Précis de Cinématique

 

Claire BRANS Myriam CORNET Nicole COUSSAERT  Arlette DAMBREMEZ Eveline FOREST Liliane GUSMAN

PrŽcis de CinŽmatique U. L. B. - Atelier de physique coordonnŽ par G. GUSMAN 1994-1995

Les Cahiers du CeDoP

 

PrŽface

Ce texte est le rŽsultat du travail des membres de lÕatelier de physique au cours de lÕannŽe 1994-1995. Des professeurs de la CommunautŽ fran•aise, de la Ville de Bruxelles et de lÕULB se sont rŽunis de nombreuses fois pour confronter leurs expŽriences pŽdagogiques, rŽflŽchir ˆ la didactique de leur discipline sur un point particulier, la cinŽmatique, et finalement proposer ce texte. DÕabord, il nous a semblŽ que notre travail devait sÕarticuler autour de la matire qui fait partie de celle des classes terminales du secondaire tout autant que du dŽbut de lÕenseignement supŽrieur, universitaire et non universitaire, dans des sections o la physique est une matire enseignŽe en premire annŽe. CÕest donc ˆ cette pŽriode clŽ dans la vie dÕun Žtudiant que nous avons pensŽ. Il Žtait Žvident que la base de tout le cours de physique Žtait la cinŽmatique et que cÕŽtait lˆ que notre effort devait porter. Dans quel esprit devions-nous travailler ? Ds le dŽbut, nous voulions faire un texte ˆ usages multiples. Mais, en mme temps, nous ne voulions pas dÕun cours. Il est en effet essentiel que chaque enseignant donne un cours adaptŽ ˆ sa personnalitŽ propre tout autant quÕˆ la classe ˆ laquelle il sÕadresse. DÕautre part, il existe suffisamment de bons livres que nous pouvons recommander. Malheureusement, ils sont souvent chers ; il faut donc choisir. De plus, ils contiennent de nombreux chapitres non nŽcessairement adaptŽs aux besoins spŽcifiques de la classe. CÕest pourquoi nous avons optŽ pour un prŽcis de cinŽmatique.  A qui ces notes sÕadressent-elles sÕadressen t-elles ? Aux professeurs p rofesseurs pour quÕils les consultent peutp euttre comme on consulte un dictionnaire : pour se rappeler une dŽfinition rigoureuse, pour Žtudier avec leurs Žlves, de fa•on approfondie, quelques problmes exemplaires qui ont ŽtŽ sŽlectionnŽs dans ce but, aussi pour leur suggŽrer de rŽsoudre les autres problmes. Mais nÕoublions pas les Žlves, qui peuvent utiliser cette brochure comme rŽfŽrence, peut-tre comme un mŽmento exempt, nous lÕespŽrons, des fautes inŽvitables dues ˆ des expressions mal recopiŽes du tableau noir. Pourquoi ces notes ne sÕadresseraient-elles pas aux Žlves qui se sont trompŽs, qui ont suivi un cours de physique du niveau faible et qui dŽcouvrent que beaucoup de notions, par trop rigoureuses ou techniquement exigeantes, leur font dŽfaut ? Ce texte les aidera ˆ compenser leur manque de formation, seuls ou Žventuellement avec une aide extŽrieure. Pensons aussi ˆ certains Žtudiants de lÕenseignement supŽrieur, universitaire ou non, qui sont effrayŽs par les mots employŽs et surtout par le rythme rapide qui ne leur permet pas dÕtre ˆ la fois attentifs pour comprendre et aptes ˆ prendre des notes correctes et compltes. Cet abrŽgŽ peut certainement les aider pendant ces premires heures o, trop souvent, leur rŽussite ou leur Žchec se  joue dŽjˆ. De toute fa•on, nous serons heureux de conna”tre les rŽactions suscitŽes parmi les Žlves qui auront parcouru ces pages. Nous en tiendrons compte dans notre travail futur.

 

Je voudrais surtout souligner la grande joie que jÕai eue personnellement ˆ rencontrer ces professeurs et ˆ travailler avec eux. JÕai appris ŽnormŽment ˆ leur contact surtout en ce qui concerne ce qui est rŽellement ressenti comme difficile par un Žtudiant de premire candidature. Il est parfois surprenant de constater que les vraies difficultŽs ne sont pas du tout lˆ o lÕenseignant croit les trouver. Peut-tre la cinŽmatique appara”tra-t-elle un peu plus facile ˆ certains Žtudiants. CÕest ˆ ces collgues du secondaire quÕils le devront. Je remercie mes collgues Claire Brans, Myriam Cornet, Nicole Coussaert, Arlette Dambremez, Eveline Forest et Liliane Gusman, dÕavoir consacrŽ autant dÕheures de leurs loisirs ˆ ce travail et dÕtre venues aussi rŽgulirement. Il Žtait essentiel que nous fussions nombreux pour avoir des approches aussi variŽes que possible. Merci aussi ˆ tous leurs Žlves qui ont bien voulu lire le projet initial de ce texte. Leurs remarques nous ont fort aidŽs. Peut-tre nous retrouverons-nous lÕan prochain dans un nouvel atelier afin de poursuivre cette rŽflexion ?

Guy GUSMAN

 

Table des mati•res

1. Int Introd roducti uction.................................... on........................................................... .............................................. .............................................2 ......................2 2. Vec Vecteur teur positio position n .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................. ...... 4 Exempl Exe mple e 1................................................... 1.......................................................................... .............................................. ......................... .. 5 3. Vec Vecteur teur vitesse...... vitesse............................. .............................................. .............................................. .............................................. ......................... .. 6 3.1.. Vit 3.1 Vitess esse e moyenne................... moyenne.......................................... .............................................. ............................. ...... 6 3.2.. Vit 3.2 Vitess esse e instanta instantanŽe nŽe ............................................ ..................................................................7 ......................7 Exempl Exe mple e 2................................................... 2.......................................................................... .............................................. ......................... .. 8 4. Vec Vecteur teur accŽlŽ accŽlŽrat ration......... ion................................ .............................................. .............................................. .....................................9 ..............9 4.1. AccŽlŽration moyenne...............................................................9 4.2. AccŽlŽratio AccŽlŽration n instantanŽe instantanŽe ........ ................ ................ ................ ................. ................. ................ .......... 10 Exempl Exe mple e 3................................................... 3.......................................................................... .............................................. ......................... .. 10  Application pratique 1 : le mouvement circulaire uniforme .....................11

4.3. Composantes Composantes normal normale e et tangentielle tangentielle de lÕaccŽlŽrat lÕaccŽlŽration........... ion.............. ... 12 Exempl Exe mple e 4................................................... 4.......................................................................... .............................................. ......................... .. 15 Exempl Exe mple e 5................................................... 5.......................................................................... .............................................. ......................... .. 16  Application pratique 2 : le saut ou tir parabolique ..................................17

5. Passage de lÕaccŽlŽra lÕaccŽlŽration tion ˆ la vitesse et ˆ la position par intŽgration.. intŽgration.......... ................ .......... 20 5.1. Le mouvement rectiligne uniforme............................................21 5.2. Le mouvement mouvement rectilign rectiligne e uniformŽment uniformŽment accŽlŽrŽ accŽlŽrŽ ............... ....... ............... ....... 22  Application pratique 3 : la livrŽe dÕune balle de tennis.............................23

6. IntŽgration et dŽrivation graphiques...................................................................25  Application pratique 4 : une balle qui rebondit .......................................26

Exercices complŽmentaires non rŽsolus.......................................................28

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1

 

1. Introduction

Le but de la cinŽmatique est de dŽcrire de fa•on quantitative le mouvement dÕobjets sans sÕintŽresser aux causes qui les produisent. Les questions auxquelles nous allons essayer de rŽpondre sont : - O se trouve un objet ? - Bouge-t-il ? Comment, rapidement, lentement ?   Va-t-il se dŽplacer de plus en plus vite ? ou, au contraire, freine-t-il ? - O se trouvera-t-il dans quelques minutes ? etc. mais ne seront pas :

- Pour quelle raison tourne-t-il ?

- Ou, quelle est la cause de sa chute ? Cela reviendra ˆ Žtudier systŽmatiquement la position, la vitesse et lÕaccŽlŽration dÕun objet en mouvement et ˆ dŽfinir les relations qui lient ces trois grandeurs physiques. Pour commencer, nous allons simplifier le travail en assimilant les objets dont nous dŽcrirons le mouvement ˆ des petites particules, des points matŽriels, cÕest-ˆdire des mobiles ponctuels qui seraient semblables ˆ des objets rŽels vus de trs loin, une voiture qui se dŽplace le long dÕune route vue dÕavion, par exemple. Par la suite, notre description pourra tre affinŽe et nous pourrons nous intŽresser au mouvement dÕune partie de lÕobjet par rapport ˆ une autre telle que la rotation des roues autour de leur axe ou celle du volant produite par le conducteur. Nous dŽcrirons la position et le mouvement dÕun objet par rapport ˆ dÕautres objets pris comme rŽfŽrence tels quÕun Žlve par rapport ˆ la classe, la craie par rapport au tableau, la lune par rapport ˆ la terre ou au soleil. Comme le mme objet peut tre regardŽ par plusieurs personnes ayant des positions diffŽrentes, il faut donc prŽciser le systme de rŽfŽrence ou le repre que chacun utilise. Il est bien sžr commode que les diffŽrents observateurs se servent tous de la mme horloge (pour quÕils fassent du mme ŽvŽnement des descriptions synchrones) et du mme systme dÕunitŽs (pour que les dimensions dÕun mme objet ne varient pas suivant le repre choisi ; ces conditions sont rŽalisables en mŽcanique non relativiste o les vitesses sont trs petites comparŽes ˆ 3.108  m s -1, la vitesse de la lumire.

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De fa•on gŽnŽrale, nous travaillerons dans les unitŽs du S.I., soit en mtres (m) pour les longueurs et en secondes (s) pour les temps, sauf si, pour des raisons de commoditŽ, on en emploie dÕautres (on dira couramment que la terre met 1 an ˆ parcourir sa trajectoire autour du soleil plut™t que 31.10 6  s) ; dans ce cas, on le prŽcisera dans lÕŽnoncŽ. Pour simplifier les dessins (sans restreindre la gŽnŽralitŽ du texte), nous allons regarder le mouvement dÕun point P ˆ deux dimensions, reprŽsentŽ dans le plan de lÕune de ces feuilles de papier. Quand P se dŽplace, il passe par un ensemble de points formant une courbe appelŽe sa trajectoire. Nous pouvons faire dÕun mme mouvement une description plut™t gŽomŽtrique ou plut™t algŽbrique. Nous prŽsenterons ces deux points de vue Žquivalents en juxtaposant, ˆ gauche une description gŽomŽtrique et, ˆ droite une Žtude analytique.

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2. Vecteur position

Pour dŽcrire le mouvement du point P sur cette feuille de papier, il faut choisir une origine O qui servira de point de repre.

P(t)

y

P(t)

y(t)

® r(t)

®

trajectoire

r(t)

. O

®

1y ®

O

x

x(t)

1x

La position de P est repŽrŽe ˆ chaque instant par le vecteur r   tracŽ ˆ partir de lÕorigine O. Ce vecteur r   a une valeur r (ou norme, moduleÉ), une direction (ou droite dÕaction) et un sens (indiquŽ par la flche).

Nous avons choisi un repre orthonormŽ   Oxy, et des vecteurs unitŽ 1x et 1y   sur chacun des axes. Dans ce repre, la position de P est donnŽe, en cm, par :

La trajectoire de P est le lieu gŽomŽtrique de toutes les positions de lÕextrŽmitŽ de r .

On peut Žcrire ce mme vecteur de plusieurs fa•ons diffŽrentes :

r

r

r

r

r   = (2, 3)

 

r

r

r

r  = 2 1x + 3 1y r

 

ou encore sous dÕautres formes telles que : r

r

r  = 2 i + 3 j

 

  ou

®

®

r  = 2 e1   + 3 e2  

 

Si on travaille ˆ 3 dimensions, on ajoutera une composante suivant z et on aura par exemple pour le vecteur position r  = (2, 3, 1). Dans la suite, nous nous limiterons le plus souvent ˆ deux dimensions. r

DÕune fa•on gŽnŽrale, la position dÕun point peut tre prŽcisŽe ˆ un certain instant t par un vecteur dont les composantes x et y sont donnŽes (calculŽes ou mesurŽesÉ) ˆ cet instant dans un repre orthonormŽ Oxy : r

 

r

r (t) = (x (t), y (t))

ou

r

r (t) = x (t) 1x  + y (t) 1y   ou r

 

r

r (t) = x (t) i  + y (t) j   É

 

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x(t) et y(t) correspondent aux coordonnŽes des projections du point respectivement sur les axes Ox et Oy ˆ lÕinstant t considŽrŽ. Remarquons que dÕautres repres sont parfois utilisŽs tels que la longitude et la latitude employŽes par les gŽographes et les navigateurs. Maintenant que nous savons repŽrer la position dÕun point, nous pouvons nous demander quelle est lÕŽquation de la trajectoire de lÕobjet. Comme cette courbe gŽomŽtrique est indŽpendante du temps (la trajectoire de la terre autour du soleil est une ellipse dont le soleil occupe un des foyers et aujourdÕhui, la terre est quelque part sur cette trajectoire), il faut donc Žliminer ce paramtre temps t des Žquations paramŽtriques pour trouver lÕŽquation de la trajectoire.

E XEMPLE 1

 

r (t) = (2 t 2, t2 - 1) r

y

ou sous la forme paramŽtrique : x(t) = 2 t 2 

et

y(t) = t2 - 1

 A partir par tir de la premire prem ire de ces Žquations : t2 =

t2

x   2

->

1

0

1

2

3

4

x

-1

y = 0,5 x - 1

Il sÕagit visiblement dÕune droite, ou plus prŽcisŽment dÕune demi-droite puisque ³ 0 et donc, x nÕest jamais < 0.

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3. Vecteur vitesse  3.1. Vitesse moyenne moyenne

y

P(t)

® Dr Dt

® r(t)

P(t)

y(t)

® Dr

P(t +D t)

D y / Dt

Dy

®

Dr Dt

y(t+ Dt)

P(t +D t) ®

Dr

® r(t+ D t)

D x / Dt

.

®

1y

O

O

®

1x

x(t)

Dx

x(t+ Dt)

x

La position de P est repŽrŽe ˆ lÕinstant t par r (t), un peu plus tard, ˆ lÕinstant t + D t, elle sera indiquŽe par r (t + D t). Si ces deux vecteurs sont diffŽrents, P sÕest dŽplacŽ de D r  = r (t + Dt) - r (t).

Comme on a divisŽ   le vecteur D r  par le  scalaire  Dt, cela veut dire que lÕon divise chacune des composantes de D r  par Dt :

Nous pouvons nous demander si ce dŽplacement est important ou non par rapport ˆ lÕintervalle de t e m p s D t. Pour rŽpondre ˆ cette question, nous diviserons le dŽplacement D r   par Dt et dŽfinirons la vitesse moyenne  au cours de cet intervalle de temps Dt , < v > t ; t+ D t  ,

 

r

r

 

r

 

r

r

r

r

< v  > = ( r

 

x(t  + Dt) - x(t ) y(t  + Dt) - y(t )  )  , Dt Dt

= (

Dx , Dy  )     Dt Dt

qui reprŽsente la vitesse moyenne entre t et t + D t.

r

 

r

 

r

Pour la clartŽ du dessin ci-dessus, les vecteurs r (t) et r (t + D t) nÕont pas ŽtŽ reprŽsentŽs. r

r

que nous Žcrirons < v > afin dÕallŽger la notation :  

r (t + Dt) - r (t) Dr    < v  > =   = Dt Dt r

r

r

r

 

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 3.2. Vitesse instantanŽe instantanŽe Mais attention, si l'on regarde une voiture qui part de Bruxelles, va ˆ Ostende et revient deux heures plus tard ˆ son point de dŽpart, suivant cette dŽfinition, sa vitesse moyenne au cours de ces deux heures est nulle puisque le dŽplacement total au bout de ces deux heures est nul alors que lÕespace parcouru ne lÕest pas. Donc, il faut tre prudent et prendre des intervalles de temps suffisamment petits ; du point de vue mathŽmatique, on fera tendre D t vers zŽro ; dans ce cas, on remplace D t par dt. Bien Dr  entendu, le dŽplacement tend aussi vers zŽro, on lÕŽcrit d r  et il faudra calculer la limite   Dt pour Dt ® 0. r

r

 

 

CÕest la vitesse instantanŽe, ou plus brivement la vitesse, qui s'obtient donc en calculant la vitesse moyenne pour un intervalle de temps de plus en plus court. P(t)

y

®

v(t)

®

Dr ®

P(t)

vy

®

v(t)

Dt

r ( t)

P(t +Dt)

®

r (t + D t)

.

®

1y

sens du mouvement

O

O

r

®

x

vx

1x

 Aprs avoir reprŽsentŽ r  ˆ l'instant t, nous reprŽsentons r   + D r  ˆ l'instant t + Dt. Le vecteur vitesse s'obtient en calculant le rapport entre le vecteur D r   et le scalaire D t, puis en faisant tendre Dt vers 0.

Nous trouverons donc la vitesse dÕun objet de vecteur position r (t) en dŽrivant  r (t) par rapport au temps :

MathŽmatiquement,

 A lÕaide du thŽorme de Pythagore, on

r

r

 

r

 

la

vitesse

instantanŽe se dŽfinit d r (t): D r donc (t) comme v (t) = lim     =  Dt ® 0   Dt dt dŽrivŽe de r (t) par rapport ˆ t. r

r

r

 

 

 

r

DÕautre part, on remarque que la direction du vecteur D r , de sŽcant ˆ la trajectoire au dŽpart, devient progressivement tangent  ˆ celle-ci lorsque D t ®  0 et que son sens correspond ˆ celui du mouvement. r

 

r

r

r

dx , dy d r (t)   ) = (vx , v y)     =( v (t) = dt dt dt r

 

 

peut, ˆ partir de v x et de vy  , calculer la valeur de la vitesse (en anglais Ç speed È) ˆ lÕinstant t : v =+

vx 2 + vy  2 

ainsi que lÕangle entre ce vecteur v (t) et lÕun des axes ; par exemple, lÕangle a   entre v (t) et lÕaxe x se calculera ˆ partir de sa tangente : vy  tg a = vx r

r

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dy   , se note dx parfois y Õ, on Žcrit quelquefois la dŽrivŽe de la position par rapport au temps sous la De mme que la dŽrivŽe de y par rapport ˆ une variable dÕespace x,

forme :

.

. .

d r (t) r  =   = ( x  , y  ) dt r

r

 

 

La vitesse s'exprime en m s -1 dans le S.I. Rappelons que 1 m s -1 vaut 3,6 km h-1.

E XEMPLE 2 Reprenons le problme prŽcŽdent o r (t) = (2 t2, t2 - 1). r

v (t) = (4 t , 2 t).

La vitess vitesse e est donnŽ donnŽe e par :  A titre dÕexemples :

r

v (- 2) = (- 8, - 4) r

v (0) = (0, 0) r

v (1) = (4, 2)

et

r

Ces trois vitesses montrent que lÕon dŽcrit le mouvement dÕun objet qui se dirige vers lÕorigine lÕorigine pour t < 0, touche lÕax lÕaxe e des y ˆ lÕinstant t = 0, fait demi-tour, puis repart dÕo il vient pour t > 0. Si lÕon calcule les valeurs de ces trois mmes vitesses, on aura :  v (- 2) @ 8,9 m s-1 

v (0) = 0

et

v (1) @ 4,5 m s-1

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4. Vecteur accŽlŽration r

Il est important de remarquer que si v (t) ¹  0 , cela signifie une modification ˆ l'instant t d'au moins  une des tro trois is caractŽristiques caractŽristiques du vecteur r (t), sa direction,  senss  ou encore sa valeur v(t). Nous allons refaire exactement le mme type de son  sen r

r

r

raisonnement pour voir comment la vitesse v (t) varie au cours du temps et nous allons construire le vecteur accŽlŽration  a (t). r

 4.1. AccŽlŽration AccŽlŽration moyenne Regardons le point P en deux instants voisins, t et t + D t. La vitesse a visiblement changŽ et nous voyons sur le dessin que v (t + Dt) = v (t) + D v . r

r

r

 

La variation relative de la vitesse au cours de lÕintervalle D t est donnŽe par lÕaccŽlŽration moyenne :

Dv    Dt r

< a  > = r

 

P(t) ® v(t) P(t +Dt)

®

v(t) ®

v(t+D t)

®

v(t+D t)

®

Dv

DÕun point de vue algŽbrique, ceci nous amne ˆ dŽfinir lÕaccŽlŽration comme la dŽrivŽe de la vitesse et ˆ calculer ses composantes dans le repre Oxy :

sens du mouvement

Dv    Dt r

< a  > = r

Remarquons tout de suite que la direction de D v , cÕest-ˆ-dire celle de

=(

r

 

Dvx  Dvy   ,  ) Dt Dt

 

r

 < a   > est diffŽrente de celles de chacun des deux vecteurs v (t) et v (t + Dt). r

r

=(

vx(t + Dt) - v x(t)

Dt

 ,

vy(t + Dt) - v y(t)

Dt

 )

 

En effet, de fa•on gŽnŽrale, le vecteur < a   > nÕa pas de raison dÕtre tangent ˆ la trajectoire. Nous reviendrons sur ce point un peu plus loin dans le texte. r

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 4.2. AccŽlŽration AccŽlŽration instantanŽ instantanŽee Une fois de plus (comme prŽcŽdemment), nous allons passer ˆ la limite D t lÕaccŽlŽration instantanŽe.

®  0

pour obtenir

Par dŽfinition : dvy  dvx  D v (t) d v (t)   )  ,   =   = ( a (t) = lim Dt ® 0   Dt dt dt dt r

r

r

 

 

 

r

r

= (a x , ay) = ax 1x  +ay 1y   = a x i + ay j = É et

a(t) = +

a x2  + ay2 

Ordre de grandeur grandeur de quelques accŽlŽrations accŽlŽrations :  : dŽmarrage d'un train : 0,3 m s -2 dŽmarrage d'une voiture de course : 6 m s -2 chute libre au voisinage de la surface de la terre : 10 m s -2 arrt brutal d'une voiture lors d'un choc : 1 000 m s -2

E XEMPLE 3 En reprenant encore le problme prŽcŽdent, r (t) = (2 t 2, t2   - 1), nous obtenons facilement : r

r

a (t) = (4, 2)

 

et

a @  4,5 m s-2

 Visib lement,  Visiblemen t, lÕaccŽlŽrat lÕacc ŽlŽration ion est constante const ante au cours du temps. temp s. De plus plus,, dans ce  probl•me, nous remarquons, quÕˆ tout instant, les deux vecteurs a (t) et v (t) ont toujours la mme direction : r

r

v (0) = (0,0) = 0. a (0) r

 

r

v (1) = (4, 2) = 1. a (1) r

et

r

r

v (-2) = (-8, -4) = -2. a (-2) r

Ceci est dž au fait que la trajectoire est rectiligne. LÕaccŽlŽration est tangentielle, tout comme la vitesse. Mais attention, le coefficient numŽrique placŽ devant a  nÕest pas un simple nombre, il a les dimensions dÕun temps ! r

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 Application pratique 1 : le mouvement mouvement circulaire uniforme Ecrivons les Žquations qui dŽcrivent ce type de mouvement dans un repre Oxy. Mettons le centre de la trajectoire  circulaire   ˆ lÕorigine O. Dans ce repre, la position de P est dŽcrite par le vecteur : r  = (R cos q ; R sin q) r

 

Nous pouvons vŽrifier que la trajectoire de P est bien circulaire. En effet :  r =

R2 cos2q + R2 sin2q  = R = rayon de la circonfŽrence.

Introduisons maintenant le mouvement   : lÕangle q   dŽpendra du temps et nous lÕŽcrirons q(t). Il ne reste plus alors quÕˆ prŽciser que le mouvement est uniforme. Ceci signifie que si, aprs un temps t, le point P a tournŽ dÕun angle q, 2 q seront dŽcrits en 2 t, de fa•on gŽnŽrale q  µ t. Si nous choisissons quÕˆ lÕinstant t = 0, q = 0, nous pourrons Žcrire q  = w t et notre r

expression de r  prend la forme :   r (t) = (R cos w t ; R sin w t) r

Elle dŽcrit le mouvement dÕun point qui, ˆ t = 0, se trouve en r (0) = (R ; 0) et d q   . tourne ˆ la vitesse angulaire constante w = dt r

La pŽriode du mouvement, temps nŽcessaire pour faire un tour complet, T, est constante. Il existe une relation simple entre la vitesse angulaire w et la pŽriode T . En effet, puisque q = w t, aprs un tour complet (t = T et q  = 2 p  radians), 2 p = w T, 2 p  et : w =   T r

r

Le fait que r (t) = r (t + T), quelle que soit la valeur de t, nous rappelle que le mouvement est pŽriodique.

[LÕŽcriture la plus gŽnŽrale dÕun mouvement circulaire uniforme avec

r (0) r

quelconque sera donnŽe par r (t) = (R cos { w t + j} ; R sin { w t + j}). Pourquoi ? j sÕappelle la phase ˆ lÕorigine (du temps) et ne dŽpend que de lÕinstant o lÕon a dŽclenchŽ le chronomtre.] r

Cherchons la vitesse : et sa valeur : ensuite lÕaccŽlŽration :

v (t)  = (- w R sin w t ; w R cos w t) r

 

v (t) = w R = constante a (t) = (- w 2 R cos w t ; - w 2 R sin w t) = - w 2  r (t) r

r

 

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a (t) = w 2 R =

puis sa valeur :

v2    = constante R

Nous remarquons que :

y r

1. Les vecteurs v (t) et a (t) varient au cours du temps alors que leurs valeurs v et a sont constantes. r

r

v r

a

r

r

q x

0 2. LÕaccŽlŽration est centripte, cÕest-ˆ-dire quÕelle est radiale (mme direction que r (t) mais de sens opposŽ et donc dirigŽe vers le centre de la trajectoire). r

Nous pouvons aussi vŽrifier que lÕaccŽlŽration est radiale en montrant que : r

a (t) . v (t)  = 0 r

 

 4.3. Composantes Composantes normale et ta tangentielle ngentielle de lÕaccŽlŽra lÕaccŽlŽration tion LÕapplication prŽcŽdente ainsi que lÕexemple 3 nous suggrent de regarder lÕaccŽlŽration dans un repre trs particulier, et bien utile, construit ˆ partir de la tangente et de la normale ˆ la trajectoire en P. Nous voyons que lÕaccŽlŽration a deux composantes : - la premire, a n , est la projection sur la normale. Comme dans le mouvement circulaire uniforme ( Application ( Application pratique 1), 1), elle fait tourner le vecteur v sans en modifier la valeur. r

- la seconde, a t , est la projection sur la tangente. Comme lorsque la trajectoire est rectiligne (E XEMPLE 3), elle nous apprend si la valeur de la vitesse a variŽ (lÕobjet se dŽplace plus ou moins vite). Nous choisirons le sens de lÕaxe tangent identique ˆ celui du mouvement et celui de la normale dirigŽ vers la convexitŽ de la trajectoire.

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Dans ce cas, nous avons les valeurs suivantes pour les composantes - tangentielle :

dv

at =

®

n 1n

P

dv / dt

 

v 2 / R

v2    R

an = -

t

1t

®

dt - normale :

v

®

trajectoire

®

a

r

dÕo lÕexpression complte de a  : a  = r

 

dv   dt

r

v2 

Le dessin ci-dessus correspond ˆ un objet qui ralentit.

r

  1   1   t R n

La prŽsence de ces deux termes peut se comprendre. Comme la vitesse est tangentielle, elle sÕŽcrit dans ce repre : r

v (t)  = v(t) 1 t r

 

DŽrivons pour trouver lÕaccŽlŽration : r

r

a (t) = r

 

d v (t) dv   =   dt dt  

r

1  + v(t) t

d 1t  

dt

 

Il y a bien deux composantes. Ds maintenant, nous voyons que la composante tangentielle nous indique si lÕobjet va plus ou moins vite. La composante normale, par contre, nous montre si lÕobjet tourne. r

r

En effet, ˆ tÕ, le vecteur unitŽ 1t Õ nÕa plus la mme direction que 1t  tout en ayant la mme longueur que lui. Une composante normale, dirigŽe suivant la concavitŽ de la trajectoire, d 1 r

 

t

lui a ŽtŽ ajoutŽe : r

r

d 1  = - db  1n  

t

Nous avons employŽ la notation db pour nous rappeler quÕil sÕagit dÕun terme trs petit (comme dx ou dt). Calculons sa valeur.

ULB - CeDop 

13

 

Regardons deux points voisins, P (t) et PÕ (t + dt).

n'

trs

t

n

La trajectoire peut tre assimilŽe ˆ la circonfŽrence tangente de rayon

® 1t

® 1n

®

dq P' P

R et de centre O.

- db 1 n 1® t'

® 1 t'

 Appelon s ds lÕespa  Appelons lÕespace ce parcouru, parcouru , le long de la trajectoire, de P ˆ PÕ :

t'

dq 0

ds = R d q o dq  est lÕangle au centre (exprimŽ en radians).

La trigonomŽtrie nous montre que db / 2 = d q / 2

®  db =

ds   R

r

d 1t

dÕo :

 

dt

1 ds     1n R dt r

  = -

r

d1

et comme

t v2 ds   = -   1n   est la vitesse v(t), on obtient v(t)  R dt dt r

 

dv v2    1     1t   dt R n r

r

ce qui donne lÕexpression complte de lÕaccŽlŽration, soit a   =

r

 En rŽsumŽ :

¥ La composante normale a n   (dont le sens positif est vers la convexitŽ) indique si la trajectoire est courbe. Si cette dernire est suffisamment rŽgulire, il y a toujours une (et une seule) circonfŽrence qui lui est tangente. CÕest le rayon R de cette circonfŽrence qui appara”t au dŽnominateur. La prŽsence de cette composante a n implique un changement de direction de v (t). r

 

¥ L'autre composante tangente ˆ la trajectoire, a t , nous dit si la valeur de la vitesse change. ¥ Si, ˆ un certain instant et dans un repre donnŽ, un objet se dŽplace le long dÕune droite, dv R ®  ¥  et donc an = 0. Dans ce cas (seulement), a t = a =   . On voit que cec cecii est strictement dt liŽ au caractre rectiligne du mouvement observŽ. r

¥  DÕautre part, a  est toujours orientŽ vers le c™tŽ concave de la trajectoire.

ULB - CeDop 

14

 

E XEMPLE 4 Une voiture qui gravit une c™te passe dÕune position o elle accŽlre en P ˆ une autre position Q o elle est ralentie. Ceci est dŽcrit par la composante tangentielle. La composante normale, par contre, permet ˆ la voiture de suivre la courbure de la pente.

Q

®

at 1t

®

an 1n ®

a

®

a

® an 1n

®

P

at 1t

Lorsque nous sommes dans une une voiture qui roule e en n suivant une trajectoire de forme quelconque, le tachymtre indique ˆ peu prs la valeur v(t) de la vitesse instantanŽe instantan Že de cette voiture. Lorsque lÕaiguille de ce tachymtre bouge, cela montre que cette valeur varie au cours du temps et que la voiture a une accŽlŽration tangentielle dv(t) / dt = a t   ¹ 0. Au contraire, si la voiture tourne avec une valeur de la vitesse constante (mouvement uniforme), dv(t) / dt = 0, lÕaiguille est immobile alors quÕil y a une accŽlŽration normale ou radiale a n ¹ 0. Comment peut-on donc prŽciser si la vitesse dÕun objet augmente ? Il faut regarder la composante

Si nous abordons ce problme de

tangentielle de a t = dv(t) / dt.

manire analytique, nous pouvons voir que la vitesse augmente si v 2  cro”t, donc si d(v2) / dt > 0.

lÕaccŽlŽration, r

Si elle est positive, alors a t 1t   a le mme sens que v   et v augmente r

r

r

 

r

 

r

LÕangle entre a  et v est aigu. Dans la situation inverse, le signe de a t est nŽgatif, a t 1  est de sens t opposŽ ˆ v   et v diminue. LÕangle r

r

Mais : d(v2) / dt = d( v . v ) / dt r

 

r

r

r

= 2 v . d v / dt = 2 v . a  

 

La vitesse de lÕobjet augmente si r

r

a  . v  = ax vx + ay vy  > 0

 

r

entre a  et v  est alors obtus.

r

Par contre, elle diminue si a  . v  < 0. r

ULB - CeDop 

15

 

E XEMPLE 5 Le mouvement hŽlicodal - Mouvement ˆ 3 dimensions Un objet est en mouvement de rotation uniforme dans le plan Oxy. Mais regardons-le en nous Žloignant du plan de rotation ˆ partir de lÕinstant t = 0, perpendiculairement ˆ lui suivant un axe z dont nous mettons lÕorigine au point O, centre de la circonfŽrence. Il sÕagit, par exemple dÕun point de la tte dÕune vis que lÕon enfonce. Sa trajectoire nous appara”tra comme une hŽlice et nous dŽcrirons son mouvement par le vecteur position : r (t) = (R cos w t ; R sin w t ; v0 t) r

 

 Au bout dÕune dÕun e pŽriode pŽri ode de rotation rota tion T = 2 p / w, il y aura eu un dŽplacement suivant z, lÕaxe de lÕhŽlice, Žgal au  pas de lÕhŽlice  donnŽ par : d = v 0  T = 2 p v0 / w Le dessin qui suit reprŽsente ce mouvement en perspective.

d

z

Ce mouvement se rencontre Žgalement lorsquÕon monte un escalier en Òcolima•onÓ ˆ vitesse ascensionnelle constante ou lorsquÕon enfonce un tire-bouchon. CÕest aussi celui dÕun Žlectron ou de toute particule chargŽe qui pŽntre dans un champ dÕinduction magnŽtique uniforme dirigŽ suivant lÕaxe z.

ULB - CeDop 

16

 

 Application pratique 2 : le saut saut ou tir parabolique Commen•ons par Žtudier un mouvement dŽcrit, ˆ partir de t = 0, par le vecteur : r

r (t) = (3 t, - 5 t2  + 4 t)

 

que lÕon peut aussi Žcrire sous la forme des  Žquations paramŽtriques  : x=3t y = - 5 t2  + 4 t DÕabord, cherchons la trajectoire en Žliminant le temps : x=3t

t=

® 

 x 3

  que nous portons dans y = - 5 t2  + 4 t

®  y = - 5

x2 4x   +   9 3

Cette Žquation dŽcrit une parabole qui passe par l'origine des axes O, se situe dans le plan Oxy puisque z = 0 et dŽcrit le jet dÕun ballon par exemple, comme on le voit sur le dessin qui suit.

y (m) 1 ®

v (0,5)

®

r (0,5) ®

a (0,5) 0

1

3 x (m)

2 dx   dt

, dy  ) = (3, - 10 t + 4) dt

Calculons la vitesse du mobile v (t) :

v (t) = (

Puis, par exemple, sa vitesse initiale :

v (0) = (3, 4)

r

r

 

r

ainsi que la valeur de cette vitesse initiale initiale :

v (0) = 3 2 + 42  = 5 m s -1

Nous pouvons aussi obtenir cette valeur en calculant lÕexpression littŽrale de la vitesse, qui dŽpend du temps : Puis sa valeur ˆ t = 0 : r

v(t) =

32 + (-10 t + 4)2 

v(0) =

32 + 42  =  5 m s-1

 Au bout de 0,5 s, r (0,5) = (1,5 ; 0,75) et la vitesse est donnŽe par v (0,5) = (3, - 1) et sa valeur est de :

r

v (0,5) =

32 +(-1) 2 =  10 m s-1 @  3,2  m s-1

ULB - CeDop 

17

 

dvy  dvx  ) = (0, -10) qui   , dt dt est constante, dirigŽe suivant y cÕest-ˆ-dire verticalement et vers le bas. LÕobjet tombe dans le champ de la pesanteur avec une accŽlŽration de 10 m s -2. r

On peut faire de mme avec lÕaccŽlŽration : a (t) = (

d v (t) r

r

Remarquons que si a (t) =

 

  est correct, par contre a ¹ 

dt

dv(t)

 

dt

En fait le mouvement de lÕobjet correspond, horizontalement suivant x, ˆ un mouvement rectiligne uniforme et, verticalement suivant y, ˆ un mouvement rectiligne rectilign e uniformŽment accŽlŽrŽ accŽlŽrŽ : lÕobjet se dŽplace uniformŽment horizontalement horizontalement alors quÕil monte, sÕarrte et finalement retombe sur le sol verticalement. Une question intŽressante est de trouver le sommet de la parabole. Pour un physicien, le sommet est le point le plus haut : cela signifie quÕen ce point la composante verticale de la vitesse sÕannule, avant v y  Žtait > 0, aprs vy est < 0, et, au sommet, vy = 0. Donc le sommet sommet est atteint ˆ un temps t* tel que que vy(t*) = - 10 t* + 4 = 0, soit  t* = 0,4 s. r

 A cet instant, in stant, lÕobjet lÕ objet se trouve au point r (0,4) = (1,2 ; - 0,8 + 1,6 ) = (1,2 ; 0,8) et sa vitesse est v (0,4) = (3, 0), seule sa composante horizontale est ¹ 0. r

 A partir de la vitesse initiale v (0) = (3, 4), on peut calculer lÕ angle de tir q . En effet, comme v x  (0) = v(0) cos q et  v y (0) = v(0) sin q, on peut dire que lÕobjet est r

lancŽ vers le haut ˆ la vitesse de 5 m s-1 , suivant un angle q avec lÕhorizontale qui se vy  4 =   et vaut 53¡. calcule ˆ partir de tg q = 3 vx  Pour conna”tre la  portŽe du tir , D, nous devons calculer la distance parcourue, cÕest-ˆ-dire la valeur de x ¹ 0 telle que y = 0. Nous obtenons D = 2,4 m. Si nous voulons gŽnŽraliser ce problme pour rendre compte de tous les lancers possibles, nous Žcrirons de fa•on littŽrale : 1 2

r (t) = ( v x (0) t ; -   a t2 + vy (0) t ) r

 

1 2

r (t) = ( v(0) cos q t ; -   a t2 + v(0) sin q t ) r

 

Si le tir ne sÕŽtait pas fait depuis lÕorigine, on aurait lÕexpression plus compliquŽe suivante : r (t) = ( x(0) + v x (0) t ; y(0) + vy (0) t r

 

1   a t2 ) 2

ce qui montre quÕun bon choix du repre simplifie souvent les expressions !

ULB - CeDop 

18

 

Ceci nous permet maintenant dÕaborder toute une sŽrie de probl•mes connexes :

De quelle fa•on faut-il lancer une balle de golf pour que, ˆ mme valeur de la vitesse initiale, elle retombe le plus loin possible ? Traduisons : quelle est la valeur de q   telle que la portŽe, D = x(tÕ), soit la plus grande possible lorsque la balle retombe sur le sol ? A ce moment, la hauteur de la balle y(tÕ) est ˆ nouveau nulle (elle lÕŽtait au dŽpart, ˆ t 0 = 0). 1 y(t) = -   a t2 + v(0) sin q t = 0 2 ->

t0 = 0 et tÕ =

2 v(0) sin q    a

 Au bout de ce temps, le dŽplacement horizontal D vaut : D = x(tÕ) = v(0) cos q tÕ =

2 v(0)2  sin q  cosq  v(0)2 sin 2q    =   a a

Si lÕon veut que D soit le plus grand possible, il faut chercher les extrema de la fonction D(q)   : dD   =0 dq

->

q  = 45¡

CÕest effectivement ce qui se passe lorsque lÕon peut nŽgliger les frottements entre la balle et lÕair. Nous pouvons Žgalement nous demander sous quel angle il faut lancer la balle pour atteindre le point le plus haut possible. Dans ce cas, la rŽponse que lÕon peut obtenir par un calcul similaire au prŽcŽdent est Žvidemment q = 90¡.

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19

 

5. Passage de lÕaccŽlŽration ˆ la vitesse et ˆ la position par intŽgration r

r

Nous avons appris ˆ calculer, en dŽrivant , v (t)  et  a (t) ˆ partir de r (t)  : r

r

r

r

r

 

v (t) =  d r (t)   dt

a (t)

et

 

v (t)   =  d dt  

Souvent, cÕest le problme inverse qui se pose. En effet, Newton a montrŽ que cÕest lÕaccŽlŽration qui se dŽduit des forces physiques qui sÕappliquent aux diffŽrents objets dont on veut dŽcrire le mouvement. Il faut donc gŽnŽralement remonter de a (t) vers v (t) et ensuite de v (t) vers r (t). Au lieu de dŽriver des fonctions, nous devrons procŽder ˆ l'opŽration inverse, c'est-ˆ-dire intŽgrer. r

r

r

r

 

d r (t)   , nous pouvons aussi Žcrire Žcrire cette expression sous la forme : Comme v (t) =  dt r

r

 

r

d r (t) = v (t) dt r

 

ce qui se lit : Ç Le dŽplacement dÕun objet pendant lÕintervalle de temps dt est donnŽ le produit depeut sa vitesse par cet intervalle de tempspendant È. En effet, comme dt est toutpar petit, la vitesse tre considŽrŽe comme constante cet intervalle. En fait, cette Žquation en cache deux, ˆ 2 dimensions (ou trois, ˆ 3 dimensions) : dx(t) = v x(t) dt

et

dy(t) = vy(t) dt

Le dŽplacement ne suff it pas pour conna”tre la position de lÕobjet ; il faut Žvidemment savoir dÕo il part, cÕest-ˆ-dire sa position juste avant ce dŽplacement.

Regardons la logique du calcul : ˆ t0 = 0

on est en

x(0)

ˆ t1 = dt

x(dt) = x(0) + dx = x(0) + v x(0) dt

ˆ t2 = 2 dt

x(2 dt) = x(dt) + dx = x(dt) + vx(dt) dt  

= x(0) + v x(0) dt + v x(dt) dt

ÉÉÉÉÉÉ ˆ tn= n dt

x(n dt) = x(0) + vx(0) dt + v x(dt) dt + É + vx({n-1} dt) dt

ULB - CeDop 

20

 

Ce que nous venons de construire est la somme des petits dŽplacements ŽlŽmentaires, cÕest-ˆ-dire lÕintŽgrale de la vitesse depuis lÕinstant de dŽpart jusquÕˆ lÕinstant final : t

x(t) = x(0) +

ó õ v(t) dt 0 t

ó v(t) [Si lÕinstant initial est t 0 et non t = 0, nous Žcrirons : x(t) = x(t0) + õ

dt ]

t 0 

Nous avons les mmes expressions pour y(t) et Žventuellement z(t).

Et si lÕon nous donne seulement lÕaccŽlŽration ? Nous allons alors procŽder exactement comme on lÕa fait ci-dessus ˆ partir de la vitesse. Nous intŽgrerons lÕaccŽlŽration pour obtenir la vitesse v (t), connaissant une vitesse v (t0). Ensuite, r

r

r

r

connaissant Žgalement r (t0), nous intŽgrerons encore une fois cette vitesse v (t) pour obtenir r (t). Ces donnŽes v (t0) et r (t0) apparaissent comme des constantes  

r

r

r

dÕintŽgration.

Commen•ons par appliquer notre technique ˆ deux types de mouvements simples :

5.1. Le mouvement rectiligne uniforme (ou MRU) Dans ce cas, la valeur de la vitesse est indŽpendante du temps, l'accŽlŽration ax est nulle, et la solution de : t 2  x(t 2) = x(t 1) +

ó õ dt õ vx dt = x(t1) + vx  ó t1 

est simplement

t 2  t1 

x(t 2) = x(t 1) + vx (t2 - t 1)

Si nous avons choisi t 1 comme instant initial, initial, soit t1 = 0, et t 2 comme l'instant t auquel nous dŽsirons conna”tre la position de l'objet, l'expression prŽcŽdente s'Žcrit : x(t) = x(0) + vx  t

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21

 

5.2. Le mouvement rectiligne uniformŽment accŽlŽrŽ (ou MRUA) Dans cette situation, l'accŽlŽration est non nulle mais indŽpendante du temps. Nous avons : a x =

dvx  dt

 

que nous pouvons Žcrire dvx = ax dt et intŽgrer : vx(t)   

ó õ

t

t 

dvx  = vx(t) - v x(0) =

  vx(0) 

ó õ dt õ ax  dt = ax  ó 0 

0 

parce que ax ne dŽpend pas du temps, l'intŽgrale est donc simple et l'on obtient : vx(t) - v x(0) = ax t ou

vx(t) = v x(0) + ax t

Pour obtenir la position x(t), il faut intŽgrer v x(t) et, de plus, conna”tre la position dx   initiale x( 0) de l'objet (il s'agit de la constante d'intŽgration). Rempla•ons vx(t) par dt dans l'Žquation prŽcŽdente : dx   = vx(0) + ax t dt En multipliant les deux membres par dt, nous obtenons : dx = (v (0) + a  t) dt x

x

que nous pouvons intŽgrer parce que le membre de gauche ne dŽpend que de la position et celui de droite uniquement du temps : x(t) 

t 

t 

t 

t 

ó õ t dt õ dt + ax  ó õ dx = ó õ vx(0) dt + ó õ ax t dt = vx(0) ó x(0) 

0 

0 

0 

0 

1   a x t2 2 1 x(t) = x(0) + vx(0) t +   ax t2 2

x(t) - x(0) = v x(0) t + finalement :

ULB - CeDop 

22

 

 Application pratique 3 : la livrŽe livrŽe dÕune balle de tennis tennis Un joueur livre une balle, ˆ t = 0, ˆ la vitesse initiale v (0) = (14 m s -1 ; 0 ; 5 m s-1), soit une composante horizontale vx(0) = 14 m s -1   et verticale v z (0) = 5 m s-1. r

Nous avons choisi un repre dont lÕaxe Ox est oblique par rapport aux bords du court afin de simplifier les calculs. La balle est livrŽe depuis un coin du terrain, ˆ 2 mtres au-dessus du sol o nous avons mis lÕorigine du repre, ce qui se traduit par r (0) = (0 ; 0 ; 2). Elle est soumise ˆ lÕaccŽlŽration de la pesanteur g = 10 m s-2 r

 

verticale et dirigŽe vers le bas, a (t) = (0 ; 0 ; - 10 m s -2). Dans la suite, nous omettrons r

dÕŽcrire de fa•on explicite les unitŽs qui sont toujours donnŽes dans le SI.

Quelles sont la vitesse et la position ˆ lÕinstant t ? 1•re Žtape , la vitesse : t

ó ax(t) dt õ

vx(t) = 14 +

t 

t

0 

  vy(t) = 0 +

= 14 + 0

ó ay(t) dt õ

0 

ó az(t) d t õ

  v z(t) = 5 +

0 

t

=0+0

ó õ 10 dt

=5-

0 

 

= 14

 

=0

= 5 - 10 t

Le vecteur vitesse est donc donnŽ par v (t) = (14 ; 0 ; 5 - 10 t) r

 2•me Žtape, la position : t

x(t) = x(0) +

ó õ vx(t) dt

t

t

y(t) = y(0) +

0 

ó õ vy(t) dt

  z(t) = z(0) +

0 

0 

t

t

=0+0

ó õ 14 dt

=0+

ó õ vz(t) dt

0 

=2+

ó õ (5 - 10 t) dt 0 

 

=0

= 14 t

= 2 + 5 t - 5 t2

La position est donnŽe par r (t) = (14 t ; 0 ; 2 + 5 t - 5 t2) r

ULB - CeDop 

23

 

Nous pouvons, par exemple, nous demander quelles sont la vitesse et la position v (0,5) = (14 ; 0 ; 0) ® v (0,5) = 14 m s-1 de la balle au bout de 0,5 s : r

et

r

r (0,5) = (7 ; 0 ; 3,25)

 ®  la balle a parcouru parcouru 7 mtres horizontalement et se trouve 1,25 mtres plus haut que lÕendroit dÕo le lancer a ŽtŽ effectuŽ. On peut vŽrifier que, si le joueur adverse ne rattrape pas la balle, elle retombe sur le sol au bout de 1,3 secondes environ et ˆ 18,2 mtres horizontalement de lÕendroit dÕo le lancer a ŽtŽ effectuŽ.

ULB - CeDop 

24

 

6. IntŽgration et dŽrivation graphiques Remarquons que l'expression qui est ˆ l'origine de l'intŽgrale et qui correspond au dŽplacement de l'objet depuis t1 jusqu'ˆ t2, peut tre ŽvaluŽe graphiquement.  A tit titre re dÕexemp dÕe xemp le, dŽcompo dŽco mposons sons lÕinte lÕi nterval rvalle le t2 -   t 1 en trois parties ou  p a s dÕintŽgration ; nous aurons : x( t2 ) = x(t1) + vx(t1) Dt + vx(t1 + Dt) Dt + vx(t1  + 2 Dt) Dt qui peut tre ŽvaluŽe ˆ partir de la surface hachurŽe sur la figure de gauche cidessous, ce qui nous permet d'aborder le problme de l'intŽgration sous forme graphique lorsque la vitesse est donnŽe par une courbe dont on ne conna”t pas forcŽment l'Žquation. Nous pouvons amŽliorer le rŽsultat en divisant ce mme intervalle en n parties, cela donnera : x( t1 + n Dt ) = x(t 1) + vx(t1) Dt + vx(t1 + Dt) Dt+ É + vx(t1  + {n-1} Dt) Dt L'aire de la partie non hachurŽe qui se trouve en dessous de la courbe v(t) tend vers zŽro comme D t. L'intŽgrale, peut tre ŽvaluŽe en mesurant la surface totale comprise entre la courbe v(t), l'axe du temps, et les perpendiculaires ˆ cet axe aux instants t 1 et t2 comme on le voit sur la figure de droite.

vx (t )

vx (t )

vx (t1 + 2 Dt) vx (t1 + Dt) vx (t1)

t1 t1 + D t t1 + 2 Dt t2

t

t2

t1

L'intŽgration graphique est, trs souvent, la seule possibilitŽ d'estimer l'intŽgrale d'une fonction. Il est frŽquent, en effet, qu'une grandeur ne soit mesurŽe, au laboratoire par exemple, qu'ˆ certains instants seulement et que donc sa dŽpendance exacte, au sens mathŽmatique du mot, vis-ˆ-vis du temps ne soit pas connue.

ULB - CeDop 

25

t

 

Il en est de mme pour la dŽrivŽe. A partir de la figure de gauche, on peut Žvaluer lÕaccŽlŽration moyenne entre t1 + Dt et t 1 + 2 Dt par exemple. Elle vaut (voir cours de mathŽmatique) : =

vx (t1 + 2 Dt) - vx (t1 + Dt) Dt

 Application pratique 4 : une une balle qui rebondit Un enfant joue ˆ la balle. La balle est lancŽe en l'air dÕun coup de pied ; ensuite, elle retombe sur le sol o elle rebondit quelques fois. Les graphiques ci-dessous reprŽsentent les composantes horizontale, vx(t), et verticale, vz (t), de la vitesse de cette balle au cours du temps. A lÕinstant initial t = 0, la distance de la balle au pied du joueur est x(0) = 0 et, dÕautre part, ˆ t = 1 s, la hauteur de la balle est donnŽe par z (1) = 5 m. ComplŽter les graphiques ci-dessous (courbes, unitŽs, Žchelles des ordonnŽes) en y reprŽsentant, pour 0 s £  t £  3,5 s les composantes de ¥ son accŽlŽration az (t), ¥ sa position z (t).

v x (t ) (m / s)

vz(t) (t) (m/ s)

10

10

2

2

0 -2

- 10

1

2

3

t (s)

0 -2

1

2

3

t (s)

- 10

ULB - CeDop 

26

 

1. Calculons, ˆ titre dÕexemple, la valeur de a z (t) entre 1 et 2 s : =

-10 - 0 vz (2) - vz (1)   = - 10 m s-2.   = 1 2-1

On vŽrifie que lÕaccŽlŽration a z   (t) est constante dans tout lÕintervalle de temps 0 s £  t £  3,5 s. De mme, ax(t) = 0 m s -2 pour 0 s £  t £  3,5 s. Nous pouvons reprŽsenter graphiquement ces deux composantes comme suit : a x (t ) (m / s2)

a z (t) (m / s2)

2

2

0

1

2

3

0

t (s)

- 10

1

2

t (s)

3

- 10

2. Le dŽplacement vertical de la balle au bout de la premire seconde est donnŽ par la surface du triangle de hauteur 10 m et de base 1 s, soit 1/2 . 10 m s-1 . 1 s = 5 m. Comme on donne z(1), et que z(1) = z(0) + 5 m  

®

z(0) = z(1) - 5 m = 5 m - 5 m = 0 m.

La hauteur de la balle ˆ t = 0 vaut z(0) = 0 m. De mme, z(2) = z(1) + 1/2 . (-10 m s -1 ) . 1 s = 5 m - 5 m = 0 m. Les autres points sÕobtiennent de la mme fa•on. 3. Horizont  Horizontalement alement, le dŽplacement de la balle au bout de la premire seconde est donnŽ par la surface du rectangle de hauteur 4 m et de base 1 s, soit : 4 m s-1 . 1 s = 4 m x(1) = x(0) + 4 m = 0 + 4 m ®  ®  x(1) = 4 m. -1 De mme x(2) = x(1) + 4 m s . 1 s = 4 m + 4 m = 8 m, et ainsi de suite. x (t) (m) 12

z (t) (m)  5

8 4

0

1

2

3

t (s)

0

1

2

3

t (s)

z(t) est une fonction quadratique de t (intŽgrale dÕune fonction linŽaire), sa reprŽsentation graphique correspond ˆ une sŽrie de paraboles.

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 Exercices complŽmentaires non rŽsolus 1. Un mobile se dŽplace dans un plan Oxy. Les composantes de la vitesse sont donnŽes sur les graphiques ci-dessous : vx (t) (m/s)

vy (t) (m/s)

10

10

5

5

0

1 2 3 4 5 6 t (s)

0

-5

-5

-1 -10 0

- 10

1 2 3 4 5 6 t (s)

 

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes ? a. Pour 0 s < t < 2 s, la projection de lÕaccŽlŽration sur Oy est > 0 b. Pour t = 2 s, lÕaccŽlŽration est nulle c. Pour 4 s < t < 5 s, le vecteur accŽlŽration est parallle ˆ Oy d. Pour 4 s < t < 6 s, lÕabscisse x(t) du mobile est constante e. A t = 4 s, le mobile a la mme position quÕen t = 0 s f. Pour 4 s < t < 6 s, la trajectoire est une parabole g. Pour 0 s < t < 2 s, la projection de la position du mobile sur lÕaxe Oy se dŽplace vers les y < 0

Ecrire, ˆ lÕinstant t = 5 s, ¥ les valeurs de la vitesse et de lÕaccŽlŽration ¥ les angles respectifs entre les vecteurs vitesse et accŽlŽration et lÕaxe Ox ¥ les valeurs des accŽlŽrations tangentielle et normale ainsi que le rayon de courbure de la circonfŽrence tangente ˆ la trajectoire. (Cette dernire question peut vous sembler trs difficile !)

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2. Les cinq graphiques suivants reprŽsentent la composante v x(t) de la vitesse dÕun objet.  A vx ( t ) 0

vx (t ) t

B

0

vx (t ) C t

0

vx ( t ) D t

0

vx ( t ) E t

0

t

Mettre chacun des graphiques v x(t) ci-dessus en rapport avec les graphiques de x(t) et de ax(t), ci-dessous, qui lui correspondent. x(t)

1

0

a x (t ) 0

x(t)

t

6

2

0

x(t) 3

t

7 a x (t ) t

0

0

ax ( t ) t

0

x(t)

t

8

0

a x (t ) t

4

0

x(t)

t

9

5

0

t

10 a x (t ) t

0

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t

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On peut souvent Žtablir une correspondance entre x(t), v x (t) et a x (t) en cinŽmatique  et dÕautres dÕautr es grandeurs grandeu rs dans des domaines domain es tr•s variŽs. LÕexerci LÕexercice ce qui suit en est une illustration.

3. Un biologiste Žtudie le taux de croissance (cÕest lÕanalogue de la vitesse en cinŽmatique) de fŽcondation des fleurs d'une espce par des abeilles sur un terrain. Il note rŽgulirement les valeurs numŽriques du nombre de fleurs fŽcondŽes par jour. Cette grandeur est reprŽsentŽe par la fonction continue n(t). Au dŽbut, les premires fleurs Žclosent et attirent de plus en plus d'abeilles ; n(t) cro”t de manire linŽaire.  Aprs cette pŽriode initiale, initia le, toutes les abeilles participent partic ipent ˆ la fŽcondation fŽconda tion et n(t) reste constante. Finalement, il y a de moins en moins de fleurs nouvelles et donc n(t) dŽcro”t jusqu'ˆ la valeur zŽro, au moment o toutes les fleurs ont ŽtŽ fŽcondŽes. Le graphique ci-dessous reprŽsente n(t), le nombre de fleurs fŽcondŽes par jour, en fonction de t, en jours.

n (t) nombre / jour

60 40 20

0

¥ Dessiner g(t) =

5

10

15

20

25

30

t (jours)

dn(t)  . dt t 

¥ ReprŽsenter ensuite la fonction N(t) =

ó õ n(t') dt' qui correspond au nombre  0 

total de fleurs fŽcondŽes ˆ l'instant t et dŽterminer, par exemple, le nombre de fleurs fŽcondŽes ˆ la fin du vingtime jour, soit N(20).

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 Dans les probl•mes qui suivent, nŽgliger les frottements avec avec lÕair.

4. Un projectile est lancŽ ˆ la vitesse de 10 m s -1 successivement sous deux angles de tir 35¡ et 55¡. Chercher la portŽe et le temps de vol pour chacun des tirs. 5. Une boule de neige est lancŽe dÕune hauteur de 1,8 m au-dessus du sol, avec une vitesse initiale de 10 m s -1 dans une direction direction faisant un angle de 30¡ au-dessus de lÕhorizontale. Chercher les composantes des vecteurs position et vitesse de la balle aprs 1 seconde. Pendant combien de temps la balle restera-t-elle en lÕair ? Quelle sera sa portŽe ? 6. Au cours dÕun saut, un skieur quitte le tremplin suivant une direction formant un angle de 20¡ au-dessus de lÕhorizontale. Il met 3 s pour retomber en un point situŽ 15 m plus bas que son point dÕenvol. Chercher les composantes de sa vitesse au moment du dŽcollage. 7. Une grenouille qui se donne une vitesse initiale v0 veut sauter, en terrain plat, le plus loin possible. Sous quel angle doit-elle dŽcoller du sol ? 8. Un chat veut sauter sur le rebord dÕune fentre. Elle se trouve ˆ une distance horizontale D de lui et ˆ une hauteur H par rapport au sol. Il veut se lancer avec la vitesse initiale la plus petite possible. Sous quel angle va-t-il sauter ? 9. Un cascadeur ˆ moto dŽcolle dÕune rampe inclinŽe ˆ 30¡ au-dessus de lÕhorizontale. Il arrive ˆ sauter au-dessus dÕun ensemble de vŽhicules qui occupe une longueur de 20 m et retombe ˆ la hauteur de son point de dŽpart. Chercher les composantes de sa vitesse initiale.

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