Elasticidad
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FÍSICA II PROF: LIC. JUAN MENDOZA NOLORBE
PROBLEMAS RESUELTOS
DE
ELASTICIDAD
1. En el sistema mostrado la barra compuesta de acero, bronce y aluminio esta en equilibrio de traslación, determinar: a) El esfuerzo en cada cilindro. 200kN b) La deformación total del 300kN Acero 200kN sistema. bronce 30cm D C 20cm 10cm B A Datos Secciones
: Eacero = 20.1010Pa; Ebronce = 10.1010 Pa; Ealuminio = 7.1010Pa : Sacero = 10cm2; Sbronce = 8cm2 ; Saluminio = 2cm2
Solución prob.-1. Analizaremos el cilindro compuesto por partes, usaremos la condición de equilibrio de traslación para determinar las fuerzas internas en cada segmento, aplicaremos la definición de esfuerzo de tracción y finalmente la ley de Hook para determinar las deformaciones individuales. Parte 1 Sección I: Hacemos un corte entre los puntos C y D, La fuerza interna en la sección CD se obtiene de la condición de equilibrio:
FX
200kN
FCD C
D
FCD 200kN 0
FCD = -200kN. El esfuerzo de tracción CD: CD = F/A = 200kN/2cm2 = 100kN/cm2 = 10.108Pa Sección II: Hacemos un corte entre los puntos B y C, La fuerza interna en la sección BC se obtiene de la condición de equilibrio:
FX
FBC 200kN 300kN 0
300kN
FBC
200kN
D B
C
FBC = +100kN…{indica que el sentido es hacia el eje +x, contrario al supuesto en este caso} El esfuerzo de compresión BC:BC=F/A = 100kN/8cm2 = 12,5kN/cm2 = 1,25.108Pa
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Elasticidad Sección III:
200kN
Hacemos un corte entre los puntos A y B, La fuerza interna en la sección AB se obtiene de la condición de equilibrio:
FX
FAB
Acero
A 10cm B
bronce 20cm
300kN
30cm
C
2
200kN
D
FAB 200kN 300kN 200kN 0
FAB = -100kN…{indica que el sentido es hacia el eje -x, coincide al supuesto en este caso} El esfuerzo de tracción AB: AB = F/A = 100kN/10cm2 = 10kN/cm2 = 1.108Pa Parte 2. Para obtener la deformación de cada cilindro se aplica la ley de Hook: LAeero =
AB .LAB
(1.108Pa).(0,1m) = = 0,05mm …{tracción} 20.1010Pa
BC .LBC
(1,25.108Pa).(0,2m) = = -0,25mm …{compresión} 10.1010Pa
LBronce =
EAcero
LAluminio =
EBronce
CD .LCD
EAlu min io
(10.108Pa).(0,3m) = = 4,28mm …{tracción} 7.1010Pa
LTotal = LAluminio + LBronce + LAeero = 4,08mm 2. En la estructura mostrada la barra horizontal BCDE de peso despreciable es soportada por una varilla de bronce AB, una varilla de aluminio EF y por un rodillo en el punto C. Ambas varillas tienen una sección transversal de 1cm2. En la estructura inicialmente sin deformar se aplica una carga de 12 000N en el punto D. Determinar: a) El esfuerzo axial que desarrollan las varillas. b) El movimiento punto E.
resultante
del
Módulos de Young: Ebronce = 10,0.1010 Pa; Ealuminio = 7,0.1010 Pa
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Solución prob.-2. Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la barra BCDE La carga F = 12000N tiende a rotar a la barra BCDE, sometiendo a la varilla de aluminio a tracción y a la varilla de bronce a compresión, en consecuencia el punto D desciende una longitud “X”. LBr. LAl.
Aplicamos las condiciones de Equilibrio mecánico:
F
Y
FC FAl FBr 12000N 0
FAl .(3,6m) FBr .(1,2m) 12000 N.(2,4m) 0 …{Respecto “C”}
Se puede notar que existen dos ecuaciones y tres incógnitas, es necesario buscar una tercera ecuación, en este caso la relación entre las deformaciones del bronce y del aluminio usando la Ley de Hook, nos permite llegar a ésta tercera ecuación. De la figura, usando proporcionalidad en los triángulos, se observa: LAl = 3LBr
FL FL 3 SE SE Al Br reemplazando:
FAl .(1,2m) FBr .(2,4m) 3 1cm 2 .(7.10 10 Pa) 1cm 2 .(10.10 10 Pa) FAl = 4,2.FBr Ahora sustituimos esta relación en la ecuación del torque: (4,2FBr).(3,6m) + FBr.(1,2m) – 12000N.(2,4m) = 0 FBr = 1765N FAl =7413N a) El esfuerzo axial en cada varilla es: Al =
Br =
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7413N 1cm
2
1765N 1cm 2
= 7413 N/cm2 {Rpta}
= 1765 N/cm2 {Rpta}
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b) El desplazamiento “X” de D usando proporciones en los triángulos:
LAl X 2,4m 3,6m por la Ley de Hook: LAl =
(7413N).(1,2m) FAl .L Al = = 1,3.10-6m 2 6 2 1 cm .( 7 . 10 N / cm ) S Al .E Al
reemplazando en la ecuación anterior:
X =0,87.10-6 m {Rpta}
*Queda para el estudiante determinar la fuerza de reacción del rodillo (Fc). 3. En la estructura mostrada las barras rígida BDE es soportada por un rodillo en el punto E, y esta articulada a la varilla ABC en el punto B. La barra ABC esta articulada al techo en el punto A. La varilla ABC es de aluminio con un diámetro de 1 inch. Para este sistema: a) Determinar el esfuerzo axial en la varilla ABC tanto en la sección AB como en la sección BC. b) Determinar el movimiento del punto C debido a las cargas aplicadas. EAl = 10.106 psi
Solución prob.-3. a) Realizamos el diagrama de cuerpo libre representando todas las fuerzas que actúan en la estructura, en el caso de las reacciones es mejor sus componentes rectangulares.
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Aplicando las condiciones de equilibrio de traslación:
Fx
FY
Ax 0 …(1) Ay Ey 16000lbs 12000lbs 0 …(2)
Por equilibrio rotacional, respecto a E:
E
Ay.(12ft ) 16000lbs.(12ft ) 12000lbs.( 8ft ) 0 …(3)
Resolviendo las variables desconocidas: Ay = 24 000 lbs y Ey = 4000 lbs Tomando sólo el miembro ABC y representando las fuerzas que actúa sobre este y aplicando las condiciones de equilibrio:
Fx
Bx 0
FY
By 16000lbs 24000lbs 0
resolviendo: By = 8 000 lbs. Hacemos un corte entre los puntos A y B, la fuerza interna en la sección AB debe ser 24 000 lbs. (igual a A) para el equilibrio, ver figura. El esfuerzo de tracción AB: AB = F/A = 24,000 lbs /0.785 in2 = 30,600 psi. Ahora para encontrar la fuerza en el segmento BC, hacemos también un corte entre B y C. La fuerza interna de la sección debe ser 16 000 lbs (por condición de equilibrio). Prof. Lic Juan Mendoza Nolorbe
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Elasticidad
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El esfuerzo de tracción BC: BC = F/A = 16,000 lbs /0.785 in2 = 20,400 psi. b) Para determinar el desplazamiento del punto C, se suman la deformación de AB y de BC: mov. de C = LAB + LBC. mov. de C = LAB + LBC. FL FL mov. de C = SE AB SE BC mov. de C = [(24 000 lbs)(72 in)/(10.106 psi)(.(0,5 in)2)]AB + [(16 000 lbs)(48 in)/(10.106 psi)( .(0,5 in)2)]BC
mov. de C =0,318 in {Rpta} 4. Dos placas metálicas están unidas por dos remaches idénticos de 4mm de diámetro. Las placas soportan una tensión de 10000N ¿Cuál es el esfuerzo de cizalla sobre los remaches de acero? ¿Cuál es la deformación unitaria?. El módulo de rigidez del acero es: G = 8,0.109N/m2.
Solución prob.-4. Supondremos que la tensión de las placas se reparte equitativamente a cada remache, es decir, cada remache tendrá un par de 5000N. Se puede notar que la superficie sometida a un esfuerzo de cizalla es la que se encuentra entre las placas, ver figura 2.
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Elasticidad cizalla=
7
Fuerza _ paralela _ al _ área 5000 N = 0,40.109 N/m2 2 (2mm ) área
Aplicando la Ley de Hook, podemos determinar la deformación unitaria.
0,4.10 9 N / m 2 cizalla=G. = 0,05rad. 8,0.10 9 N / m 2 0,05 rad. {Rpta} Observación : Es la deformación unitaria por cizalla y es preferible expresarlo en radianes.
5. En el diagrama tenemos un sólido compuesto, acero-bronce-acero, donde están actuando los siguientes torques externos, 2,5kN-m en el punto B, 0,8kN-m. en A, 1kN-m en C y 0,7kN-m en D. Si el sólido esta en equilibrio rotacional, determinar el máximo esfuerzo de cizalla en cada sección del sólido debido a los torques aplicados y el ángulo de giro resultante del punto final D respecto al punto A. Los módulos de rigidez son : Gacero = 8,3.1010 Pa ; Gbronce = 4,1.1010 Pa
Solución prob.-5. Analizaremos el cilindro compuesto por partes, usaremos la condición de equilibrio rotacional para determinar los torques internos en cada segmento y aplicaremos la definición de esfuerzo de torsión. El esfuerzo máximo de cizalla (torsión en este caso) esta dado por: =
R J
,
donde es el torque interno, R el radio del cilindro y J el momento de inercia polar 4 [J= R = d4 para un cilindro macizo]. 2 32
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Parte I Segmento AB, de la condición de equilibrio:
(0,8kN m)
AB
0 AB =0,8 kN-m
El esfuerzo máximo de cizalla en el segmento AB
AB =
AB R (0,8kN-m)(0.015m) J
=
/32(0.03m)4
AB = 1,5.105 kPa. {Rpta}
Parte II Segmento BC, de la condición de equilibrio:
(0,8kN m) (2,5kN m)
=1,5.105kPa
BC
0
BC = -1,7 kN-m
El esfuerzo máximo de cizalla en el segmento BC
R BC BC J BC =
(1,7kN-m)(0.03m) /32(0.06m)4
BC = 0,4.105 kPa.
{Rpta}
Parte III Segmento CD, de la condición de equilibrio:
(0,8kN m) (2,5kN m) (1kN m)
CD
0 CD=-0,7 kN-m
esfuerzo, máximo de cizalla en el segmento CD
CD = CD =
CDR
(0,7kN-m)(0.01m) /32(0.02m)4
CD
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J
=4,5.105kPa. {Rpta}
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Elasticidad
.L
El ángulo de giro se calcula =
G.R
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:
(1,5.105kPa).(0,3m) AB = =0,04rad (antihorario respecto A) (8,3.1010Pa).(0,015m) (0,4.105kPa).(0,6m) BC = =-0,02rad (horario) (4,1.1010Pa).(0,03m) (4,5.105kPa).(0,3m) CD = =-0,16rad (horario) (8,3.1010Pa).(0,01m) TOTAL =AB + BC + CD =0,04rad - 0,02rad – 0,16rad =-0.14rad (horario) Nota: El signo en los ángulos: horario (-) y antihorario (+).
6. En la figura mostrada se representan dos cilindros huecos compuestos. El cilindro de bronce AB esta empotrado en la pared en la parte A. El torque que actúa en el punto B es 800 N-m, el torque que actúan en el cilindro de acero en el punto C es 300 N-m. Para este sistema: a) Determinar el máximo esfuerzo de cizalla en cada cilindro. b) Determinar el ángulo de giro del punto C respecto al punto A. Los módulos de rigidez son : Gacero = 8,3.1010 Pa ; Gbronce = 4,1.1010 Pa Los diámetros de cada cilindro: diámetro externo de AB = 10cm, diámetro interno de AB = 8cm, diámetro externo de BC =5cm y el diámetro interno BC = 4cm Solución prob.-6. Parte I Sección I Segmento BC, de la condición de equilibrio:
(300N m)
BC
0
BC =300 N-m Prof. Lic Juan Mendoza Nolorbe
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Elasticidad 10 El esfuerzo máximo de cizalla en el segmento BC
BC =
BC Rext. J
=
(300N-m)(0.025m) = 20 703 kPa /32[(0.05m)4-(0,04m)4]
Sección 2 Segmento BC de la condición de equilibrio:
(800N m) (300N m)
AB
0
AB =1100 N-m
AB =
AB Rext. J
(1100N-m)(0.05m) = /32[(0.10m)4-(0,08m)4]
AB =9 489 kPa Parte II
.L El ángulo de giro se calcula = : G.R AB =
(9 489 kPa).(0,6m) =-0,0028 rad (horario respecto A) (4,1.1010 Pa).(0,05m)
(20 703kPa).(0,9m) BC = =-0,0090rad (horario) (8,3.1010Pa).(0,025m) TOTAL =AB + BC =- 0,0028 rad – 0,0090 rad =-0.0118 rad (horario) 7. Un cilindro macizo compuesto esta empotrada a una pared fija, como se muestra en la figura. La sección AB esta hecho de bronce, la sección BC y CD de acero. Si los máximos esfuerzos de cizalla permisibles en los cilindros de acero y bronce son:
acero = 120 MPa ; bronce = 80 MPa a) Determinar el máximo torque que pude ser aplicado en los puntos D, C y B sin exceder los esfuerzos permisibles en cualquiera de las secciones.
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Elasticidad 11 b) Usando los torques encontrados en la parte (a), determinar el ángulo de giro del punto D respecto al punto A. Solución prob.-7 Parte I Sección I Segmento CD, de la condición de equilibrio:
CD =
D
CD R.
CD 0 D = CD CD =
J
CD = D =
CD J. R
=
120.106Pa (/32).(0,01m)4 0.005m
23,6 N-m.
Sección II Segmento BC, de la condición de equilibrio:
D
C BC 0
C = BC -D BC =
BC R. J
BC=
BC J. R
120.106Pa (/32).(0,03m)4 = =636,2 N-m 0.015m
luego: C =636,2 N-m – 23,6 N-m = 612,6 N-m Sección III Segmento AB, de la condición de equilibrio:
D
C B AB 0
B = AB + D+ C AB =
AB R.
AB
=
AB J.
J R 6 4 80.10 Pa (/32).(0,05m) = 1 963,5N-m 0.025m
=
luego : B = 1 963,5 N-m + 612,6 N-m + 23,6 N-m = 2 599,7 N-m
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Elasticidad 12 Parte II
.L El ángulo de giro se calcula = : G.R (80.106Pa).(0,3m) AB = =0,023 rad (antihorario respecto A) (4,1.1010 Pa).(0,025m) (120.106Pa).(0,3m) BC = =-0,029rad (horario) (8,3.1010Pa).(0,015m) (120.106Pa).(0,3m) CD = =-0,087rad (horario) (8,3.1010Pa).(0,005m) TOTAL =AB + BC + CD = 0,023 rad – 0,029 rad -0.087 rad =-0.093 rad. 8. Una barra de 8kg, cuya sección es un cuadrado de 50mm de lado y tiene F 30cm de longitud, se mueve sobre una superficie lisa por acción de una Piso liso fuerza aplicada uniformemente sobre uno de sus extremos. La barra adquiere una aceleración de 2m/s2 ¿Cuál es le esfuerzo de compresión en los extremos de la barra? ¿y en el centro de la misma? Solución prob.-8.Dividamos la barra homogénea en dos partes de masa m 1 y m2, luego apliquemos la segunda Ley de Newton a todo el sistema y a la porción m 2. DCL del sistema: F F a = = …(1) m1 + m2 .S.L
a F
m1
m2
=0
L x
DCL de la parte m2: a =
a Fx
Fx Fx = …(2) m2 .S.(L-x) =0
m2 L
x Como la porción m2 y el sistema llevan la misma aceleración, igualamos las ecuaciones (1) y (2) y despejamos Fx: Fx =
L - x L - x F = m.a … (3) L L
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Elasticidad 13 El esfuerzo en la posición x esta dado por:
x =
Fx L - x = m.a S S.L
reemplazando datos: Para x = 0 x =
1 1 m.a = .8kg.2m/s2 = 0,0064N/mm2=64000 Pa S (50mm)2
Para x = L x = 0. m.a = 0.Pa Para x = L/2 x =
1 1 m.a = .8kg.2m/s2 =0,0032N/mm2=32000 Pa 2S 2.(50mm)2
* Este problema también puede ser resuelto cogiendo un diferencial de masa y luego la expresión (3) puede ser obtenida por integración simple.
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