PRESSOFLESSIONE DEVIATA
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PRESSOFLESSIONE DEVIATA In uenza della geometria della sezione sulla forma del dominio d'interazione...
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Indice 1 Introduzione
1
2 Presso essione
3
2.1
2.2
2.3
Sforzo normale eccentrico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Presso essione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Piccola e grande eccentricità
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Presso essione in sezioni realizzate con materiali non resistenti a trazione
. . . .
6
2.2.1
Sezione rettangolare soggetta a presso essione retta
. . . . . . . . . . . .
7
2.2.2
Sezioni di forma arbitraria e presso essione deviata . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3.1
Presso essione per sezioni in CA
Analisi non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.2
Presso essione deviata e domini di resistenza
12
. . . . . . . . . . . . . . . .
3 Metodi risolutivi approssimati
15
3.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Load Contour Method (LC), Bresler (1960)
15
3.3
Altri metodi basati sul metodo LC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
Metodo proposto da Parme per la PCA (1966)
3.3.2
Metodo proposto da Hsu (1988)
3.3.3
Australian Standard AS3600 (1988)
3.3.4
Metodo proposto da Bajaj e Mendis (2005)
17
. . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4
Reciprocal Load Method (RL), Bresler (1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.5
Approssimazione bilineare della curva limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.5.1
22
3.6
Egyptian code of practice EPC-203 (2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lo studio delle sezioni ad L
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Riferimenti normativi
25
27
4.1
Il Decreto Ministeriale 14.01.2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2
L'Eurocodice 2 e l'Eurocodice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5 Analisi non lineare agli elementi niti
31
5.1
Introduzione all'analisi a bre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Algoritmo utilizzato
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1
Ipotesi e impostazione dell'algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2.2
Discretizzazione della sezione in elementi niti
. . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2.3
Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.2.4
Criteri di convergenza e tecniche di iterazione . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2.5
Costruzione del dominio di resistenza
38
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Analisi delle sezioni 6.1
6.2
6.3
39
Sezione quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.1.1
Caratteristiche della sezione, dei materiali e della sollecitazione . . . . . .
40
6.1.2
Calcolo secondo NTC
41
6.1.3
Calcolo mediante algoritmo agli elementi niti
Sezione rettangolare
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2.1
Caratteristiche della sezione, dei materiali e della sollecitazione . . . . . .
48
6.2.2
Calcolo secondo NTC
49
6.2.3
Calcolo mediante algoritmo agli elementi niti
Sezione ad L
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 54
6.3.1
Considerazioni sulla geometria
6.3.2
Caratteristiche della sezione, dei materiali e della sollecitazione . . . . . .
55
6.3.3
Calcolo secondo NTC
56
6.3.4
Calcolo mediante algoritmo agli elementi niti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Conclusioni
. . . . . . . . . . . . . . .
55
61
67
ii
Elenco delle gure 2.1
Cilindro di De Saint-Venant; Sforzo normale eccentrico [17]. . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Sezione soggetta a presso essione [17].
4
2.3
Variazione dello stato tensionale [17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Sezione parzializzata [17].
7
2.5
Sezione rettangolare parzializzata [17]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6
Analisi non lineare, dominio di resistenza per presso essione deviata [2]. . . . . .
13
3.1
Dominio d'interazione tridimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Forma del dominio di interazione al variare dell'esponente
[1]. . . . . . . . . . .
17
3.3
Reciprocal load method; Super ci limite [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.4
Approssimazione bilineare della curva limite [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.5
EPC-203; Metodo di approssimazione della curva di interazione [11].
23
3.6
EPC-203; Curve di interazione per dierenti livelli di carico. . . . . . . . . . . . .
3.7
EPC-203; Valori di
5.1
De nizione della poligonale di contorno alla sezione [4].
5.2
Matrice delle proprietà geometriche e meccaniche [4]. . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.3
Diagramma di usso schematico dell'algoritmo [4].
36
5.4
Regula falsi con approccio secante [4].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.5
Posizioni limite (a) e (b) dell'asse neutro [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.1
Sezione quadrata; Geometria della sezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.2
Sezione quadrata; Livelli di armature.
40
6.3
Sezione quadrata; Condizione di rottura bilanciata. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Sezione quadrata; Momento
6.5
Sezione quadrata; Curve limite per
6.6
Sezione quadrata; Curve limite per
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.7
Sezione rettangolare; Geometria della sezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.8
Sezione rettangolare; Condizione di rottura bilanciata. . . . . . . . . . . . . . . .
6.9
Sezione rettangolare; Momento
β
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
per livelli di carico dierenti.
MRd,x .
6.10 Sezione rettangolare; Momento
α
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
α = 1.4. α = 1.5.
MRd,x . MRd,y .
6.11 Sezione rettangolare; Curve limite per
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MRd,x− .
Mx + .
33
43 44 46
50 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
α = 1.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14 Sezione a L; Rottura bilanciata per momento 6.15 Sezione a L; Momento
24 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.12 Sezione a L; Geometria della sezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Sezione a L; Armature per
16
Mx− .
54 55 56
. . . . . . . . . . . . . . . . .
58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.16 Sezione a L; Curve limite per 6.17 Sezione a L; Curve limite per
α = 1.5. α = 2. .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
iv
Capitolo 1
Introduzione Scopo di questo lavoro è l'analisi di un problema particolarmente sentito nell'ambito progettuale in seguito all'entrata in vigore della nuova normativa tecnica per le costruzioni DM 14/01/2008, ovvero le metodologie di analisi di una sezione in calcestruzzo armato soggetta a presso essione deviata. La nuova legislazione prevede per la prima volta la necessità di eettuare tale tipo di veri che, rimanendo però piuttosto vaga circa la metodologia di analisi della sezione; in particolare viene assolutamente trascurata la problematica relativa alla forma geometrica della stessa. Tale problematica, come avrò modo di esporre in questa breve trattazione, risulta di importanza fondamentale per de nire i limiti di applicazione delle varie teorie di analisi proposte in letteratura ed in particolare proprio del metodo adottato dalla norma. Pertanto, dopo una breve introduzione teorica al problema della presso essione deviata in un materiale non omogeneo come il CA, ho deciso di esporre un concisa ma su cientemente esaustiva panoramica delle principali teorie volte all'analisi sempli cata del problema, parte delle quali riprese poi da diverse normative nazionali e internazionali, al ne di consentire una più critica lettura delle disposizioni previste dalla norma italiana ed europea, anch'esse in seguito riportate. Nel capitolo nale si aronta per completezza il problema pratico della determinazione del dominio di resistenza di alcune sezioni, del quale per ciascun caso sono stati messi a confronto i risultati ottenuti mediante il metodo sempli cato e il metodo, più preciso, dell'analisi a bre. Tutto ciò al ne di conseguire una maggiore sensibilità pratica riguardo al livello di approssimazione raggiungibile mediante i metodi sempli cati proposti in ambito normativo e meglio realizzare i reali limiti di tali metodi in particolare per quanto riguarda, come anticipato, sezioni di geometria non elementare ma pur sempre comune in ambito applicativo.
1
2
Capitolo 2
Presso essione 2.1 Sforzo normale eccentrico Lo sforzo normale eccentrico può essere studiato come combinazione di due casi elementari della teoria di De Saint-Venant: lo sforzo normale e la essione retta. Nella sollecitazione di sforzo normale eccentrico il cilindro di De Saint-Venant è soggetto sulle basi a due forze uguali ed opposte
z
N
e
−N ,
aventi retta d'applicazione parallela all'asse
e da questo distinta[17]. Il punto di intersezione tra la retta d'azione di
generica sezione trasversale si chiama centro di sollecitazione di tenso essione nel caso in cui
N
e
−N
C,
N
con il piano della
e si parla più precisamente
abbiano i versi concordi con le normali uscenti e
presso essione nel caso opposto.
Figura 2.1: Cilindro di De Saint-Venant; Sforzo normale eccentrico [17].
Tale sollecitazione si può pensare appunto come la sovrapposizione di uno sforzo normale
N
e di una essione semplice il cui asse di sollecitazione è la retta
GC ;
il momento è pari a:
M =N ·e con
e = |GC|
eccentricità di
N
rispetto a
G.
Osservando la sezione soggetta a tale sollecitazione è possibile individuare alcune rette caratteristiche, tracce di altrettanti piani:
La retta
s,
traccia del piano di sollecitazione cui appartiene il segmento
al vettore momento
L'asse neutro
L'asse
f,
n0
GC
e ortogonale
M;
della essione, retta coniugata a
s;
traccia del piano di essione e ortogonale all'asse neutro
deformata dell'asse;
3
n0 e
che contiene la
n,
L'asse
asse neutro della presso essione, parallelo all'asse
sollecitazione
C
n0
e legato al centro di
dalla relazione di antipolarità d'inerzia.
Si ricorda, dall'analisi del caso di essione di De Saint-Venant, che l'asse neutro è per de nizione la traccia sulle sezioni di estremità del piano contenente le bre a tensione nulla, presente in quanto, sempre da tale trattazione, è possibile dedurre che l'andamento delle tensioni è di tipo lineare. La relazione di ortogonalità tra l'asse neutro della essione
n0
studio delle deformazioni, mentre il parallelismo tra l'asse neutro
e l'asse
n0
f
si può ricavare dallo
e l'asse
n
è dovuto al fatto
che le tensioni proprie del caso di sforzo normale sono costanti. Ancora, per retta coniugata, si fa riferimento alla condizione di coniugio tra diametri, la relazione associata all'ellisse d'inerzia che stabilisce un legame tra rette passanti per il baricentro
G
della sezione:
tan α · tan β = − Dove
ρξ
e
ρη
sono i raggi d'inerzia della sezione,
ρ2ξ ρ2η
α
e
β
gli angoli d'inclinazione delle due
rette.
C baricentro delle forze elementari, date dal prodA, esso è quindi baricentro dei momenti statici
In ne, essendo il centro di sollecitazione dotto della tensione delle aree
dA
σ3
per l'area in nitesima
rispetto all'asse neutro[2].
Pertanto, sempre associata all'ellisse d'inerzia, vale la relazione di antipolarità d'inerzia tra l'asse neutro di
C
n
e il punto
C . Questo comporta che il primo si trovi sempre dalla G e può essere interno o esterno alla sezione [17].
parte opposta
rispetto al baricentro
Figura 2.2: Sezione soggetta a presso essione [17].
Se ora si fanno coincidere i due assi con gli assi ortogonali
n0
e
f
x1
e
x2
di un sistema di riferimento rispettivamente
è possibile calcolare il valore delle tensioni normali, le uniche non
nulle, sovrapponendo gli eetti dei due casi elementari noti, la essione retta e lo sforzo normale centrato. Si ottiene così la seguente espressione per le tensioni:
σ3 = Dove per
M1
N M 1 · x2 + A I1
si intende la componente di
M
4
lungo
x1
data da
M1 = N · e · cos β .
Ricordando poi la de nizione di raggio d'inerzia:
ρ=
p I/A
è possibile passare alla forma
equivalente
σ3 =
N A
1+
e ρ2
Annullando la prima delle due equazioni si ottiene la retta completa e parallela all'asse
n, asse neutro della sollecitazione
x1 .
2.1.1 Presso essione deviata Considerando
ξ
e
η,
assi principali della sezione, se il centro di sollecitazione
C
giace su uno di
questi la essione dovuta alla coppia di trasporto è retta, viceversa essa è deviata. Nel caso di sforzo normale e essione retta, essendo l'asse il suo coniugato
n0
s coincidente con un asse principale,
risulta essergli ortogonale, mentre nel caso di presso essione deviata viene
meno questa relazione e quindi l'asse di sollecitazione
s
e l'asse neutro
n0
non sono più tra loro
ortogonali. Lo stato tensionale può comunque esprimersi mediante il principio di sovrapposizione degli eetti, detto
ψ
l'angolo che il vettore del momento
M
forma con l'asse principale
ξ
è possibile
scrivere:
σ=
Dove chiaramente
Mη
ed
Mξ
Mξ · η Mη · ξ N + − A Iξ Iη
sono le componenti del vettore momento lungo i due assi:
Mξ = N · e · cos ψ
Mη = N · e · sin ψ
la essione deviata viene cioè decomposta in due essioni rette [17].
2.1.2 Piccola e grande eccentricità Per quanto già detto risulta evidente il ruolo assunto dall'ellisse centrale d'inerzia nell'analisi di una sezione soggetta a sforzo normale e essione.
In particolar modo il nocciolo centrale
d'inerzia è importante per la determinazione dell'andamento delle tensioni. Esso è per de nizione il luogo degli antipoli delle rette tangenti il contorno della sezione, pertanto, in virtù della relazione di antipolarità tra il centro di pressione
C
e l'asse neutro
quando il primo si trova in corrispondenza del nocciolo il secondo sarà tangente il contorno.
5
n,
Figura 2.3: Variazione dello stato tensionale [17].
De niti
λ0
e
λ00
i raggi di nocciolo nella direzione dell'asse di sollecitazione
s
e con
S
e
R
i
punti di intersezione di questo con il nocciolo stesso, in gura è possibile osservare la variazione dello stato tensionale nell'ipotesi che il centro di sollecitazione si sposti lungo la semiretta diretta dal baricentro
G
al punto
S.
Si osservi come tra i vari casi
a)....e)
si passi da situazioni con tensioni aventi segno omo-
geneo a condizioni in cui il diagramma delle tensioni assume segni discordi. Al ne dell'analisi successiva, per solidi non resistenti a trazione, il passaggio da una condizione all'altra risulta essere fondamentale e il caso limite tazione
C
c),
che le separa, è proprio quello per cui il centro di solleci-
si trova esattamente in corrispondenza del nocciolo: nei casi precedenti, caretterizzati
da tensioni di segno omogeneo, si è in presenza di piccola eccentricità, viceversa ci si trova nella situazione detta di grande eccentricità.
2.2 Presso essione in sezioni realizzate con materiali non resistenti a trazione Queste relazioni rimangono generalmente valide ntanto che si considerano solidi omogenei ed isotropi.
Materiali di questo tipo, in grado di resistere e cacemente a sollecitazioni che
comportino diagrammi delle tensioni normali di segno alternato, sono ampiamente utilizzati nella pratica. Tuttavia uno dei materiali più utilizzati nel campo delle costruzioni, il calcestruzzo armato, è un materiale non omogeneo ed in particolare dei due materiali che lo compongono, il calcestruzzo, che rappresenta gran parte dell'area della sezione, rientra nella categoria dei materiali cosiddetti non resistenti a trazione, in quanto la loro capacità di sopportare tensioni di tale tipo risulta così ridotta che nella pratica viene trascurata. Per materiali di questo tipo la trattazione precedentemente eettuata rimane valida solo se l'intera sezione è sollecitata da tensioni di compressione, ovvero se il centro di sollecitazione rimane all'interno del nocciolo centrale d'inerzia dell'intera sezione. Nel caso in cui invece il centro di pressione risulti esterno al nocciolo d'inerzia, solo una parte della sezione è caratterizzata da tensioni di compressione, mentre la restante porzione è interessata da tensioni di segno opposto, incompatibili con le caratteristiche di resistenza del materiale.
6
In questo caso il centro di pressione
C
e l'asse neutro
n
non sono tra loro legati come
polo e retta antipolare rispetto all'ellisse centrale d'inerzia di tutta la sezione, proprio in quanto quest'ultima non è tutta reagente, sono invece legati da una corrispondenza analoga ma rispetto all'ellisse centrale della sola porzione di sezione reagente e in questa condizione l'asse neutro è anche detto retta separatrice [17]. Conseguenza di ciò è che la posizione dell'asse neutro non è nota in quanto non è nota a priori la porzione di sezione reagente di cui si dovrebbe considerare l'ellisse centrale d'inerzia.
Figura 2.4: Sezione parzializzata [17].
Perciò, supponendo che
C
sia dato e si sia individuata la giacitura della retta
n,
essendo
Ar
l'area della porzione di sezione reagente, la relazione di antipolarità comporta che la distanza
d
di
C
da
n
sia esprimibile mediante la seguente espressione [17]:
(r)
d=
In
(r)
Sn Essendo
C
per de nizione il baricentro del momento statico dell'area
Ar
rispetto alla retta
n. Naturalmente se
d
è misurata ortogonalmente alla direzione di
anche per valutare i momenti
(r)
In
e
(r)
Sn
, se si fosse misurata
d
n,
tale direzione è utilizzata
secondo una qualsiasi altra
direzione la relazione sarebbe rimasta comunque valida a patto di considerare ovviamente i momenti nella direzione prescelta. Nella gura, a anco della sezione, è riportato il diagramma delle tensioni, nulle in corrispondenza di
n
e pari a
N/Ar
in corrispondenza del baricentro
G
della porzione di sezione
reagente.
2.2.1 Sezione rettangolare soggetta a presso essione retta Il caso più comune che si può incontrare è quello di una sezione rettangolare sottoposta ad una sollecitazione normale il cui centro di sollecitazione
C
risulti esterno al nocciolo centrale
d'inerzia e giacente su una delle mediane, assi di simmetria della sezione. In questo caso è necessario innanzitutto osservare che la direzione dell'asse neutro
n
risulta
nota a priori, essendo ortogonale alla mediana su cui giace il centro di pressione in quanto la sezione parzializzata risulta comunque di forma rettangolare come la sezione completa e quindi sempre simmetrica. Il centro di pressione deve inoltre corrispondere ad uno dei vertici del nocciolo centrale d'inerzia della sezione parzializzata, valendo la relazione di antipolarità, ed essendo l'asse neutro coincidente con un lato della sezione parzializzata.
7
Figura 2.5: Sezione rettangolare parzializzata [17].
De nita come la posizione di
n
u
la distanza di
C
dal lembo compresso è pertanto possibile individuare
sapendo che questo deve trovarsi ad una distanza pari ad
3u
dallo stesso
riferimento. Il diagramma delle tensioni si annulla in corrispondenza dell'asse neutro e raggiunge la tensione media al livello del baricentroGr della sezione reagente
σm =
Ar :
N N = Ar 3·b·u
mentre la tensione massima vale:
σmax =
2·N 3·b·u
C si avvicina al lembo superiore della sezione, facendo tendere u a zero, la sezione reagente si riduce no a scomparire, il che signi ca che l'equilibrio non è
Quando il centro di pressione cioè
più possibile, essendo la sezione incapace di sviluppare una azione resistente. Nel caso di solidi non reagenti a trazione l'equilibrio è quindi possibile solo ntanto che il centro di pressione è interno al contorno della sezione.
2.2.2 Sezioni di forma arbitraria e presso essione deviata La determinazione della retta separatrice per sezioni di forma arbitraria, prive di assi di simmetria o semplicemente per sezioni soggette ad uno sforzo normale eccentrico applicato in un punto qualsiasi interno al contorno, è un'operazione sempre di cile in quanto non è nota a priori la direzione della retta ricercata. Un metodo possibile di analisi è procedere per tentativi attribuendo inizialmente una direzione arbitraria.
In questo modo si ottiene una prima possibile area resistente
veri ca che il baricentro dei momenti statici di
Ar
Ar ,
coincida col centro di pressione
quindi si
C,
se ciò
non avviene è necessario eettuare una correzione nella direzione inizialmente scelta e ripetere il procedimento. Per ridurre il numero di tentativi necessari è possibile adottare il metodo cosiddetto della
curva di errore [17].
8
2.3 Presso essione per sezioni in CA Prima di esporre le metodologie di analisi per una sezione in calcestruzzo armato soggetta a sforzo normale eccentrico è necessario eettuare alcuni brevi richiami riguardo la cosiddetta
teoria del calcestruzzo armato. Senza dilungarsi troppo sull'argomento è su ciente ricordare che il calcestruzzo armato è appunto un materiale non omogeneo, la sua analisi viene quindi convenzionalmente arontata sfruttando il concetto di omogeneizzazione delle porzioni di area della sezione costituite dai materiali di armatura, generalmente le barre di acciaio. Per sfruttare questo concetto è necessario adottare però due ipotesi fondamentali: la perfetta aderenza tra le barre di armatura ed il calcestruzzo e la conservazione delle sezioni piane. La prima ipotesi presuppone che i materiali subiscano la stessa deformazione
ε
nei punti di
contatto, come spesso accade quest'ipotesi non rispecchia esattamente quanto avviene in realtà [2] tuttavia viene comunque utilizzata. La seconda è un'ipotesi classica della Scienza delle Costruzioni ed implica che tutti i punti della sezione, a seguito della deformazione, appartengano comunque ad un piano nello spazio
x, y , ε
e che pertanto la deformazione di ogni punto si possa esprimere mediante una relazione
lineare:
ε = ε0 +
∂ε ∂ε ·x+ ·y ∂x ∂y
Con l'ipotesi di perfetta aderenza risulta quindi determinata per ogni punto della sezione la deformazione corrispondente, sia che si tratti di un elemento di calcestruzzo che di acciaio e pertanto conoscendo il legame costitutivo la tensione normale
My
e
N
σ3
σ−ε del materiale sarà possibile calcolarne univocamente Mx ,
e quindi per integrazione ottenere le caratteristiche di sollecitazione
nella sezione.
A questo punto è utile ricordare che, assunto come già detto il calcestruzzo come materiale non resistente a trazione, è possibile fare riferimento a due dierenti livelli di analisi: i cosiddetti secondo stadio e terzo stadio in riferimento al livello di carico cui la sezione in calcestruzzo è sottoposta (per il primo stadio il materiale si può considerare come resistente anche a trazione)[2]. Nel secondo stadio, adottato dal metodo di analisi denominato delle tensioni ammissibili, ed ancora utilizzato per le veri che agli stati limite di esercizio, il diagramma delle tensioni si assume essere lineare, ovvero si considera elastico lineare il comportamento del calcestruzzo compresso.
Questa situazione ri ette bene il comportamento del materiale solo no a valori
pari a circa il
40%
della sua resistenza a compressione [2].
Nel terzo stadio, utilizzato per le veri che allo stato limite ultimo, è necessario tener conto dell'andamento non lineare del legame
σ − ε.
Naturalmente per il legame sforzo-deformazione non lineare si adottano modelli sempli cati che rappresentano più o meno accuratamente i risultati ottenuti sperimentalmente per i vari materiali. Alcuni di questi modelli sono il modello stress-block ed il modello parabola-rettangolo per il calcestruzzo e il modello elastico-plastico inde nito per l'acciaio. Una trattazione esaustiva a riguardo esula in parte dagli scopi di questo lavoro e pertanto viene tralasciata. Per nire, l'ultimo ostacolo rimasto per l'applicazione del modello precedentemente introdotto è la non omogeneità della sezione, costituita da due materiali con caratteristiche di elasticità profondamente dierenti, ma con le ipotesi sopra presentate è possibile ovviare al problema. Ipotizzando che due elementi a contatto, l'uno di calcestruzzo e l'altro di acciaio, subiscano la stessa deformazione, le tensioni nei due elementi saranno dierenti, in particolare se:
σc = Ec · ε σs = E s · ε sarà possibile esprimere
σs
anche come:
σs =
Es · σc = n · σc Ec
9
Pertanto se il contributo di ciascun elemento di area allo sforzo sarà
σc · dAc
e
σs · dAs
in
particolare quello dell'area di acciaio potrà essere scritto come:
σs · dAs = σc · n · dA Si conclude quindi che è possibile considerare le aree di acciaio come aree equivalenti di calcestruzzo adeguatamente proporzionate mediante il coe ciente
zione, il cui valore viene generalmente posto pari a
n
o coe ciente di omogeneizza-
15.
La sezione così composta viene detta sezione reagente omogeneizzata o semplicemente se-
zione reagente [2]. Si noti però che, per coerenza con le convenzioni generalmente adottate, nell'eettuare le veri che è necessario tener conto che lo sforzo normale è una forza assiale da intendersi applicata nel baricentro della sezione geometrica, e non nel baricentro della sezione reagente[2].
2.3.1 Analisi non lineare Introdotte le nozioni necessarie per applicare quanto visto in precedenza al calcestruzzo armato, di seguito si procederà con una breve esposizione circa l'analisi non lineare delle sezioni realizzate con tale materiale, metodo utilizzato nel presente lavoro per l'analisi delle stesse. L'utilizzo di legami costitutivi non lineari rende non più valida la relazione di antipolarità tra il centro di pressione
C
e l'asse neutro rispetto all'ellisse d'inerzia della sezione reagente,
così come gli altri legami utilizzati nell'ambito della Scienza delle Costruzioni. Per analizzare la presso essione si è costretti quindi a fare riferimento direttamente alle equazioni di equilibrio[19]:
Z N=
σ dA
Z σ · y dA
Mx = Z My = −
σ · x dA
In tal caso, essendo la tensione non dipendente in maniera lineare dalle deformazioni, è inoltre necessario rappresentare tutti e tre i diagrammi
σc , σs , ε.
Dal punto di vista operativo i limiti da non superare per la sezione sono espressi in termini di deformazioni, in particolare quelle del calcestruzzo se per l'analisi non si pone limite alla deformazione dell'acciaio. Nel caso si consideri uno sforzo normale eccentrico nella direzione di un asse di simmetria, cioè una presso essione retta, è possibile operativamente arontare il problema in due modi. Innanzitutto occorre far presente che essendovi due parametri di sollecitazione, lo sforzo normale
N
e il momento ettente nella direzione considerata
M,
vi sarranno in nite combinazioni
per le quali la sezione potrà raggiungere la condizione di rottura. Pertanto, in riferimento ad un piano avente assi
N
e
M,
si avrà una porzione di piano
all'interno della quale si troveranno tutte le combinazioni di sollecitazioni per cui la sezione è in grado di resistere, delimitata da una curva costituita da tutte le combinazioni
(N, M )
per le
quali si raggiungono condizioni di collasso. Questa curva è detta curva di rottura e l'area che circoscrive è detta dominio della sezione. Un primo metodo operativo, valido qualora ci si trovi a dover analizzare svariate sezioni uguali tra loro ma soggette a sollecitazioni dierenti, è quello di costruire tale curva per poter poi facilmente veri care se le sollecitazioni in analisi si trovino all'esterno o all'interno di essa, ovvero quali sollecitazioni applicate portino al collasso della sezione e quali no. La costruzione della curva può avvenire per punti, sfruttando particolari combinazioni di sollecitazioni; come ad esempio il caso di essione retta, quello di sforzo normale centrato, oppure alcune situazioni notevoli; come la rottura per trazione nell'armatura, quella per compressione nel calcestruzzo o la cosiddetta condizione di rottura bilanciata.
10
Quest'ultima in particolare assume una particolare rilevanza in quanto separa due meccanismi di collasso profondamente diversi. Nelle sezioni soggette a sforzo normale e essione infatti, il meccanismo di collasso dipende, oltre che dalle quantità di armatura come nella sola essione, anche dallìentità della forza normale. Al crescere di
N
il collasso passa da meccanismi duttili (grandi rotazioni) a quelli più fragili,
no al collasso per schiacciamento uniforme del calcestruzzo. Il punto di rottura bilanciata rappresenta il punto di transizione tra il meccanismo di collasso per schiacciamento del calcestruzzo prima che l'acciaio teso possa plasticizzarsi e il meccanismo di collasso in cui le armature tese hanno già raggiunto la deformazione di snervamento. Il metodo appena illustrato, che consiste nella costruzione dell'intero dominio della sezione, risulta super uo qualora si voglia eettuare una sola veri ca. In tal caso, supponendo siano noti i due valori di sforzo normale
M
N
e di momento ettente
applicati, può essere su ciente calcolare il momento ettente massimo sopportabile dalla
sezione, ovvero la massima eccentricità che il carico assiale, supposto costante, può assumere prima che la sezione collassi. Sarebbe concettualmente più corretto ricercare la coppia resistente che ha la stessa eccentricità
ex = M/N
della coppia sollecitante e confrontare il momento applicato col momento
resistente individuato tuttavia nella pratica, vista la maggiore semplicità, si preferisce agire nel primo modo[2]. In seguito si riportano brevemente i passaggi da eseguire per il procedimento di veri ca: 1. Valutare il massimo sforzo normale che la sezione è in grado di sopportare, per la presso essione si tratta del massimo sforzo normale di compressione e vale:
NRd = − (Ac · fcd + As,tot · fyd ) se lo sforzo normale considerato,
NEd , risulta superiore a questo la sezione non è veri cata MEd .
per nessun valore di momento applicato
2. Si determina lo sforzo normale corrispondente alla condizione di rottura bilanciata ovvero il punto in cui il calcestruzzo compresso raggiunge la deformazione
εyd . NEd , se
tura tesa la deformazione sollecitazione in esame
εcu
Nub ,
e l'arma-
Calcolato tale valore lo si confronta con il valore della quest'ultimo risulta superiore le deformazioni dell'acciaio
teso saranno elastiche, viceversa avrò uno sfruttamento migliore dell'armatura tesa, che raggiungerà la tensione di snervamento. 3. In funzione del confronto appena eettuato sarà possibile eettuare delle ipotesi sulla posizione dell'asse neutro al ne di valutare preventivamente le condizioni deformative delle varie armature e impostare di conseguenza le equazioni di equilibrio, che in generale assumeranno la forma:
NEd = Ac · β · fcd +
X
As,i · σs,i
i
MRd = (Ac · β · fcd ) · dC +
X
(As,i · σs,i ) · ds,i
i Dove nella prima espressione si hanno:
Ac ,
area di calcestruzzo reagente, funzione del
β , fattore di riempimento σs , calcolata come σs = Es ·εs se in campo elastico
parametro scelto per individuare la posizione dell'asse neutro; relativo al legame costitutivo prescelto; o semplicemente sostituita con
fyd se in campo plastico.
Con questa prima espressione sarà
possibile calcolare la posizione dell'asse neutro, esplicitando il parametro che la de nisce in quanto risulta l'unica incognita presente (è possibile esprimere anche le eventuali in funzione dello stesso). Nella seconda espressione si sono indicati con
dC
e
ds,i
εs,i
i bracci
relativi alle risultanti delle tensioni, per quello della sezione di calcestruzzo reagente sarà necessario fare riferimento al coe ciente prescelto.
11
k,
funzione anch'esso del legame costitutivo
4. Calcolato il momento resistente
MRd
lo si confronta con il momento sollecitante
MEd
per
valutare se la sezione è in grado di resistere o no.
2.3.2 Presso essione deviata e domini di resistenza Nello stato limite ultimo il procedimento di veri ca è concettualmente analogo a quello utilizzato per la presso essione retta ma numericamente più complesso a causa della inclinazione incognita dell'asse neutro nonchè della necessità di tener conto di tutte le barre di armatura, anche quelle laterali, laddove per la presso essione retta generalmente si considerano solo le armature superiori ed inferiori. Non essendo possibile giungere ad una soluzione diretta, è necessario procedere per via iterativa. Un procedimento ricorsivo di veri ca consiste nel ssare posizione e direzione dell'asse neutro di primo tentativo e considerare che il calcestruzzo compresso abbia raggiunto la sua massima deformazione
εc = 0.35%
[19].
In questo modo si determina il diagramma delle deformazioni ed è possibile in particolare calcolare le deformazioni
εs
delle armature tese e compresse, individuando così le tensioni
associate. Determinate le tensioni per l'equilibrio si dovrà avere:
N = Fc +
X
Fs0i −
X
i
Fsi
i
Si può quindi passare al calcolo dei momenti risultanti delle tensioni interne:
Mx = Fc · yc +
X
Fs0i · ys0 i −
X
i
My = Fc · xc +
X
Fsi · ysi
i
Fs0i · x0si −
X
i
Fsi · xsi
i
Si noti che la determinazione del baricentro delle tensioni per la porzione di calcestruzzo reagente non è certo di immediata individuazione data la forma non elementare assunta dalla porzione di sezione reagente e l'utilizzo di diagrammi
σ−ε
non lineari.
In proposito bisogna ricordare che anche per il fattore di riempimento
β
non è più gene-
ralmente possibile fare riferimento ai valori tabellari, proprio per la forma inconsueta della sezione reagente. Rimane quindi come unica soluzione la parametrizzazione della forma dell'area reagente e l'integrazione diretta delle tensioni in relazione al modello sforzo-deformazione prescelto. A questo punto è possibile calcolare le eccentricità associate a tali momenti in relazione allo sforzo normale
N
considerato, ovvero determinare la posizione del centro di applicazione
corrispondente alla posizione dell'asse neutro selezionata:
ex =
My N
ey =
Mx N
0 s, allineati col punto di applicazione individuato[19]. Per veri ca si può controllare che i punti
T
Ts
e
C
relativi alle tensioni interne siano
Si può ora veri care che i valori calcolati siano superiori a quelli di progetto applicati:
Nd ≤ N Mxd ≤ Mx
12
Myd ≤ M y Se una delle disuguaglianze non risulta veri cata è necessario iterare il procedimento variando l'asse neutro e determinando nuovi valori delle sollecitazioni interne. E' quindi chiaro che il procedimento può risultare particolarmente oneroso dal punto di vista del calcolo se svolto manualmente. Alternativamente, come per il caso di presso essione retta, è possibile costruire un dominio limite entro il quale la sollecitazione deve trovarsi a nchè la sezione non raggiunga la condizione di collasso. Tale dominio limite o dominio di resistenza sarà in tal caso una porzione dello spazio tridimensionale
{ N , Mx , My }
delimitata da una super cie detta super cie d'interazione .
Figura 2.6: Analisi non lineare, dominio di resistenza per presso essione deviata [2].
Le curve bidimensionali che si ottengono intersecando questo volume con piani contenenti l'asse
N
sono curve d'interazione relative a sollecitazioni aventi direzione assegnata, in parti-
colare se la direzione coincide con gli assi di simmetria si hanno le curve d'interazione relative alle presso essioni rette. Le curve di livello della super cie d'interazione, ovvero le curve ottenute dall'intersezione della super cie con piani a
N
costante, consentono la veri ca immediata di sezioni soggette
a presso essione deviata una volta assegnato il valore di
M −N
N,
esattamente come per il dominio
nella presso essione retta.
Tuttavia in questo caso la determinazione diretta, per punti, della curva risulta essere un processo decisamente oneroso e pertanto non trova applicazione nella pratica, se non tramite l'utilizzo, come si avrà modo di vedere, dei calcolatori elettronici. Per supplire all'impossibilità di determinare la forma del dominio in maniera diretta sono stati sviluppati diversi metodi sempli cati volti a stimarne la forma al ne di eettuare le veri che.
13
14
Capitolo 3
Metodi risolutivi approssimati 3.1 Introduzione In seguito verranno riportati alcuni degli approcci più diusi in letteratura al problema della presso essione deviata. Secondo [1] tutti gli approcci teorici approssimati possono essere fatti ricadere all'interno di una delle seguenti categorie:
Metodi basati sul principio di sovrapposizione (Methods of Superposition );
Metodi basati sulla determinazione di una presso essione retta equivalente (Methods of
Equivalent Uniaxial Eccentricity );
Metodi basati sull'approssimazione della forma della super cie d'interazione (Methods
Based on Approximations for the Shape of the Interaction Surface ). I primi si basano sostanzialmente sull'assunzione (priva di supporto teorico[1]) per cui si possa dimensionare la sezione per una presso essione deviata sommando le quantità di armature necessarie a sopportare due presso essioni rette ad essa relazionate. I secondi considerano la possibilità di eettuare il dimensionamento in riferimento ad una presso essione retta equivalente lungo uno dei due assi principali, ovvero sulla determinazione di una eccentricità uni assiale che comporti lo stesso carico limite di tutte le possibili coppie
(ex , ey )
che si trovino sulla stessa curva d'interazione, fornita mediante una apposita relazione.
Si tralasciano in tale esposizione tutti i metodi ricadenti nelle prime due categorie. Tali metodi sono contemplati sia nell'Eurocodice8 che nelle NTC al capitolo 7 per quanto riguarda il dimensionamento in condizioni sismiche, oltre ad essere diusamente trattati in letteratura e adottati da diverse normative, come ad esempio quella venezuelana e quella spagnola. Essi si dierenziano tra loro per il metodo con cui vengono determinate (ampli cate) le sollecitazioni semplici per le quali condurre le veri che, quindi le eccentricità oppure i momenti
Mx
ed
ex
ed
ey
o
e0
My .
Di seguito verranno invece esposti alcuni dei metodi più diusi che si basano sull'approssimazione della forma della super cie d'interazione, o meglio delle sue curve limite bidimensionali, in quanto gli approcci precedenti risultano essere eccessivamente conservativi e sempli cati per poter orire un e cace confronto con i metodi risolutivi basati sulla risoluzione analitica del problema mediante l'analisi a bre.
3.2 Load Contour Method (LC), Bresler (1960) Come precedentemente anticipato, volendo costruire il dominio limite di una sezione soggetta a sforzo normale e momento ettente non nullo nelle direzioni y e z, parallele agli assi principali
15
d'inerzia della sezione, si ottiene generalmente una super cie marcatamente convessa in un riferimento tridimensionale
{N, My , Mz }.
Figura 3.1: Dominio d'interazione tridimensionale.
E' immediato riconoscere come per l'analisi del caso di presso essione retta lungo uno dei due assi
x
o
y
si faccia riferimento ad una sezione di tale dominio comprendente l'asse
relativo asse del momento
Mx
o
My
in esame (caso
(a)
e caso
(b)
N
e il
della gura), mentre il caso
generico di presso essione deviata è il caso(c). Il metodo proposto da Bresler si basa sull'idea di considerare per l'analisi di una sezione soggetta a presso essione deviata la sezione del dominio tridimensionale lungo il piano corrispondente ad un dato valore di
Mx ,My
N = NED .
Tale sezione del dominio limite, la cui forma è dovuta sia alle caratteristiche geometriche dell'area di calcestruzzo che alla posizione e quantità delle armature nonché allo sforzo normale
NED
considerato, secondo l'autore, può essere e cacemente approssimata da una equazione di
interazione adimensionale del tipo:
Facendo variare gli esponenti
Mx0
e
My0
Assumendo
α
Mx Mx0
e
β
α
+
My My0
β =1
no ad ottenere l'approssimazione migliore.
sono i momenti corrispondenti alla presso essione retta lungo i rispettivi assi.
Mx0
e
My0
coincidenti coi massimi momenti resistenti generabili dalla sezio-
ne in esame si ottiene pertanto il dominio limite della sezione per presso essione deviata corrispondente ad un dato valore di
NED
.
Per veri care che la sezione in analisi sia in grado di sopportare l'azione cui è soggetta sarà pertanto su ciente controllare che:
MED,x Mx0
α
+
MED,y My0
β
≤
Pertanto :
16
Mx Mx0
α
+
My My0
β =1
MED,x Mx0
α
MED,y My0
+
β
Dovendo approssimare il dominio anche i coe cienti
≤1 α
geometria della sezione;
legami sforzo-deformazione di calcestruzzo e acciaio;
quantitativi di armature e loro posizione;
dimensione del copriferro;
dimensione e interasse delle stae o spirali;
sforzo normale agente.
e
β
dipenderanno da :
Lo svantaggio di tale metodo è dato dal fatto che la sua eettiva validità dipende essenzialmente dalla scelta di opportuni valori per i coe cienti
α
e
β.
Bresler in particolare suggeriva che sotto determinate ipotesi di simmetria fosse possibile assumere
α =β
e, per sezioni quadrate o rettangolari, assegnare loro un valore compreso tra 1.15
e 1.55, dove i valori minori corrispondono ad un approccio più conservativo.
Figura 3.2: Forma del dominio di interazione al variare dell'esponente
α
[1].
la maggior parte delle relazioni presenti nelle normative e in generale in letteratura si basa su questa formulazione proponendo di volta in volta studi e formule per ricavare esponenti opportuni o termini aggiuntivi al ne di approssimare al meglio la curva limite.
3.3 Altri metodi basati sul metodo LC L'iniziale formulazione del problema proposta da Bresler ha favorito lo sviluppo di numerosi studi successivi volti alla sua ottimizzazione, come detto molti di essi sono poi stati adottati dai codici normativi, di seguito si riportano solo alcuni esempi più signi cativi delle numerose trattazioni disponibili.
17
3.3.1 Metodo proposto da Parme per la PCA (1966) Questo metodo venne sviluppato a partire dal modello LC di Bresler per la Portland Cement Association da A. Parme, J. Nieves e A. Gowens [16]. In questo approccio un punto della curva di interazione è de nito in modo tale che il rapporto tra le componenti
Mnx e Mny del generico momento resistente è uguale al rapporto tra i momenti Mox e Moy , Parme denominò tale rapporto costante di progetto per la
resistenti uni assiali
presso essione deviata (Biaxial bending design costant):
Mny Mny = =β Mox Moy I valori di
β
dipendono dal rapporto tra
Pn
e
Po
della sezione, con un valore in generale compreso tra
così come dal materiale e dalle proprietà
0.55
e
0.70.
Essi devono essere determinati dalle condizioni di equilibrio per sezioni quadrate o rettagolari. Dato che il processo risulta molto laborioso vennero realizzate delle tabelle che ne permettono la determinazione, alcune si possono trovare in [9]. Sostituendo
β
nella nota equazione proposta da Bresler si ottiene:
β · Mox Mox
α
+
β · Moy Moy
α =1
2β α = 1 βα =
α=
quindi :
Mnx Mox
log 0.5/ log β
+
Mny Moy
1 2
log 0.5 log β
log 0.5/ log β
=1
3.3.2 Metodo proposto da Hsu (1988) Il metodo proposto consiste nella modi ca della formulazione di Bresler mediante l'aggiunta di un addendo, mantenendo costanti ed uguali ad 1.5 entrambi gli esponenti della formulazione originaria. L'addendo aggiunto serve per tener conto dell'importante in uenza del rapporto tra sforzo normale ultimo (N0
≡ Pu ) e sforzo normale ultimo in condizioni di rottura bilanciata (Nb ≡ Pnb ) MED ≡ PA · eL .
associato alla sollecitazione
Il risultato è un metodo sempli cato il cui utilizzo per il progetto e la veri ca di sezioni soggette a presso essione deviata dovrebbe risultare più semplice dei metodi proposti da Bresler[14]. L'equazione proposta è la seguente, trascritta utilizzando la notazione originale:
PA − Pnb Pu − Pnb
+
PA · eyL Mnbx
1.5
è
+
PA · exL Mnby
1.5 ≤1
Pnb si considera essere una funzione lineare dell'angolo di sollecitazione θ = arctan eexL yL viene interpolato linearmente tra Pnbx e Pnby . Pnbx e Mnbx sono le sollecitazioni ultime per rottura bilanciata della sezione quando questa soggetta a presso essione retta con eccentricità eyL . Pnby e Mnby sono invece le sollecitazioni Dove
e
18
ultime per rottura bilanciata della sezione quando questa è soggetta a presso essione retta con
exL . Pu
eccentricità
rappresenta in ne il massimo sforzo di compressione (positivo) o trazione
(negativo) centrata.
PA
è determinato utilizzando per
superiore a
Pnb ,
Pu
la massima compressione assiale se il suo valore è
altrimenti utilizzando il massimo sforzo di trazione.
Uno dei vantaggi di questo metodo è il fatto di non dover ricorrere a processi iterativi dato che
Pnbx , Mnbx , Pnby
e
Mnby
possono essere determinati senza iterazioni se si utilizza per il
calcolo delle tensioni nel calcestruzzo il modello stress-block.
3.3.3 Australian Standard AS3600 (1988) Suggerisce di considerare la presso essione deviata per sezioni rettangolari utilizzando per l'approssimazione della curva limite sostanzialmente la formula di Bresler:
Mx∗ φMux
αn
+
My∗ φMuy
fornendo però:
αn = 0.7 + con
αn ≤ 1.0
1.7 · N ∗ 0.6 · Nuo
1 ≤ αn ≤ 2. I momenti resistenti
φMux
e
φMuy
corrispondenti al carico applicato
dall'analisi per presso essione retta lungo i due assi principali rettangolari e ovviamente risultano uguali (φMux
Mx∗
I momenti ettenti di progetto
e
My∗
= φMuy )
x
e
y
N∗
sono determinati
rispettivamente per sezioni
nel caso di sezioni quadrate.
devono essere comprensivi degli incrementi di
carico dovuti agli eetti del secondo ordine. Il carico i coe cienti
Nuo corrisponde allo sforzo normale ultimo per compressione centrata, mentre φ sono fattori riduttivi della capacità portante della sezione per considerare gli
eetti della variabilità delle caratteristiche geometriche e delle proprietà dei materiali.
3.3.4 Metodo proposto da Bajaj e Mendis (2005) Questo recente studio presenta un'e ciente metodo per la valutazione dell'esponente all'analisi di calcestruzzi ad alta resistenza, no a
α
adatto
100M P a.
E' basato sull'approccio LC di Bresler e perfezionato da Parme, Nieves e Gowens e mostra una notevole aderenza ai dati sperimentali. L'approccio può essere così riassunto, si consideri al solito l'equazione adimensionale:
Dove come sempre e
Mnox
e
Mnoy
Mnx
e
Mnx Mnox
Mny
αn
+
αn =1
sono i momenti agenti nelle direzioni
x
e
y
rispettivamente
sono i momenti resistenti ultimi nelle stesse direzioni.
Si de niscono:
e si considera il valore medio tra
B1
e
B1 =
Mnx Mnox
B2 =
Mny Mnoy
B2
de nendolo
Sia il coe ciente
αna = e quindi
Mny Mnoy
αn = K · αna
dove
K
β=
B1 +B2 ; 2
log 0.5 log β
è dato in funzione dell'angolo
come di seguito:
19
α
di eccentricità del carico agente
K=1
per
K = 1.15
α = 45°, α ∈ [0, 15°] α = 30°
per
o
e
α ∈ [75°, 90°];
α = 60°.
3.4 Reciprocal Load Method (RL), Bresler (1960) Altro semplice metodo di approssimazione proposto da Bresler, adottato dalla normativa americana e da molte altre, la cui e cacia è stata convalidata nel corso degli anni da numerose prove sperimentali[7]. Nell'esposizione si è mantenuta la simbologia della trattazione originale, per maggiore chiarezza. Sempre considerando il dominio d'interazione tridimensionale della sezione, si parte dal-
Pn e delle ex = Mny /Pn ed ey = Mnx /Pn come visibile in gura. La super cie S1 così ottenuta, può essere trasformata in una super cie equivalente S2 in un sistema di assi in cui, in luogo a Pn se ne consideri l'inverso: 1/Pn . Il punto caratterizzato da ex = 0 ed ey = 0 corrisponde all'inverso della capacità portante della sezione soggetta al solo sforzo assiale, punto che viene indicato con la lettera C . l'idea che quest'ultimo possa essere rappresentato come funzione del carico assiale eccentricità
Figura 3.3: Reciprocal load method; Super ci limite [7].
Quindi per ogni valore di carico assiale
Pny0
ex ,
mantenendo
ey = 0
è possibile ottenere un corrispondente valore
(e quindi nel complesso un momento
Mny0 )
che porta alla rottura della
sezione; l'inverso di questo valore consente di rappresentare il punto indicato con la lettera Allo stesso modo è possibile ricavare il punto data una eccentricità nota
ey ,
B
corrispondente al caso in cui
da cui ricavare il valore
Pnx0
ex = 0
A
.
e sia
corrispondente, per poi riportarne
nel sistema di assi il suo inverso. I valori di
Pny0
e
Pnx0
possono essere facilmente ricavati mediante procedimenti di calcolo
propri della essione retta in quanto in genere nella pratica risultano note le eccentricità dei carichi applicati (ex
= MEd,y /NEd ).
20
Il piano inclinato
S10
de nito dai precedenti 3 punti rappresenta una approssimazione della
super cie d'interazione reale
S2 . S2
Si noti che ad ogni punto della super cie
S2
essendo che ogni punto di
determinano dierenti punti
corrisponde un dierente piano inclinato
è caratterizzato da determinati valori di
ex
ed
ey
S10
che a loro volta
A,B ,C .
Questo risulta essere uno dei principali svantaggi del metodo, infatti per ogni dierente sollecitazione sulla sezione è necessario calcolare gli sforzi normali ultimi corrispondenti ai particolari valori di eccentricità del caso[4].
1/Pn,appl. risulta essere sempre maggiore del valore 1/Pn,reale , come Pn,appl. viene sempre sottostimato rispetto a Pn,reale questo verso l'alto della super cie S2 .
Ovviamente il valore di
visibile in gura, il che signi ca che in ragione della concavità
Il tutto si traduce nella seguente relazione:
1 1 1 1 = + − Pn Pnx0 Pny0 P0
dove:
Pn =
valore approssimato di sforzo normale ultimo per date eccentricità
Pny0 =
sforzo normale ultimo per sola eccentricità
ex (ey = 0
);
Pnx0 =
sforzo normale ultimo per sola eccentricità
ey ( ex = 0
);
Po =
sforzo normale ultimo per compressione centrata.
ex
ed
ey ;
Un' ultima considerazione riguarda la validità del metodo, che risulta fortemente compromessa per valori molto bassi del carico
Pn ,
in particolare per
Pn ≤ 0.10P0 .
Per tali valori risulta infatti prevalente la essione deviata e la rottura avviene per raggiungimento della capacità ultima nelle armature tese. Si considera pertanto la possibilità di eettuare il dimensionamento trascurando del tutto lo sforzo assiale [7].
3.5 Approssimazione bilineare della curva limite Un' altro approccio al problema dell'approssimazione della super cie d'interazione è stato proposto da Pannel (1963), Furlong (1961) e Meek (1963) i quali hanno suggerito che le curve limite per carico assiale costante potessero essere approssimate da due segmenti rettilinei. Per esempio, noti i punti
A,B
e
C
della curva, visibili in gura, la curva reale può essere
sostituita cautelativamente con i due segmenti rettilinei
21
AB
e
BC
[1].
Figura 3.4: Approssimazione bilineare della curva limite [1].
Tale approccio è stato adottato da diverse normative in tutto il mondo, tra le quali il British Standard BS8100 e la recente norma egiziana EPC-203.
Questi approcci, pur non essendo propriamente indirizzati all'ottenimento di una curva d'interazione si basano comunque sulla determinazione dei tre punti
A,B
e
C
precedentemente
introdotti.
Di seguito, al ne di riportare un esempio, si riassume il contenuto della seconda.
3.5.1 Egyptian code of practice EPC-203 (2003) L'EPC-203 assume che la curva d'interazione possa essere rappresentata da due segmenti, pertanto trasferisce i due momenti di progetto costituenti la sollecitazione biassiale, due momenti uniassiali ampli cati
Mx0
e
My0
Mx
e
My ,
in
in funzione del rapporto tra i momenti applicati
ed il livello di carico [11].
22
Figura 3.5: EPC-203; Metodo di approssimazione della curva di interazione [11].
L'angolo
λ
può essere calcolato considerando:
tan λ = Dove
Mx
è il momento di progetto e
De nendo
β = tan λ
Mx0
Mx0 a0
−
Mx a0
My b0
è il momento ampli cato.
si ottiene:
Mx My Mx0 − 0 =β· 0 a0 a b
23
da cui:
Mx0 = Mx + β ·
a0 b0
b0 a0
· My
e allo stesso modo:
My0 = My + β ·
· Mx
Le precedenti equazioni sono la base delle equazioni sempli cate adottate dalla normativa nelle quali il fattore
β
è dato dalla comparazione coi diagrammi di interazione biassiali.
Figura 3.6: EPC-203; Curve di interazione per dierenti livelli di carico.
Nella gura si nota che a parità di armatura il momento resistente per una sezione con un basso livello di carico è maggiore del momento resistente per una sezione con un livello di carico elevato (al di sopra del punto di rottura bilanciata). Ancora, l'angolo
λ
varia da un livello di carico all'altro e non è possibile adottare un valore
costante. Infatti, utilizzando per livelli di carico prossimi al punto di rottura bilanciata (Rb un angolo
λ
determinato per livelli di carico elevati (Rb
conservativi di
Mx0
La variazione di
= 0.5),
= 0.2),
si otterrebbero valori non
(punto A invece che B).
β = tan λ con il livello di carico non è lineare,
tuttavia il codice approssima
la relazione in favore di sicurezza con un segmento rettilineo espresso dalla relazione:
β = 0.9 −
Rb ≤ 0.6 2
che fornisce la seguente tabella:
Figura 3.7: EPC-203; Valori di
β
24
per livelli di carico dierenti.
3.6 Lo studio delle sezioni ad L L'analisi di sezioni ad L soggette a presso essione deviata presenta problematiche computazionali che la rendono particolarmente complessa da eseguire manualmente.
Il primo studio
reperibile in letteratura in proposito è quello pubblicato da J. Marin (1979) che arontò il problema in modo molto pragmatico [10] proponendo delle tabelle utili al dimensionamento di tali sezioni. Lo studio di Marin riguarda colonne tozze in calcestruzzo armato aventi sezione ad L ad ali simmetriche Egli eettuò lo studio considerando 5 diversi rapporti di snellezza della sezione (rapporto tra la lunghezza e lo spessore delle ali) ed utilizzando il metodo delle isobare per analizzare il comportamento della sezione[8], individuò poi alcuni parametri, tra i quali ad esempio il livello di carico assiale
ν
e quello che de nì mechanical ratio
ω,
mediante i quali è
possibile dimensionare la sezione seguendo determinati passaggi e sfruttando delle tabelle e dei gra ci che appositamente sviluppati. I passaggi necessari sono i seguenti: 1. Individuare i carichi assiali e i momenti; 2. Localizzare nelle tabelle le isobare nell'appropriato rapporto di spessore più prossime al
ν
considerato;
3. Utilizzare i valori del passaggio 1 per trovare il corrispondente
ω ed interpolare per trovare
ν. Chiaramente l'approccio non si con gura come un'analisi esaustiva del problema, si tratta semplicemente di un supporto pratico alla progettazione ricavato sulla base di prove sperimentali e non ha nulla a che vedere coi metodi precedentemente riportati per la determinazione del dominio d'interazione, è stato riportato solamente per sottolineare la di coltà riguardante l'analisi di tali sezioni. Ad ulteriore riprova di quanto detto la questione verrà arontata in seguito solo da Ramamurty (1983)[10], prima che Hsu (1985) scelga di rivolgersi al calcolo elettronico per sfruttare uno dei primi algoritmi volti alla risoluzione del problema. Ramamurthy presenta due approcci:
il primo basato sulla teoria del Load contour di
Bresler e realizzato sfruttando l'analisi inversa [10], il secondo riguarda il progetto delle sezioni ad L col metodo della sezione quadrata o rettangolare equivalente.
25
26
Capitolo 4
Riferimenti normativi Nelle normative italiane, il problema a livello progettuale della veri ca dei pilastri in presso essione deviata, non si era pressoché posto, in quanto le Norme del D.M. 16.1.96 , non prescrivendo la combinazione delle componenti dell'azione sismica, consentivano di ricondurre la veri ca dei pilastri a singole presso- essioni rette.[5] L'OPCM 3274 del 2003 ha introdotto per la prima volta nella normativa italiana metodologie moderne per il calcolo delle azioni sismiche sugli edi ci, prescrivendo in particolare la combinazione delle azioni orizzontali. Di seguito si riporta parte del capitolo 4.6 in cui viene introdotto tale principio: I valori massimi della risposta ottenuti da ciascuna delle due azioni orizzontali applicate separatamente potranno essere combinati calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati, per la singola componente della grandezza da veri care, oppure sommando ai massimi ottenuti per l'azione applicata in una direzione il 30% dei massimi ottenuti per l'azione applicata nell'altra direzione. La successiva normativa attualmente in vigore riprende sostanzialmente tale indirizzo, così come l'Eurocodice.
4.1 Il Decreto Ministeriale 14.01.2008 L'attuale normativa tecnica, entrata in vigore dopo un lungo processo di revisione e numerose proroghe, recepisce l'indirizzo europeo de nito dall'eurocodice che verrà successivamente riportato per completezza, suggerendo due dierenti approcci per l'analisi delle sezioni soggette a presso essione deviata che sono ripresi dalla letteratura internazionale. Il primo approccio, con validità generale, è riportato nel paragrafo 4.1.2.1.2.4 e riprende sostanzialmente la formulazione del Load Contour Method di Bresler: Nel caso di presso essione deviata la veri ca della sezione può essere posta nella forma:
MEyd MRyd
α
+
MEzd MRzd
α =1
dove:
MEyd , MEzd
sono i valori di calcolo delle due componenti di essione retta
dell'azione attorno agli assi y e z;
MRyd , MRzd
sono i valori di calcolo dei momenti resistenti di presso essione retta
NEd valutati separatamente attorno agli assi y e z. α può dedursi in funzione della geometria della sezione
corrispondenti a L'esponente metri:
27
e dei para-
ν = NEd /NRcd
ωt = At · fyd /NRcd con
NRcd = Ac · fcd .
In mancanza di una speci ca valutazione, può porsi cautelativamente
α = 1.
Risulta evidente da quanto nora visto che l'ultima aermazione non è di alcuna utilità progettuale dato che rappresenta una soluzione eccessivamente conservativa e porterebbe a sovradimensionamenti intollerabili[5]. La precedente aermazione invece non è immediatamente utilizzabile in quanto al suggerimento di riferirsi ai rapporti
ν
e
ωt
per individuare appropriati valori dell'esponente
α
non
segue alcuna indicazione su come ottenere tale risultato, non venendo fornite nè formule nè tabelle. Alcuni studi in proposito sono presenti nella letteratura nazionale, come ad esempio quello proposto da G.Monti e S. Alessandri[15], che suggeriscono la seguente espressione per ricavare
α
in funzione dei parametri adimensionali:
γ b · µηsxsx · µηsysy · nω α=c· Sd h dove:
b
è la larghezza della sezione;
h
è l'altezza della sezione;
µsx , µsy
è la percentuale meccanica di armatura disposta nella direzione dell'asse
x
e
y
rispet-
tivamente;
nSd
è lo sforzo assiale normalizzato dato da :
nSd =
NSd 0.85·fcd ·b·h .
Mentre i restanti parametri dell'equazione sono forniti nella seguente tabella
c
γ
ηsx
ηsy
ω
1.15
0.01
0.03
0.03
0.07
Mentre altri approcci, più approssimativi, suggeriscono di adottare per
α
un unico valore
senza tener conto dell'in uenza dei parametri visti, come ad esempio A.Ghersi e M.Muratore [6] che consigliano di usare
α = 1.5.
Sempre nella normativa, al punto 7.4.4.2.2.1 si riporta la possibilità di un approccio dierente utilizzabile in condizioni sismiche: La veri ca a presso- essione deviata può essere condotta in maniera sempli cata eettuando, per ciascuna direzione di applicazione del sisma, una veri ca a presso essione retta nella quale le sollecitazioni vengono determinate come indicato nel § 7.4.4.2.1 e la resistenza, calcolata come indicato nel § 4.1.2.1.2, viene ridotta del 30%. Similmente a quanto introdotto precedentemente dall'OPCM 3274 e a quanto presente, come in seguito riportato, nell'Eurocodice 8.
28
4.2 L'Eurocodice 2 e l'Eurocodice 8 Anche l'Eurocodice 2 riporta una formulazione basato sull'approccio LC di Bresler: (...)Se la condizione dell'espressione (5.38) non è soddisfatta, si raccomanda di tener conto della essione deviata compresi gli eetti del secondo ordine in ogni direzione [a meno che essi non possano essere trascurati secondo i punti 5.8.2 (6) o 5.8.3].
In assenza di un calcolo accurato della sezione trasversale per essione
deviata, si può utilizzare il seguente criterio sempli cato:
MEdz MRdz
a
+
MEdy MRdy
a ≤ 1, 0
dove:
MEdz,y
è il momento di progetto intorno all'asse considerato, comprendente un momento nominale del secondo ordine;
MRdz,y
è il momento resistente nella direzione considerata;
a
è l'esponente; per sezioni circolari ed ellittiche:
a = 2;
per sezioni rettangolari:
NEd /NRd a=
0.1 1.0
0.7 1.5
1.0 2.0
Con interpolazione lineare per i valori intermedi;
NEd
è il valore di progetto della forza assiale;
NRd = Ac · fcd + As · fyd
, è il valore di progetto della forza normale resistente:
dove:
Ac As
è l'area lorda di calcestruzzo; è l'area delle armature longitudinali.
Mentre l'Eurocodice 8, come anticipato, prevede la possibilità di eettuare lo studio di una presso essione retta riducendo il valore del momento resistente: La presso essione deviata può essere considerata in modo sempli cato eettuando le veri che separatamente in ciascuna direzione, riducendo il momento resistente uniassiale del 30%.
(Biaxial bending may be taken into account in a simpli ed
way by carrying out the veri cation separately in each direction, with the uniaxial moment of resistance reduced by 30%).
29
30
Capitolo 5
Analisi non lineare agli elementi niti 5.1 Introduzione all'analisi a bre Come molti altri problemi tecnici di natura complessa anche lo studio della presso essione deviata ha tratto grandi bene ci dalla diusione dei calcolatori elettronici. In particolare l'analisi di sezioni soggette a presso essione deviata, come visto, presenta il problema di determinare posizione e inclinazione dell'asse neutro tali da soddisfare simultaneamente entrambe le equazioni di equilibrio e questo problema fortemente non lineare può essere risolto mediante procedimenti iterativi a partire da un valore di tentativo [12]. Questo approccio è ovviamente poco pratico per il calcolo manuale[7], ma i processi iterativi possono essere facilmente e velocemente sviluppati da un calcolatore, che è anche in grado di fornire una rappresentazione gra ca dei risultati. Per questo motivo sin dalla prima diusione dei calcolatori sono stati implementati diversi algoritmi e modelli per la determinazione dei momenti ultimi di sezioni in calcestruzzo armato di geometrie anche complesse, più recentemente considerando oltre alle tradizionali armature anche materiali FRP[4]. La maggiori parte di questi algoritmi si basa su una modellazione a bre della sezione. La modellazione a bre può essere de nita come un'analisi sempli cata unidimensionale ad elementi niti (...)[12]dove gli elementi discreti sono bre aventi resistenza eettiva in una sola direzione e la modellazione della sezione avviene suddividendo i solidi cilindrici in segmenti paralleli al proprio asse longitudinale e distinguendo le bre di calcestruzzo e quelle di acciaio. A questo punto considerando le relazioni sforzo-deformazione uniassiali di ciascuna bra le sollecitazioni complessive sulla sezione possono essere ottenute semplicemente sommando le tensioni presenti in ciascuna delle bre costituenti la sezione.
5.2 Algoritmo utilizzato Per il seguente lavoro si è scelto di utilizzare il software BIAXIAL BENDING. Tale scelta è giusti cata dal fatto che il programma, realizzato dagli ingegneri M. Di Ludovico, G. P. Lignola, A. Prota, E. Cosenza, è supportato da una esaustiva trattazione teorica disponibile presso il sito della Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica (RELUIS), che espone nel dettaglio le caratteristiche dell'algoritmo sviluppato dagli autori e implementato dall'ing.
I.
Iovinella per l'analisi non lineare agli elementi niti di sezioni in calcestruzzo armato soggette a presso essione deviata. Di seguito si riportano i punti fondamentali di tale esposizione[4] che consentono di comprendere l'algoritmo utilizzato per realizzare il programma.
31
5.2.1 Ipotesi e impostazione dell'algoritmo L'algoritmo si basa sulla discretizzazione in elementi niti di forma rettangolare della sezione al ne di valutare sia la resistenza sia la deformabilità della stessa, con la possibilità di considerare il comportamento non lineare dei materiali impiegati. Le ipotesi teoriche a supporto sono quelle classiche della trattazione del calcestruzzo armato:
Conservazione delle sezioni piane (ipotesi di Bernoulli-Navier);
Legami costitutivi non lineari dei materiali noti a priori;
Tensioni dipendenti dalla sola deformazione dell'elemento, si trascurano pertanto gli eetti di viscosità e ritiro nel tempo;
Perfetta aderenza alle interfacce tra calcestruzzo e armature, sia in acciaio che in FRP;
Applicazione del carico e conseguente deformazione con andamento monotono.
A ciascun elemento nito viene associato un valore medio di deformazione e di tensione. La deformazione delle barre di armatura è assunta pari al valore baricentrico assumendo che il diametro delle barre sia trascurabile rispetto alle dimensioni medie della sezione di calcestruzzo. Nel programma sono stati pre-implementati i principali legami costitutivi noti in letteratura, si noti che non è presente il legame di tipo stress-block. Infatti, come suggerito da Kahn e Meyer (1995) [14], l'utilizzo del legame di tipo stress-block rettangolare può portare ad una sovrastima o sottostima della capacità della sezione, dato che tale modello è stato sviluppato per zone compresse di forma rettangolare, situazione che non si veri ca quasi mai per i casi di presso essione deviata. I momenti ettenti sono valutati con riferimento al baricentro dell'intera sezione (o qualsiasi altro punto de nito dall'utente).
5.2.2 Discretizzazione della sezione in elementi niti La sezione di calcestruzzo deve essere de nita mediante una poligonale chiusa; immettendo le coordinate dei vertici si de niscono i segmenti che la compongono. Nell'inserire la poligonale bisogna considerare che i punti sono interni alla sezione se la somma algebrica di tutti gli angoli orientati de niti dal punto e da tutte le coppie di vertici consecutivi del perimetro è pari a 360°. Praticamente la circuitazione in senso antiorario presuppone la presenza di calcestruzzo all'interno della poligonale chiusa, viceversa la percorrenza in senso orario presuppone l'assenza di calcestruzzo all'interno, come visibile in gura.
32
Figura 5.1: De nizione della poligonale di contorno alla sezione [4].
Il passo successivo è la suddivisione in elementi niti. Per procedere alla suddivisione ven-
xmin , xmax , ymin e ymax quindi la dimensione dei lati degli elementi nd e md di elementi in cui si desidera suddividere lo spazio occupato rispettivamente lungo x e lungo y . In questo modo viene de nita una griglia
gono individuati i valori niti è data dai numeri dalla sezione
rettangolare di cui solo una parte è occupata dalla sezione, per questo un'ulteriore passaggio individua se il baricentro di ciascun elemento nito sia parte o no della stessa e, se costituito da materiale
k,
attribuisce ad un apposito moltiplicatore
θk
il valore 1.
Una misura della qualità della discretizzazione può essere ottenuta valutando lo scarto tra il valore di area della sezione ottenuto per somma delle aree di ciascun elemento nito ed il valore esatto ottenuto per integrazione. Ogni dato viene quindi raccolto in una matrice tridimensionale dove ciascun elemento della matrice è riferito all'elemento
nd × m d
e su ciascun livello (terza
coordinata della matrice) contiene una particolare informazione relativa alla bra considerata, come ad esempio distanza dall'asse neutro, deformazione, tensione, ecc.
Dopo aver discretizzato la sezione in calcestruzzo si passa alla de nizione di analoghe tabelle per le armature, in cui ogni riga contiene le informazioni relative ad un particolare elemento di armatura ed ogni colonna riporta una data caratteristica (ascissa del baricentro, ordinata, distanza dall'asse neutro,ecc.).
33
Figura 5.2: Matrice delle proprietà geometriche e meccaniche [4].
5.2.3 Algoritmo Al ne dell'analisi è necessario individuare la posizione dell'asse neutro, caratterizzato dal fascio di rette a cui appartiene e da un angolo di inclinazione. Per l'implementazione dell'algoritmo risulta più e ciente de nire le coordinate del punto P con un parametro solo: l'intercetta sull'asse delle tervallo
(−45°,+45°)
o l'intercetta sull'asse
x
y se l'angolo di inclinazione è compreso nell'in-
se l'angolo di inclinazione è esterno al precedente
intervallo. Una volta de nita la posizione è necessario attribuire all'asse neutro anche un orientamento in quanto le distanze degli elementi da esso andranno valutate con un segno che caratterizzerà lo stato di compressione o trazione delle bre. La convenzione dei segni adottata prevede che la deformazione degli elementi della sezione che giacciono sullo stesso semipiano de nito dall'asse neutro e dal punto di applicazione dello sforzo normale esterno devono avere lo stesso segno dello sforzo normale applicato. A questo punto, ssato un valore della curvatura e noto il campo deformativo, è possibile valutare il campo tensionale in ciascun elemento adoperando i legami costitutivi prescelti. La risultante del campo di tensioni è data da :
Nint =
nX d ,md
θ i · σ i · Ai +
i=1
nX arm
σ j · Aj
j=1
Dove ogni elemento della matrice occupato dalla sezione (θi normale con una tensione
= 1) contribuisce allo sforzo σi calcolata in funzione della deformazione presente nel suo baricentro,
e al contributo del calcestruzzo si somma quello delle armature. Allo stesso modo vengono valutati il momenti ettenti, rispetto agli assi del sistema di riferimento:
Mx =
nX d ,md
θi · σi · Ai · yi +
i=1
My =
nX d ,md
nX arm
σj · Aj · yj
j=1
θi · σi · Ai · xi +
i=1
nX arm j=1
34
σj · Aj · xj
quindi si valutano i momenti di trasporto rispetto al baricentro dell'intera sezione
Mx,g ,
My,g . L'angolo di inclinazione del piano di sollecitazione risultante è quindi dato da:
tan βint = −My,g /Mx,g
5.2.4 Criteri di convergenza e tecniche di iterazione
Nel caso di presso essione retta le equazioni da risolvere si riducono ad una sola equazione di equilibrio: l'integrale del campo tensionale sulla sezione deve restituire un valore allo sforzo esterno applicato
Nest .
Nint
pari
Questo problema diventa generalmente non lineare quando si
supera la fase elastica lineare e può essere risolto cambiando iterativamente la posizione dell'asse neutro nché non si ottiene la condizione di equilibrio fornita dalla condizione di convergenza
|Nint − Nest | ≤ tolleranza. Nel caso di presso essione deviata il problema si complica ulteriormente in quanto è necessario risolvere il sistema di equazioni accoppiate di equilibrio alla traslazione e alla rotazione nelle incognite di posizione ed inclinazione dell'asse neutro.
In questo caso si aggiunge quindi la condizione di convergenza dove
β
|βint − βest | ≤ tolleranza
sono gli angoli di inclinazione della traccia del piano di sollecitazione sulla sezione. Il
processo di iterazione ora è quindi notevolmente più complesso per la necessità di raggiungere la doppia convergenza di due equazioni non lineari accoppiate.
Tale problema è risolto utilizzando due iterazioni annidate: mantenendo costante lo sforzo normale applicato
Nest
che si assume giacere sempre sulla stessa retta di inclinazione pari a
βest ,
si fa variare in primo luogo la profondità dell'asse neutro no ad soddisfare la prima condizione convergenza e quindi il processo iterativo è ripetuto al variare dell'inclinazione dell'asse ntanto che non risulti soddisfatta anche la seconda.
Pertanto per ciascun valore dell'inclinazione
β,
variabile principale, si esegue un ciclo iterativo per equilibrare lo sforzo normale, quindi si valutano i momenti ettenti generati dalla sezione in tali condizioni che consentono di calcolare il valore
βint
, se la dierenza di quest'ultimo con
βest
risulta maggiore della tolleranza si
individua un nuovo valore ed il ciclo ricomincia, lo schema dell'algoritmo è rappresentato in gura.
35
Figura 5.3: Diagramma di usso schematico dell'algoritmo [4].
A causa della elevata non linearità del problema è necessario adottare delle tecniche di ottimizzazione dei processi iterativi e dei criteri di convergenza. Per risolvere il problema dell'equilibrio assiale si adotta un metodo di interpolazione lineare modi cato (o regula falsi) con approccio secante. Alla base di questo metodo vi è la considerazione che la soluzione dell'equazione deve essere compresa tra due punti che forniscono valori di segno opposto della funzione continua. Appena sono disponibili tali valori a e b è possibile operare con metodi più ra nati che operano su intervalli chiusi[a, b] consentendo di approssimare la soluzione con una interpolazione lineare con una corda che connette i due valori ed
f (b)
ϕ = [f (b) − f (a)]/(b − a). Tale soluzione xnew = a − f (a)/ϕ [4].
di pendenza
nuova stima della
36
f (a)
corda interseca l'asse delle ascisse nella
Figura 5.4: Regula falsi con approccio secante [4].
Questo metodo può risultare poco e cace se la derivata della funzione è elevata in prossimità della soluzione, per evitare ciò l'algoritmo utilizza il metodo di Newton modi cato che non prevede la valutazione della pendenza
ϕ
ad ogni passo e quindi non diverge se ad un passo la
derivata si annulla. Si adotta sempre la pendenza della corda valutata al primo tentativo e se la convergenza è ancora lenta si può ridurre la pendenza. Per valutare i primi due valori di tentativo della soluzione si possono considerare le due rette limite tangenti la sezione in due punti estremi (come visibile in gura): in modo che nel primo caso la sezione risulta tutta tesa (a) e nel secondo tutta compressa (b).
Figura 5.5: Posizioni limite (a) e (b) dell'asse neutro [4].
37
Il problema della ricerca dell'asse neutro è un problema ristretto ad un dominio chiuso, precisamente tra
0
e
180°
, in quanto ai ni della soluzione l'asse neutro è coincidente ma di
segno opposto se viene ruotato di un angolo piatto. Il metodo più rapido, a partire da un valore iniziale di tentativo, che può essere ad esempio una inclinazione perpendicolare all'inclinazione dell'asse di sollecitazione, per ottenere la convergenza è il metodo della bisezione. Ad ogni iterazione viene dimezzato l'intervallo di ricerca mantenendo la sola metà in cui si osserva una inversione di segno della funzione agli estremi.
5.2.5 Costruzione del dominio di resistenza La costruzione del dominio di resistenza può essere realizzata rapidamente perché non vi è la necessità di far coincidere la direzione della sollecitazione interna con una determinata direzione di sollecitazione esterna, questo perché ovviamente il dominio è rappresentativo di un fascio di piani con inclinazione comunque variabile. E' quindi su ciente far variare la sola profondità dell'asse neutro, a sforzo normale costante, ripetendo il ciclo per dierenti valori dell'inclinazione, in questo modo si ottiene per punti la sezione del dominio tridimensionale a sforzo normale costante.
38
Capitolo 6
Analisi delle sezioni
Di seguito è stato eettuato lo studio di tre dierenti sezioni in calcestruzzo armato, rispettivamente di forma quadrata, rettangolare ed a L.
Di ciascuna sezione si sono calcolati i momenti resistenti lungo gli assi principali al ne di costruirne il dominio resistente
Mx − My
utilizzando il metodo Load Contour proposto dalla
normativa.
In seguito la curva d'interazione continua ottenuta con l'equazione sempli cata utilizzando esponenti appropriati è stata messa a confronto con la curva ottenuta per punti dal calcolo computerizzato che sfrutta l'algoritmo precedentemente introdotto.
Scopo di tale studio è veri care l'aderenza del risultato ottenuto col metodo sempli cato di Bresler alla curva limite reale della sezione, o perlomeno quella che più si avvicina alla realtà, derivante dal calcolo analitico.
Per garantire la massima confrontabilità dei risultati, per il calcolo sempli cato delle tensioni nel calcestruzzo, si è utilizzato il legame sforzo-deformazione di tipo parabola-rettangolo in luogo al più comune schema stress-block, essendo quest'ultimo non contemplato nel programma utilizzato per l'analisi agli elementi niti.
39
6.1 Sezione quadrata 6.1.1 Caratteristiche della sezione, dei materiali e della sollecitazione
Figura 6.1: Sezione quadrata; Geometria della sezione.
Figura 6.2: Sezione quadrata; Livelli di armature.
Dati sezione CLS: Calcestruzzo tipo C 30/37.
b H h δ i Ac 300 mm 300 mm 262 mm 38 mm 74.67 mm 90000 mm2 Dati aree acciaio : Acciaio tipo B450C.
As1 4φ16
As2 2φ16
As3 2φ16
As4 4φ16
804 mm2 402 mm2 402 mm2 804 mm2
40
Dati sollecitazione: NEd = 150.00kN ;
Resistenze di calcolo dei materiali: Ricavate dalle resistenze caratteristiche applicando i relativi coe cienti riduttivi come previsto dalle NTC:
fcd = αcc · fyd =
fyk γs
fck γc
=
= 0.85 ·
450 1.15
30 1.5
kN = 17M P a = 0.017 mm 2;
kN = 391.3M P a = 0.3913 mm 2.
6.1.2 Calcolo secondo NTC Scelta dei legami sforzo-deformazione:
Legame sforzo-deformazione per il calcestruzzo: schema parabola-rettangolo;
Legame sforzo-deformazione per l'acciaio: schema elastico-plastico inde nito.
Calcolo dello sforzo normale ultimo per rottura bilanciata La condizione di rottura bilanciata corrisponde al punto E del diagramma M-N. In questo punto si raggiunge la massima deformazione ammissibile nel calcestruzzo e la deformazione di snervamento nell'acciaio teso. Rappresenta un punto di separazione tra due diversi meccanismi di collasso della sezione, a sinistra l'acciaio teso si trova in campo plastico mentre a destra, a causa del maggior apporto dello sforzo normale alla sollecitazione, l'acciaio teso si trova in campo elastico e la rottura avviene per il cedimento del calcestruzzo a compressione. Per individuare il punto di rottura bilanciata si procede al calcolo dello sforzo normale ultimo in tale condizione, imponendo quindi l'equilibrio alla traslazione per la sezione a 4 livelli di armatura sotto opportune ipotesi per il campo di deformazioni. le ipotesi sono le seguenti:
As1
snervata;
As4
snervata;
As2
non snervata;
As3
non snervata;
tali ipotesi andranno in seguito veri cate. L'equazione che si ottiene è:
NU b = fcd · β · b · yc + As1 · fyd + As2 · εs2 · Es − As3 · εs3 · Es − As4 · fyd Le deformazioni in campo elastico di
As3
e
As2
si possono ricavare per similitudini tra
triangoli considerando il diagramma delle deformazioni:
Una volta ricavato
yc
εs2 =
εcu · (xc − δ − i) ; yc
εs3 =
εcu · (h − yc − i) ; yc
queste equazioni verranno utilizzate per veri care le ipotesi sulle
condizioni deformative dei vari livelli di armatura.
41
Il valore di
yc
e quindi la posizione dell'asse neutro per il punto di rottura bilanciata si
può facilmente calcolare imponendo un'equazione di congruenza, dato che risultano note le deformazioni ultime sia dell'acciaio teso che del calcestruzzo compresso:
εyd εcu h · εcu = ⇒ yc = = 169.8mm h − yc yc εyd + εcu Ora si procede come anticipato col veri care, prima di calcolare
NU b ,
che i vari livelli di
armatura si trovino eettivamente nelle condizioni ipotizzate:
εs2 = 0.0012; εs3 = 0.0004; Veri cate le ipotesi si procede al calcolo di
NU b :
NU b = fcd · β · b · yc + As1 · fyd + As2 · εs2 · Es − As3 · εs3 · Es − As4 · fyd = 767.69kN Essendo chiaramente
NEd < NU b
la rottura avverrà per raggiungimento della deformazione
ultima nell'armatura in trazione. Ora, noto
NEd
e il meccanismo di rottura, posso procedere al calcolo di
yc
ed in seguito
ricavare il massimo momento resistente della sezione. Per il calcolo di
yc
si sfrutta ancora una volta l'equazione di equilibrio alla traslazione
ipotizzando:
As1
snervata;
As4
snervata;
As2
non snervata;
As3
non snervata;
L'equazione è ora:
NEd = fcd · β · b · yc + As1 · fyd + As2 · εs2 · Es − As3 · εs3 · Es − As4 · fyd Sostituendo le relazioni trovate in precedenza per le deformazioni si ottiene un'equazione di secondo grado in
yc .
NED ·yc = fcd ·β ·b·yc2 +(As1 − As4 )·fyd ·yc +As2 ·Es ·εcu ·(yc − δ − i)−As3 ·Es ·εcu ·(h − yc − i) Che fornisce la seguente soluzione reale positiva: A questo punto si veri ca che
As2
e
As3
yc = 102.11mm.
siano in fase elastica come ipotizzato:
εs2 = −0.0004; εs3 = 0.0029; Quindi in realtà
As3
si trova già in fase plastica, mentre
As2 , pur non snervata, risulta essere
tesa, al contrario di quanto ipotizzato, pertanto il calcolo va reimpostato come segue:
εs2 =
εcu · (δ + i − yc ) ; yc
NED · yc = fcd · β · b · yc2 + (As1 − As4 − As3 ) · fyd · yc − As2 · Es · εcu · (δ + i − yc )
42
Che porta a:
yc = 91.05mm.
Si veri cano nuovamente le ipotesi fatte sulle armature:
εs2 = 0.0008;
εs3 = 0.0037; Le ipotesi risultano essere veri cate quindi è possibile procedere al calcolo del momento resistente sfruttando l'equilibrio alla rotazione attorno all'asse neutro:
MRd,x = fcd · β · b · yc2 · (1 − k) + As1 · fyd · (yc − δ) + As2 · Es · εs2 · (δ + i − yc ) +
+As3 · fyd · (δ + 2i − yc ) + As4 · fyd · (h − yc ) = 107.05kN m y , ovvero MRd,x appena
A questo punto sarebbe necessario calcolare il momento resistente in direzione
MRd,y
ma ovviamente in virtù della simmetria della sezione esso risulta uguale ad
calcolato. Ottenuti i valori estremi del dominio, intercette sugli assi
x, y ,
è possibile ricavarne la curva
limite utilizzando la relazione fornita dalla normativa una volta scelto il coe ciente Per quest'ultimo si è scelto il valore
α = 1.4
α.
come suggerito in [2] per sezioni quadrate e
rettangolari, non prima di aver provato altri valori e constatato che la curva limite risultante non subisce variazioni sensibili. La curva limite è stata plottata per punti, utilizzando un ragionevole intervallo di valori di
Mx
pari a
5kN m
in ascissa e facendo corrispondere ad ognuno l'ordinata positiva e negativa
secondo la relazione.
Figura 6.3: Sezione quadrata; Condizione di rottura bilanciata.
43
Figura 6.4: Sezione quadrata; Momento
MRd,x .
6.1.3 Calcolo mediante algoritmo agli elementi niti In questa fase è stato utilizzato il software BIAXIAL BENDING precedentemente introdotto, di seguito si riportano le fasi fondamentali che consentono di ottenere la curva limite. La primissima fase del calcolo consiste nella scelta delle unità di misura per forze e dimensioni geometriche, in questo caso
kN
e
mm.
De nizione della geometria della sezione In questa fase viene richiesto l'inserimento delle coordinate dei vertici dell'area di calcestruzzo, considerando che i vertici debbano essere de niti consecutivamente in senso antiorario sul perimetro esterno [4]. La tabella risultante è pertanto la seguente:
n.
x [mm]
y [mm]
1 2 3 4
0 300 300 0
0 0 300 300
In seguito è necessario inserire i dati relativi all'entità ed alla posizione delle armature. ciascuna barra vengono inserite quindi le coordinate del baricentro e l'area in
mm2 ,
Di
in questo
caso l'ordine in cui vengono inserite le coordinate non risulta rilevante.
De nizione dei materiali impiegati. Quindi è necessario inserire i dati relativi ai materiali impiegati, calcestruzzo e acciaio, scegliendo naturalmente anche il legame sforzo-deformazione che si intende utilizzare per il calcolo.
Per il calcestruzzo, scelto il legame di tipo parabola-rettangolo (6), vengono richiesti il valore di
f cd
e il valore
εcu ,
rispettivamente
kN 0.017 mm 2
e
0.0035.
Per l'acciaio, scelto il legame di tipo elastico-plastico inde nito (2), vengono richiesti i valori di assunto
kN E1 = Es = 206 mm 2 , Eps1 = εyd = 0.0019, Eps2 = εud . Per quest'ultimo si è il valore 0.01, valore molto distante dalle reali capacità deformative dell'acciaio
ma convenzionalmente adottato in passato per questo tipo di diagramma in quanto si riteneva che oltre tale valore la fessurazione del calcestruzzo diventasse eccessiva e non fosse più garantita l'aderenza tra acciaio e calcestruzzo[2].
44
De nizione del livello di approssimazione
Prima di procedere al calcolo è in ne necessario indicare la tolleranza che si desidera mantenere sul valore di sforzo normale ottenuto dalle iterazioni ed il numero di intervalli (e quindi sostanzialmente le dimensione degli elementi niti) in cui si desidera dividere gli assi della sezione.
Considerando che i risultati ottenuti vengono comunque confrontati con una curva limite ottenuta per punti ad intervalli di
5kN m si è ritenuto su ciente suddividere gli assi della sezione 0.01%N .
in 100 intervalli niti e mantenere una tolleranza pari allo
Risultati del calcolo
Inserito il valore
Nmax Nmin εc εs Mx My
NEd = 150kN
il programma restituisce nell'ordine i seguenti risultati:
2474kN −944kN 0.0035 −0.0067 116031.16kN mm −0.08kN mm
Ed in seguito fornisce l'intera tabella dei valori necessari a plottare l'intera curva limite, valori che sono stati inseriti nel gra co precedentemente realizzato per il calcolo secondo la normativa.
45
Dominio d'interazione 140
α = 1.4
Valori da calcolo agli elementi finiti. 120 Valori secondo NTC. 100
80
60
40
M(y)
20
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140 M(x)
Figura 6.5: Sezione quadrata; Curve limite per
46
α = 1.4.
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
-20.00
-40.00
-60.00
-80.00
-100.00
-120.00
-140.00
0
Dominio d'interazione 140
α = 1.5
Valori da calcolo agli elementi finiti. 120 Valori secondo NTC. 100
80
60
40
M(y)
20
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
-20.00
-40.00
-60.00
-80.00
-100.00
-120.00
-140.00
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140 M(x)
Figura 6.6: Sezione quadrata; Curve limite per
α = 1.5.
Commento alle gure Come facilmente osservabile, per quanto le due curve non siano adiacenti, la curva d'interazione ottenuta mediante l'equazione fornita dalla normativa utilizzando un coe ciente
α = 1.4
approssima molto bene l'andamento della curva d'interazione reale. Inoltre, come anticipato, la dierenza con la curva ottenuta per
α = 1.5
risulta appena percepibile:
solo un'attenta
osservazione consente di rilevare come quest'ultima tenda a sovrastimare i valori del momento resistente per angoli di sollecitazione prossimi a
47
45°,
avendo una convessità più accentuata.
La corretta valutazione della bontà dell'approssimazione è resa più di cile dallo scostamento tra le curve dovuto molto probabilmente all'approssimazione a due sole cifre decimali mantenuta
8.30kN per i valori di momento 7.19% del momento ottenuto mediante
per il calcolo manuale. L'entità di tale scostamento è di circa corrispondenti alle presso essioni rette, pari all'incirca al il calcolo computerizzato.
6.2 Sezione rettangolare Di seguito si propone l'analisi di una generica sezione rettangolare, soggetta ad uno sforzo normale
N = 150kN
come la precedente.
Figura 6.7: Sezione rettangolare; Geometria della sezione.
6.2.1 Caratteristiche della sezione, dei materiali e della sollecitazione Dati sezione CLS: Calcestruzzo tipo C 30/37.
b H h δ i j Ac 250 mm 360 mm 322 mm 38 mm 71 mm 87 mm 90000 mm2 Dati aree acciaio : Acciaio tipo B450C.
As1 3φ16
As2 2φ16
As3 2φ16
As4 2φ16
As5 3φ16
A0s1 5φ16
A0s2 2φ16
A0s3 5φ16
603 mm2 402 mm2 402 mm2 402 mm2 603 mm2 1005 mm2 402 mm2 1005 mm2
48
Dati sollecitazione: NEd = 150.00kN ;
Resistenze di calcolo dei materiali: Ricavate dalle resistenze caratteristiche applicando i relativi coe cienti riduttivi come previsto dalle NTC:
fck γc = 450 = 1.15
fcd = αcc · fyd =
fyk γs
0.85 ·
30 1.5
kN = 17M P a = 0.017 mm 2;
kN = 391.3M P a = 0.3913 mm 2.
6.2.2 Calcolo secondo NTC Scelta dei legami sforzo-deformazione:
Legame sforzo-deformazione per il calcestruzzo: schema parabola-rettangolo;
Legame sforzo-deformazione per l'acciaio: schema elastico-plastico inde nito.
Calcolo del momento resistente in direzione x,
M Rd,x
:
Per prima cosa si procede al calcolo del valore di sforzo normale ultimo per rottura bilanciata. Come in precedenza si individua la posizione dell'asse neutro corrispondente a tale situazione mediante la relazione tra deformazione ultima nel calcestruzzo compresso e deformazione di snervamento nell'armatura tesa inferiore:
εyd εcu h · εcu = ⇒ yc = = 208.7mm h − yc yc εyd + εcu Osservando tale valore si fanno le seguenti ipotesi sulla condizione deformativa delle armature:
As1
snervata;
As2
non snervata;
As3
non snervata;
As4
non snervata;
As5
snervata.
Pertanto vengono riportate le relazioni basate sulle similitudini tra triangoli che permettono di calcolare la deformazione delle precedenti armature in campo elastico:
Disponendo del valore di
yc
εs2 =
εcu · (yc − δ − i) ; yc
εs3 =
εcu · (yc − δ − 2i) ; yc
εs4 =
εcu · (δ + 3i − yc ) ; yc
si può veri care che le ipotesi circa la condizione deformativa
dei vari livelli di armatura fossero corrette, dal calcolo risultano:
εs2 = 0.0016;
49
εs3 = 0.0005; εs4 = 0.0007; Quindi, veri cata la correttezza delle ipotesi, l'equazione di equilibrio alla traslazione fornisce il valore di sforzo normale ultimo per rottura bilanciata
NU b :
NU b = fcd · β · b · yc + As1 · fyd + As2 · εs2 · Es + As3 · εs3 · Es − As4 · εs4 · Es − As5 · fyd = 838.02kN
Figura 6.8: Sezione rettangolare; Condizione di rottura bilanciata.
Tale valore risulta essere decisamente superiore al valore
NED
utilizzato per la veri ca,
pertanto la rottura avverrà per collasso dell'armatura tesa e sulla base di queste considerazioni si fanno le successive ipotesi sullo stato deformativo dei vari livelli di armatura:
As1
snervata;
As2
non snervata;
As3
non snervata;
As4
snervata;
As5
snervata.
La posizione dell'asse neutro si ricava sempre dall'equazione di equilibrio alla traslazione che risulta essere di secondo grado in
yc :
NED ·yc = fcd ·β·b·yc2 +(As1 − As4 − As5 )·fyd ·yc +As2 ·Es ·εcu ·(yc − δ − i)−As3 ·Es ·εcu ·(δ + 2i − yc ) Da cui risulta
yc = 121.36mm.
Si veri cano pertanto le ipotesi sulla deformazione dei due livelli di armatura più vicini all'asse neutro:
εs2 =
εcu · (yc − δ − i) = 0.00036; yc
50
εs3 =
εcu · (δ + 2i − yc ) = 0.00169; yc
Veri catane la correttezza si procede al calcolo del momento resistente generato dalla sezione in tali condizioni:
MRd,x = fcd · β · b · yc2 · (1 − k) + As1 · fyd · (yc − δ) + As2 · Es · εs2 · (yc − δ − i) + +As3 · fyd · (δ + 2i − yc ) + As4 · fyd · (δ + 3i − yc ) + As5 · fyd · (h − yc ) = 122.59kN m
Figura 6.9: Sezione rettangolare; Momento
MRd,x .
Calcolo del momento resistente in direzione y, M Rd,y : Si riporta di seguito nei passaggi essenziali lo stesso procedimento eseguito in precedenza ripetuto in direzione ortogonale. A tal ne si sono indicati con:
A0s1 = 1005mm2 A0s2 = 402mm2
;
;
A0s3 = 1005mm2
.
I nuovi livelli di armatura dati dal raggruppamento delle barre aventi uguale ascissa Si ipotizzano non snervate l' armatura
A0s1
e l'armatura
A0s2
x.
e si procede al calcolo della
posizione dell'asse neutro:
NED · xc = fcd · β · h · x2c + A0s1 · Es · εcu (xc − δ) − A0s2 · Es · εcu · (δ + j − xc ) − As3 · fyd · xc Che fornisce
xc = 75.44mm.
Si veri cano le ipotesi sulle armature, da cui risultano:
ε0s1 = 0.00174;
51
ε0s2 = 0.00230; Da cui si evince che
A0s2
in realtà è snervata e pertanto è necessario reimpostare il calcolo
come segue:
NED · xc = fcd · β · h · x2c + A0s1 · Es · εcu (xc − δ) − A0s2 · fyd · xc − As3 · fyd · xc che restituisce
xc = 72.14mm,
cui corrispondono i seguenti valori delle deformazioni:
ε0s1 = 0.00166; ε0s2 = 0.00256; Con i valori delle deformazioni congruenti con le ipotesi fatte si prosegue al calcolo del momento resistente:
MRd,y = fcd · β · H · x2c · (1 − k) + As1 · Es · ε0s1 · (xc − δ) + As2 · fyd · (δ + j − xc ) +
+As3 · fyd · (b − δ − xc ) = 90.13kN m. Anche in questo caso per tracciare la curva limite si è scelto il valore
α = 1.4 come suggerito
in [2] per sezioni quadrate e rettangolari e come in precedenza sono stati provati anche altri valori veri cando ancora una volta che la curva limite risultante non subisce variazioni apprezzabili.
Figura 6.10: Sezione rettangolare; Momento
MRd,y .
6.2.3 Calcolo mediante algoritmo agli elementi niti In questa fase come per la sezione precedente è stato utilizzato il software BIAXIAL BENDING. Il procedimento risulta analogo a quanto già visto pertanto in seguito di riportano solo i passaggi fondamentali.
52
De nizione della geometria della sezione La tabella con le coordinate dei vertici della sezione in calcestruzzo è la seguente:
n.
x [mm]
y [mm]
1 2 3 4
0 250 250 0
0 0 360 360
De nizione dei materiali impiegati. Come in precedenza vengono scelti:
Per il calcestruzzo, il legame di tipo parabola-rettangolo (6). Vengono richiesti il valore di
f cd
e il valore
εcu ,
rispettivamente
kN 0.017 mm 2
e
0.0035;
Per l'acciaio, il legame di tipo elastico-plastico inde nito (2). Vengono richiesti i valori di
kN E1 = Es = 206 mm 2 , Eps1 = εyd = 0.0019, Eps2 = εud = 0.01.
De nizione del livello di approssimazione Anche in questo caso, anche per omogeneità col precedente, si mantiene la suddivisione gli assi della sezione in 100 intervalli niti e una tolleranza pari allo
0.01%N .
Risultati del calcolo Inserito il valore
Nmax Nmin εc εs Mx My
NEd = 150kN
il programma restituisce nell'ordine i seguenti risultati:
2474kN −944kN 0.0035 −0.0059 134566.72kN mm −0.059kN mm
53
Dominio Mx - My 150
α=1.4
Valori da calcolo agli elementi finiti 130
Valori secondo NTC
110 90 70 50 30
150
130
110
90
70
50
30
-10
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
-130
-150
M(x)
10
-30 -50 -70 -90 -110 -130 -150 M(y)
Figura 6.11: Sezione rettangolare; Curve limite per
α = 1.4.
Commento alla gura Anche in questo caso la curva ottenuta con un coe ciente
α = 1.4
approssima ottimamente la
forma del dominio d'interazione reale, si è tralasciato il gra co ottenuto impostando
α = 1.5
in
quanto il risultato del confronto risulta analogo a quanto già osservato per la sezione precedente. Come in precedenza si può inoltre osservare un certo scostamento tra la curva e i valori di momento resistente ottenuti dal software, la motivazione è quella già esposta legata all'approssimazione del calcolo manuale. In questo caso lo scostamento in corrispondenza delle presso essioni rette risulta essere di all'8.73% ed al
7.93%
11.74kN
e
7.77kN
rispettivamente in direzione
dei valori ottenuti dal programma di calcolo.
6.3 Sezione ad L Di seguito si analizza una sezione ad L ad ali simmetriche.
54
x ed y , pari
Data l'area maggiore di calcestruzzo rispetto alle sezioni precedentemente considerate si utilizzerà come sforzo normale di progetto un valore che stia nello stesso rapporto con lo sforzo normale ultimo per compressione centrata dei casi precedentemente analizzati.
6.3.1 Considerazioni sulla geometria La sezione presenta un asse di simmetria inclinato di 45° che risulta essere quindi asse principale d'inerzia. Il baricentro si troverà lungo questo asse e il secondo asse principale, perpendicolare al primo, conterrà anch'esso il punto baricentrico. Ai ni dell'analisi presso essionale le direzioni degli assi
x
e
y
del sistema di riferimento
vanno pertanto fatte coincidere con le direzioni degli assi principali precedentemente descritti. Si fa coincidere in particolare l'asse
y
del sistema di riferimento con l'asse di simmetria della
sezione. La simmetria della sezione ha come conseguenza l'uguaglianza dei momenti resistenti
y , ovvero : MRd,y+ = MRd,y− , al contrario i momenti x risultano dierenti in quanto la sezione non è simmetrica rispetto a tale
massimi positivi e negativi diretti lungo resistenti in direzione asse:
MRd,x+ 6= MRd,x− .
Per il tracciamento della curva limite della sezione sarà pertanto necessario procedere al calcolo dei tre momenti
MRd,y
,
MRd,x+
,
MRd,x− .
Dato il numero e la disposizione delle barre d'acciaio presenti nella sezione sarà necessario di volta in volta considerare dierenti livelli di armatura ed attribuire loro una diversa numerazione.
6.3.2 Caratteristiche della sezione, dei materiali e della sollecitazione
Figura 6.12: Sezione a L; Geometria della sezione.
Dati sezione CLS: Calcestruzzo tipo C 30/37.
a b δ i Ac 250 mm 175 mm 38 mm 87 mm 150000 mm2
55
Dati aree acciaio : Acciaio tipo B450C.
As 16φ16
3216 mm2 Dati sollecitazione: NEd = 230.00kN ;
Resistenze di calcolo dei materiali: Ricavate dalle resistenze caratteristiche applicando i relativi coe cienti riduttivi come previsto dalle NTC:
fcd = αcc · fyd =
fyk γs
fck γc
=
= 0.85 ·
450 1.15
30 1.5
kN = 17M P a = 0.017 mm 2;
kN = 391.3M P a = 0.3913 mm 2.
6.3.3 Calcolo secondo NTC Calcolo del momento resistente MRd,x
−
Figura 6.13: Sezione a L; Armature per
Grandezze geometriche necessarie al calcolo:
iy
dy
Hy
hy
62.22mm
53.74mm
477.30mm
423.56mm
Raggruppamento delle barre di armatura:
56
MRd,x− .
As1
As2
As3
As4
As5
As6
As7
1φ16
2φ16
2φ16
2φ16
3φ16
4φ16
2φ16
201mm2
402mm2
402mm2
402mm2
603mm2
804mm2
402mm2
Calcolo della posizione dell'asse neutro per rottura bilanciata:
εyd εcu hy · εcu = ⇒ yc,b = = 274.53mm hy − yc,b yc,b εyd + εcu Si fanno le seguenti ipotesi sulle armature:
As1
snervata;
As2
snervata;
As3
non snervata;
As4
non snervata;
As5
non snervata;
As6
non snervata;
As7
snervata.
Infatti si ha che le deformazioni sono:
εs3 =
εcu · (yc,b − δy − 2iy ) = 0.001228; yc,b
εs4 =
εcu · (yc,b − δy − 3iy ) = 0.000435; yc,b
εs5 =
εcu · (δy + 4iy − yc,b ) = 0.000358; yc,b
εs6 =
εcu · (δy + 5iy − yc,b ) = 0.001514; yc,b
57
Figura 6.14: Sezione a L; Rottura bilanciata per momento
Mx − .
Fatto ciò si imposta l'equazione dell'equilibrio alla traslazione, tuttavia dierentemente da quanto fatto in precedenza, in questo caso l'area di calcestruzzo reagente risulta essere triangolare, pertanto i coe cienti
β
e
k
vanno riscelti.
In [2] viene fornita un'esauriente trattazione che permette di ricavare tali valori per qualsiasi tipo di area, in particolare per una porzione triangolare si suggerisce:
β = 0.673 k = 0.567 Per cui non resta che risolvere l'equazione:
NU b = fcd ·β·Ac +As1 ·fyd +As2 ·εs2 ·Es +As3 ·εs3 ·Es +As4 ·εs4 ·Es −As5 ·εs5 ·Es −As6 ·εs6 ·Es −As7 ·fyd Dove l'area
Ac
del calcestruzzo reagente è funzione della posizione dell'asse neutro
yc,b
e in
particolare, data la geometria della sezione risulta:
2 Ac = yc,b Pertanto sostituendo nella precedente si ottiene:
2 NU b = fcd · β · yc,b + As1 · fyd + As2 · εs2 · Es + As3 · εs3 · Es +
+As4 · εs4 · Es − As5 · εs5 · Es − As6 · εs6 · Es − As7 · fyd = 783.41kN Risulta sempre
NEd < NU b
quindi la rottura avverrà per raggiungimento della deformazione
massima nell'armatura tesa. Si fanno le seguenti ipotesi sulle condizioni deformative delle armature:
58
As1
snervata;
As2
non snervata;
As3
non snervata;
As4
non snervata;
As5
non snervata;
As6
snervata;
As7
snervata.
Per completezza si riporta la relazione che permette di ricavare
εs2
precedentemente non
riportata:
εs2 =
εcu · (yc − δy − iy ) yc
Si imposta nuovamente l'equazione di equilibrio alla traslazione per il carico permette di calcolare il valore di
yc
N = NEd
che
.
L'equazione viene moltiplicata per
yc
per sempli care i denominatori nelle espressioni del-
le deformazioni, nel fare ciò si ottiene un termine cubico dovuto alla presenza del termine quadratico relativo alla sezione di calcestruzzo reagente.
NEd · yc = fcd · β · yc3 + As1 · fyd · yc + As2 · Es · εcu · (yc − δy − iy ) + +As3 · Es · εcu · (yc − δy − 2iy ) + As4 · Es · εcu · (yc − δy − 3iy ) −As5 · Es · εcu · (yc − δy − 4iy ) − As6 · εs6 · yc − As7 · fyd · yc L'equazione fornisce tre radici, l'unica radice reale e quindi accettabile è
yc = 226.21mm.
Si procede quindi a veri care le ipotesi fatte sulle armature:
εs2 = 0.001706; εs3 = 0.000743; εs4 = 0.000219; εs5 = 0.001182; Come controllo si veri ca anche il valore della deformazione nell'armatura
As6
che come
ipotizzato risulta:
εs6 = 0.0021449; Si procede quindi al calcolo del momento resistente
MRd,x−
impostando al solito l'equazione
di equilibrio alla rotazione:
MRd,x− = fcd · β · yc3 · (1 − k) + As1 · fyd · (yc − δy ) + As2 · Es · εs2 · (yc − δy − iy ) + +As3 · Es · εs3 · (yc − δy − 2iy ) + As4 · Es · εs4 · (δy + 3iy − yc ) + As5 · Es · εs5 · (δy + 4iy − yc ) + +As6 · Es · εs6 · (δy + 5iy − yc ) + As7 · fyd · (hy − yc ) Che restituisce
MRd,x− = 175.57kN m
59
Calcolo dei momenti resistenti MRd,x e MRd,y +
Il calcolo di questi valori di momento resistente col procedimento utilizzato nora risulta oltremodo complesso; la ragione è la forma dell'area di calcestruzzo reagente, che rende di cile il calcolo della risultante delle tensioni. Per quanto riguarda
MRd,x+
ad esempio, nel caso di rottura bilanciata, l'area di calcestruzzo
reagente risulta essere composta da due porzioni triangolari, per le quali si possono usare coe cienti
β
e
k
noti, ma nel caso l'asse neutro si discosti anche di poco a causa di uno
sforzo normale maggiore, l'area di calcestruzzo reagente cambia e, al di sotto dei triangoli, sono interessate una o più porzioni di forma trapezia.
Figura 6.15: Sezione a L; Momento
Mx + .
In tal caso è necessario ricorrere ad un'analisi più dettagliata del diagramma sforzo-deformazione di tipo parabola-rettangolo individuando l'ordinata per la quale si raggiunge la deformazione
εc2
cui corrisponde la tensione
fcd
: al di sopra di tale valore la tensione è costante ed è su -
ciente individuare l'area interessata, mentre al di sotto è necessario procedere per integrazione poiché le tensioni seguono un andamento parabolico. Anche riuscendo a parametrizzare le varie porzioni di sezione ed esprimere tutto in funzione dell'ordinata dell'asse neutro ricercata per poi procedere con l'integrazione, si otterrebbe un'equazione di quarto grado nell'incognita
yc .
Da quanto esposto risulta evidente che il calcolo manuale non è assolutamente conveniente, considerando poi che il presente lavoro è nalizzato allo studio della forma del dominio d'interazione e non al calcolo dei valori di momento resistente per una sezione ad L, si è preferito omettere tali calcoli e riportare semplicemente i valori del momento resistente necessari alla costruzione delle curve d'interazione ottenuti mediante l'analisi a bre. Tali valori sono stati poi ridotti di una quantità assimilabile agli scostamenti percentuali, ottenuti per le sezioni precedenti e per il valore
MRd,x− ,
tra i valori calcolati manualmente
e quelli forniti dal programma, in modo da non alterare sensibilmente la forma della curva d'interazione. Si sono scelti pertanto i seguenti valori:
MRd,x+ = 154.80kN MRd,y = 224.36kN
60
6.3.4 Calcolo mediante algoritmo agli elementi niti Nel calcolare il dominio limite della sezione mediante il software BIAXIAL BENDING si è deciso di fare riferimento ad un sistema di assi
{x0 , y 0 }
allineati con la sezione stessa al ne
di sempli care l'immissione dei dati e ridurre le possibilità di commettere errori (anche di approssimazione) nel de nire la geometria. Il programma restituirà quindi un dominio limite ruotato di
π/4
rispetto a quello ottenuto
manualmente facendo riferimento agli assi principali d'inerzia della gura, tuttavia sarà su -
(Mx0 , My0 )
ciente applicare una rotazione a ciascuna coppia di valori ottenuti nei valori
(Mx , My )
per trasformarli
da confrontare con quelli calcolati in precedenza.
De nizione della geometria della sezione Come anticipato nell'utilizzo del software si è scelto di inserire per comodità i dati geometrici della sezione facendo riferimento agli assi allineati con i lati della sezione stessa. Tale scelta porta alla seguente tabella con le coordinate dei vertici:
n.
x [mm]
y [mm]
1 2 3 4 5 5
0 250 250 425 425 0
0 0 175 175 425 425
In seguito sono state inserite le coordinate dei baricentri di ogni barra e il valore della relativa area.
De nizione dei materiali impiegati Come in precedenza vengono scelti:
Per il calcestruzzo, il legame di tipo parabola-rettangolo (6). Vengono richiesti il valore di
f cd
e il valore
εcu ,
rispettivamente
kN 0.017 mm 2
e
0.0035;
Per l'acciaio, il legame di tipo elastico-plastico inde nito (2). Vengono richiesti i valori di
kN E1 = Es = 206 mm 2 , Eps1 = εyd = 0.0019, Eps2 = εud = 0.01.
De nizione del livello di approssimazione Anche in questo caso, anche per omogeneità col precedente, si mantiene la suddivisione gli assi della sezione in 100 intervalli niti e una tolleranza pari allo
0.01%N .
Risultati del calcolo Inserito il valore
NEd = 230kN
per ottenere i valori dei vari momenti da confrontare con quelli
calcolati manualmente è necessario inserire anche il relativo angolo (in gradi sessagesimali) di sollecitazione.
Ovviamente tali valori saranno:
45°, 135°, 225°
e
315°
in modo da ottenere i
valori dei momenti resistenti nelle direzioni degli assi principali e confrontarli con i corrispettivi ottenuti in precedenza. Si noti che il programma restituisce i valori dei momenti
Mx 0
e
My 0
relativi all'angolo di
sollecitazione e che quindi il momento risultante va calcolato come somma tra i due vettori.
61
Angolo
Mx 0
My 0
|M |
45°
162.05kN m
160.69kN m
228.21kN m
135°
−115.52kN m
115.57kN m
163.40kN m
225°
160.31kN m
161.87kN m
227.82kN m
315°
130.06kN m
−129.81kN m
183.76kN m
Non si ritiene necessario riportare altri risultati in quanto questi risultano essere i più signi cativi.
Il primo ed il terzo valore corrispondono ai momenti
My
per
Mx = 0
ed in virtù della
simmetria della sezione dovrebbero risultare uguali, lo scarto tra i due è dovuto in parte alle approssimazioni del programma, osservabili direttamente dai valori dei momenti restituiti ed in parte dalle approssimazioni nel calcolo di
Si noti inoltre che tali valori non corrispondono ai valori massimi di nel gra co si ottengono per valori di
Mx > 0 .
62
Mx 0
e
My 0
|M |.
My
che come visibile
Dominio Mx - My 300
α = 1.5
Valori dal calcolo agli elementi finiti 260
Valori secondo NTC
220 180 140 100 60
-60 -100 -140 -180 -220 -260 -300 M(y)
Figura 6.16: Sezione a L; Curve limite per
63
α = 1.5.
300
260
220
180
140
100
60
-20
20
-20
-60
-100
-140
-180
-220
-260
-300
M(x)
20
Dominio Mx - My 300
α = 2.0
Valori dal calcolo agli elementi finiti 260
Valori secondo NTC
220 180 140 100 60
-60 -100 -140 -180 -220 -260 -300 M(y)
Figura 6.17: Sezione a L; Curve limite per
α = 2.
Commenti alle gure Ovviamente si tralascia di seguito l'osservazione riguardante lo scostamento dei valori di momento resistente ottenuti dall'algoritmo e quelli della curva, avendo volutamente utilizzato in fase di costruzione della stessa una dierenza di circa il
4.32%
per la determinazione dei mo-
menti resistenti lungo gli assi principali (le ragioni di tale scelta sono state già precedentemente esposte). Concentrandosi sul primo gra co, ottenuto con
α = 1.5,
risulta evidente che la simme-
tria della curva d'interazione realizzata con la formula di Bresler rende impossibile una buona approssimazione del dominio d'interazione reale, caratterizzato proprio dalla sua asimmetria. Nello speci co poi, la curva così ottenuta, risulta estremamente conservativa: il dominio d'interazione reale presenta una forte convessità e pertanto gran parte di esso risulta essere escluso dalla stessa. Alla luce di tali considerazioni è subito chiaro che il valore del coe ciente
α precedentemente
utilizzato per sezioni quadrate e rettangolari è inadatto a rappresentare il dominio della sezione ad L, sebbene la condizione di carico assiale si possa considerare analoga.
64
300
260
220
180
140
100
-20
60
20
-20
-60
-100
-140
-180
-220
-260
-300
M(x)
20
Si nota inoltre che anche l'utilizzo di un valore più elevato, come
α=2
(suggerito in [3]per
sezioni ellittiche e qui utilizzato solo in virtù della maggiore convessità che comporta nella curva d'interazione), non è in grado di rendere adeguatamente l'andamento reale del limite del dominio. Esso potrebbe peraltro causare, per alcuni valori di momento una sovrastima dei momenti resistenti.
65
Mx < 0,
addirittura
66
Capitolo 7
Conclusioni Col presente lavoro, come anticipato, si è voluta dimostrare la validità della formula elaborata da Bresler (1966) nell'ambito della sua teoria del Load Contour e ripresa dalla Normativa Italiana (2008) e dall'Eurocodice 2 (1992) per quanto riguarda l'analisi di sezioni quadrate e rettangolari soggette a presso essione deviata. Come si è visto, mediante la scelta di opportuni valori per il coe ciente
α,
peraltro facil-
mente reperibili in letteratura, è possibile ottenere. anche manualmente ed in pochi passaggi. un'ottima approssimazione della curva d'interazione che consente di eettuare velocemente il dimensionamento della sezione per qualsiasi eccentricità possibile, una volta de nito il valore di carico assiale. Tale vantaggio si esaurisce però alle sole sezioni di geometria elementare; l'analisi di una sezione ad L, anche se caratterizzata da un elevato grado di simmetria (sia riguardo le ali che le armature), comporta problematiche di cilmente risolvibili mediante il calcolo sempli cato. Infatti, non solo la determinazione dei momenti resistenti delle presso essioni rette risulta oltremodo complessa ma, anche individuando tali valori, l'approssimazione della curva d'interazione si rivela altrettanto poco praticabile per la mancanza di riferimenti che consentano di individuare valori adeguati da attribuire all'esponente
α.
La scelta di valori comunemente utilizzati per sezioni rettangolari e quadrate porta ad una stima assolutamente troppo conservativa del dominio d'interazione (vedasi gura 6.17), mentre la scelta di valori più elevati, come quelli (α
= 2)
suggeriti in vari riferimenti per sezioni
ellittiche, risulta azzardata al punto che in casi particolari potrebbe portare ad una sovrastima dei valori del momento resistente. Inoltre, in entrambi i casi, si è evidenziata l'incapacità del metodo sempli cato di approssimare un dominio di interazione non simmetrico rispetto ad uno dei due assi
Mx , My ,
ovvero
appartenente ad una sezione avente un solo grado di simmetria come la sezione ad L esaminata. Una adeguata approssimazione sarebbe possibile solo considerando separatamente le porzioni del dominio corrispondenti a valori positivi e negativi del momento diretto come l'asse principale non di simmetria, e quindi scegliendo adeguati coe cienti per ciascuno dei due casi, fatto che risulta come già detto complesso a causa della mancanza di riferimenti adeguati per eettuare tale scelta. Alla luce di quanto sperimentato è quindi ancora più apprezzabile l'indirizzo suggerito inizialmente da Hsu (1988) proprio riguardo le sezioni ad L, poi ampiamente adottata in letteratura, di rivolgersi all'analisi a bre, sfruttando la possibilità oerta dai calcolatori elettronici di risolvere velocemente procedimenti iterativi per giungere alla soluzione analitica in tutti quei casi in cui la geometria non elementare della sezione renda l'analisi sempli cata poco conveniente.
67
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