Primera propiedad de traslación 1

CAPÍTULO

6 La transformada de Laplace

6.4.2

Primera propiedad de traslación

Para cualquier a 2 R:

L e at f .t/ D ˚



1

Z

e

st

Œe at f .t/ dt D

0

1

Z

.s a/t

e

f .t/ dt D F .s

a/I

0

L e at f .t/ D F .s

a1



(6.1)

a/:

at ic

˚

.c o

m

es decir,

em

Entonces, la TL de e at f .t/ es la misma que la de f .t/, con un corrimiento hacia a. Por ejemplo:

L e 3t t 2 D

2 s 3 s!s

M at

˚

D 3

2 .s

3/3

:

ww w.

El símbolo s!s a se usa sólo para indicar que hay que reemplazar la variable s en todas sus ocurrencias por s a. Con este resultado obtenemos las siguientes fórmulas:

L e at t n D ˚



nŠ s nC1

D s!s a

s L e cos bt D 2 s C b2 ˚ b L e at sen bt D 2 s C b2 ˚

at



s!s

1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010

1

a

s!s a

nŠ : a/nC1 s a D : .s a/2 C b 2 b D : .s a/2 C b 2 .s

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias 3t

˚ Ejemplo 6.4.1 Obtener L e

cos t

&



sen t .

3t

L e ˚

H s sC3 D : 2 s C 1 s!sC3 .s C 3/2 C 1 ˚ 1 1 D : L e 3t sen t D 2 s C 1 s!sC3 .s C 3/2 C 1 Ejemplo 6.4.2 Calcular L

s2

1 Cs



2



.

Primero completamos cuadrados en el denominador: s2

9 4

2 3

2

senh

3 2t

!

Así concluimos que

t 2

senh

3 t 2

"

3 2

3 2

s2


2

#

L

1



-

1 2 s Cs

D

-

m



ww w.

2 e 3

t 2

M

e ?



2 3

at e

senh

3 t 2

9 4

2

:

. De acuerdo con la tabla, la fórmula .10/ nos da:

Por lo tanto: 2 3

sC

1
1 2

m

1 s2

D

.c o

Luego consideramos solamente

1 Cs

at ic a1

H

1



cos t D

3t

˚

L e

2

2 3



"

sC

D 23 e

t 2

2 3

1 9 4

s2 "

3 2
1 2 2

:

3 2 9 4

s2

#

s!sC ? #

9 4

D

1 2

1 s2 C s

2

senh 3t2 : 

Ejemplo 6.4.3 Hallar L H

1

n

s2

s C 6s C 10

o .

Completamos cuadrados en el denominador: cos t

s s D . Sabemos que: s 2 C 6s C 10 .s C 3/2 C 1 !

s : s2 C 1

Por lo tanto: cos t  e e

3t

3t

? cos t 

-

s s2 C 1

s !sC3 ? sC3 .s C 3/2 C 1

Ecuaciones diferenciales ordinarias 6 Nos ha resultado

3

sC3 s y no . Arreglamos esta diferencia de la siguiente manera: 2 .s C 3/ C 1 .s C 3/2 C 1 s .s C 3/ 3 sC3 D D .s C 3/2 C 1 .s C 3/2 C 1 .s C 3/2 C 1

3 : .s C 3/2 C 1

Incorporamos esta idea para hallar: cos t

3 sen t  e

3t

? 3 sen t/e

.cos t

s s2 C 1

-

3t



-

3 s2 C 1

s !sC3 ? 3 s D 2 .s C 3/ C 1 .s C 3/2 C 1

sC3 .s C 3/2 C 1



 s DL .s C 3/2 C 1

1

n

s2

o s De C 6s C 10

.c

1

ic a1

L

om

En consecuencia: 3t

.cos t

2. f .t/ D t 3

.t 2 C 1/2 .

4. f .t/ D sen ˛t cos ˇt.

w.

4t

M

4t 2 C 5.

ww

3. f .t/ D e

2 cos 5t.

at

1. f .t/ D 3 sen 4t

em

at

Ejercicios 6.4.2 Primera propiedad de traslación. Soluciones en la página 4 1 En cada uno de los ejercicios, calcular Lf f .t/g o bien L f F .s/g, según se requiera:

5. f .t/ D sen 2 at. 6. F .s/ D

s2

5 20s C 2 . C4 s C9

7. F .s/ D

3 5.s C 1/ 2 C 2 C 2 . .s C 2/4 s C 16 s C 2s C 5

8. F .s/ D

7 . s 2 C 10s C 41

9. F .s/ D 10. F .s/ D 11. F .s/ D

s2

sC1 . C 2s C 5

s2

sC3 . C 2s C 10

s2

3s C 1 . 4s C 20

3 sen t/: 

4

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejercicios 6.4.2 Primera propiedad de traslación. Página 3 2s 3 C 12s 2 32s C 300 . .s 2 C 16/.s 2 C 25/

2a2 . C 4a2 

sŒs 2

7. 8.

ww w.

M

at

em at

ic

6

˛s 2 C ˛.˛2 ˇ 2 / . 4. F .s/ D 2 Œs C .˛ C ˇ/2 Œs 2 C .˛ ˇ/2  5. F .s/ D

.c om

8s C 5s 3 . s4 24 C 4.s C 4/2 C .s C 4/4 3. F .s/ D . .s C 4/5

2. F .s/ D

5 sen 2t C 20 cos 3t . 2 1 3 f .t / D e 2t t 3 C sen 2t C 5e t cos 2t . 3 4 7 f .t / D e 5t sen 4t . 4 f .t / D e t cos 2t . 2 f .t / D e t cos 3t C e t sen 3t . 3 „ « 7 2t f .t / D e 3 cos 4t C sen 4t . 4

6. f .t / D

a1

1. F .s/ D

9. 10. 11.

CAPÍTULO

6 La transformada de Laplace

6.4.3

Segunda propiedad de traslación

Esta propiedad permitirá resolver ecuaciones diferenciales donde aparezcan funciones discontinuas. Para entenderla es conveniente introducir una función con la que está estrechamente relacionada, la función escalón unitario de Heaviside, que es una modificación de u.t/, ya considerada antes.

at ic

( 0; a/ D 1;

si t < aI si t  a:

(6.1)

em

ua .t/ D u.t

a1

.c o

m

Función escalón unitario de Heaviside Esta función se define para a > 0 como:

M at

Cuya gráfica es y

ww w.

y D ua .t /



t


a

Es decir, dado un a > 0 la función asigna el valor 0, si t se encuentra a la izquierda de a y el valor 1, si t se encuentra a la derecha de a. El efecto que tiene esta función sobre otras puede apreciarse en el siguiente ejemplo. 1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010

1

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejemplo 6.4.1 Sea la función f .t/ D t 2 C 1. Comparar su gráfica con la gráfica de g.t/ D u.t

2/f .t

2/.

H Para t < 2 se tiene g.t/ D 0 y para t  2 tenemos g.t/ D f .t 2/ que representa un corrimiento de 2 unidades de la gráfica de f hacia la derecha. Al emplear estas consideraciones hallamos que y

f .t / D t 2 C 1

2/f .t

2/

.c o

m

g.t / D u.t

at ic a1



t



2



M

at e

m

En general, el efecto geométrico que tiene la multiplicación u.t a/f .u a/ sobre la gráfica de una función f es correrla a unidades a la derecha, proyectando entonces al eje t aquella parte de la gráfica que se encuentre a la izquierda de a.

ww w.

 Establecemos la segunda propiedad de traslación. Para a > 0; si f .t/

H

! F .s/;

entonces

u.t

a/f .t

a/

!e

as

F .s/:

En efecto:

Lfu.t

a/f .t

a/g D D

D

Z

Z Z

1 st

e

u.t

a/f .t

a/ dt D

0 a st

e 0

u.t

a/ f .t

a/dt C

D0 st

e

f .t

a

a/ dt D

1 st

e

a

˜ 1

Z

Z

u.t a/ f .t ˜ D1

1

e

a/ dt D

s.xCa/

f .x/ dx D

0

Z

1

e

sx

e

sa

f .x/ dx D

0

ž xDt a

De

as

Z

1

e

sx

f .x/dx D e

as

F .s/:

0

 Advierta que en particular, si f .t/ D 1, se deduce que u.t

a/

!

e

as

s

.

Ecuaciones diferenciales ordinarias 6

3

Ejemplo 6.4.2 Calcular la TL de la función h.t/ que está definida por ( 1; si   t < 2 I h.t/ D 0; si t … Œ; 2 / : H El cálculo de la TL se puede hacer mediante la definición, pero presentamos otra posibilidad que nos puede ayudar en situaciones más complicadas. Nos referimos a escribir la función h mediante una combinación lineal de funciones escalón unitario de Heaviside para las cuales utilizamos los números a de la definición (6.1) como aquellos valores que aparecen en la propia función seccionada h; así escribimos h de la siguiente manera: h.t/ D Au.t  / C Bu.t 2 /I donde A y B son factores que encontraremos por el método de coeficientes indeterminados. 1. Si   t < 2 , entonces t   0 & t 2 < 0, por lo que u.t por definición de h.t/, se tiene que h.t/ D 1 y por otra parte: h.t/ D Au.t

 / C Bu.t

2 / D 0. Entonces,

2 / ) 1 D A.1/ C B.0/ ) A D 1:  / D 1 & u.t

2 / D 1. Entonces, por

.c om

2. Si t  2 , entonces t  > 0 & t 2  0, por lo que u.t definición de h.t/, se tiene que h.t/ D 0 y por otra parte:  / C Bu.t

2 / ) 0 D A.1/ C B.1/ ) B D A D 1:

ic a1

h.t/ D Au.t

 / D 1 & u.t

at em at

De esta manera h.t/ D u.t  / u.t 2 /. Por lo tanto, a partir de la propiedad de linealidad y de la segunda propiedad de traslación, hallamos:

Lfh.t/g D Lfu.t

2 /g D

e

s

e

s

2s

D

s

s

e

e s

: 

si a  t  b , entonces f .t/ se puede expresar en términos de u.t/ como si t … Œa; b

ww

f .t/ D g.t/u.t

a/

g.t/u.t

(6.2)

b/:

Ejemplo 6.4.3 Calcular la TL de la función f cuya gráfica se muestra en la siguiente figura: y

y D f .t /

2 

t 

2

1

H

2s

M

g.t/; 0;

Lfu.t

w.

 En general, si f .t/ D

(

 /g

3

La definición analítica de la función f es   2t f .t/ D 2;   0;

2;

si 1  t < 2I si 2  t < 3I si t … Œ1; 3/ :

4

Ecuaciones diferenciales ordinarias

que se puede escribir como ( 2t f .t/ D 0;

si 1  t < 2 C si t … Œ1; 2/

2;

( 2; 0;

si 2  t  3I si t … Œ2; 3 :

Si ahora aplicamos en resultado (6.2) se tiene: f .t/ D .2t

2/u.t

1/

.2t

2/u.t

2/ C 2u.t

2/

D 2.t

1/u.t

1/

2.t

2/u.t

2/

3/:

2u.t

2u.t

3/ D

De aquí resulta (por la linealidad de la TL):

Lff .t/g D 2Lf.t

1/u.t

1/g

2Lf.t

2/u.t

2Lfu.t

2/g

Si ahora aplicamos la segunda propiedad de traslación y las fórmulas t

!

obtenemos: e s s2

2

2s

e

2

s2

1 & u.t s2

a/

!

e

as

,

s

3s

s

:  a/ no son los mismos, se debe pro-

a/ & u .t – –

em at

ic

ceder como en el siguiente ejemplo.

a1

Cuando ocurre que los argumentos de las funciones f .t

e

.c om

F .s/ D 2

3/g:

Ejemplo 6.4.4 Calcular la TL de la función f .t/ D sen.t/u.t

 /.

M

at

H Los argumentos de las funciones seno y escalón unitario u no son los mismos. Como debemos hallar el mecanismo adecuado para hacerlos iguales, procedemos de la siguiente manera:

ww

w.

f .t/ D sen.t/u.t  / D senŒ.t  / C  u.t  / D D Œsen.t  / cos  C sen  cos.t  /u.t  / D

sen.t

 /u.t

 /:

Aplicando ahora la segunda propiedad de traslación: F .s/ D

e s : s2 C 1 

˚ Ejemplo 6.4.5 Calcular L t 2 u.t

3/ .

H En este caso tenemos f .t 3/u.t 3/ D t 2 u.t 3/, es decir, f .t 3/ D t 2 , y es necesario que encontremos f .t/. Para ello basta con hacer el cambio de variable t 3 D x; t D x C 3. Así: f .x/ D .x C 3/2 D x 2 C 6x C 9; es decir, f .t/ D t 2 C 6t C 9. Por lo cual:

Lf f .t

3/u.t

3/g D Lf f .t/ge

3s

˚ D L t 2 C 6t C 9 e

3s

D



 6 9 2 C C e s3 s2 s

3s

: 

Ecuaciones diferenciales ordinarias 6

5

Ejercicios 6.4.3 Segunda propiedad de traslación. Soluciones en la página 6 En los siguientes ejercicios, calcular Lf f .t/g: 2/.

om

.c

a1 at ic at em M

2. f .t/ D cos.t/u.t 1/. ( t 2 C 3t 2; si 1  t  2I 3. f .t/ D 0; si t … Œ1; 2 :   si t < 2I t; 4. f .t/ D 1; si 2  t < 3I   2t e ; si 3  t:  0; si t < 1I    t 1; si 1  t < 2I 5. f .t/ D  3 t; si 2  t < 3I    0; si 3  t:

(

sen t; si t   I 0; si   t:   si a  t  2aI b; 7. f .t/ D donde b; si 2a  t  3aI   0; si t < a o bien t > 3a; a, b son constantes positivas. 6. f .t/ D

ww w.

1. f .t/ D t 2 u.t

8. Para a y t0 constantes, f .t/ D ka, si .k t < kt0 , con k D 1; 2; 3;




1/t0 

6

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ejercicios 6.4.3 Segunda propiedad de traslación. Página 5 2e 2s .1 C 2s C 2s 2 /. s3 e s 2. F .s/ D 2 Œ.cos 1/s sen 1. s C1 1 2 3. F .s/ D 3 .e 2s e s / C 2 .e 2s C e s /. s s ´ e 3.sC2/ 1 1 ` 2s 4. F .s/ D 2 .1 e 2s / e C e 3s C . s s sC2

om

1.c ic a at

em

at

M

ww w.

1 .e s 2e s2 1 C e s 6. F .s/ D 2 . s C1 b 7. F .s/ D .e as 2e s a 8. F .s/ D . s.1 e s /

5. F .s/ D

1. F .s/ D

2s

Ce

2as

Ce

3s /.

3as /.