Cur Curso so Pr Preuniv euniversit ersitario ario 2018
Santiago Relos P.
[email protected] Diseño de portada y gráficos dinámicos: Iván Relos P.
[email protected] Cochabamba - Bolivia
II
Prólogo Tengo el agrado de presentar a la comunidad este texto que es un trabajo de varios años, nace con el propósito específico de garantizar que el futuro universitario que pretende estudiar una carrera de Ingeniería o Ciencias Empresariales pueda vencer con éxito una de sus primeras materias troncales: Cálculo I. Es conocido el hecho de que un estudiante de Cálculo I reprueba la materi mat eria, a, no porno sab saber er lastécn lastécnica icass delCálc delCálculo ulo,, sino sino másbienpor tener tener defi deficie cienci ncias as en lastécn lastécnica icass de Álgebr Álgebra, a, Trig rigono onomet metríay ríay Geomet Geo metríaAnalí ríaAnalític tica, a, mi exp experi erien enciade ciade másde 25años de tra trabaj bajo o enla en enseñ señanz anzaa delCálc delCálculoy uloy lasopin lasopinion ionesde esde colega colegass expert expertos os en la materia avalan lo que afirmo. En este texto se encuentra material suficiente para hacer que un estudiante pueda vencer sin dificultades la materia mencionada. Por otra parte este texto y casi todos los problemas propuestos están generados por nuestro programa AMARU SOFT que es un sistem sistemaa expert experto o queperm quepermitegener itegenerar ar proble problemasde masde a mil millon lonesy esy no requi requier eree guard guardarl arlos os enningú enningún n dispos dispositi itivo vo,, esdecirno setiene una base de datos de problemas, se tiene un sistema que genera los problemas en línea, eligiendo los necesarios. El programa AMARU SOFT generó es este te texto (en formato .tex y luego en .pd .pdf) f) en menos de cinco minu minutos, tos, con otra cor corrida rida de este pr programa ograma se tendría un nuevo texto con diferentes problemas propuestos, literalmente podríamos generar un texto distinto para cada estudiante con la misma teoría pero con ejemplos y ejercicios diferentes. Sabemos que el programa puede y debe mejorarse, por ejemplo en algunos problemas de desigualdades debemos afinar algunas salidas, algunas salidas pudimos haberlas editado manualmente, no lo hicimos pues no queremos faltar a nuestra palabra de que este texto está generado al 100% por nuestro programa. Nuestros gráficos están a escala y son dinámicas, es decir cambian automáticamente con los enunciados de los problemas. Por ejemplo las camioneta mostradas en la figura están rotadas a 25.375 a 25.375◦ , 12◦ y 5 5◦ con tamaños y colores diferentes.
En referencia al contenido, se tocan temas de Álgebra de Álgebra,, Trigonometría y Trigonometría y Geometría Geometría Analítica, Analítica, se hace énfasis en la resolución de problemas, todos los problemas tienen ti enen soluciones. Aún tenemos unadispositivo tarea pendiente. Llegarpor a laejemplo web, la idea es que un puedaSOFT generar su propio consobre soluciones a partir de algún electrónico, un celular, porestudiante ahora AMARU puede generarexamen, exámenes todos los temas que contiene el texto en nuestros computadores, sabemos que un día al igual que el día que escribo esto, estaremos alegres de nuestra llegada a la web. Quiero Quie ro agrad agradecera ecera much muchas as pers personasque onasque dire directa cta o indi indirect rectamen amente te aport aportaron aron a estetrabajo estetrabajo,, agrad agradecim ecimiento ientoss a como Dieg Diego o Seja Sejass por mostrarme algunos errores en las versiones de prueba, a Iván Relos por programar las gráficas dinámicas de ciertos objetos, a todos los colegas que de alguna manera están ligados a la enseñanza de matemáticas por su continuo aliento al emplear nuestrostextos nues trostextos en susclases,en partic particularagradez ularagradezco co a losprofesor losprofesores es de la Un Univers iversidadMayor idadMayor de SanSimón, Univers UniversidadPrivada idadPrivada Boliviana, Universidad Católica Boliviana, Universidad Privada del Valle. Finalm Finalment entee quieroagrad quieroagradece ecerr a laspers laspersona onass quehicie quehicieronposi ronposibleque bleque seapartedel his histór tóricoDepar icoDepartam tament ento o de Matem Matemáti áticasde casde la Facultad de Ciencias y Tecnología: Mg. Roberto Zegarra Urquidi, Mg. Gualberto Cupé Clemente, Clemente, Ing. Jorge Rocha Barrenechea, Ing Ing.. MarioMaldona MarioMaldonado do Terán (+),Ing. Robe Roberto rto Omonte Omonte Ojalv Ojalvo, o, Mg. Fide Fidell Taborg aborgaa Santo Santos, s, Ing Ing.. José José Omon Omonte te Ojalv Ojalvo o Ing.Juán Victo Victorr Terrazas Lobo, Martin Moya Albarracin, Ing. Ruperto León (+) Mg. René Jaldin Quiróz, Ing. Hernán Flores, Mg. Alvaro Carrasco Calvo, Calv o, Mg. Robe Roberto rto Zegarra Zegarra Jr Jr,, Jav Javier ier Cab Caballer allero o Espin Espinoza, oza, Sr. Sr. Mari Mario o Lafu Lafuente ente,, un agrad agradecim ecimiento iento espe especial cial al Ing Ing.. Ces Cesar ar Villa Villagome gomezz por permitirme colaborar en el Departamento de Ciencias exactas de la Universidad Privada Boliviana y al equipo de nuevos docentes matemáticos de este departamento, Ing. Diego Sejas, Ing. Cesar cabrera, Ing. Roberto Soruco, Dr. Rimer Zurita, Mg. Shirley Ballón, Samuel Tomas. Santiago Relos Paco
Cochabamba, Enero de 2018.
E L AUTOR
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Prológo
1
II I
ERAL Í NDICE GENERAL
P OTENCIACIÓN Y R R AD IC AC ACIÓ IÓ N 1.1 Potencias
1.1.1 Propiedades 1.1.1 Propiedades 1.1.2 Cuidados 1.1.2 Cuidados en la potenciación
1.2 Radicales 1.2.1 Propiedades 1.2.1 Propiedades 1.2.2 Racionalización 1.2.2 Racionalización
2
D ESIGUALDADES CON UNA VARIABLE
3
F UNCIONES : UNA INTRODUCCIÓN 3.1 3.2 3.3 3.4
3.5 Álgebra de funciones
3 4 5
6 7 8
La definición de función La gráfica de una función El dominio dominio más grande de una función Funciones Especiales 3.4.1 Función Identidad 3.4.1 Función 3.4.2 Función 3.4.2 Función Constante 3.4.3 Función 3.4.3 Función Valor Absoluto 3.4.4 La 3.4.4 La Función Lineal 3.4.5 La 3.4.5 La función parábola 3.4.6 Función 3.4.6 Función Potencia 3.4.7 Función 3.4.7 Función Polinomial 3.4.8 Las 3.4.8 Las funciones Trigonométricas Trigonométricas
P ÁG ÁGIN IN A 3 3
P ÁG ÁGIN IN A 11 1 1
P ÁG ÁGIN IN A 27 2 7
27
28
29
32
32 33 33 33 34 37 37 38
3.5.1 Las cuatro operaciones aritméticas 3.5.1 Las 3.5.2 La 3.5.2 La función compuesta 3.5.3 Funciones 3.5.3 Funciones Inyectivas y Sobreyectivas
3.5.4 Inversa 3.5.4 Inversa de una función
41 41 42 43 45
VI
4
L A FU NC IÓ N E XP ON E NC IA L Y L L OGARÍTMICA 4.1 4.2 4.3 4.4
5
La función Exponencial La función Logarítmica Relación entre Logaritmo y Exponencial Problemas con logaritmos y exponenciales
Á LGEBRA L GEBRA DE POLINOMIOS
P ÁG ÁGIN IN A 53 5 3
53
54
55
56
P ÁG ÁGIN IN A 61 6 1
5.1 División de polinomios
5.1.1 División directa 5.1.1 División 5.1.2 El 5.1.2 El método de Ruffini (1809)
61 61 63
5.2 Factores notables
5.2.1 Casos particulares 5.2.1 Casos 5.2.2 Expresiones 5.2.2 Expresiones conjugadas
65 65 66
5.3 El Binomio de Newton 5.4 El polinomio de grado 3 5.5 Fracciones parciales
68
70
5.5.1 Fracciones parciales 5.5.1 Fracciones 5.5.2 Cálculo 5.5.2 Cálculo de constantes en fracciones f racciones parciales
5.6 Resolución de ecuaciones con raíces cuadradas
6
C ONSTRUCCIÓN DE F UNCIONES
7
L A D E FIN IC IÓ N DE FU NC IÓ N TR IG ON OM É TR IC A
73 74 75
77
P ÁG ÁGIN IN A 81 8 1
P ÁG ÁGIN IN A 91 9 1
7.1 La definición de función trigonométrica en un triángulo rectángulo 7.2 La definición de función trigonométrica en un sistema de ejes coordenados 7.2.1 Signos de las funciones trigonométricas en el plano 7.2.1 Signos 7.2.2 Valor 7.2.2 Valor de las funciones trigonométricas sobre los ejes coordenados 7.2.3 Resumen 7.2.3 Resumen de los valores de las funciones trigonométricas para los ejes coordenados
7.3 Ángulos notables
7.5.1 Reducción 7.5.1 Reducción en los casos α + k 3600 7.5.2 Fórmula 7.5.2 Fórmula general de reducción
91 92 94 94 95 95 95 96
7.3.1 Ángulo de 300 y 600 7.3.1 Ángulo 7.3.2 Ángulo 7.3.2 Ángulo de 450
7.4 Ángulos multiplicados por el signo menos 7.5 Fórmulas de reducción
97 97 97 98
VI I
8
I DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
P ÁG ÁGIN IN A 101 1 01
8.1 Dos identidades fundamentales
8.2 Consecuencias
101
103
8.3 Resumen de las identidades fundamentales 8.4 Ecuaciones
9
108
R ESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 9.1 Introducción
P ÁG ÁGIN IN A 111 1 11
111
9.2 Resolución de triángulos rectángulos
9.2.1 Conocidos los dos lados 9.2.1 Conocidos 9.2.2 Conocidos 9.2.2 Conocidos un lado y un ángulo
112
112 113
9.3 Resolución de triángulos oblicuángulos 9.3.1 Ley de senos 9.3.1 Ley 9.3.2 Ley 9.3.2 Ley de cosenos
105
118
118 119
A NALÍTICA N ALÍTICA 1 0 INTRODUCCIÓN A LA G G EOMETRÍA A
10.1 Sobre los puntos en el plano 10.1.1Distanci 10.1.1 Distanciaa entre dos puntos pu ntos 10.1.22Punto medio 10.1. me dio entre ent re dos puntos p untos
P ÁG ÁGIN IN A 129 1 29
129
129 130
10.2 Pendiente de una recta
131
10.3 Ángulo entre entre dos rectas rectas
132
10.4 Rectas paralelas y perpendiculares
CUAC ACIÓ IÓ N DE L A RE CT CTA A 1 1 L A E CU
133
P ÁG ÁGIN IN A 137 1 37
11.1 La definición de recta como lugar geométrico
11.1.1La ecuación 11.1.1 ecuaci ón de la recta punto-pe pu nto-pendient ndientee 11.1.22La ecuación 11.1. ecuaci ón de la recta punto-pu pu nto-punto nto 11.1.33La ecuación 11.1. ecuac ión simétrica simé trica de la recta 11.1.44La ecuación 11.1. ecuac ión general gene ral de la recta 11.1.55Distanci 11.1. Distanciaa de un punto p unto a una u na recta
1 2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
137 138 139 139 140
141
11.2 Intersección de rectas, rectas, la regla regla de Cramer
137
ÁGIN IN A 151 P ÁG 1 51
1
PARÁB ÁB OL A 1 3 L A PAR
P ÁG ÁGIN IN A 159 1 59
13.1 La definición definición de parábola 13.2 Ecuaciones de la parábola
13.2.1Vértice en 13.2.1 e n el origen orige n y foco sobre un eje e je de coordenadas coorden adas 13.2.2Vértice 13.2. 2Vértice ( (h , k ) y foco en una recta paralela al eje de coordenadas 13.3 Tangente a una parábola
1 4 L A E LI PS E
P ÁG ÁGIN IN A 171 1 71
14.1 Definición de elipse 14.2 Ecuaciones de la elipse
171 172 172 173 174 175 176
14.2.1Centro el origen y eje mayor 14.2.1 mayo r en el eje e je x 14.2.22Centro el origen 14.2. or igen y eje focal f ocal en el eje e je y 14.2.3Centro 14.2. 3Centro (h , k ) y eje focal paralelo al eje x 14.2.4Centro 14.2. 4Centro ( (h , k ) y eje focal paralelo al eje y
14.3 La propiedad de reflexión de una elipse.
1 5 L A HI PÉ RB OL A
159 159 159 161 163
15.1 La definición definición de hipérbola 15.2 Ecuaciones de la hipérbola 15.2.1Centro el origen 15.2.1 or igen y eje transverso t ransverso en e n el eje x 15.2.22Centro el origen 15.2. or igen y eje transverso t ransverso en e n el eje y 15.2.3Centro 15.2. 3Centro (h , k ) y eje transverso paralelo al eje x 15.2.4Centro 15.2. 4Centro ( (h , k ) y eje transverso paralelo al eje y
P ÁG ÁGIN IN A 181 1 81
181 181 182 183 183 184
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1
Pot Poten enci ciac ació ión n y Ra Radic dicac ació ión n
1.1 Potencias Definic Defi nición ión 1.1 (La n-ésima potencia) Si n es un número natural la n − ´e sima potencia potencia de un número real a se se define por: a n
= a · a · · · a
factores de a n factores
el número a se se llama base y n n se se llama l lama exponente.
no (c a )n . es un número real, la expresión c a n significa c a n y no ( Observación. Si c es Ejemplo 1.1 Ejemplo 1.1
4 · 32 −3 · 24
5 · (−4)3
= 4 · (3 · 3) = 4 · 9 = 36 = (−3) (2 · 2 · 2 · 2) = −48 = 5 · ((−4) · (−4) · (−4)) = −320
Definic Defi nición ión 1.2
= 0, para todo n : (Exponente (Expo nente negat negativo) ivo)Si a a −n
= a 1n
4
Potenciación y Radicación
Definici Defi nición ón 1.3
=0: (Exponente (Exp onente cero)Si a
a 0
=1
1.1.1. 1.1 .1. Pr Propi opieda edades des Para todos los enteros m , n : : 1. (a · b )n = a n b n 2. a n a m = a n +m
3. a n m = a n m 4. 5. 6.
a b
n
=
=
a n
a m
a n , a 0, b n
=
a n −m , a 0,
=
a n
1 = , a = 0, a m a m −n
A partir de la primera propiedad se puede puede probar: (a · b · c )n = a n · b n · c n que se puede extender a más factores. Observación. En lo que sigue escribiremos a ab b en en lugar de a · b . Ejemplo 1.2 1.2 Ejemplo
= =
(ab c )2 a 3 b 4 ab −3 Ejemplo 1.3 1.3 Ejemplo
4
a 2 b 2 c 2 a 3 b 4 a 4 b −12
− 3x 4 y 3
=
7x −2 y 5 z
a 2+3+4 b 2+4−12 c 2
= a 9b −6c 2
(3) (−7) x 4−2 y 3+5 z = −21x 2 y 8 z
Ejemplo 1.4 Ejemplo 1.4
+ 4ab 2 ab 2 a 2b 3 + 4 a 1−2b 2−2 a 2b 3 + 4 a −1 a 2b 3 + 4 3 2 2 2 4 2 2 2 2 = b − a b − a a b − a b = a b b − a =
a 3 b 5
Potenciación y Radicación
5
1.1. 1.2. 2. Cu Cuid idad ados os en la po pote tenc ncia iaci ción ón 1. La potenciación no es conmutativa, es decir: a n
Ejemplo 1.5 Ejemplo 1.5 34
= n a
= 81 y 43 = 64
La potenciación no es asociativa:
= a n
=
Ejemplo 1.6 Ejemplo 1.6 23
4
m
m a (n )
4 212 = 4096 y 2(3 ) = 2417851639229258349412352
Ejercicios propuestos estos Ejercicios propu 1. (A-S) Escribir la siguiente expresión algebraica con potencias positivas: E
= =
z 3300 a −29 b 32
−31
z 3322 b 2299 31 a −30
= a 1829b 1891 z 62 Sol.: E = 2. (A-S) Escribir la siguiente expresión algebraica con potencias positivas:
= =
E
c 32
+ x 25 c −39 + x −32
c 25 x −39
c 96
+ x 25 c 64 = x 39 + c 39 x 7 Sol.: E =
3. (A-S) Simplificar y escribir la siguiente expresión algebraica con potencias positivas.
−30c −5 x −12 − 10c −3 x −14 −30c −8 x −2 − 10c −6 x −4 = Sol.: E =
c 3 x 10
4. (A-S) Simplificar, factorizar y escribir la siguiente expresión algebraica en términos de potencias enteras positivas y una fracción.
− 2a 5 b −5 − 2a −3 E = = a 2 − a b + a 5b −8 − a 4b −7 2 2a 5 b 3
= −a 4−(a − b ) Sol.: E =
6
Potenciación y Radicación
5. (A-S) Sim Simpli plifica ficarr y escribi escribirr la siguien siguiente te expres expresión ión algebr algebraic aicaa en términ términos os de potenc potencias ias enteras positivas. 5z 3 u −2 2a 2 u −2 E
= =
a −5
−
z a
z −3
u 2
= 5a 4 z 2 − 2z 2 a Sol.: E = Simpli plifica ficarr y escribi escribirr la siguien siguiente te expres expresión ión algebr algebraic aicaa en términ términos os de potenc potencias ias en6. (A-S) Sim teras positivas. 4x 2 7 4 −4x y + −9 E
= =
y
y 7
2 4
− 5x y x −7
− 4x 5 + 4 y 5 = x 5 y 3 − 5 Sol.: E =
1.2 Radicales Definici Defi nición ón 1.4 (Raíz n − e´sima) Sea n un un número natural, a un un número real:
1. Si a > 0, entonces un número positivo b es es la n − e´sima raíz raíz de a , escrito n a = b , si a = b n . 2. Si a < < 0 y n es es impar, entonces un número negativo b es es la n − ´esima e sima raíz raíz de a , n n escrito a , si a = b . n
3. Si a = 0 entonces
aa = 0.
Notación.
En n a , en símbolo
se llama radical, n el a el el índice y a el radicando. radicando.
Definici Defi nición ón 1.5
(Exponente racional) Sean m , n números números naturales, sea a un un número real tal que n a existe entonces:
a
1
n
1. a n
=
Potenciación y Radicación
m
m
7
m m a = a
= =
2. a n = 3. a n
n
n
1
a m
n
1 m
a n
1.2.1. 1.2 .1. Pr Propi opieda edades des Propiedad Notación radical (1) (2)
Notación exponente
ab = a b a a = b b a = a n a si a > 0 a = n es es impar n a si a < 0 y n a = |a | si a < 0 y n n es es par n
(ab ) n = a n b n
= =
n
a b
n
(3)
(4)
(5)
n m
1
nm
1
1
a n
n
a m
n
1
1
1
n
n
1
n
1
b n 1
a n m
n
No son cier ciertas tas exp expre resio siones nes com como: o:
+ = + = − − a 2
b 2
a 2
b 2
a 2
b 2
a 2
b 2
a b
+ =
a
+
b
Ejemplo 1.7 Ejemplo 1.7 (Simplificación usando propiedades)
= = = == || = 3
a 5
3
3
a 3 a 2
4
4
a 3
3
a a 2
4
4
x x 3 y y 1122
x x 3 y 1122 z 7
3
a 2
4
x 3 y 4 y 3
4
x 3 y y
4
4
zz 7
4
z 4 z 3
y 3 z
4
z 3
Actividades Comprobar las siguientes igualdades (suponga todas todas las variables positivas):
= z 3 x 2 a 7 z 2 7 x 3 7 a 23 23 23 2. a 123 b 547 = a 5 b 23 a 8 b 18
1.
7
z 23 x 17 a 8
8
Potenciación y Radicación
1.2.2. Rac Raciona ionalizac lización ión Definici Defi nición ón 1.6 (Racionalización) Llamamos racionalización al proceso de eliminar el radical del denominador de una expresión algebraica.
n
La regla para racionalizar es la siguiente: Si a > 0, m < n y y a m aparece en el denominador, para racionalizar se multiplica el numerador y denominador por
= n
n
a m
a n −m
n
a m +n −m
n −m
n
a
pues
= a
m
n
apare rece ce en el denomi denominad nador or,, se multip multiplic licaa numera numerador dor Otramaneraes:Si a > 0 y a apa y denominador por
p
n
a de modo que
m p m +p = a a = a a n
n
m p
+
n
m p n
n
+
sea un entero positivo pues entonces:
libre de radical pues
m p
+
n
es entero
Ejemplo Ejemplo 1.8 1.8 Racionalizamos y simplificamos
4 x 2 4 x 2 4 x = x = = 4 4 4 3 4 3 4 x x x x 3 8 3 8 3 8 3 8 a b a b b a 3 a = = = 3 18 3 17 3 b 6 b 17 b b b 5 4 13 5 5 4 13 5 5 4 13 5 x 3 y 4 a b x 3 y 4 a b x 3 y 4 a 4 b 13 a b = 5 12 26 5 3 4 = 5 15 30 = x 3 y 6 x 12 y 26 2
2
5
x y
x y
x y
Ejercicios propu Ejercicios propuestos estos En lo que sigue, suponga todas las variables positivas: 1. (A-S) Racionalizar:
34 E = = 15 c 43 15
a
34
15
Sol.: E = =
c a 2 a 3
2. (A-S) Racionalizar:
17 E = = 16 a 33 16
z
17
16
= Sol.: E =
a z 15 z 3
Potenciación y Radicación
3. (A-S) Racionalizar:
= = 4
c 18 d 27 x 50 y 2
E
2
c 36 d 46 x 44 y 6
4
c c 2 d 3 x 3388 y 1100
= =
Sol.: E
=
c 14 d 17
c 2 d 3 x 2 y 2 x 9 y 2 4 c
c 14 d 17
4. (A-S) Racionalizar:
= = 8
u 17 v 41 r 9 t 34
E
2
u 44 v 38 r 12 t 18
= Sol.: E =
8
u 20 v 14
8
u v r 39 t 38
=
r 4 t 4 u v r 7 t 6 u 20 v 14
5. (A-S) Racionalizar:
= = 4
r r 5 t 23 a 23 b 2
E
4
r 32 t 3 a 9 b 35
= Sol.: E =
4
r t 20 a 2 b 33 r 7 a 4
4
=
t 5 b 8 r a 2 b r 7 a 4
6. (A-S) Racionalizar:
= = 4
u 4 v 24
E
19 42
2
= = 4
Sol.: E
p q 0 u 50 v 58 p 5 q 19
=
p 19 q 8
p p q u 27 v 41
u 12 v 14 4 p q 0 u 2 v 2 p 5 q 19
7. (A-S) Racionalizar:
= = 2
p 9 q 19 u 36 v 8
E
2
p 14 q 33
u 15 v 17
2
p q 0 u v 9
v 4 2 p q 0 u v
= p 3 q 7u 1111 = p 3 q 7u 1111 Sol.: E =
9
10
8. (A-S) Racionalizar:
Potenciación y Radicación
= = 9
c 45 d 20 x 34 y 13
E
5
c 48 d 32 x 11 y 6
= Sol.: E =
45
18 d 3377 x 1199 y 3344 c c 18 c 5 d 5 x 2 y
=
45
c c 1188 d 3377 x 1199 y 3344 c 5 d 5 x 2 y
6
Con Const struc rucci ción ón de Fu Func ncio ione ness
En esta sección se plantean problemas que originarán funciones; más aún, veremos que los dominios de estas funciones satisfacen ciertas cier tas condiciones. Ejemplo 6.1 6.1 A partir de una hojalata rectangular Ejemplo rectangular de 30 cm. por 10 cm. Se desea construir un
recipiente recortando en las esquinas un cuadrado de lado x (ver figura). Determinaremos figura). Determinaremos el volumen de volumen de dicho recipiente. 30 10
10 − 2x 30 − 2x
Solución. Como se sabe el volumen de un paralelepípedo está dado dado el producto de sus tres lados, entonces el volumen del recipiente será la función V dependiente de x dada por: V (x )
= x (30 − 2x ) (10 − 2x ),
Para calcular el dominio de esta función notemos que x debe ser positivo, además x debe ser menor a 5 ¿porque?, por tanto el dominio de la función V es es el intervalo D VV = (0, 0,55) . Ejemplo 6.2 Se considera un cono inscrito es una esfera de Ejemplo 6.2 de radio 87 cm. Si la altura del cono es h y y el radio de la base es x , determine el volumen del cono cono en en términos de h . C
h
87 A
x
174 − h
O x D
B
Diámetro=C D = 174 Altura del cono=C O = h Radio del cono= AO = OB = x OD = 174 − h
82
Construcción de Funciones
1 y la variable Solución. El volumen del cono es V (x , h ) = πx 2 h . La relación entre la variable x y 3 h se se encuentra del siguiente resultado que se cumple en una circunferencia: ( AO ) (OB ) = (C O ) (OD ) de donde: x 2
= h (174 − h )
por tanto: V (h )
= 13 πx 2h = 13 πh 2 (174 − h ),
el dominio es D VV = (0,174).
Ejercicios propuestos estos Ejercicios propu 1. (A-S) Un depósito tiene la forma de un cono circular recto con el vértice hacia abajo. La 8 11 y y cm. cm. Se viert viertee ag agua ua en el depó depósit sito o, formá formánd ndos osee altura alt ura y el radio radio son respec respectiv tivame amente nte 11 3 otro cono de altura y cm cm y radio x cm, calcular cm, calcular la cantidad de agua en función del radio x . r = = 83 x h 11
=
y
Sol.: V (x ) =
8 11 3 3 πx cm , x ∈ (0, ). 3 8
2. (A-S) Encuentre una función que permita calcular el área de un triángulo equilátero como función de su perímetro. 3p 2 Sol.: A (h ) = , donde p es es el perímetro del triángulo , p > 0. 36 3. (A-S) Una niña de 1.2 1.2 m. m. de estatura está de pie a una distancia de x m m de un farol de 2.8 de 2.8
Construcción de Funciones
83
m de altura. Calcular la longitud de la sombra de la niña en función de x .
2.8m 1.2m x
S
3 Sol.: S (x ) = x , x > 0. 4 4. (A-S) Una caja cerrada tiene base cuadrada de lado igual a x y y altura h . Si el volumen de dicha caja es 22 es 22 c m 3 . Determinar la superficie total de la caja en caja en términos de: (a) x , (b) h .
h x x
Sol.: (a)
44 + 2x 2 , (b) 4 (b) 4 22h + . x h
88
Unaa recta recta de pendie pendiente nte m pas pasaa por por el punt punto o (−5, −4) 4) y y forma con el tercer cuadrante 5. (A-S) Un triángulo en en términos de su pendiente. un triángulo, determinar triángulo, determinar el área de dicho triángulo y
−10−9−8−7−6−5−4−3−−2−0110 −−23 −−45 −−67 −8 Sol.: Área: A (m ) = −
x
(5m − 4)2 , Dominio: D A A = (−∞, 0). 2m
pasa por el punto ( punto (−5, −1) 1) y y forma en el tercer cuadrante 6. (A-S) Una recta de pendiente m pasa un segmento mediante la intersección con los ejes de coordenadas. coordenadas. Determinar Determinar la longi-
84
Construcción de Funciones
tud de dicho segmento en segmento en términos de su pendiente. y
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 0 −1
x
2 −3 −4
(5m − 1) m 2 + 1
Sol.: Longitud: L (m ) = , Dominio: D L = (−∞, 0). Nota. El segmento de m recta mostrada en la figura es la más pequeña de entre todos los segmentos de este tipo, esto se prueba en CÁLCULO en CÁLCULO II,, que es la primera materia de Matemáticas en cualquier carrera de Ingeniería
= (−2, −4) y C = = (−1,1,44). Sobre el 7. (A-S) Considérese el triángulo de vértices A = (−4, −4), B = segmento AC se se toma un punto ( punto ( a , b ) y se construye el rectángulo que se muestra en la figura. Determinar figura. Determinar el área del rectángulo rectángulo en en términos de a . 5 y C
4 3 2 1 (a , b ) 0 −5−4−3−−2−110 1 2 3 4 5x −−23 −4 A B −5 A 16 Sol.: A (a ) = − (a + 1) (a + 4)). 9 con semiesferas 8. (A-S) Se tiene la necesidad de construir un tanque cilíndrico de altura h con deradio x ag agre rega gada dass en lo loss ex extr trem emos os.. Si el vo volu lume men n del del ta tanq nque ue debe debe se serr 15 m3 , determinar determinar el costo de construcción de este tanque, en términos de x , si los extremos cuestan $ cuestan $ 52 y 52 y los lados cuestan $ cuestan $ 15 por 15 por metro cuadrado. A
h
B D
2x C AB altura del cilindro h C D diámetro de la semiesfera
= = =
=
= 2x
Construcción de Funciones
Sol.: C (x ) = 15 15((2πx h )
168πx 3 + 450 x
85
4 = . Pasos intermedios: πx 3 + πx 2 h = 15, C (x , h ) = 52 4πx 2 3
+
9. Dos embarcaciones salen de un puerto en direcciones norte y oeste oeste.. La embarcación en dirección al norte va a una velocidad de 40 de 40 km/h km/h y la otra a 30 a 30 km/h. km/h. Describir mediante una función, la distancia que los separa en función del tiempo t . Sol.: d (t ) = 50t 10. (A-S) Se inscribe un triángulo en una circunferencia de radio 14 radio 14 cm., cm., de modo que un lado sea el diámetro de la circunferencia (ver figura). Si un lado es x , hallar una función que dé el área de dicho triángulo. dependiente de x que C
x A
B
1 Sol.: A (x ) = x 784 − x 2 , x ∈ (0,28). 2 puntos A A y B y B está están n situ situad ados os en la lado doss opue opuest stos os de un rí río o rect recto o de 95 m. de anch ancho o 11. (A-S) Los puntos hasta B pasando pasando por cuyas orillas se suponen paralelas. Se desea tender un cable desde A desde A hasta B un punto C punto C (ver (ver figura). Si el costo por metro de cable por tierra es es $US $US 88 y y por agua es un 25% % más. Determinar el costo del cable que se empleará en este tendido en términos de 25 x , donde x es es la distancia de E de E a a C C.. A
95 m
E
x m m
C
B
200 m
Sol.: A (x ) = 10 x 2 + 9025 + 8 (200 − x ) 12. (A-S) Un alambre de 81 de 81 cm. de longitud se corta en dos pedazos. Con una de ellas se construye un cuadrado y con la otra una circunferencia. Determinar la suma de áreas en función del: (a) lado x del cuadrado, (b) radio r de la circunferencia. Hallar también sus
86
dominios.
Construcción de Funciones
− = + = = = − + ± + ∈ − ∞
Sol.:.: (a) A (x ) x 2 Sol
81 4x 2 π , D A A 2π
81 0, ,(b) A (r ) 4
81 − 2πr 4
+ 2
πr 2 , D A A
= 0,
81 . 2π
13. (A-S) Hallar la distancia de un punto x , y de la parábola de ecuación y 2 − 6 y − 4x + 1 = 0 al punto ( punto (5, 5, 2) como una función de x . Muestre gráficos. 2
Sol.: D (x )
(x 5)2
4x 8 , x [ 2, ).
1
punto (−4, 4,66), por este punto pasa una recta de pendiente m . Hallar el 14. (A-S) Considere el punto ( ár área ea del del tri trián ángu gulo lo fo forma rmado do por por esta esta rect rectaa y los ej ejes es coord coorden enad ados os en el se segu gund ndo o cu cuad adra rant ntee en función de m . (4m + 6)2 Sol.: A (m ) = , m ∈ (0, ∞), 2m 15. En un triángulo AB C se se sabe que AB = = 10 10 y y la altura bajada desde el vértice C es es 2 2.. Si x es la distancia del vértice A al al pie de la altura, hallar el ángulo C en términos de x . Sol.: 10 − x f ( x ) = arctan arctan((x /2) /2) + arctan , D f 0,10] . f = [0,10] 2
10 cm. cm. Si la altura del cono 16. (A-S) Se considera un cono inscrito es una esfera de radio 10 es h (mayor (mayor que el radio de la esfera) y el radio de la base es x , determine el volumen del cono en cono en términos de x . Sug. Emplee el siguiente gráfico C
Diámetro=C D = 20 Altura del cono=C O = h Radio del cono= AO = OB = x OD = 20 − h
h
10 A
x
20 − h
O
x
B
D
1 Sol.: V (x ) = πx 2 10 + 100 − x 2 , x ∈ (0,10) 3
= −2x 2 + 4x + 3. Sea ( Sea (a , b ) un punto de la pa17. (A-S) Considere la parábola de ecuación y = rá rábo bola la en el prime primerr cuad cuadra rant ntee dond dondee la re rect ctaa de pend pendie ient ntee m es tang tangen ente te a es esta ta cu curv rva. a. (a (a)) Muestre que m = −4a + 4, (b) Determine el área del triángulo que forma la recta tangente con los ejes coordenados en términos de a . (2a 2 + 3)2 Sol.: A (a ) = − 1,2.5811]] −8a + 8 , a ∈ (1,2.5811 18. (A-S) Se quiere construir un recipiente recipiente cilíndrico metálico metálico con volumen volumen 55 55 cm3. cm3. De De-
terminar el área total de total de esta construcción en términos del radio de la base x para para los
Construcción de Funciones
87
siguientes casos: (a) tapado por ambos lados (b) tapado por uno de los lados.
D
2x C
CD=Diámetro = 2x
Sol.: (a) A (x ) =
110 + 2πx 3 x
, (b) A (x ) =
110 + πx 3 x
.
19. (A-S) Se quie quiere re co cons nstru truir ir una una ti tien enda da de ca camp mpañ añaa de forma forma cónica cónica (c (con ono o re rect ctan angu gula lar) r) co con n 3 capacidad de 4 de 4 m m . Determinar la cantidad de tela tela que que debe emplearse en términos del de la base (suponga que no se requiere tela para la base). Sugerencia: Suponga radio x de que el cono se construye con el sector circular de ángulo θ y radio R que que se muestra en la figura. R h
R
θ
θR
x
El gráfico no está a escala
Sol.: (a) A (x ) =
π2 x 6 144 x 2 .
+
perímetro 78 cm, cm, determinar determinar el área del triángulo en triángulo en 20. (A-S) Un triángulo isósceles tiene perímetro 78 términos de (a) el lado igual, (b) el lado desigual. 39 x y el el lado igual y y el lado desigual, (a) A (x ) = − 312x − 6084 6084,, (b) A ( y ) = Sol.: Sea x el 2 2 y 6084 − 156 y . 4
21. (A-S) Un vidrio rectangular de 112 de 112 cm cm por 176 por 176 cm, cm, se rompe en una esquina, según una recta como se ve en el gráfico, gráfico, (un triángulo rectángu rectángulo lo de catetos 41 y 34 cm.). Con un (x , y ) de la recta se construye un rectángulo. Hallar rectángulo. Hallar en área de dicho rectángulo rectángulo en en punto ( punto términos de x . 1 A (x ) = 34 (−x + 112)(41 x + 4590)
88
y
41
Construcción de Funciones
34
(112,176)
(x , y )
x
22. (A-S) Determinar el volumen de un cono circunscrito cono circunscrito a una semiesfera de radio R = = 69 cm, en términos de su altura h , de modo que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.
h R 69
=
4761πh 3 . Sol.: V (x ) = 3 h 2 − 4761
23. Determinar Determinar el área lateral lateral de un cono circular circular recto, recto, en términos términos de su radio x , que se inscribe en un cono circular recto de radio 1 radio 1 cm cm y altura 3 altura 3 cm. cm. (Sug. El vértice del cono 10x 2 − 18x + 9. inscrito está en el centro de la base del cono dado). Sol.: A (x ) = πx 10
24. (A-S) Una ventana ventana está formada por un rectángulo y una semicircunferencia de radio x . Si el perímetro de la ventana es 9 m, m, hallar hallar el área de la ventana ventana en en función de x .
x
Construcción de Funciones
Sol.: A (x ) =
x (18 4x πx )
− − 2
89
.
25. (A-S) Un rectángulo rectángulo tiene dos vértices en el eje x y y dos vértices en la semicircunferencia 64 2 − x ,sea(x , y ) el terc tercer er punt punto o del del re rect ctán ángu gulo lo en el pr prim imer er cu cuad adra rant ntee de ecuaci ecuación ón y = 9 y sobre la circunferencia. circunferencia. el área del rrectángulo ectángulo en términos de x . 8 64 Determine 64 2 − x , dominio: D A A = 0, 3 . Sol.: Area: A (x ) = 2x 9
26. (A-S) Un rectángulo rectángulo tiene dos vértices en el eje x y y dos vértices en la gráfica de ecuación
y
= +
400 20 − x 2 si 0 ≤ x ≤ 289 17 20 17
x
si
− 20 ≤ x ≤ 0 17
(a (a)) Dete Determi rmine ne el ár área ea del del re rect ctán ángu gulo lo en térmi término noss de x si si (x , y ),esunpuntodelarectacon 20 x , 0 . (b) Tomando 10 puntos, igualmente espaciados, del dominio de la función ∈ − 17 donde aproximadamente se tendría la mayor área y su valor. determine valor.
= + −
20 x Sol.: Area: A (x ) 17 0.99654 en x = −0.47059.
40 x 2 − x − x , dominio: dominio: D A A = 17
−
20 , 0 , área área máxima máxima= = 17
27. (A-S) Un rectángulo rectángulo tiene dos vértices en el eje x y y dos vértices en la gráfica de ecuación
− ≤ ≤ = + − ≤ ≤ ∈ ∈ = − + − − = 81 2 9 x si 0 x 4 2
y
x
9 2
9 2
si
x 0
(a) Determine el área del rectángulo en términos de x si ( si (x , y ), es un punto de la circun 9 ferencia con x 0, . (b) Tomando 10 puntos, igualmente espaciados, del dominio de 2 la función determine donde aproximadamente se tendría la mayor área y su valor. 9 81 2 9 81 2 x x x , dominio: dominio: D A 0, , área área máxima máxima= = Sol.: Area: A (x ) A 2 4 2 4 14.58 en x = 3.6. rectángulo tiene dos vértices en el eje x y y dos vértices en la gráfica de ecuación 28. (A-S) Un rectángulo
+ = − x
y
11 s i 5 2
x 11 5 11 5
− 115 ≤ x ≤ 0
s i 0
11
≤ x ≤
5
90
Construcción de Funciones
(a (a)) Dete Determi rmine ne el ár área ea de dell re rect ctán ángu gulo lo en térmi término noss de x si si (x , y ),esunpuntodelarectacon 11 x ∈ − , 0 . (b) Tomando 10 puntos, igualmente espaciados, del dominio de la función 5 determine donde aproximadamente se tendría la mayor área y su valor. 11 11 11 11 11 − x − + x , domini dominio: o: D A área ea máxi máxi-Sol.: Area: A (x ) = x + A = − , 0 , ár 5 5 5 5 5
ma= 1.9188 en x = −1.1. 29. (A-S) Considere la función: f ( x )
+ = − − x x
3 4
si x ∈ [0,4]
19 (x 7) si x ∈ [4,7] 3
(a) Sea (a , b ) un punto de la gráfica de f con a ∈ ∈ (0,4), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cu cuar arto to vé vérti rtice ce en la re rect cta. a. Dete Determi rmina narr el ár área ea del del re rect ctán ángu gulo lo en térmi término noss de a . (b (b)) Reso Resolv lver er el inciso (a) cuando a ∈ (4,7). 3 12a + 133 a a Sol.: A (a ) (a 4) =− + 4 − 76
9
Res esolu oluci ción ón de tri trián ángu gulo loss
9.1 Introducción
Como se sabe, un triángulo tiene 3 ángulos interiores y 3 lados. Resolver un triángulo significa determinar todos los valores de los tres ángulos interiores y de los tres lados, para este fin se requieren tres datos uno de los cuales debe ser un lado.
Definic Defi nición ión 9.1 (Línea visual horizontal) Si un observador situado en el punto P divisa divisa un objeto que se PQ Q se encuentra en la posición Q , la recta P se llama línea visual. La línea P R se se llamará línea visual horizontal.
l a i s u V e a L í n
P
Q
Línea horiz horizontal ontal
R
Definic Defi nición ión 9.2 (Á (Áng ngul ulo o de depr depresi esión ón y án ángu gulo lo de el elev evac ació ión) n) Son los ángulos que se forman con la línea horizontal. Si la visual se dirige hacia abajo, el ángulo se llamará ángulo de depresión. Si la visual se dirige hacia arriba el ángulo se llamará ángulo de elevación.
112
Resolución de triángulos
ángulo de ele ángulo eleva vació ción n ángulo áng ulo de dep depre resió sión n
9.2 Re Resol soluci ución ón de tri triáng ángulo uloss re rectá ctángu ngulos los En este caso ya tenemos un dato, el ángulo recto, así que sólo requerimos dos datos, de los cuales uno debe ser un lado. Para Para este propósito recordamos las siguientes relaciones. B
β
90◦
α β a
+ = a 2 + b 2 = c 2
c
sen α =
a c
csc α =
cos α = b
sec α = c
tan α =
cot α =
c a
b
α C
A
b
9.2.1. 9.2. 1. Con onoc ocid idos os lo loss do doss la lado doss B
c
a
c
α C
= + a 2
tan α
β
A
b
Otra manera es: c
= + a 2
b 2
= arcsin a c β = 900 − α
α
c a
b 2
a
= b
α
= arctan
β
= 90◦ − α
a
b
b b a
Resolución de triángulos
113
9.2. 2. Cono noci cido doss un la lado do y un áng ngul ulo o 9.2.2. B
tan α =
a b
a b tan α
β a
=
Se conocen dos lados. Lo que falta se encuentra con el anterior resultado
c
α C
A
b
B
tan α = β
a
b
c
a b
= tana α
Se conocen dos lados. Lo que falta se encuentra con el anterior resultado α
C
A
b
Ejemplo 9.1 9.1 (A-S) Para conocer la altura de un edificio hemos medido el ángulo que forma Ejemplo la visual al punto más alto del edificio, obteniendo un ángulo de elevación de α 40◦ . Al acercarnos 89 metros hacia el edificio, obtenemos un nuevo ángulo de elevación β 59◦ . ¿Cuál es
= =
la altura del edificio?
D
α=40◦ A
89 m
B
β=59◦ C
= DC , y == BC y Solución. Observamos que se tienen dos triángulos rectángulos. Definimos x =
114
Resolución de triángulos
d AB , entonces:
=
ACD D : De AC
tan α =
De BC D :
tan β =
x
(1)
d y x
+
(2)
y
de las ecuaciones (1) y (2) se encuentra: y
= y =
por tanto:
x
tan α x
− d
tan β
x
x − d = tan α tan β
de donde:
x
x − = d tan α tan β
despejando x se se encuentra: x
=
d 1
1
tan α
− tan β
tan α tan β = d tan β − tan α
Reemplazando datos se encuentra: 89tan(40◦ )tan(59◦ ) = 150.6195m x = tan(59◦ ) − tan(40◦ ) Por tanto la altura es: 150.6195 m.
Ejer Ejercicios cicios propu propuestos estos 1. (A-S) Desde la pared de un edificio dos pintores observan una camioneta que está estacion cionad ada. a. Uno de los pi pint ntor ores es,, que que está está cerc cercaa de una una vent ventan ana, a, lo obse observa rva ba bajo jo un ángu ángulo lo de de 33◦ , suponga que el auto 22◦ y el otro, que está en la azotea, lo observa bajo un ángulo de 33 está en el mismo plano vertical vertical que ambos observadores observadores y la distancia desde el primer m. (a) Hallar la distancia horizontal que hay desde el auto pintor a la azotea es de 38.6 de 38.6 m. hasta la parte inferior del edificio, (b) hallar también la altura del edificio. 38.6 m
33◦ 22◦
(a) 157.3062 m, m, (b) 102.1558 (b) 102.1558 m. m. Sol.: (a) 157.3062
Resolución de triángulos
115
inclinación 24.4◦ . Un árbol en dicha colina col ina proyecta 2. (A-S) Una colina tiene pendiente de inclinación 24.4 unaa so un somb mbra ra de 69.1 me metr tros os.. Si el ángu ángulo lo de el elev evac ació ión n del del sol sol con re resp spec ecto to de la horiz horizon onta tall 45.5◦ , calcular la altura del árbol. es es 45.5
D
C
45.5◦ A
69.1 m. 24.4◦
B
arbol: 35.4907 m. m. Sol.: Altura del arbol: 35.4907 si 192 metros metros sobre una calle plana. Desde un punto del 3. (A-S) Dos edificios distan entre si 192 suel suelo o en entr tree lo loss ed edifi ificio cioss se mide miden n ángu ángulos los de el elev evac ació ión, n, dand dando o 31◦ y y 30 30◦ . Calc Calcul ular ar la al altu tura ra de los edificios sabiendo que la altura de uno de ellos es dos veces el otro edificio. E D
31◦ 30◦ A
B
192 m
C
Altura edifici edificio o de la izquier izquierda= da= 75.8802 75.8802 m m.,., Altura Altura edificio edificio de la derech derecha= a= 37.9401 37.9401 m. m. Sol.: Altura 4. (A-S) Hallar la altura relativa al punto A en en el triángulo AB C que que se muestra en la figura, ◦ ∠B = 27 , c = 37m. C
H
A
Sol.: Altura =16.7976m.
c 37 m
=
27◦
B
116
Resolución de triángulos
5. (A-S) Hallar la altura relativa al punto B en en el triángulo A BC que se muestra en la figura, ◦ ∠ A = 127 , c = 42m 42m.. C
127◦
A
B
=
c 42 m H
Sol.: Altura =33.5427m. 6. (A-S) Hallar la altura relativa al punto C en en el triángulo A BC que se muestra en la figura, ◦ ∠ A = 98 , b = 52m . C
b 52 m
=
98◦ H A
B
Sol.: Altura =51.4939m,. 7. (A-S) Calcular la base menor de un trapecio rectángulo de base mayor 6.19 m. y de lados no paralelos 3.26m. y 2.73 m., calcular también los ángulos interiores C
D
3.26 m
A
2.73 m
6.19 m
B
interiores: 56.869◦ ,123.131◦ . Sol.: Lado menor=4.4082, ángulos interiores: 8. (A-S) Estando situado a 76 a 76 m m de una antena, veo su parte superior bajo un ángulo de 23 de 23◦ . Mi amigo, que se encuentra en el mismo lado de la antena y en la misma línea recta, ve lo mism mi smo o que que yo ba bajo jo un ángu ángulo lo de 37◦ . (a) (a) ¿A qué qué di dist stan anci ciaa es está tá mi amig amigo o de la ante antena na?, ?, (b (b))
Resolución de triángulos
117
¿cuánto mide la antena?. D
23◦
37◦
A
B
C
76 m
Sol.: Distancia a la antena=42.8106 antena=42.8106m, m, altura de la antena=32.2601 antena=32.2601m. m. 9. (A-S) Una antena de radio está sujeta al suelo mediante dos cables que forman con la β = 56◦ . Si los puntos de sujeción de los cables al suelo y el antena ángulos de α = 53◦ y β m, calcular (a) la pie de la antena se encuentran alineados y a una distancia total de 81 de 81 m, altura de la antena, (b) la longitud de los cables, (c) la distancia de los puntos de sujeción a la antena.
D a n e t n A
53◦
56◦
A
B
C
81 m antena=56.7202m,. m,. Longitud de los cables: cables: 71.0214 71.0214m, m, 68.4169 68.4169m, m, DisSol.: Altura de la antena=56.7202 tancias al pie de la antena: 42.7417 antena: 42.7417m, m, 38.2583m. 38.2583m. río. Para esto se sitúa a la orilla 10. (A-S) Considérese el problema de calcular el ancho de un río. del río al frente de un árbol situado en el otro lado del río. Se mide el ángulo de elevación co con n la part partee supe superi rior or de dell ár árbo boll da dand ndo o un ángu ángulo lo de 56◦ . Se retro retroced cedee perpen perpendic dicula ularmen rmente te a la orilla 18 metros y se vuelve a medir el ángulo de elevación con la parte superior del árbol dando un ángulo 26◦ . Con estos datos calcular el ancho del río. D
26◦ A
18 m
56◦
B
Río C
118
Resolución de triángulos
Sol.: Ancho del río=8.8248m,
de 2.1 m. está colocada sobre un pedestal. El ángulo entre el piso y 11. (A-S) Una estatua de 2.1 la parte más alta de la estatua es de 36 de 36◦ y el ángulo entre el piso y la parte más alta del pedestal pedes tal es de de 18 18 ◦ . Se pide calcular la altura del pedestal y la distancia desde donde se han tomado las medidas correspondientes a los ángulos. D
2.1 m. C
18◦ 18◦
Pedestal
A
B
pedestal=1.6989 1.6989 m,. m,. Distancia al pie del pedestal=5.2288 pedestal=5.2288 m,. m,. Sol.: Altura del pedestal=
9.3 Res Resoluc olución ión de trián triángulos gulos obli oblicuáng cuángulos ulos En general, si en un problema de triángulos se dan como datos dos ángulos y un lado se usa la ley de los senos. Si se dan dos lados y el ángulo comprendido entre estos dos lados se usa la ley de cosenos. Estas leyes las enunciamos y demostramos a continuación.
9.3. 1. Ley de se sen nos 9.3.1.
Teore eorema ma 9.1 En un triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. En la figura se cumple. a
=
sin α
b
=
sin β
c
sin γ
Resolución de triángulos
119
P C
γ
b
a
α
β
A A
C
h 1 b
γ
α B
a
h 2
β
A A
Q
c
B
c
Demostración. En la figura: h 2
En el rectángulo AQC :
sin α =
En el rectángulo BQ C :
sin β =
En el rectángulo C P A :
sin 1800 − γ
En el rectángulo B P A :
sin β = h 1
= sina α
=
De (3) y (4), tomando en cuenta que sin 1800 − γ h 1
de donde:
= h b 1
c
(3) (4)
= b sin α = a sin β
h 2 b sin β
(2)
De (1) y (2) se encuentra de donde:
(1)
b h 2 a
(5)
sin γ se encuentra:
= b sin γ = c sin β c
b
sin β = sin γ
(6)
finalmente de (5) y (6) obtenemos: a
b c = = sin α sin β sin γ
9.3. 2. Le Leyy de co cose seno noss 9.3.2. Teore eorema ma 9.2 En un triángulo un lado cualquiera al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.
120
Resolución de triángulos
Por ejemplo, en el gráfico: b 2
= a 2 + c 2 − 2ac cos β
C γ
C γ
b
b
a
a h
A A
α
β
B
A A
β
c x x c
x
α
−
c
B
Demostración. Del gráfico: En el rectángulo BQ C :
cos β =
x
(1)
a
En el rectángulo BQ C : a 2 = h 2 + x 2
(2)
En el rectángulo AQC : b 2 = h 2 + (c − x )2
(3)
A partir de (3) se encuentra: b 2
= h 2 + c 2 − 2c x + x 2
(4)
De (2) y (4) restando obtenemos: a 2
− b 2 = −c 2 + 2c x
de donde: b 2
= a 2 + c 2 − 2c x
(5)
= a cos β, reemplazando esto en (5) tenemos el resultado pefinalmente de (1) se encuentra x = dido b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β Ejemplo Ejemplo 9.2 9.2 (A-S) Dos aviones de reconocimiento avanzan en un mismo plano. En cierto
punto se separan formando un ángulo de 57.4 de 57.4◦ , luego de cierto tiempo uno de los aviones re7.6 km. km. y el otro 12.2 otro 12.2 km. km. ¿Cuál es la distancia que hay entre los aviones? corre 7.6
C
7.6 57.4 ◦ A
12.2
B
Resolución de triángulos
121
Solución. Aplicando la ley de cosenos B C
= =
AB ( AC )2 + ( AB )2 − 2 ( AC ) ( AB ) cos C AB
7.6))2 (12.2 12.2))2 2 (7.6 7.6)) (12.2 12.2)) cos cos((57.4◦ ) (7.6
+
−
La distancia entre los aviones es: BC=10.3291 Km.
Ejemplo 9.3 9.3 La estatua de Cristo está localizada en la cima de un cerro. cerro. Los ángulos de elevaEjemplo segm gmen ento to ción ción de B aa E , de A aa E yy de A aa D son son respectiva respectivamente mente β 25◦ , α 39◦ y γ 31◦ . Si el se B A mide 141.75 m., halle la altura de la estatua (longitud estatua (longitud de D E ). mide 141.75 m.,
=
=
=
E
D
B
25◦ 39◦ 141.75 m A
31◦ C
Solución. Nótese que el ángulo α = 39◦ es ángulo exterior del B AE , por tanto:
+ =
A E B β
de donde:
A E B
Aplicando la ley de senos en el B AE : :
α
= 39◦ − 25◦ = 14◦
AE
= sen β
B A
sen A E B
141.75 = sen((14◦ ) sen((25◦ ) sen sen AE
141.75sen (25◦ ) = 247.6259. Por otra parte: A E = = sen por tanto: AE sen((14◦ ) A E D 90◦
y
= − = − E AD AD
α
α γ
122
Resolución de triángulos
por tanto: 180◦ − E AD AD − A E D
=
− − − −
A D E
= 180◦ α = 900 + γ
γ
90◦ α
Aplicando la ley de senos en el AD E : : D E
AE
AD sen E AD
sen A D E
D E
AE
sen α γ
sen 900 γ
= − = +
de donde: AE sen α γ
− 247.6259sen((39◦ − 31◦ ) 247.6259sen = 40.2055. D E = = = sen 0 sen((90 31 ) ◦+ ◦ sen 90 + γ
Luego la altura de la estatua es: 40.2055 m.
Ejer Ejercicios cicios propu propuestos estos 1. (A-S) (i) Resolver el triángulo A BC que se muestra en la figura, (ii) hallar la altura relativa al punto A (iii) hallar las coordenadas del extremo de la altura sobre C B , sabiendo que A tiene coordenadas (0,0) coordenadas (0,0),, ∠ A = 78◦ , ∠B = 43◦ , c = 42 42m. m. C
H
∠ A
= 78◦, A
B , ∠B c 42 m
=
= 43◦
= 59◦,(ii)Altura= Sol.: (i) a = 47.9279 47.9279m., m., b = 33.417 33.417m., m., ∠C = ,(ii)Altura=28.6439 28.6439m., m., (ii (iii) i) (19.5351,20.9488). (19.5351,20.9488). 2. (A-S) (i) Resolver el triángulo A BC que se muestra en la figura, (ii) hallar la altura relativa al punto B (iii) hallar las coordenadas del extremo de la altura sobre AC , sabiendo que A
Resolución de triángulos
123
= 39◦, c = 44 44m. m. tiene coordenadas (0,0), ∠ A = 23◦ , ∠C = = 39◦ =
C , ∠C
H
∠ A
= 23◦, A
B
c 44 m
=
Sol.: (i) a = 27.3186 27.3186m., m., b = 61.7328 61.7328m., m., ∠B = 118◦ ,(ii)Altura= ,(ii)Altura=17.1922 17.1922m., m., (ii (iii) i) (37.2825,15.8255). (37.2825,15.8255). A BC que se muestra en la figura, (ii) hallar la altura relativa 3. (A-S) (i) Resolver el triángulo ABC al punto C (iii) hallar las coordenadas del extremo de la altura sobre AB , sabiendo que A tiene coordenadas (0,0) coordenadas (0,0),, ∠ A = 74◦ , b = 53 53 m, m, c = 27 27m. m. C b 53 m
=
∠ A
= 74◦, A H c = 27 m
B
= 29.67◦, (ii) Altura =50.9469 Sol.: (i) a = 52.4321 52.4321m., m., ∠B = 76.33◦, ∠C = =50.9469m., m., (iii) (14.6088,0) (iii) (14.6088,0).. = 79, ∠B = 43, C B = 99: 4. (A-S) Resolver el siguiente triángulo. triángulo. ∠C = C
79◦ 99 m
43◦ A
B
= 114.5938, AC = = 79.6156. Sol.: ∠ A = 58, A B = quiere re dete determi rmina narr la di dist stan anci ciaa en entr tree dos dos ca casa sass A y y B , la mism mismaa no pued puedee hace hacers rsee 5. (A-S) Se quie directamente por motivos de accesibilidad. Del punto de observación P , el ángulo entre
124
Resolución de triángulos
las dos casas y éste es de ∠ AP B = = 107o . La distancia del punto de observación a la casa A es 45 m. y a la casa B es 31 m. ¿Qué distancia hay entre entre las dos casas?
B
31 107◦
P
45
A
Sol.: La distancia que separa las casas es: 61.6581 m. 6. (A-S) Lo Loss lado ladoss de un para parale lelo logr gram amo o son son 17 y 41 cm., cm., uno uno de su suss ángu ángulo loss in inte teri rior ores es es 71o , (a) determinar la longitud de las diagonales, (b) calcular el área del paralelogramo., A
41 71◦ P 17 B (a) D 1 = 38.9379, cm. D 2 = 49.2325 49.2325,, cm. (b) área área= = 659.0264 659.0264 cm.2 . C . 7. (A-S) Considere una línea horizontal L , en esta línea se encuentran los puntos A , B y C A partir de C se traza una vertical a L , en esta esta ve vert rtic ical al se toma toman n los los punt puntos os D y y E , se tien tienen en además los siguientes datos: ∠E AB = = 13o , ∠E BC = = 59o , ∠D BC = = 38o la distancia entre A metros. Calcular la distancia entre D y y E E . (Sug. Emplee ley de senos) y B B es 142 es 142 metros.
Escala 2:1 Escala
E
D
A
Sol.: 20.1948
59◦38◦
13◦ 142 m
B
C
Resolución de triángulos
125
= 76.5 76.5 metros metros de alto se divisa el punto más 8. (A-S) Desde la azotea de un edificio de h = alto alto de un ra rasc scac acie ielo los, s, se mide mide el ángu ángulo lo de el elev evac ació ión n y da α = 78◦ . Si se obse observ rvaa el mism mismo o punto desde el nivel de la calle el ángulo de elevación es β = 80◦ . Calcular a ) la distancia de la azotea al punto punto más alto del del rascacielos, longitud de C D b ) la distancia entre la base del del edificio y el punto más alto del rascacielos, longitud de B D . c ) la altura del rascacielos, longitud de AD A D d ) la distancia entre entre el edificio y el rascacielos, longitud de A AB B D
Escala 2:1 78◦C 76.5 m 80◦
A
B
(a) 380.6383 m, (b) (b) 455.7442, 455.7442, m (c) 448.8205 (c) 448.8205 m, (d (d)) 79.1392 m. 79.1392 m. (Sug. podría aplicar Sol.: (a) 380.6383 la ley de senos en el triángulo DBC 9. (A-S) Se desea construir un túnel a través de una montaña que va desde el punto A hasta el punto B . Un punto C se se visualiza desde A y y B . Si BC es 27 Km, AC es es 25 Km y el ángulo ◦ que forman es 68 cuál es la longitud del túnel?. Sol.: Longitud del túnel = 29.1253 Km. 10. (A-S) Para evitar una tormenta, un barco modifica su rumbo original en 65.19 en 65.19◦ , después Km.,., nuev nuevam amen ente te re reto toma ma la di dire recc cción ión de su dest destin ino o origin original al.. Si su dest destin ino o de navega navegarr 6.48 Km quedaba a 9.22 a 9.22 km. km. en el momento en que cambia su rumbo, (a) Calcular la distancia que debe recorrer para llegar a su destino, (b) cuántos grados debe girar para corregir su rumbo. C
6.48 Km.
A
65.19◦ 9.22 Km.
B
recorrer=8.7669 Km., Km., (b) ángulo a girar =72.6717 =72.6717◦ . Sol.: (a) Distancia a recorrer=8.7669
126
Resolución de triángulos
11. (A-S) Dos estaciones de auxilio se encuentran en los puntos A y y B B , la distancia entre las estaciones es 22 es 22 Km. Km. Un barco que se encuentra en el punto C pide pide ayuda, si los ángulos ◦ ◦ 70 . Determinar la distancia a la que se encuenCAB y CBA miden respectivamente 72 respectivamente 72 y 70 tra el barco de cada estación. =33.5789 Km Km.,., distancia distancia CB =33.985 33.985 Km., Km., Sol.: Distancia CA =33.5789 12. (A-S) Dos barcos parten de un puerto en línea recta y rumbos distintos formando un ángulo de 100 de 100◦ . El primero sale a las 6 las 6 : 00 am. 00 am. con una velocidad de 33 de 33 Km. Km. por hora, el 00 am. am. con una velocidad de 40 de 40 Km. Km. por hora. ¿A qué distancia se segundo sale a las 6 las 6 : 00 encuentran entre si a las 1 las 155 : 00 pm?.
C
40 Km/h.
100◦ A
33 Km/h.
B
Sol.: Distancia =504.9177 =504.9177 Km. Km. B , la distancia entre ellas es 33 Km. y B 13. (A-S) Dos receptores se encuentran en los puntos A y Una emisora clandestina se encuentra en el punto C , cada receptor orienta su antena hacia donde está la emisora y el cálculo de los ángulos C AB y y C B A dan dan respectivamente ◦ ◦ 78 y 41 . Determinar la distancia entre cada receptor con la emisora.. Sol.: Distancia CA =24.7536 =24.7536 Km., distancia CB =36.9062 Km.,
14. (A-S) Considérense cuatro puntos A , B , C y y D D Supóngase Supóngase que no se pueden acceder a los
= 35◦, ángulo = 24◦, B . Al tomar medidas se encuentran ángulo BC D = AC D = puntos A y B ángulo ACD ◦ ◦ ángulo A DC = = 40 , ángulo B DC = = 28 y la distancia de C hasta hasta D es es 367 metros. Hallar la distancia entre A y y B B . metros. Sol.: Distancia pedida=81.4796 metros. 15. (A-S) Considérense tres puntos A , B y P P . Supóngase que no se puede acceder al punto P ,,.. Al tomar medidas se encuentran ángulo AB P = = 69.9◦ ángulo B AP == 60.4◦ y la distancia P . de A hasta hasta B es es 59.7 metros. Hallar la distancia entre A y y P Sol.: Distancia pedida=73.5102 metros. metros. 16. (A-S) Un helicóptero vuela a una altura de 5550 metros sobre una montaña de 2658.3987 metr me tros os de al altu tura ra.. Desd Desdee el pi pico co de esta esta mont montañ añaa se di divi visa sa el pi pico co de una una se segu gund ndaa mont montañ añaa que es más alta que la primera. Desde el helicóptero el ángulo de depresión al segundo pico es α = 24.0176◦ y desde el primer pico el ángulo de elevación al segundo pico es
Resolución de triángulos
127
= 33.9897◦. (a) Calcular la distancia entre cimas. (b) Calcular la altura de la segunda
β
montaña. (Ver figura)
α
= 24.0176◦
β
= 33.9897◦
5550 m.
2658.3987 m. a l t u r a 0 m.
Sol.: (a) Distancia entre cimas=5977.3572 metros.(b) Altura de la segunda montaña=6000 metros. y B B de de dos colinas. coli nas. Calcular la longitud 17. (A-S) Se quiere instalar un cable entre los picos A y ◦ ACB B = = 19 , ∠BC D = 40◦, ∠B D A = 20◦, ∠ AD C = = A B si de AB si se tienen los siguientes datos: ∠ AC ◦ 53 , C D = 6250 6250 metros. metros. A
C
6250 m.
B
D
= 2245.0019 metros. metros. Sol.: Distancia entre picos = 2245.0019 18. (A-S) Un aventurero aventurero debe caminar en línea recta empezando en A y y pasando por R , inicia la caminata en dirección sur - oeste 55 oeste 55◦ . Por seguridad sabe que llegando al punto B metros ros llegand llegando o al punto punto Q , a part partir ir de es este te debee camina deb caminarr en direcc dirección ión 28◦ norte-este 710 met punto debe volver a la ruta original, para esto ahora camina en dirección sur-oeste 17◦ . (a) Calcular la distancia Q R , (b) a partir de R ¿que ángulo debe girar para continuar su
128
Resolución de triángulos
camino? Q
17◦ 710 m
A
55◦
28◦ B R
Sol.: (a) Distancias de Q aa R : 740.9736 740.9736 metros.(b) metros.(b) Ángulo: 108 Ángulo: 108◦ . B y 19. (A-S) Berta y Carlos monta ena altura los puntos y C . En cierto instante observan metros. La distancia entre Berta simultánea simult áneamente mente unestán aviónuna quemontaña vuela vuela ña a una un altu ra de 712 de 712 metros.
y Carlos es es 134 134 m, m, el ángulo de elevación de B al avión es 21 es 21 ◦ y el ángulo que forma la visualdeBalaviónconlarectaqueuneByCesde 65◦ . Hal alla larr la lass di dist stan anci cias as de los los punt puntos os B y C con el avión.
D
712 m C A
21◦ 65◦ 134 m B
Sol.: Distancia BD= 1986.7848 BD= 1986.7848 m m.,., Distancia Distancia CD= 1933.9709 CD= 1933.9709 m., m.,
188
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La hipérbola
