PreprácticaSistemaBolaViga

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL LABORATORIO DE CONTROL AUTOMÁTICO Agosto del 2010 PRACTICA 6

Control en cascada Balancear una bola en una viga

Antecedentes Esta planta contiene un sistema de control para balancear una bola en una viga, para lo cual vamos a controlar el ángulo que la viga forma con la horizontal para obtener la posición de equilibrio “deseada” de la bola.

La planta se compone de un motor DC, un sensor lineal para medir la posición de la bola en la viga, un sensor lineal para medir el ángulo en la carga, una fuente de poder PWM para el motor DC, engranes, soportes metálicos, una viga, una bola de acero inoxidable, software de MATLAB, una tarjeta de adquisición 6024E, un bloque conector CB-68LP. La técnica de control que se utiliza es la conocida como control en cascada, en la que se utilizan dos controladores; puesto que hay un lazo interno y uno externo que deben ser controlados. Para controlar este tipo de planta, se ha usado un Controlador en Cascada, con un Lazo Maestro o Externo y un Lazo Esclavo o Interno. El Lazo Interno controla la posición del ángulo visto en la carga (engrane mayor) y este debe ser considerablemente más rápido que el Lazo Externo que controla la posición de la bola, para que la dinámica del Lazo Interno no afecte la respuesta en lazo cerrado del sistema total.

Objetivos: 1. Describir el desarrollo de un sistema de control automático que básicamente controla la posición. a.

Variable controlada: Posición deseada de la bola sobre la viga.

b. Variable manipulada: Voltaje de alimentación del motor DC. 2. Usando la función de transferencia identificada que modela el comportamiento de la planta en el lazo interno, es decir la posición para el ángulo de la viga (eje del motor), determinar el controlador que asegura un comportamiento estable del sistema.

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3. Determinar el tipo de controlador necesario para ajustar el comportamiento del lazo externo, para un cambio de referencia de tipo escalón.

Teoría: Un control en cascada es la combinación de dos controladores, donde la señal de salida

de un

controlador se convierte en el punto de ajuste del otro. 

Un lazo primario con un controlador primario K1(s), y



Un lazo secundario con un controlador secundario K2(s).

Hay dos lazos en el diagrama de bloques de la Figura 1. El lazo interno se llama lazo secundario o esclavo y el lazo externo se llama lazo primario o maestro.

Controlador Primario

Controlador Secundario

G1

G2

Lazo Interno (esclavo) Lazo Externo (maestro)

FIGURA 1 DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA EN CASCADA. La figura 2 muestra un diagrama de la configuración del sistema bola y viga, básicamente es un motor acoplado a un conjunto que denominaremos “bola y viga”, el motor es el encargado de controlar la viga a la misma que se acopla mediante dos engranes, sobre la viga la bola es libre de rodar a lo largo de toda su longitud.

FIGURA 2. SISTEMA BOLA Y VIGA. El propósito del controlador es posicionar la bola en el medio de la viga (esto es a 20cm.de cualquiera de sus extremos) pero manipulando la posición angular del motor y junto con este el de la viga.

Se pueden identificar dos funciones de transferencia que relacionan las variables involucradas en este sistema:

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Voltaje de salida del Sensor de Ángulo V  Voltaje de entrada hacia el Motor Vin

G1 ( s) 

Y,

G2 ( s) 

Voltaje de salida del Sensor de Posición Vx  Voltaje de salida del Sensor de Ángulo V

MODELO MATEMATICO DEL CONJUNTO MOTOR DC, AMPLIFICADOR Y TACO-GENERADOR. El motor DC controlado por armadura de lazo abierto para control de posición (θ)

Ra

La

+ ia(t) em(t)

+

N

Tm(t) θm(t) nm

Jm

vi(t)

-

S

Bm

TL(t) θL(t) nL

-

JL BL

 L (s) Vi ( s )



 Km N g Ra Beq   K m2 N g2   Ra J eq s s  1 2 2  R B  K N  m g  a eq 

Donde: Ra: es la resistencia de armadura [Ω] La: es la inductancia de armadura [H] Km: es la constante de voltaje del motor [V-s/rad.], [V/rpm] Jeq: es la inercia total referida a la carga [Kg-m2] Beq: es el coeficiente de fricción referido a la carga [N-m/(rad./seg.)] Ng: es la relación de dientes, donde Ng = NL/Nm θL: es el ángulo de salida [rad.] Vi: es el voltaje aplicado al motor [V] ηm : es la eficiencia del motor ηeng : es la eficiencia de los engranes η : es la eficiencia total del sistema, es decir η = (ηm)(ηeng). Esta Función de Transferencia se la puede resumir en:

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G s 

 L ( s) Vi ( s)



K s( s  p)

Reconocimiento del polo dominante del motor:

Primera parte -

Operamos en lazo abierto el motor aplicándole una señal tipo pulsos.

-

El lugar geométrico de las raíces tiene que ser de la siguiente manera.

La Función de Transferencia en Lazo Cerrado del Lazo Interno: 

Es de observar que las mediciones del ángulo de salida y de referencia se lo hace en voltios.

K 0.63K

0

TL.I .  s   -

t

t

 sal ( s) K K   2  ref ( s) s( s  p)  K s  p.s  K

Se desea que la respuesta del sistema sea lo más rápida posible, ésta respuesta depende de su constante de tiempo. La constante de tiempo es menor cuando los polos son reales iguales (críticamente amortiguado).

-

Experimentalmente se ajustó la ganancia para lograr que la constante de tiempo sea un mínimo en condiciones críticamente amortiguadas. Este valor fue aproximadamente: 0.025 segundos.

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2  80 t 0.025 Función _ de _ transferencia _ de _ lazo _ cerrado _ del _ lazo _ int erno : p

2



TL.I .  s  

n2 K  s 2  p.s  K s 2  2n s  n2

TL.I .  s  

1600 s  80.s  1600 2

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; 2n  80 ;   1  n  40

Señal simulada:

Señal real:

Se observa que como el sistema es de “Tipo 1”, el Error de Estado Estacionario para señal de prueba escalón unitario debe ser cero.

MODELADO DE LA BOLA Y VIGA Para poder obtener el modelo matemático de la bola y viga, asumiremos que la fricción entre la bola y la viga es despreciable. El modelo del sistema se presenta en la figura.

FIGURA: MODELO BOLA Y VIGA Las constantes y variables definidas en el problema son los siguientes: 

M: masa de la bola = 28 gr.



R: radio de la bola = 19 mm.



d: distancia del centro del engrane mayor al brazo = 4 cm



L: longitud de la viga = 40 cm



θ : ángulo del servo engranaje mayor



α : ángulo de la viga con respecto al eje x



g: aceleración de la gravedad = 9.8 m/s2



J: momento de inercia de la bola = (2/5)MR2



x: posición de la bola en la viga

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Las dos fuerzas que influyen en el movimiento de traslación de la bola, se observa en la figura 2.4.2; las cuales son:

Ftx : fuerza debido al movimiento de traslación de la bola. Frx : fuerza debido a la rotación de la bola.

FIGURA 2.4.2. DIAGRAMA DE FUERZAS PARA LA BOLA Sabiendo que la aceleración a lo largo del eje x es:

d 2x dt 2

Entonces la fuerza debido al movimiento de traslación es, la mostrada en la ecuación. 

Ftx  m x ;



x

d 2x dt 2

(2.40)

El torque debido a la rotación de la bola es:

Tr  Frx R

(2.41)

También se puede expresar el torque en función de la velocidad angular.

Tr  J

db dt

(2.42)

Sabemos que la aceleración angular y velocidad son:

b 

d (vb / R) dx ; vb  dt dt

(2.43, 44)

Entonces relacionando las ecuaciones 2.42, 2.43 y 2.44, obtenemos:

Tr  Frx R  J

d 2 ( x / R) d 2 ( x / R2 ) J   ; F  J  2 x rx dt 2 dt 2 R

(2.45)

Sustituyendo el momento de inercia de la bola, descrita en la ecuación 2.43 en la ecuación 2.42, se obtiene la ecuación 2.44.

J

2 mR 2 5

 2mx  d  5  2  ; Frx    mx dt 5

(2.43, 44)

Aplicando la segunda ley de Newton para las fuerzas que actúan a lo largo del eje x, obtenemos:

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Frx  Ftx  mg  sen( )

(2.45)

Sustituyendo Frx y Ftx en la ecuación 2.45, obtenemos:  2  m x  m x  mg  sen( ) ; 5



x

5 g  sen( ) 7

(2.46, 47)

Se puede notar que la ecuación 2.46, es no lineal, por lo que aplicaremos un criterio para tratar de que la ecuación sea lineal. El criterio para linealizar, es tratar de realizar una aproximación, dado que para ángulos pequeños el sen(α) = α, entonces se obtiene la ecuación 2.48. 

x

5 g 7



X ( s) (5 / 7) g   ( s) s2

(2.48, 49)

Sustituyendo el valor de la gravedad (g = 9.8 m/seg2), obtenemos la función de transferencia del modelo bola y viga. Esta función relaciona el ángulo de la viga, con la posición de la bola a lo largo de la viga.

X ( s) (5 / 7) g 7   2 2  ( s) s s

(2.50)

Seleccionamos un punto de operación en el que la bola se encuentre equilibrada en la mitad de la viga. En estas condiciones el ángulo del engranaje y el ángulo de la viga son iguales y su valor sería cero; esta situación corresponde a que la viga esté horizontal. La Función de Transferencia de Lazo Abierto del Lazo Externo, sin incluir el controlador, será la multiplicación de la Funcion de Transferencia de Lazo Cerrado del Lazo Interno con la Función de Transferencia de la Viga y Bola:

a.

 sal (s) 1600   ref ( s) s 2  80s  1600

X (s) 7   (s) s 2 c.  sal ( s)   ( s) X (s) 11200 d.   ref (s) s 2 (s 2  80s  1600)

b.

El Lugar geométrico de las raíces de este sistema será: Se observa que el sistema es inestable si el controlador es Proporcional “P”. Si seleccionamos un Controlador Proporcional derivativo “PD”, en donde el cero lo ubicamos entre los dos polos en el origen y los dos polos reales; por ejemplo, z = 4, tenemos ahora una situación estable:

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En estas condiciones, el sistema tiene un Tiempo de Estabilización aproximadamente de 5 seg. Se deberá ajustar el Controlador PD experimentalmente de tal manera de lograr la respuesta dinámica apropiada para el sistema.

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Ejercicios de la pre-práctica Ejercicio 1 A partir de la función de transferencia identificada que relaciona el voltaje aplicado al motor con el voltaje de salida del taco generador, que viene a ser la velocidad del eje del motor.

G2 s  

266.67 s( s  80)

,F=H=1

a) Usando la herramienta SISOTOOL: Diseñe el controlador (lazo interno) para obtener: 

Un error de estado estacionario del 0% ante una entrada escalón



Un tiempo de estabilización que sea menor a 0.15 seg.

b) Compruebe su controlador en SIMULINK y adjunte sus gráficas respectivas

Utilice los valores del controlador que cumpla las especificaciones para usarlo en la parte (b). Ejercicio 2 a) Usando la herramienta SISOTOOL: Diseñe el controlador (lazo externo), para obtener: 

Un error de estado estacionario 0%



Un tiempo de estabilización que sea menor a 10 seg.



Un sobre nivel porcentual < 20%.

F=H=1

Donde la función de transferencia a controlar es el desarrollo del lazo interno multip licado por

la función de transferencia

G1 s  

7 s2

(Modelo Viga Bola) de lazo externo.

b) Compruebe su controlador en SIMULINK como representa la figura anterior y adjunte sus gráficas respectivas

Recomendaciones:  Se recomienda verificar el tipo de función de transferencia y ver su respuesta ante una señal escalón unitaria antes de agregar algún controlador.

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