Aplicaci´ on del Modelo VAR Multivariante Composicional al Producto Interno Bruto Iv´an Y. Aliaga Casceres
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9 de septiembre de 2010
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Esquema 1
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Aspectos Iniciales Introducci´ on Problema Idea Objetivos Procedimiento Modelo VAR VAR Estable Especificaci´ on de los Retardos Pruebas Estad´ısticas Pruebas Estad´ısticas HP Datos Composicionales Resultados Conclusiones Recomendaciones Iv´ an Aliaga ()
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Aspectos Iniciales
Introducci´ on
Introducci´on
El PIB (Producto Interno Bruto) es el valor total de los bienes y servicios finales dentro de las fronteras de un pa´ıs o regi´ on en un determinado periodo de tiempo, es un indicador b´asico de la actividad econ´ omica, el PIB en su calidad de valor, engloba a la producci´ on, es decir, el producto interno bruto se refiere a la producci´ on de todas las unidades residentes dentro de las fronteras de un pa´ıs1 .
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Las Cuentas Nacionales de Bolivia, Alfredo Barrientos Iv´ an Aliaga ()
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Aspectos Iniciales
Introducci´ on
Introducci´on El Sistema de Cuentas Nacionales divide el an´alisis de la econom´ıa en dos grandes areas: La parte productiva Cuentas Econ´ omicas de los Sectores Institucionales Para Realizar el an´alisis, el sistema distingue tanto a las operaciones econ´omicas que intervienen en cada ´area como la unidad de observaci´ on estad´ıstica que se utiliza en cada una de ellas. Para la parte productiva la unidad de observaci´ on estad´ıstica esta constituida por el Establecimiento. Para el an´alisis de las Cuentas Econ´ omicas de de los Sectores Institucionales la categor´ıa de observaci´ on es la Unidad Institucional.
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Aspectos Iniciales
Introducci´ on
Introducci´on
Establecimiento es un lugar de trabajo donde se combinan “Recursos y Actividades pertenecientes o controladas por una sola entidad y cuya finalidad es la producci´ on de una serie de bienes y servicios lo m´as homog´eneos posibles” Unidad Institucional es entendida como “Una entidad econ´ omica , que es capaz, por derecho propio, de poseer activos, contraer obligaciones y participar en actividades econ´ omicas y en transacciones con otras unidades”. Las personas, individuos o grupos peque˜ nos en forma de hogares. Entidades Jur´ıdicas y sociales cuya existencia est´a reconocida por la Ley independiente o al margen de las personas, o entidades que puedan poseerlas o controlarlas
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Aspectos Iniciales
Introducci´ on
De Acuerdo a la Clasificaci´ on Industrial Internacional Uniforme (CIIU), las ramas de actividades son: 2
AGRICULTURA SILVICULTURA CAZA Y PESCA. ´ PETROLEO CRUDO Y GAS NATURAL.
3
´ ´ MINERALES METALICOS Y NO METALICOS
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INDUSTRIA MANUFACTURERA
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ELECTRICIDAD GAS Y AGUA ´ CONSTRUCCION
7
COMERCIO
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TRANSPORTE Y COMUNICACIONES
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ESTABLECIMIENTOS FINANCIEROS SEGUROS BIENES INMUEBLES Y SERVICIOS A LAS EMPRESAS ´ PUBLICA ´ SERVICIOS DE LA ADMINISTRACION
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OTROS SERVICIOS
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema En econometr´ıa las series temporales se encuentran con un problema al medir las relaciones entre aquellas variables econ´ omicas que tienen una tendencia temporal, este problema puede llegar a que se considere relaciones significativas completamente espurias. Por ejemplo, si se tiene dos series completamente independientes, pueden aparecer como significativamente asociadas entre si en una regresi´ on, u ´nicamente por tener ambas una tendencia y crecer a lo largo del tiempo. Recientemente se ha dedicado mucho esfuerzo al an´alisis de las propiedades de ecuaciones de regresi´ on con variables m´as generales que las estacionarias,Regresi´ on autoregresiva y las variables no estacionarias cointegradas.
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema Regresi´ on Autoregresiva
Un primer intento de solucionar este problema de regresi´ on espuria es utilizando sistemas multiecuacionales con restricciones. Byt + Γzt = ut Donde
β11 β21 B= . ..
γ11 γ21 Γ = .. . γG1
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β12 β22 .. .
... ... .. .
β1G β2G .. .
y1t yt = ... yGt
βG1 βG2 . . . βGG γ12 . . . γ1K z1t γ22 . . . γ2k .. .. .. zt = . .. . . . zkt γG2 . . . γGK
u1t ut = ... uGt
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema
Sin embargo, C. A. Sims, critica el modelo de ecuaciones simultaneas, seg´ un Sims el realizar un modelo univariado (AR,MA,ARIMA) para pronosticar una serie en estudio es trivial, pero este modelo puede que no refleje la realidad de los datos, ya que pueden existir otras variables explicativas que mejoren el comportamiento del modelo por la existencia de restriccionesa . a
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Macroeconomics and Reality,1980
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema
El punto principal de su monograf´ıa, explica que en contraste con el caso univariado, los vectores autoregresivos permiten la Din´amica entre las variables. Cada variable no solo se relaciona con su propio pasado, sino tambi´en con el de las dem´as variables en el sistema.
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema
Tambi´en Granger explica que existe una noci´ on estad´ıstica importante, la Causalidad que esta relacionada con los pron´ osticos e introducida con naturalidad en el contexto VAR. Tal noci´ on se basa en dos principios clave: la Causa debe suceder antes que el efecto y el segundo, que una serie causal debe contener informaci´ on u ´til para el pron´ ostico que no est´e disponible en las dem´as series (incluyendo la historia pasada de la variable pronosticable)
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Aspectos Iniciales
Problema
Problema
Los Vectores Autoregresivos proveen una exitosa t´ecnica para hacer pron´ osticos en sistemas de variables de series de tiempo interrelacionadas, donde cada variable ayuda a pronosticar a las dem´as variables. Esta metodolog´ıa, en cierta forma, es una respuesta a la imposici´ on de restricciones apriori que caracteriza a los modelos econom´etricos convencionales como las ecuaciones simultaneas.
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Aspectos Iniciales
Idea
Idea
Sin embargo en un modelo de Vector Autoregresivo debe existir por lo menos una interrelaci´ on en un sentido, una interdependencia mutua. ¿Como saber que existe interdependencia entre las variables en estudio? Una respuesta Matem´atica geom´etrica, la dio Jhon Aitchison para datos transversales con relaci´ on mutua.
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Aspectos Iniciales
Idea
Idea
Los datos composicionales son datos en los que existe una restricci´ on de suma constante, aplicada a series de tiempo, la series tienen restricci´ on de suma constante por temporadas. Esto supone que estas series garantizan absolutamente la interrelaci´ on, porque un incremento en algunas de las series implicar´ıa un aumento en al menos una de las otras series, esto sucede por la restricci´ on de suma constante.
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Aspectos Iniciales
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Idea
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Objetivos
Objetivos General Desarrollar el Modelo Multivariante Autoregresivo, en base al an´alisis de datos composicionales, como alternativa a un modelo VAR en el horizonte de pronostico, para su respectiva aplicaci´ on en los 11 componentes del PIB. Especifico Realizar el Modelo correspondiente al VAR como objeto de comparaci´ on.
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Objetivos
Objetivos General Desarrollar el Modelo Multivariante Autoregresivo, en base al an´alisis de datos composicionales, como alternativa a un modelo VAR en el horizonte de pronostico, para su respectiva aplicaci´ on en los 11 componentes del PIB. Especifico Realizar el Modelo correspondiente al VAR como objeto de comparaci´ on. Realizar el Modelo correspondiente al espacio composicional o modelo propuesto.
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Objetivos
Objetivos General Desarrollar el Modelo Multivariante Autoregresivo, en base al an´alisis de datos composicionales, como alternativa a un modelo VAR en el horizonte de pronostico, para su respectiva aplicaci´ on en los 11 componentes del PIB. Especifico Realizar el Modelo correspondiente al VAR como objeto de comparaci´ on. Realizar el Modelo correspondiente al espacio composicional o modelo propuesto. Comparar el modelo propuesto versus el modelo a comparar mediante las pruebas del horizonte de pron´ostico.
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Objetivos
Objetivos General Desarrollar el Modelo Multivariante Autoregresivo, en base al an´alisis de datos composicionales, como alternativa a un modelo VAR en el horizonte de pronostico, para su respectiva aplicaci´ on en los 11 componentes del PIB. Especifico Realizar el Modelo correspondiente al VAR como objeto de comparaci´ on. Realizar el Modelo correspondiente al espacio composicional o modelo propuesto. Comparar el modelo propuesto versus el modelo a comparar mediante las pruebas del horizonte de pron´ostico. Estimar el horizonte de pronostico para 8 etapas en las 11 series con el modelo propuesto.
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Procedimiento
Procedimiento
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Procedimiento
Modelo X
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Modelo VAR
Vector Autoregresivo Definici´ on
Definici´ on Un proceso VAR(p) se define de la siguiente forma: yt = A1 yt−1 + . . . + Ap yt−p + CDt + ut
(1)
Donde: Ai : Son Coeficientes Matrices i = 1, 2, . . . , p. ut : Es un vector D−dimensional, un proceso de ruido blanco con matriz de varianzas y covarianzas invariante en el tiempo positiva definida ′ E[ut ut ] = Σu . C: Coeficiente Matriz de regresores determin´ısticos D: Vector columna con los regresores apropiados determin´ısticos.
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Modelo VAR
VAR Estable
Vector Autoregresivo Forma Estable
De un proceso VAR(p) se tiene un VAR(1). ξt = Aξt−1 + vt Donde:
A1 A2 I yt 0 .. 0 I ξt = . , A = .. .. . yt−p+1 . 0 0
. . . Ap−1 Ap ut ... 0 0 0 ... 0 0 , vt = .. . .. .. .. . . . 0 ... I 0
Si el modulo del eigenvalor de A es menor a 1, entonces el proceso VAR(p) es estable. Iv´ an Aliaga ()
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Modelo VAR
VAR Estable
Ejemplo VAR(2)
y1t 0,5 0,2 y1,t−1 −0,3 −0,7 y1,t−2 u = + + 1t y2t −0,2 −0,5 y2,t−1 −0,1 0,3 y2,t−2 u2t
O visto de otra forma y1 0,5 0,2 y1 −0,3 −0,7 y1 u = + + 1 y2 t −0,2 −0,5 y2 t−1 −0,1 0,3 y2 t−2 u2 t
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Modelo VAR
Especificaci´ on de los Retardos
Elecci´on de p Criterios 2 nD2 T b ǫ (n)| + 2ln(ln(T )) nD2 HQ(n) = ln|Σ T (2) ln(T ) 2 b nD SC(n) = ln|Σǫ (n)| + T T + n ∗ D b ǫ (n)| |Σ F P E(n) = T − n∗ b ǫ (n) = T −1 PT b Donde: Σ ǫ′t t=1 ǫt b ∗ n es el numero total de par´ametros en la ecuaci´ on y n es el n´ umero de rezagos. b ǫ (n)| + AIC(n) = ln|Σ
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas
Pruebas Estad´ısticas
Portmanteau prueba la hip´ otesis de ausencia de correlaci´ on hasta de orden h de perturbaciones de un VAR estable, se define como: Qh = T
h X j=1
b −1 C bj C b −1 ) bj′ C tr(C 0 0
(3)
′ bi = 1 PT ǫt b ǫt−i , este test se aproxima a la distribuci´ on χ2 con Con C t=i+1 b T D2 h − n∗ grados de libertad, con n∗ como el n´ umero que excluye los t´erminos deterministas de un modelo V AR(p)
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas
Pruebas Estad´ısticas La prueba de heterocedasticidad univariante y multivariante2 , tambi´en se basa en la regresi´ on auxiliar. ARCH ′
′
′
vec(b ǫt b ǫt ) = β0 + B1 vec(b ǫt−1b ǫt−1 ) + . . . + Bq vec(b ǫt−q b ǫt−q ) + vt
(4)
Donde vt es un proceso de error esf´erico y vec es el operador de apilamiento de columna. La dimension de β0 es 21 D(D + 1) × 1 y las matrices como coeficientes Bi I = 1, . . . , q de dimensi´ on 1 1 D(D + 1) × D(D + 1). 2 2 H 0 : B1 = . . . = B q = 0 H1 : B1 6= . . . 6= Bq 6= 0 2 ∼ χ2 qD 2 (D + 1)2 /4, con Estad´ıstico V ARCHLM (q) = 21 T D(D + 1)Rm 2 2 =1− b b −1 Rm D(D+1) tr(ΩΩ0 ) 2
Engle 1982, Hamilton 1994 y Lutkepohl Iv´ an Aliaga ()
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas
Pruebas Estad´ısticas Normalidad
Jarque - Bera Caso mulivariante: JBmv = s23 + s24 ∼ χ22D ′
(5)
′
Donde s23 = T b1 b1 /6 ∼ χ2D , s24 = T (b2 − 3) (b2 − 3)/24 ∼ χ2D y b1 , b2 son los vectores de momentos de tercer y de cuarto orden de los residuos estandarizados.
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas
Causalidad de Granger
X p y1t α11,i α12,i y1,t−i u = + 1t y2t α21,i α22.i y2,t−i u2t i=1
Hip´ otesis nula: la variable y1t no causa en el sentido de Granger a y2t es definida como α21,i = 0 para i = 1, 2, . . . , p La hip´ otesis Alternativa es ∃α21,i 6= 0 para i = 1, 2, . . . , p y1t , y2t de dimensi´ on (K1 × 1) y (K2 × 1) respectivamente, K = K1 + K2 , el estad´ıstico se distribuye F (pK1 K2 , KT − n∗ ), con n∗ igual al n´ umero de par´ametros en el proceso V AR(p), incluyendo regresores determin´ısticos
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas
Causalidad Instant´anea
′ ′ + e b u )D+′ C ′ ]−1 Ce λW = T σ e C [2CDK (Σu ⊗ Σ σ. K
Hip´ otesis nula: es la no instant´anea causalidad de la variable (y1t ) a (y2t ) y se define como Cσ = 0 donde C es una matriz de orden (N × D(D + 1)/2), de rango N que corresponde a la selecci´ on de las e u) covarianzas de u1t y u2t , σ e = vec(Σ ′ e u = 1 PT u bt u bt D+ es la inversa de Moore - Penrose, Σ K
T
i=1
λW se distribuye asint´ oticamente χ2 (N )
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas HP
Pruebas para los pron´osticos Para yT +1 , yT +2 , . . . , yT +h
qP T +h Ra´ız Cuadrada de error promedio (RCE): RCE = t=T +1 PT +h |byt −yt | Error Absoluto medio (EAM): EAM = t=T +1 h
(b yt −yt )2 h
Porcentaje del error absoluto (PEAM): 1 ybt −ytmedio P +h P EAM = 100 Tt=T +1 yt h Coeficiente de Theil
3
qP T +h
T =q PT +h
t=T +1
ybt2 t=T +1 h
+
(b yt −yt )2 h
q PT +h
yt2 t=T +1 h
Donde 0 < T < 1, cuando T → 0 entonces el ajuste es m´as o´ptimo. 3
Pindyck y Rubinfeld (1991) Iv´ an Aliaga ()
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Modelo VAR
Pruebas Estad´ısticas HP
Modelo Y
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Datos Composicionales
Datos Composicionales Definici´ on
DC ′
S D = {(x1 , x2 , . . . , xD ) ; x1 > 0, . . . , xD > 0; x1 +x2 +. . .+xD = 1} (6) DCT ′
Xt = {(X1t , . . . , XDt ) ; X1t > 0, . . . , XDt > 0; X1t + X2t + . . . + XDt = 1} ∀t = 1, . . . , T (7)
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Datos Composicionales
Figura: Representaci´ on transversal S 3 y S 4 .
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Datos Composicionales
Figura: Representaci´ on transversal S 5
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Datos Composicionales
Figura: Ejemplo del tratamiento de datos en la serie Multivariante
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Datos Composicionales
Transformaci´on Isom´etrica (ilr) Dada una base ortonormal del simplex S D , {e1 , e2 , . . . , eD−1 , } se define la transformaci´ on log cociente isom´etrica (ilr) de una composici´ on x ∈ S D a un vector v ∈ RD−1 como: v = ilr(x) = (hx, e1 ia , hx, e2 ia , . . . , hx, eD−1 ia )t
(8)
Donde. xi ei 1 P hx, ei ia = D i
