OTPORNOST MATERIJALA II
Aleksandar Karač
Josip Kačmarčik
kancelarija 1111/Rektorat
Kancelarija 1215
tel: 449 129
tel: 449 120, lok 114
[email protected]
[email protected]
www.mf.unze.ba
FAULTET KATEDRE KATEDRA ZA MEHANIKE OM II (PTF-G)
O kursu Otpornost Materijala II ..... Izvođenje nastave • predavanja:
2 časa sedmično
• vježbe:
2 časa sedmično (auditorne + laboratorijske(?))
Obaveze studenata • redovno prisustvo predavanjima i vježbama • urađene zadaće (po poglavljima) – SVE PREDATO/KOLOKVIRANO DO KRAJA SEMESTRA!!! • seminarski rad (15-minutna prezentacija na kraju semestra) Cilj predmeta
• Ovladati naprednijim metodama neophodnim za rješavanje komplikovanijih problema iz oblasti mehanike materijala • Uvesti pojam nestabilnosti usljed izvijanja • Proširiti analizu opterećenja elemenata na plastično područje
Kompetencije (Ishodi učenja)
Po završetku kursa studenti će biti u stanju: • rješavati komplikovanije probleme iz oblasti savijanja • dizajnirati i analizirati konstrukcije izložene izvijanju na osnovu kriterija stabilnosti • primijeniti naprednije metode za rješavanje problema iz oblasti mehanike materijala • razlikovati i biti u stanju riješiti probleme s elementima opterećenim preko granice tečenja.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
2
O kursu Otpornost Materijala II ..... Provjera znanja • kolokviranje zadataka na vježbama • seminarski rad • pismeni ispit (zadaci) Konačna ocjena • prisustvo nastavi:
0%
• zadaće:
25 %
• testovi/seminarski:
25 %
• pismeni ispit:
50 %
(na ispitu se koristi lista formula/tabela dostupna na stranici kursa)!!!
Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!! Ocjena 6
55-64%
Ocjena 7
65-74%
Ocjena 8
75-84%
Ocjena 9
85-94%
Ocjena 10
95-100%
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
3
O kursu Otpornost Materijala II .....
Sadržaj/program kursa
(1) Koncentracija napona
1 sedmica
(2) Prostorno stanje napona
2 sedmice
(3) Savijanje greda – napredni kurs
5 sedmica
(4) Opterećenja elemenata preko granice tečenja
3 sedmice
(5) Izvijanje
2 sedmice
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
4
O kursu Otpornost Materijala II .....
LITERATURA osnovna • •
Predavanja, vježbe (sve dostupno na web stranici) Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003.
•
Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2004.
•
Rašković D., Otpornost materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
•
Rašković D., Tablice iz otpornosti materijala, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
•
Vukojević D., Teorija elastičnosti, Mašinski fakultet u Zenici, 1998.
•
Dž. Kudumović, S. Alagić, Zbirka Rješenih Zadataka iz Otpornosti Materijala, UNTZ, Tuzla, 2000.
dodatna • •
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
•
JM Gere, BJ Goodno, An Instructors Solution Manual to Accompany: Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
•
WA Nash, Theory and Problems of Strength of Materials, Schaum’s outline series, McGraw-Hill, 1998.
•
WC Young, RG Budynas, Roark’s formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill, Seventh Edition, 2002.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
5
O kursu Otpornost Materijala II .....
Obaveze studenata ZADAĆA 1: (1) + (2) + (3) Zadata: 10. mart 2015. Rok za predaju: 24. april 2015. (petak)
ZADAĆA 2: (3) + (4) + (5) Zadata: 21 april 2015. Rok za predaju: 05. juni 2015. (petak)
SEMINARSKI: Rok za predaju: 29. maj 2015. PREZENTACIJA: 02. juni 2015. Konsultacije Prema dogovoru/najavi!!! 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
6
O kursu Otpornost Materijala II .....
Korisne web stranice • MecMovies to Accompany Mechanics of Materials http://web.mst.edu/~mecmovie/ • Strength of Materials (SOM) - Notes, Tutorials http://www.onesmartclick.com/engineering/strength-of-material.html • CosmoLearning, Strength of Materials http://www.cosmolearning.com/courses/strength-of-materials/ • Elastic Beam Deflection Calculator http://www.aps.anl.gov/APS_Engineering_Support_Division/Mechanical_Operati ons_and_Maintenance/Calculators/ElasticBeam2.html • Free Mechanical Engineering Online Calculators http://www.freebyte.com/cad/calculator.htm • FREE STRUCTURAL SOFT WARES http://www.taxlians.com/html/freesoft.html
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
7
Koncentracija napona* Osnovni pojmovi Stanje sa visokim lokaliziranim naponima, mnogo većim od srednjih napona – usljed nagle promjene oblika, u blizini pukotina, rupa, usljed kontakta, ... Nominalni naponi u presjecima I i II
*D.J. Vitas I, str. 125-155
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
8
Koncentracija napona Osnovni pojmovi Maksimalni napon u presjeku II naponi
Geometrijski (statički) faktor koncentracije napona
Uobičajeno je da se za DUKTILNE materijale koncentracija napona kod statički opterećenih konstrukcija NE UZIMA u obzir, pošto prelazak granice proporcionalnosti ne dovodi do pucanja, nego se javlja tečenje (plastična deformacija) i očvršćavanje materijala. Za krte materijale i konstrukcije izložene dinamičkom opterećenju koncentracija napona MORA se uzeti u obzir u procesu dizajniranja. 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
9
Koncentracija napona Efektivni (dinamički) faktor koncentracije napona
Osjetljivost materijala na koncentraciju napona po Petersonu
Efektivni (dinamički) faktor koncentracije napona
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
10
Koncentracija napona Osnovni pojmovi Osjetljivost materijala na koncentraciju napona Kuhn-Hardrath formula
čelik
- Neuberova konstanta r
- radijus zakrivljenja žljeba
aluminij (poboljšan)
2014/15
aluminij (očvršćen)
OTPORNOST MATERIJALA II
11
Koncentracija napona
Utjecaj vrste naprezanja na koncentraciju napona 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
12
Koncentracija napona
Utjecaj vrste žljeba na koncentraciju napona 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
13
Koncentracija napona Metode za određivanje faktora koncentracije napona
1. 2. 3. 4.
Analitičko rješenje – teorija elastičnosti Eksperimentalne metode – fotoelasticimetrija, mjerne trake, ... Računarske simulacije – MKE, MKV, ... Teorija membrana – za probleme uvijanja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
14
Koncentracija napona Analitičko rješenje – dvodimenzionalni problem
Granični uslovi
Ravno stanje napona Ravno stanje naprezanja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
15
Koncentracija napona
Ravno stanje napona
2014/15
Ravno stanje naprezanja
OTPORNOST MATERIJALA II
16
Koncentracija napona Eksperimentalne metode Izračunati pomoću formule za savijanje za najmanji presjek
Stvarni raspored napona za presjek sa žljebom
Stvarni raspored napona
Izohomatske linije pokazuju stalne naponeske razlike, pa se na osnovu njihovog broja i gustine određuje faktor koncentracije napona. 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
17
Koncentracija napona Numeričke metode – računarske simulacije
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
18
Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
19
Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
20
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
21
Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
22
Koncentracija napona Aksijalno opterećeni spojevi Primjer 1.1:
Odrediti maksimalan normalni napon koji se javlja u šipki koja je opterećena na zatezanje silom od P=8 kN. Ako je dozvoljeni normalni napon šipke doz=120 Mpa, odrediti maksimalnu aksijalnu silu koja se može primijeniti.
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
23
Koncentracija napona Problemi savijanja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
24
Koncentracija napona Problemi savijanja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
25
Koncentracija napona Problemi savijanja Primjer 1.2:
Promjena širine poprečnog presjeka ploče ostvarena je pomoću prelaznog radijusa kao na slici. Ako se ploča optereti momentom savijanja od 5 kNm, odrediti maksimalni normalni napon koji se javlja u čeliku. Granica tečenja je ReH=500 MPa.
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
26
Koncentracija napona Problemi savijanja Primjer 1.3:
Šipka s žljebovima je opterećena dvjema silama P, kao što je prikazano na slici (tzv. Four-point band test, 4PBT). Odrediti najveću silu P koja se može primijeniti, a da napon ne pređe granicu tečenja. Materijal je čelik A-36 (Reh=250 MPa). Šipka na slici je opterećena silama intenziteta P=100 lbf (jedinica pound-force, 1lbf=4.448 N). Odrediti maksimalan napon usljed savijanja koji se javlja u šipki, te skiciraj raspodjelu napona po poprečnom presjeku šipke na sredini. Svaki žljeb ima poluprečnik od r=0.125 in (inch, col, 1 in = 25.4 mm)
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
27
Koncentracija napona Problemi uvijanja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
28
Koncentracija napona Problemi uvijanja Primjer 1.4:
Vratilo s prelazima, prikazano na slici, oslonjeno je u osloncima A i B pomoću ležajeva. Odrediti maksimalan napon u vratilu usljed primijenjenih momenata uvijanja. Radijusi zaobljenja na spojevima pojedinih dijelova vratila su r= 6mm.
RC Hibbeler, Mechanics of Materials, Prentice Hall, Eight Edition, 2011.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
29
Koncentracija napona Višestruka koncentracija napona
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
30
Koncentracija napona Redukcija koncentracije napona Analogija tečenja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
31
Koncentracija napona Redukcija koncentracije napona Uzljebljena ploča ili vratilo
Koncentracije napona Veći radijus
Dodatni žljebovi
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
32
Koncentracija napona Redukcija koncentracije napona Dodatni žljebovi i njihov oblik
2014/15
Ploča ili vratilo sa stepenastim prelazom
OTPORNOST MATERIJALA II
33
Koncentracija napona Mehanika loma - osnove
Koncentracija napona na rubu eliptičke rupe u ploči 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
34
Koncentracija napona Teorija mehanike loma • Pretpostavlja prisustvo pukotine • U slučaju da je zona tečenja oko vrha pukotine malena u odnosu na dimenzije, koristi se linearno-elastična mehanika (LEFM) – pretpostavlja se da se materijal ponaša po Hookovom zakonu • U slučaju da se javlja znatna plastična deformacija oko vrha pukotine, koriste se komplikovaniji pristupi od LEFM Vrste širenja pukotine
Tip I
2014/15
Tip II
Tip III
OTPORNOST MATERIJALA II
35
Koncentracija napona Intenzitet napona, K
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
36
Koncentracija napona
ravno stanje deformacija ravno stanje napona
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
37
Koncentracija napona
Lomna žilavost, KC Za KC < K razlikujemo: - stabilnu pukotinu (opterećenje je statičko i okolina nekorozivna) - spororastuću pukotinu (opterećenje promjenljivo i okolina nekorozivna) - brzorastuću pukotinu (okolina je nekorozivna)
Za KC K pukotina se širi do loma (brzina širenja može biti i nekoliko km/s)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
38
Prostorno stanje napona Opšte stanje napona Tenzor napona
Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje. Konvencija o predznaku napona Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj, desnoj i zadnjoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009. *Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
39
Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Materijal je izložen samo normalnim naponima (nema primijenjenih tangencijalnih napona).
Maksimalni tangencijalni napon
max z
x y
max y max x 2014/15
2
x z 2
y z 2
OTPORNOST MATERIJALA II
40
Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Hooke-ov zakon u tri dimenzije
x
1 ( x ( y z )) T E
y
1 ( y ( x z )) T E
z
1 z ( x y ) T E
x
1 E ((1 ) x ( y z )) T 1 1 1 2
y
1 E T ((1 ) y ( x z )) 1 1 2 1
z
1 E T ((1 ) z ( x y )) 1 1 1 2
Promjena volumena
e
2014/15
V 1 2 x y z ( x y z ) V0 E
OTPORNOST MATERIJALA II
41
Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje Deformacioni rad 1 W ( x x y y z z ) 2 1 ( x2 y2 z2 ) ( x y y z y z ) W 2E E E 1 ( x2 y2 z2 ) 2 x y x z y z W 2(1 )(1 2 )
“Sferično” naponsko stanje (pojam modula kompresije)
x y z 0 Svaka ravan je ravan glavnog napona, normalni napon u svakom pravcu je jednak, ni u jednoj ravni nema tangencijalnih napona Mohrov krug? 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
42
Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje “Sferično” naponsko stanje (pojam modula kompresije)
0
0 E
1 2
3 0 K
3 0 1 2 0 E K
E 3(1 2 )
modul kompresije ili zapreminski modul elastičnosti
- hidrostatički pritisak
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
43
Prostorno stanje napona Troosno naponsko stanje
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
44
Prostorno stanje napona Kombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
45
Prostorno stanje napona Kombinovana opterećenja (pomjeranje neutralne ose, jezgro presjeka)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
46
Prostorno stanje napona Ravno stanje napona - ponavljanje Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa.
xy yx
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
x y y x 1 1
1 1
47
Prostorno stanje napona Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi
x
x y
1
1,2
x y 2
2
x y 2 xy 2
x y
2
x y 2
1 1
U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi.
x y 2
cos(2 ) xy sin(2 )
sin(2 ) xy cos(2 )
12 0
2
max,min
x y 1 2 2 xy 2 2
U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi
x y 2
1 2 2
x y x y 1
1
Šta je s trećom dimenzijom? 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
48
Ravno stanje napona i primjena Hooke-ov zakon za ravno stanje napona
+
⇔ x
x E
y z 1 ( x y ) E 1 y ( y x ) E
z
E
2014/15
( x y )
y
x x E
x E
x
+
+ y
E
y E
z
xy yx G
y
G
E 2(1 )
E
1 ( x y ) T E 1 y ( y x ) T E
x
utjecaj temperature
z
E
(5.17)
( x y ) T
OTPORNOST MATERIJALA II
49
Ravno stanje napona i primjena Hooke-ov zakon za ravno stanje napona
x
1 ( x y ) E
1 y ( y x ) E
z
E
x
+
utjecaj temperature
( x y )
E ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 1 2
1 ( x y ) T E
1 y ( y x ) T E
z
x
x
+
utjecaj temperature
E
(5.17)
( x y ) T
E E ( ) T x y 1 2 1
E E y ( ) T y x 1 2 1
(5.18)
z 0
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
50
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija
Ravno stanje napona
z 0
z 0
xz 0
xz 0
yz 0
yz 0
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
51
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Ravno stanje napona
Naponi
Deformacije
z 0
yz 0
xz 0
Ravno stanje deformacija
xz 0
yz 0
x , y , xy
mogu biti različiti od 0
x , y , z , xy
xz 0
yz 0
z 0
x , y , z , xy
mogu biti različiti od 0
x , y , xy
mogu biti različiti od 0
xz 0
yz 0
mogu biti različiti od 0
Općenito, ravno stanje napona i ravno stanje deformacija ne dešavaju se istovremeno!!! ALI ....? 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
52
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije – normalna deformacija x1
y dy sin
x dx cos
xy dy cos
d x dx cos y dy sin xy dy cos
x1
d dx dy dy cos x cos y sin xy ds ds ds ds
dx cos ds 2014/15
dy sin ds
x1 x cos 2 y sin 2 xy sin cos OTPORNOST MATERIJALA II
53
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1
x
dx sin ds
y
1 2 3 x
dy cos ds
xy
dy sin ds
dx dy dy sin y cos xy sin ds ds ds
dx cos ds
dy sin ds 2014/15
( x y ) sin cos xy sin 2 OTPORNOST MATERIJALA II
54
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija
( x y )sin cos xy sin 2
Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1
x
dx sin ds
y
dy cos ds
xy
dy sin ds
( x y ) sin cos xy sin 2 2 2 2
( x y ) sin cos xy cos 2 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
55
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Jednačina transformacije – tangencijalna deformacija x1y1
( x y ) sin cos xy sin 2
( x y ) sin cos xy cos 2
x1 y1 2( x y )sin cos xy cos 2 sin 2 x1 y1 2
x1 x1 y1 2
( x y ) sin cos
x y 2
2014/15
x y
x y 2
2
xy
cos 2
sin 2
xy 2
2
cos sin
xy 2
2
sin 2
cos 2
2
x
x y
1
x y 1 1
2
x y
x y 2
OTPORNOST MATERIJALA II
2
cos(2 ) xy sin(2 )
sin(2 ) xy cos(2 )
56
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Glavne deformacije tg(2 )
1,2
xy x y
x y 2
2
x y xy 2 2
2
Maksimalna tangencijalna deformacija
2
1,2
x y xy 2 2
2
Mohr-ov krug deformacija
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
57
Prostorno stanje napona Ravno stanje deformacija Primjena jednačina transformacija Jednačine transformacije za ravno stanje napona mogu se koristiti i za napone kod ravnog stanja deformacija, pošto se u jednačinama ravnoteže ne javlja napon z.
x
x y 2
1
x y
x y 2
cos(2 ) xy sin(2 )
x y
sin(2 ) xy cos(2 ) 2 Analogno, jednačine transformacije za ravno stanje deformacija mogu se koristiti i za deformacije kod ravnog stanja napona, pošto z ne utiče na geometrijske ovisnosti. 1 1
x1 x cos 2 y sin 2 xy sin cos
x1 y1 2
( x y ) sin cos
xy
cos sin 2 2
2
I jedne i druge su validne za bilo koji materijal (linearan ili nelinearan)!!! Zašto? 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
58
Prostorno stanje napona Rozete mjernih traka Za mjerenje deformacija (napona) koriste se mjerne trake, koje mjere normalne deformacije. Za opšte stanje napona, najčešće se koriste klasteri mjernih traka – rozete. Mjerne trake su opterećene ravnim stanjem napona. Deformaciono stanje se može odrediti pomoću rozete s tri mjerne trake ukoliko se postave jednačine za sve tri trake, pa se riješi sistem jednačina po x, y i xy:
a x cos 2 a y sin 2 a xy sin a cos a b x cos 2 b y sin 2 b xy sin b cos b c x cos 2 c y sin 2 c xy sin c cos c 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
59
Savijanje greda - ponavljanje Naponi u gredi Normalni naponi
x
My Iz
Formula savijanja!!!!
Tangencijalni naponi
VQ Ib
Q ydA
Formula tangencijalnih napona!!!
A
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
60
Savijanje greda - ponavljanje Dimenzionisanje • Savojni i tangencijalni naponi ne prelaze dozvoljene napone • Grede su obično duge, pa su momenti savijanja veliki, a tangencijalni naponi služe kao konačna provjera. • Sekcijski modul treba ispunjavati: S z S gr
M max
doz
• Za jednostavne poprečne presjeke jednostavno je naći potrebne dimenzije, dok se za složene izabere oblik, pa onda dimenzije. • Nakon izbora provjerava se tangencijalni napon koristeći jedan od izraza
doz
VQ It
• Iako prethodni izraz ne predstavlja problem, za kratke i grede opterećene velikim tangencijalnim silama, te grede od drveta, neophodno je uzeti u obzir tangencijalne napone.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
61
Savijanje greda – napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka
JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
62
Savijanje greda – napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
63
Savijanje greda – napredni kurs Grede promjenljivog poprečnog presjeka
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
64
Savijanje greda – napredni kurs Koso savijanje
Opterećenje u ravni simetrije
2014/15
Opterećenje pod uglom na ose simetrije (koso savijanje)
OTPORNOST MATERIJALA II
65
Savijanje greda – napredni kurs Koso savijanje Predznak momenta savijanja
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
66
Savijanje greda – napredni kurs Koso savijanje Naponi savijanja
Neutralna osa
x
M yz Iy
tg( )
x
2014/15
M yz Iy
Mz y 0 Iz
y M yIz z MzIy
Mz y Iz
OTPORNOST MATERIJALA II
67
Savijanje greda – napredni kurs Koso savijanje
M y P sin L x M z P cos L x My Mz
tg
tg
Općenito
y M y Iz Iz tg z MzIy Iy osim:
• Opterećenje je u xy-ravni (z je neutralna osa) - =0 ili 180 • Opterećenje je u xz-ravni (y je neutralna osa) - =±90 • Iy=Iz
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
68
Savijanje greda – napredni kurs Koso savijanje
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
69
Savijanje greda - napredni kurs Elastična linija Kriva ugiba uzdužne ose koja prolazi kroz težište svih poprečnih presjeka grede – elastična linija.
Dijagram momenata
Elastična linija
2014/15
Tačka infleksije
Dijagram momenata
Tačka infleksije
Elastična linija
OTPORNOST MATERIJALA II
70
Savijanje greda - napredni kurs Elastična linija Relacija moment savijanja – zakrivljenost grede
x
y
y
x E x
x
Prije deformacije 2014/15
Poslije deformacije OTPORNOST MATERIJALA II
My Iz
Ey
E y
1
M EI z
Tačka infleksije M=0
71
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije
Zakrivljenost funkcije v=f(x)
1
1
1
M EI z
d 2 v / dx 2 1 dv / dx 2
3/ 2
d 2 v / dx 2 1 dv / dx 2
3/ 2
M EI z
Elastika – tačan oblik elastične linije (usljed momenta savijanja!!!)
Usljed ispunjenja tolerancije ili estetskih razloga, većina vratila i osovina ima plitku elastičnu liniju, pa vrijedi da je dv/dx veoma malo!!!
1
2014/15
d 2 v / dx 2 1 dv / dx 2
3/ 2
M d 2v M 2 EI z dx EI z
OTPORNOST MATERIJALA II
72
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije
d 2v M 2 dx EI z
+ (5.16) i (5.17)
Jednačina momenta savijanja
dM d d 2v V ( x) EI 2 =V x dx dx dx
Jednačina smičućih/transferzalnih sila
d 2M d 2 d 2v dV w x EI w x ( ) = w x dx 2 dx 2 dx 2 dx
Jednačina opterećenja
Za EI=const d 2v EI 2 M ( x) dx
2014/15
d 3v EI 3 V x dx
d 4v EI 4 w x dx
OTPORNOST MATERIJALA II
73
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije
d 2v M ( x) dv M ( x) M ( x) dx C v dx C 1 1 dx C2 E ( x) I z ( x) dx 2 E ( x) I z ( x) dx E ( x) I z ( x)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
74
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Konvencija o predznaku (M, F, v)
• pozitivni ugib nagore • pozitivni nagib se mjeri suprotno kretanju kazaljke na satu u odnosu na x-osu koja je pozitivno usmjerena prema desno, i obrnuto
d 2v M ( x) dv M ( x) M ( x) dx C v dx C 1 1 dx C2 E ( x) I z ( x) dx 2 E ( x) I z ( x) dx E ( x) I z ( x)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
75
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Granični uslovi Neophodni za izračunavanje konstanti integracije
d 2v M ( x) dv M ( x) M ( x) dx C v dx C 1 1 dx C2 E ( x) I z ( x) dx 2 E ( x) I z ( x) dx E ( x) I z ( x)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
76
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Uslovi kontinuiteta
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
77
Savijanje greda - napredni kurs Primjer 4.1: Greda na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
78
Savijanje greda - napredni kurs Primjer 4.2: Konzola na slici opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti jednačinu elastične linije, maksimalni ugib, te nagibe u tačkama oslonca, ako je EI=const.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
79
Savijanje greda - napredni kurs Grede s više polja Opterećenja ili ugibi/nagibi ne mogu se predstaviti jednom funkcijom 1. Greda se dijeli na polja na način da su veličine kontinuirane 2. Izvodi se integracija po poljima 3. Određuju se konstante integracije iz graničnih i uslova kontinuiranosti
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
80
Savijanje greda - napredni kurs Primjer 4.3: Za gredu na slici opterećenu vertikalnom silom P, odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
81
Savijanje greda - napredni kurs Ugib i nagib grede pomoću integracije Metoda Clebsch-a (i Macaulay-a ) Više diferencijalnih jednačina po poljima se svodi na jednu – univerzalna elastična linija 1. koordinatni početak izabrati na lijevom kraju grede, 2. u svakom polju raspona grede u kome se mijenja napadni moment uzeti promjenljivu (z - ai), gdje je ai lijeva granica tog polja grede, 3. napadni moment u sljedećem intervalu mora biti jednak napadnom momentu prethodnog intervala uvećan za član koji sadrži binom (z - ai); za slučaj djelimično kontinualnog opterećenja to se postiže produženjem kontinualnog opterećenja do kraja grede uz istovremeno oduzimanje istog tog opterećenja, 4. integracione konstante C1 i C2 javljaju se samo u prvom polju integrala diferencijalne jednačine elastične linije grede, a određuju se iz uslova oslanjanja grede.
2014/15
M (z) = FA z -
q 2 q z + (z - a1 )2 - F (z - a2 ) + M (z - a3 )0 2 2
OTPORNOST MATERIJALA II
82
Savijanje greda - napredni kurs Primjer 4.4: Za gredu na slici opterećenu vertikalnim silama P, Odrediti jednačinu elastične linije, te maksimalan ugib, ako je EI=const.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
83
Savijanje greda - napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Broj nepoznatih (reakcija, veza) veći od broja jednačina (statičkih uslova) ravnoteže!!!
q
a)
c)
b)
q
M
q
T1 T2 d)
e)
f)
Metoda sila Metoda pomjeranja/deformacija Metoda superpozicije ( + metoda tri momenta, Clapeyronova jednačina) Metoda integracije (preko elastične linije) itd... 2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
84
Savijanje greda - napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda integracije
1. Postave se jednačine ravnoteže 2. Postavi se dodatna jednačina elastične linije 3. Koristeći granične uslove, riješi se sistem jednačina
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
85
Savijanje greda - napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
86
Savijanje greda - napredni kurs Statički neodređeni gredni nosači Metoda superpozicije – ukrštene grede
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
87
Izvijanje*
*JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009. *Grupa autora, Elastostatika II, Tehnički fakultet, Bihać, 2003
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
88
Izvijanje Osnovne karaktersitike i pojmovi Stabilnost aksijalno pritisnutih elemenata Umjesto kriterija čvrstoće (vrijednosti glavnih normalnih ili najvećih tangencijalnih napona ne prelaze kritične vrijednosti), ili kriterija krutosti (deformacije ne prelaze kritične veličine) kriterij koji se primijenjuje kod izvijanja je kriterij stabilnosti.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
89
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja Prelaz iz stabilnog u nestabilne uslove nastaje pri specifičnoj aksijalnoj sili, Fkr – kritična sila. Za određivanje kritične sile koristi se diferencijalna jednačina elastične linije grede.
d 2v EI 2 M dz
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
90
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja a) Konzola d 2v EI 2 M dz
d 2v EI 2 F ( v) dz d 2v k 2 v k 2 2 dz
v(0)
v '( L) 0,
F EI
v A cos kz B sin kz
A0 v ( L) 0
B cos kl 0 kl 2n 1
k
2
B sin kl n 1, 2,3
z n v 1 1 sin 2n 1 l 2 2014/15
sin(kz ) v 1 sin(kl )
n 1, 2,3 OTPORNOST MATERIJALA II
Osnovna forma izvijanja n 1
Fkr
2 EI
2l
2
kl l
Fkr EI 2
I I min 91
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja a) Konzola – viši harmonici
Fkr ,n 2n 1
2014/15
2
2 EI
2l
2
OTPORNOST MATERIJALA II
92
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja b) Prosta greda d 2v EI 2 M dz d 2v EI 2 Fv dz
k
d 2v 2 k v0 2 dz
F EI
v A cos kz B sin kz
v(0) 0
A0
v '( L) 0
B sin kl 0
F kl l kr n EI
Fkr n
2 2 EI
2014/15
Osnovna forma izvijanja n 1
n 1, 2,3
Fkr Fe
2 EI l2
I I min
l2 OTPORNOST MATERIJALA II
93
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja c) Greda s uklještenjem d 2v EI 2 M dz d 2v EI 2 vF zY dz
k
d 2v Y Y 2 2 k v z k z 2 dz EI F
F EI
v(0) 0
A0
v( L) 0
B sin kl
v '( L) 0
v A cos kz B sin kz
Y l F Y B cos kl kF
Y z F
tg kl kl
Osnovna forma izvijanja Fkr kl 2014/15
2
2
EI kl 2 EI 2 EI 2 EI 2 2 l2 l2 0.7l / kl l
OTPORNOST MATERIJALA II
94
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja d) Greda s dva uklještenja d 2v EI 2 M dz d 2v EI 2 Fv M dz M d 2v 2 k v dz 2 EI
k
F EI
v A cos kz B sin kz M F
v(0) 0
A
v '(0) 0
B0
1 cos kl 0
v( L) 0,
v '( L) 0
F kl l kr 2n EI Fkr 4n
2
2 EI
2014/15
l
n 1, 2,3
M F
Osnovna forma izvijanja n 1
Fkr Fe
2
OTPORNOST MATERIJALA II
2 EI
0.5l
2
I I min
95
Izvijanje Euler-ova (Ojler) kritična sila izvijanja – osnovna forma
Fkr
a) Konzola b) Prosta greda c) Greda s uklještenjem d) Greda s dva uklještenja
lr – redukovana dužina Fkr
kr
2 EI lr 2
EI 2
lr 2 A
2014/15
I I min
Fkr Fkr
Fkr
2 EI
2l
I I min
2
2 EI
I I min
l2
2 EI
0.7l
2
2 EI
0.5l
2
I I min
I I min
Vitkost štapa odnos redukovane dužine i minimalnog poluprečnika inercije l kr r i2
A I min
2E K kr 2 2
I I min OTPORNOST MATERIJALA II
96
Izvijanje (u elastičnom području) Primjer 5.1: Stub od aluminijuma je fiksiran na dnu te učvršćen na vrhu pomoću užadi kako bi se onemogućilo pomjeranje u pravcu x-ose, kao što je prikazano na slici. Odrediti najveću dozvoljenu silu P koja se može primijeniti, ako je faktor sigurnosti protiv izvijanja jednak 3. Uzeti da je E=70 GPa, ReH=215 MPa, A=7500 mm2, Ix=61.3·106 mm4, Iy=23.2·106 mm4.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
97
Izvijanje (u elastičnom području) Primjer 5.2: Platforma za osmatranje se oslanja nizom aluminijskih cijevi dužine 3.25 m, vanjskog prečnika 100 mm. Osnove cijevi su učvršćene u betonsku bazu, dok su gornji dijelovi spojeni s platformom. Cijevi su dizajnirane da izdrže opterećenje od 100 kN. Odrediti najmanju dozvoljenu debljinu cijevi ako je faktor sigurnosti jednak 3. Uzeti da je E=72 GPa, te granica proporcionalnosti 480 MPa.
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
98
Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) d 2v EI 2 M dx d 2v EI 2 P(e v) dx d 2v k 2v k 2e 2 dx
k
v(0) 0
Ae
v( L) 0
Be
P EI
v A cos kx B sin kx e
1 cos kL L e tan k sin kL 2
L v e cos kx tan k sin kx 1 2
Maksimalni ugib vmax
L e sec k 1 2
2014/15
Formula sekante L M P e vmax Pe sec k 2
max
P L P Mc P ec 1 2 sec 2 A I A r EA r
r
OTPORNOST MATERIJALA II
I A 99
Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante) L vmax e sec k 1 2
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
100
Izvijanje Ekscentrično izvijanje (formula sekante)
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
101
Izvijanje Izvijanje u plastičnom području Engesserov postupak
Neelastična deformacija (kratke i srednje duge šipke)
cr
Elastična deformacija (duge šipke)
2 Et KL r
2014/15
2
OTPORNOST MATERIJALA II
102
Izvijanje Izvijanje u plastičnom području Ostali postupci ....... a) Empirijski obrasci (Tetmeier, Ostenfeld - Johnson) b) Omega metoda c) Energetska metoda d) Ritz-ova metoda
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
103
Izvijanje
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
104
Informacije o polaganju pismenog dijela ispita 1. Ispit sadrži 4-5 zadataka, od kojih svaki nosi 15-25% bodova iz sljedećih oblasti a.
Koncentracija napona – računski zadatak (15-20%)
b.
Primjena ravnog stanja napona: ekscentrični pritisak – računski zadatak (15-20%)
c.
Savijanje: koso savijanje – računski zadatak (15-20%)
d.
Savijanje: određivanje elastične linije (primjena metoda integracije, superpozicija, Clebsch) (15-25%)
e.
Savijanje: statički neodređeni problemi (20-25%)
f.
Izvijanje – računski zadatak (15-20%)
2. Dozvoljeno je koristiti formule i tabele koje se mogu naći na web-stranici kursa 3. Obavezno ponijeti kalkulator, te 2-3 prazne dvolisnice A4 formata 4. Ispit traje 135 minuta
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
S R E T N O !!!
2014/15
OTPORNOST MATERIJALA II
