Primer Parcial de MAT 313 - I - 2021 - G1 - G2

Universidad Autónoma “Tomás Frías” Facultad de Ingeniería Carrera de Ingeniería Civil Potosí – Bolivia PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MAT 313 ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL G1 y G2 1. Halle una función vectorial que describa la curva hélice sobre un cono tal que en tres revoluciones suba una altura de 10 metros y tenga un radio de 3 metros. Luego, bosqueje la gráfica de dicha curva y calcule su longitud. 2. Halle las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide z = x 2 + y 2 y el elipsoide 4 x 2 + y 2 + z 2 = 9 en el punto P ( −1,1,2) . 3. Campos vectoriales a) Dé una fórmula para el campo vectorial F ( x , y ) = f1 ( x , y ) i + f 2 ( x , y ) j con la propiedad de que F = 0 en ( 0,0) y que en cualquier otro punto ( a , b ) , F sea tangente al círculo x 2 + y 2 = a2 + b2 y apunte en la dirección de las manecillas del reloj con una longitud F = a2 + b2 . b) Dé una fórmula para el campo vectorial G ( x , y ) = g1 ( x , y ) i + g2 ( x , y ) j

(

)

1 que sea tangente a la curva C : R ( t ) = t i + 4 − t 2 j , −2 ≤ t ≤ 2 . 2 4. Encuentre la ecuación del plano tangente y las ecuaciones paramétricas de la recta 3

  normal a la superficie  xz2  = 1728 en el punto P ( 2,1,6 ) y  5. Sean

ϕ ( x , y , z ) = y sen x + 2 yz y ψ ( x , y , z ) = xy + 1 z 2 2 campos escalares. Demuestre que ∇ϕ ×∇ψ es un campo vectorial solenoidal, luego encuentre su función potencial vectorial uno de la forma G ( x , y , z ) = g1 ( x , y , z ) i + 0j + g3 ( x , y , z ) k y otro de la forma G ( x , y , z ) = g1 ( x , y , z ) i + g2 ( x , y , z ) j + 0k

Tiempo del examen de 14:30 a 16:30 Potosí, 16 de mayo de 2021

Lic. José Luis Chumacero Nogales

Docente de la Materia