Preguntas y Problemas de Fisica

L ToraSov, A. Tarasova

PREGUNTAS Y

PROBLEMAS DE

FrsrCA +

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EDITORIAL MIR MOSCÚ

L. TA RASOV , A. TARASOVA

PREGUNTAS Y

PROBLEMAS DE FJ:SJ:CA

PRIMERA

REIMPRES ION

Troducldo del ruso por .1 LTcenetado JAIME BLANCO CASTRO

EDITORIAL MIR MOSCÚ

Trtvlo originol en ruso : 11. 8 . TAPACOB. A. H. TAPACOBA

BonPQCbI

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11 .

EnH4IMIOBA

PREFACIO

los autort:s de este Ilbro han sabido. tn la forma mis expresiVl del diálogo. analizar profundamente cui todas las preguntas del programa y tri especial aquellas que son de dificil comprensión. En el libro SI! haet un análisis deta ll ldo tle 10& trfores más carlCleristi~ que comelen los estudiantes. El lulo ha sido .serito de mlntrl singular, sencilla y amMI, las preguntas diflciles SI! discuten desde diltr'tnles puntos de vista, los dibujos bien delallad~ (que M el libro son numerosos) ayudan I comprender mas-prolundamente II idea de los autores. los autores de esta obra son profesores. del Instituto dt! Construcción de Maquinaria Electrónica de Moscú, La alta calificación de los aulores, en combinación coo 'a \liveza y comprensibilidad de la exposición, hacen este libro muy útil pafil 105 estudian tes en la etapa inicial de 50s estudios de la Física.

¡No dao:llick l. dnernU¡al El probl~ml acerca de romo.e dHplu. n 11>11 en el esp.do y en el liem¡tO es de ,.., n Inlffn lanto d""de el pun lo de vIII. de 1. Fitiu ('O!IIO ~e tL punto de vist. prktlc".

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PROFESlJR : Usted h. Inaliudo

I

anttriormenle las grjficas de l. velocidad del Qmlno recxnido respecto I tiempo para el moAHAUZA~ vlmltnto reclilllleo unifonnemen: GRAFlCAMENTE te variable. En relación con esto le formulo la siguiente pregunta. LA CINE/IIAT1CA. Supongamos q~ la ,r6fim rJl!loDEL /llQV1/lllENTO cidod-I~mpo (jt~ la lornw. rtprtltntoda tn fa lig_ 1, a partir RECT1LINEO? ~ ida, (IOfIslru!J(l la grdfim dll avnino ' tronido tn !utlción tÚl tinnpo. ESTUDIANTE: Nunca he di bu,l.ado tales gráficas. PROFESOR : Esto no es nada COfTIpliudo. Vam05 • razonar ¡untos. Dividamos el tiempo lotal empleado en tres intervalos: J, 2 Y 3 (ver lig. 1). ;Cómo se mueve ei CUNpo durante el intervalo J? ¿Cuil SH' la fÓfmula para el camino recorrido en dicho interVllo? . ESTUDIANTE: En el Inltrv.lo 1, el movimiento de l CUtr po es unilormmlenle acelerado sin ve locidad inicial. La fórmula para el camino recorrido es, en este caso, la siguiente: ~SABE

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USTEO

•

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•

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(1)

donde a es la aceleración del cuerpo. ~d'~'::::¡C:'~Dl::i~r,PROFESOR. : ¿Podrla usted ~ J J I utili:r.ando la grlifica de la veloc idad , encontrar la ac~ ¡eruJ ón ? ESTUDIANTE: SI. La acelCl'"ación, que es la variación de la velocidad, en ¡, unidad de tiempo, es igual, la razón enlre los segmentos A8108. PROFESOR : Biffl. Ahor. an.lice los in tervalos 2 y 3. ESTUDIANTE : En el in tCl'"valo 2 el CUCl'"po llene un mov i· miento uniforme con una velocidad v. la cual a!eanzó al rinal del inltrv alo 1. la fórmula parl.el umlno recorrido t'S:

•.

" ::

,

PROFESOR: Su ~Spllest. no n preciu. Usted no tuvo ~ cuenta, qlle el movi miento un¡lorm~ mpnó en el momento l. y no m el inshnte inicial. Dllrallle este tiem po el cuerpo ya I ha rf'COl'rido 1111 camino igual I a /}t: /2. En el intervalo 2 l. • dependencia del camino r~ • rrido respecto al timpa llene l. siglllen!e expresión;

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S(/) - 01 : /24'u(t- I,) .

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(2)

Tefli~ndo en cuenta esta obstr· vación, ~rib. 'a lÓf'mull del camino recorrido pua el intervalo 3 . ESTUDIANTE: En el inlerVi lo Jel movimiento es uni(O(· merntnte rehrdado. Si he como prend ido bien , en este CI50 l. lórmllla plTl el camino rtcOrri60 ~ tent'f" la siguiente u· presión; s (1) - 111:12 + 11(1. -1.)+

,

I

+ u(l- tJ -

a. (1 - 1,,.,2,

donde o, es la kel~ac:i6n en el intervalo 3.' Esta es dos veFiC l ces me'IOf que la kelerac:ión o m 1, puesto que el Intervalo 3 es dos veces mis lariO que el / . PROFESOR : Su lórmula se puede slmplilic.r un poco s ti) _ 0/l/ 2 + 11 (/ - 1,)-0, (/- 1.)',2.

(3)

Ahora usted simplemente puede sumar 105 resultados obteni· dos en (l) - (3). . ESTUD IANTE: SI, entiendo. En I 1. gdlka del cam ino I't!COfTldo es un. par'boll, en 2 es un. linea retla y por último

en el Intervalo 3 es nuevamenle una par'bola, pero Invertid'l (convua hac:11 arrlbl) . EsI, es mi crAfica (lIg. 2). PROFESOR: SU dibujo no es totalmente correcto. LI curva del camino recorrido no debe ser una linea quebrada, debe estar ~Rraenlada por unl l inea suave, es decir. lu par'. bolas deben C'Orllundine con II tlnea rect • . Ademú, el vift i~

•

de la segunda parábola debe corlesponder al inslanle de tiempo /,. Esta grMita I'~ la corrt'l:la tlig. JI. ESTUDIANTE: EKpliqueml'. por fa vor. PROFESOR: Analicemos una parle de alguna otra grafica del camino recorrido durante un cierto intervalo de tiempo s (Iig. 4) . la velocidad media delcuerpo t'n el intervalo desde t hUi a /1 H -ál es igual a

~

« 1

•

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MI - H/I ¡\j

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= ' So;,

Q'L''-1f-- +''.---''

donde Ct t's el angulo que forma la cu,,"rda AB coo la hl)fll.Olllal. Para calcular la v.. locidall del cuerpo en t'l ¡ n~tanle l. hay que encontr ar el limite de las velocidades medias cuando á(_ O 1)

r

v ( =~:~~

.(1 + 41) - . (1) ¡\j

.

(4)

F.n el limite, la cuerda se convierte en la taugente de la curva en el punto A (ver la linea pun teada en la Ilg. 4) . El valor de la ve locidad en el ins tante / , sera igua l a la pendiente de la tangente en A . Por lo lanto, se puede hallar la velocidad de un cuerpo en cualquier instante d~1 liempo por la ~ pendientes de las langentes a ta gralica del camino recorrido. Regresemos ahora a la grarica (Iig. 2). De esta se concluye, que en el instante t, (yen el ínslante t,) la velocidad del cuerpo tiene dos valores diferentes: si nos acercamos hada /, por la izquierda, la velocidad .será igual a la tg Ct , . mientras que si nos acercamos a es te mismo punto desde la derecha. la velocidad tendrá un va lor igual a la tg Ct • . Segun su gráfica la velocidad del cuerpo en el instante t, (lo mismo que en t.) seria una linea interrumpida. lo que en realidad /1() se ob5ervl (la gráfica de la velocidad en la lig. 1 es una linea conUnua) ESTUDIANTE: He entendido. la continuidad de la linea que repre.' mos algunos ejemplos (lig. 7): 1) un cuerpo es lanudo formando un angula con la horizontal; b) un cuerpo .se desliza por un pllno inclinado; e) un cues-po Illdo I una cutfda gira sobre el plano ver tical; d) un péndulo simple. Explique y haga un diagrama de las (uenas aplicadas I los cuero pos eo cada uoo dI:' los casos anteriores. \

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ESTUDIANTE: Esta fS mi gráfica (fig. 8). En el priml'r caso: P H ,,1 pfSO rlel CUt'f(1O. F es la fueru 0.1(' lanumiellto. En el Sf'gundocaso: Pes el pfSO: F, 1

blemlS de di mimic. n muy· importante deduci r correctamente In fuerzas ap licadas 11 un c~r­ po (ver § 2). ESTUDI A NTE: Q uiero hacerle una pregun ta a l respedo. Supongamos que yo he deducido correcl.m~ te todas In IUffZU "plleadas al cuer po considc'l"ado. ¿Qué debo h.ccr dcspues de esto? PROF ESOR: Si las futnas no estan dii'igidas a lo largo de una misma recta hay que descomponerlas en sus dos componeo les segu n los ejes ver ti cal y hor i·

20n lat y luego analiur es tas componen les por ~pltlldo para cada uno de los ejes. Ahora mi5ffiO quisiera da r le .1gullOS consejos practicos al respo« lo. Como primera medida, para no confundirse al d6componer las fuerzas, debe repr~tar a estas en el diagrama en for ma bien clara . Gmer.lmmle eo los di.gra mas el est udiante suele representar a las fuerzas por mtC"ntado en la lig. 31 P, = - 1 ].;gf; p . ..... '}. kgf; P. _ 5 kj¡:f; P. .... 0.5 kllf : a. ... 30·. El cocfidtntt dt rotamiento rle ¡as carllas con ti plano C$ i¡tual a 0.2. Encontrar la a~ ¡eradólI de l sistema de carllas, las tenSIones de [as cuerda~ y la fuerza con la cual el bloqut p. hact prtsión sobre p •.

PROFESOR: La fueru de frie. ción puede complicar ba . I~lll e un problema. • lEN QUE MEDIDA ESTUDIANTE : Pero nosolros LA FU ERZA va hemos estudiado la lueru de DE fR1CClON Iricción (ver § 3) . Si el cuerpo se mueve. 'a futfll de fricción se CQ,\\PU C,\ determina por l. u:ac ción norL,'S. WLUCIONES. mal (F,-IrN); 5; el cuerpo tita t1l reposo, la futl'd de fricc ión es DE LOS PRO BLE MA S igua' en magnitud I la fuena DE OINA!.I ICA? que Irata de sacar al cuerlK' de su estado de reJlO5O. Eo;to no t i dificil de entender y recordar. PROFESOR: Asl es. Sin embar· go. usted no toma en cuenta un hecho muy importante . Usted supone que de antemano puede responder a las siguien tes preguntas: 1) ¿El cuerpo está en reposo o en mov imiento ? 2) ¿En qué sentido se mueve el cuerpo? Si esto se sabe con ano terioridad. entonces en realidad lo demás es retativame!\te fileil. Sin embargo, si no es asi, el problema se com plica y es necesario hacer un anátisis especial. ESTUDIANTE: Si. ahora recuerdo. Nosotros ya hemos tratado de esto en el t 2, cuando hablibamos· de cómo escoe:er la di recc::ión de la fuerza de fricción. PROFESOR,: Ahora quiero delenerme más delalladamente en esta pregunta. Me parece que lanto los estudiantes como algunos de los profesores t1lcargados de lormular los problemas no analizan qué dificu ltades representa un problema de dinámica en el cual se tiene en cuenta la luena de fricción. Estudiemos tl ejemplo representado en lo tig. 10 en donde se conoct': el iUlgulo de inc/inaci6n a. el ~!XJ P del cuerpo. lo t~rla F y ti coeficiente cinitico de fricciÓtI le. Para mayvr sencillu IIaIlIOS a spponer q~ k. = k (donde k. es el va tor maximo del coefic iente de fricción estilico) . Se pide llaar un andlisis tÚl IIIwim{ento d.tl cuerpo y encontrar la aaltraciÓII. Suponemos que el cuerpo se mueve hacia arribll a lo largo del plano inclinado. Descomponemos todas las flle.nas de la manera indicada en lB lig. 27, b. Utilizamos el resu!t.nlo que obtuvimos para la aceleración en el § 6:

a"" IJ [F eos a - psena -(P cos >P tg a el cuerpo se mueve hacia arriba con una aceleradó!! C I(\1I

°

u = g{Fcos a -· Psena)¡'P ;

(30)

F ~, P

Iga el cuerpo se mueve unilormemente (hacia arriba hacia abajo) o permanece en reposo si Fl'lla - P,k cas a)!(P,+p. ).

(32)

En CIISO de que el sistema se mueva hacia la izquierrla ten· dremos 0 = g (P, sen a - P, - P ,kc()sa)/(P, p. ). (33)

+

Hagamos el ana lisis para los va lOl"ts dados a y ot. Para ts lo, hacemos va r iar la ratón p= P .lP,_ In 111 fórmula (.32) se con· cluye. que para que el sistema se mueva de la iZ.9ui~da hacia la de recha es necesari o que se cum p la la condicion p ~ (sen a -t

II' COSa) - ' .

BasandonO!'\ en la fórmula f3J) vemos qu e, para que el sistema se m ueva de la derecha hac ia la izquiC'fda se debe cu mpl ir q ue p ~ (sen a - k cos tt) - ' . Para eslo se necesita una condición comp lemen tar ia que ('1

ángulo de inclinación no (jebe .ser demasiado pt'queño: tg a > k .. Si por el contrario tg a"'k, por mj ~ grande que sea la razón p. I!' I sistem a no se moverli de la derech a hac ia la, ¡lquier _

da. Si 18 a>k, e l sistema permanecerá en reposo: siempre y cuando se cum pla la desigu aldad : (sena k cos o.) - ' < p < (sen a .- kcosa) - ' . Si Ig a ~ k : 1'1 sis tema no se mueve si se cumple p> (sena +kcosa)- ' . ESTUDIANTE: ¿Y qué sucede si variam os 1'1 ángulo a o el coefic ienle k ? PROfESOR: Le sugiero que Ud. mismo haga el amilisis desde eSI", punto de vista (ver problemas NCN° 13, 14) .

+

PROBLEMAS 13. Haga un aná lisis del prob lema ilustrado en la lig. 32, para diferentes val or..s del coeficiente k, suponi endo que se conocen el ángulo a y la ratón p .... P"'P ,. 14. Para diferentes va lores del angulo de inc linación « , haga un análisis del proble.ma ilustrado en la fig. 32, su Poniendo que se conOCefl el coefic iente de fricción k y hl razón p= P.lP, . Para ma yor sencillez considere sólo dos valores de esta ruórl : p =n ! (loscuerpm l ienen igual peso) y P "" ". (el peso del cuerpo que desc ansa sob re el plano incl inado es dos vece-s mlyor que el del cuerpo que pende de 111 cuerda).

El 1IOO"lm;"1\1o H un (I/.,PO que " .. ~¡b¡tndo una ';rcunr"'tnti. . . el c_ m',"lmple dt! un mo~¡mltn\o furviliMO . P« uo ok-~os ron mR" r« rlllÓft _ _ b¡... nla d _ de movimiento En ti unlnn.. abundan

101 dem,1oI K movimimt.. a¡uilhwos .

AllArkano. tI movimlt'fllo 11111101'_ y nO un,I... "", de u'" ,.,¡kul, m~k· fl.1 que lit m"Uf en ...... drfUn 'tftnc, a. ti moVImiento de los ... Itllltl y en lelaclón con esto invntlclttmos lu auUf lisie., de L. lmpo l\oo~bm. dad de 1.. cuerpol.

.

,

USHD El MOVIMIENTO CIRCUI "11

DE lJ\ U,.: t:Rl'U¡

PUOFE~OI<

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l'JI~ro('n('l.a

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d ~on el movlIlllenlo de un Cllerpo qUl' gira ~n una circunferencld re~unan

bastante dificiles para l'lesludian· te. En 18 ~ respuestas a las pregunlas lIe este llpo $e comc\e una cantidad de fallas muy caracleris· IIc.s. Para demostrar esto, ,"VIIffilOS a participar Hl nuestra dIscusión a un estudiante mis, ljuum no "sta mfOfm.do de lodo lu que hasta ah('lr3 hl!fTlos ha blatlo;

comliclOnalmente Jo llamaremos . es tudiante 13. (. mi mlerlocutor anl!:'r;o.- lo llamaremos 3hma .esludi!lIlle A.). Al estudiante B , ~ propollemO$ Sf'Ii.lar IIU fuerzas que ¡cluan sobre ull.,Wlh~lile artificial, que giT' .lrededor de la Tierra No $e !imm'm cuenta 1. resistenci. de la atmósfera y la alraccló:t de l. Luna 'J el Sol y dernas asiros. ESTUDIANTE B: Sobre el .salelile acl elan dos furrza~ : la .tracción de la Tieru y la furrza centr ilug • . PROFESOR: En cuanto a la .tracciÓn de la Tierra esloy de acuerdo oon usted, ]>UD no ent iendo por que a¡'''UlCi! la fuerza centrifuga . Acla~ eso. por la vor. ESTUDIANTE B: Si esll !ut'ru no exi~tierl. el satélite 110 podril sostenerse i!0 órbitl. PROFESOR: ¿Y qul sucens.ciÓn de la fuerza de atracción . por ct eontrano. para que un cuerpo adquit'fa el ,"sl.do de impond('rabilidad ha y que cr!'llr condiciont's, mediante las cua ltoS sobre el cuerpo no actua n más fuertas que la de .tracciÓn. En otr as palabras, ~ nl!'C.e..ar io que la reacción del apoyo sea n!Jla. La caida de un cuer po t's el molo'i!JI ien lo de es te por acción de la Illerl1l grayitaloria . Por coll5i!l:u iente. la impondefahi lidad es ('1 estado de uo CUl'rpt, que cae libremente, por ejemplo. la clida de uo ascenSO/', o un satélite terrestre. ESTUDIANTE 11: En e l paragr.lo anterior ya se dijo que el mo .... imiento de un satelite de la Tit'rra flO 1"5 mas que la CII ida. que ~é Nolon¡¡1I indf'finldamente d('1 saléli\(' a la Tierr a. PROFESOR . Podemos convencernos de que el movimiento de un ~atéli l e alrededor de la Tierra eli si mplemt'nte la calda libre de este con ayuda de este sencillo ejemplo. Imagine- . monos que desde la c ima de una montaña lantlmos una piedra

"

horizon ta lmente. Despreciamos el dedo del aire; cuanto mayor Sl."3 la velocidad inicial que le imprimi mos a la piedra, mas lejos caera ésta del pie de la montaña. La lig. 42. a muestra cómo va ria regularmente la trayectoria de la piedra cuando aumentamos su velocidad inicia l. Para una ciert a velocidad ti , la tra yectoria que describe la pied ra al caer es una circunferencia entonces se convierte en un 1), salé He de la TielT8. La ve locida"d v , se denomine p'rimen velocidad cósmica y se puede determinar a partir de la relación (34)

¡

V, '" V,·M /r. (47) Si SE' loma el radio r de la órbita del satélite aproximadamente igual a l radio de la Tierra, tendre· mas 11 ,"""8 km/s. ESTUDIANTE A: lY que su· cederá si con I i nuamos aum91tando la velocidad inicial de la .piedra que lanzamos desde la montana ? PROFESOR :- En nito caso la (1: piedra se: moy~ni a l red~dor de la T ierra describiendo una ~li pse cada yet más alargada (Iig, 42. b) Y para uTI ci~r to valor v, d~ la velocidad inicial . la trayectoria es una parabola y la piedra deja Fi,. 42 de ser un satélite de la Tierra . A esta vl!'locidad v , se la denomina segunda y~locidad có5lllica .. Como lo mues tran los calculos, la Yelocidad v, es aproximadament~ igua l a 1I kmls. es df'Cir, casi V2 veces mayor qu~ la yelocidad v, . ESTUDIANTE A : Usted d~finió ~I eltado de impooderabi· lidad como la calda de un cuerpo, Sin embargo, si la y~locidad inldal de la piedra alcanza e l valor de la ~unda velocidad cósmica. la piedra ~ alejar. de la Tierra y en este ca.'IO no S(' podrla hablar de la caída dt' la piedra a la Tierra. ¿Cómo se: d~be interpre tar en este caso l. imponderabilidad de l. piedra? PROFESOR: Mu y Seflci llo. La impooderabllidad ert esle ('8SO es l. (".Ida de la piedra en e l Sol.

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ESTUDIANTE A: Es decir, t ia impondffabllidad de una nave cÓ5mica que Se! ~ctJenlr. en .Jgim JU8at del espacio interestelar se debe inlerprelar tomo la carda de dicha n.ve in el" campo gr.vitacional de Rlgunos asiros? PROFESOR: Exactamente. ESTUDIANTE B: A mi me parece de todumaneru, que ,. definición de Impoodenbilid.d , (:00\0 l. calda de un cuerpo. requiue mlyor Iclnación un parac.ldistl, por ejemplo. lam· bi~n cae. sin embargu. il nouperimenl.la sen5aCión de impondeUlbiJidad .

•

PROFESOR: Es ciedo. la ¡mpond~lbilid.d no es un. Cllda c ualquiera. 'a imponderabllldad es lo que dcnóminamos caida libre. es decir, el movimiento de un cuerpo por acción, (micam!nte. de 11 fuera guvilaloria. Ya lo he dltno .ntH que para que un cuerpo sea Impooderlble. hay que cruf COIldidOlles mediante las cuales sobre el cuefpo no actúe nineuna otra fuerza más que ¡a gravitatoria en el caso del paracaidisll edsle unl fuenl complementaril, II ft:Slalencll del lire. PROBLEMA

21. Calt:ular II densidld de un planeta de forml eslúica, donde el d [a et de JO horu, si se ube que «1 el eculdoc de dicho pllneta los cuerpos son imponderlbles.

PROFESOR:

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,SABE USfED EMPLEAR LAS lEYES

Qult'fo

pl(lpooft

una !oO.'lIe dt I'robltmas bl>lanle

stnc:.llos. PTiIl~r

problem.:St1ttnln dospla·

I¡(J~ InclilliJllos de ilJuu{ blluta H

Y DE LA

pero d'fl'rtllll's dlllJu los tU ¡/Idilio, C.M CI, ya •. A lo fo,go de ISIM pirulOS dt'sfilOlI S'-', rOlumirnlo 00s CIIUpoS cuya.~ udrxuladts 1I1iriaf..s S"" IlUlus Cu/culal lus wlorldudt's dt Islas CUllpuS al f,nuf dd plu'",

CANtiDAD

Squndo problema . SI' sobt qll.' lu

UE LA CONSUVACION DE LA ENERGlA

indinado

/rirmula u "'* , r 2 as, la cual ~Xptl" la fltlocidud fi/1ul dl> un CIlf"PO función tU lu QCtll'raciÓII y dtl I'5pQCjo tl'C"OII,df.l, ~ r('fiNt ul caso, C/lal/d" lu fltfocidad irudal tS igual a uro . ¿Cómo qutrlarJ cslu f 6rmulacltUndoIJI (uupa Sil It imp,,~ UlIo fltlociIJod inicial Va? Ttrur probltma. Un cuupo tS lunu!do lto,jlOll:olmt:nll' ron una ull'foctdod iniCIal u., desrh UIIO al/uta H , S, pidt calcula, lu IJf!loctdod tUI c'!Lrpo al aM!r 1'11 la titila. E' al estudia nte B) ; ¿Uslf'd qlJC opio na? ESTUDIANTE 8: No se l'fI qUl; basar mi posición. Yo rl't:ul'l" do que cuando estudiamos 111' choqul's, la ley de la conSl'rva· ción de la canlidad de movin)!!'nto SI' cumplía en lodl)S los casos, mienlras que la ley de la con~rvación de la t'flerg ia no siem pre ~ cumple. Puesto que en el caso dado estas dos leyes conducen a resultados diferentes. entonces, por lo visto, 1'1 resultado CO((('(:to es juslamente el mio. PROFESOR: Efectivamente. Sil resullado es corree/o. Sin embarRO, es o('(:('S.lIrio esludiar mejor esle asun lo. El choque, despues del cual los dos cuerpos que colisionan !ot mU tven en conjunto, es decir. pegados uno a otro (o el uno den tro del olro), se llama _choque absolulamenle inelast ic(p. Esle choque §e caracteriza por la presencia de una deformac ióo permanente. razón por la cual después de su colisióo se desprende uoa citrta (antidad de tllor y, por lo lanto. la relación (50), que induye solamente las energias cinél icas de los cuerpos, es inadmisible. En tal caso. para enconlrar la velocidad de la caja con la bala ionustada despues del choque l'S nl"Cesario utilinr la ley de la conservación de la cantidad dI' movimiento (54 ) . ESTUDIANTE A: ¿Quiere decir, que para un choque abso/II /aml'llle ine/sstien no .se cllmple la ley de la C de la primera KuaClón Este aparKe, puesto que hemos ~upuesto que ,1 cuerpo que choca es r«halado y después del choqul' se mue\e en «iodo de la~ o§c;' l,cIOI>E'S del pendulo ffi coste CI$O ~Ii dado poi' la fórmula (75). en la cual ~ lugar de R. ~ debt uhllur Cierta ac~ leraClón eleocllvl (llamemos!. R,,). como en el C¡$O drl .:Ken$Or, Ig\,lal a la suma vectorial de l. Keleración de Ja gravedad y de la aceleración del sistema dado. Adem~s. hay qut ttuer en cutflta que en la suma Indicad. ti Yl'Ctor de la acel~aclón de la carrela debt figurar con sl¡;:no contrario, ya que la fuerza de ,nercia nh dlngld. tri ~Iido COfl· Inmo al de la aceleración del sistema. r~lv~

los nclorn de las acelC'faciones e-sllin ,rpr~ntadOlli ffi "

li~ 52, h en dond~ tiene tri cuenta que la aCt'lC'faciÓll de la carreta n igual a B sen a.. De· Iffm,nftTlos Rtf ~

11.,

VR;I.+R:'~

V(gsenacosa)·., (R de donde encontramos que

¡SCIl·a.)'

Rcosa,

(79)

T 2nVl/(ItoSa) . (BOJ ESTUDIANTE A: (y tOmo determinar la dlrKclón de la PI>' ~'c'on de equilibrio de la cuerdl? PROFESOR: DIcha dlfecciÓ!1 es la ml5fTla dirección de la aceleración efKllva R las ( argas y / arnuUl (1m la IlOriIOt\(~/I"s óngulos a, y IX,. resp«fiuamelltr. ¿Cuól th (r.s (¡4udas esta SO'llrlid41 a m.tlyor (elisión?

'"'

ESTUDIANTE A : En la misma gráfica y para cada caso representaré la descornposición de cad, pe50 en las direcciones de las cuerdas. De aquí se deduce, que la tensión de la cuerda es igual a T =. P/ (2 sen a) . Esto quiere decir; que estara más tensa \a cuerda que M! arquee menos. PROFESOR: Correcto. ¿Se podria I~plar la cuerda de 1.1 forma que no se arqu~ bajo l. acción de un pesn? ESTUDIANTE A: tPor qué no? PROFESOR: No se ap resure I respond~. Utili« el resultado que: acaba de obtener. ESTUDIANTE A: SI, ya entiendo. Templar l. cUl:fda de tal forma que no se arquee, es imposible, puesto que •• 1 disminui r el 'ngulo a, aumenta la tensión de la cuerda. Por grande que sea la rigidez de la cuerda p.ra un ángulo a lo sulicienlemenle ~queño . la lueru de la tensión la romp«a. PROFESOR : Es importante anol.r el hecho de que t. cuerda se arquta ba/' o la acción de un peso, debido a las propiedades elhlicas de a cuerda que condiciooan su alargamiento. SI la cuerda no pudiera eslirar~ (deform.rse) . .serl. imposible SU$pender de ella un peso. De .qul YerT1(11$ que en l. t«nic. de conslrocción. el calculo de l. rigidt% de l.as diferentes construcciones está intim.mente Iig.do • su capacld.d de deformarse ehisllcamenle (como ~ dice. cada construcción .debe respirllu) . Las construcciones demasiado rigidas resull.n inserYibles graci.s • que las tensiones que pueden apareeef' en ellas debido a pequeñas deformaciones, pueden transformarse en inmens.as. T.les construcciones pueden • veces • des!rui r.se por 'a acción de su propio peso. Si despreciam05 el peso de la cuerda en el problema indicado, no es dificil erw:ontrar la relación entre el IIngulo a de SIUpensión de la cuerda y el peso P de l. carg• . Par. esto es nec~r io uliliur la ley de Hooke pan el alargamiento (deIOfmaelón) elástico de la cuerda (yer problema N° 35). Veam05 el ~undo ejemplo. Como es de tocios conocido 'para sacar un. cuña es preciso otra cuña •. Comprobemos esto, utiliz.ndo la descomposición de las luenas. En lo 11,. 56, a « trato tU S/lalr la cuna I tk i4 tr.tlUlidufa metfefldo In 1614 IItndidufa la cuila 2. sabrl la CUDl aplicall lUla futfztJ F . Los dIItulos a 11 ~ $OtI dDdos. St flqllfere ent:Ofltrar /Q fut(ztJ qut actUil ItJbrl lo culio I 11 qut aJfItribu!lf: a IIOCaf{a de la lItrulJ4ura. ESTUDIANTE A: Me es dificil resolyer este problema.

PROFESOR: Descomponemos la fuerz. F en la dirección horizontal yen la dif't'CCión perpendicut'f 1I lado AB de l•

...

cofia 2_

Llamamo~

F, y F, 8 In

tl"$~li~as

compOflen'"

(1Ig. 56. b) . LiI COfllpcMlente F, se cumpensa con la I U~'rZ1 normal o de t('acc lón de la pared ¡~qu¡l!fdl de la hendiduf';

la componen te F . que es igual a F/18 a, Kili. sobre la cuña l . Esl_ luetll la dt'SCompooemos

.,

6 ')

en un. componenle

~ün

el

eje vertical y otr., en la direoc· ciÓfl Pft'pendlculu al I.do CD de la cuña 1, de aqui obtenemos las componentes F. y F,> respl!CliVlmente (Hg. 56, ej . La componente F• .se equitibri con 1. reacción de la pared de la dntcha de ,. hendidura , mientras que la compooeote F. contribuye I .sacar la cuña I de la hendidura . Esta es la fueru que buscamos. Se ye l;j· ~ , ci lmenle que ésta es igual a F, tg P= F · (lgMtgal . F Estudiemos un terotr ejemplo. representado en la Fig. 57. a. De una cuudD , cuga porle UII -

rv:::L" I "

tral ~'rrr.orIfX% hori~lal, 1$/óI¡ su~ru1idtúdoscargasP, JI P, _

Se pUk encontra.r el angula

~.

s¡lt~tl

pnguloallla (msi6n tú rodD (rolO lÜ la ( uudD (T,u, T l e, T c ,,) , Este ejemploes semejante a l problema de las cuñas que aca bllmos de estudiar. ESTUDIANTE A: Yo descompongo e[ ~ P, en JII S direcciones AB y BC (Iig. 57,tT) . Deaqui obtenemos: T A . = P,/sen o; y T.c = P, /tg 0; . De esta manera hemos encontrado las dos tensjones. Luego descompongo el peso de [a carga P, en [as direcciones BC y CD (Iig. 57, c) . De es ta de.scorn~ición obtenemos: T .c ... P/tg ~ Y TCD ""' P/sen~. Jgualando entre si a los valoces de las tensiones en el tr0Ul4JC de la cuerda , obtenidos a p.rtir de I.s componentes. enconltamos: P ,Itg 0; _ - P/Ig ti. de donde ~ ... arclfc (PJP,tgo;) . Colocando este resu ltado en la eJtpresiÓfl para T C D' encontramos la tensión T co·

'"

PROfESOR: ¿Aca~ e~ ddicil IIt'car al rt'~ul taP. (el plomo es mas ~sado que el agua), de la fórmula (92) establecemos fácilmente que (V . + v}«to caracteristico de la IfflI'ia cinctico·moleculllr. ESTUDIANTE B: Nosotros nos hemos acostumbrado a que la pregunta acerca de las moles y del numero d~ Av!Mtadro se rdinen • II Química PROfESOR : ~uramenl~. a I'Slo se debe 1'1 hecho de qu~ los I'Studi anll'S en el namM d~ FíSlC' con fr«uene;a no sabE-n qul es un. molo:'cula·gramo y por lo general siempre afirmal! que ~I numfto de A\'~adro se refiere preciufT\t'nle a los g.sn. No olvillen : un. molécula·gramo I'S ~Inúmfto d~ Rramos de una sustancia. igual nu:n~ricamen l e a su peso molecular ,~ no es el peso de una moiécu la. expresado en gr.mos, como se puede oír a v{'('es): UII Rramo-álomo es el numero de gramos de una sust.ncia. numéricamen te igual a su peso atómicn: ,.1 número ,le Av~.dro I'S el número de moléculas que con tiene un. moll"ocula,,!ramo (o el número 'de atomos en un gramoaromo) de cualqui~ sustancia independientffllenle -de su est.do. Quisina . nol.r qUC' el numtro de Avogadro juega un papel corno dijff'mos ¡le . puenteo t'n' re la ~ caracler[sticas macro· scópicas )' microscópicls de una suslancia. Así, por ejemplo, ulitlundo el numero de Av6gadro, se puede uprcsar flor medio de 111 densidad y de l pbO molecular (alómico) de Utlilsustancia, una característica microscópica lal como la dis· t.ncia media enl", las molkulas (¡¡tomos) de una suslanCia . Tememos COI1lO ejemplo el hiftro sólido. Su densidad ,, """ - 7,8 gkm', 5U peso .to.nico A",. S6. Determinemos l. distanCl' promedia entre los ,tomos MI hierro. Razonaremos de 1. siguiente mannl: A gramos de hierro COf1t1~ N .. atomos: es decir, 1 R de hierro con liene N .. IA II tomos; de aqui se deduce que en 1 cm" de hierro eslan dOlld~

>l'

tonttnldm I.N .. A oItom..... Dt f'SU m. nt rol , un .ilomQ de hl.rro ftlclt:rra un volumen A (/,N ,1 cm' La d"larKI;t prom~la tntrt 1m alomm 1'5 .prQillimadarm;l1lt Il:u.1 a la rait cúblt' dI' dicho volumen .Y':::; V A (fiN .. ) "" V'56;r., '(;'~,8~6"I"O"'''1 cm :::. 2 10- ' cm . ESTUDIANTE B: Usted indicab. all16, que el (IIrácl~ del movlmltnto tirmico dt' lu molkulas dt'pend • de liS int.rae:ciOf1.e5 inttrmolecu l.rn y qut' vilfiab. al pbar de un elilado • olro E:a:pliqutITu:, por favor, elito mas detall.d.mentt. PROFESOR: La int.rae:ción de cIm mol«ula! se puede dl'Scriblr cu.li taliv.mtnle con ,yuda de la curva. rtprtsC'fltada .... tn la lig. '69. Esta curva caracteri za la dependt'flCia de la tIJergla potencial IV de la interacción de las mole· culas a una dislancia r tn lre 105 ttn· tros dt las molkulas. Para dislan· ci.~ suficitnlantnlt' grandt'S t'ntre l a~ molli trala.lu aque-

llas pre~ul1ta s Que !'Slil1l direc ta mente relac ionadas con la .·cuad"n de ~s l ado de un gas ideal en lorfTloil general o en (:I.~ pa·rt iculares e$ptc::i.lt1. LI causa de su coo ru~iÓll no ~ debe I que las prt(untas formu lad.s ts h~n futra de l programa de fisica, sino al hecho de que Uste,", no prep.ró debid.menle el materIal dedicado 11 I.s le)'es de los gaM"S. Desafortunadrmenle la ma )'oria de 10$ estudiantes, que se presen lan a los eumtflts de admisión , ~ limilan· a tt'nt'r un conocim i ~llo superficill wbre I.s leyes de 10$ ga~$.

ESTUDIANTE A : Quisiera di s· CI:rn lr un lIOCo :;obre la aplicadón eguramtntt, habr;i l)lohlem3lo qut' COf1stl tuyE'r1 una combin ()xig.'lw (1 rllw pr,'5.(m fÜ' :! al ,>(upan un 111'("'/1('(1 Ik S / . i.CiJmu (/rmbi6 /,/ l('mprrafura dl'l gas, si ll' saIN, fll/c u( (/lIml'l1lcu /a prtsi{m IuUla S al su wiu· rl!CII dis",i,lu!JÓ // I 1:' ESTUDI IINTE 11 : Sall!t'r1du la masa de oJligeno , ~u presión \' volumen, puedo t'lIconlrar inmediatamellte su tnnperálura, 16 gramos de OXigl'II0 es lu misnm que 0,5 1110t('5, es dl.,;,:ir, UII \'olulllc~ igual a )) ,21 1'11 condiCiones lIon unles. Luego encuen, tro que ' T . 7 II,V, 273·~ 244 '" (124) ' ''''

~,.~V. u

' . 11,2 -

,

/'ROI'I::SOR: Correcto. Ha sta Mlui 1') prolJl(',ml .\oe 11 ..

re~ lIelto

('OIU O un problema t i¡,ko dd segulldo gnlpo. ESTUDIA NTE A : Conocida la lcrnllt'rulura '/', dd c~tado Inida l (kl gas. t'nCllt'n tro la t~lI)p~ralura T, dl'1 ('.~iado fina l

1', ... 7

,

",v. = 244.,';M·4

' P,lr,

488- K.

(omp:II;llIdn el;t~ rt'!oullado con (124) ~IICO!1tfamo.s que 18 temo perulura 1""1 Ras aUfll~lIt(i en 244 ·. PROFESOR: Todo es ta correctamente hI'Cho, Como usted ve, la stgun da parle del problema SE' resuelv.' corno IIn problema típico d~1 primer Rrtl l)O_ ESTUDIA NTE B: En un principio, 'al hablar de los posibll's grupos d .. problt'fl) • .~, us tt'd dijo que a é$1()$ pertenece la m. yo.. ria de I()$ prob lt'fl)as. ( E~ istl'n algunos, que SI' dHul'neien en prmci pio de los problems$ del primero y d~1 ~ undo grupo? PROFE;SOR : Si , exislcn, En los problemas de tos grupos indi· cados atrás, la masa dtl gas SE' s upone COlls l an l ~ . No obstante, son ~ibles problemas en los rIIal" la m:ha gas ha sido txpulSOLW dtl ucipifnif y la lempera/ura e/e· I.I(UU¡ a 50 . Este problema es semejante a los problernas del primt'f grupo cuanto hay cambio del estado del gas. Sin embargo, al camuiar de estado varia en este caso también la masa del gas. Para uti · lizar la ecuación de estado de los gases, se necesita que el cambío de estado se realÍ(e para la misma (antidad ele masa. Para este propósito conSideremos a la cantidad de masa que final· niente se queda dentro del recipil'lLle. Sean sus panimetros finales P., V,. T ,: T. (27J -1 27 -j 50) ~ 350· K ; V, V. donde V es el volumen del recipiente: P. es la magnitud que buscamos . ¿Cómo expresar los parámetros in iciales de la ma)a de !las considerada? ESTUDIANTE A: E~\a ma$a tendrá la misma temperalura que todo rd gas: T, = (273 I 27) ~ 300" K: su vo lumen V, es i~ual a la mitad del volumen del reclp¡enh~ V/2; su presión es I:t misma que la de todo el gas: p, = 20 at. ESTUDIANTE B: Yo lomaría los parametros iniciales de la ma~ ¡te gas considerada de manera di ferenl ~: T, = 3OO' K; el volumen. elmi'.>.

m*nl'O. IhloOlvoft,MOS una ","l. d. ,robl.mas. que M Cculomb

''''

r10S

,Iu.lron la It)'

PROF ESOR : Conversemos acerca de l campo, el cual constitu ye H "\HLU\ V~ u1\O de Jos conceptos lisicos funda mentales. Para ser mas con· DEL CA.\WO cretos hablaremos del campo c1ec tros!;Hico . ¿Cómo se imagina us ted el campo eleclrosbilico] ¿Que es el campo en si? ES T UDIANTE A : Debo confesar que para mi es muy dificil imaginar$(' el campo. El campo ek~lri co es algo impen::eptlble. invisible, algo a~ i como un .ran· la!ma •. mientras que, según alir· man , esta presente en todas parles. Yo no estoy en contra cuando me dicen que el campoes maleria. prro pa ~iI mi t'sto lOS como una palahra sin sentido. Cuando hablan de la 5ustan c.ia, yo ~nliendo de qué se hata ; pero cuando hablan del campo, no entiendo. ESTUDIANTE 8 : Para mi el campo es totalmente p, aunque no con la mano. Sin emba rgo, en cuanto a la defin i· ción, la cuestión es mucho m"s $Cria. l)ar untl definici ón pre· cisa, Io":i("a,, irrellrochalllt, significa exp resar la noción ana· lizada a través de conceptos .primarios.. t"Qui hac"r si la mis-

'"

mi noción es un concepto eprimarioo? Trale lisie\! de d1!T en ~eom e tri a la df'!iniciÓll de linea recia, Aqui. mis o menos, tenemos el mismo caso que el de las nociones de la uuslal1(:ia. y de l cumpo.. Estas son nociones tan primarias, tan fundamenllles, que es poco probable hallar una lldiniclrin eucta que refleje toda su esencia. ESTUDIANTE A: Sin embargo, ¿se podrl. tratar de encontrar una cierta definiciÓll, aunque no fuese demasiado clara? PROFESOR : Si, por supuesto. Sólo que entonces ha)' que tener en cuenta que una definición de esta [ndole de ninguna manera es completa. La materia puede existir de diferentes formas . Esta puede estar concentrada en los limites del domi· nio organice del espacio con un. frontera más o menos determinada (o como I veces dicen cloelllud •• ), pero !ambien, putde suceder lo contrario, es decir. p~de resultar crlO loc.l iud ••. El primer estado de la materia se puede identificar con el conceplo de lSustancia. 'J el SClundo estado, con el concepto de .campo.. Tanto en un estado como en el otro, además de sus cancterisliCls especificas, poseen Clr.c:ter islleas I ¡sicas comunes. POt ejemplo, exi, le la energla de la unidad de \'olu· men de una suslancia 'J tambiHl elisle la energia de la un ida d ~volumen del campo. Se puede hablar de l. cantidad de movimltn lo de l. unidad de volumen de una Jusl.ncia 'J de la Clnlidad de movimíenlo de la unidad de volumen del campo. Todo campo juega el papel de conduclor de un tipo determi nado de ¡nttracción ; precisamente segun es1a in: ficción se manllieslan las caracterlsticas del campo en uno u otro de sus puntos. Por ejemplo, un Ctlefpo cargado' elktricamenle crea a su alrededOf un campo electrostílico. Para palpar 'J medir dicho campo en uno u airo punto del apacio, a necesario introducir en ese punto otro cuerpo cargado 'J medir la foena , que acHia sobre este últi mo. Para esto se supone que el segundo cuerpo es $lJltcienteme:nte pequeño. de lal manera que la distOfción que su presencia c.aus. rlel Clmpo que se mide, sea despreciable. L.s propiedades de la materia .son inagotables. el proceso de su cofIoclmlento es infinito. El hombro:: constantemente avanza mu 'f más en su conocimiento de la materia 'J en la utilización prktica Ge las propiedades de l. materia que lo rodea . Al aVlnur, el hombre se ve obligado dt tiempo en tiempo a _poner seftalw que vienen I ser como jalones en el camino del conocimiento. Pues bien, nosotros I algo le hemos llamado -campo. . Entendemos que este t algo_ es Ilimitado. Sabemos

'"

mucho de aquello que hemos denominado oc.rnJlOll 'J por esta razón uti\iun'lOS en forma saUdacloria ti concepto que hemos introducido. Sabemos baslante, ~o de todas mantrM, estamos lejos de saberlo todo. Tratar de dar • ese .algo- una definiciÓfl precisa, es lo mimlo que tr.t.r de medir la profun. didad de un abismo sin fondo. . ~STUDIANTE 8: Yo creo que el corn:eplo de cimpa, CQTIO en general cualquier otroconceplo que ap,,"~ mientras se estu· dia el mundo m.lerial:es ¡nagattble. Precisamente por esto es imposibh dar unl definición prKlsa y a 1. vez complet. del campo. PROfESOR, .- Estoy completamente de ~acuerdo con usted. ESTUDIANTe A: Me sien lo completamente utisl«ho COI! las observaciones que usted ha htcllo ac~ de la sustancia 'J del T,\ T ICO? ut iliza la caracteristica vectorial de ~u fuerza, que recibe el nomo hre !le inlensidad del campo eléctrico. En uda punt o del campo, la in tensidad E tiene una direc(:ión defin ida } su valor numerico correspondiente . Al des plazarse de un pu nt o a alfO del" campo en tal fOfma que las direcciones de 105 vectores Que representan la Inlell$i.darl del campo sean siempre las tangen les a la direccion· de l recorri do . las trayectorias, que asi obtenemos, reci o ben el nombre de _lineas de luerz¡l.> del campo. Las lineas de luerza son una manera muy cómoda de representar al campo .. lectrootálil:o en forma gráfica. PROFESOR : Esta bien . Ahora hagamos un ana lisis más concreto. La ley d.e Coulomb que determina la fuerza con la cual interaccionan d05(3rgas q, y q .. si tuadas a una dista ncia r entre si, la escribiremos de la siguiente mal\e:ra

'"

F. = q,q.lr'.

5127)

Podemos descomponer esta fórmu la en dos

E (r) = q,/r' , F. = E(r) q, .

(128) ( 129)

La fórmula (128) establece: que la carga q, vea alrededor de si misma un campo:-suya intensidad a una distancia r de la carga tiene el valor q,/,'. La fórmu la (129) eStablece, que dicho campo adua sobre la carga q., colocada en un punto situado ¡r la distancia r de la carga q" ( 00 una fuena igual a l producto E(r)q, . La dCS(omposición de la lónnula (127) en dos.se h·ace introduciendo un ointermediario., o $f!a, con ayuda de la magnitud E, que es una caracteristic: del campo. Tralen de determinar el campo de aplicadón de las relaciones (121)ll2'l) .

ESTUDIANTE 8: 1.a fórmula (127) car~a~

.o;e utiliza para dO!'i

puntLlales, de lal manera que éste ¡]C'l!e

aplicación de

la~

~r

el campo de

fórmulas ( 128) y (129) . puesto qtJt islas.st' obluvitron a partir de ( 121).

7 ~

PROFESOR: No l'S exactamente .. 8Si. A diferencia ele las fOrm ulas (l27) )' (128),18 lórmula (129) time una aplicación mucho mas ampli a. Inde¡J('nd,enlemen te de cómo ~ h. neado el ca m po E (bien ~a por un. car¡:-" punlual o poc un conjunto

de cnr(!as pun l ual('s, o ri ... ,'ut'rpo< car¡:adOl> dI' forma arbitra·

ria). en

,"

looo~

los ,'liSOS. 13 IUl'rza. con la cua l 1.'1 ca m¡1Q actúa wbr~ la Caf¡!8 q" ~r;j igual al productu dt' esla carJ!8 por la \\lI~\lsi(lad del camIlO en aq \M'1 punto. dOllrle se t'ncuenlra 13 (8r"ga q.. Una manen mas ¡;clleral d.. (',;cribo, la rórmul3 (I'.!9). en forma ~ Ktorjal. ti 13 slR lJiente '

f,

E Ir)q,

(130)

(aqu i las l1echa~. como Sit>ffi '

" " "

pTe. se utiliw!\ rara indicar los \'t'Clorc~). De l~ f6fmula liJO) se "1' que, la direccu'n de l. luef1ll . que &CIlla ~b~ ta carg. q. en un punto dado del cam' 1'0. wltlcl de (On la di re« ión y .-.I'nlldo elel "ec IOf ele l. inlen.~idad del campo en dicho punlo, si la Cllr!!a q~ es po.siliva. Si la carga q. ~~ lIega liva, la direccil'n de I~ fuerza tiene ~nli ·

"l':;~;'~S:~'f",,~ r~ ¡lo conlrano la IIllell lueria del campo electros tát ico n!lllCa Sf' cil"fran . Estas empIezan y term inan en las ca rgas eMelr k as ¡salen de la~ cargas positivas y terminan en las carRas negativas) o Sf' di rigen al inlinito (o vienen del inlinito). ¿No pod r ia usted re· lacionar este hecho con la propiedad MI campo elec trostá tico qu e hemos iiu!icado arr iba? ESTUDIAN TE 8 : Parece que he entendido. Si una linea de fueru del campo e lec tros tatico se cerrara so bre s i misma. en. tonces. al desp laurnos a lo largo d~ is ta , podríamos regr~r al . punto de partida . Al mover una car~a a lo largo de una l inea de lueru , el trlbajo de l campo no cambia de signo y, poi" lo tanlo, será diferente de cero. Por olrl parte, el Irabajo a lo la rgo de cualquier Ira¡·ector ia cerrada debe ~ nulo. Es deci r. 1115 1incas de luer"U dt" campo elKtr,"titioo no pueden Cffrarst sobre s i mi5lTlas. PROFESOR: Correcto. De la propiedad indicada se desprende una concl usión mis: el trabajo realizado a l mover una ca rga de un punto a otro no depende de la trayec tor ia seguida . Asl pues. desplauremos una carga desde el punto A h1l5ta el pun to 8 si. guiendo dos cam inos diferentes 1 y 2 (fig. 89). Llamemos A, . at tubajo de las luerus del c:ampo al mover la ca rga a lo largo de la tra yedoria I y A, al moverla a lo largo de ta tr. yectoria 2. HKemos tuego un recorrido cerrado: del punto A pasamos al punto B a lo largo de la Ira yec toria 1, y de l punto B h.,sla el pun to A lo hacemos poi" la trayectoria 2. Al regr6lr a lo lar/(O dei camino 2 se reali!ara un traba jo igual I - A ,. E l trabajo OH

lol al de! campo en el recorrido cerrado es A ,+(-A J ... A ,_ A ,. Puesto que el trabajo a lo largo de cualqull!f enlorM cerrado es igual a cero, oblenemo:; A , - A '" El hecho de que el trabajo realizado al mover la carga no depende del camino seguido sino que se determina solamtnle a partir de las po$i. dooes inicial y final del recorrido, permite utilizar esta magni. tud como una característica del campo (ya que el Ira bajo de. pende solamente de los puntos que hemos ~ido). Asi A pues. aparece una caraclerís!Jca mis del campo tleclroslatico. el potencial. A difeI rencia de la intensidad esta caracledstka es una magnftud escalar, ya que se expresa a través del trabajo. B ESTUDIANTE B : A nosotros nos euset fiaron que el polencial del cam po no llene senlido físioo . Solamente tiene sentido Fig 89 físico la diferenda de Jos potenciales dedos punlos cualesquiera del campo. PROFESOR: Es cierlo. Hablando rigurosamente, los ratonamientas anteriores permiten establecer preci$arnente la dif..· rencia de potenciales: la diferencia de potenciales entre dos punlas A y e {Ilam('masla '1".,- q¡d s.e define como la nilón entre el trabajo de las fuerza s del campo al desplazar la carJ!a q. desde el punta A ha~ta el pUllto e }' la carga q., es decir,

O

1JI" - ~I =- A A.(.Jq..

Sin embargo, si existe (es decir,

~upoJlemos que 1.'11 el 'f~ = 0). I~ expreSión

(L1t)

infi u ila el campo uo (132) loma la forma

""" = A,, .• /q.. (133) Dt esta manera, el potencial del campo en uu punto dado se puede ddinir como el trab3jo que realizan las fuerzas del C3ffi¡1O al mover ul1a carga unitaria posi t i\a desde el punto dado hasta el infi nito. Si consideramos el trabajo que se realiza con tra las fuenas del campo y no el realizado por este, el polencial del campo en el punlo dadol!$ igual allrabajo que ha)' que ru 'iuf al mover una carga unitaria ~itiva desde el infini to hasta el punlo considerado. Es claro qut" esla definición de poleocial no permite realizar una medida expl"rimen1a1 del polencial en el punlo d.do del campo. ya que en el eXJM!'rimento no podemos alejarnos hasta el infini to. Predsamenle por esto s.e dice que sólo la di lerencia de potenciales enlre dos puntos del campo tiene sen tido fisiro y no el mismo potencial en uno u otro punlo.

'"

~ pliflte da:lr que el patmejal ~ un punto d.do ~ determina con exactitud de un v.lor conslante .rbUr.no. ~n calid.d de ~te ulorcon~lante si! toma el ... alor del potmeial ~ ti Inflnilo \' en relacu:in con este se loma el Virar del potme.al en cual· qUler olro punto, P.r. mayor comodidad, su~ que el .... 101" del polt'llClll en el Infinito es igual a ~ro. Dentro de los marRenes de las obstrvaciones indie.das, el potencial elel campo dt una carga puntual q, en un punto, .Iej.do una distancia r de la carga, toS igual a

lJI(r)_q,lr,

(134)

Ahora resulta muy laeil deducir, a que es Igual tI pottncial del campo de un sistema de cargas puntuales en uno u otro punto ESTUDIANTE B: LLamemos ~,(;) 'J .... (7) a kl$ Vllores del polencial en el punto ;: dtbidos a cad. una de las cargas por Sl'parado. El polenCial result.nte es Igual, por supuesto, a la suma algebr.. · ca de los polenci.lts de cada carga por stparado

r.

... (,-) = q,(r)

+ t¡I,(;)+ " . .

(135)

En esla suma, el polencial debido' una carga posiliva .se loma con signo más F'I. 90 mienlras que el de un. carga negativa, COJl signo menos. PROFESOR : Corrrcto. Veamoo ahon el concepto de super· ficies equlpolencllles. Se llama superficie equipotencial (o superficie de igual polencial) al lugar ~ilrko de 10$ puntos dtl campo que lienro el mismo potenclll. A tra ... és de cada punto det campo pasa una linea de luena 'J un. superficie equlpolenclll. (COmo estan tslas orientadas enlre si? ESTUDIANTE B Yo si que ro cada punto del campo. la 1lne. de lutrl' y 1. 5uperlicietquipotenci.1 correspondiente SOI1 mutu.mente perpendiculares. PROFESOR: ¿Podría usted demoolrar eslo? ESTUDIANTE B: No, la' vez no putdo. PROFESOR: E,ta demostración no es dillcil. DIgamoo que 11 travis dt cierto punlo A pasa la Hnea ~e ("ena AA, 'J la su· perficie equipolencia! S (Iig. 90). La intensidad del campo ro el punto A se representa por el vrctot 1 ... Traslld.mos l. targa q. una distancia ptqutña 4/. desde ti punto A h.sta cierto

'"

punto B, el cual descansa sobre la superlide equipolencia' S. El lrabaJo rcal lnda durante elite desplazamiento se expresa por l. fórmul. A"" F.ól COI IX" E Aq.óI cos tX, (136) donde (1. es el 'ngulo entre el vtctor EA y la dire«.iórl del des. plaumiento. Este mismo trabajo se puede upresar por la diferencia de J(lI$ potenciales de los puntos A y B . As! pues, podemos escribir olr. rel,dó.: A "" q.(~ .. -q> .. ).

(131)

PUtilo que los puntos A y B pertent{;e11 a una misma superficie equlpolencial, fesulta 4',0. ='11 ., Es decir, de acuerdo coo (137) el trabaj o A debe- SCf igual a cero. Colocando este resultado en la relación (136), obtenemos EA.6./c05a=O, (138) De todos los faclores del miembro de la izquierda de la Fórmula (I38)"solamenle COStX puede ser ¡!lila! a (tro. De esta man~ra conclUimos que a = 90'. Es lógico que este mismo resultado lo obtendremos para diferentes di· recciones d~ AB. con la única COll' diciÓfl d~ qu~ ~ I desplazamiento se haga dentro d~ los limiles de la sup~rficie equipolencial S. La curvatura de la superficie no con· tradice los razonamientos hechos por cuanto los desplazamientos fil . 91 tll son demasiado pequeños. Para la repre.wntación graFica del c.mpo electrostático, .demas de las lineas de fuerza se di· bujan los cortes de las superficies equipotenciales. UIilizando la mulua perpendicul.rldad de las lineas y las superficies equipoleociales, se pUt'de, por intermedio de las lineas de fuerza coooc:idas, dibujar la lamilia . de "'orles de las super· ficies equipoleociales, y vice.versa. (Dirigiéndose al estu· diante A.) Trale de dibujar los corles de las superficies equi· potenciales para et caso representado ~n la lig. 88. a. Para no confundirlos con las lineas de fue-rza, represente los coro tes de lIS superficies por medio de lineas punteadas. ESTUDIANTE A: Trltaré de traur las lineas punteadas de t.1 manera. que éslas corten siempre a las I ¡neas de fuerza foro mlndo un ángulo recio. Este es mi dibujo (Iig. 91). PROFESOR: Su dibujo es ",arrecto. U_Ul'

In

PROF ESOR : Coloqut'fltos den tro dI! un campo co lecl rostatico' un (00.\ \0

SE CO.\\f'OR r A" U ,S LINEAS OE FUERZA

EN LA VECI NUAD OE LA SUPE RFICI E DE UN CONDUCTOR~

cuerpo conductor cualqu iera. Us\!-des sabt>n muy bien que un con·

duc tor denho de un campo e~\¡j caracteri zado por cierh magnilud física denominada carac idad co l&:· triea (o . simpltmtnle capac idad) . Pero, ¿han pensado uslt'des alguna vez en la siguien le pregunta: por qué hab l am os uniumenle de

la capacid3d de un conductor y no de la capacidad de un diel&:· tri co? EST UDIANTE A : Nunca he pensado acerca de ~ I o .

PROFESOR: ¿Cómo determina usled la ca pacidad de un CJflduc tor aislado? ESTUDIANTE A : Como la cantidad de el« lriddad. que l"S necesario comunicarle 11 dicho conductor para aumentar $U potencial en una un idad. PROFESOR: [)ése el/en la que usted aqu; habla del polt'flciaJ como de unl carac:terlslica dl' l cuerpo. Sin em bargo. ha ~tn ahora el pol~ncia l ~ hl Inllizado como una caracler ística del campo y como 111 ya r ll de un punto a ol ro. El potencial es una función de las coordenadlS del punto del espacio en donde ~ conslderl el campo. (Se pod ria entonces consid~ar al potencial como una caracter ística del cu~po? Si es (Iosible, uplique entonces poi" qué. ESTUDIANTE B: Esto es JlO5ibl~ si el c~rpo es conductor. puesto que lodos los puntos de un conduelO( introducido en un c.ampo eledrosUtico tienen e.l mismo potencial , es decir. el conductor resu lla ~r un cuer po equipotencia!. PROFESOR: (En qué fundamenta usted su afi rmación? ESTUDIANTe' B: En todo conduclor ha y cargas libres. Por" 10 lanto, si enl~ dos punlos cualesquiera de ésle tIli5liera una diferencia polencial, entre los miSmos ci rcularia una co"iente elklrica, lo cual , pot supuesto, es imposible. PROFESOR: Correcto. Se puede decir que cuando introducimos un conductor en un campo electrostático, las cargas libres del conduelor se distrib uyen de lal manera , que la In lensidad del campo dentro del conductor se hace igual a cero. Esto si¡ni-

'71

rica Que lodos lo~

[JUlltOS

d('1 conductor (Ianlo en su interior

corno ell 5U supcrhCII') tienen lIl! IIHSllIO potencial . El hecho de

que el potencial e5colIstan le y .. 1mism o en lodos los puntos del conductor permite hablar drl polenClal de este como poltncial del cuerJlO. Subrayo, que en un diel f i!ó!ul¡ en valor)' en signo a la carga de la es· ferita 9ue gira. ¿Cuil es la ve locidad horizontal mmima que ha,. que comunicarle a la ~ ;& L03 esferita en $U posición mis baja para que pueda realizar una vuelta completa ?

l.J, CQ'Tlente tlktrieo !la 1"'1H11.60 ~ .. 1 ma_' tn 'ft\ltS1u riel. 1;011. elle ... qlle tobi. h8ter hlnupU; ttI l. impor"nd, ~ 1" lera ~ Ohm Y ~ Joule _ Lent¡. Sin tmbtrlO, t ..beD u~ bl~ alu Ic)'t>1

PROFESOR:

In .CONOCE USTEO

puesto. Me imagino que la ley de Ohm la conocen todos 'J supongo que es la pregunta más fácil de to-

LA LEY DE

¿Conoce usted la

ley de Ohm? ESTUDIANTE A: SI, por su-

O HM~

do el curso de Física . PROFESOR: Comprobémoslo. En la lig. 104, a está representado un sector de un drcuiloelédrico, dOl1de E es la fuerz. electromotriz

que está dirigida hacia la dtrecha; R, Y R . son resislenciu. r es la

resistencia interna de la fuente de la 1. e. m.; 'fA '/ IP. son los polenciales en l(),!l extremos del sector

del ci rcuito que estamos cooside· rando. El sentido de la corriente en el sector es de la izquierda hacia ta derecha. Se pide encontrar la Intensidad I de dicha

tarríen!e.

flJ. !04

ESTUDIANTE A: ¡Pero si el cin:uito esU abierto! PROFESOR,: Yo le propuse que considerara un 5eCtor de un circuito completo. Usted no necesita conocer todo el circuito, por cuanto están dados ¡eh potenciales en los extremos de la rama coruiderada. ESTUDIANTE A: Nosotros anteriormente hem05 tratado solamente con circuitos eléct ricos cerrados. Para éstos la ley de Ohm tiene la siguiente fonna

I _ EI(R+r¡.

"'"

(34)

PROFESOR: Usted esU equivocado. Usted lambiÚl tuvo qu~ analizar un sector de un circuito. Según la ley de Ohm para el sector de un circuito la corriente es Igual a la razón entre el voltaje y la resistencia. ESTUDIANTE A: Pero. (acaso esto es un sector de un circuila? PROFESOR: Por supuesto. Para el sector representado en 1, fig . 104, b usted puede escribir la ley de Oh~ en la forma 1 = (~A-!f!lI)/ R.

(165~

en este caso. en lugar de la diferencia de potencial entre los extremos de la rama usted antes ha uli l iudo un término mas sencillo _voltajeo y lo represen taba por medio de la lelra V. ESTUDIANTE A: Sin embargo, nosotros no analizamos Ur! ¡jedor como el' de la lig. 104, a. PROFESOR: Bien. aceptamos que usted conoce la ley de Ohm para los casos particulares de un drcuitocerrado y de un sector simple, sin fuente de la f. e. m. Sin embargo. usted no conoce la ley de Ohm para el caso general. Hagamos un análiSIS en conjunto. La fig . lOS, a indica la variación (11'1 potencial a 10 largo de un sector dado de un circuilo. La corriente circula de la izquierda hacia la derecha, por 10 tanto de A hasta e el potencial disminuye. La calda del potencial en la resistencia R, es igual a IR ,. Luego supongamos, que en los pun tos e y D ~ encuentran los bornes de una pila. En estos puntos hay . n sallo del potencial. La suma de estos saltos es el valor de la f. e. m. que es igual a E . Enlre e y D el potencial cae en la resistenCia iriterna de la batería: esta caida del potencial es ' igual 8 Ir. Finalmente. de Da B, el potencial cae en la resistencia R" dicha ca [da del potencial es igual a 1R , . La suma ile las ca idas del potencial en todas las resistencias del sedar menos el salto del ¡.olencia l, igual a Y, es la diferencia del polencial en tre 1~ terminal\';S del seclor considerado del circuito:

1 (R,

+ R, + rrE = It'A -

q>a·

De ahí. obtenemos la expresión para la corriente, es dl'Cir, la ley de Ohm para el sector. dado del ci~u¡to

1 _ E+ I'I',:I -

R, -t: R

'l'a) ,+,

(166)

Observe que de este resultado podemos obtener en seguida los casos particulares que usted conoce. Para el ~tot ma.'l".simple sin la f. e. m. es necesario colocar en (166): E_ O , ~ O. En-

'"

tonces obtenemos f -("'A-"'.)/( R. + R,). lo que corresponde. l. !6rmula (165). PUl un circuilo CIDado los tffmin.les A y 8 de nuestro sector deben estar unidos. Esto signi!ic::a que ", .. _ ", • . De aquí a) obtenemos

,

I _E/(R, I R. + f),

lo cual corresponde a la fórmula (164) .

ESTUDIANTE A : SI. me he daao cuco!. que no sabia la ley de Ohm. PROFESOR: Para hablar más pre-c,samente, u.ded l. sabia para CllSOlS particulares. Supongamos QUC • los boroes del elemento del sector del circuito representado en la lig. 104, a conectamos un voltímetro. Vamos a suponer Que dicho yolllmelro l iene una resistencia 5uflcientemente grande, de lal manera que se puede despreciar las distorsiones, relacionad u coo la coneJI ión del yollfmetro. ¿Qué indicará el yoltímetro? ESTUDIANTE A: Yo ~ que un voltímetro conectado a tos bornes de un elemento, det>e indIcar la caidll del vollaje en el circui to ulffno. Sio emb.rgo, en el cno dado no Conoct'fl1OS el crfcuilo extffno. FOl. lOS PROFESOR: Es posible s.~rln sin necesidad de conocer el cIrCUIto externo. SI el vol tímetro eslá conectado I los puntos y D. indic::ari la diferencia de potencial en tre estos puntos. Esto ClI ne-cesario suponerlo. ¿Usted ha comprendido? ESTUDIANTE A: SI. por su puesto. PROFESOR: Ahora. fi jese en la li g. lOS. a. De ¿sta se puede ver que '1 diferenCia de potencial entre los pUlltos e v o es igual 11 (E - ¡rJ . SI llamamos V a la maGllllud IIIdluda por el

•

e

'"

voltímelro, oblenemos la fórmula V ... E-Ir,

(167)

le aconsejo uHlitar pret:.isamente esta fónnu[a, ya que aquf no es n«esariv saber las resistencias edernu. Esto es vallO$O especialmente en el casodecircuilos más complicados.Obser. vemos que de (167) se deduce el resultado particular conocido: si el circui to está abierto y, por 10 lanto, la corrienle no circula (1 "-' 0) , entonces V _ E. En este caso la indicación de l voltl· rnl'lro coincidl' con el valor de la f. e. m. ¿Ent iende Usted esto? ESTUDIANTE A : Si, ahora entiendo. PROFESOR : En calidad. de prueba, le lormulo la siguiente pregunta, a [ocual di! ici1men te dan respuesta losexaminandos. Un circuito Cl!rrcu;/{} CQnsla de n futn tes de la f. e. m. igual a E y iÜ resistencias in lunas iguales a r, rontctadas en serie. La resis/tncia de los alambres CQlU/udofts se CDnsidua igual a cero. ¿Qué indicar6 un rollímelro. 'conec/ado a los bornes de una de las fuen tes? Coma de CQs/umb,e, se supone qlU a través de/ro/tíme/ro na pQ.S(I Cflrr ienle.

ESTUDIANTE A: Procederé de acuerdo a la explicación ano terior . El voltímetro indicará V-= E - I r. En base a la ley de Ohm para el circuilocerrado Que estamos considerandoencontramos la intensidad de la corriente 1= (nE)/(nr) = E / r. Util i· ZIIndo este resultado. obtenemos V _ E - (El r)r ""' O. De ta l manera que' en el caso dado, el voltímetro no indicará nada. PROFESOR: Exactamente. R(l(.:uerde (¡nicamente que este resultado ha sido idealizado: por una parte, hemos despreciado la resistencia de 105 alambres conduc~ores y por otra parte, hemos supuesto que la resistencia del volllmetro es infinita · mente grande; de ta] manera que no trate de comprobar ex· perimenlalmente este resultado. Veamos el caso, cuando la corriente en un sector del citc!.lilo y la f. e. m. de l sector estan dirigidas en sentidos conlrarios y no en un mismo .'Ientldo. Esle caso está· representado en la lig. 104. C. Represente la va· riación del potencial a Jo largo de dicho 5t'Clor. ESTUDIANTE A : ¿Y es acaso p05ible que la corriente citcule en sentido contrario al de la f. e. m.? PROFESOR : Usted o lv ida. Que aqui se trala solamente de un sector del circu ito. En este circuito puede haber otras f. P. m., que no pertent\:en al S0.1>0,1, (JfISS.

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