PREVISIONS.xls

Séries chronologiques & Prévisions

PLAN 1 Introduction

1

2 Les méthodes de lissage

4

3 Utilisation des méthodes de régression

7

4 Décomposition d'une série chronologique

8

1.

Introduction

1.1 Définition et exemple Série chronologique

série de valeurs numériques prises par une variable particulière et énumérées en ordre chronologique.

Exemple 1 Le tableau suivant représente les ventes trimestrielles (en dollars) d'un distributeur de gaz et d'électricité dans un état américain. Année

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1

91707

96794

116250

106878

122915

150682

129762

2

63048

74949

71998

71800

92079

96967

82597

3

57041

56791

59620

65880

80241

85492

74167

4

78667

89127

98985

94254

118075

126312

103340

Trim.

L'idée est d'étudier les valeurs passées d'une variable pour essayer de prédire les futures... La première étude à faire est descriptive. Des graphiques permettent de visualiser une tendance (linéaire, croissante) et des variations saisonnières

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 1

Tendance Ventes de la compagnie 160000 140000

120000 100000 80000 60000 40000 20000 0

0

5

10

15

20

25

30

Variations saisonnières

200000 1980 1981

150000

1982

100000

1986 1984 1982

50000

1980

0

1

2

3

1983 1984

1985 1986

4

1980

160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0

1981

1982 1983 1984 1985

1

2

3

4

1986

1.2 Applications Aide à la décision dans de très nombreux domaines : - Marketing Commercial

Demande, ventes, caractéristiques d'un marché, prix.

- Production

Besoins en matières premières, coûts de main d'oeuvre, de matières,...

- Gestion

Taux d'intérêts...

- Gestion du personnel

Besoins en personnel, en formation, Absentéisme, retards...

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 2

- Sratégie

Facteurs économiques, évolution des prix, ... Evolution des prix

1.3 Choix d'une méthode de prévision Critères - Horizon temporel - Degré de détail - Facilité de compréhension et d'application - Contraintes de temps et de coût - Données disponibles Méthodes, techniques - Méthodes "qualitatives" - Méthodes "quantitatives" L'éventail des méthodes disponibles est très large, nous nous contenterons ici d'une présentation de quelques outils utiles et faciles à utiliser.

2

Les méthodes de lissage

2.1 La méthode de la moyenne mobile Hypothèse de base

la moyenne des données "proches" donne une bonne prévision.

Méthode

on utilise comme prévision pour la période t, la moyenne des valeurs des n périodes précédentes.

Assez efficace pour de prévisions à court-terme pour des séries irrégulières Exemple 2 Calcul d'une moyenne mobile sur 3 périodes Mois Ventes t Y(t) 1 20 2 24 3 27 4 31 5 37 6 47

Moy. mob.

(Y(t)-

Yp(t)

Yp(t))2

23.67 27.33 31.67

53.78 93.44 235.11

Mesure de l'erreur de prévision On peut utiliser le critère MSE (Mean Square Error) (on fait la moyenne des carrés des Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 3

7 8 9 10 11 12 13

45 53 49 36 34 31

38.33 43.00

44.44 100.00

erreurs de prévision)

48.33 49.00 46.00 39.67 33.67

0.44 MSE 101.7 169.00 Savoir-faire EXCEL 144.00 Si vous ne voulez pas vous fatiguer, vous pouvez 75.11 utiliser l'utilitaire d'analyse : Moyenne mobile

Moyenne mobile 60 Ventes Y(t)

50

Moy. mob. Yp(t)

40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2.2 Le lissage exponentiel Idée On accorde un "poids" plus important aux observations les plus récentes.

yp(t+1) = a y(t) + (1-a) yp(t)

a est un paramètre de lissage comprise entre 0 et 1 y(t) valeur réalisée pour la période t yp(t+1) valeur prévue pour la période t+1 yp(t) valeur prévue pour la période t On peut écrire:

yp(t+1) = a y(t) + a(1-a) y(t-1) + a(1-a)² y(t-2) + ... Exemple 3 Ventes de savon d'une entreprise Y(t)

Yp(t)

(Y(t)-Yp(t))^2

1981 Janvier

1293

1293.00

0.00

Février

1209

1293.00

7056.00

Mars

1205

1254.25

2425.86

Avril

1273

1231.53

1719.44

Mai

1220

1250.66

Juin

1290

1236.52

Juillet

1243

1261.19

Août

1203

1252.80

a

0.46

MSE

3130

940.10 Savoir-faire EXCEL Pour Yp(t) il suffit d'appliquer la première formule (récurrence) à 330.80 partir du deuxième mois. 2479.87 On prend un a égal à 0,5 par exemple pour commencer. Pour le premier 2860.33

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 4

Septembre

1390

1229.83

25655.19

Octobre

1360

1303.71

3168.46

Novembre

1353

1329.68

544.03

Décembre

1343

1340.43

6.58

1982 Janvier

1364

1341.62

500.96

Février

1330

1351.94

481.46

Mars Avril

1377 1332

1341.82 1358.05

1237.57 678.50

On prend un a égal à 0,5 par exemple pour commencer. Pour le premier mois (mois initial) on triche un peu en prenant Yp(1) = Y(1) Pour minimiser les erreurs, on peut utiliser le SOLVEUR pour trouver la valeur de a (cellule variable) qui minimise MSE (cellule cible à définir)

1346.03

1450 1400 1350

1300 1250 1200 Y(t)

1150

Yp(t)

1100 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Savoir-faire EXCEL Si vous ne voulez pas vous fatiguer, vous pouvez utiliser l'utilitaire d'analyse : Lissage exponentiel (qui ne dispense pas de l'usage du solveur).

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 5

3

Utilisation des méthodes de régression

3.1

En fonction du temps (tendance)

3.1.1 tendance linéaire Exemple 4 Ventes de vélos

Les données portent sur 10 années - les prévisions sont données pour les années 11, 12 et 13

année

ventes Y(t)

Prévisio n Yp(t)

1

21.6

21.5

40

2

22.9

22.6

35

3

25.5

23.7

4

21.9

24.8

20

5

23.9

25.9

15

6

27.5

27

10

7

31.5

28.1

8

29.7

29.2

9

28.6

30.3

10

31.4

31.4

11

32.5

12

33.6

13

34.7

Ventes de vélos

30

25

y = 1.1x + 20.4 R² = 0.7648

5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

Savoir-faire EXCEL Pour trouver les prévisions Yp(11), Yp(12) … avec la droite des mondre carrés, on peut soit grahiquement prolonger la droite, soit utiliser le "copie incrémentale" sur le tableau, soit utiliser la fonction matricielle TENDANCE qui permet en plus d'avoir les valeurs des prévisions du passé.

3.1.2 Autres

3.2

En fonction d'autres variables voir cours sur la régression

4

Décomposition d'une série chronologique Habituellement, on distingue quatre composantes: - La tendance (ou trend) - La composante saisonnière

T S

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 6

- La composante cyclique C - La composante irrégulière (ou aléatoire) I On utilise couramment un modèle "multiplicatif:", c'est à dire que l'on exprime Y sous la forme d'un produit des 4 composantes.

Y=TxSxCxI

4.1 Analyse de la tendance Méthode des moindres carrés :

4.2

Calcul de l'indice saisonnier: Cet indice est habituellement calculé sur le mois, ou sur le trimestre. On utilise très souvent la méthode des rapports à la moyenne mobile. La démarche est expliquée sur l'exemple de la centrale a/ Calcul de la moyenne mobile centrée sur 4 trimestres Pour le troisième trimestre de 1980, on fait une moyenne pondérée en prenant 0,25 fois les deuxièmes, troisième et quatrième trimestres 0,125 fois le premier trimestre 1980 et le premier trimestre 1981

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 7

b/ Calcul des rapports à la moyenne mobile

1

91707

2 3

63048 57041

73251.625

77.87

On obtient ce rapport en divisant le chiffre des ventes par la moyenne mobile, et en multipliant par 100

4 1 2

78667 96794 74949

75375.1 76831.5 78107.8

104.37 125.98 95.96

3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

56791 89127 116250 71998 59620 98985 106878 71800 65880 94254 122915 92079 80241 118075 150682 96967 85492 126312 129762 82597 74167 103340

81847.25 83910.375 83895.125 85481 85541.75 84345.5 85103.25 85294.375 86707.625 91247.125 95577.125 100349.875 106798.375 110880.25 112147.625 113833.625 112248.25 107837 104625.125 100338

69.39 106.22 138.57 84.23 69.70 117.36 125.59 84.18 75.98 103.30 128.60 91.76 75.13 106.49 134.36 85.18 76.16 117.13 124.03 82.32

c/ Calculer l'indice saisonnier on fait la moyenne pour chaque trimestre (ou chaque période) en enlevant la valeur la plus faible et la plus forte. et on corrige pour avoir une moyenne de 100 Trim. 1 2 3 4

1980

77.87 104.37

Trim.

IS corrigés

1

129.36

2

86.82

3

74.66

4

109.16

moy.

100.00

1981 125.98 95.96 69.39 106.22

1982 138.57 84.23 69.70 117.36

1983 125.59 84.18 75.98 103.30

1984 128.60 91.76 75.13 106.49

1985 134.36 85.18 76.16 117.13

1986 Ind. sais. 124.03 128.63 82.32 86.34 74.24 108.55 moy. 99.44

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 8

4.3 Utilisation de l'indice saisonnier: = pour désaisonnaliser et pour resaisonnaliser (prévision)

Exemple d'utilisation : Supposons que l'on veuille une prévision pour la période 33 La tendance donne une valeur de 115568 (Pour obtenir cette valeur, on peut utiliser la fonction TENDANCE ou alors simplement sélectionner la liste des 28 valeurs et tirer la poignée de copie incrémentale) Pour corriger cette valeur de la variation saisonnière, il suffit d'utiliser l'indice saisonnier. La période 33 est un "premier trimestre" L'IS correspondant est

129.36

La valeur de la prévision tenant compte de la saison est donc :

160000

149494

200 Ventes

140000

Moy.mob.

Tendance

120000

Tend sais

Indice

100000

190 180

170 160 150 140

80000

130

120 60000

110 100

40000

90 20000

80 70

0

60

3 4 5 6 7 8

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9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

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Ventes 1 2 3 4 5 6 7 8

91707 63048 57041 78667 96794 74949 56791 89127

Moy.mob. Indice Tendance Tend sais Indice 129.5206 73592.11 95316.91 87.27028 74903.85 65368.8 73251.625 74.03824 76215.59 56428.69 77.86994486 75375.125 109.1429 77527.34 84615.56 104.3673228 76831.5 129.5206 78839.08 102112.8 125.9821818 78107.75 87.27028 80150.82 69947.85 95.95590706 81847.25 74.03824 81462.57 60313.45 69.38657072 83910.375 109.1429 82774.31 90342.26 106.2169011

Classeur : "PREVISIONS" - Feuille "Cours - "Page 25

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

116250

83895.125

71998

85481

59620

85541.75

98985

84345.5

106878

85103.25

71800

85294.375

65880

86707.625

94254

91247.125

122915

95577.125

92079

100349.875

80241

106798.375

118075

110880.25

150682

112147.625

96967

113833.625

85492

112248.25

126312

107837

129762

104625.125

82597

100338

74167 103340

129.5206 87.27028 74.03824 109.1429 129.5206 87.27028 74.03824 109.1429 129.5206 87.27028 74.03824 109.1429 129.5206 87.27028 74.03824 109.1429 129.5206 87.27028 74.03824 109.1429

84086.05 85397.8 86709.54 88021.28 89333.03 90644.77 91956.51 93268.26 94580 95891.74 97203.49 98515.23 99826.97 101138.7 102450.5 103762.2 105073.9 106385.7 107697.4 109009.2 110320.9

108908.7 74526.9 64198.22 96068.96 115704.6 79105.95 68082.99 101795.7 122500.5 83684.99 71967.75 107522.3 129296.4 88264.04 75852.52 113249 136092.4 92843.09 79737.29 118975.7 0

138.5658583 84.22690422 69.69696084 117.3565869 125.5862731 84.17905636 75.97947701 103.2953093 128.6029476 91.75796183 75.13316565 106.488757 134.3604022 85.18309067 76.16332549 117.1323386 124.0256583 82.31876258 #DIV/0!

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

91707 63048 57041 78667 96794 74949 56791 89127 116250 71998 59620 98985 106878 71800 65880 94254 122915 92079 80241 118075 150682 96967 85492 126312 129762 82597 74167 103340

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29 30 31 32 33

110320.9 111632.7 112944.4 114256.2 115567.9

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1976

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1976

1977

1978

9 9

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13 15 14 13 25 10 14 15 16 15 8 10 12 19 22 20 21 18 16 15 12 17

12 14 13 18 19 16 23 19 18 19 18 17

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Janvier

8

Février

9

Mars

9

Avril

12

Mai

16

Juin

13

Juillet

17

Août

15

Septembre

10

Octobre

8

Novembre

10

Décembre

14

Janvier

10

Février

12

Mars

10

Avril

14

Mai

15

Juin

17

Juillet

20

Août

14

Septembre

9

Octobre

10

Novembre

10

Décembre

15

Janvier

11

Février

8

Mars

8

Avril

16

Mai

17

Juin

16

Juillet

23

Août

12 14 13 14 17 9 9

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13 15 14 13 25 10 14 15 16 15 8 10 12 19 22 20 21 18 16 15 12 17

12 14 13 18 19 16 23 19 18 19 18 17

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Les données suivantes représentent l'évolution des ventes mensuelles de maisons (en milliers) dans les états du MidWest Américain. Utilisez les méthodes de lissage (moyenne mobile et lissage exponentiel) pour faire une prévision pour Juin 2001.

Mois Jan-94 Feb-94 Mar-94 Apr-94 May-94 Jun-94 Jul-94 Aug-94 Sep-94 Oct-94 Nov-94 Dec-94 Jan-95 Feb-95 Mar-95 Apr-95 May-95 Jun-95 Jul-95 Aug-95 Sep-95 Oct-95 Nov-95 Dec-95 Jan-96 Feb-96 Mar-96 Apr-96 May-96 Jun-96 Jul-96 Aug-96 Sep-96 Oct-96 Nov-96 Dec-96 Jan-97 Feb-97 Mar-97 Apr-97

Ventes 128 135 130 127 125 119 108 112 111 141 126 113 107 110 122 128 121 131 134 138 132 131 130 125 146 137 132 128 141 122 133 173 130 117 127 148 148 119 125 134

May-97 Jun-97 Jul-97 Aug-97 Sep-97 Oct-97 Nov-97 Dec-97 Jan-98 Feb-98 Mar-98 Apr-98 May-98 Jun-98 Jul-98 Aug-98 Sep-98 Oct-98 Nov-98 Dec-98 Jan-99 Feb-99 Mar-99 Apr-99 May-99 Jun-99 Jul-99 Aug-99 Sep-99 Oct-99 Nov-99 Dec-99 Jan-00 Feb-00 Mar-00 Apr-00 May-00 Jun-00 Jul-00 Aug-00 Sep-00 Oct-00 Nov-00 Dec-00 Jan-01 Feb-01 Mar-01

137 157 152 138 129 133 166 157 166 187 178 151 147 173 160 149 175 159 161 186 152 163 149 169 175 171 171 185 158 189 178 148 146 166 168 139 150 148 169 141 163 158 149 174 173 168 192

Apr-01 May-01

176 186

Les données suivantes représentent les ventes trimestrielles de Coca-Cola en millions de dollars de 1986 à 2001. Utilisez la méthode de décomposition des séries chronologiques pour cette série (variations saisonnières, tendance). Donnez une prévision pour le 3-ième trimestre 2003. Trimestre Q1-86 Q2-86 Q3-86 Q4-86 Q1-87 Q2-87 Q3-87 Q4-87 Q1-88 Q2-88 Q3-88 Q4-88 Q1-89 Q2-89 Q3-89 Q4-89 Q1-90 Q2-90 Q3-90 Q4-90 Q1-91 Q2-91 Q3-91 Q4-91 Q1-92 Q2-92 Q3-92 Q4-92 Q1-93 Q2-93 Q3-93 Q4-93 Q1-94 Q2-94 Q3-94 Q4-94 Q1-95 Q2-95

Ventes 1734.83 2244.96 2533.80 2154.96 1547.82 2104.41 2014.36 1991.75 1869.05 2313.63 2128.32 2026.83 1910.60 2331.16 2206.55 2173.97 2148.28 2739.31 2792.75 2556.01 2480.97 3039.52 3172.12 2879.00 2772.00 3550.00 3508.00 3243.86 3056.00 3899.00 3629.00 3373.00 3352.00 4342.00 4461.00 4017.00 3854.00 4936.00

Q3-95 Q4-95 Q1-96 Q2-96 Q3-96 Q4-96 Q1-97 Q2-97 Q3-97 Q4-97 Q1-98 Q2-98 Q3-98 Q4-98 Q1-99 Q2-99 Q3-99 Q4-99 Q1-00 Q2-00 Q3-00 Q4-00 Q1-01

4895.00 4333.00 4194.00 5253.00 4656.00 4443.00 4138.00 5075.00 4954.00 4701.00 4457.00 5151.00 4747.00 4458.00 4428.00 5379.00 5195.00 4803.00 4391.00 5621.00 5543.00 4903.00 4479.00

iations saisonnières, tendance).

Exercice corrigé décomposition

Production d'une compagnie pétrolière (en millions de litres) Année Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1976

1977

1978

1979

1980

8 9 9 12 16 13 17 15 10 8 10 14

10 12 10 14 15 17 20 14 9 10 10 15

11 8 8 16 17 16 23 12 14 13 14 17

9 9 13 15 14 13 25 10 14 15 16 15

8 10 12 19 22 20 21 18 16 15 12 17

A partir de juillet 1976 (7-ième période), on peut calculer la moyenne centrée sur 12 mois on prend la somme de 5 mois qui précèdent, du mois courant, des 5 mois qui suivent et de la moitié des mois encore avant (janvier 1976 et janvier 1977) et on divise par 12 On fait glisser cette moyenne mobile vers le bas jusqu'en juin 1983 On fait ensuite les rapports à la moyenne mobile (multipliés par 100)

Période

Y(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

M. Mobile centréeRapports

8 9 9 12 16 13 17 15 10 8 10 14 10 12 10 14 15 17 20 14 9 10 10 15 11

11.83 12.04 12.21 12.33 12.38 12.50 12.79 12.88 12.79 12.83 12.92 12.96 13.04 12.92 12.67 12.67 12.83 12.88 12.96

143.66 124.57 81.91 64.86 80.81 112.00 78.18 93.20 78.18 109.09 116.13 131.19 153.35 108.39 71.05 78.95 77.92 116.50 84.89

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Exercice corrigé décomposition

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

8 8 16 17 16 23 12 14 13 14 17 9 9 13 15 14 13 25 10 14 15 16 15 8 10 12 19 22 20 21 18 16 15 12 17 12 14 13 18 19 16 23 19 18 19 18 17

13.00 13.13 13.46 13.75 14.00 14.00 13.96 14.21 14.38 14.21 13.96 13.92 13.92 13.83 13.92 14.08 14.08 13.96 13.96 13.96 14.08 14.58 15.21 15.33 15.50 15.92 16.00 15.83 15.75 16.00 16.33 16.54 16.54 16.38 16.08 16.00 16.13 16.25 16.50 16.92 17.17

61.54 60.95 118.89 123.64 114.29 164.29 85.97 98.53 90.43 98.53 121.79 64.67 64.67 93.98 107.78 99.41 92.31 179.10 71.64 100.30 106.51 109.71 98.63 52.17 64.52 75.39 118.75 138.95 126.98 131.25 110.20 96.73 90.68 73.28 105.70 75.00 86.82 80.00 109.09 112.32 93.20

Calcul des indices saisonniers Janvier

78.18

84.89

Page 120

64.67

52.17

75.00

Exercice corrigé décomposition

Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre

143.66 124.57 81.91 64.86 80.81 112.00

93.20 78.18 109.09 116.13 131.19 153.35 108.39 71.05 78.95 77.92 116.50

61.54 60.95 118.89 123.64 114.29 164.29 85.97 98.53 90.43 98.53 121.79

64.67 93.98 107.78 99.41 92.31 179.10 71.64 100.30 106.51 109.71 98.63

64.52 75.39 118.75 138.95 126.98 131.25 110.20 96.73 90.68 73.28 105.70

Note : Puisque la moyenne de ces indices ne fait pas 100, on corrige chaque indice en le multipliant par 1200 et en le divisant par la somme des indices (1194,69) Pour trouver la tendance linéaire croissante de la série on peut utiliser DROITEREG ou TENDANCE ou tout simplement l'insertion de courbe de tendance sur le graphique. Pour corriger une prévision des variations saisonnières, il suffit de la multiplier par l'indice et de diviser par 100

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86.82 80.00 109.09 112.32 93.20

Exercice corrigé décomposition

millions de litres) 1981 12 14 13 18 19 16 23 19 18 19 18 17

t de la moitié

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Exercice corrigé décomposition

indice 70.98

indice corrigé 71.30

Page 123

Exercice corrigé décomposition

74.15 77.70 112.72 118.09 111.59 154.33 100.15 89.70 86.29 88.05 110.93 1194.69

74.48 78.04 113.22 118.61 112.09 155.02 100.60 90.10 86.67 88.44 111.42

Page 124

Exercice prévision

Exercice de prévision

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Y(t) 3900 4100 5800 7500 8700 8600 11300 14000 13500 15900 18600 23400

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Lissage exp. double

Lissage exponentiel double Lorsqu'une série chronologique possède une tendance croissante, les prévisions données par un modèle de lissage exponentiel (simple) seront toujours inférieures aux valeurs réalisées. Lorsque la tendance est décroissante, c'est l'inverse. Le modèle de lissage exponentiel double va contribuer à résoudre ce problème. Le principe est d'introduire une seconde constante de lissage : compte" cette tendance.

b

de façon à "prendre en

Pour arriver à Yp(t+1), on utilise maintenant 2 fonctions intermédiaires : C(t) et T(t). Il faut alors 3 équations :

C(t) = a Y(t) + (1-a) (C(t-1) + T(t-1))

T(t) = b (C(t) - C(t-1)) + (1-b) T(t-1)

Yp(t+1) = C(t) + T(t)

a=

constante de lissage comprise entre 0 et 1

b=

constante de lissage pour la tendance comprise entre 0 et 1

Exemple Compagnie d'assurance t = numéro du mois Y(t) = nombre de sinistres "auto" au cours du mois Mois

Y(t)

C(t)

T(t)

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Yp(t)

(Yp(t)-Y(t)2

Lissage exp. double

a

1

38

2

44

44

6

3

40

48.73

4.73

50.00

100.00

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

48 55 68 64 70 75 70 78 82

52.77 56.58 61.35 65.86 70.32 74.80 78.11 80.99 83.62

4.04 3.81 4.77 4.50 4.46 4.49 3.31 2.87 2.64

53.46 56.81 60.39 66.13 70.36 74.78 79.29 81.42 83.86 86.26

29.84 3.27 57.96 4.53 0.13 0.05 86.32 11.70 3.46

b

MSE

Initialisation Pour la période t = 2, on prendra : C(2) = Y(2)

T(2) = Y(2)-Y(1) Autre exemple

indice trimestriel d'activité d'une entreprise de grande distribution 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

9050 9380 9378 9680 10100 10160 10469 10738 10910 11058 11016 10869 11034 11135 10845 11108 1115 11424 10895 11437 11352 11381 11401

Page 127

Lissage exp. double

24 25 26

11407 11453 11561

Page 128

Lissage exp. double

e, les prévisions données érieures aux valeurs

de façon à "prendre en

aires : C(t) et T(t). Il faut

mprise entre 0 et 1

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