PRESION LATERAL DE TIERRA.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD FACUL TAD DE INGENI INGENIERÍ ERÍA A CIV CIVIL IL SECCIÓN DE POSTGRADO

Dr. ZENÓ ZENÓN N AGUILA AGUILAR R BARD BA RDAL ALES ES

CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES SÍSMICAS SÍSM ICAS Y MITIGACIÓN MITIGACIÓN DE DESASTRE DESASTRES S - CISM CISMID ID

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO

σ o′

= σ o σ h′ = σ h

y

K o

=

 A

Peso especifico del suelo =

γ

τ  f = c + σ tanφ  σ o′

σ ´h = Koσ ´o

B

z

σ ' h σ ' o

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO

σ o′

= σ o σ h′ = σ h

y

K o

=

 A

Peso especifico del suelo =

γ

τ  f = c + σ tanφ  σ o′

σ ´h = Koσ ´o

B

z

σ ' h σ ' o

Como

σ´o = z, tenemos σ´h = Ko ( z)

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944)

Ko = 1 – sen

φ

Donde φ = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados, Massarsch (1979) sugirió sugirió la siguiente siguiente ecuación ecuación para para Ko :

K o

IP(%) ⎤ ⎡ = 0.44 + 0.42⎢ ⎣ 100 ⎥⎦

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por

K o ( preconsolidada )

= K o (normalment econsolidada )

OCR

Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como

OCR =

presión de preconsolidación presión de sobrecarga efectiva presente

La magnitud de K o en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO

Peso específico del suelo =

 H 

Po

=

1 2

2

K o γ   H 

 H 

3

Ko γ H

γ

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDO

 A

H1

E

C

H

Peso específico del suelo = γ

z

Nivel de Agua freática

I

Ko γH1 Peso específico saturado del suelo = γsat

+

H2

F B

Ko ( γH1 + γ’H2)

G

J

γw H2 (b)

K

H1

Ko γH1

=

H2

Ko ( γH1 + γ’H2) + γw H2

(c)

Distribuci ó n de la presi ó n de tierra en en reposo s uelo parcialmente sumergido repos o para un suelo sumergid o

Presión efectiva vertical =

σ o′

= γ  H 1 + γ ′( z − H 1 )

Presión efectiva horizontal =

σ h′

= K oσ o′ = K o [γ  H 1 + γ ′( z − H 1 )]

u = γ w ( z − H 1 )

= σ h′ + u

σ h

Presión total horizontal =

= K o [γ  H 1 + γ ′( z − H 1 )] + γ w ( z − H 1 ) Po

=

1 2

2 1

K oγ   H 

1

+ K oγ  H 1 H 2 + ( K oγ ′ + γ w ) H 22 2

o

Po

=

1 2

[

2

K o γ   H 1

′ 22 ]+ γ w H 22 + 2γ  H 1 H 2 + γ  H 

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA Presi ó n activa acti va de tierra ti erra de Rankine anki ne ΔL  A´  A

Peso especifico del suelo =

γ

τ  f = c + σ tanφ  σ ´O

σ ´h

B´ B

z

   l   a   m   r   o   n   o   z   r   e   u    f   s    E

 τ  f

D

 =

 c

 +

b

c  A

φ  φ 

O σ′ a

 σ

  n φ   a t

C Koσ′ O

σ′ O

Esfuerzo normal

a

D´

Presi ó n activa de tierra de Rankine

ESTADO ACTIVO DE RANKINE senφ  =

De la figura

CD

=

 AC   AO + OC 

Pero CD = radio del círculo de falla =  AO = c cot φ 

y

OC  =

σ o′

+ σ a′ 2

Por lo que

σ o′ senφ  =

CD

− σ a′ 2 σ o′

c cot φ +

+ σ a′ 2

σ o′

− σ a′ 2

ESTADO ACTIVO DE RANKINE o

c cos

o

σ 

φ 

′ = a

σ 

+

σ 

′ +

o

σ 

2

′ o

1 1

− +

′

a

sen

sen

φ 

sen

φ 

−

φ 

2c

=

′ −

σ 

o

2 cos

1

+

σ′ o = presión de sobrecarga efectiva vertical = γz

φ  ⎞ = tan 2 ⎛  ⎜ 45 − ⎟ 1 + senφ  2 ⎠ ⎝  y

φ  ⎞ = tan⎛  ⎜ 45 − ⎟ 1 + senφ  2 ⎠ ⎝  cos φ 

φ 

sen

Pero

1 − senφ 

σ 

φ 

′

a

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos

σ a′

φ  ⎞ φ  ⎞ ⎛  = γ  z tan 2 ⎛  ⎜ 45 − ⎟ − 2c tan⎜ 45 − ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝  ⎝ 

Para suelos sin cohesión, c = 0 y

φ  ⎞ 2 ⎛  ′ ′ σ a = σ o tan ⎜ 45 − ⎟ 2 ⎠ ⎝  La razón de σ′ a respecto a σ′ o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine, Ka,o

K a

=

σ ′a σ o′

= tan

2

⎛ 45 − φ  ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA

− 2c

K a

45 +

φ 

45 +

2

φ  2c tan (45 + ) 2 γ 

z

γ   zK a

− 2c

(c)

K a

(d)

φ  2

Estado pasivo de Rankine Presi ó n pasiva de tierra de Rankine ΔL  A

 A´

Peso especifico del suelo =

γ

τ f = c + σ tanφ  σ ´O

σ ´h

B

B´

z

 nφ

   l   a   m   r   o    N   o   z   r   e   u    f   s    E

τ f

D

b

a

 A

C

φ  φ 

O

 = c

t a  + σ

Koσ′ o

σ′ o

σ′  p

Esfuerzo Normal

D′ 

Presi ó n pasiva de tierra de Rankine

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

σ  p′

φ  ⎞ ⎛ 45 + φ  ⎞ = σ o′ tan 2 ⎛  + + c 45 2 tan ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝  ⎝ 

σ  p′

φ  ⎞ ⎛ 45 + φ  ⎞ = γ  z tan 2 ⎛  45 + + 2 tan c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝  ⎝ 

o

La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee

φ  ⎞ 2 ⎛  ′ ′ σ  p = σ o tan ⎜ 45 + ⎟ 2 ⎠ ⎝  o

σ  p′ σ o′

= K  p = tan

2

⎛ 45 + φ  ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

45 −

φ  2

45 −

z

γ   zK p

2c K  p

(c) (d)

φ  2

EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

Muro de retenci ó n en voladizo

Rotaci ó n de un muro sin fricci ó n respecto al fondo ΔL a

45 + φ 2  A´

La

C´

45 + φ 2

 A

z H

B

Rotaci ó n de un muro sin fricci ó n respecto al fondo Lp

ΔLp  A

45 −

 A ″

H

45 −

φ  2

φ  2

45 −

φ  2

C″

Variaci ó n de la magnitud de la presi ó n lateral de tierra con la inclinaci ó n del muro   a   r   r   e    i    t   e    d   n    ó    i   s   e   r    P

Presión pasiva

σ′p

Presión en reposo

Presión activa σ′a

Inclinación del muro

ΔLa H

ΔLP H

Inclinación del muro

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCI ÓN0 RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO Caso Activo

σ a

= σ a′ = K aγ  z

σ a

= K aγ  H 

La fuerza total:

Pa

=

1 2

2

K aγ   H 

(Nota: c = 0)

Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

Caso activo de Rankine 45 +

φ  2

Cuña de falla H

γ  φ  c=0

H σ a=σ′ a

Pa  H 

3

Kaγ H

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCI ÓN0

Caso Pasivo

σ  p =σ  p′ = K  pγ   H  La fuerza total:

1

P p = K  pγ   H  2

2

Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

Caso pasivo de Rankine 45 −

φ  2

Cuña de falla H

γ  φ  c=0

H σ  p=σ′  p

P p  H 

3

K pγ H

RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA Caso Activo

σ a′

= K aσ o′

Donde σ′o y σ′a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0

σ o

= σ o′ = q

σ a

= σ a′ = K a q

y

 A la profundidad z = H1

σ o

= σ o′ = (q + γ  H 1 )

σ a

= σ a′ = K a (q + γ  H 1 )

y

 A la profundidad z = H

σ o′

= (q + γ  H 1 + γ ′H 2 )

σ a′

= K a (q + γ  H 1 + γ ′H 2 )

y

Donde γ′= γsat - γw. La Variación de σ′a con la profundidad se muestra .

La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,

u = γ w H 2 El diagrama de la presión lateral total σa´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza  Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,

Pa

= K a qH  +

1 2

2

k aγ   H 1

1 + K aγ  H 1 H 2 + (K aγ ′ + γ w ) H 22 2

Distribució n de la presi ó n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenci ó n con relleno de un suelo sin cohesi ó n parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga Sobrecarga = q 45+ φ 2

H1

Cuña de falla Nivel del Agua Freática

H

H2

γsat φ Z

Distribució n de la presi ó n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenci ó n con relleno de un suelo sin cohesi ó n parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga

qKa

H1

K aγ   H 1 + K a q

+ H2

σ a′

K a (q + γ   H 1 + γ ′H 2 )

= σa

u

γ w H 2

K a (q + γ   H 1 )

′ 2 + γ w H 2 K aγ  H 

Caso Pasivo

σ  p′ P p

= K  pσ o′ = K  p qH  +

1 2

2

K  pγ   H 1

+ K  pγ  H 1 H 2 +

1 2

(K  γ ′ + γ  ) H   p

w

2 2

RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL

Caso Activo σ a′

= K aγ  z − 2c

K aγ   z o o

 zo

=

− 2c

K a

K a

=0

2c γ  K a

Para la condición no drenada, esto es,φ = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)

tenemos

 zo

=

2cu

γ 

Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una Profundidad z

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga Sobrecarga = q

45 - φ 2

H1

γ φ

Cuña de falla

Nivel del Agua Freática H

H2

γsat φ Z

(a)

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga

qKa

H1 K aγ   H 1 + K a q

+ H2

σ  p′

qK  p

K  p (γ   H 1 + γ ′H 2 )

(b)

= σ p

u

γ w H 2

(c)

′ 2 + γ w H 2 K  pγ  H 

K  p (q + γ   H 1 )

(d)

Distribuci ó n de la presi ó n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenci ó n con relleno de un suelo cohesivo 45+ φ 2

Cuña de falla

Z H

(a)

Distribuci ó n de la presi ó n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenci ó n con relleno de un suelo cohesivo − 2c

K a

zo

=

-

H

H - zo σ a

K aγ   H 

(b)

2c K a

(c)

K aγ   H  − 2c K a

(d)

La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de presión total

Pa

=

1 2

2

K aγ   H 

−2

K a cH 

Para la condición φ = 0

Pa

=

1 2

γ   H 2 − 2cu H 

Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(γ √Ka) y , H es la única considerada. En este caso

Pa

=

1

=

1

2

2

(K  γ  H − 2 a

2

K aγ   H 

−2

⎛ 

)⎜

K a c ⎜ H  −

⎝ 

 ⎞ ⎟ K a  ⎠⎟

2c γ 

K a cH  + 2

c

2

γ 

Para la condición φ = 0,

Pa

=

1 2

γ   H 2 − 2cu H  + 2

cu

2

γ 

Caso Pasivo Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]

σ  p′

= K  pγ  z + 2

K  p c

En z = 0,

σ  p

=2

K  p c

Y en z = H,

σ  p

= K  pγ  H  + 2

K  p c

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo

45 - φ 2

Cuña de falla H

σ p

Z

2c K  p

K  pγ H 

La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como

P p

=

1 2

2

K  pγ   H 

+2

K  p cH 

Para la condición φ = 0, Kp = 1 y

P p

=

1 2

2 γ   H  + 2cu H 

EJEMPLO Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante

Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos

σ a′ K a

= K aσ o′ = K aγ  z =

1 − senφ  1 − sen30°

=

1 + senφ  1 + sen30°

=

1 3

5m

γ = 15.7 KN/m3 φ = 30°

5m 65.5 KN/m2

c=0

1.67 m

26.2kN/m2 (a) (b)

5m 588.8 kN/m 1.67 m

235.5 kN/m2

El diagrama de la distribución de presión se muestra

Fuerza activa

1

= (5)(26.2 )

Pa

2

= 65.5kN  / m La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del muro. Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que

σ  p′

= σ  p = K  pσ o′ = K  pγ  z

K  p

=

1 + senφ  1 + 0.5 1 − senφ 

=

1 − 0.5

=3

En z = 0, σ′p = 0; en z = 5m, σ′p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2. La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora

P p

1

= (5)(235.5) = 588.8kN / m 2

La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.

EJEMPLO 2 Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?

Solución

si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces

σ ′h = σ h = K oσ o′

= K o (γ  z )

K o

= 1 − senφ 

K o

= 1 − sen30° = 0.5

o

Y en z = 0, σ′h = 0; en 5m,

σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2

El diagrama de distribución de presión total se muestra

Po

1

= (5)(39.3) = 98.3kN / m 2

EJEMPLO 3 Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ = 0) del relleno, determine los siguientes valores: a. b. c.

La profundidad máxima de la grieta de tensión Pa antes de que ocurra la grieta de tensión P después de que ocurra la grieta de tensión

5m 98.3 KN/m 1.67 m

39.3 kN/m2

34 kN/m2

2.17m  Arcilla blanda saturada

6m

γ = 15.7 kN/m3 φ =0 Cu = 17 kN/m2 3.83m

60.2 kN/m2

Para φ = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos

Solución

= γ  z − 2cu

σ a En z = 0,

σ a

= −2cu = −(2)(17 ) = −34kN / m 2

En z = 6m,

σ a

= (15.7 )(6 ) − (2 )(17 ) = 60.2kN / m 2

La variación de σa con la profundidad se muestra a.

De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a

 zo

b.

=

2cu γ 

=

(2)(17) 15.7

= 2.17 m

Antes de que ocurra la grieta de tensión

1

Pa

=

Pa

= (15.7 )(6)2 − 2(17 )(6) = 78.6kN / m

o

2 1

2

 H 2 − 2cu H  γ 

c.

Después de que ocurre la grieta de tensión,

Pa

1

= (6 − 2.17 )(60.2) = 115.3kN / m 2

Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación

EJEMPLO 4 Se muestra un muro de retención sin fricción. a. b.

Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?

Solución a.

Dado φ = 26°, tenemos

K a

=

1 − senφ 

=

1 − sen26°

1 + senφ  1 + sen26°

De la ecuación

σ ′

= σ  = K  σ ′ 2c

K 

= 0.39

q = 10 kN/m2 -6.09kN/m2

z=1.04m

4m

γ = 15kN/m3 φ = 26° c = 8kN/m

4 – z = 2.96m

2

17.31kN/m2

(a)

(b)

153.6 kN/m2 51.2kN/m2

(c)

En z = 0

σ a′

= σ a = (0.39)(10) − (2)(8)

0.39

= 3.9 − 9.99 = −6.09kN / m 2

En z = 4 m

σ a′

= σ a = (0.39)[10 + (4)(15)] −  ( 2)(8)

0.39

= 27.3 − 9.99

= 17.31kN / m 2 De este diagrama vemos que

6.09  z

=

17.31 4 − z

o

 z = 1.04m Después de que ocurre la grieta de tensión

Pa

1 1 ⎞ = (4 − z )(17.31) = ⎛  ⎜ ⎟(2.96 )(17.31) = 25.62kN / m 2 ⎝ 2 ⎠

Dado φ = 26°, tenemos

=

K  p

1 + senφ  1 + sen26°

=

1 − senφ  1 − sen26°

=

1.4384 0.5616

= 2.56

De la ecuación

σ  p′ En z = 0,

= σ  p = K  pσ o′ + 2

K  p c

σ′o = 10 Kn/m2 y

σ  p′

= σ  p = (2.56)(10) + 2

2.56(8) = 25.6 + 25.6 = 51.2kN / m 2

De nuevo, en z = 4m,  σo = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y

σ  p′

= σ  p = (2.56)(70) + 2

2.56(8) = 204.8kN / m 2

La distribución de σp (=σ′p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es

P p

1

= (51.2 )(4) + (4 )(153.6 ) = 204.8 + 307.2 = 512kN / m 2

EJEMPLO 5 Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante

Solución dado c = 0, sabemos que σ′a = Kaσ′o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es

K a

= K a (1) =

1 − sen30° 1 + sen30°

1.2m

6m

  n    ó    i   c   c    i   r    f   n    i   s   o   r   u    M

=

1 3

 Arena

γ1 = 16.5kN/m3, φ1 = 30°, c1= 0

Nivel agua freática  Arena γ2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3 φ2 = 35° C2 = 0

(a)

Para el estrato inferior,

K a

= K a (2 ) =

1 − sen35° 1 + sen35°

=

0.4264 1.5736

= 0.271

En z = 0, σ o = σ′ o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), σ o = σ′ o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2

σ a

1 ⎞ = σ a′ = K a (1)σ o′ = ⎛  ⎜ ⎟(19.8) = 6.6kN / m 2 ⎝ 3 ⎠

De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior)

σ a

σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y

= σ a′ K a (2 )σ o′ = (0.271)(19.8) = 5.37kN / m 2

En z = 6 m,

σ o′ (1.2)(16.5) + (4.8)(19.2 − 9.81) = 64.87 kN / m 2 y

σ a′

= K a (2 )σ o′ = (0.271)(64.87 ) = 17.58kN / m 2

La variación de σ′a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue En z = 0, u = 0 En z = 1.2m, u = 0 En z = 6m, u = (4.8)(γw) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2

0

1.2

σ′a (kN/m2)

5.37

0

6.6

u

(kN/m2)

1.2

   )   m    (   z

+

6

   )   m    (   z

6 17.58

(b)

47.1

( )

σa (kN/m2)

0 1

6.6

1.2

=

   )   m    (   z

2 Pa

3 1.8m 6 5.37

64.68

(d) La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de σ ( presión activa total) entonces

⎛ 1 ⎞(6.6)(1.2 ) + (4.8 )(5.37 ) + ⎛ 1 ⎞ (4.8 )(64.68 − 5.37 ) ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝   ⎠ ⎝ 2 ⎠

Pa = ⎜

= 3.96 + 25.78 + 142.34 = 172.08kN  / m La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así entonces

⎛  ⎝ 

3.96⎜ 4.8 +  z

=

1.2 ⎞

⎛ 4.8 ⎞ ⎟ + (25.78)(2.4) + (142.34)⎜ ⎟ 3  ⎠ ⎝  3  ⎠ = 1 8m

MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

Caso activo . 45 +

φ 

45 +

2

 A

D

φ  2

 A′ 

H

+δ  H  P a 3

C B (a) Caso activo (+δ)

(b)

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

45 +

φ  2

D

 A

45 +

φ  2

 A′ 

H

-δ

 H 

C

3 B

(c) Caso activo (-δ)

45 −

 A  A′ 

2

D

45 −

2

 A′ 

Caso pasivo . Pp

H C

+δ  H 

3

B (d) Caso pasivo (+δ) 45 −

φ  2

45 −

 A  A′ 

H C  H 

-δ

3

B (f) Caso pasivo (-δ)

2

(e)

TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB Caso Activo C  A

α

β - α 90 - θ + α Pa W

90 - θ - δ

90 + θ + δ - β + φ

θ

D

H 90+ θ- β

δ P a

φ β

W

F

β - φ

F

B (a)

(b)

Presi ó n activa de Coulomb: (a) cu ñ a de falla de prueba; (b) pol ígono de fuerzas

La ley de los senos, tenemos

W  sen(90 + θ  + δ  − β  + φ )

=

Pa sen( β  − φ )

o

Pa

=

sen( β  − φ ) sen(90 + θ  + δ  − β  + φ )

W 

La ecuación precedente se puede escribir en la forma

Pa

=

1 2

2

 H  γ 

⎡ cos(θ  − β ) cos(θ  − α )sen( β  − φ ) ⎤ ⎢ cos 2 θ sen( β  − α )sen(90 + θ  + δ  − β  + φ ) ⎥ ⎣ ⎦

Donde γ = peso especifico del relleno. Los valores de γ, H, θ, α, φ, y δ son constantes, y es la unica Variable. Para determinar el valor crítico de β para Pa, máxima, tenemos

dPa d   β 

=0

Después de resolver la Ec., cuando la relación de β se sustituye en la Ec., obtenemos la presión activa de tierra de Coulomb como

Pa

1

=

2

2

K aγ   H 

Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por 

K a

cos 2 (φ − θ )

=

⎡ sen(δ  + φ )sen(φ − α ) ⎤ cos 2 θ cos(δ  + θ )⎢1 + ⎥ ( ) ( ) + − cos δ  φ  cos θ  α  ⎣ ⎦

2

Caso Pasivo

P p

=

1 2

K  pγ   H 2

Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o

K  p

=

cos 2 (φ + θ )

⎡ sen(φ − δ )sen(φ + α ) ⎤ cos 2 θ cos(δ  − θ )⎢1 − ⎥ − − ( ) ( ) cos δ  θ  cos α  θ  ⎣ ⎦

2

C

α

 A 90 - θ + α

Presión pasiva de coulomb: (a) Cuña de falla de prueba

W

θ H

δ

Pp 90 + θ + β

φ

F

β B (a)

[180 - (90 - θ + δ) – (β + φ)]

Pp 90 - θ + δ

(b) Polígono de fuerzas F

W

β+φ (b)

ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCI ÓN Pa

=

1 2

K aγ   H 2

Donde

K a

=

1 − senφ 

φ  ⎞ = tan 2 ⎛  ⎜ 45 − ⎟ 1 + senφ  2 ⎠ ⎝   A

C1

 A

Ws

Pa (coulomb) H

δ

(o)

H W Wc c

Wc

Pa (Rankine)

 H 

 H 

3

3

B

B (a)

KaγH

 An álisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retenci ó n de gravedad con relleno granular 

α

α C2

 A

 A

Ws

Pa (coulomb) H

δ

(o)

Pa (Rankine)

H W Wc c

Wc

α  H  ′

 H 

3

3

α

(b) B

B

H′ 

El valor de Pa(Rankine) se da por la relación

Pa

=

1 2

K aγ   H ′

Donde  H ′ = BC 2

K a

=

2

y

Coeficiente de presión activa de Rankine

= cos α 

cos α − cos 2 α − cos 2 φ  cos α + cos 2 α − cos 2 φ 

Donde α = talud de superficie del terreno

K a

=

1 − senφ  1 + senφ 

= tan 2 (45 −

φ  ) 2

DIMENSIONAMIENTO DE MUROS DE RETENCIÓN

REVISIÓN DE VOLCAMIENTO

FACTOR DE SEGURIDAD POR VOLTEO

FS ( volteo )

 M  ∑ = ∑ M 

 R O

FS ( volteo )

=

 M 1 + M 2 + M 3 + M 4 + M 5 + M 6 Pa COS α ( H ′ / 3) − M v

FS  ≥ 1.5 ~ 2.0

REVISIÓN POR DESLIZAMIENTO A LO LARGO DE LA BASE