Pravilni Poliedri i Njihova Konstrukcija

Matematicki fakultet Stojanovic Gordana 88/1

SEMINARSKI RAD

Pravilni poliedri i njihova konstrukcija

Beograd, 2002.

SADRŽAJ

Uvod …………………………………………………2

Uopste o pravilnim poliedrima…………………5

Konstrukcije pravilnih poliedara………………13 -konstrukcija pravilnog tetraedra…………...13 -konstrukcija pravilnog oktaedra…………...14 -konstrukcija pravilnog dodekaedra………..15 -konstrukcija pravilnog ikosaedra………….17

Literatura……………………………………...18

2

UVOD

Istorija pravilnih poliedara ne pocinje otkricem pojedinih pravilnih geometrijskih tela,vec saznanjem da ta tela imaju neka zajednicka svojstva koja ih karakterisu. Dokazacemo da postoji tacno pet topoloskih pravilnih poliedara, koji se nazivaju Platonovim telima. Platon (429-348 p.n.e.) se zalio na neznanje svojih savremenika.Licno se nije bavio cisto matematickim istrazivanjima, ali je podsticao svoje ucenike na taj rad: Njegovi savremenici i ucenici su ispunili mnoge praznine u nauci.Dok su, npr., pitagorejci (uza skola Pitogorina), od pravilnih poliedara poznavali samo kocku i tetra edar, a mozda jos i dodekaedar, Teetet (umro 369 p.n.e.) im dodaje oktaedar i ikosaedar i prvi postavlja teoriju svih pet pravilnih poliedara.Da su pitagorejci mogli poznavati dodekaedar, vidi se iz toga sto su ga Etrurci vestacki predstavljali po ugledu na kristalni oblik u kome se javlja pirit u severnoj Italiji i obelezavali ga narocitim znacima kao predmet kulta. Jedan takav vestacki primerakiz steatita nadjen je i brizljivo proucen.Utvrdeno je da potice iz prvog gvozdenog doba (La Tène-period 3

1000-900 p.n.e.).Etrurci ili Gali mogli su to znanje preneti u juznu Italiju,gde su ga primili pitagorejci.Teetetovi radovi se javljaju u I u XIII knjizi Euklidovih Elemenata , a (325p.n.e.) u kojoj se rapravlja upravo o pravilnim poliedrima. I Aristotel (384-322p.n.e.) je poznavao pravilne poliedre, ali njegova “Matematicka rasprava” nije sacuvana, a i “Istorija geometrije” koju je napisao njegov ucenik Teofrast (374-287p.n.e.), I druga koju je napisao njegov ucenik Eudem (350-290p.n.e.) su izgubljene. Kasnije, Papo (oko 295p.n.e.) izvesne brojne odnose izmedu osnovnih elemenata pet pravilnih poliedara . Kepler (1571-1630g.) je nastavio teoriju pravilnih poliedara svojim zvezdastim poliedrima, a pokusao je i da redukuje rastojanja planeta Suncevog sistema na metricke osobine Platonovih tela alternativno upisanih i opisanih oko nebeskih sfera pridruzenih planetama: Saturnu,Jupiteru,Marsu,Zemlji,Veneri i Merkuru koje su odvojene redom,kockom,tetraedrom,dodekaedrom,oktaedrom i ikosaedrom. Naravno,Kepler nije nista znao o Uranu,Neptunu i Platonu koji su otkriveni kasnije 1781.,1846.,i 1930-te godine. Teorija pravilnih poliedara igra vrlo vaznu ulogu ne samo u teorijskoj matematici I geometriji, vec i u primenjenoj matematici,mehanici i fizici. 4

Teodrija poledara raznovrsnih oblika danas predstavlja posebnu oblast koja je, narocito u vezi sa kristalografijom, postala i zasebna grana nauke o prirodi, a kao specijalni deo ona ulazii u topologiju. Posle pravilnih tela, koja imaju jednake pravilne rogljeve i jednake pravilne stranice i koja se zovu Platonovi poliedri, prvi tipovi poliedara sa najmanjim odstupanjem od pravilnosti su tzv.Arhimedovi poliedri: jednakorogljasti polupravilni poliedri i jednakostranicni polupravilni poliedri.Prva i druga kategorija Arhimedovih poliedara sadrzi po petnaest tela. Sada cemo se malo konkretnije upoznati sa pojmom poliedra i konstruisati pet topoloski pravilnih poliedara;

5

UOPŠTE O PRAVILNIM POLIEDRIMA

Poliedar je geometrijsko telo ograniceno ravnima.Presekom tih ravni nastaju mnogouglovi koji se nazivaju strane poliedra.Strane mnogouglova su ivice poliedra, a u svakoj ivici se sastaju po dva mnogougla.Poliedar moze biti konveksan (ako sav lezi samo sa jedne strane ravni svake svoje strane) ili konkavan, u suprotnom.

□Def. Konveksni poliedar je pravilan ako su sve njegove strane podudarni pravilni poligoni i ako su svi njegovi rogljevi pravilni i podudarni

Da bismo utvrdili koje vrste pravilnih poliedara mogu postojati poci cemo od zbira ivicnih uglova (konvesnog-ispupcenog) roglja.

□T// Zbir strana bilo kojeg konveksnog roglja manji je od cetiri prava ugla

6

SA1A2…An-konveksni rogalj

Ako sve ivice ovog roglja presecemo nekom ravni, dobijamo tacke preseka A1,A2,….,An I trouglove SA1A2,SA2A3,… Oznacimo uglove u tim trouglovima sa a1,b1,c1; a2,b2,c2, itd., a uglove poligona A1A2….An sa φ1,….φn. Uzmimo sada da su tacke A1,A2,A3…temena triedara. Kako je u svakom triedru jedna strana manja od zbira, a veca od razlike druge dve strane imamo da je: φ1