Preguntas Del Folleto(Topico Estadístico Max. Mitc)
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PREGUNTAS DEL FOLLETO(TOPICO ESTADÍSTICO ESTADÍSTICO MAX. M AX. MITC) 1.-) Los siguientes siguientes datos son los puntajes puntajes obtenidos obtenidos por 50 estudiantes estudiantes en un exámen de estadística en el primer semestre del 2002 en la FII. !.! " 0# " 0# " #.$ " $.2 " $.2 " $.% " 0& " &.% " &.! " 10 " 10.% " 10.! " 10.$ " 11 " 11 " 11.% " 11.$ " 12 " 12 " 12.2 " 12.$ 12.$ " 1' " 1' " 1' " 1'.2 " 1'.2 " 1'.2 " 1'.% " 1'.! " 1' " 1%.2 " 1%.! " 1%.! " 1%.$ " 1%.$ " 15.2 " 15.% " 15.% " 15.! " 1! " 1!.2 " 1!.$ " 1# " 1# " 1#.! " 1#.$ " 1$.2 1$.2 " 1$.$ " 1&.% (lasiicar (lasiicar estos datos datos con* con*enien enienteme temente nte en inter*alos inter*alos de clases+ clases+ de la misma amplitud , construir los gráicos respecti*os.
Solución ecorrido o ango / " I3 /1&.% " !.! / 12.$ 34mero de Inter*alo de (lase (lase / 16'.' Log50 / !.! / # 7ama8o 7ama8o de Inter*alo de (lase 7ic / 9 / 12.$ 9 # /2 Inter*alos tros.
5.-) (ompletar los datos Jue altan en la siguiente tabla , tace la gráica de la unciGn de distribuciGn acumulada. Kalores 1 2 ' % 5 ! # $ 7>7L
i % % $ # 5 10 # 5 50
Fi % $ 1! 2' 2$ '$ %5 50
Solución i 9 n / :i / % 9 0.0$ / n n / 50
:i 0.0$ 0.0$ 0.1! 0.1% 0.10 0.20 0.1% 0.10
Kalores 1 2 ' % 5 ! # $ 7otal
i % % % # 5 " #
Fi + % 1! &# 2$ '$ %5
:i 0.0$ .% 0.1! 0.1% ." .& 0.1% ." 1.00
;i 0.0$ 0.1! 0.'2 0.%! 0.5! 0.#! 0.& 1.00
1.00 0.&
0.#!
0.5! 0.%!
0.'2
0.1!
0.0$ 0
1
2
'
%
7>AI(> pag 51.
5
!
#
$
12-) Ena empresa Jue se dedica a preparar dietas+ pro,ecta lanMar al mercado una dieta rigurosa. Los empleados de una compa8ía se presentaron como *oluntarios para dic:a promociGn. e realiMo un muestreo con $0 dic:os empleados elegidos aleatoriamente. Los resultados del c:eJueo de los pesos en Ngr.)+ ueron los siguientes $0.! 5'.2 #!.& $$.' #5.! !5.2 5%.2 $0.2
!5.$ !0.2 ##.% &%.! %1.$ !2.1 #5.' !0.2
%&.! &1.2 !#.& 5#.' #'.! %%.$ 50.1 #1.!
#&.1 #%.$ !'.# $#.' #1.% $2.& !1.1 ##.1
$%.% #$.! %&.& #%.' $'.2 $1.# %2.' &%.&
!!.2 $1.% %!.% #'.2 !#.% #0.% !$.! !1.%
#&.' 5$.! !$.$ &0.% &&.' #%.! 5!.2 $2.1
5&.% !$.2 !#.' #!.' !2.' #!.& #0.$ #$.'
#2.& !#.% #2.' 52.# $&.2 $5.# %#.' 51.2
#'.! 55.! #5.$ #1.# $!.$ %0.& !!.& #&.'
e pide a) b) c) d)
Dlaborar una distribuciGn de recuencias O(uántos empleados tienen pesos entre %5 , !0 gr.P OQuR porcentaje de empleados tienen pesos ma,ores Jue #5.5 gr.P La empresa promotora obseJuia uniormes de trabajo a los empleados *oluntarios. uponiendo Jue los pesos de los empleados *oluntarios es menor o igual a $0 gr. O(uántos uniormes deben ser de*ueltosP.
Solución a) ecorrido o ango R
= X max −
X min
= &&.' − %0.& = 5$.%
34mero de Inter*alos de clases = 1 + '.' log$0) K = #.2$0 ≈ # K
7ama8o del Inter*alo de (lases c
=
R K
=
5$.% #
= $.'$5# ≈ $
Dn este caso al eectuar las operaciones correspondientes con nuestro amplitud Jue es igual a $ nos damos cuenta Jue no llega a alcanMar al
*alor máximo+ por lo Jue le sumamos 1. Ds decir le puede pasar pero no le puede altar. Dntonces trabajamos con una amplitud de &. I.(.
i %5.% 5%.% !'.% #2.% $1.% &0.% &&.%
[ %0.& − %&.& [ %&.& − 5$.& [ 5$.& − !#.& [ !#.& − #!.&
[ #!.& − $5.& [$5.& − &%.& [ &%.& − 10'.&
i # 10 15 21 1$ # 2 $0
7otal b)
# %0.&
%5
10
Fi # 1# '2 5' #1 #$ $0
:i 0.0$#5 0.125 0.1$#5 0.2!25 0.225 0.0$#5 0.025 1.00
15
%&.& x
5$.&
!0
!#.&
,
x 6 10 6 , /P x
=
( %0.& − %5) # %&.& − %0.&
= '.$1
y
=
( !0 − 5$.&) 15 !#.& − 5$.&
= 1.$'
'.$1 6 10 6 1.$' / 15.!% ≈ 15 15 empleados tienen pesos %5 , !0 gr. c) 0.2!25
0.225
!#.& #5.5 #!.& x
$5.&
0.0$#5 &%.&
0.025 10'.&
x 6 0.225 6 0.0$#5 6 0.025 /P x
=
( #!.& − #5.5) 0.2!25 #!.& − !#.&
= 0.0%1
0.0%1 6 0.225 6 0.0$#5 6 0.025 / 0.'#$5 '#.$5 S es el porcentaje de empleados Jue tienen pesos ma,ores de #5.5 gr.
d)
# %0.&
10 %&.&
15 5$.&
21 !#.&
1$ #!.&
$0
$5.&
, # 6 10 615 621 6 , -P x
=
( $0 − #!.&) 1$ $5.& − #!.&
= !.2
# 6 10 6 15 6 21 6 !/ 5& 5& uniormes tienen Jue ser de*ueltos. e tiene la siguiente tabla de recuencias relati*as de '00 empleados. seg4n su edad. Ddades 1&-21 22-2% 25-2# 2$-'0 '1-'' :i 0.15 0.25 0.%0 0.10 0.10 #.-)
a.-) O(uántos empleados tienen edades entre 22 , '2 a8osP b.-)OQuR porcentaje de empleados tienen 25 a8os o más P c.-)O QuR porcentaje de empleados tienen '% a8os o menosP Solución i / :i x n 0.15 x '00 / %5 n / '00 0.25 x '00 / #5 0.%0 x '00 / 120 0.10 x '00 / '0 0.10 x '00 /'0 Ddades *f & - # ,%. % /
*>+ - #&.
,% / ,0 6 %c c / amplitud '2.5/12.5 6 %c *c - I.C. [12.5 17.5> [17.5 22.5> [22.5 27.5> [27.5 32.5>
Xi 15 20 25 30
fi 20 30 10 30
hi 0.18 0.27 0.1 0.27
Hixi 2.7 5.4 2.5 8.1
[32.5 37.5>
35
20 110
0.18 1
6.3 25
a). '0 25 20 15 10 5 "
12.5
" 1#.5
&
&
22.5
2#.5
#
'2.5
#
'#.5
+
;istograma , Aolígono de recuencias. b).
(omo la tabla es simRtrica la entonces edia / ediana / 25.
2$.-) En *endedor *iajante :iMo 5 *iajantes durantes los meses de junio , julio de 1&$!. Dl numero de días , el *alor de las *entas de cada *iaje son los siguientes
viaje
numero e !a" #fi$
va%or e ven&a #Xi.fi$
ven&a 'or !a" #Xi$
1
3
I (. 300
I (. 100
2
7
1)540
220
3
10
2)000
200
4
5
400
80
5
10
2)250
225
&o&a%
35
I (. 6)490
I (. 825
Dl gerentes de *entas critico la actuaciGn del *endedor por sus *entas medias por día solo ascendiG a I 9. 1!5. Aero el *endedor argu,o Jue el gerente de *entas estaba eJui*ocado+ por Jue sus *entas medias por día uera I 9. 1$5+ %'. O(Gmo obtu*o las *entas medias por díaP Ode Juien es el promedio correctoP.
>LE(I>3 n
Kentas medias ?erente de *entas) /
∑ Xi
i =1
.otal de ,ia-es
=
/entas por dia .otal de ,ia-es
=
$25 = 1!5 5
Kentas medias *endedor) / n
∑ Xi. fi
i =1
umero de dias
=
,alor de las ,entas '5
=
!+%&0 '5
= 1$5+%'
spta. La media del *endedor es la correcta+ pues pondera por el numero de días Jue tomo Dn cada *iaje. 2&.-) La compa8ía Aetro Aer4 maneja una peJue8a reinería en Ica Jue *ende gasolina al por ma,or+ a minoristas independientes. Las *entas de la semana pasada ueron las siguientes
G3lon4: 24 ?3:olin3 (4n 1il4:)
N@146o 24 O9463cion4: 10 20 '0 25 15 10 5 5 120
[ 0 − 10 [10 − 20 [ 20 − '0 ['0 − %0 [ %0 − 50 [50 − !0 [ !0 − #0 [ #0 − $0
7>7L
a) partir de esta distribuciGn de recuencias+ calcule el n4mero total de galones *endidos la semana pasada. b) Cetermine la media de los galones *endidos en cada operaciGn. c) OLa moda se encuentra por debajo o por arriba de los 25+000 galonesP O(Gmo lo sabeP d) (alcule la mediana de las *entas.
Solución
I.(. [ 0 − 10 [10 − 20 [ 20 − '0 '0 − %0
[ %0 − 50 [50 − !0 [ !0 − #0 [ #0 − $0
7>7L
i 10 20 '0 25 15 10 5 5 120
Fi 10 '0 !0 $5 100 110 115 120
i 5 15 25 '5 %5 55 !5 #5
ii 50 '00 #50 $#5 !#5 550 '25 '#5 '&00
a) Dl 34mero total de galones *endidos la semana pasada en 120 operaciones es de #& galones de gasolina en miles). k
b)
∑ fiXi
x
= i =1
n
=
'&00 120
= '2.5
≈ ''
'' galones de gasolina en miles ) es el promedio de galones *endidos la semana pasada por la compa8ía Aetro Aer4 en su reinería Jue tiene en Ica. c)
Mo
'0 − 20 = 20 + .10 = 2!.! ≈ 2# 10 + 5
(asi siempre los galones de gasolina en miles) *endidos la semana pasada por la compa8ía Aetro Aer4 es igual a 2# galones de gasolina.
d)
!0 − '0 .10 = '0 !0 − '0
Med = 20 +
Dl 50S de los galones de gasolina en miles) *endidos la semana pasada por la compa8ía Aetro Aer4 es menor igual a '0 galones de gasolina , el 50S restante es ma,or a '0 galones de gasolina. '1.-) Dn la siguiente tabla se presenta la distribuciGn de salario de 50 trabajadores de la uni*ersidad + del mes de bril del presente a8o. ;DD D3 ILD CD I37I. ) < !0 + 100 = < 100 + 150 = < 150 + 210 = < 210 + 250 = < 250 + 2!0 =
3H 7_C>D 5 10 20 $ #
Aor incremento del costo de *ida se planea 2 alternati*as de aumento para el mes de a,o.
La primera propuesta consiste en un aumento general de '5.000 intis mensuales. La segunda propuesta consiste en un aumento de '0S de los salarios de bril+ a los obreros Jue ganan menos de 210.000 intis , del 5S a los obreros Jue ganan mas de 210.000 intis , un aumento adicional de 20.000 intis para todos los trabajadores. a) O(uál de las propuestas con*endrían a los trabajadores P b) Aara los trabajadores Jue ganan menos de 210.000 intis OQuR propuesta con*endríaP
!0 + 100 arca de clase = 2 = $0
;DD D3 ILD CD I37I. ) < !0 + 100 = < 100 + 150 = < 150 + 210 = < 210 + 250 = < 250 + 2!0 =
Solución 5
xi
i
Fi
:i
;i
$0 125 1$0 2'0 255 $#0
5 10 20 $ # 50
5 15 '5 %' 50
0.1 0.2 0.% 0.1! 0.1% 1.00
0.1 0.' 0.# 0.$! 1.00
(on la primera propuesta la tabla seria ;DD D3 ILD CD I37I. )
< !0 + 100 = < 100 + 150 = < 150 + 210 = < 210 + 250 = < 250 + 2!0 =
3H de alari alari mayo = abril + '5 trabaj o del o de adores mes mes (on la segunda propuesta la tabla seria . de de bril a,o 3H de 5 $0 115 ;DD D3 10 125 1!0 ILD CD I37I. ) trabaj adores 20 1$0 215 . $ 2'0 2!5 # 255 2&0 < !0 + 100 = 5 < 100 + 150 = 10 < 150 + 210 = 20 < 210 + 250 = $ < 250 + 2!0 = #
alari o del mes de bril $0 125 1$0 2'0 255
alari o de mes de a,o '!1 %0! %!1 2&'.5 '1$.5
a) Los trabajadores les con*endría la propuesta 3H 1 por Jue seria justo para todos. b) los trabajadores Jue ganan menos de 210.000 intis+ les con*endrían la propuesta 3H 2 + por Jue ganarían muc:o mas.
A-'2) Dn una clase de la asignatura de análisis uno :a, %0 estudiantes *arones con una edad media de 20 a8oY las mujeres en promedio son 10S mas jG*enes Ocuántas mujeres :a, si la edad media de la clase es de 1& a8osP oluciGn = %0 numero de *ar ones = P numero de mu-eres
na nb
na + b
x
=
1&
=
edad media xa edad media xb
= 20 a0os = 1$ a0os
na
n b
na
+ nb 2
20 1$ 1&
= x = 1&
+ nb xb na + nb
na xa
reemplaMando los datos en la ormula
%020) + nb 1$) %0 + nb
=>
1&%0 + nb )
= $00 + 1$nb
#!0 + 1&nb
= $00 + 1$nb 1&nb − 1$nb = $00 − #!0 nb = %0
el numero de mujeres es %0.
''.-) (onsidere un aeroplano Jue *uela al rededor de un cuadrado Jue tiene 100 millas de lado+ recorriendo el primero de estos a 100m.p.:+ el segundo a 200m.p.:+ el tercero a '00m.p.: , el cuarto a %00m.p.:. O(uál es la *elocidad media del aeroplano en su *uelo alrededor del cuadradoP
oluciGn ,
=
d t 100 m
1) t 1
=
2) t 2
=
') t '
=
%) t %
=
t = t 1
+ t 2 + t ' + t % = 2.0$'h
100m. p.h 100 m 200 m. p.h 100 m '00 m. p.h 100 m %00 m. p.h
= 1h = 0.5h = 0.'''h = 0.25h
la *elocidad media es , =
d t
=
%00 m 2.0$'h
= 1&2.0'1m. p.h
'%.-)uponga Jue una ciudad tu*iese en el a8o 1&$0 una poblaciGn de 50+000 personas , Jue este uera de %&0+000 en 1&&0. Dstime la poblaciGn en 1&$5. Solución5
Esando la ormula para determinar la poblaciGn media es Conde P es la poblaciGn en el primer a8o P es la poblaciGn en el segundo a8o
P x
=
p0 P 1
0
1
P x
=
p0 P 1
P x
=
50000 x%&0000)
= 15!+525
Aor lo tanto la poblaciGn media es 15!+525 '5.- )Dncontrar la media aritmRtica de los n primeros n4meros naturales , probar Jue coincide con la media. >LE(I`3. >rdenando los n primeros n4meros en orma ascendente 1er) (uando n es impar La mediana es n +1 ed. / 2 − − − − − − − − − − − 1) La media es
n
∑ X
−
X = −
X =
1 + 2 + ............. + n n
=
i
i =1
n
n n +1) 2
=
X 1 + X 2
n
n −
X =
+ ............... + X n
n +1 2
.................... ...........2)
Ce 1) , 2) se conclu,e ed. / 2do) (uando n es par ;allamos.- el lugar
#n 2
n
−
X
#n +1 =
= 2
2
n
2
+1
La mediana es ed. / La media es
−
X =
n 2
+ n2 + 1
n +1 2
2
=
n +1 2
.........................')
.................... ...........2)
Ce 2) , ') se conclu,e Jue
−
X
/ ed.
Luego sea n par o impar se comprobG
−
X
/ ed.
'#.-)Curante % a8os una abrica :a comprado aM4car a los precios de 1.!0 + 1.$0 + 2.10+ 2.50+ el Nilo a) Ocuál es precio promedio del Nilo de aM4car si cada a8o compro 10000 NiloP
I II III IK
i 1.! 1.$ 2.1 2.5
@i 10000 10000 10000 10000
IW@i 1!000 1$000 21000 25000
%0000
$0000
Dl precio promedio será igual a la media k
∑ Xi W "i i =1
n
=
$0000 10000
=2
Dl promedio será 2 i cada a8o compro 20000 Nilos
i 1.! 1.$ 2.1 2.5
I II III IK
@i 20000 20000 20000 20000 $0000
IW@i '2000 '!000 %2000 50000 1!0000
k
∑ Xi W "i i =1
n
= 1!0000 = 2 $0000
Dl promedio será 2 '$) l estudiar el consumo diario de lec:e +se *eriicG Jue en cierta regiGn+ 20S de las amilias consumen menos de un litro + 50S de las amilias consumen entre uno , dos litros + 20S consumen entre dos , tres litros , el restante consumen entre tres , cinco litros . Aara la *ariable en estudio. a) Dscriba las inormaciones en la orma de una tabla de recuencia. b) (onstru,a el :istograma. c) (alcule la media , la mediana. d) (ual es el *alor del primer cuartil.
Solución5
a) [
I
−
C
0 1 1 2 2 ' ' 5 7otal
hi
H i
0.20 0.50 0.20 0.10 1.00
0.20 0.#0 0.&0 1.00
H i S
20 #0 &0 100
b) Dl ;istograma 0.50 0.%0 0.'0 0.20 0.10 0 c)
1
2
'
La edia X X X
= x i hi = 0.1 + = 1.#5
0.#5
+
0.5
+
0.%
La ediana 0.5 − 0.2 + .1 0.5
Med
=
1
Med
=
1.!
d) Arimer (uartil
5
X i
0.5 1.5 2.5 %
'1
=
1+
'1
=
1.1
0.25 − 0.20 1 0.50
'&.-) Dn una granja a*ícola se registra la siguiente tabla de distribuciGn de pollos con respecto a sus pesos. Aeso en gramos) [ &!0+&$0 >
3X de pollos !0 1!0
[ &$0+1000 > [1000+1020 >
2$0 2!0 1!0 $0
[1020+10%0 > [10%0+10!0 > [10!0+10$0 >
e desea agrupar los pollos en % categorías con relaciGn al peso de modo Jue a). b). c). d).
Los 20S menos pesados sean de la categoría C. Los '0S siguientes de la categoría (. Los '0S siguientes de la categoría . Los 20S más pesados sean de la categoría . Ocuáles son los limites de peso entre la categoría ++(+CP
Solución W W
/% = x máx − x mín = 10$0 − &!0 = 120
W
7I(/
=
120 %
= '0
Aeso en gramos)
3X de pollos
i
[ &!0+&&0 >
200
'00
[ &&0+1020 > [1020+1050 > [1050+10$0 >
'00 200
7>7L
1000
Limites de las categorías (ategoría / [1050+10$0 > (ategoría / [1020+1050 > (ategoría ( / [ &&0+1020 > (ategoría C / [ &!0+&&0 > %0.-) 100 elementos de un material determinado ueron sometidos a prueba de rotura por comprensiGn obteniRndose los resultados en g. 9cm 2. (uando se recurriG a la tabla de cálculos Jue el operador debiG coneccionar se encontrG sGlo lo siguiente.
Inter*alos < < < < <
+ = + = + = + = + #2.5=
7>7LD
arca de (lase xi 10
i
ui / xi - x' 5
i ui -5%
i ui2 1!2 &!
&2 2'% 1% -10
5&0
Fi
Solución i ui
ui
=
ui
=
ui
=
ui
=
ui
=
x i - x ' 5
10 - 25
=
i u i
=
5 - 5%
⇒
15 - 25 5 25 - 25 5 %0 - 25 5 !0 - 25 5
=
- 15
=
- 10
=
0
5
15
= =
5
xi
< #.5 " 12.5= 10 < 12.5 " 1#.5= 15 < 1#.5 " '2.5= 25
La oda
=
=
-'
-2
'
#
I.(.
< '2.5 " %#.5= < %#.5 " #2.5=
=
5 i = 1$
%0 !0
ui / xi " x' 5
i ui
i ui2
i
Fi
xi i
-'
-5%
1!2
1$
1$
1$0
-2
-%$
&!
2%
%2
'!0
0 ' #
-1029 &2 #$ 1%
0 2'% &$
'0 2! 2
#2 &$ 100
#50 10%0 120
-10
5&0
100
2%50
ax i
'0
o
d = '0 - 2! = = ! d = Li + x 7ic d + d ! x 15 1#.5 + 10 = 2!.5
e
=
d1
=
=
o
'0 - 2%
2
1
1
e =
Fi
%
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