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Análisis de series temporales, técnicas de previsión / A. Carrión García. Book · August 2001 Source: OAI

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ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES Y TÉCNICAS DE PREVISIÓN

Andrés Carrión García Depto. de Estadística e I. O. U.P.V.

MCMXCVII

 

ÍNDICE  pág.

1. Introducción. …………………………… ………………………………………………………..… …………………………..…………. ………. 1.1. Necesidad de la previsión. 1.2. Enfoques de la Previsión. Hipótesis y restricciones. 1.3. Elementos de una previsión. 1.4. Técnicas de previsión proyectivas. Series Temporales.

3 3 3 4 6

2. Métodos de proyección de tendencias. ………………………… ……………………………………….. …………….. 7 2.1. Planteamiento. 7 2.2. Ajuste de tendencias. Técnicas de regresión. 7 2.2.1. Tendencia lineal. 7 2.2.1.1. Validación del ajuste. 9 2.2.1. Otros ajustes. 11 2.3. Técnicas de suavizado. 14 2.3.1. Suavizado por medias móviles. 14 2.3.2. Predicción con Medias Móviles. 17 2.3.3. Predicción con Suavizado exponencial. 18 3. Técnicas de Descomposición de SeriesdeTemporales. ………………………… 21 3.1. Introducción. Componentes una serie temporal. 3.2. Modelo de Holt. 21 3.3. Método de Holt-Winters. 23 3.4. Método clásico de descomposición. 27 4. Introducción a los Procesos Estocásticos. ……………………………… …………………………………… …… 4.1. Naturaleza de los procesos estocásticos. 4.2. Realización de un proceso estocástico Series temporales. 4.3. Características de un proceso estocástico. 4.4. Procesos estocásticos estacionarios. 4.5. Proceso de ruido blanco.

32 32 33 35 36 39

5. Modelos ARIMA. ……………………… …………………………………………………… ……………………………………. ………. 5.0. Modelos lineales. Operador retardo. 5.1. Modelos Auto Regresivos (AR). 5.1.1. Definición. 5.1.2. Propiedades de los AR(p). 5.1.2.1. Estacionariedad. 5.1.2.2. Invertibilidad. 5.1.2.3. Correlograma Simple. 5.1.2.4. Correlograma Parcial. 5.2. Procesos de Medias Móviles (MA). 5.2.1. Definición. 5.2.2. Propiedades de los MA(q). 5.2.2.1. Estacionariedad. 5.2.2.2. Invertibilidad.

41 41 41 41 42 42

1

42 42 42 43 43 44 44 44

 

 

5.2.2.3. Correlograma simple. 5.2.2.4. Correlograma parcial. 5.3. Dualidad. 5.4. Modelos Auto Regresivos de Medias Móviles (ARMA). 5.4.1. Definición. 5.4.2. Propiedades. 5.4.2.1. Estacionariedad. 5.4.2.2. Invertibilidad. 5.4.2.3. Correlograma Simple. 5.4.2.4. Correlograma Parcial. 5.5. Modelos ARIMA. 5.5.1. Operador diferencia. 5.5.2. Procesos no estacionarios. Modelos ARIMA. 5.5.2.1. Correlogramas. 5.6. Otras notaciones de los modelos ARIMA 5.7. Modelos ARIMA estacionales. 5.7.1. Operador diferencia estacional. 5.7.2. Estructuras ARIMA estacionales. 5.7.3. Características.

44 44 45 46 46 46  46 47 47 48 48 48 49 49 50 51 51 52

47

5.7.4. Interacción entre estructura regular y estacional. Satélites. 52 5.8. Modelos ARIMA generales. 53 6. Metodología Box-Jenkins. …………………………………………………… …………………………………………………… 54 6.1. Introducción. 55 6.2. Identificación del modelo. 55 6.2.1. Identificación de la no estacionariedad. Estacionarización. 56 6.2.2. Identificación de la estructura ARMA regular. 60 6.2.3. Identificación de la estructura ARMA estacional. 62 6.3. Estimación del modelo. 63 6.4. Validación del modelo. 65 6.4.1. Significación de los parámetros del modelo. 65 6.4.2. Nulidad de la media de los residuos. 66 6.4.3. Constancia de la varianza. 66 6.4.4. Independencia de los residuos. 6.4.5. Normalidad de los residuos. 69 6.4.6. Sobreajuste 70 6.4.7. Análisis del grado de diferenciación 70 6.5. Explotación del modelo: Previsión. 71  7. Ejemplos y Casos. ………………………… …………………………………………………… ………………………………… ……… 74 7.1. El gasto sanitario per capita. 74 7.2. Llegadas a un servicio hospitalario de Urgencias. 76

2

67

 

1. Introducción. 1.1. Necesidad de la previsión. Desde los tiempos más lejanos el hombre ha sentido la necesidad de conocer el futuro, de prever lo que va a suceder. A esta necesidad ha respondido por los métodos más variados y, aallamenos desde óptica actual, peregrinos. Tales más hombres próximosdea la la magia que religión, hanlasido consultados y utilizados pormétodos, los grandes antigüedad, que supeditaban el inicio de nuevas empresas a la existencia de buenos auspicios sobre su futuro. Hoy la situación es distinta, pero más en cuanto a los métodos que en cuanto a la necesidad percibida por el hombre. Así los métodos actuales, con un enfoque absolutamente racionalista y en muchos casos matemático-estadístico, buscan la respuesta la misma pregunta de siempre: ¿cómo será el futuro?. También ahora los hombres que rigen empresas e instituciones estudian esas previsiones antes de poner en marcha nuevos  proyectos. Así pues, ¿qué ha cambiado?. Ha cambiado la noción de la propia naturaleza del futuro, que ha pasado de ser algo sometido al libre arbitrio de fuerzas sobrenaturales (idea  base de los métodos mágicos) a ser esencialmente el resultado del pasado y del presente, con una componente impredecible (aleatoria es la palabra correcta) más importante cuanto más nos adentramos en el futuro. En qué momento se da tal cambio de concepción es una cuestión de difícil respuesta, más cuanto que no es posible hablar de un cambio brusco, sino de una transición larga de uno a otro planteamiento. Ya en siglo XIV, Nicolás Maquiavelo, enfoca la cuestión con una acertada frase:  Para predecir lo que ha de suceder, hay que observar antes lo que ha ocurrido anteriormente. Aquí esta la clave de las técnicas que serán estudiadas en este trabajo: el futuro como consecuencia del pasado. En la misma línea, y más recientemente, el Marques de Halifax afirmaba:  La mejor cualidad de un profeta es la buena percepción de de granvaimportancia, pues de ella se sigue que el memoria análisis .yLa modelización de tal losrealidad hechos es pasados a permitirnos hacer previsiones sobre el futuro.

1.2. Enfoques de la previsión. Hipótesis y restricciones.  No obstante, esa dependencia del futuro con el pasado no es siempre igual de estrecha, y existen suficientes elementos de incertidumbre como para dar lugar a, al menos, dos planteamientos distintos para la previsión: el proyectivo y el prospectivo. En el primero de ellos, enfoque proyectivo, se trata de obtener las previsiones en  base a la proyección o extrapolación de comportamientos pasados hacia el futuro. Evidentemente para que ese planteamiento sea correcto se ha establecido la hipótesis, quizás implícitamente, de que la situación que en el pasado dio lugar al comportamiento observado seguirá actuando en el futuro. A tal hipótesis se le suele denominar de 3

 

mantenimiento (o constancia) del entorno. ¿Es razonable establecer esta restricción?. En términos absolutos la respuesta es no: La sociedad es un sistema en cambio permanente en el que muy pocos entornos se mantienen estables. Ahora bien, a corto plazo  si que se  puede, en muchos casos, asumir que los cambios que experimenta el entorno de un cierto  problema que se está estudiando son de poca importancia, y que en conclusión podemos asumir su estabilidad y utilizar planteamientos proyectivos para la realización de  previsiones. Conforme el horizonte de previsión se aleja del presente esa hipótesis pierde consistencia y el uso de estas técnicas será menos adecuado. Sólo en el estudio de algunos fenómenos naturales podremos prolongar el plazo de validez de nuestras previsiones, al realizarse en entornos altamente estables (por ejemplo, en astronomía). El segundo enfoque, denominado prospectivo, parte del hecho arriba comentado del constante cambio a que están sometidos los sistemas sociales y económicos. Ello invalida la hipótesis de constancia del entorno y a la vez pone en tela de juicio la corrección de las  previsiones obtenidas por proyección de comportamientos pasa pasados. dos. El principal objetivo de las técnicas prospectivas será la identificación del sentido en que evoluciona el entorno y la definición de la que será la nueva situación que afecte en el futuro al tema estudiado. Teniendo en cuenta las consideraciones del párrafo anterior, la inconstancia del entorno afecta especialmente a las previsiones a largo plazo, y será en este largo plazo donde las técnicas prospectivas encuentran su mayor utilidad. El uso integrado de ambos planteamientos permite disponer de previsiones basadas en la información histórica, válidas para el inmediato futuro, y de uno o varios escenarios alternativos, que describen la situación en un futuro más lejano.

1.3. Elementos de una previsión. Hasta aquí hemos hablado las "previsiones", pero ¿en qué consiste una previsión?. Siguiendo al diccionario de la Real Academia, una previsión sería el acto de conjeturar por algunas señales o indicios lo que va a suceder. Para que una previsión sea completa deberá responder a las siguientes preguntas:

•  •  •  • 

¿Qué va a suceder en el futuro? ¿Cuándo va a ocurrir? ¿En qué medida?, ¿cuánto? ¿Qué probabilidad hay de que realmente ocurra así?.

Para ello, los elementos que deben integrar esa conjetura son:

•  •  •  • 

Factor cualitativo Factor temporal Factor cuantitativo Factor probabilístico.

El factor cualitativo pretende describir la situación futura que se desenvuelva el sistema estudiado, y cuál será el cuál modoserá de comportamiento. Enenloslamétodos 4

 

 proyectivos, objeto de estudio en este traba trabajo, jo, el elemento cualitatitativo se resuelve, res uelve, como arriba se comentaba, mediante la hipótesis de mantenimiento del entorno: la situación futura será similar a la actual. El factor temporal trata de establecer plazos para la aparición de los hechos  predichos, yendo en los modelos proyectivos ligado al siguiente elemento, el cuantitativo en forma de sucesión temporal de valores predichos. El factor cuantitativo trata de medir el grado en que un suceso va a presentarse (por ejemplo, extensión de una nueva tecnología) o el valor que una cierta variable descriptora del sistema estudiado va a alcanzar (por ejemplo, ventas de uno de los productos de la compañía). El factor probabilístico pretende calibrar e incluir en la previsión el elemento de incertidumbre que inevitablemente lleva incorporado. Puede adoptar directamente la forma de una probabilidad (probabilidad de que cierto avance técnico sea logrado antes de una fecha, por ejemplo) o estar en forma de intervalo de precisión para la predicción realizada (afectando bien al valor alcanzado por una variable, bien a la fecha en que se producirá un suceso). Veamos algunos ejemplos de previsiones de diferente tipo que incorporan los anteriores elementos:

•  No basta con decir que el acceso a bases de datos remotas desde los los hogares se generalizará en el futuro (elemento cualitativo), sino que hay que establecer plazos en los que ocurrirá, niveles de extensión que alcanzará esa nueva tecnología y valorar la seguridad o precisión de nuestra predicción. Un enunciado completo sería del siguiente tipo: El acceso a bases de datos remotas desde equipos informáticos domésticos se habrá extendido el año 2010 a entre un 25 y un 45% de los hogares de los países desarrollados. •  Para el mismo hecho, un planteamiento alternativo podría ser el siguiente: Entre los años 2015 y 2025 más de la mitad de los hogares harán uso habitual del acceso a bases de datos remotas desde equipos informáticos domésticos. •  La probabilidad de que una mi misión sión espacial tripulada llegue a Marte antes del año 2025, es inferior al 30%. •  Las ventas de televisores de 28'' en el tercer trimestre del próximo año serán de 22000 unidades (± 2500 uds.). •  El consumo de agua potable en Valencia ciudad entre las 10 y las 11 horas de mañana será de 280 m3, con un error de ± 25m3.

5

 

1.4. Técnicas de previsión proyectiva. Series temporales. Las técnicas de previsión proyectiva tienen en común el basarse en la información histórica para, mediante su análisis, identificar pautas de comportamiento que supondremos siguen siendo válidas en futuro. Requerimos en todos los casos la hipótesis de mantenimiento del entorno y, por poder asegurar la validez de ésta sólo a corto plazo, serán técnicas útiles especialmente en las previsiones a corto. La información que habitualmente manejan las técnicas proyectivas tiene la forma de las llamadas  series temporales, que son sucesiones de valores referidos a una misma variable y correspondientes a distintos instantes de tiempo. Ejemplos de series temporales  podemos encontrar enc ontrar en multitud de ppublicaciones ublicaciones económicas ec onómicas y especializadas: consumo de gasolina super en España mes a mes; casos declarados de varicela en España mes a mes; ventas de una empresa por trimestres; absentismo semana a semana en un organismo  público; etc. Una primera división sería entre métodos clásicos y métodos modernos. Los  primeros parten de un enfoque determinista, considerando que la serie temporal sigue una  pauta de comportamiento fija, en la que las desviaciones observadas son sólo el efecto de hechos entorno, sin que hechosdeterministas. afecten a la pauta base del modelo.puntuales Por esteocurridos motivo en se elhabla también de esos métodos Los métodos modernos se basan en planteamientos probabilísticos, considerando las series temporales como manifestaciones de procesos estocásticos de una cierta estructura, en la cual esas  perturbaciones que el e l entorno introduce forman parte de la propia estructura de la sserie. erie. Entre los métodos denominados clásicos podemos citar:

•  Métodos de proyección de tendencias. •  Identificación de tendencias (ajustes por regresión). •  Métodos de suavizado (método de Holt). •  Métodos de descomposición de series temporales. Métodos basados en el suavizado (método de Holt-Winters). •  •  Descomposición de series cronológicas. De los métodos modernos o estocásticos nos centraremos en la metodología BoxJenkins, basada en la identificación y posterior explotación del modelo ARIMA que mejor refleje el comportamiento pasado de la serie.

6

 

2. Métodos de proyección de tendencias.  2.1. Planteamiento. Las técnicas de proyección de tendencias comparten una gran sencillez formal que las hace muy atractivas a la hora de realizar previsiones. Sin embargo su uso puede ser en extremo puesdelamantenimiento validez de sus del previsiones depende muy estrechamente de lao veracidadarriesgado, de la hipótesis entorno. Proyectar tendencias alegremente  para largos periodos de tiempo puede conducirnos a previsiones muy desviadas de la realidad. Ello no obstante, son técnicas útiles bajos algunas restricciones: - Previsiones sólo a corto plazo. - Series temporales de comportamiento muy regular a lo largo de su historia. - Entornos en los que no se prevea la posibilidad de cambios importantes. Con estas salvedades podremos hacer un uso positivo de ellas.

2.2. Ajuste de tendencias. Técnicas de regresión. 2.2.1. Tendencia lineal. La conocida técnica de la regresión lineal mínimo cuadrática, útil para estudiar la relación entre parejas de variables, puede aquí ser utilizada con buenos resultados si identificamos la variable independiente con el tiempo y la variable dependiente con la magnitud estudiada. El modelo a emplear será: z t = α + βt + ε t   en el que: •  zt es el valor que presenta la serie temporal en el instante t • α  es el término independiente de la recta, correspondiente al valor que presentaría la serie en el origen de tiempos (con frecuencia esta interpretación carecerá de sentido, debiendo considerarse exclusivamente como un elemento de nivel para z) • β es el coeficiente de regresión, que representa el incremento que sufre la serie en cada instante de tiempo (obsérvese que cada vez que t aumenta en una unidad, z t  se incrementa en β •  t es el instante de tiempo genérico •  por último, εt es la perturbación asociada al instante t. La identificación del modelo a emplear en la previsión se reduce a la búsqueda de aquella recta que "mejor" se ajusta a la información histórica disponible. Tal bondad de 7

 

ajusta se identifica con el criterio de los mínimos cuadrados: Se busca aquella recta que hace mínimo el valor medio del cuadrado de los errores cometidos al sustituir cada valor real por su previsión a través de la recta de regresión. En la Figura 2.1 se aprecia que al ajuste obtenido con la recta que en ella se propone es muy pobre: los errores cometidos son grandes, con cual también lo serán sus cuadrados y el promedio de estos. z

errores

recta de predicción

t

Figura 2.1.

 

En cambio, la Figura 2.2 muestra una recta de predicción en la que el grado de ajuste en sensiblemente mayor, con lo cual los errores cometidos son en modulo menores que los anteriores, con lo cual también será menor el promedio de sus cuadrados. z recta de predicció

errores

t

Figura 2.2.

8

 

 

  Definir la mejor recta equivale a elegir su ordenada en el origen y su pendiente. Así  pues se trata de encontrar los valores de dos constates a y b, que como estimadores respectivamente de α y β den el mejor ajuste por mínimos cuadrados: a y b tales que: min E( z t − z t ) 2 = E( z t − a − bt ) 2 (2.1.) dond dondee z t es la prev previs isiión para para el ins nsta tant ntee t y po porr ta tant ntoo ( z t − z t ) es el er erro rorr de pr prev eviisi sión ón..    

$

 

$

$

Para el hallar valores de a y b miembro que minimizan el error cuadrático medio con derivar valoresos medio del segundo de la expresión 2.1. respecto de bastará ambos  parámetros. El resultado que se obtiene es: n

∑ ( xi − x )( t i − t )

 b = i =1

a = x − bt  

 

n

∑ ( t i − t)2

i =1

  donde n es el número de datos de que se dispone.

2.2.1.1. Validación del ajuste. Con los valores anteriores de a y b se dispone ya de la "mejor" recta de predicción,  pero puede suceder s uceder que inclus inclusoo esa mejor recta recoja una re relación lación que no sea se a significativa, con lo que las predicciones serían inconsistentes. Necesitamos pues algún método para valorar la bondad del ajuste entre la serie y el modelo a ella ajustado. Coeficiente de correlación. El primer método que vamos a comentar, es el uso del coeficiente de correlación R, que se define por la siguiente expresión: n

∑ ( x i − x )( t i − t )

R =

i =1 n

n

i =1

i =1

 

∑ ( t i − t ) 2 ∑ ( x i − x) 2 Puede demostrarse que este coeficiente toma valores entre -1 y +1, actuando como medidor del grado de ajuste entre la serie y la recta de regresión mínimo cuadrática, de modo que:

•  Si R es igual +1 o a -1, la serie temporal esta formada por puntos que se ajustan exactamente a una recta. •  El signo de R indica si la evolución de la serie es creciente (R>0) o decreciente (R0, c0 b>0

 

t b=0

 

t b0, b>1 

t

RECTA

z

 

t

EXP. MODIFICADA PARABÓLICA GOMPERTZ LOGÍSTICA

z

b>0

t

b