Presentation Vektor 2

VEKTOR y

PENDAHULUAN PETA KONSEP Vektor di R2

a

Vektor di R3 Perkalian Skalar Dua Vektor

45O

o

Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain

x

Soal-Soal

PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering menjumpai besaran yang dapat dinyatakan suatu bilangan disertai satuan yang dinamakan besaran skalar. Di samping itu ada besaran yang selain dinyatakan

dengan suatu bilangan disertai satuan juga mempuai arah yang dinamakan Vektor.

Vektor digunakan

sebagai alat bantu untuk menunjukan besar dan arah suatu gaya.

PETA KONSEP

Vektor di R2 1. PENGERTIAN VEKTOR DI R2 Vektor di R2 adalah vektor yang terletak pada bidang

datar. Vektor di R2 dapat digambarkan pada bidang kartesius. Secara geometri, suatu vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai titik pangkal dan titik ujung.

Vektor di R2 Panjang menyatakan

anak besar

panah vektor,

sedangkan arah anak panah adalah arah vektor. Vektor pada gambar disamping merupakan vector dengan panjang 3 satuan dan arahnya 30o dari sumbu X positif.

Vektor di R2 A. NOTASI VEKTOR

Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ; 1. Menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal,

misalnya a, b ,c,….y, z 2. Menggunakan

huruf kecil dengan tanda anak

panah diatasnya, misalnya a , b ,c,… 3. Menggunakan huruf kecil dengan tanda garis di bawahnya, misalnya a, b, c,…

Vektor di R2 B. VEKTOR POSSISI Y D

Diberikan suatu persegi panjang

C

OBCD X

O

yang

terletak

pada

bidang cartesius dengan OB = 8

B

satuan panjang dan BC = 6 satuan panjang seperti gambar di samping. Koordinat titik B adalah (8,0) maka vektor posisi titik B terhadap O adalah b = ‹8,0›. Koordinat titik C adalah

Vektor di R2 C(8,6) maka vektor posisi C terhadap O adalah c =

‹8,6›.

Koordinat titik D adalah D(0,6) sehingga

vektor posisi titik D terhadap O adalah d = ‹0,6›. Dari hasil tersebut, yang dimaksud vektor posisi dari suatu titik terhadap O adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pangkal koordinat O(0,0) dan titik ujungnya adalah titik itu sendiri.

Vektor di R2 Dari uraian diatas tampak bahwa suatu vektor di R2 ditentukan oleh komponen mendatar dan komponen vertikal. Komponen mendatar bernilai positif jika

arahnya dari kiri ke kanan dan negatif jika arahnya dari kanan ke kiri. Selanjutnya, komponen vertikal bernilai positif jika arah vektor dari bawah ke atas

dan negatif jika arahnya dari atas ke bawah

Vektor di R2 C. Panjang atau Besar Vektor y 6

Perhatikan gambar disamping.

C

Dengan X

O

8

teorema

menggunakan Phytagoras

dapat

ditentukan panjang atau besar vektor OC = √82+62 = √100 = 10

Vektor di R2 2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR A. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Misalnya diberikan dua vektor u = ‹u1 , u2› dan v = ‹v1 , v2›. Vektor u = v jika u1 = v1 dan u2 = v2

Vektor di R2 B. Penjumlahan Vektor Misalkan vektor c adalah hasil

a

penjumlahan vektor a dengan

b

vektor b, ditulis c = a + b.

Vektor c dinamakan resultan dari vektor a dan vektor b. Besar vektor c dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

Vektor di R2 1). Aturan segitiga Diketahui dua buah vektor

a

b

c=a+b seperti gambar di atas. Untuk mendapatkan vektor c = a + b, vektor

dipindahkan

sedemikian

rupa,

sehingga

b titik

pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor a. vektor c = a + b adalah suatu vektor

yang

pangkalnya merupakan titik pangkal vektor a dan

ujungnya merupakan titik ujung vektor b.

Vektor di R2 2). Aturan jajargenjang Cara lain untuk mendapatkan

a

vektor c = a + b adalah dengan

c=a+b b

memindahkan vektor b sedemikian rupa sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor a. Vektor c = a + b yang kita cari adalah

vektor

yang titik pangkalnya dititik

pangkal

vektor a dan b serta berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b.

Vektor di R2 C. Vektor nol dan lawan suatu vektor Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor

a -a

nol dinotasikan dengan 0 =

‹0, 0›.

Lawan suatu

vektor a adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a menghasilkan vektor 0. Lawan vektor a dapat ditulis –a yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a, seperti gambar disamping.

Vektor di R2 D. Sifat-sifat Penjumlahan Jika a, b, dan c, adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat 1. Komutatif a + b = b + a 2. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) 3. Terdapat unsur identitas, yaitu vektor o sehingga a+0=0+a=a 4. Setiap vektor mempunyai invers. Invers dari a adalah –a sehingga a +(-a)= -a + a = 0

Vektor di R2 E. Pengurangan Vektor Pengurangan

vektor

dapat

dilakukan

dengan

menggunakan pengertian invers jumlah suatu vektor. a – b = a + (-b)

-b

a b

(a)

a-b

a

(b)

Misalkan diketahui vektor a dan b pada gambar (a).

Vektor a – b diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b, seperti gambar (b)

Vektor di R2 CONTOH SOAL Tentukan AB, CD, dan EF pada gambar disamping ! Penyelesaian ; Komponen mendatar 3

B

Komponen vertikal 2 Vektor AB = (3,2)

A C

F D

Dengan cara yang sama, diperoleh vektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1)

E

Vektor di R2 3. Perkalian Vektor dengan Skalar A. Pengertian Perkalian Vektor dengn Skalar

Jika a adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real (skalar), perkalian antara vektor a dengan skalar k ditulis sebagai ka, yaitu suatu vektor yang panjangnya

sama dengan |k| kali panjang vektor a dengan arah ; a. Untuk k>0 maka ka searah dengan vektor a. b. Untuk k