = 12a 2 b 7 c 2 d 2 POLINOMIOS: Se obtiene el producto de cada uno de los términos del primer factor por todos los términos del segundo factor, se simplifica aplicándose las reglas de los signos y las leyes de los exponentes. (3a − 5c)(2a + 4b) = 6a 2 + 12ab − 10ac − 20bc

DIVISIÓN MONOMIO ENTRE MONOMIO Se dividen los coeficientes y se aplican las leyes de los exponentes. POLINOMIO ENTRE MONOMIO Se divide cada uno de los términos del numerador entre el denominador y se simplifica utilizando las leyes de los exponentes. POLINOMIO ENTRE POLINOMIO 1. Se ordenan los dos polinomios con respecto a una variable (no importa que variable siempre y cuando sea la misma en los dos polinomios). Elaborado por: Jesús Alberto Pérez Martínez

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2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor aplicando correctamente las reglas de los signos y las leyes de los exponentes, escribiendo el resultado como término del cociente. 3. Se multiplica el ultimo término obtenido del cociente (paso 2) por todo el divisor, escribiendo el resultado en la parte de abajo del dividendo, cuidando de cambiar el signo a cada término obtenido de este producto. 4. Se realiza la suma algebraica del dividendo y polinomio obtenido del producto en el paso 3, obteniendo así un nuevo dividendo. 5. Se repiten los pasos 2, 3 y 4 hasta que el primer término del dividendo ya no pueda ser dividido por el primer término del divisor, este polinomio será el residuo. 6. Para comprobar la división solo es necesario multiplicar el cociente por el divisor y sumarle el residuo y debemos obtener como resultado el dividendo original.

PRODUCTOS NOTABLES Se denominan productos notables aquellos que pueden realizarse por simple inspección.

Binomio al cuadrado: Su resultado es un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Regla: El cuadrado del primer término + El doble producto del primer y el segundo término + El cuadrado del segundo término

Ej.

(2+4)2=22+2•2•4+42=4+16+16=36

(a+b)2=a2+2ab+b2

(x -2y2)2=x2-4xy2+4y4

Binomio al cubo: Siempre obtendremos 4 términos. Regla: El cubo del primer término + El triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término + El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término+ El cubo del segundo término

Ej.

(3+5)3=33+3•32•5+3•3•52+53=27+135+225+125=512 (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3 (3b2-2t)3= (3b2)3+3(3b2)2(-2t)+3(3b2)(-2t)2+(-2t)3=27b6-54b4t+36b2t2-8t3

Binomio de término Común: Generalmente se obtendrá un trinomio con un grado del doble que el del binomio. Regla: El cuadrado del término común + El producto de la suma algebraica de los términos diferentes y el término común + El producto de los términos diferentes.

Ej.

(5+1)(5+3)=52+(3+1)(5)+3•1=25+20+3=48 (x+1)(x+3)= x2+(3+1)(x)+3•1=x2+4x+3 (2t3+4s)(4s-6t3)=16s2-4t3-12t6

Binomio conjugado: Se obtendrá como resultado una diferencia de cuadrados. Regla: El cuadrado del término que no cambió de signo – El cuadrado del término que cambió de signo

Ej.

(7+1)(7-1)=49-1=48 (x+1)(x-1)=x2-1 (-3+x)(-3-x)=9-x2

(-7+3)(-3-7)=49-9=40 (-x+2)(-2-x)=x2-4 (4s+3t2) (-4s+3t2)= 9t4-16s2

SE DEBEN TOMAR EN CUENTA LAS REGLAS DE LOS SIGNOS Y LAS LEYES DE LOS EXPONENTES PARA CADA OPERACIÓN. Elaborado por: Jesús Alberto Pérez Martínez

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FACTORIZACIÓN3 Si tenemos una expresión matemática que conste de una estructura determinada, esta puede ser expresada mediante factores. (Hay que recordar que un factor es un elemento de la multiplicación) Ej. 35=7*5 12+36-54=6(2+6-9)

Tenemos una expresión que es el numero 35 y la descomponemos en dos factores 7 y 5. Tenemos una expresión que es 12+36-54 y la descomponemos en dos factores 6 y (2+6-9)

Obsérvese que si se realiza la multiplicación de los dos factores obtenidos se obtiene la expresión inicial. En el álgebra existen varios casos de factorización que se deben identificar por simple inspección, los mas comunes son: Factor común Regla:
Se escribe el número más grande que divida a todos los coeficientes en la expresión (MCD4).
Se escriben las letras que estén en todos los términos.
Se escriben los exponentes mas chicos de cada una de las letras.
Ya obtenido el factor común se divide el polinomio dado entre este y se obtiene el segundo factor. Ej. 6x3+3x2=3x2(2x+1) 36w5x4-24w3x5+36w4x4 = 12w3x4(3w2-2x+3w) Diferencia de cuadrados: Al factorizar una diferencia de cuadrados obtendremos producto de un binomio por su conjugado. Condición: Deben ser dos términos con raíz cuadrada exacta y con signos diferentes. Regla:
Los factores serán dos.
Tanto en el primer como en el segundo factor se escribirá la raíz cuadrada del término positivo
Al primer factor se le sumara la raíz cuadrada del término negativo y al segundo se le restara dicha raíz. Ej. (49-64) =(7-8)(7+8)=-1*15=-15 (x4-81)=( x2+9) ( x2-9)= ( x2+9)(x+3)(x-3) Nótese en el segundo ejemplo que el factor ( x2-9) es también una diferencia de cuadrados por lo que también se factoriza

Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP): Al factorizar un TCP obtendremos el cuadrado de un binomio Lo primero es verificar que el trinomio dado es un TCP por medio del siguiente procedimiento.
Se ordena el trinomio
Se obtiene la raíz cuadrada del primero y del tercer término
Se obtiene el doble producto de dichas raíces
Si el producto obtenido es igual al segundo término si es un TCP y se puede seguir el procedimiento para factorizarlo, en caso contrario se debe emplear otro tipo de factorización. Ya que sabemos que se trata de un TCP
Se abre un paréntesis
Se escribe la raíz cuadrada del primer término5
Se escribe el signo del segundo término
Se escribe la raíz cuadrada del tercer término
Al cerrar el paréntesis se escribirá un exponente 2 Ej. 4+32+64=(2+8)2 16-56+49=(4-7)2 a2+2ab+b2 =(a+b)2 9x2-12xy2+4y4 = (3x -2y2)2 3

Se debe entender que no todo polinomio es factorizable. Máximo común divisor. 5 Se puede escribir primero también la raíz del tercer término sin alterar el resultado. 4

Elaborado por: Jesús Alberto Pérez Martínez

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Factorización por Agrupación o Asociación Continua. Este tipo de factorización se realiza cuando se tienen cuatro términos6. Regla:
Se seleccionan 2 de los 4 términos y se obtiene el factor común.
De los 2 términos restantes se obtiene también el factor común.
Los factores que quedan en los paréntesis deben ser iguales, si solo se diferencian en los signos basta con cambiar todos los signos de los dos factores (el común y el paréntesis).
Ya que son iguales los dos paréntesis se escribe dicho factor, a continuación se escribe el segundo factor como la suma algebraica de los factores comunes obtenidos con anterioridad. Ej. x2-4x+3x-12= x(x+3)+4(-x-3) = x(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x-4) Trinomio de la forma x2+bx+c Nos dará como resultado el producto de dos binomios con término común. Regla:
Se escribe la raíz cuadrada del término de segundo grado en los dos factores
Se buscan dos números que sumados o restados den el coeficiente del termino de primer grado y multiplicados den el termino independiente. Si no se encuentran dichos números significa que el trinomio no tiene factorización y se puede verificar7 si b2-4c