Principio de Pascal y de Arquímedes

PRINCIPIO DE PASCAL Y PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Reconocer y aplicar los principios de Pascal y Arquímedes en fenómenos de mecánica de fluidos, es de suma importancia para el quehacer de un ingeniero mecánico o mecátronico.

PRINCIPIO DE PASCAL La presión externa ejercida sobre un fluido poco compresible y en equilibrio dentro de un recipiente de  paredes indeformables se transmite con igual intensidad en e n todas las direcciones d irecciones y en todos los puntos del fluido. El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y  provista de un embolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma velocidad y por lo tanto con la misma  presión (figura 1).

Figura 1 Principio de Pascal. También podemos ver aplicaciones del principio de Pascal en las prensas hidráulicas, en los elevadores hidráulicos (gatos), en los frenos hidráulicos y en todo sistema hidráulico de transmisión de potencia.. La aplicación más importante de este principio es la prensa hidráulica (figura 2), ésta consta de dos émbolos de diferente superficie unidos mediante un líquido, de tal manera que toda presión aplicada en uno de ellos será transmitida al otro. Se utiliza para obtener grandes fuerzas en el émbolo mayor al hacer fuerzas pequeñas en el menor.

Figura 2 Prensa hidráulica. Como la presión se transmite con igual intensidad en todas direcciones, y ambos émbolos tienen la misma  posición vertical, tenemos que: P2 = P1 De este modo obtenemos la ecuación: F1/A1 = F2/A2

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Un trasatlántico está hecho fundamentalmente de acero. Si se deposita una plancha de acero en el agua, se hunde. Entonces ¿por qué flotan los trasatlánticos? La respuesta está basada en un conocido principio físico llamado Principio de Arquímedes, el cual trataremos de explicar a continuación. Como parte de la explicación, y para entender de qué se trata, contaremos la siguiente anécdota.

La corona de oro del rey Herón Según se cree, Arquímedes fue llamado por él el rey Herón de Siracusa, donde Arquímedes vivió en el siglo III AC, para dilucidar el siguiente problema. Se cuenta que el rey Herón de Siracusa le había entregado a un platero una cierta cantidad de oro para con ella le hiciera una corona. Cuando estuvo terminada, se decía que el platero había sustituido una parte del oro por una cantidad equivalente de plata, devaluando con ello la corona y engañando, pues, al rey. El rey encargó a Arquímedes que descubriera si había sido engañado. El problema que Arquímedes debía resolver era determinar si el joyero había sustraído parte del oro o no, pero no podía romper la corona  para averiguarlo. Arquímedes pensó arduamente cómo resolver el problema, sin poder encontrar una solución. Se dice que mientras se disponía a bañarse en una tina, en la que por error había puesto demasiada agua, al sumergirse en ella, parte del agua se derramó. Arquímedes se dio cuenta de que este hecho podía ayudarle a resolver el enigma planteado por Herón y fue tal su regocijo que, desnudo, salió corriendo de la tina gritando "¡Eureka, eureka!" (que significa "¡Lo encontré, lo encontré!") (figura 3).

Figura 3 Eureka, Eureka. En efecto, Arquímedes, con esta observación, dio origen a un método para determinar el volumen de distintos tipos de sólidos. Este método se conoce con el nombre de Medición de Volumen por Desplazamiento (de líquidos).

Medición de volumen por desplazamiento El volumen de un cuerpo es, hablando de manera simple, la cantidad de espacio que ese cuerpo ocupa. Existen distintas maneras de determinar (medir) el volumen de los cuerpos. El siguiente método, es especialmente útil para medir el volumen de cuerpos sólidos impermeables, es decir, cuerpos sólidos que no absorben líquidos. Consideremos un cuerpo sólido impermeable como una goma de borrar, una bolita o una piedra. Supongamos que queremos determinar el volumen de una piedra (el método es igualmente útil para cualquiera de los otros dos objetos).

Una manera de determinar el volumen de la piedra consiste en tomar una probeta de unos 30 ml, por ejemplo (como la de la figura 4), y llenarla de agua hasta la marca de 20 ml. A continuación, se deposita la piedra dentro del agua. Una vez que la piedra se haya hundido completamente el nivel del agua habrá ascendido, desde los 20 ml iniciales a, digamos, 23 ml, por ejemplo.

Figura 4 Medición de volumen de cuerpo irregular e impermeable. La diferencia de nivel determina el volumen de la piedra, 3 ml ó 3 cm3 o 3 cc (3 centímetros cúbicos), en este caso. Ya que la piedra no absorbe agua, el espacio que ocupa la piedra desplaza el agua hacia arriba y, de esta manera es posible determinar su volumen. Una forma ligeramente diferente de realizar la misma tarea, consiste en llenar de agua completamente un recipiente cualquiera y ponerlo sobre una cubeta. Después, se introduce la piedra al agua. Esto producirá un rebalse del agua que caerá en la cubeta. El agua que cayó en la cubeta se vierte en una probeta y se mide. El resultado de esa medición determina el volumen de la piedra. Este fue el resultado que encontró Arquímedes al bañarse en la tina. Es importante destacar que es posible utilizar este mismo método para determinar el volumen de cuerpos irregulares como una pera o una zanahoria, por ejemplo.

Principio de Arquímedes Otra de los postulados de Arquímedes que surgió al bañarse en la tina, fue el denominado Principio de Arquímedes: “Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido recibe una fuerza de empuje (F  E ) de abajo hacia arriba de igual magnitud que el peso del volumen de fluido que desaloja ( V   c )” 1      De dicho principio, se deduce la condición de flotabilidad (figura 5). Sobre un cuerpo sumergido actúan dos fuerzas; su peso, que es vertical y hacia abajo y la de empuje que es vertical pero hacia arriba. Si queremos saber si un cuerpo flota es necesario conocer su densidad, se pueden producir tres casos: 1. El peso es mayor que la fuerza de empuje (F w    F E  ), el cuerpo se hunde. Es decir, la densidad del cuerpo es mayor a la del líquido. 2. Si el peso es igual que la fuerza de empuje (F w   F E)  , el cuerpo no se hunde ni emerge. La densidad del cuerpo es igual a la del líquido. 3. El peso es menor que la fuerza de empuje (F w    F E)  , el cuerpo flota. La densidad del cuerpo es menor a la del líquido.

F E 

F W  

Figura 5 Cuerpos sumergidos: tres casos. Los barcos no se hunden porque su densidad es menor a la densidad del agua, por lo que se produce un empuje mayor que mantiene el barco a flote. Esto a pesar de que el hierro o acero con que están hechos generalmente los barcos es de densidad mayor al del agua y se hunde (un pedazo de hierro en el agua se va al fondo), pero si consideramos todas las  partes del barco incluyendo los compartimientos vacíos, la densidad general del barco disminuye y es menor a la del agua, lo que hace que éste se mantenga a flote.

PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1. Se está diseñando un flotador que se va a utilizar como indicador de nivel, y se supone que debe flotar en aceite, cuya densidad relativa es de 0.90. El flotador tendrá la forma de un cubo sólido de 100 mm de lado, y deberá tener 75 mm sumergidos en el aceite. Calcule la densidad requerida  para el material del flotador. 2. En la figura 1 se muestra una bomba parcialmente sumergida en aceite (DR = 0.90), que está apoyada en resortes. Si el peso total de la bomba es de 14.6 lbf  y el volumen sumergido es de 4 3  pulg , calcule la fuerza de apoyo que se ejerce en cada resorte. 3. Una boya debe soportar un paquete de instrumentos en forma de cono, de la manera en que se muestra en la figura 2. La boya está hecha con un material uniforme que tiene una densidad de 8 3 lbm/pie . Al menos 1.50 pie de la boya debe estar por encima de la superficie del agua del océano  para que sea segura y se pueda ver. Calcule el máximo peso permisible para el paquete de instrumentos.

Figura 1 Motor.

Figura 2 Boya.

3

4. Un tempano de hielo tiene una densidad de 888.89 kg/m  ¿Qué porción de su volumen está por encima de superficie cuando se encuentra en el océano? La figuras 3 muestra una balsa hecha con cuatro tambores vacios que sirven de soporte a una plataforma, cada tambor pesa 30 lbf . Los planos de construcción de la plataforma se presentan en figura 4. 3 5. Determine el peso de la plataforma si se construye con madera cuya densidad es de 40 lbm/pie . 6. ¿Cuánto peso en total, considerando la plataforma y cualquier otro peso colocado encima de ella,  puede soportar la balsa cuando los tambores están c ompletamente sumergidos? 7. ¿Qué porción de los tambores estarán sumergidos cuando solamente soportan la plataforma? 8. ¿Qué peso extra hará que los tambores y la plataforma estén sumergidos? Suponga que no queda aire atrapado debajo de la plataforma.

Figura 3 Balsa.

Figura 4 Plataforma.