Principio de Castigliano

 

Republica Bolivariana de Venezuela Universidad de Oriente Escuela de Ing. Y Cs. Aplicadas Departamento de Ing. Civil  Análisis Estructura Estructurall 1

Principio de Castigliano

Profesor: - Ricardo Gamboa

Bachiller(es): - Franzhellys Espinoza CI - Edgar Méndez CI 26146150

Puerto la Cruz, Julio 2017

 

Índice   Introducción

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1. Teoremas de Castigliano 1.1. Primer Teorema 1.2. Segundo Teorema T eorema 1.2.1. Ley de Clapeyron 2. Procedimiento para aplicar el Teorema de Castigliano   Ejemplo

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  Conclusión

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  Bibliografía

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Índice de Formulas   Formula °1: primer teorema

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  Formula °2: segundo teorema

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  Formula°3: La energía de deformación o Ley de Clapeyron

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Introducción Carlo Alberto Castigliano, Ingeniero Italiano (1847  –  1884) se encargo de crear nuevos métodos para el análisis de estructuras o sistemas elásticos, estableciendo que cuando actúan fuerzas sobre sistemas elásticos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, puede encontrarse obteniendo la derivada parcial de la energía de deformación respecto a esta fuerza. Los términos “Fuerza” y “Desplazamiento” han de

interpretarse con amplitud, ya que se aplican igualmente a momentos y a los desplazamientos angulares. Esta es una herramienta grandiosa para la determinación de deformaciones de estructuras complejas.

 

1. Teoremas de Castigliano Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.

1.1. Primer teorema de Castigliano Sea un cuerpo elástico K

∈  R   sobre el que actúan el conjunto de fuerzas 3

P1,...,Pn  aplicados sobre los puntos del sólido A 1,...,An  y llamamos U ( δ 1,...,δn  ) a la energía

potencial

elástica

o

potencial

interno

donde

δ i  es

el

movimiento-

desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza P i. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:

 =  (1)  1.2. Segundo teorema de Castigliano El segundo teorema de Castigliano o método del trabajo mínimo ha desempeñado un papel importante en el desarrollo de análisis estructural a través de los años y ocasionalmente se usa en la actualidad. Este método sirve para determinar los desplazamientos y rotaciones en las estructuras tales como vigas, armaduras, marcos de cualquier tipo. Con la desventaja de que no es aplicable en su forma para fuerzas

causadas

por

desplazamientos

debidos

a

cambios

de

temperaturas,

asentamientos de los apoyos, ni a errores de fabricación. Enunciando el segundo teorema: “Si una estructura constituida por un material elástico y en equilibrio isostático

bajo la acción de un sistema de fuerzas externas, no existen cambios de temperaturas, ni movimiento en sus apoyos, el desplazamiento en el punto de aplicación de una o

 

cualquier fuerza externa en su propia dirección debido a dicha fuerza es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación almacenada por la temperatura respecto de dicha fuerza” 

Matemáticamente el teorema de castigliano se puede expresar mediante la siguiente expresión:

     + ∫   

 ∫  =  

      + ∫

      (2) 

Donde: Pn = Es una carga puntual o momento puntual arbitrario

 = desplazamiento o rotación buscada de la junta o miembro U = energía de deformación o Ley de Clapeyron

1.2.1. Ley de Clapeyron se enuncia así: “Si una estructura constituida por un material clásico, homogéneo e isotópico no

está sujeto a tensiones iniciales, no existiendo cambio de temperatura ni movimientos en sus apoyos, al aplicarle un sistema de fuerzas externas las cuales varían continuamente desde cero hasta sus magnitudes finales produciendo pequeñas distorsiones, el trabajo realizado por las fuerzas externas sobre los desplazamientos producidos por ellas mismas es igual a la mitad de la suma de los productos de cada carga por el correspondiente desplazamiento de punto en dirección de dicha carga”.

La energía de deformación o Ley de Clapeyron se expresa así:

=∫

 

   + ∫

2

0

0

 

  + ∫

2

0

 

2

  (3) 

 

2. Procedimiento para aplicar el teorema de Castigliano 1. Se coloca una carga Pn en la dirección del desplazamiento o rotación que se desee conocer. El sentido de la carga es arbitrario. 2. Se calcula su estática en función de la carga Pn, en toda su estructura. 3. Se realiza el despiece total de la estructura y se determinan las ecuaciones matemáticas y/o diagramas de las fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flectores. Se define un sistema de eje de coordenadas locales para cada miembro de la estructura y tomando como origen un extremo para el cálculo de la ecuación en función de la longitud S. 4. Se derivan estas ecuaciones tomando como variable la fuerza Pn. 5. Se aplica la ecuación de Castigliano o energía total y se halla el desplazamiento (Ec. 2) El principio de castigliano se divide en dos teoremas los cuales llegan a un mismo resultado

  para el cálculo de los desplazamientos elásticos en las estructuras. 

Para el caso del punto 5, en el cálculo del desplazamiento o rotación, se recomiendo sustituir la fuerza Pn por el valor de la carga externa allí existente y en el mismo sentido; caso contrario, de no existir carga externa Pn = 0.

 

Bibliografía   Prof. Blas Pinto. (2003). Guia fundamentos de ingeniería estructural. estructural .

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Barcelona, Venezuela   http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html  

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https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Castigliano