Primera Actividad Grupal

ECUACIONES DIFERENCIALES

Leydi Jomira Moreno CC: 110286077

GRUPO: 100412_20

TUTORA: Francisco Fernández Piña

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA 2017

Primera Actividad Grupal: Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.

SOLUCIÓN El volumen inicial de líquido en el depósito es V 0 = 500 lt y la cantidad inicial de sal en el depósito es x0 = 20 gr. La salmuera que se bombea al depósito tiene una concentración C 1 = 5 gr/lt y se bombea a una razón Q1 = 8 lt/min. La solución, debidamente agitada y homogeneizada, se extrae del depósito a razón Q 2 = 10 lt/min.

Partiendo de la ecuación diferencial asociada a los problemas de mezcla es: 2 Q1−Q¿ t ¿ V 0 +¿ dx Q 2 + dt ¿ Sustituimos los datos en la ecuación y obtenemos dx 10 + X =40 dt 500+ ( 8−10 ) t

, simplificando el proceso seria

dx 5 + X =40 dt 250−t

Despejando

dx dt

dx 5 =40− X dt 250−t

,

dx ¿ dt, sustituimos dt

(

dx= 18−

dx +

debido a la diferencial de la cantidad x de sal es dx =( dx dt

dada por la ecuación

5 X dt 250−t

)

5 X dt=40 dt 250−t

La ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de la forma x’ + F(t) x = 5 F ( t )= X , G (t )=40 G(t), donde para resolver la ecuación debe 250−t determinarse un factor integrante μ=∫ F (t ) dt=μ=∫

μ=∫ F (t ) dt

5 −5 dt=e−5 ln|250−t|=(250−t) 250−t

La ecuación lineal que tenemos de forma x’ + F(t) x = G(t), se multiplica por el factor integral

( 250−t )−5 dx+5 (250−t )−6 X dt=40(250−t)−5 dt Dado que (250−t)−5 dx +5( 250−t)−6 X dt=d ⌊(250−t )−5 x ⌋ Sustituimos −5

d ⌊ (250−t ) x ⌋ =40 Integrando

−5

(250−t ) dt

∫ d ⌊(250−t)−5 x ⌋=40 ∫ (250−t )−5 dt Al ser ambas integrales inmediatas

∫ d ⌊(250−t)−5 x ⌋=( 250−t )−5 x+ K 1 ∫ d ⌊(250−t)−5 x ⌋=

(250−t)−4 +K2 4

Sustituimos los resultados de las integrales en la ecuación anterior (250−t)−5 x=8 (250−t )−4 +k Para determinar el valor de la constante “k” de integración se utiliza la condición inicial x(0)=20, esto es, t0 =0 min y x0 =20 gr se sustituye en la ecuación −5

−4

(250) 20=8(250) + k Despejamos “K” k =( 250 )−5 20=8 ( 250 )−4 =( 250 )−5 ( 20−8 ( 250 ) ) =( 250 )−5 ( 20−2000 ) k =−( 250 )−5 1980 Est valor obtenido para k se sustituye en la ecuación (250−t)−5 x=8 (250−t )−4−( 250 )−5 1980 Multiplicando por

(250−t)5

x ( t )=8 ( 250−t ) −1980(

250−t 5 ) 250

De esta manera se representa la ley de variación de la cantidad de sal en el depósito en cualquier momento t. Por ultimo para lograr determinar la concentración de sal en el depósito en un momento t cualquiera, se necesario acordarse de que la concentración C(t) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de líquido en el tanque, en un instante t cualquiera, es decir C ( t )=

x (t ) V (t )

En la cual V ( t )=V 0+ ( Q1−Q 2 ) t=500−2 t=2(250−t) Sustituyendo las ecuaciones 5

250−t ) (250−t)4 250 =5−74 0 2(250−t) (250)5

8 ( 250−t )−1980( C ( t )=

C ( t )=5−74 0

(250−t )4 ( 250)5

La ecuación aquí representada es la ley de variación de la concentración de sal en el depósito en cualquier momento t.

Segunda Actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada: En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C. Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como: dT =−k (T−T a ) dt

Separando variables se tiene:

dT =−kdt ( T−T a )

ln (T −T a ) =-kt+c, según propiedades de los logaritmos:

e ln ⁡(T −T ) = a

−kt+c

e

Entonces, � =

−t

ce

−kt , por lo tanto: T (t) = ce +T a

T a =20°C

Como

−kt T (t) = ce +70

es incorrecto debido que la temperatura

ambiente es 20°C y no 70, este último valor es él valor de “C”.

Para � = 0 la bebida tiene � = 90°�, entonces: −kt T (t) = ce +20=90 , por lo tanto el valor de “c” debería ser c= 9020=70 Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será: −kt T (t) = 70 e +20 Para � = 4 la bebida tiene −k 4 T (4) = 70 e +20 =75

� = 75°�, luego:

−k 4 T (4) = 70 e +20 =75

e−k 4=

75−20 70

Por otro lado es válido también resolverlo de la siguiente manera Restar de ambos lados 20: −k 4

70 e

20-20=75-20 70 e−k 4=55

Dividimos ambos entre 70:

−k 4

70 e 55 = 70 70 Simplificado es: 55 e−kt = 70 Aplicando logaritmos: 55 ln ( e−kt )=ln( ) 70

k=

55 ) 70 =−0,06029 4

ln(

Para lo cual para efectos de resultado positivo se 70 ln( ) 55 k= =−0,06029 4 Como en � = �1 ��� la bebida está en � = 55°� −0,06029 + 20 =55 T (�1) = 70 e

Por lo tanto, e−0,06029=

55−20 70

Simplificando nos encontramos con �1=

el valor real es con aproximado será de �1= 11,5 ���

�1=

70 ) 35 = 10,696 ��� dato errado 0,06029 ln ⁡(

70 ) 35 = 11,496 ��� 0,06029 ln ⁡(

por lo tanto el tiempo