Preguntas de Trigonometria UNMSM (2008-2016)

TrigonometríaSJL-UNMSM

Exámenes de admisión de la UNMSM. UNMSM. 2008-I

4. La expresión K = 2 3 (cos 2 13 − cos 2 47 ) es equivalente a:

A)4 cos 34

B)3 cos 34

C )3sen34

D ) 3 cos 34

E )2 3sen34

1. Halle el máximo valor de: f(x) =

A)

19 12

5. De la figura, O es centro del circulo cuyo radio mide 1cm. Hallar el área de la región ABC.

1 cos 2 x + senx ; x ∈ R 3

B)

17 12

C)

17 19 D) 24 24

E)

Y

11 24

C

π

a < α < π ; a < 0 senα = Entonces 2 x −b siempre es cierto que: 2. Si

Preguntas de exámenes de

α X

A

O

A ) − b < x < −a B ) b < x < − a + b C ) a + b < x D )x < a + b

E) a − b < x

3. De la figura, el triángulo ABC es equilátero y AM 5 = Calcule csc α − cot α : MB 3

admisión de la

B

1 1 A) ( 1 − senα − cos α ) B ) (cos α − senα − 1) 2 2 1 1 C ) ( senα + cos α + 1) D ) ( senα − cos α − 1) 2 2 1 E ) ( 1 − sen2α ) 2

M

universidad Mayor

α C

A

de San Marcos

B

A)

3 15

B)

3 3 3 3 C) D) E) 12 9 8 10

Página 2

TrigonometríaSJL-UNMSM 6. En el triángulo se tiene que (BC)(AC)=12, (BC)(AB)=8, (AC)(AB)=6. Halle el valor de:

2. De la figura, AB = 12, AC = 14 y tan θ =

M = 3 cos α + 4 cos β + 6 cosθ

Halle BC.

TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2008-II (BCF)

2 6 5

B

1. Consideramos α = ( x + y + 60) y

B

B

β = ( x − y + 10) en el primer cuadrante, de

β α

modo que senα .sec β − 1 = 0 hallar x:

N

A)49

θ α

A

θ C

A

A)9

A)

A

C

27 5

B)

29 4

C)

2 3 −3 2 3 3 −2 D) 3 A)

B )8 C )13 D )11 E )10

3. Si tan( 2α − 3β ) = 6; tan(α − β ) = 4

22 25 28 D) E) 7 8 9

Halle tan β

2 3 −2 3 3 −4 C) 3 3 3 −1 E) 2

98 A) 33

94 82 B )5 C ) D) 33 7

A

24 E) 7

α

A)

es 45° Calcule el área de la región DA C

D

A) C

E

2 3

B)

D

1 1 3 C) D ) 10 E ) 3 10 10

7. Al simplificar la expresión

A)18

B )16

B)

B

M =

3 senα cot α − sen 3α cot α +1 cos 3α + 3 cos α

C

B )87,5 C )75 D ) 77,5

C)

45 35 D) 11 5

E)

47 13

cos 2 α + cos 2 β = 3 cos 2 α sen 2 β ..( ii )

A)

2 3

B)

E )102,5

5. De la figura Haciendo centro en O se ha trazado el arco AB. Si N es punto medio de OB y MO = 2 AM , halle cot α

E)

4 3

R

45

A)csc 2 α

B )tan 4 α C )1 + tan 3 α

D )1 + tan 4 α

E )sec 2 α

M

θ P

Página 3

3 C )3 D ) 2 2

4. De la figura, QM y MR están en razón de 3 a 4 Halle tan θ :

Se obtiene:

C )15 D )20 E )21 A )105

47 5

tan 2 α + k = 2 tan 2 β .......................( i ) A

A

45 7

3. Halle el valor de “k” tal que:

D

B

D

B

4. De la figura AB = 5 ; BC = 4 y el ángulo DA C

A

C

α

Hallar tan α

1. De la figura, AOB y COD son sectores circulares. Si el área del sector COD es 9 y la longitud del arco AB es 10. Halle el área de la región ABDC.

3

C

B

B)

6. De la figura, BE = ED = DC ; BD = 5 2

UNMSM. 2008-II (ADE)

O

C )81 D )100 E )36

2. De la figura, ABCD es un trapecio rectángulo con AB=10, BC=6 y AD= 12 cm, hallar ta n α

O

M

B )64

Q

Página 4

TrigonometríaSJL-UNMSM

A)

2 3

B)

2 2 7

C)

TrigonometríaSJL-UNMSM 4. Hallar el valor de:

UNMSM. 2009-I

2 4 2 D) E) 5 5 7

5. Halle 19tan(α − β ) Si se cumple:

M=

1. De la figura, EF = 2 cm, Hallar BC

tan α + tan β = 11...( i )

D

tan α .tan β = 18 ...( ii ) tan β > tan α ...( iii )

7 7 D) − E )19 19 19

3π ; tan 2α = 2 2 Entonces el 2 valor de ta n α es:

B)

1 4

α E

A

A) −

F

3 4

11 8 13 E) − 8 B) −

D) − 3 A)

2 2

D) 2 − 1

B) − 2 E)

C )2 2 − 2

3 2 2

1 4

C )2 D ) − 4 E ) −

N = cos 2θ − 3 cos θ

B

6. Si π < 2α <

A)4

5. Sabiendo que θ ∈ R Hallar el mínimo valor de:

C

A) − 7 B )7 C )

sen 40° − 3 cos 40° sen10° cos 10°

A)2 cos α

B )2 cot α

D )2 tan α

E )2 sec α

C )2senα

2. Si tanα = tan 45° + tan 50°.cot 85° + cot 85° Halle la medida del ángulo α

A)15° B )48° C )50° D )35° E )38°

C) −

21 16

6. Determine la suma de todos los valores de θ ∈ [ 0;2π ] que satisfacen la ecuación: senθ + cos θ = 1

A)

5π 2

B)

7π 9π 3π C) D) 2 4 2

E)

7π 4

3. De la figura, BC = 2 C D Hallar el valor de:

R=

1 − sen 2 (α + β ) sen 2 (α ) sen 2 ( β ) B

β

C

α

D

A

A )4

Página 5

B )2

C)

1 D )8 2

E)

1 4

Página 6

TrigonometríaSJL-UNMSM 4. En la figura mostrada, ABCD es un paralelogramo; AB = b y BC = a Halle PQ

UNMSM. 2009-II (ADE) 1. Halle el número de raíces de la ecuación: sen 2 x + senx = 0; x ∈ [ 0;2π ] A )4

B )5

C )3 D )6

B

α

E )2

6

C

M = tan x .

5x x )sen( ) = 0 2 2

(k ∈ Z) Calcule:

A) − 1 β

A

23 11

B)

25 11

C)

21 29 D) 11 11

E)

3. Si β = 4 calcule: R = cos 3 β sen β − sen 3 β cos β + +

3 1 − −4 sen 20 cos 20

sen16 sen 32 C) 2 4 sen32 D )2sen16 E ) 2 A)

sen16 4

B)

Halle tan(

csc 2 x − sen 4 x 1 + sen 2 x + sen 4 x

A) 3

D

P

28 11

sen 2α A)a senβ D )a

sen 2α cos 2 α B )b C )b cot β sen β

α +θ 2

)

B )1 C )

3 4 D) 3 5

E)

3 5

B )1 C )2 tan x

2. En la figura mostrada, AB = x;BC = y

5. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación cos 3α + sen 2α = cos 2 α en el intervalo de 0 ; 2π ?

Halle cos α

A )6 B )3

D)

sec x + sec 3 x = 0

A)

3π > , Simplifique: 2

Q

10 cos 2 x − 13 cos 3 x + 2sen(

π

4. Si α ,φ ,θ son ángulos agudos tales que α φ θ = = y sen (α + φ + θ ) = 1 4 5 6

UNMSM. 2009-II (BCF) 1. Si x ∈< π ;

2. Si se cumple:

x ≠ (2k + 1)

TrigonometríaSJL-UNMSM

2 tan x

E )tan x

sen 2α asen 2α E) cos β b cos β

C )7 D )5

E )4

B

5. Si α = 33 20' y β = 56 40' Halle el valor de: M = (cos

A)1 + 2

α 2

+ cos

β 2

)2 + ( sen

α 2

− sen

β 2

)2

2α

α C

A

B )2 − 2 C )2 + 2

y 2x y D) x

D )2 2 E )2 2 + 1

A)

2x y x E) 2y B)

C)

x y

3. Sea sec φ y cscφ Las raíces de la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 Determine la relación que existe entre a, b y c A)a 2 + b 2 = −2ac B )a 2 − c 2 = 2ab C )b 2 − a 2 = 2ac D )b 2 − c 2 = 2ac E )c 2 + a 2 = 2ab

Página 7

Página 8

TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2010-I 1. Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos, y el ángulo mayor es el doble del ángulo menor α Halle la razón del lado mayor al lado menor A )2 cos α D ) cosα

B )2 csc α C )

2senα 3

A)sec θ − tan θ

B )tan θ − sec θ C )sec θ + tan θ

D ) tanθ -2secθ

E )sec θ − 2 tan θ

3. En la figura se tiene un triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide L cm. Si el baricentro del triángulo es el punto O, entonces la suma de las distancias de los vértices a la recta L

TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2010-II (ADE)

3. En la figura, el triángulo A B C recto en B 1 α < 45 ; AM = MC = halle el área del triángulo 2

1. En la figura, si C B = 4 , M es punto medio de

A BC

AB , CM = MB ; AB = 2 6 halle cos α

C

C B

E )cos 2α

2. Si sec 2 x = n tan x y n ≠ 2 , Halle:

A

sen 3 x − cos 3 x E= ( senx − cos x ) 3

n+3 A) n−2 n−3 D) n−2

n −1 B) n−2 n+2 E) n−2

O

L

θ

n +1 C) n−2

A

B

B

C

1 A)L(cos θ + senθ ) B ) L(cos θ + senθ ) 2 1 C )L(cos θ + senθ ) D )L(cos θ + 2senθ ) 3

UNMSM. 2010-II (BCF)

M

M

1 1 1 A) cos α sen 3α B ) cos 4 α senα C ) cos 2 α senα 2 2 2 1 1 D ) cos α sen 2α E ) cos 3 α .senα 2 2

α

A

α

A)

2 3

B)

3 3 2 2 2 C) D) E) 3 2 3 2

2. En un triángulo ABC, de la figura mostrada AB = 6; BC = 5;CA = 4 determine el valor de sen (α + β ) sen β

E )L(cos θ + 3senθ )

1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se tiene 5cm de hipotenusa y se cumple que senB = 2 senC entonces el área del triángulo es:

C

β

A)2,5 B)5,1 C)5,5 D)5,0 E )5,2 2. En la figura, si AB = AE entonces tan β es igual a: A

B

θ

α

A

β

A)

B 6 5

B)

5 6

C)

2 4 5 D) E ) 3 5 4

E

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Página 10

TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2011-I

UNMSM. 2011-II (ADE)

1. De la figura AC = 10 3 Halle A B

1. Si 0 < θ <

C

60

A

B

B )15 2 C )10 6 D )8 3 E )15 3

2. Si cos 4α + 2sen2α = 0; cos 2α ≠ 0, Calcule el valor de cos α 3 4

B)

Halle

A) 2 cos 15 + 2sen15 B )2 2 cos 15 + 2sen15 C )2 2 cos 15 + 2sen15 D )3 2 cos 15 + 2sen15

A)cos x − sen x

B ) 3 ( sen x − cos x )

C )sen 2 x − 2 cos 2 x

D ) sen 4 x − 2 cos 4 x

4

2

2

E ) sen 4 x − cos 4 x

4

b > 0, Halle el valor de

1. Si α Es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, tal que 5 sec α = 13 halle el valor de

1. Si cos α =

1

a( 1 − cos 2 x ) 2 − bsenx

E=

E=

1 2

a( 2 + 2senx − cos x ) − a 2

3a − b a a−b D) a

a+b a 2a − b E) a

A)

B)

C)

a − 3b b

A)

n2 m2 m2 − 1 −1 B ) 2 −1 C ) 2 m n mn m 2 − n2 n2 − m 2 D) E) mn mn

5 12

B)

7 10

C)

3 1 2 D) E ) 10 5 5

2. Sea x ≠ kπ ; k ∈ Z Si a,b,c, son números

2. En un triángulo ABC, AC = AB

BC = 8 y m ∠CAB = 45 Halle el área del triángulo

α A)

D)

α

A B)

bk 2

C)

B

16 2 + 2 2− 2 8 2− 2 2+2 2

B)

E)

16 2 − 2 2+ 2

C)

8 2+ 2 2− 2

b k D)2b − k E ) k b

E=

D )c = ab 2

C )b 2 = a − c

E )b = ac 2

2− 2

3. En la figura, BC = 1 y AC = 3 + 1 Halle el valor de la medida del ángulo A B C B

sen 2α tan( α − θ ) sen 2θ tan( α + θ )

AD = 4 3 cm halle BC

C

B

A

2α

110 D

40

A)b 2 = a 2 + ac B )a 2 = c − b

32 2 + 2

3. En la figura, se tiene el triángulo A B C , B C = 3 A C Halle el valor de

3. En el triángulo A BC de la figura,

A

reales distintos y no nulos, tal que senx sen2 x sen 3x = = a b c Indique la relación correcta

2

C

A)bk

K = (cot α + csc α )(tanα − senα ) A)

2. En el triángulo B A C de la figura, AC = b cm y BC − AB = k cm donde b > k , Halle tan

3senα − 4 cos α 5senα + 4 cos α

m ; m ≠ n halle el valor de n

2θ

A

20 C

A)

2 3

B)

1 2

C)

B

15 C

A)36° B )45° C )30° D )53° E )37°

5 3 3 D) E ) 2 2 5

A )12 cm B )11 cm C )13 cm D )14 cm E )15 cm

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TrigonometríaSJL-UNMSM

TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2013-I (Todos los bloques)

UNMSM. 2013-II (ADE)

UNMSM. 2013-II (BCF)

1. Simplifique la expresión

1. Halle los valores x ∈ R en que la función f definida por f ( x ) = tan 2 x − 4 sec x , asume su

1. En la figura

E=

sen3x cos 3x + cos x senx

mínimo valor

A)2cot 2x B)2 tan 2x C)tan 2xcot 2x

A)( 6k ± 1)

D)tan xcot 2x E )sen2xcos 2x

π 6

D) ( 8k ± 1)  π 2. Si x,y pertenecen al intervalo de  0 ;  halle  2 m en función de x para que cumpla sen( x − y ) cos( x − y ) − = m.sec 2 x senxseny cos xseny

A) − tan x B)cot x C)tan x D) − cot x E ) − 2 tan x 3. En la figura se tiene que el triángulo ABC es a recto en A, si CQ = a; AB = b halle b

π 4

B )( 6k ± 1)

π 3

E )( 2k ± 1)

C )( 3k ± 1)

π

DA = 2BA; DA = 10, DC = 2 y CB = 13 Halle el 1 valor de 5 sec θ + cot α + 10

3

B

π 4

2. En dos triángulos rectángulos, consideramos los ángulos agudos α y β respectivamente. Si

senα =

3 y sec β = cot α calcule el valor de 7

f(x) =

12 tan2 α + 9 tan 2 β 3 csc 2 α − csc 2 β

A)4

B)3 C)2 D)1 E )5

C

A)4

θ

α

B)3 C )6 D)2 E )5

2. En la figura OA = AB Halle tan θ

3. Hale α si: 3 cos α = sen 70° − cos 80° − cos 160° Con

θ

0 < α < 90°

C

A

D

A)30°

B )20° C )50° D )40°

A(3;4)

E )10°

Q

45 A

30

O

B

3 1 1 B ) (3 + 3) C ) (6 − 3) 3 3 3 1 1 D ) (6 + 3) E ) (3 − 3) 3 3 A)

A)

4 3

B)

B

24 7 3 C) D) 5 24 4

E)

24 7

3. Si cos α = m; 3sen 2α = t Halle el valor de

4 4m 2 + t + 7 3

A)7

Página 15

B)8

C )1

D)11 E )3

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TrigonometríaSJL-UNMSM

2. En la figura tan α = 2 3 . Halle cot θ

2. Simplifique la expresión

UNMSM. 2014-I (ADE)

E= 1. Determine el rango de la función

TrigonometríaSJL-UNMSM

3. De la figura, calcule cos α + cos β .

csc x − cot x csc x + cot x + − 4 cot 2 x; x ∈ 0; π csc x + cot x csc x − cot x

α

f ( x ) = ( 2 + senx )( 2 − senx ), x ∈ R A)[ 2; 4 ]

B )[1; 3]

D )[1; 9]

A)1

C ) [ 3; 4 ]

E ) [1; 4 ]

C )6

D)8

E )2

π 2

1 2

sen8α − sen4α 2senα cos 6α

A) 2

B )2

C)- 2

D)

-2 3 3

E)

β

α O

y sen( A + B)cos( A + B) = , halle sec(C ) Calcule

θ

60°

3. Si A,B,C son ángulos internos de un triángulo

2. Si se cumple tanα = 3 con 0 < α <

N=

B)4

5 A) − 3

5 4

5 3 B)− 9

7 3 C)− 9

( −24; −7)

7

4 3 D) − E)− 9 2 3

A) − A) D)

2 10 5

B)

10 5

2 5 5

E)

C)

UNMSM. 2014-II (ADE)

3 10 5

5 5

1. En la figura

3. Si x ∈ [ 0; 2π ] halle la suma de las soluciones

x 2

2 de la ecuación 2sen ( ) + 3 cos x = 2

A)2π

3. Si α + β =

B)3π C )4π D)5π

E )6π

A)

sen( 20° + θ ) AD = 8 y = 1. cos( 10° + θ ) Halle DB B

3 2

π 4

B )3 2

48 25

B)−

17 25

C)−

31 34 31 D) − E) 25 25 25

, halle (1 − cot α )( 1 − cot β )

C)

3 2 D )2 3 E )2 2

UNMSM. 2014-II (BCF)

θ 1. Si se cumple

θ

UNMSM. 2014-I (BCF)

C

D

senα + cos α = x .  senα − cosα = y 2 2 Halle x + y

1. Halle el valor de

 sen60° − sen30°  E = ( 2 + 3 )( ) sen60° + sen30°  

A

2− 3

A)8

B )8 3

A)1

C )16 D )18 E )12

B )3 C ) 3 D ) 2 E )2

2. Indique la expresión equivalente a A)2 − 3

B )1

D) 3

E )2 3

C )2 + 3

π

π

π

E = cos( − − x ) + cos( x − ) + cos x, x ∈ 0; 6 6 2

Página 17

A)( 3 + 1)cos x

B ) 3 cos x

D )( 3 + 3 )cos x

E )( 2 + 3 )cos x

C )2 3 cos x

Página 18

TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2015-I (ADE)

A)senα + cos 2 α

B )sen 2α − cos α

C )senα − cos α E )senα − cos α

D )sen α + cos α

2

3 1. Si senα = halle el valor de cos 2 α 5

A)

5 3

B)

3 5

C)

25 16

D)

9 25

E)

16 25

°

1. De la figura, la rueda de radio R pasa de P a Q , dando cuatro vueltas completas. Si

PQ = 80π halle el valor de R

vertical y forma con el piso un ángulo de 30 . Si queremos que la escalera forme una ángulo de

4. Un poste tiene 15m más de altura que otro. Un

1. Convierta 31g12m 30s a minutos centesimales

observador, que está a 30 3m del poste pequeño, observa las partes más altas de ambos postes en una misma dirección con un ángulo de

A)3100m

B )3120m

D )3102m

E )3112,5m

45 con el piso, h aumentará en x unidades y m disminuirá en y unidades. Halle el valor de x + y en las mismas unidades

elevación de 30° . Determine la altura del poste menor y la distancia entre los postes, en ese orden.

C )3112, 3m

5 π 2. Si cos( 90° − x ) + csc x = ; x ∈ 0; 2 2 halle tan x + sec x

A)2

°

B )2 3

A)15 3m; 30m

B )15 3m; 45m

C )30 3m; 15 3m

D )10 3m; 30m

E )30m; 10 3m C)

R

1 3

D)

2 3

E) 3

3. Con los datos de la figura, halle senα + cos β

UNMSM. 2015-II (BCF) 1. Halle el valor de

Q

P

A)10π

a

UNMSM. 2015-II (ADE)

2

UNMSM. 2015-I (BCF)

2. En la figura, se muestra una escalera de longitud a unidades apoyada sobre un muro

TrigonometríaSJL-UNMSM

B )8 C )8π

D )9

M=

E )10

h

30° m

2. Halle el valor de

E = sec 2 21° − cot 2 69° + 1

A( 3; 0 )

A)1  3 −1 A)   a  2   3 D )   a  2 

3. Si 0 < α <

E=

sen( α −

 3 −1  3 + 1 B )   a C )   a 2    2   3 +2 E )   a  2 

π 2

π 2

Indique la expresión equivalente

B )2 C ) − 1

csc( α +

π 2

)

D) 2

sen( α + β ) − sen( α − β ) cos α − cos(θ − β ) − cos(θ + β ) senθ

α , β ,θ ∈ 0;

cos α D) senθ

A)

π 2

B )2

C )0

1 8

B )1 C ) − 1

D) − 2

E )0

un ángulo de elevación de 30° y 60° respectivamente. Determine la relación entre las alturas de las torres.

3. Indique la expresión equivalente a M=

2 2

2. Desde el punto medio del segmento que une los pies de dos torres, se observa sus extremos con

β

E )3 P( −3; −8 )

A)1 ) + tan( α + π )

A)

α

4 cos 180° − 3sen270° + sec 2 225° tan 360° − cot 315°

B)

1 5

C )1

D )0

E)

3 5

3 de la otra 4 2 B )Una es de la otra 3 C )Una es el doble de la otra A)Una es

D)Una es el triple de la otra 3 E )Una es de la otra 5

senθ E) cos α

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TrigonometríaSJL-UNMSM

UNMSM. 2016-I (ADE)

UNMSM. 2016-I (BCF)

1. Si tan( α + β ) = 33 y tan α = 3 halle tan β

1. Si β es un ángulo en posición normal con lado

A)

7 9

B)

7 10

C)

3 10

D)

1 30

E)

10 3

2. En la figura O es centro de la circunferencia y AB 5 = Halle senα OA 3

terminal situado en el segundo cuadrante y 3 tan β = − calcule el valor de cos 2β 4

A) − D)

8 25

6 25 7 E)− 25

C)−

B)

7 25

6 25

2. Exprese en segundos sexagesimales, la medida

A

de un ángulo de la milésima parte de 180°

A)720′′ D )725′′

α

B

O

B )525′′ E )680′′

3. En la figura

C )648′′

BM 2 = halle tan α MC 5 C 45°

A)5 D)

11 324

3 11 324

B)

5 324

E)

2 11 324

C)

5 6

M

α  π 3. Si arcsen(cos x ) = x; x ∈ 0;  ¿Cuál de las  2 siguientes afirmaciones es correcta?

A

A) A)arctan x = 1

B )x = arctan 1

C )senx cos x = 1

D )arc sec( 3 )x = 2

5 9

B

B)

4 9

C)

7 9

D)

3 4

E)

4 5

3 E )tan x = 2

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