Presentacion p-valor

P-Valor Iv´an Aliaga Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on Resumen final

8.3.4 P-Valor Statistical Inference George Casella, R. Berger

Referencia

Iv´an Y. Aliaga Casceres

Universidad del Bio Bio [email protected]

P-Valor

Contenido

Iv´an Aliaga Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on

1 Resumen

Resumen final Referencia

2 Definici´on

Definici´on formal 3 Otra definici´on 4 Resumen final 5 Referencia

P-Valor Iv´an Aliaga

Resumen

Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on Resumen final Referencia

Mostrar un p-valor en una prueba de hip´otesis es un m´etodo para comunicar los resultados de una prueba, adem´as de informar el tama˜no de la significaci´on α utilizada, se tomar´a f´acilmente la decisi´on de rechazar o aceptar Ho . Si α es grande en comparaci´on del p-valor, habr´a indicios suficientes para rechazar H0 , si α es peque˜na que el p-valor, la decisi´on de rechazar Ho no es muy convincente porque la prueba(test) tendr´a una mayor probabilidad de cometer un error en tomar esa decisi´on. Esta forma de comunicar los resultados de una prueba de hip´otesis resume toda la decisi´on de la prueba en un solo valor denominado p-valor.

P-Valor

Definici´on

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Otra definici´on Resumen final

(Definici´on 8.3.26)

Referencia

Un p-valor p (X) es un test estad´ıstico que satisface 0 ≤ p (x) ≤ 1 para cada punto muestral x, peque˜nos valores de p (X) dan evidencia de que H1 es verdadera. Un p-valor es v´alido si, para todo θ ∈ Θ0 y para todo 0 ≤ α ≤ 1. Pθ (p (X) ≤ α) ≤ α.

(1)

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Otra definici´on Resumen final Referencia

Si p (X) es un p-valor, es f´acil construir una prueba de nivel α basado en p (X). La prueba rechaza H0 si y s´olo si p (X) ≤ α a un nivel de significaci´on α debido a (8,3,8). Una ventaja para informar de un resultado de la prueba a trav´es de un p-valor es que cada experimentador puede considerar un valor α apropiado y luego se puede comparar p (X) y α y saber si estos datos llevan a la aceptaci´on o rechazo de H0 . Adem´as, cuanto menor sea el p-valor, m´as fuerte es la evidencia para rechazar H0 . Por lo tanto, un valor de p reporta los resultados de una prueba en una escala m´as continua, en lugar de s´olo la decisi´on dicot´omica Aceptar H0 o Rechazar H0 . La forma m´as com´un para definir un p-valor v´alido es dada en el teorema 8.3.27.

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Definici´on formal

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Otra definici´on Resumen final

(Definici´on 8.3.27)

Referencia

Sea W (X) una estad´ıstica de prueba de tal manera que los valores grandes de W dan evidencia de que H1 es verdadero. Para cada punto de la muestra x, se define. p(x) = sup Pθ (W (X) ≥ W (x)). θ ∈Θ0

Entonces, p(X) es un p-valor v´alido.

(2)

P-Valor

Prueba

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Otra definici´on Resumen final Referencia

Demostraci´on. Como θ ∈ Θ0 . Sea Fθ (w) denota la funci´on de distribuci´on acumulada de −W (X). pθ (x) = Pθ (W (X) ≥ W (x)) = Pθ (−W (X) ≤ −W (x)) = Fθ (−W (x))

P-Valor

Nota

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Otra definici´on

La variable aleatoria pθ (x) es igual a Fθ (−W (X)).

Resumen final Referencia

La distribuci´on de pθ (x) es estoc´asticamente mayor o igual a una distribuci´on uniforme en (0, 1), es decir, para cada 0 ≤ α ≤ 1, Pθ (p(X) ≤ α) ≤ α. Porque p(x) = sup pθ 0 (x) ≥ θ 0 ∈Θ0

pθ (x) para todo x. Pθ (p(X) ≤ α) ≤ Pθ (pθ (X) ≤ α) ≤ α.

(3)

Esto es cierto para cada θ ∈ Θ0 y para toda 0 ≤ α ≤ 1; p(X) es un p-valor v´alido.

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Ejemplos

Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on Resumen final Referencia

Ejemplo 8.3.28. p-valor de dos lados normales Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on n(µ, σ 2 ), se considera la prueba. H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0

Ejemplo 8.3.29 p-valor de un lado normal Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on n(µ, σ 2 ), se considera la prueba. H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0

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Otra forma de definici´on

Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on Resumen final Referencia

Otro M´etodo para definir un p-valor v´alido alternativo, implica el uso de un estad´ıstico suficiente. Sea S(X) un estad´ıstico suficiente para { f (x|θ ) : ∈ Θ0 }, para evitar pruebas con un nivel bajo de potencia es importante que S sea un est. suficiente s´olo para el modelo de la hip´otesis nula, no para { f (x|θ ) : ∈ Θ}. Si la hip´otesis nula es cierta, la distribuci´on condicional de X dado S = s no depende de θ

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Otra forma de definici´on

Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on Resumen final Referencia

Sea W (X) un estad´ıstico para los que valores grandes dan evidencia de que H1 es cierta, entonces para punto muestral se define. p(x) = P(W (X) ≥ W (x)|S = S(x))

(4)

Argumentando en el teorema 8.3.27, pero tomando en cuenta s´olo la simple distribuci´on que es la distribuci´on condicional de X dado S = s, se observa que, para cualquier 0 ≤ α ≤ 1. P(p(X) ≤ α|S = s) ≤ α

(5)

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Otra forma de definici´on

Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on

Entonces para todo θ ∈ Θ0 , incondicionalmente se tiene.

Resumen final Referencia

Pθ (p(X) ≤ α) =

∑ P(p(X) ≤ α|S = s)Pθ (S = s) s

≤

∑ αPθ (S = s) s

≤ α Por tanto p(X) definido anteriormente en (4) (8.3.10 Casella) es un p-valor v´alido, las sumas pueden ser reemplazadas por integrales para S cont´ınuo.

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Otra definici´on Resumen final Referencia

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Ejemplo

Resumen Definici´on Definici´on formal

Otra definici´on Resumen final Referencia

Sea S1 y S2 observaciones independientes con S1 ∼ Bin(n1 , p1 ) y S2 ∼ Bin(n2 , p2 ), se considera la prueba, H0 : p1 = p2 versus H0 : p1 > p2

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Para Resumir

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Otra definici´on

Sobre α

Sobre p

Resumen final Referencia

1

2

Es un n´umero peque˜no preelegido al dise˜nar el experimento Conocido α se sabe todo sobre la regi´on cr´ıtica

1

2

Es conocido tras realizar el experimento Conocido p sabemos todo sobre el resultado del experimento.

Criterio de rechazo Contraste significativo = p menor que α

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Referencias

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Otra definici´on Resumen final Referencia

George Casella, Roger L. Berger. (2002) Statistical Inference 2nd ed, 397 – 399.

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Gracias...

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Otra definici´on

XII

Resumen final

●

VI

III

IX

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