PRIMER EXAMEN Cono Flotante y Lerchs Grossman

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

PRIMER EXAMEN:  ALGORITM  ALG ORITMOS OS DE D E OPTIMI OP TIMIZACI ZACIÓN ÓN DEL D EL PIT P IT FINAL F INAL,, CONO CO NO FLOTANTE Y LERCHS GROSSMAN PLANEAMIENTO DE MINADO SUPERFICIAL

 Autores::  Autores MONCADA FLORES, José Luis  VILLAR ZAMORA, Raúl Augusto

Docente: Ing. Armando Bohórquez Huara OCTUBRE DEL 2017

 Algoritmos de optimización optimización de pit final: Cono flotante flotante y lerchs Grossman

ÍNDICE DE CONTENIDOS CAPITULO 1.

INTRODUCCIÓN .......................................................................... 3

CAPITULO 2.

OBJETIVOS. .......................................................................... 4

CAPITULO 3.

 ALGORITMOS DE OPTIMIZACIÓN DEL DEL PIT FINAL ............ 5

3.1 CONO FLOTANTE FLOTANTE ............................... ............................................... ................................. .................................. .............................. ............. 5 3.1.1 BONDADES DEL CONO FLOTANTE......................................................... 6 3.1.2 SECUENCIAS DE EXTRACCIÓN DE CONOS: ......................................... 6 3.1.3 CONOS CON SOBRECARGA SOBRECARGA RELACIONADA .................. ......... .................. .................. .............. ..... 8 3.2 CASO PRÁCTICO PRÁCTICO ................................ ................................................ ................................. .................................. .............................. ............. 9 3.2.1 DESARROL DESARROLLO LO .................................. .................................................. ................................. ................................. ...................... ...... 10 3.2.2 PARÁMETROS DEL DISEÑO .................................................................. 10

CAPITULO 4.

MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN DE TAJO DE LERCHS-

GROSSMAN …………….................................................................................. 15 4.1 PARAMETROS ECONOMICOS ........................................................................ 15 4.1.1 PRECIOS PRECIOS ................................. .................................................. ................................. ................................. ............................... .............. 15 4.1.2 COSTOS COSTOS ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ................. 16 4.1.3 RECUPERACIONES ................................................................................ 17 4.1.4 LEY DE CORTE CORTE ............................... ................................................ .................................. ................................. ...................... ...... 17 4.2 PARAMETROS GEOTECNICOS ...................................................................... 17 4.2.1 ALTURA 4.2.1  ALTURA DE BANCO. BANCO. ................... ......... ................... ................... ................... .................. .................. ................... .............. .... 17 4.2.2 TALUDES DEL TAJO ............................................................................... 18 4.3 METODO LERCHS Y GROSSMAN (PROCESO PARA EL DISEÑO) ........... .... 18 4.4 CASOS PRÁCTICOS ................... .......... .................. ................... ................... ................... ................... .................. ................... ............ .. 19 4.4.1 EJERCICIO EJERCICIO 1. ................................ ................................................ ................................. ................................. ......................... ......... 20 4.4.2 EJERCICIO EJERCICIO 2. ................................ ................................................ ................................. ................................. ......................... ......... 24

CAPITULO 5.

CONCLUSIONES ................................................................ 27

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INTRODUCCIÓN La evaluación económica de un macizo rocoso suele ser tarea bastante engorrosa a la que se ven enfrentados la mayoría de ingenieros de minas, a la hora de realizar un planeamiento adecuado, en la secuencia de extracción y límites de explotación del mineral de un proyecto minero que maximice los ingresos obtenidos, puesto que se hace necesario conocer la mayoría de la variables posibles, para poder realizar una predicción del beneficio de extracción con un buen nivel de confianza. El notable incremento que han sufrido todos los costos asociados al desarrollo de una explotación minera (maquinaria, salarios, etc.) junto con la explotación de yacimientos que poseen cada vez leyes más bajas, ha hecho que el diseño final de la explotación a cielo abierto tenga que llevarse a cabo con criterios económicos, de tal forma que dicho diseño no comprometa, en ningún caso, la futura viabilidad económica de la explotación. Esta filosofía de trabajo ha permitido desarrollar, en las últimas décadas, diferentes algoritmos que tienen como objetivo optimizar la explotación. Generalmente trabajan sobre un modelo de la mineralización constituido por un bloque tridimensional regular. Existen distintos métodos para evaluar las variables como el de lerchs Grossman y el cómo flotante a un depósito hipotético, en el cual se genera un pit óptimo estableciendo los límites de este en el punto en el cual se maximizan los ingresos y definiendo la secuencia de extracción del material contenido dentro de los límites del pit. Estos, métodos son ampliamente usados en depósitos masivos y diseminados.

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CAPITULO 2. 

OBJETIVOS

Determinar las ventajas de optimización que tiene el método de Lerchs Grossman respecto al cono flotante.



Analizar el método de Lerchs Grossman para establecer los bloques que se explotan y los que no.



Determinar los límites del método de Lerchs Grossman en el punto en el cual se maximicen los ingresos y con ello definir la secuencia de extracción dentro de los límites del pit.



Definir los procesos que desarrollan el algoritmo del cono flotante para la optimización del pit final y analizar todos los cálculos que congloba el desarrollo del método.



Desarrollar ejemplos prácticos que ayuden con el entendimiento del procedimiento de cada algoritmo y poder solucionar posteriormente ejercicios similares.

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CAPITULO 3.

ALGORITMOS DE OPTIMIZACIÓN DEL PIT FINAL

3.1 CONO FLOTANTE La teoría de los conos flotantes para determinar los límites económicos del Rajo, data de los años 60. La técnica consiste en una rutina que pregunta por la conveniencia de extraer un bloque y su respectiva sobrecarga. Para esto el algoritmo tradicional se posiciona sobre cada bloque de valor económico positivo del modelo de bloques y genera un cono invertido, donde la superficie lateral del cono representa el ángulo de talud. Si el beneficio neto del cono es mayor o igual que un beneficio deseado dicho cono se extrae, de lo contrario se deja en su lugar. En el siguiente esquema se presenta un perfil de un modelo de bloques sometido al algoritmo del cono móvil optimizante, donde cada bloque está definido por un valor económico, es decir lo que significa económicamente su extracción. Es así que los bloques con valor negativo representan a los bloques de estéril con su costo de extracción asociado (-10) y los bloques de mineral son representados por el beneficio global que reporta su extracción (Beneficio Global = Ingresos - Costos = 810 - 10 = 800).

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En el ejemplo anterior podemos observar que el extraer el bloque de valor positivo (+800) y sus 15 bloques de estéril asociado (-10 cada uno), genera un beneficio final de +650, correspondiente al beneficio de extraer dicho bloque con su sobre carga asociada

3.1.1 BONDADES DEL CONO FLOTANTE. El cono flotante tiene esa denominación ya que es una versión mejorada de la tradicional rutina del cono flotante. El creador fue el ingeniero Marc Lemieux, quién detectó una serie de deficiencias y mermas económicas producidas por el método convencional de conos flotantes y en 1979 publicó el artículo “Moving Cone Optimizing Algorythm”, y como resultado se obtuvo diseños muy

superiores en el aspecto económico, que aquellos obtenidos con el algoritmo convencional. Las principales mejoras de la rutina del cono flotante con respecto al método tradicional fueron:

3.1.2 SECUENCIAS DE EXTRACCIÓN DE CONOS: Esta radica en la secuencia con que son analizados los bloques del modelo.

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En la figura se puede apreciar el beneficio que reporta la extracción de cada bloque. Los bloques con beneficio positivo ya se les han descontado lo que cuesta extraer dicho bloque o costo mina (-10). Si el primer cono se construye en el bloque (1) y suponiendo un ángulo de talud, entonces dicho bloque no puede ser extraído (Beneficio = -10). Al no ser factible la extracción del bloque (1), el segundo cono se construye en el bloque (2), donde el beneficio neto del cono es de +10, siendo en consecuencia ventajosa su extracción, quedando la figura de la siguiente forma:

Continuando con la secuencia, el tercer cono se construye en el bloque (3), resultando un beneficio de +30.

De este análisis se concluye que los tres bloques con valor económico mayor que cero son extraídos con un beneficio económico de +40, sin embargo un correcto análisis debiera obtener un pit con valor de +60, dejando en su lugar el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, como podemos ver en la figura siguiente:

De lo anterior se desprende que la incorrecta secuencia con que se analizan los conos, produce pérdidas económicas cuya magnitud, obviamente, depende de la complejidad de la mineralización, de la variabilidad de las leyes, etc.

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El problema antes descrito es resuelto por el nuevo algoritmo introduciendo el concepto del “cono negativo”, algoritmo que consiste en extraer todos los

bloques con beneficio positivo, para posteriormente devolverlos al rajo con su respectiva sobrecarga y así analizar la conveniencia de extraerlos o bien eliminarlos. En el ejemplo presentado anteriormente, se aprecia que al devolver el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, se produce un beneficio económico pues se libera un valor de +20, esto indica que dicho bloque al no extraerse en su condición más favorable debe ser eliminado del análisis. En la práctica la técnica del cono negativo presenta deficiencias similares a las obtenidas mediante lo que se podría llamar el cono positivo, sin embargo un análisis simultáneo de ambas técnicas (cono positivo y negativo) produce resultados satisfactorios.

3.1.3 CONOS CON SOBRECARGA RELACIONADA Este es el principal aporte del método del cono móvil optimizante, consiste en analizar conos que tengan sobrecarga compartida, por ejemplo:

Los bloques (1) y (2) tienen un beneficio de +70 (incluido el costo mina). Al analizar conos individualmente, se aprecia que no es conveniente la extracción de dichos bloques, pues cada caso el beneficio neto del cono es -10.

No obstante si se analiza en su conjunto se ve que es ventajosa su extracción, pues esta trae consigo un beneficio de +40.

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3.2 CASO PRÁCTICO En el siguiente gráfico tenemos un modelo de bloques en dos dimensiones de la sección X - X´ y se necesita definir los límites del pit final en base a los siguientes parámetros definidos a continuación.



7 bloques cuyas leyes son mayores a la ley de corte de mina (0.319 % Cu)



2 bloques cuyas leyes son mayores a la ley de corte de planta (0.230 % Cu)



El resto de los bloques con leyes menores a la ley de corte de planta son desmonte.

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3.2.1 DESARROLLO Orden de evaluación del cono.

3.2.2 PARÁMETROS DEL DISEÑO 

Tamaño del Bloque: 50 x 50 x 50



Factor de Tonelaje: 12.5 ft3/ton



Tons/block: 10,000 tn



Valor Neto: 8.51 $/lb Cu.



Costo (Minado + Procesamiento) 3.25 $/tn.



Costo de Minado desmonte: 0.90 $/tn.

Ecuación para el cálculo de la ganancia o pérdida Bloques de Desmonte 

Ventas = 0



Costo = 10,000 tn x 0.90 $/tn = $ 9,000



Ganancia = -9,000 $

Bloques entre Ley de corte de Mina y Planta 

Ventas = (% Cu x 20 )lb/tn x 0.51 $/lb x 10,000 tn = 10,200 x % Cu



Costo = 10,000 ton x 3.25 $/tn = $ 32,500



Ganancia = (10,200 x % Cu ) -32,500

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Bloques mayores que la Ley de corte de Mina 

Ventas = (% Cu x 20 )lb/tn x 0.51 $/lb x 10,000 tn = 10,200 x % Cu



Costo = 10,000 ton x 3.25 $/tn = $ 32,500



Ganancia = (10,200 x % Cu ) -32,500

Evaluación Cono # 1

Evaluación Cono # 2

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Evaluación Cono # 3

Evaluación Cono # 4

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Evaluación Cono # 5

Evaluación Cono # 6

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Evaluación Cono # 7

Solo bloques mayores a la Ley de corte de Mina serán usados como bases de Conos, bloques superiores son evaluados antes que los bloques profundos.

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CAPITULO 4. MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN DE TAJO DE LERCHS-

GROSSMAN Un algoritmo preciso para determinar la ubicación del límite final óptimo del pit, utilizando un procedimiento de programación dinámica de dos dimensiones, fue desarrollado por Lerchs y Grossman en el año 1965. Esta es una técnica precisa para definir el límite del pit en una sección transversal de dos dimensiones, por medio de la cual es posible lograr el mayor beneficio posible. El año 1965, Lerchs y Grossman publicaron un trabajo titulado “Diseño Optimo de Minas a Tajo Abierto”. El cual se convirtió en un documento obligatorio de

consulta. En el trabajo de describen dos métodos: 

Algoritmo para la programación dinámica de dos dimensiones.



Algoritmo para la para la programación dinámica de tres dimensiones.

Para propósitos de ejemplo, vamos a describir el algoritmo de dos dimensiones, Este algoritmo nos muestra en el ejemplo como determina el límite final en una sección vertical dándonos el máximo beneficio neto, el método es interesante porque elimina la prueba y error de los diseños manuales en cada sección, el método también es conveniente y sencillo de ser procesado en computadoras.

4.1 PARAMETROS ECONOMICOS 4.1.1 PRECIOS El precio es una de las variables más importantes de la optimización un precio alto o bajo pueden fácilmente determinar la vialidad o no de un determinado proyecto, el precio de la mayoría de metales depende de la oferta y la demanda.

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4.1.2 COSTOS 4.1.2.1 Costos directos de minado Incluye los gastos de perforación, voladura, carguío y al costo base de acarreo del material del tajo, tanto como los costos de soporte asociados para las carreteras y los botaderos, mantenimiento de equipos, servicios auxiliares, técnicos y costos administrativos de mina, si los costos se incrementan con la profundidad o por sectores de la mina, un costo incremental que refleje estos incrementos debe de ser considerado dentro de los parámetros económicos, los costos de mina pueden ser diferentes por mineral, desmonte, por tipo de roca, o por sectores de la mina, estas diferencias deben de ser consideradas en los parámetros de los costos de mina

4.1.2.2 Costos Indirectos de Minado Incluye la depreciación de los equipos que considera ambos iniciales y los requerimientos de capital de sostenimiento. Es reconocido que el equipo de la mina es consumido en base a las toneladas, por lo tanto estos costos deben de estar incluidos en los parámetros del cono flotante, estos costos deben de ser calculados estimando el promedio de productividad por año y su estimado tiempo de vida, típicamente si es calculado para todas las unidades de producción primaria y los equipos de soporte de la mina, la depreciación estará en el rango de $0.14 a $0.17 por tonelada minada.

4.1.2.3 Costos de Procesamiento por Tonelada de Mineral Para una Concentradora el costo puede ser por tonelada de mineral molido o por tonelada de concentrado y para una operación de lixiviación con el tankhouse lleno a través de la vida de la mina, el costo será asignado por libra de cobre vendido. Si el desmonte es chancado y acarreado por fajas a los botaderos, este costo debe de ser asignado solo al desmonte y no a las toneladas del mineral.

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4.1.2.4 Costos de Transporte y Tratamiento fuera de la Propiedad Esta categoría de cargos para una operación incluye aquellos gastos relativos al secado de concentrados, manipuleo y trasporte, fundición y refinería. Estos costos se cargan por libra de cobre vendible y típicamente están en el rango de $0.28 a $0.38 por libra de cobre, excluyendo los créditos por metales preciosos, estos costos son independientes de los condiciones de la operación (bajo stripping alta ley) y son una porción importante del flujo de caja total.

4.1.3 RECUPERACIONES Las recuperaciones dependen del proceso o tratamiento que se le dé al material proveniente de la mina hasta convertirlo en un cátodo, dore, etc, en la optimización del tajo tienen alta relevancia, el tratamiento por concentradora puede tener rangos variables, en el cobre las recuperaciones.

4.1.4 LEY DE CORTE La ley de corte es definido como la ley que normalmente es usado para discriminar los materiales (mineral) para los diferentes procesos y el desmonte, la definición de ley de corte es muy precisa sin embargo las políticas que las compañías usan para el cálculo de la ley de corte durante la operación no son muy precisas, debido a que el uso de un simple cálculo de la ley de corte conlleva a la no maximización del depósito.

4.2 PARAMETROS GEOTECNICOS 4.2.1 ALTURA DE BANCO. Es la distancia vertical entre cada nivel horizontal del Tajo, los elementos del banco se ven en la figura adjunta, en general todos los bancos tienen la misma altura, a menos que las condiciones geológicas muestren lo contrario. La altura de banco depende de las características físicas del depósito, el grado de selectividad requerido en la separación del mineral y el desmonte con el equipo de carguío; el ratio de producción, el tamaño del equipo y el tipo del equipo

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para satisfacer los requerimientos de producción y de las condiciones climáticas.

4.2.2 TALUDES DEL TAJO

FIGURA Nº 1. Pits económicos (ejemplo de mineral de cobre)

4.3 METODO LERCHS Y GROSSMAN (PROCESO PARA EL DISEÑO) El método permite diseñar el contorno de una explotación a cielo abierto de tal forma que se maximice la diferencia entre el valor total de la mineralización explotada y el costo total de la extracción del mineral y estéril. Proceso para Lerchs y Grossman en 2-D: 

Se requiere de una sección con bloques de ley conocida y su correspondiente valor económico.



Para el primer paso se procede al cálculo acumulativo de la rentabilidad en cada columna, independientemente de las otras columnas, desde la parte superior a la inferior.

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Una fila de bloques con valor cero se adiciona en la superficie, con un block adicional a los extremos de cada sección.



Se inicia el procedimiento en el extremo superior izquierdo, el valor acumulado mostrado se adiciona para lograr un valor derivado en cada bloque siguiente: puede ser (Precedente). 

Un bloque encima y a la izquierda



Un bloque a la izquierda



Un bloque abajo y a la izquierda

FIGURA Nº 2. 

Proceso acumulativo.

Se dibuja una flecha del bloque original hacia el bloque que da el máximo valor positivo por la adición. Este es el valor derivado de cada bloque.



Este proceso se continua trabajando hacia abajo en la primera columna, luego hacia la siguiente columna de la derecha, hasta analizar todos los bloques.



Finalmente en la fila superior un bloque hacia el lado derecho mostrara el mayor valor derivado en la fila. Desde este bloque se sigue la recta de las flechas a fin de obtener la pared final óptima de la sección.

4.4 CASOS PRÁCTICOS El método bidimensional de Lerchs-Grossman permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina los procesos de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional

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 Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el tajo en secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del tajo y ser suavizados y revisados en forma manual.  Aún cuando el pit es óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no lo sea.

4.4.1 EJERCICIO 1. Representa una sección vertical por medio de un modelo de bloques del depósito. Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. En la figura los bloques de valor neto positivo se han pintado.

PASO 1. Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes. Este es el valor superior de cada bloque en dicha figura y representa el valor acumulativo del material desde cada uno de los bloques hasta superficie.

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PASO 2. Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto en 

El bloque a la izquierda y arriba.



El bloque a la izquierda.



El bloque a la izquierda y debajo.

Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque. Los bloques de la columna y los bloques en el perfil del pit a la izquierda del bloque. Los bloques que se encuentran fuera del límite son los que no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.

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PASO 3. Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo. Para el ejemplo, el pit óptimo tendría un valor de US$ 108. Vuelva a trazar las flechas, a fin de obtener la geometría del rajo. En la figura nos muestra la geometría del pit en la sección.

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PASO 4. DISEÑO DEL PIT FINAL  (Sección después del procedimiento de Búsqueda)

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4.4.2 EJERCICIO 2. Representa una sección vertical por medio de un modelo de bloques del depósito. Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. En la figura los bloques de valor neto positivo se han pintado.

PASO 1. Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes en la figura. Este es el valor superior de cada bloque en dicha figura y representa el valor acumulativo del material desde cada uno de los bloques hasta superficie.

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PASO 2. Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto en: 

El bloque a la izquierda y arriba.



El bloque a la izquierda.



El bloque a la izquierda y debajo.

Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque. Los bloques de la columna y los bloques en el perfil del pit a la izquierda del bloque. Los bloques que se encuentran fuera del límite son los que no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.

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PASO 3. Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo. Para el ejemplo, el pit óptimo tendría un valor de US$ 322. Vuelva a trazar las flechas, a fin de obtener la geometría del rajo. En la figura nos muestra la geometría del pit en la sección.

PASO 4. DISEÑO DEL PIT FINAL  (Sección después del procedimiento de Búsqueda).

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CAPITULO 5. 

CONCLUSIONES

La técnica de Lerchs Grossman es un procedimiento matemáticamente correcto y posee ventajas evidentes respecto de los primeros métodos de aproximación utilizados por la industria antes del advenimiento computacional en la planificación y diseño de minas.



Los bloques que se encuentran fuera del límite son los que no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.



El método de lerchs Grossman a un depósito hipotético, genera un pit óptimo estableciendo los límites de este en el punto en el cual se maximizan los ingresos y definiendo la secuencia de extracción del material contenido dentro de los límites del pit.



El método de optimización de tajo de Lerchs-Grossman es usado para determinar el límite de equilibrio del tajo económico. Este método es escogido sobre la alternativa del cono flotante por ser un mejor optimizador para cuerpos de mineral discontinuos donde una zona de mineral puede compartir algunos gastos de extracción de desmonte con otra zona cercana (es decir extracción de desmonte compartido).



El método del cono flotante aunque es relativamente fácil de comprender y aplicar también es bastante rígido en sus resultados, es decir, tiene un nivel de flexibilidad muy bajo, no funciona adecuadamente en geologías con distribuciones físicas y/o químicas irregulares representadas en los valores de los bloques.



El desarrollo de nuevas tecnologías que ayuden a optimizar procesos dentro de las actividades a realizar es muy importante para dar mejores resultados al proceso.

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