Pratique Du Bael 91

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Pratique du BAEL 91 Cours avec exercices corriges

Jean Perchât Jean Roux

Pratique du BAEL 91 Cours avec exercices corrigés

Quatrième édition

Jean Perchât Jean Roux

Jean Perchât, ingénieur ECP, a, pendant plus de trente ans, participé activement, au sein de commissions nationales ou internationales, à la rédaction des textes normatifs relatifs au béton armé, et enseigné les méthodes de calcul qui en découlent. Jean Roux, ingénieur ETP CHEBAP, pratique le calcul des structures en béton sous une double approche du fait de ses activités d'ingénieur à la SNCF et de professeur à l'ESTP.

Code éditeur :G11049 ISBN: 2-212-11049-9

Pratique du BAEL 91 présente, à partir des lois classiques de la Résistance des Matériaux, et après l'étude des méthodes de calcul propres à chaque sollicitation élémentaire (effort normal, effort tranchant, moment fléchissant, moment de torsion) et au flambement, le dimensionnement des éléments de base d'une structure (tirant, poteau, poutre, dalle). Chaque chapitre comporte un rappel de cours suivi d'un ou p l u s i e u r s e x e r c i c e s d'application traités en détail. Il y est tenu compte des nouvelles règles de prise en compte de la fissuration définies par les Règles BAEL 91 modifiées 99 applicables depuis le 15 février 1999. Les exercices sont accompagnés de nombreuses informations utiles pour les calculs.

Cette quatrième édition est enrichie par : O des formules plus précises pour les pourcentages minimaux d'armatures en flexion simple et composée, basées sur des valeurs plus réalistes des bras de levier des forces élastiques, O une formule approchée du moment limite ultime au-delà duquel des armatures comprimées sont nécessaires dans les sections rectangulaires, en flexion simple, valables pour des bétons de résistance caractéristique allant jusqu'à 60 MPa, Q des compléments portant sur les effets de l'effort tranchant permettant de mieux appréhender les prescriptions des Règles BAEL 91 modifiées 99, O la distinction entre torsion d'équilibre et torsion de compatibilité définissant les cas où une étude de la torsion des éléments en béton armé est nécessaire.

Cet ouvrage est extrait du cours de l'École spéciale des travaux publics (ESTP) professé jusqu'à ces dernières années par Jean Perchât et repris depuis par Jean Roux. Il s'adresse aux étudiants en bâtiment et génie civil, aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireux d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués en calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour leurs connaissances dans ce domaine. L I a N/illettfi

)mpatibles avec la géométrie du tunnel pour un gabarit de véhicule donné, de réduire consiârablement les coûts de « mise au gabarit » des tunnels de la SNCF. e retour au Département des Ouvrages d'Art en 1983, il devient responsable des études teches et informatiques de la Division des Tunnels, dans un domaine où la Résistance des atériaux et la Mécanique des Sols sont si étroitement confrontées.

•

AVANT-PROPOS

on expérience et ses compétences lui valent plusieurs missions à l'étranger pour des projets rénovation de tunnels, auxquels il apporte toutes ses connaissances techniques et éconoiques. tégré à la SNCF dans une solide équipe d'ingénieurs émérites, tels que J. Gandil, Trufandier, J. Eyraud, A. Rozière, Jean Roux garde le contact avec l'École Spéciale des 'ravaux Publics en tant que Maître assistant puis Professeur de béton armé. Il est aussi ofesseur de Résistance des Matériaux au Centre des Hautes Études de la Construction depuis 983. ; présent ouvrage a trois objectifs : - il est d'abord un vade-mecum de l'ingénieur par le rappel constant des bases de la Résistance des Matériaux, fondement logique de toute réflexion sur la construction ; - il est aussi l'image vivante d'un cours agréable. Certes il faut y trouver la trame de l'exposé théorique et la rigueur de la formule car il s'agit bien là de règles et de normes, mais l'exercice appliqué et expliqué y ajoute l'exemple, l'utile et le concret ; - il est enfin un recours pour l'ingénieur confirmé, en lui présentant les dernières évolutions, qui relèvent d'expérimentations ou de dispositions réglementaires dans une dynamique d'actualité et de progrès. Sous la double signature de Jean Perchât et de Jean Roux, qui furent dans la relation de maître a élève avant d'œuvrer dans une fructueuse collaboration, cet ouvrage arrive à son heure pour tous ceux qui participent à l'art d'édifier et de construire.

Les dernières mises à jour des Règles de calcul des ouvrages en béton armé aux étatslimites dites Règles BAEL 91 modifiées 99 sont applicables depuis le 15 février 1999. Cet ouvrage, extrait du cours de béton armé professé à l'École Spéciale des Travaux Publics (ESTP) jusqu'à ces toutes dernières années par J. Perchât et maintenant par J. Roux, qui intègre ces modifications, est destiné : - aux projeteurs, élèves-ingénieurs, jeunes ingénieurs et étudiants ayant le béton armé à leur programme d'études, désireux d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués dans le domaine du calcul des structures de génie civil en béton armé, - ainsi qu'aux ingénieurs confirmés qui souhaitent appliquer directement les derniers errements réglementaires. Après quelques rappels sommaires de Résistance des Matériaux (matière qu'il est indispensable de connaître avant d'aborder le calcul d'une construction en quelque matériau que ce soit), puis des généralités concernant l'évaluation des sollicitations et des caractéristiques des matériaux acier et béton, chaque chapitre est consacré aux méthodes de calcul propres à une sollicitation élémentaire (traction simple, compression simple, flexion simple, ...) ce qui permet d'aborder dans les derniers chapitres les calculs relatifs aux éléments constitutifs d'une construction simple (dalles, poutres, planchers,...). Chaque chapitre est organisé en deux parties :

E. CHAMBRON Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées Directeur honoraire de l'Équipement de la SNCF

1) des rappels de cours présentant les méthodes de calcul et formules réglementaires avec des démonstrations et des explications permettant de comprendre leur fondement scientifique et expérimental ainsi que leur philosophie, 2) un ou plusieurs exercices d'application commentés et des compléments permettant de visualiser les techniques et hypothèses en même temps que d'acquérir une expérience et de « bonnes » habitudes dans le domaine du béton armé appliqué aux bâtiments et aux travaux publics. Si les Règles BAEL se prêtent bien aux calculs informatiques, il ne nous a pas paru nécessaire, devant la multiplicité des langages de programmation (basic, C, turbo pascal,...), de donner, chaque fois que l'usage d'un micro-ordinateur se justifiait, des programmes de calculs. Nous avons préféré donner plutôt des organigrammes et enchaînements explicitant le déroulement des processus de calcul que le lecteur pourra aisément transcrire sur son ordinateur.

Les nombreuses informations relatives au génie civil (valeurs des charges permanentes et d'exploitation, contraintes limites des matériaux, caractéristiques géométriques des aciers en barres, formulaires pour poutres isostatiques, tableaux de caractéristiques des sections,...) rencontrées en parcourant les divers chapitres faciliteront la tâche du technicien dans l'élaboration de ses projets.

AVERTISSEMENT

Cet ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif et complet dans ce vaste domaine qu'est le béton armé (ce n'est qu'un extrait du cours de l'ESTP). Il a pour seul objectif de bien faire comprendre les méthodes de calcul propres au béton armé aux états-limites, de répondre aux interrogations et de faciliter la tâche de l'ingénieur d'études qui appliquera les Règles BAEL91. Dans cette nouvelle édition de « Pratique du BAEL 91 », les auteurs ont introduit les nouvelles valeurs des contraintes limites de l'acier à l'état-limite de service, telles qu'elles sont définies dans les Règles BAEL 91 modifiées 99 applicables depuis le 15 février 1999. La nécessité d'atténuer, pour les bétons courants, la sévérité des valeurs résultant de l'application stricte des Règles BAEL 91 s'est révélée à l'usage. Pour ces bétons, les nouvelles limites proposées conduisent à des dimensionnements quasi identiques à ceux des Règles BAEL 83 en cas de fissuration préjudiciable, mais légèrement plus favorables en cas de fissuration très préjudiciable. Les modifications précitées étendent par ailleurs le domaine d'application des Règles aux bétons de résistance comprise entre 60 et 80 MPa. Les modifications corrélatives des données et formules de base sont nombreuses et importantes. En tenir compte, même en se bornant à les mentionner, aurait exigé une refonte totale du présent ouvrage. Compte tenu du caractère exceptionnel, actuellement, de l'emploi de tels bétons, ceux-ci restent hors du domaine visé par Pratique du BAEL 91. Les auteurs ont mis à profit cette nouvelle édition pour expliciter certains points comme, par exemple : - les formules relatives au pourcentage minimal d'armatures en flexion simple et composée, basées sur des valeurs plus réalistes des bras de levier des forces élastiques que celles figurant dans les commentaires des Règles BAEL 91, - une formule approchée du moment limite ultime, pour les sections rectangulaires en flexion simple, permettant d'en étendre le domaine d'application à des bétons de résistance allant jusqu'à 60 MPa, - des compléments concernant les effets de l'effort tranchant permettant de mieux appréhender les prescriptions des Règles BAEL 91 modifiées 99, l'introduction des notions de torsion d'équilibre et de torsion de compatibilité afin de définir les cas où il est nécessaire de faire une étude de la torsion des éléments en béton armé.

Les auteurs.

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

1

I. RAPPELS DE COURS

1

1. Caractéristiques géométriques 2. Théorie des contraintes 3. Théorie des poutres 4. Éléments de réduction 5. Conditions générales d'appui des poutres 6. Systèmes isostatiques et hyperstatiques 7. Équations intrinsèques des poutres droites 8. Relations contraintes-efforts 9. Tronçons de poutres droites

1 6 10 12 14 15 16 18 24

IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES

34

CHAPITRE 2 : BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS

41

I. RAPPELS DE COURS

41

1. Unités 2. Actions et sollicitations 3. Caractéristiques des matériaux 4. Hypothèses et données pour le calcul du béton armé

41 41 50 55

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS

57

CHAPITRE 3 : ASSOCIATION ACIER - BÉTON

65

I. RAPPELS DE COURS

65

1- Définitions 2. Disposition des armatures 3. Contrainte d'adhérence 4. Ancrage des barres 5. Jonctions par recouvrement

65 66 67 76

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

80

CHAPITRE 4 : TRACTION SIMPLE - TIRANTS I. RAPPELS DE COURS

85 85 85 85 87 87 87 88

1. Introduction 2. Dimensionnement des armatures 3. Vérification des contraintes 4. Détermination du coffrage 5. Condition de non-fragilité 6. Armatures transversales IL EXERCICE : TIRANT - FISSURATION PRÉJUDICIABLE

90

CHAPITRE 5 : COMPRESSION SIMPLE I. RAPPELS DE COURS

93 93 93 93 94 97 98

1. Hypothèses 2. Élancement 3. Armatures longitudinales 4. Armatures transversales 5. Coffrage

!

IL EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

99

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

102

IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU - GRANDE DIMENSION IMPOSÉE

105

CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE I. RAPPELS DE COURS 1. Introduction 2. Section rectangulaire - fissuration peu préjudiciable 3. Section rectangulaire - fissuration préjudiciable ou très préjudiciable 4. Coffrage des sections rectangulaires 5. Sections en T 6. Pourcentage minimal d'armatures 7. Vérification des contraintes à l'E.L.S 8. Organigrammes récapitulatifs pour le dimensionnement des armatures 9. Vérification à l'E.L.U. d'une section rectangulaire dont on connaît les armatures..

113 113 113 113 129 133 133 138 140 143 146

II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMÉS

147

III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE - SECTION À TABLE DECOMPRESSION

152

TV EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE SECTION RECTANGULAIRE

158

V EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE ' SECTION EN T(M u >M Tu )....

161

CHAPITRE 7 : EFFORT TRANCHANT I. RAPPELS DE COURS

173 173

1. Définition 2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant 3. Vérification du béton 4. Calcul des armatures d'âme 5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 6. Zones d'application des efforts 7. Jonction hourdis-nervure 8. Poutres à talon

186

IL EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT

198

III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE ARMATURES D'ÂME INCLINÉES

205

CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE

217

I. RAPPELS DE COURS 1. Généralités - Introduction 2. Sections partiellement tendues 3. Sections entièrement tendues 4. Sections entièrement comprimées 5. Diagrammes d'interaction

217

H. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

244

III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION SECTION ENTIÈREMENT TENDUE

251

IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

254

CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME I. RAPPELS DE COURS 1. Introduction 2. Répartition des armatures longitudinales

259

3. Répartition des armatures d'âme

267

CHAPITRE 10 : TORSION I. RAPPELS DE COURS 1. Introduction 2. Rappels de Résistance des Matériaux 3. Vérification du béton 4. Armatures

269 269 269 270 272 274

IL EXERCICE : AUVENT

277

CHAPITRE 11 : FLAMBEMENT

285

I.

285 285 287 288 293 298 302 307

RAPPELS DE COURS 1. Excentricités 2. État-limite ultime de stabilité de forme 3. Équations du problème 4. Méthode de l'équilibre - Méthode des déformations internes 5. Utilisation des tables de Faessel - Robinson - Morisset 6. Corrections diverses 7. Utilisation des abaques de Capra

II. EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE PAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DURÉE)

311

III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE ET PAR LES TABLES

314

IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE PAR LES ABAQUES DE CAPRA

320

CHAPITRE 12 : POUTRES CONTINUES - PLANCHERS I. RAPPELS DE COURS A. Poutres continues - Rappels - Adaptation

325 325 325

1. Rappels de Résistance des Matériaux 2. Essais de poutres en béton armé 3. Portées des poutres et portiques 4. Poutres de planchers

325 326 328 330

B. Planchers - Méthode forfaitaire 1. Domaine de validité Principe de la méthode - Adaptation 3. Moments fléchissants 4. Efforts tranchants

333 333 334 335 337

„.,,..

5. Méthode Caquot « minorée » C. Planchers - Méthode Caquot

338

1 Domaine de validité 2. Évaluation des moments 3. Efforts tranchants 4. Travées de rive avec console

343 347

D. Poutres continues - Dimensionnement

348

1 Conditions de déformation 2. Résistance à la flexion 3. Vérification à l'effort tranchant

348 350 351

II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER - MÉTHODE FORFAITAIRE

351

III. EXERCICE N° 2 : PLANCHER - MÉTHODE CAQUOT

370

CHAPITRE 13 : DALLES RECTANGULAIRES SUR APPUIS CONTINUS

383

I. RAPPELS DE COURS

383

1. Introduction 2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 4. Effort tranchant 5. Poinçonnement 6. Dispositions constructives 7. Arrêt des armatures 8. Autres critères pour les bâtiments

384 386 390

II. EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40)

394

CHAPITRE 14 : DESCENTE DE CHARGES

403

I. ' RAPPELS DE COURS

403

1. Principe 2. Valeurs des charges permanentes et des charges d'exploitation 3. Dégression des charges variables d'exploitation 4. Effet de la continuité sur les poteaux voisins de rive

403

406

II. EXERCICE : BÂTIMENT - DESCENTE DE CHARGES

409

ANNEXE 1 : CALCUL MANUEL D'UNE SECTION RECTANGULAIRE À ARMATURES SYMÉTRIQUES À L'E.L.U. PAR APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

427

ANNEXE 2 : VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIRE DONT ON CONNAÎT LES ARMATURES

433

ANNEXE 3 : MOMENT LIMITE ULTIME EN FLEXION COMPOSÉE

435

NOTATIONS - SYMBOLES.

461

RÉFÉRENCES

467

BIBLIOGRAPHIQUES

CHAPITRE 1

RAPPELS DE RESISTANCE DES MATÉRIAUX

Ce chapitre rassemble les notions de base indispensables en Résistance des Matériaux pour bien aborder les calculs de béton armé selon les Règles BAEL 91. Il se présente donc plutôt sous la forme d'un aide-mémoire.

I. RAPPELS DE COURS 1. CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES 1.1. MOMENT STATIQUE - CENTRE DE GRAVITÉ • Pour une surface S repérée par rapport aux axes Oy et Oz :

—-t-

I On appelle AIRE d'une SURFACE, la quantité :

2. MOMENTS ET PRODUITS D'INERTIE • On appelle MOMENTS D'INERTIE de la surface I, par rapport aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :

• On appelle MOMENTS STATIQUES de la surface I, par rapport aux axes (A) Oz et Oy, les quantités :

l On appelle PRODUIT D'INERTIE de la surface I par rapport aux axes Oz et Oy la quantité :

y.z.dZ 'I.

• On appelle CENTRE DE GRAVITÉ (ou BARYCENTRE) de la surface 2, le point G de 2 dont les coordonnées sont définies par les relations :

l On appelle RAYONS DE GIRATION relatifs aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :

.dl

Z

G=-

f

,2_Iz

u

.

y~s~

• On appelle MOMENT D'INERTIE POLAIRE de la surface E par rapport au point O la quantité :

dl I La distance du centre de gravité G à l'axe (A) est définie par

L Ô

b-

S

A

Jô.dZ "I

S

If

1.3. REMARQUES • Si le point O est choisi au centre de gravité G : ZG = yG = 0 et LE MOMENT STATIQUE PAR RAPPORT À UN AXE PASSANT PAR LE CENTRE DE GRAVITÉ EST NUL. • II est possible d'obtenir le moment d'inertie de l'aire 2 par addition des moments d'inertie des aires 2j constituant l'aire 2 :

Si Ivz = 0, les axes Oz et Oy sont dits : AXES PRINCIPAUX D'INERTIE . I Le produit d'inertie est nul si l'un des axes Oz ou Oy est axe de symétrie de l'aire £

=

! 5. FORMULES USUELLES

.„,

ï

y t I*=- 12

y.z.dZ+ U.z.dZ

, • Comme r2 = y2 + z2, on peut exprimer le moment d'inertie polaire en fonction des moments d'inertie :

h =T

h[2B+b] ' 3[B+b] 36[B+b]

1.4. CHANGEMENT D'AXE - THÉORÈME DE HUYGHENS

, h[B+2b] '~ 3[B+b]

y t

En posant : A' = axe passant par le centre de gravité G de 2,

v=v'=R

= 2R

A = axe quelconque parallèle à A',

-S ( f ) dû aux f oxc.es ' agissant«à droite» du tétraèdre.

et en écrivant que la projection des efforts suivant chacun des axes de coordonnées est n; = cosinus directeur de la facette dont la normale est parallèle à Ox;.

nulle, on obtient :

La contrainte agissant sur la face ABC considérée comme n'appartenant pas au tétraèdre vaut : If!

•

d'où:

• Les facettes OBC, OAC et ABC sont soumises aux contraintes représentées sur la figure ci-après :

I Pour la facette OAC dans le plan

Xinfiniment petit devant dxi

Œ) (C)

'31n3QS>dx

3.2. SECTION DROITE Aux infiniment petits du second ordre près, les moments en O' donnent :

dx,

dx,

:

• L'aire plane (E) est appelée. : SECTION DROITE ou PROFIL. • Elle peut être :

*

• plane ou évidée, • constante ou lentement variable, pour pouvoir résister notamment aux efforts au voisinage des appuis.

or : HJ ds = — dx2 dx3 et n3 ds = — dxj dx2

• Les dimensions de la section droite doivent être petites relativement à la longueur parcourue par G sur la courbe (C). /! ',*

d'où:

t *-|

'

3.3. FIBRE MOYENNE - La courbe (C) décrite par le centre de gravité G de la section droite est dite : FIBRE ou LIGNE MOYENNE de la poutre. soit, en simplifiant par — dx l dx 2 dx 3 : T B = T 31 - Suivant la forme de la ligne moyenne, on obtient : Cette démonstration étant valable dans les trois plans, on en déduit :

- une POUTRE DROITE lorsque (C) est une droite, - une POUTRE GAUCHE lorsque (C) est une courbe gauche,

- = Ti quel que soit ixj

3. THÉORIE DES POUTRES 3.1. POUTRE - Une POUTRE est un solide engendré par une aire plane (L) délimitée par un contour fermé dont le centre de gravité G décrit une courbe (C) de l'espace de telle sorte : - que le plan de (Z) soit toujours normal à la tangente en G à la courbe (C), - que la trajectoire décrite par un point P quelconque de (Z) soit toujours parallèle à la courbe (C).

- un ARC lorsque (C) est une courbe plane ouverte, - un ANNEAU lorsque (C) est une courbe plane fermée, - une POUTRE À PLAN MOYEN lorsque (C) est une courbe plane dans le plan de symétrie de la section droite (appelé PLAN MOYEN). 3.4. DOMAINE DE VALIDITÉ DES HYPOTHÈSES DE LA THÉORIE DES POUTRES En désignant par : ht = plus grande dimension transversale de la section droite, b = plus petite dimension transversale de la section droite, R = rayon de courbure de la ligne moyenne,

T = rayon de torsion de la ligne moyenne,

B Remarque : Pour les poutres à plan moyen, Gy est dans le plan moyen.

L = longueur développée de la poutre,

Le système des forces extérieures agissant sur la partie (DG) se réduit, au centre de gravi-

il faut :

té G de la section droite, à : /R(s) = RÉSULTANTE GÉNÉRALE

-^-110 b 1 f—-< ht — 1 : poutres 1 30 L 5 1 :arcs ht 1 < —£. < 4100 L 5

TIT

\M(s) = MOMENT RÉSULTANT • Dans le repère Gxyz, lié au centre de gravité G de (Z), la décomposition des efforts s'écrit, pour la section d'abscisse curviligne s :

/R(s) = N . x + V y . y + V z . z

> 5 : poutres courbes

\M(s) = T . x + M y . y + M z . z

r=R ou T

Rou-T

I D'où :

4. ELEMENTS DE REDUCTION 4.1. EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE

• la résultante générale R se décompose en : N = EFFORT NORMAL porté par Gx, V = | yy = EFFORTS TRANCHANTS dans le plan de (Z).

le moment résultant M se décompose en : • Repère associé au centre de gravité de la section droite (Z) :

T = COUPLE DE TORSION d'axe porté par Gx,

Gx, orienté de la gauche vers la droite sur la tangente à la ligne moyenne,

M=

Gy et Gz, portés par les axes principaux d'inertie de la section droite.

| My =

MOMENTS

FLÉCHISSANTS dans le plan de (Z).

5 2.

4.2. EFFORT NORMAL ET TRANCHANT Nous avons défini l'effort normal (resp. tranchant) relatif à la section (Z) de centre de gravité G, d'abscisse curviligne s, comme étant égal :

ARTICULATION B

Appui s'opposant à toute translation, mais autorisant les rotations :

- à la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DE GAUCHE), - à l'opposé de la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCES DE DROITE). 4.3. MOMENT FLÉCHISSANT ET COUPLE DE TORSION De la même manière, le moment fléchissant (ou le couple de torsion) relatif à la section (£) de centre de gravité G d'abscisse curviligne s est défini comme étant égal : - à la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la normale Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DE GAUCHE), - à l'opposé de la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la normale Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCES DE DROITE).

• Deux composantes de la réaction d'appui. 5.3. ENCASTREMENT PARFAIT • Appui interdisant toute translation et toute rotation

5. CONDITIONS GÉNÉRALES D'APPUI DES POUTRES 5.1. APPUI SIMPLE • Appui qui n'empêche le déplacement que dans le sens perpendiculaire à sa surface. Un tel appui permet la translation suivant l'axe Ox et la rotation autour de l'axe Oz : y t

l Deux composantes de la réaction d'appui et une du moment d'encastrement. >

ou ,-'//, ••'/•

6. SYSTÈMES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES • D'après le principe fondamental de la Statique, un solide est en équilibre si le système S(F) des forces qui lui sont appliquées (charges et réactions d'appui) est équivalent à un

• Une seule composante de la réaction d'appui.

système de forces nul. Cela conduit, dans le cas général, à six équations :

PRATIQUE DU BAEL 91

16

Rappels de Kesismnce aes muienuiui

2 ÉQUILIBRE DU TRONÇON ÉLÉMENTAIRE DE POUTRE Le tronçon GG' limité par deux sections droites infiniment voisines (Z) et (£') d'abscisses respectives x et x + dx est en équilibre sous l'action : _ des charges appliquées : p(x), q(x) et y(x), - des éléments de réduction des forces de gauche : M, N et V, _ des éléments de réduction des forces de droite : • Par conséquent : r = nombre de réactions et moments d'appui inconnus, k - nombre d'équations fournies par la Statique (k < 6),

dx

dx

,

. , , , ' . '& ^ f ,» -

dx

l Par projection, il vient :

si r - k, le système est dit ISOSTATIQUE et les équations de la Statique permettent de déterminer toutes les réactions d'appui,

>r\\m !,«

si r > k, le système est dit HYPERSTATIQUE d'ordre r - k car il manque r - k équations pour calculer toutes les réactions d'appui,

; Hï A' • Pour deux sections droites (1,^ et (£2), infiniment voisines, distantes de dx et soumises ; l'action d'un moment fléchissant M, :

1

dûJ

J?

dx

Mz EI Z

- . - . / • K > î.*f ; -• 5«

8

-4.3. Flexion déviée

!J

• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à. - un moment fléchissant My d'axe Gy, - un moment fléchissant Mz d'axe Gz.

• Dans ces conditions, la contrainte normale et les déplacements relatifs dus à la flexion déviée, dans une section droite homogène et élastique, valent :

_ VA et MA = éléments de réduction des forces de gauche en (ZA), _ VB et MB = éléments de réduction des forces de droite en (SB).

V

V

t

Mz.y °~ Iz My_

dx Hfl z au dx

Ely M nz EI Z

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i

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My.z ly

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A*

a

B

J

:::::::::S ^ S

w+ ^

iH;

T

ma &4

(SB) ;,- , ";S »

'•'E

r .+

l Les sens positifs sont ceux figurant ci-dessus. l Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2 et z - ± b/2) : 9.2. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION DANS TOUTE SECTION (I) DU TRONÇON DE POUTRE

y t

9.2.1. Effort tranchant Les forces de gauche donnent en G :

o- — SI

+

6MV

6M7 bh2

Hh

hb2 '0

•4|

9.2.2. Moment fléchissant De la même façon :

x 0

9. TRONÇONS DE POUTRES DROITES 9.1. CHARGEMENT ENVISAGÉ 9

• On considère un tronçon de poutre droite limité par deux sections droites : (SA) (origine) et (SB) (extrémité).

-3. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION •3.1. Éléments de réduction en fonction des éléments de réduction isostatiques d'appui de la poutre isostatique associée

• Ce tronçon de poutre est supposé sollicité par des forces situées dans son plan moyen : - densité de charge répartie p(Ç) d'abscisse £ depuis (SA), - forces verticales concentrées P; d'abscisse xt depuis

1

Pour une poutre sur deux appuis simples soumise aux mêmes charges et de même longueur que le tronçon de poutre étudié (POUTRE ISOSTATIQUE ASSOCIÉE) :

27

Rappels de Résistance des Matériaux

PRATIQUE DU BAEL 91

26

d'où, il vient : M B -M A

MA - M

>K

b) Éléments de réduction

Ri

• Dans toute section droite (Z) du tronçon de poutre étudié :

• RA est obtenue en écrivant que le moment résultant en B est nul :

M=M A +V À x-I Pitx-Si)Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a : l En remarquant que pour la poutre isostatique associée au tronçon étudié :

x

h nous obtenons, par identification :

*

soit : MA-MB

M B -M A

l La réaction RB est obtenue en écrivant que la résultante générale des forces est nulle : l Nous obtenons par identification :

,1

>\:- - . • . ; . ' .

d^i dx

MA-MB %/

^

Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a : HVAX +

,1 I Soit, après simplification : nous obtenons par identification : soit : , = V A - V B - R A avec R A = VA +

M , - M RB \

/

f -7 ^

\

A

M

,-MB) /

J"

9.3.2. Définition On appelle éléments de réduction isostatiques (respectivement MOMENT et EFFORT TRANCHANT ISOSTATIQUES), les éléments de réduction dans toute section droite (I) d'un tronçon de poutre, lorsque ce tronçon de poutre repose à ses deux extrémités sur des appuis simples.

Remarque : dans le cas où a = - on pose :

9.3.3. Poutres droites isostatiques : éléments de réduction a) Cas d'une charge concentrée Cas d'une charge uniformément répartie

(E)

(Z)

P

-H 1

RB=-vB I Réactions d'appui : Réactions d'appui :

MB = 0 = > R A . / - P ( / - a ) = 0 = > R A = P | l - -

«=P-R A ^RB=PSollicitations : Sollicitations :

M ( x ) = R A x = P | l --|x 0 6 mm b) Coefficient de scellement

f e =500MPa

- des fils tréfilés HA et des treillis soudés formés de ces fils (TSHA) : Fe TE 400 f e = 400 MPa : fils HA FeTESOO f e = 500 MPa : fils HA et TSHA

s

_ 1,0 pour ronds lisses \ 1,5 pour barres etfilsHA

3.3. BÉTONS 3

- des fils tréfilés lisses qui sont assemblés en treillis soudés (TSL) : TSL 500 fe= 500 MPa

-3.1. Résistances *c28 - résistance caractéristique à la compression, fI

- • t2s - résistance caractéristique à la traction,

3.2.3. Diagramme contraintes-déformations Le diagramme de calcul se déduit du diagramme caractéristique (idéalisé) par une affinité parallèle à la droite de Hooke et de rapport l/ys.

f t 2 8 = 0 , 6 + 0 , 0 6 . f c 2 8 (MPa)

;

,

soit, dans les cas courants :

fonction de la durée t d'application de la combinaison d'actions considérée f c28 (MPa)

f,28 (MPa)

25

2,10

30

2,40

35

2.70

40

3,00

11,00 :t>24heures 9 = ( 0,90 : 1 heure < t < 24 heures 0,85 : t < l heure 3 3.4. Retrait du béton 1,5.10

3.3.2. Modules de déformation

4

dans les climats très humides

4

Instantanée à j jours d'âge (avec j < 28) :

.1

3 000 \ / f

j

2,0 . 10~ en climat humide, ce qui est le cas de la France métropolitaine sauf dans le quart sud-est 3,0 . 10~4 en climat tempéré sec, tel que le quart sud-est de la France métropolitaine 4,0 .10" en climat chaud et sec i 5,0 . 10"4 en climat très sec ou désertique

À long terme :

Pour j > 28 jours et fc28 < 40 MPa, on adopte (cf. § 3.4.2. chapitre « État limite de service vis-à-vis des déformations » de l'ouvrage Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés) :

4. HYPOTHÈSES ET DONNÉES POUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ On distingue deux types d'états-limites pour le dimensionnement (armatures et béton) : - états-limites ultimes (E.L.U.), • de résistance, • de stabilité de forme, - états-limites de service (E.L.S.) atteints : • par compression excessive du béton, • par ouverture excessive des fissures, • par déformation excessive.

c28

3.3.3. Diagramme contraintes-déformations Diagramme parabole-rectangle : (7,

OS = parabole du 2e degré tangente en son sommet S à l'horizontale.

4.1. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES GÉNÉRALES VALABLES POUR TOUS LES ÉTATS-LIMITES Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (principe de Navier-Bernoulli). La résistance du béton tendu est considérée comme nulle. Par adhérence, les déformations relatives de l'acier et du béton au contact sont les mêmes.

',28 4

-2. HYPOTHÈSE SUPPLÉMENTAIRE POUR LES E.L.S.

avec :

En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont proportionnelles aux déformations relatives : 1,15 : combinaisons accidentelles 1,50 : autres cas

Al

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS

On définit le coefficient d'équivalence par la relation :

— ÉNONCÉ —

n = — = 15 (valeur conventionnelle) E b

Pour l'ossature de bâtiment figurée cicontre :

^__Jàçrotère_

4.3. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES POUR L'E.L.U. Le raccourcissement relatif du béton est limité : - à 3,5/1 000 en flexion, - à 2/1 000 en compression simple.

0

L'allongement relatif de l'acier est limité : - à 10/1 000.

0

Le dimensionnement à l'état-limite ultime est conduit en supposant que le diagramme des déformations passe par l'un des trois pivots A, B ou C définis ci-dessous.

18,00 m

Allongements^Raccourcissements^

• On se propose : 1) de déterminer les charges globales pour une longueur unitaire de bâtiment, en supposant pour simplifier : • que les planchers sont simplement appuyés sur les poteaux, au niveau du plancher haut du rez-de-chaussée (RdC) pour les charges verticales, • que la base des poteaux est articulée pour les charges horizontales.

0

©

(RdC) ^^^^

• Charges : • sur terrasse et les trois planchers : g = 17 kN/m2 permanentes, q = 17,83 kN/m2 variables (VI/Q = 0,77). • acrotères et façades : G = 48 kN/m à l'E.L.S., • vent : w = 5,60 kN/m2 à l'E.L.U.

(B)

• Pivot A Région 1

2) de calculer les efforts normaux extrêmes à l'E.L.U. dans le poteau A.

- Allongement de l'acier le plus tendu : es = 10.1Q-3 ; pièces soumises à la traction simple ou à la flexion simple ou composée. • Pivot B Région 2

— CORRIGÉ —

- Raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée : e^ = 3,5.10~3 ; pièces soumises à la flexion simple ou composée. • Pivot C Région 3 - Raccourcissement de la fibre de béton à la distance 3h/7 de la fibre la plus comprimée : ebc=2.10-3; pièces soumises à la flexion composée ou à la compression simple.

1- CHARGES À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME L

l- CHARGES VERTICALES Pour 1 mètre de longueur de bâtiment : - Charges permanentes : g = (3 + 1).17 = 68 kN/m - Charges variables : q = (3 + 1). 17,83 = 71,32 kN/m - Façades : G = 48 kN/façade

1.2. CHARGES HORIZONTALES W = w.h appliquée à h/2 au dessus des fondations

Pi . L - P 2 . J + PI — - P 2 —

W = 5,60. 18= 100,80 kN appliquée à 9,00 m au dessus du niveau

2

L^

MB =

2

2

D'où:

2. COMBINAISONS D'ACTIONS A L'E.L.U.

|p 2 et p2 mini

La formule générale des combinaisons d'actions à considérer à l'E.L.U. s'écrit : min

(0.77.W

IF, et pi mini |P2et p 2 maxi

0,77. S n

De la même manière :

1 3

+ 1,3 {0,615 T

•-

l,jj . ^-*niax * min

1,35 [T]

o,77.S n + V o . Q

M'

0,77 W + 0,77. S „

Elle conduit à deux combinaisons d'actions lorsque l'on prend QB comme action variable de base : l,35.G max +G min +l,5.Q B l,35.Gmax + G min +l,5.Q B +W

(1) (2)

VB

. L = P2 (L + /) + pi — + P2 • / L + - =» VB =

P 2 (L + /) + Pi — + P 2 . / L + 2 2

3.2. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A a) Cas de charge P

P=l,35g+l,5q

et à deux autres combinaisons d'actions lorsque l'on choisit W comme action variable de base : l,35.Gmax+ G min + 1.5.W + U.VO.QB (3) l,35.G max +G min +l,5.W (4)

p=1,35g

2~ G

P^l, 35. 48 = 64, 8QkN F 2 =48kN P1 = l , 3 5 . 6 8 + l , 5 . 7 1 , 3 2 = 1 9 8 , 7 8 k N / ' m

p = 1 , 3 5 . 68=91, 80kN/m L=7,50m

Chacune de ces quatre combinaisons d'actions est à décomposer en cas de charge suivant l'effet recherché (cas de charge = disposition des charges sur chaque travée de la structure).

1=2, 50m b) Remarque

3. COMBINAISON (1) : l,35.Gmax + G min+ 1,5.QB

Le poids propre des planchers, g, intervient sur toute la longueur de ces derniers dans Gmax.

3.1. INTRODUCTION

Le poids G des façades est tantôt multiplié par 1,35 et tantôt par 1,00 dans la mesure où ces deux façades ne sont pas identiques ni composées des mêmes matériaux.

Sous l'effet des charges verticales, l'étude du bâtiment se ramène au schéma statique suivant : c

) Réaction d'appui P i . L - P z / + P 1 ^- P 2 ^

64,80.7,50-48.2,5 + 198,78^ -91,80^ 7,50

VAmax = 755,98 kN

3.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A a) Remarque Compte tenu du rapport des portées L// =3, la part de VA due au poids propre des planchers est: VA = (9.p 1 - P2 )- / ^= 4 -^^ 2.L L I

max

JV A \

min

\

A

'B

p=l,35.g vmax_v

VA

Cas fle charge

~

VB

_W-h

~ 2.L

v max

^ Vent soufflant de B verg A

f "lin Vent soufflant de A vers B

Pour VB, c'est l'inverse qui se produit. P 2 =1,35G

E,=

P

l= 4 8 k N

4.2. REACTION D'APPUI MAXIMALE EN A a) Cas de charge

P =68kN/m p=68+1,5.71,32=174,98kNXm

P1 = l,35.G

L=7,50m 1=2,50m

P! = 1,35.48 = 64,80 kN P! = 1,35.68 + 1,5.71,32 = 198,78 kN/m p 2 = 1,35.68 = 91,80 kN/m

c) Réaction d'appui 2

2

2

W = 100,80 kN h =18,00 m L = 7,50 m 1 = 2,50 m

2

Pi . L - P2 . / + pi — - p2 — 48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 ^_ - 174,93 ^VA =

2

2

2

2

7,50 VAmin = 208,49 kN

4. COMBINAISON (2) : l,35.Gmax+ 0^ + 1,5.QB +W 4.1. INTRODUCTION L'effet du vent au niveau des fondations se ramène au schéma statique suivant :

b) Réaction d'appui

VA = -

2.L 2

2 2

64,8 . 7,50 - 48 . 2,5 + 198,78 ^°- - 91,8 ^)2 VA = ? — + 100,80 -l^W7,50 2 . 7,50 VAmax _ 755,98 + 120,96 = 876,94 kN (voir 3.2.c)

4.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A

6

a) Cas de charge

Cette combinaison d'actions est moins « agressive » que la combinaison (3) qui comporte

(Compte tenu de la remarque du paragraphe 3.3. a avec p, = g) : P 2 = 1.35.G P 2 = g+l,B.q

P -G

¥

,

A 2

4.MUUU,A / \\s si/ *\/ \J/^ ^k J t®

\

r

P2

en plus 1e terme en 1,3.\|/0.QB, donc qui fait intervenir les charges d'exploitation uniquement dans les sections où elles induisent l'effet recherché (maxi ou mini).

= tO Kl>

= 64,80 kN

= 68 kN/m P2

= 68+1,5.7

W

= 100,80 kî

?F

A

l

f

L

V

B

1_

7 CONCLUSION - RÉACTIONS EXTRÊMES EN A On a le tableau récapitulatif :

1 O f\t~\ »-_

REACTION

L = 7,50 m 1 = 2,50 m

,Max

i^- 2-^F.Y-F2y

w h

L

2.L

2,50 48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 ^- - 174,98 2 7,50

- 100,80

s

2 . 7,50

I

5. COMBINAISON (3) : l,35.Gmax+ G mm+ 1,5.W + l,3.¥o.QB 5.1. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A

] :

4\

Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.2. avec P! = 1,35 . 68 + 1,3 . 0,77 . 71,32 et W = 1,5 . 100,80 donne : VAmax = 803,69 kN

! I1

755,98

208,49

(2)

876,94

87,53

(3 )

803,69

41,91

876,94

41,91

Enveloppe

VAmin = 208,49 -120,96 = 87,53 kN

t

(1) r

2

VA =

, min

COMBINAISON

b) Réaction d'appui f

COMBINAISON (4) : l,35.Gmax + G mm+ 1,5.W

5.2. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.3. avec p2 = 68 + 1,3 . 0,77 .71,32 et W = 1,5. 100,80 donne: Vimin = 41,91 kN

NB. L'astérisque correspond à la combinaison d'action déterminante.

CHAPITRE 3

ASSOCIATION ACIER-BÉTON

I. RAPPELS DE COURS 1. DÉFINITIONS Dans une section droite d'une poutre rectiligne, on utilisera la terminologie ci-après :

r

£\ 0

0

0

f ier lit i ' \ _e > lits supérieurs ,», \— 2 lit f ^ ' " '•'

^a,r,armatures d ' âme

0 0 0

0 0

\

\

0 0

t

e ". : . . 0 — 3 lit ) e 2 lit > lits inférieurs 0

0 _l«lit )

Files verticales

••'-^

2. DISPOSITION DES ARMATURES

_ ou deux paquets de deux barres, _ ou une barre isolée et un paquet de deux barres, c = plus grosse dimension du granulat utilisé (2,5 cm en général). 2 2.2. Horizontalement Max

* l,5.Cg

2.1. ENROBAGE C'est la distance du nu d'une armature à la paroi la plus proche.

avec : eh = distance libre horizontale entre : - deux barres isolées, • • - ou deux paquets de deux barres, - ou une barre isolée et un paquet de deux barres.

:jî

>-3;!.t!^-i"

• •- • • '• ••&?•& e'TO ;-V' ? M' •

La distance entre axes des files verticales doit être telle que le bétonnage soit réalisé correctement entre elles (ménager le passage des aiguilles de vibration du béton...) :

c (ou c t )=Max 1cm

avec : *

(

5 cm : ouvrages à la mer ou exposés aux embruns, 3 cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives, parois exposées aux intempéries, aux condensations ou en contact avec un liquide, c- j ouvrages à la mer avec béton protégé par un procédé efficace, [ 1 cm : parois situées dans des locaux clos ou couverts, non exposées à des condensations. = diamètre de l'armature considérée.

S

2.2. DISTANCES ENTRE BARRES Les barres d'acier sont disposées : - de manière isolée, - en paquet vertical (jamais horizontal) de deux barres, - en paquet de trois barres (non considéré dans la suite).

H=

S

h+

w + Acalculé, on substitue à Zs la longueur d'ancrage /„ définie par :

ce qui conduit à :

"s-'AB v

ANCRER une barre, soumise dans une section B à un effort de traction Fs axial, c'est assurer, à partir de cette section, la transmission intégrale de cet effort au béton par adhérence.

cal

>. r . T

10. <

d'où :

=0

F+

que l'on écrit :

H

'réel

dF 7t . « S . r . t

soit:

3.5. ADHÉRENCE DES BARRES COURBES Considérons un tronçon de barre courbe tendue, infiniment petit, représenté par sa ligne moyenne AB d'ouverture d6. On suppose que l'on est à l'état-limite de glissement (xs = Tsu).

1

- = (i. de

F+

Pour un tronçon courbe de barre AB d'angle au centre 6 et soumis à ses extrémités aux efforts FA et FB (> FA),

d6

dR

,-.>•..• 0, - à la force due à l'adhérence sur l'arc AB = r.dG : dT, - à la réaction transversale du béton : dR.

Log|F + -

1B

Log

J A

T^y

Par projection des forces sur le rayon OB : - F . s i n d e - d T . sin — + dR . cos — = 0 soit puisque d0 et dT sont des infiniment petits : dR = F.dG En désignant par jo, le coefficient de frottement acier sur béton, l'effort dR développe une force tangentielle :

soit: 7t. . r. t

expression que l'on écrit : SU

avec :

de sens opposé au sens du glissement de la barre. Par projection des forces sur la tangente en B à la barre : de F + dF - F . cos de - (i . F . d0 - dT . cos — = 0 dF - |a . F . de - n . 2

P>5,5 p>3

Barres longitudinales Armatures transversales

2) de la condition de non-écrasement du béton : l 0,20.0

f

cj

(l+--)v e r

avec : os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime, er = distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus proche,

- les « retours d'équerre » :

l+2m

0=90'

r

COUPE À_À

- les « ancrages à 45° » (0 = 135°) : //////////////////////// -f-

8 =135

L ^s mandrins de cintrage respectifs ont des diamètres D > 5 < I > e t D > 1 0 * pour les barres longitudinales et D 2 3 * " > 5 pour les armatures transversales.

m = nombre de lits courbés simultanément, fq = résistance caractéristique à la compression du béton à j jours. 3) des conditions propres à certaines formes de barres ou d'ancrages : - courbes sur toute leur longueur,

r

- constituant les boucles de jonction de barres tendues (épingles à cheveux) r>0,35. 5 <

/r = /a = 0,4-/ s

si c < 5 <

^ys^ ^s^y^Y^i^V^ T^

Les plans des recouvrements doivent être cousus par des armatures transversales (cf. § 6.1.3. du chapitre 4 « TRACTION SIMPLE »).

'

1 1

1 1 1 1 Pr~r^,l,^f

I

M

e

ton

e

fe

Les BARRES COUVRE-JOINTS sont utilisées pour transmettre les efforts entre deux barres situées dans le prolongement l'une de l'autre. Leur longueur est au moins égale à 2-L.

*e

^rTf

TîT>, l "1f\ ri

fe i

1

4. F

1

3, 5 . F

1

,

r\-r-

1

2,5 F 2 . F *

A

£

irTfTT

f

5.1.3. Barres couvre-joints - Jonctions par chaînage

2.1.

1

"11

niïnk, mf!

fe

Remarque : Si les deux barres ont des diamètres différents, la longueur de recouvrement /r doit être évaluée à partir de la plus grande longueur de scellement droit ls.

I

1

i

fflî!

*-TTT

2 . F 2 , 5 . F 3, 5 . F 4 . F *

Efforts développés par les barres en présence (F=—j—fe)

a

,-P

5.2. ANCRAGE ET RECOUVREMENT DES BARRES COMPRIMÉES EN PERMANENCE Les ancrages de ces barres sont obligatoirement droits. Si le nombre de barres est élevé, les barres couvre-joints deviennent continues et ne se distinguent plus des autres barres. On a un « CHAÎNAGE ».

Règle : un chaînage de m barres de même diamètre comportant p coupures par longueur de j scellement droit est mécaniquement équivalent à (m - p) barres continues. Par exemple pour : - m = 4 barres, - p = 2 coupures par longueur de scellement droit, le nombre de barres utiles est de 2.

,. =M »

5.2.1. Longueurs d'ancrage /a et de recouvrement /r Les extrémités des barres prenant appui sur le béton et la dilatation transversale ayant pour effet de plaquer la surface des barres contre la gaine de béton, la longueur nécessaire pour 1 ancrage d'une barre comprimée est inférieure à la longueur de scellement droit /s. On peut prendre : - pour l'ancrage d'une barre comprimée isolée :

pour le recouvrement de deux barres comprimées de même diamètre :

exception : pièces soumises à des chocs de direction axiale (exemples : pieux mis en Place par battage, zones sismiques) pour lesquelles :

5.2.2. Armatures de couture à disposer sur 1T Voir armatures transversales des poteaux (cf. § 4 du chapitre 5 « COMPRESSION SIMPLE »).

Barres HAÏ = 4 > _*«_ s FeESOO / 4 t su / > < / j => type d'ancrage

500

/ s = 141 cm > /, = 30 cm =>

ancrage courbe

2. CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE « À 45° »

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

2.1. RAYON DE COURBURE

— ENONCE —

a) Rayon minimal

On cherche à réaliser l'ancrage total d'une barre 32 HA à partir d'un point A situé à 30 ICC e en t>eton arme d e-paisseur « mi nie »

r1 = 5,5.$

= 5,5 . 3,2 = 17,60 cm

b) Non-écrasement du béton Enrobage :

•:-\.-à

mi

*y:-:-x-:-x-:-:-x-:-x-:-:-

3cm 3,2cm ! 1 cm

e

Si*

.

c = Max

'

1 cm.

h = 3 Ocm

:

Rayon de courbure (en fait, la vérification est inutile si on respecte r > 5,55». On ne fait donc le calcul qu'à titre d'exemple) :

• Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, ft28 = 2,10 MPa, • acier : Fe E 500, r > 5,5.O.

— .v

• Enrobage des aciers : e = 3 cm. • On se propose de déterminer les caractéristiques géométriques de l'ancrage retour d'un crochet à 45° si nécessaire).

•ur,

avec : os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,

1

— CORRIGE — 1. TYPE D'ANCRAGE Contrainte limite d'adhérence : TSU = 0,6 . 1,52 . 2,10 = 2,84 MPa

1 : ronds lisses, 1,5 : barres HA.

A f

- e=A.O s +7I.O(?l 1 .

0,20 . 3,2 [SOO - ~ (30 - 3,2 - ^) 2,84J (1 + 0) 1 L £>f V ^ / J

25-0,8.2,84(1+0)1

r >r 2 = 11,56 cm soit puisque A =

7l . c)

Retenu

r = 17,60 cm = Max

r > Max

r2

avec :

117,60 cm 1 11,60 cm

2.2. LONGUEUR 1 = À.* DU RETOUR RECTILIGNE D'EXTRÉMITÉ

c = 25 MPa

c = fc2 c 8 Cr

îpaiss eur délai _^ e, infini et — = 0 pièce infinie J ' ^

= distance du centre de courbu red el a barre à la paroi la plus voisine, 1

^ J j g j _ e . l 3 5 * = ^L VK|_

L*

'

S

_L O ™

v-1

V~ ^

avec * m ~~ nombre de lits c D'où:

n|ir

©1jf v_y "

e

^^ cimnltatipmpnt 4 . / i-c c][)

fe

r > 0 20

.•

$ ?

r

X 1< D - /

^su

1+

d)

1.

y

-j

fcj

^

c ° r 2

1 AL* '^i '

f

-^

^

^(DÏ JJj

À , 0 > - 3 0 3 2 — 176 ' ' 2 ' A,! O ~ 7 6 c m - 2 3 8

er

équation du 1 degré en r : 4 , r fcj - 0,20 . O . — TSU 1 + ° v > 0,20 . ô" = 250 MPa

2 m

A , = 5 , 6 0 cm2

4.2. RETENU Résistance :

1.1. BETON

4

'6

^

Sur lr = /s, on va coudre le plan I-I.

*

a) Longueur de recouvrement tsu = 0,6.V|/s2.ft28

;

TSU = 0,6 . 1,52. 2,1 = 2,84 MPa

CHAPITRE 5

1 : ronds lisses. 1,5 : barres HA.

COMPRESSION SIMPLE

O

b) Armatures transversales A

Pour un brin 14HA

-Jf- cadres 8 HA st = 20 c» 7^ Vl-^14 H*

•>!/

V

\

jx

f-4 '

.

\ \24>14 HA

X, il,

si/ -71 4> 14 HA

s '

)S

1

'77777

ù

•77777-

cadres 4>8 HA s t -20cm cadres4> 3 HA s . = 20 cm

cadres 8 HA s^-2 ) C K

^~J =

2.1n

encas trement dans la fondation; sinon ln

2.2. ÉLANCEMENT

COUPE À A

2.2.1. Cas général

V

avec : 0

1=

- = rayon de giration de la section transversale r>

=barre prise en compte

I = moment d'inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de flambement, B = aire de la section transversale.

4)=barre non prise en compte

Le plan de flambement mentionné plus loin est celui pour lequel À = ^maxSi A, > 35, seuls sont à prendre en compte les aciers augmentant le plus efficacement la rigidité dans le plan de flambement (pochées en noir sur la figure ci-dessous).

2.2.2. Cas particuliers a) Section rectangulaire

Plan de flambement II faut normalement envisager les deux possibilités : flambement dans le plan parallèle au petit côté et flambement dans le plan parallèle au grand côté. En désignant par /fa et /^ les longueurs de flambement correspondant aux liaisons d'extrémité dans les sens a (parallèle à la dimension a) et b (parallèle à la dimension b), on retiendra :

•

0

0

J B=ba ; X

.S&L • 12

B=ba

W>

a

0

•

*

•

o

•

bll, l.a

; ! = -£=> V12 3.2. FORCE PORTANTE

b) Section circulaire

I=~

64

4.1*

À l'état-limite ultime, le raccourcissement du béton sous compression centrée est limité à 2/1 000. Le diagramme des déformations correspond à la verticale du pivot C (voir paragraphes 3.3.3. et 4.3. chapitre 2 « BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), d'où : y fi j. j. uiiy cjiitîii L

B=-

I^dLJL

(B)'v

X

/—s

^^^ XXJ1 •

f

bu O

i

se 2

f

3. ARMATURES LONGITUDINALES 3.1. INTRODUCTION - HYPOTHÈSES Toute barre longitudinale de diamètre ^ non maintenue par des armatures transversales telles que s,< 15.O, n'est pas prise en compte dans les calculs de résistance.

y

9

f

^ï^l'vl

0 Section

O^^•O& 0

/

\—ifj5*

2îi.

Déf ormat ions

Contraintes

L'effort normal limite théorique est : N u iim,th=B.f bu -"-

Les aciers doivent équilibrer : rt

k'|3-Nu-Nb 0,85

L'effort normal résistant est obtenu par correction de la formule théorique avec : - Br = section réduite de béton pour tenir compte de la sensibilité aux défauts d'exécution notamment pour les poteaux de faible section transversale, - 07(0,9.0,85) = facteur majorateur de la part de l'effort limite théorique relative au béton pour tenir compte de la maturité de ce dernier à l'âge de sa mise en charge, - a = facteur réducteur affectant Nulim th qui tient compte des effets du second ordre q ue l'on a négligés, - °sc2 = 4d - fe/Ys Par simplification de calcul. D'où la condition à respecter : B

r - f c 2 8 . . fe A.

y

Yh

3.3.2. Sections extrêmes B = aire de la section de béton. On doit vérifier : À

À min =Max.

'0,2 B

100

1+0,2.— 35 i

siA, m i n

1min s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir 4 nappes et non 3 sur lr

5. COFFRAGE

• On se propose : 1) de déterminer les armatures longitudinales, 2) de déterminer les armatures transversales.

— CORRIGE —

!

La formule de l'effort normal ultime limite donne : k

_ x

'P'Nu

i

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

bu

1-1. BÉTON On peut adopter par exemple : A/Br = 1

£=0,85.

^28 '•ni

1.1,5

— f

bu 0,9

[

100

ed

Remarque : on peut chercher à atteindre À = 35 pour que toutes les armatures participent à la résistance. Dans ce cas : (3 - 1,20.

1 2

- - ACIERS fed=-

Ys

— = 435MPa 1,15

în.-'vtV.-xO

EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

4.2. EN ZONE COURANTE C'est-à-dire hors recouvrements :

— ÉNONCÉ —

150, . 1min < — a=plus petite dimension transversale a+lOcm dans le plan de flambement 40cm

COUPE À À

r

4.3. EN ZONE DE RECOUVREMENT 4.3.1. Longueur de recouvrement

lr= .

JO,6.1S

3 nappes au moins sur l r

• Enrobage des armatures : 3 cm. Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2 on peut se contenter d'un cadre général :

If fÏ2

= 43,30 20

Coefficient P : XP=1+0,2 Le béton équilibre : -12 = 4 mm < t < 12 mm

(0,60 - 0,02) (0,20 - 0,02) 14,2 0,9

B

N ^ Nb~ 0,9

=> 1 cadre 4> 6 HA Pour 3 cm d'enrobage :

N b =l,65MN

3 + 0,6 + — = 4,2 cm 2

Les aciers doivent équilibrer : k.p.Nu-Nb N =0,85

k = 1 car moins de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours, N =

60 - 2 . 4,2 =» c = - = 25,8 cm 2 c ' = 20-2.4,2 =11,6 cm

= - 0,09 MN

d'où: Ns < 0 => Le béton est surabondant ; il suffit de prévoir la section minimale.

u = 2(a + b) = périmètre (m)

u = 2(0,60 + 0,20) = 1,60 m

B = a.b = aire béton (cm2)

B = 60 . 20 = 1 200 cm2

Max Amin --Max' \

A

s t < Min ( 40cm + 10cm

2/

14 cm / m depérimètre

0,2-?100

(40i i cm (a + 10 cm

c = 25,8 cm (40 cm < 30 cm = Mm c' = ll,6cm \20+10cm

3.2. ESPACEMENT

2.2. ARMATURES MINIMALES

/

c et c < Mm

U. 1,60 = 6,40 cm2 1 ^rvn . = Max o,2 0 = 2,40 cm \ 100

{

sans objet car A = 40cm 20 +10 = 30 cm

=> cadres 6 HA s, = 30 cm

g

/

A = A min =6,40cm

4

ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE DE RECOUVREMENT

2

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section. 2

soit : 6 O 12 HA : A = 6 . 1,13 = 6,78 cm TJ

6,78 cm2 < 60 cm 2 = 5

i 100

O.K.

Longueur de recouvrement : barres HA Fe E500 => /s = 44 aciers comprimés => /r = 0,6 /s

12 HA : /s = 44 . 1,2 = 53 cm lr = 0,6 . 53 = 31,8 cm

Nappes sur recouvrements :

• 3 nappes au moins

3 Cadres 6 HA

, 31,8-2.2.1,2 s,- —^— -=13,5 «13 cm

• On demande : 1) de vérifier la section minimale d'armatures, 2) de calculer la force portante limite du poteau, 3) de déterminer les armatures transversales.

soit s't = 13 cm < st en zone courante.

— CORRIGÉ — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

5. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

1.1. BÉTON £'bu= 0 , 8 5 .

COUPE AA 212 HA

2 * 12 HA

x

2 12 HA

cadre 6 HA

60cm

'c28

£=0,85.

25 = 14,2 MPa 1.1,5

x

20 I

6 12 HA

1.2. ACIERS CAfl

- - = 435 MPa 1,15

cadres § 6 HA s , = 3 0 cm

,13cm 31cm

3 cadres 6 HA

"l3cm

c, t 12 HA

2 5 cm

12. SECTION MINIMALE D'ARMATURES u = 2(a + b) = périmètre (m) B = a.b = aire béton (cm2)

4cm /m de périmètre B

0,2

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

u = 2.2.0,30 = 1,20 m B = 30.30 = 900 cm? 1 4 . 1,20 = 4,80 cm

100

=> A = 4 . 2,01 = 8,04 cm2 > Amin = 4,80 cm2

— ENONCE — 4 < Amax = 5 • Matériaux : • béton : fc28 = 25 MPa, • aciers : Fe E 500 HA. • Longueur de flambement : lf = 2,80 m • Moins de la moitié des charges appliquées avant 90 jours. • Charges de durée d'application supérieure à 24 heures.

B

Toô

C 900 2 A ma x = 5 — = 45 cm

=> A = 8,04 cm2 < Amax = 45,00 cm2 O.K.

3- FORCE PORTANTE Le béton équilibre :

B r =(a-2cm)(b-2cm)

Les aciers équilibrent : _ k.p.Nu-Nb • î ~ 0.85 D'où la force portante :

ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE DE RECOUVREMENT On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section Longueur de recouvrement : barres HA Fe E 500 => /s = 44 O

section | . _ /f "(\2 i —r Ai ^ — rectangulaire | a

aciers comprimés => /r = 0,6 /s

30

A, A .

{

15. 1,6 = 24cm carA>A m i n 40cm 30+10 = 40 cm

=> cadres 6 HA s, = 24 cm

;

- s.

• On se propose : 1) de dimensionner le poteau, 2) de calculer les armatures longitudinales et transversales.

— CORRIGÉ — 1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

Sollicitation agissante corrigée : î *'!> " " * '^m ;.-.; k P Nu • ; "lk = 1.10 car plus de la moitié des charges est i'.: '•''• appliquée avant 90 jours. ' • •• •• ; : • ' k . p . Nu =1,10. 1,125. 3,98 = 4,93 MN

1.1. BÉTON

Conclusion f,=0,85. 'bu

Nb = 7,30 MN > 4,93 MN = k . p . Nu =3 b = est la grande dimension du poteau. ,,- ov i.l.

Nb x k . p . Nu

i

c28

bu

3. DIMENSIONNEMENT DANS L'HYPOTHÈSE OÙ b = 70 cm > a

1.2. ACIERS

• '•;••'

Équation donnant a :

> •'•« ^

C-S-Bi

fed=-

Ys

x=-

2. SOLLICITATION À L' ÉTAT-LIMITE ULTIME N u = 1,35 . N 0 + 1,5 . NQ

Nu = 1,35 . 2 355 + 1,5 . 534 Nu = 3 980,25 kN = 3,98 MN

B. ^°' M ' 9 L= 0.2248. P 435 -0,85 Tôo 0,9

"!+"'85^ soit avec : Br = (a - 0,02)(b - 0,02) m2 :

3. COFFRAGE 3.1. DIMENSION IMPOSÉE Épaisseur de la poutre du plancher

a

=b^Ô2

+0

'°

0,2248 . p + 0,02 = 0,33 . P + 0,02 ' 0,70 - 0,02

2

b = 0,70 m L,V

3.2. INTRODUCTION Si l'on adoptait un poteau carré de 0,70 m de côté, la charge qu'il pourrait supporter, sans armatures, serait :

En partant de A = 35, nous avons a =

a (m)

0,56 0,415 0,468 0,443 0,453 0,449

Longueur de flambement : en supposant le poteau plus raide que les poutres du plancher : k=lo Élancement :

l{= 11,00 -5,40 = 5,60 m

À=-

A-

560/12 7Q -27,7

Coefficient P : Ap=l+0,2

Retenu :

H..*«(^)°-M

i^-

'f'f d'où le tableau de calcul par approxima= -rp-,

lions successives (mais voir remarque ci-après) :

N b = a68^ = 7,,OMN

section | carrée J

^

.

-î

5,60 /Ï2" a = 0,33 . p + 0,02 P=l+0,2 ,35j a 0,415 ,196 34,64 0,468 ,357 46,75 0,443 ,281 41,45 0,453 ,313 43,79 0,449 ,299 42,82 0,451 ,305 43,20

Remarque : le dimensionnement que nous venons d'effectuer repose sur la formule du § « des rappels de cours établie pour un pourcentage d'armatures A/Br = 1 %. En adoptant u pourcentage d'armatures plus faible, on aboutit à une section de béton plus grande t meilleure solution est celle conduisant au coût minimal de l'élément.

4. ARMATURES LONGITUDINALES

4 3.

SECTIONS EXTRÊMES H

Î

= 3 980,25 kN = 44,65 kN

4 cm / m de périmètre

. 2 (0,70 + 0,45) = 9,2 cm

022 — °' 100

A

-S-100

A

^ A < Am

4.1. EFFORT NORMAL ULTIME Charges sur plancher niveau 11,00 m : Poids propre poteau : 1,35(25 kN/m3. 0,70 . 0,45 . 4,20)

,,.

2

A max =

100

= 157,5 cm

Arain = 9,20 cm2 < A = 30,71 cm2 < An = 157,5 cm2

4.4. RETENU

4 . 4,91 = 19,64 cm2

Nu = 4 024,90 kN • Nu = 4,02 MN

4 . 3,14 =12,56cm 2 30,7 I c m 2 < A = 32,20 cm*

4.2. SECTION RÉSISTANTE Élancement : section

\ ltfÎ2 !=>A, = rectangulaire | a

A, =

560 /Ï2~ r^—=43,11 45

5. ARMATURES TRANSVERSALES 5.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

Coefficient (3 :

= 1+0,2

35

P= 1+0,2

43,11 35

= 1,303=1,30

K > 35 => on ne prend en compte que les aciers longitudinaux augmentant le plus efficacement la rigidité dans le plan de flambement, donc toutes les armatures puisqu'il n'y a pas de barres intermédiaires sur les petits côtés :

Le béton équilibre :

NK = -^ 0,9

g

(0,70 - 0,02) (0,45 - 0,02). 14,2 0,9

•

'

a = 4 5 cm

c'

• 1°

Nb = 4,613 MN Les aciers équilibrent : k.p.Nu-Nb 0,85

«J

•

•

•

. c L e , b = 7 0 c m > l , 1 .a=50cir

k = 1,10 car plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours. 1,10. 1,30.4,02-4,613 -= 1,336 MN Q85

D'où leur section :

A=

N, 'ed

1,336 4 A = —-— 10 =30,71 cm 2 435

2,5^ t =2,5 0,88

SCHÉMA DE FERRAILLAGE -

KLHVA11UN

-

-f

] -flO cm -f

•-LStî^

f

'\

• c- 19 cm < 40 cm

Ljn~"2~--2~J-2~'

I

Suivant a pour 3 cm d'enrobage avec 2 25 :

X

5,62 cm => c' = 45 - 2 . 5,62 = 33,8 cm c' = 33 cm < 40 cm

3.1,0 3 cm

2 cadres A . T /mm

.-JS*

^'

[3,0-0,5-1,25]^-

2 ^ > 2 5 HA

| 15 . 2 = 30 cm s t < Min / 4 0 c m 145 + 10 = 55 cm

st / r = 0,6 . / s

66 cm

53 cm

2 . 2 £ 20 HA

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section

barres HA Fe E 500 => /s = 44

'

t f\

cadre ()) 10 HA s t =30cm

'^A.

F

COUPE TRANSVERSALE 4 Pivot A =* es = 10/1 000 a > 0,259 => Pivot B => ebc = 3,5/1 000 1-a =^ £ s- e bc--^-

M s e r = F b c - Zbl = - •

- CTbc d- —

3

Connaissant Mser, on pourrait tirer y, de cette équation, ce qui permettrait de calculer : d(l-0,4.a) => A u =

O s = 15 . M, ser =

h\ Dimensionnement à VE.L.S. Compte tenu de la remarque 2 au § 2.2.1, la section A'ser nécessaire doit être telle que :

M/ u ,

), et que la section

A'ser • Osc,ser (d -

d>

> = Mser ~ M;Ser

[5]

d'aciers comprimés n'est pas imposée, la section rectangulaire ®, sans aciers comprimés, ne peut équilibrer au plus que M;U (ou, ce qui revient au même, au plus que M;S ) et la section A[ d'aciers tendus nécessaire à son équilibre est donnée soit par la relation [1], soit par la relation [2].

avec CJ scser contrainte des aciers comprimés à l'E.L.S., déterminée par le diagramme « figé » des contraintes :

La section d'aciers comprimés est déterminée pour équilibrer l'excédent de moment, et donc soit Mu - M,u, soit Mser - M/ser.

1« — a~=15*Jbc

^

u (X

an

3

bc

sc,ser n

1.'

Comme pour la section © la situation est « figée », puisque : - à l'E.L.U., a, constant et ebc = 3,5/1 000 conduisent à un diagramme de déformations invariable, - à l'E.L.S., et]/ constant et la contrainte maximale du béton plafonnée à abc = 0,6 . fc28

Pour oci;, voir remarque 1 au § 2.2.1. c) Conclusion Finalement, la section d'aciers comprimés à retenir est :

conduisent à un diagramme des contraintes invariable, dans un cas comme dans l'autre, la contrainte des aciers comprimés est invariable, et la section A ' nécessaire pour ces aciers est donc proportionnelle à Mu - M/u (ou, ce qui est équivalent, à Mser - M;ser). Il en est de même pour la section A2 d'aciers tendus qui lui fait équilibre dans la section fictive @.

I A' A' = Max < u A

en posant o

a) Dimensionnement à l'E.L.U.

= Min <

a Ya sc,ser ' HT. sp.r

f.

» Min / ' , on évite le double calcul de A'u et A'ser et 1^ Y'' - o sc,ser s

il ne subsiste plus qu'une valeur unique :

Compte tenu de la remarque 2 ci-avant, la section A'u nécessaire doit être telle que : A;,.a s c u (d-d') = M u -M ; u

M

[4]

A

avec oscu contrainte des aciers comprimés à l'E.L.U., déterminée par le diagramme de calcul des aciers, à partir de leur raccourcissement escu :

, s ,_ Œ

~ d

u- M /u

~ ( d -d')a sce

La valeur approchée donnée en 2.3.3. pour asce évite tout calcul fastidieux de aH puis de

r^

ï-«W

et,

•2.3. Calcul des aciers tendus a

' Cas où la section A ' des aciers comprimés n 'est pas imposée

Pour a,, voir remarque 1 au § 2.2.1.

[6]

que l'on peut retenir comme valeur strictement requise.

6'

3,5 1000

set

ser

En multipliant haut et bas le second terme de la dernière expression par le coefficient y et

On ignore a priori si la section cherchée résulte d'un calcul à l'E.L.U. ou d'un calcul à TE.L.S.

"

(d-d')o scu (d-d')a sC]Ser

2.2.2. Calcul des aciers comprimés dans le cas où ceux-ci ne sont pas imposés

e sc =

= Max

La section A' strictement nécessaire est déterminée par la relation [6].

L'équilibre des forces de la section (D exige de prévoir une section d'aciers tendus A2 telle que :

aboutit à la valeur unique : A

- à l'E.L.U. : A2 . fed = A'u . Oscu

Z

-l-o., - à FE.L.S. : A 2 . as,ser = A'ser. a^ avec : osser = 15 obc (pour au, voir remarque a, au §2.2.1.). La section d'aciers tendus à retenir, A = Aj + A2, est donc égale à la plus grande des deux sections Au et Aser déduites des équations d'équilibre des forces :

??*-.: V:.

la ., A« n .f ef r i = — +A ' ascu z w

i

M,u

_

A c _ r .a

=

M,,/ser

, .

j. A '

CT sce

[7]

ase

b/-fed

La valeur approchée donnée en 2.3.4. pour ase évite d'avoir à calculer y • as „„. Remarques : 1) L'anomalie consistant à avoir des contraintes différentes (fed et ose) aux dénominateurs des deux termes donnant A n'est qu'apparente : l'expression [7] a bien été obtenue à partir des équations d'équilibre des forces. 2) Compte tenu de la relation [3] ci-avant, on peut écrire : 1

+ A' .o

soit respectivement : Pour des aciers Fe E 500, le rapport — peut varier, selon les valeurs de Y. 0,çJ,4Ç ^«2» ^ i i

Au =

.

ser =

/ ser

^~ s,ser 11

.,

+A

-^~ s,ser

I/u

M, u Mu-M/u ^+ (d-d')f ed M

ser-M / s e r

Y-O sc , ser

'

J

• .=

'•'

, ? - ,rfAjr J', tCÏBi

M/u

Mu-M;u

fed ' (d-d')ascse scse / y-o sser sser

z b; .f ed ' (d-d')y.o s

-G

sc,ser

D'où, en posant :

b/ •

b) Cas où la section des aciers comprimés est imposée Soit Aî.ée) cette section. La section A' à introduire dans les calculs n'est pas nécessairement égale à A'réel. Il faut en effet s'assurer tout d'abord que la longueur d'ancrage /a des aciers comprimés, de part et d'autre de la section droite où agit le moment Mu est au moins égale à 0,6 . Zs (cf. note au début du § 2.2.), c'est-à-dire prendre : A' = Min

AL ,

i* •4* ••J !

ed

peut néanmoins être retenue pour une estimation rapide de la section d'aciers tendus.

Compte tenu de [4] et [5], les deux derniers termes des deux relations donnant Au et Aser permettent d'écrire :

zbl • Jfed

'

a

Y' - 0s

L

''"

Il en résulte que l'on commet une approximation en général par léger défaut sur le terme a M /u A' en prenant dans tous les cas ase = fed, mais que la valeur A = + A'

sc,ser

Compte tenu de [1] et [2], les deux premiers termes des deux relations donnant Au et Aser étant identiques : oscu A,,= ^+ A

u

. * -

(entre 25 et 35 MPa) de 1,02 à 0,95.

^- + A' u y^

réd

O,6./s

:

avec les conditions supplémentaires : " A' > —-——

.

,

, j

" ,.

sinon, on se trouve ramené au cas a) où la section des aciers compri-

mes n'est pas imposée, 0,4 . M u * A' < à l'E.L.U., sinon, il faut modifier le coffrage (bQ et/ou d). On procède alors de la façon suivante : ~ on calcule : M ul = Mu - A' . osce (d - d'),

la section d'aciers tendus A] qui doit équilibrer M ul est déterminée en calculant :

2 3.2. Moment réduit limite u/u

M.,i i l

;

En supposant que pour les valeurs courantes de fc2g, la variation de (i/u est linéaire relativement aux trois quantités : —, f e et 9y, on pose : 9

puis z b = d f 1 - 0,6 . ji J si |ibu < 0,275 (cf. § 2.3.1.) ou ° l z b = d[l-0,4.o| et enfin : A

_

ul

' - ^,

Sltl0]

On obtient pour Fe E 500 : fc28 = 25 MPa '

asce

A . 1,5 + B . 25 + C . 500 = 0,3025

9=1

A' f 1i t\ Z b ' fed °se

Y-1,5

c) Cas des sections à armatures symétriques Voir annexe 1 en fin d'ouvrage et diagrammes d'interaction du § 5 au chapitre « FLEXION COMPOSÉE ».

A . 1,45 + B . 25 + C . 500 = 0,2865

9 =1

2.3. FORMULES APPROCHÉES POUR L'E.L.U.

f

c28 =

l

m,u=H/ u .•

- 74'-'

• ' • Mrb

=-!.

"30

ser

0 , 0 0 1 0 , 0 0 5 0 , 0 1 0 0,015 0 , 0 2 0 0,025 »"«'b0~d2B£

avec :

1-a

^\

\

'bc

a

V

0,81 0,80

On a a bc < a bc avec a s = a s d'où A' = 0.

.-. -! • :uQ

\

3.3. CALCUL DES ARMATURES 3.3.1. Cas où Mser < Mrb

£-, rH'i' 8 mm

II faut considérer : I I I I

I I

ii i r h/io

r~__Arc_tg_ 2 / 3 .

_

I I

lt

De plus, on ne doit pas attribuer la même zone de table à deux nervures parallèles differentes. D'où en travée :

p'où

&

b b °= M ' < —~ =— Min

)

U

5 2.2. Calcul des armatures pour une section soumise à un moment positif

f T

a)CasoùMu Mfu II ne faudrait pas conclure qu'il faut des aciers comprimés. Cela signifie seulement que la zone comprimée a une forme de T : non seulement la table est comprimée sur toute sa hauteur, mais une partie de la nervure l'est également. On opère par décomposition de la section réelle en deux sections fictives : * f

Il ne doit pas être confondu avec le moment limite ultime défini en 2.1.3. page 116. Il n'a évidemment aucune signification pour une section en T soumise à un moment négatif, puisqu'alors la largeur de la zone comprimée est égale à la largeur b0 de la nervure. Dans ce dernier cas, la notion de moment limite ultime reprend tout son sens.

f

L

»x

bu M

d

llf r*

-

u

Section fictive ® :

M

ul+

Fbc2 - (b - b0).h0.fbu = A2.fed Zb2=d-

ho 2

Section

Contraintes

Efforts

Moment équilibré par la seule table soumise sur toute sa hauteur à la contrainte uniforme fbu: Fbc = b.h0.fbu

MTu = Fbc.zb

M u2 = Fcb2 . Zb2 = (b - b0) . h0 d Section fictive © : t b-b IU,=MU-MU2=MU-MTU.-V

- . f bu = MTu .

b-b0

M ul

,2

f

0 • ° • rbu

> a=1,25. (1-71-2. ^ bu ; >zbl=d(l-0,4. n/u, on serait tenté de prévoir des aciers comprimés afin de ne pas atteindre obc = 0,6 . fc2g sur la fibre de béton la plus comprimée. Mais comme la table de la section réelle est capable d'équilibrer un effort de compression largement supérieur à celui correspondant aux aciers comprimés que l'on disposerait dans la section ©, il est inutile de prévoir de telles armatures.

Moment équilibré par la seule table entièrement comprimée pour atteindre as dans les

M

A'=(d-d')o

et A =

Miser = - • b . tl0 . Obc .

b • fed

oc-ô'

ho

D'où:

o

d

- + A' z

ed

d'

5.3. DIMENSIONNEMENT À L'E.L.S. Le dimensionnement est fait à l'E.L.S. lorsque la fissuration est : - préjudiciable - ou très préjudiciable.

d- "

15 d-ho

l

ed

S

M - ° "Tser 30

a=l,25[l-N/l-2.n,/J z b = d[l-0,4.a] 3,5

as

avec

avec :

=

11

aciers tendus :

En revanche, il y a lieu de mettre des aciers comprimés dans la section fictive © si [iba > |is, pour bien utiliser les aciers tendus à l'E.L.U. (as = fed comme vu au § 2.1.3.). Dans ce cas, les calculs sont conduits avec : • le moment limite Ms/ (au lieu de M,u), • la contrainte ascu (et non osce) pour les aciers comprimés, • la contrainte fed (et non ase) pour les aciers tendus, d'où :

h

° ~

bh

2

Cette valeur est environ huit à quinze fois plus faible que MTu. On a donc, le plus souvent : Mser > MTser, même lorsque Mu < MTu.

*ed

si e scu < E— S 3

- -2. Calcul de A s r La zone comprimée a une forme rectangulaire. Considérer la section rectangulaire de la rgeur b. À défaut de la valeur exacte du bras de levier z bl , il convient, pour un calcul a

Pproché, de prendre ici : z.bl, = d - — a

b) Cas où Mser > MTser

Armature équilibrant ce moment sous une contrainte égale à f e :

•••« ;> ; r

• La zone comprimée a une forme de T. Non seulement la table est comprimée sur toute sa ' hauteur, mais une partie de la nervure l'est également. Le calcul exact exige des itérations (équilibre du moment de service à partir d'un diagramme des contraintes défini par O s pOUr

°s h o les aciers tendus et abc compris entre ^ • , _ ,

Mf \ Zb-fe

= 0,9 . d )

_ et obc pour le béton le plus comprimé).

1 ftj . bo . h A = -. 6 0,9 . d . d = 0,9 . h

1

=> A =

ftj . bo. d

6 . 0,9

Pourcentage minimal d'armatures :

Le bras de levier est donné par des expressions approchées :

ou

Àmin

z bl = 0,99. d-0,4. h 0 hn

Plancher des bâtiments,

zbl=0,93.d

Ouvrages d'art.

ftj fe

• •>? * ' >

Attention, cette formule ne s'applique pas aux sections en T, qu'elles soient soumises à des moments positifs ou négatifs, et qu'elles aient été calculées comme des sections rectangulaires de largeur b0 (ou b suivant le signe de moment) ou décomposées en sections fictives.

D'où:

avec :

- n --

Remarque : la vérification A > Amin ne s'impose : - à l'E.L.U. que si jibu < 0,03 - à l'E.L.S. que si m < 0,0018.

fissuration préjudiciable: _> 6mm fissuration très préjudiciable: $2 8mm

6.2. CAS DES SECTIONS EN T 6.2.1. Caractéristiques géométriques et mécaniques d'une section en T, non armée e tn o n fissurée . . » . , .

6. POURCENTAGE MINIMAL D'ARMATURES

1\

y1

L^

La sollicitation provoquant la fissuration du béton (at = f t2 g) de la section supposée non armée et non fissurée doit entraîner dans les aciers tendus de la section réelle une contrainte au plus égale à fe.

«

h

6.1. CAS DES SECTIONS RECTANGULAIRES

.

,f

v

(§TJ-' v

7

Position du centre de gravité :

Contrainte de traction du béton dans la section supposée non armée et non fissurée :

^

~

(b-b 0 ).ho]

v = h-v' Moment d'inertie :

À.N

h_

I = b0 . - + (b - b 0 ). — - [b0 . h + (b - b 0 ). h0] v,2

2

>2

^Mf^^M ^^i I b0 . h2 6

^

h2

if

-2. Section en T soumise à un moment positif ' Sollicitation de fissuration Mf. v c = t ï = f tj =>

È

• Section minimale d'armatures En prenant: zb = 0,9 d = 0,81 h Mf A On a: ^min —

L'équation d'équilibre des forces s'écrit : soit :

Les contraintes as et osc valent : min

0,81. h.v

o = 1 5 . a bc

6.2.3. Section en T soumise à un moment négatif Dans le cas où M < 0, la formule du paragraphe 6.1. ne convient pas, même si, pour les cal. culs en section fissurée, la zone de béton comprimée ayant comme largeur réelle celle de la nervure, la section en T est assimilée à une section rectangulaire de largeur b0. La sollicitation de fissuration est :

M

y

i

ft,

b. 0,97- 0,04 - pour les sections en T.

7. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES À L'E.L.S. 7.1. POSITION DE L'AXE NEUTRE 7.1.1. Section rectangulaire Considérons une section rectangulaire b0.d :

A

:d

Yi

2

^^ +15.A'(y 1 -d')=15.A(d-y 1 )

0,81-n.v'"fe

1°^

d-y,

D'où en éliminant obc, on obtient l'équation :

f= ytiv4

6.2.4. Remarques • Le plus fréquemment, la vérification est faite pour j > 28 jours. Il convient alors de remplacer f t j par ft28 dans les formules précédentes. • Une valeur plus précise de Amjn est obtenue en prenant : zb = 0,95 d = 0,85 h pour les sections rectangulaires

-1

J\

- = 15 . A. a.bc

L

et la section minimale d'armatures est donnée par :

d

'

-

f

r_-_-_-j

y.-d' et o,_= 15 . o bc

Yi L'équation d'équilibre des forces s'écrit alors :

r

rtmin

d-y,

r

bc'

qui traduit l'égalité des moments statiques par rapport à l'axe neutre de la zone comprimée d'une part et des aciers tendus de l'autre ou, si l'on préfère, que l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section homogène réduite. Pour cette raison, l'équation précédente est appelée « ÉQUATION DES MOMENTS STATIQUES ». '.1.2. Section en T Pour une section en T dont l'axe neutre tombe dans la nervure, yl est racine de l'équation des moments statiques avec n = 15 : bn.

Soit une équation du second degré en y, (y 2 - Sy j + P = 0) avec : P = Yi-V' i < 0 => deux racines y, et y' l de signes contraires, f"(Yi) = b0 > 0 => concavité vers les f(yi) > 0. D'où, pour une section en T, on commence Par regarder si elle se comporte ou non comme une section rectangulaire de largeur b (équation des moments statiques de la section rectangulaire avec b0 = b) : f(ho) < 0 => ho < y t et l'axe neutre tombe dans la nervure => comportement en section en T, h0 > y j et l'axe neutre tombe *(no) > 0 dans la table => comportement en section rectangulaire de largeur b.

f(hQ)0

II

II

y

V l

Section Section en T rectangulaire bd

7.2. CALCUL DES CONTRAINTES "*'

7.2.1. Cas des sections en T avec f(h0) < 0

"i "

1

1

h0 < y, et section en T. L'axe neutre est défini par :

b À

r r'

'

p0UR

LE DIMENSIONNEMENfT DES ARMATURES

g.l. SECTION

jf '/J-

RECTANGULAIRE - DIMENSIONNEMENT À L'E.L.U. 'Sollicitations :

~

bc

±

' '

b

1

À

/

n-15

+ TM ^ub

hn^ 4- n ( A -1Yl \/, UQ) hn UQ+ n\s\ + AA ' )\yi

h-. lu

A J i•+•_nA A > dJ ' = 0 rv —l.~\ bol ^ i .(•. nAd

9 ^

L

Le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre (zone comprimée considérée comme différence de rectangles ayant tous un côté commun avec l'axe neutre) vaut : j . • ,

K-

ser

i\ _ ciscOsc= G ~ n

—

'

0 h0 > y, et section rectangulaire de largeur b. Faire b0 = b dans les formules ci-après

A

0 « Vi

2— + n(A + A ) y i -n(Ad + A'd') =0

\/orifior A > A

c

l(

^^

3 1 00

FeESOO

£c2a

30 50

FeE400

•>

DO Vi

Ii = —=— + nA' (yt -d^ + nAfd-y!) 2

f 3440.0y +49.

h

e

(1)ousif c 2 8 S 30 MPa : t^^^OCV+Sl

lA=jAul

—0 93

f

fw

Dans ce cas les valeurs de y, et de I, sont données par les relations :

b l -°. 6 -/'bul zb=d[1-0.4.o] V ' h M „ u " U "Ved J~~~^ f 3 as de ;£ nn^\ > vérification de SÇbu u.uj^j [A mm

f t -,Q

lA' "sce ^bl ed U W i^ M|u

U

z =d 1

Tjvérifier Arnin

1

7.2.3. Cas des sections rectangulaires 2

Méthode exacte

+415 K 435 MF

OKC = K . y, < Ohr

rr / , ,\ n . K(yi-d') 15 . K ( y i - d ' ) n K(d vi) \ is \Ï(A \

i ..

'

n ^>-jj\ "i ^n 0 ?^> ^ L..

M

M v

-',

~M 8 er

\^J^A'=0 >JA'^0

D'où les contraintes en posant :

^ «,

ea 7S f -(-.-n R4fi nfi f

M ^ ^bu=bh dj ff O' bu l P\u tiré des tableaux du §2.1.3.

2

•^

o| T

;

fc28 f f n n^ b^,., b'

—.'

,_Mu

Vn

A

: ,.-, . ....

' .;••;•' ,

'Matériaux : ^

-

M ser .

d

°

... >

{

5

fi

TION EN T - DIMENSIONNEMENT A L'E. L.U. b y

V

jf

/M.)! i( 'Sollicitations : ; M u. " Mser

8

3. SECTION RECTANGULAIRE - DIMENSIONNEMENT À L'E.L.S. • ",.

d^S'df

• a '--'*, * '

'Sollicitation :

A

'

'Matériaux : 'Matériaux :

-à.

-û-

f

V

f

Q Qr

bU

c28

e

_^ -^b' ed ys '

b

J. o J.

s

15.ÔT" bc

—

bc=3'5%°.

I

f+oQ— ^n izo 0 •6+0 '06 •f c2o'

- _L rti . i

Mu

d2(J

bc

M

'~ ser 1

- 5' h

zb-d-oy

< A'=0 M

\

r

U

Rei-tion \ u Tu^ g ion ^\ ec rectangulaire ^~~^ en T b-u-d "X"

Appliquer l'organigramme du paragraphe 8.1. avec : bn=b M A u ~"

"

z

"'u1 '"u "Tu-^

Méthode exacte

^A

b f ed

u

1

N

u1 zb.f d

b

h

|

ser- M rb (d — d') (7SC

Méthode simplifiée

I Abaque ou ... tableaux

Appliquer l'organigramme du paragraphe 8.1. avec : Mu=Mu1 M

A ser

Mser b?.d^.gs

I

' 40/i,+1 r s

_ io j —

Zbï = d(1-^-) Mrb

«se

f

^~ o' O' bu f , M ser ser~ z^in

^ 0)hQ B=b0.h+(b-b

^ b0.h2+(b-b0)h2D V

2.B

Pas de vérification de A m j n

v=h-v' q

A

.A

u

3

-

'"""

I

0,81. h. v

f

t28

fe

Vérifier A ser > A m j n =0,23-p-bg.d

i .,• P :•"..•'•

55cm

2 bh *-*0

60cm

, 18cm • Actions uniformément réparties de durée d'application supérieure à 24 heures : - permanentes : g, = 5,30 kN/m (hors poids propre),

Section en Tl>

rectangulaire b x d n

n _CO,99.d-0,4.h 0 ou d— Q bâtiments ponts i A

Appliquer l'organigramme du paragraphe 8.3. avec : b[)=b

q = 22 kN/m.

• Fissuration peu préjudiciable. • Matériaux :

et comparer A s e r à ci-après

_Mser Ser zb1.ôi

- variables :

- béton : f c28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA.

1

• On se propose :

B=b0.h+(b-b0)h0

1) de déterminer le ferraillage de la section médiane,

^ b0.h2+(b-b0)hg

2) de calculer les contraintes à l'état-limite de service.

2.B v=h-v'

t28~

— CORRIGE — • CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX l. BÉTON

9. VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIRE DONT ON CONNAÎT LES ARMATURES

L

f bu = 0,85.

c28

Voir annexe 2 en fin d'ouvrage, page 433. obc = 0,6 . f c28

f

bu =

25

= 14,2 MPa

= 0 , 6 . 2 5 = 15 MPa

1.2. ACIERS

g:

;i

•'$

4d =

Ys

son 3 1,15^

104ii/u= 3 220.0Y+ 51.

- 3 100 10*^ = 3 220 . 1 . 1,46 + 51 . -y- - 3 100 6 10*^=2876,2 (MPa) [ila= 0,288

= 435 MPa

2. SOLLICITATIONS DE FLEXION 2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME DE RÉSISTANCE Actions au ml : 03 = poids volumique du béton armé g = g, + C3.b0.h Pu =l,35.g+l,5.q

4. CALCUL DES ARMATURES TENDUES ET DES ARMATURES COMPRIMÉES ÉVENTUELLES

05 = 25 kN/m3

4.1. NÉCESSITÉ D'ACIERS COMPRIMÉS

g = 5,30 + 25 . 0,18 . 0,60 = 8 kN/m p u = 1,35. 8+ 1,5. 22 pu = 43,80 kN/m

bu

M,.

0,2569

.2

0,18. 0,55 . 14,2

b 0 . d .ff b u

u

mu = 0,332 >n ;u = 0,288 =» II faut des aciers comprimés si on ne peut pas changer b0, d ou fc28.

Moment fléchissant maximal :

/2

Mu = 43,80 .

Mu = Pu . -

= 0,332

6,85

Mu = 256,90 mkN 4.2. CALCUL DES ACIERS COMPRIMÉS 2.2. ÉTAT-LIMITE DE COMPRESSION DU BÉTON EN SERVICE Actions au ml :

Contrainte des aciers comprimés :

Fe E 500 et 6 = 1 => p ser =8,00 + 22 p ser = 30,00 kN/m

0Sce = 9 . y . f c 2 8 - 5 ' ( 1 3 . f c 2 8 + 4 1 5 ) K

Momentfléchissantmaximal : l2

Mser = pser . —

8

6,85

= 9.1,46.25-^(13.25+415).l

Mser =175,96 mkN

osce= 288,1 = 288 MPa < 435 MPa O.K.

MSer = 30,00 .

Aciers comprimés :

23. COEFFICIENT y

M,, Y= Mser

M, u = 0,288. 0,18. 0,552. 14,2

256,90 y=-=1,46 175,96

M,u = 0,223 mMN

1

-d ) . Os

3. MOMENT LIMITE ULTIME Par la formule approchée valable pour Fe E 500 et fc28 < 30 MPa :

., 0,2569-0,223 1rt4 2 A =- 10 = 2,26 cm (0,55 - 0,03) 288 Retenons 2 O 12 HA :

A' = 2 .1,13 = 2,26 cm2

4.3. CALCUL DES ACIERS TENDUS

••'"'•'!

Dans la section fictive ® avec aciers comprimés :

l •' '

5 CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S. 5

ase = (13.f c28 + 415)K-9.y.f c 2 8 oœ = (13 . 25+ 415) 1-9 . 1,46. 25 Ose = 411 MPa < 435 MPa O.K.

j. POSITION DE L'AXE NEUTRE Pour éviter les risques d'erreurs dues à un nombre élevé de décimales, on commence par exprimer les longueurs en cm et les aires d'aciers en cm2.

Dans la section fictive ® sans aciers comprimés : • < 0,275 => Méthode

d'

• a;=l,25(l-x/l-2.|i/u)

a, = 1,25(1-VI-2.0,288)

zbl = d(l - 0,4.0,)

a, = 0,436 zw = 0,55(1 - 0,4 . 0,436) z b; =0,454m

A=

z•7

0,223 . 104 , „ ^ 288 2 A= 0,454.435 +2 ' 26 4lT =12 ' 87cm

f

w t ed

CT

bc

|^bu = 0,288 > 0,275 => Formules exactes

\

y Q

À b

o

°'

K-V

/CT=^ /

b

°

l là

~

d=55cm

'

'

~~A

h'=2'.2ècm. n=15

~°J7 s /n

- + n (A + A') yi - n (Ad + A' d ' ) = 0

I T --'

"V-V-

£S *0

En adoptant la formule approchée : M,.. /u A= + A' —— , on aurait trouvé Z

- yi + 15 (12,96 + 2,26) yi - 15 (12,96 . 55 + 2,26 . 3) = 0 9,00 . y; + 228,30 . y, - 10 793,70 = 0

bl ' *ed

A = 12,79 cm2 (mais l'écart peut être plus important).

A = 663,85 yi=

4.4. CONCLUSION En prenant trois files verticales : 2 cD 25 HA + 1 4) 20 HA : A = 2 . 4,91 + 3,14 = 12,96 cm2

2^12 HA ^ 3cm

- 228,30 + 663,85 = 2 . 9,00

cm f*c*-.

5.2. MOMENT D'INERTIE Ii = b0 — + n A ' ( y i - d ' ) + n A ( d - y i ) I 1 = 18 24'20 + 15 . 2,26 (24,20-3) 2 + 15 . 12,96(55 - 24,20):

3

60cm

I, = 284 687 cm4

J5cm l4>20 HA 22S HA £

18cm

4.5. SECTION MINIMALE D'ARMATURES (ibu >< 0,03 |abu = 0,288 > 0,03 A > A^ sans qu'il soit nécessaire de calculer

. CONTRAINTES K=M

K b

~~^2 5 g

.. ..525. _ m ^'2 5 X^i

=

.,

,t..

ffi

x

m''

: .

1 s' m

^__J £f

4

'.i

1

n' ' 3

L,* 5 1T

'

|K li • •

'

H5

22 7

[(b b ) h % n A d l 0

II 75

2

oyi

fcK. 1 f

5,25 +7,75 + 12,75 _ g 5g 3 d = h - x = 85 - 8,58 = 76,42 cm

*

- 200 152 + 15 2946 7 6 4 2 - 0

'

Ilyi 2 + 3 441,90^- 56 270,00 = 0

;,

. -

2

. ,•, •". ••-'- -••..VA.trj

A - 3 784 52 •**>• ' ....i -3 441,90 + 3 784,52 _ 1 5 5 ? y ' 2.11 '

^ ' 'A *

4.2. MOMENT D'INERTIE . ' ^ ^

4. CALCUL DES CONTRAINTES A L'E.L.S.

^P

4.1. POSITION DE L'AXE NEUTRE

'

• . . ' : ' : fîK-m'HJ -

,.yi , u , ( y i ~ h o ) 3 ri,— hb 3 -(b f h bh 0 )\ ii 3

iT, _T>O ^

15,573

3

... nA(d - y,)2

... 15 . 29,46 (76,42 - 15,57)2

(15,57-15) onn '' m .00 i \,a 3

3

^^*_

4

b 1 '

11 d

1 :

I 1= 1915 538 cm

b = 2,22m :,

K

°bc

K

i1 _ ^ _LK 0

SSr ~ £>° - -~ Tix

S ^ /X ri /N£ i ç KK^ "^ * /

À.N."

KK-

b

7A 40 cm dH— 76,42

u

°

2

yl

fiT» \

L

bo^n

f/K \ _

r

KMï

L h

- o0

,2

.

11

2

n

l n A 1 Vi

/K

^ AU

Mser

l- - —-— K

]

°

J

lUh

2 b

[

1

2

4.3. CONTRAINTES

A - ?Q 46 cm2 n = is 15

n= 1 5

/n

}f Jy

h~\

h0

' 1 915 538 . 10~8

1ft^\/IXT/m 3

26,36 MN/m

.i 0^= 26,36 . 0,1557 = 4,1 MPa < 15 MPa O.K.

os = n.K(d -y,)

os = 1 5 . 26,36 (0,7642 - 0, 1 557) = 240 os = 240 MPa < 250 MPa = ÔJ O.K.

Remarque : z_

1 S2 + 1 S

°'505

_Lr»AH

2

222

K

T^

obc = K.y,

n\H^^O

f ^*- h0^ ^—

.',>«

h 0 =15cm

-^"^~—'

''

,

b0 = 0,22m

u

1 y-i V

; ,«

70 Hu 4fi • ' ^"'

1S

1J

. ^ 1 S • *3'»'HJ 7Q 4fi . /«>•»*• 7n 4/

1J

f(ho) = -2166,50cm 3 A.N. dans la nervure.

H H

, • , »• j Mœr _ o,505. 10 4 _ Q 7 1 4 m

A . a s 29,46.240

(d

ho^o^^

2

IV. EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE - SECTION RECTANGULAIRE

2.

SOLLICITATION DE FLEXION À L'E.L.S.

f Actions au ml : T 03 = poids volumique du béton arme g = g; + O3.b0.h

— ÉNONCÉ — COUPE ÀÀ

03 = 25 kN/m3 g = 24,75 + 25 . 0,30 . 0,70 = 30 kN/m p ser =30 + 20 = 50kN/m

Moment fléchissant maximal : ,2

1=6,00m

i 4 cm

l

70cm

M s e r =50.

Mser = Pser - -

6,00

Mser= 225 mkN = 0,225 mMN , 30cm I Actions uniformément réparties : - permanentes : g[ = 24,75 kN/m (hors poids propre), - variables : q = 20 kN/m.

3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.S. 3.1. MOMENT RÉSISTANT BÉTON RÉDUIT

l Fissuration très préjudiciable. I Matériaux: - béton : fc28 = 25 MPa, - aciers : Fe E 500 HA. CX£

l On se propose de calculer les armatures.

T =

— CORRIGÉ —

0,218

3.2. NÉCESSITÉ D'ACIERS COMPRIMÉS

1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

ser

0,225 -0,122 0,30 . 0,642. 15

1.1. BETON abc = 0,6 . fC28 f,28 = 0,6 + 0,06.fc2g (MPa)

|J.ser= 0,122 < 0,218 = u r h =>A'=0

abc = 0,6 . 25 = 15 MPa f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

3-3. CALCUL DES ACIERS TENDUS

1.2. ACIERS fissuration \ très V==>^= préjudiciable)

cr 0.4.f

0

m

0 , 4 . 5 0 0 = 2 0 0 MPa as = Max

I ' 8 8B\fl,6.2,10=161 \

M

MPa

A „„ =

(MPa)

ô" = 200 MPa

Remarque : en adoptant la formule de la méthode simplifiée du § 8.3. page 145, on trouve Hs = 0,00916, z bl = 0,857 d = 0,549 m et Aser = 20,50 cm2 (meilleure approximation).

3.4. CONCLUSION

A

;JyT7

En prenant trois files verticales Fissurationtrèsï préjudiciable f

y EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PREJUDICIABLE - SECTION EN T (Mu >

Prenons Omm. = 20 mm > 8 mm lit 1: 2 O 25 HA + 1 O 20 HA :

- ÉNONCÉ l On considère la section en T d'une poutre représentée ci-dessous :

2 . 4,91+3,14= 12,96 crtf lit 2 : 3 O 20 HA :

0,60m

3.3,14 = 9,42an2

0,05

m

A = 22,38 crn2 M

0,225 s

iis> 0,0018 > A > Amin sans qu'il soit nécessaire de calculer Amin

0,15 m '

• Sollicitations sous charges de durée d'application supérieure à 24 heures : Cas de charge n° 1 : • MG = 0,229 mMN, • MQ = 0,229 mMN.

70

818

HÀ

i

l

Cas de charge n° 2 : • MG = 0,275 mMN, • MQ = 0,275 mMN.

cm

h fr h | 4 ^ 2 0 HA

30 cm

<

• Matériaux : béton : fc28 = 30 MPa, aciers : Fe E 500 HA. • Fissuration peu préjudiciable. • On se propose pour chacun des deux cas de charge : 1)

de déterminer la section d'armatures longitudinales à prévoir dans la poutre,

2)

de calculer les contraintes à l'E.L.S.

•Tf'V?i

- CORRIGÉ -

Z

1. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX 1.1. BETON fas = 0,6 + 0,06 . fc28

ft28 = 0,6 + 0,06 . 30 = 2,40 MPa

f bu =0,85-^

iL = 0,85

• \:28

z b = 0,55-^ = 0,50 m

b =d ~ T Z

>:if)

'••>1-C,

MTu = F b c .z b

MTu = 1,02 . 0,50 = 0,510 mMN

Mu >< MTu

Mu = 0,653 mMN > 0,510 mMN = MTu => La zone comprimée a une forme de T et l'A.N. tombe dans la nervure.

30 = 17 MPa 1 .1,5 2.3.2. Armatures

a,bc =0,6. 30 = 18MPa

Nous décomposons de la section réelle en deux sections fictives : 1.2. ACIERS :

500

•*

' "L d - • •-•

LhO

i

r"N." A • — ©fl Mu

= Mul+

2.1. SOLLICITATIONS DE FLEXION

SECTION® SECTION® •• )

2.1.1. État-limite ultime Mu = 1,35. M g +1,5 MQ

M u = 1,35. 0,229+1,5. 0,229 = 0,653 mMN '

a) Section fictive ®

''Â ••«* '

Moment équilibré :

2.1.2. État-limite de service Mser = Mg + MQ

•€

^- F bc2 — ) A2

h

b^

2. CAS DE CHARGE N° 1

111

Mul=Mu-MTu- ^

M ul =

- 0,510 ^^5= 0,271 tnMN 0,60

Mser = 0,229 + 0,229 = 0,458 mMN Moment réduit correspondant :

2.2. COEFFICIENT y

0,271

M», bu

11

2

= 0,351

0,15.0,55.17

b0.d .fbu

Y= M,

") Nécessité d'aciers comprimés • Par la formule approchée valable pour Fe E 500 et fc28 S 30 MPa :

2.3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.U.

1044 .n / u = 3220.0y+51 --

-3100

1044 . ^ /u = 3 220 . 1 . 1,425 + 51

2.3.1. Type de section Section en T avec M > 0 Fbc = b . ho . f bu

(MPa)

> Calcul en section en T : ^ = 0,60 . 0,10 . 17 = 1,020 MN

I

104 . (X/u = 3 019 Jifa = 0,302

-3 100

bu X

= 0,351 > 0,302 = |

M-/U

M.

=> II faudrait des aciers comprimés si ]a section réelle était rectangulaire. Dans la section réelle, les deux ailes de la table sont capables d'équilibrer un effort de compression :

Z

0,271.10*

f

b ' ed

I Calcul des aciers tendus dans la section fictive © Fbc = (b - b0) h0 . f bu

Fbe = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN 4

l

bn

Fbc = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN En équivalent aciers avec ici (Fe E 500 et 9=1):

e) Section totale d'aciers tendus

= 9 . Y - fc28 -8* (13 - fc28 + 415) K < fed

bc

A = 14,66 + 17,59 = 32,25 cm2

A = A! + A2

CTsce = 9 . 1,425 . 30 - ~ (13 . 30 + 415) 1 55 = 312MPa

Armatures tendues (inférieures) retenues :

asce = 312 MPa < 435 MPa O.K.

logés dans un talon à la base de la nervure.

7 25 HA : A = 7 . 4,91 = 34,37 cm?

les deux ailes jouent le même rôle qu'une section d'aciers comprimés placés dans la section rectangulaire de largeur b0 à 5 cm de sa fibre supérieure : "-^

= 17,59 cm

ed

2.4. CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S. Calculons les contraintes pour la valeur théorique de A (les contraintes réelles seront inférieures aux valeurs trouvées).

A = 3 1 2 .10 =24,52 cm

^. i^ '.

2.4.1. Position de l'axe neutre Cette section est très largement supérieure à celle qui serait nécessaire pour équilibrer M ul - M,u : A,_

M

ui-M/u (d-d')o sce

A

x '

= 2,44 cm2

r

]

obc

ihlslihisiiyîxy^sig-iiSiïii

lu

wmïïjmm d

0,271 -0,302. 0,15. 0,552. 17 1A 4 10 (0,55-0,05)312

b

J^o

Â7N."^ à

~7

b = 0,60m b 0 -0,15m

\\^ v.-y

d 055m

^-^—7-— /

h0 = 0,10m A = 32,25 cm2

Vn

M

On continue donc le calcul, sans prévoir d'aciers comprimés et en remarquant que : l-ibu x m,

f

n=15

2

Hb,, = 0,35 1 < 0,37 1 7 = ^

ffv\_

,

,2

O yi

' + r < b h }h + n ( A + A')lv, - (b-b n ) — + n ( A . d + A'd')

et donc que as = fed. c) Calcul des aciers tendus dans la section fictive ®

!

^ bu >< 0,275 => Méthode

(ibu = 0,35 1 > 0,275 => Formules exactes

=» a = l , 2 5 [ l - x / l - 2 . ^ b u j

oc =1,25 [1-^1 - 2 . 0,351] = 0,568

=> zb = d [ l - 0 , 4 . a ]

zb = 0,55 [1-0,4. 0,568] =0,425 m

f/u \

b.h2

j-n l'A 4- A ' ï h

n i'A d + A ' d ' 1 > < 0

f(h )- 6 ° 102 + 15 3225 10-15.32,25.55 :

\\

II

l>15.'

f(ho) = -18769cm3 A.N. dans la nervure

f (v \ 1

lyj.» -

bn-yf 2

•K

l fVh

|>

1UK "

'» h _LfVi A 1 i7 +r ïlA

l \

h 2°

i j ,

COEFFICIENT y

1

'

-->• î - . q ù ' >

:

M

0 784 U

2

7,5 y + 933,75 y{ - 28 856,25 = 0

'-M s e r

'

Y

'

-no 5

0,550 - M - 5

A=1318,17 2 V

>1

—

-933,75 +1318,17 275

3.3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.U.

„,

^^ fil f-.m — /J,OJ cm

3.3.1. Type de section Section en T avec M > 0 MTu = F b c .z b M u xM T u

2.4.2. Moment d'inertie Ii j - bu Yyl

(b b"o*) ( y i -Th ° ) +nA^a , P A rri ^° xI

25 633 /15 ( 2 5 ' 6,, 3 - 1 0• ) 3+,H — rPD « — 25,63) -rr^ i -60 °u 'T T-J 13 . -52,2;»

4 I,=696731cm 1

'

i , :' j.

y* vyjj

Nous décomposons de la section réelle en deux sections fictives : •

-

.

'

•

•

-!

,

,-

b

j, 1

'

K- T

K ~~

M

CT

bc = K ' yi > < °bc

0458

'

Hii

m o ~fi57AMM/ "J> '^ MIN/m

d

696 731. 10"8

À.N.

À ]

"O

1 >| n

!|!li|! TT

S

t ,..

ililil^Hlftl^Hi^

>•

il

"

| hn

-,

S

3,

bj|

u

M

=

ul+

s

M

h0/?

f^ -r

.

-K

.

f- F

— °-B[yu— y T —' *• . bel ^bl z b2 2,18. 10~3 = 2.10° oscu = 435 MPa

b) Nécessité d'aciers comprimés Hbu X

m 1000. 0,617

a

Nous devons donc prévoir des aciers comprimés dans la section rectangulaire ® pour que la contrainte des aciers tendus puisse atteindre fed (c'est-à-dire pour que l'acier soit « bien utilisé »).

> Remarque : •£ Ce serait une erreur de prendre osce comme contrainte des aciers comprimés puisque le problème n'a rien à voir avec l'obligation de limiter à 0,6 . f c2 g la contrainte de compression du béton en service. Seul l'acier est en cause dans le cas présent. • Aciers comprimés : Ms, = 0,3717 . 0,15 . 0,552 . 17 = 0,287 mMN

Ms, = |is,. b0 . d2 . f bu M

m-M s ; A =

(d-d')a s c u

c) Calcul des aciers comprimés dans la section fictive Œ> La section rectangulaire de la décomposition précédente comportant des armatures comprimées, elle est à nouveau décomposée comme indiqué ci-dessous :

Mu2 = Mul - Ms, x 0,4 . Mul

' = 5'.d

A

1

À'

d

d-d1

2 4 i est soumis, dans le plan des quatre faces, uniquement à des efforts de glissement g . dx (cf. béton tendu négligé, donc pas de contraintes normales).

• Comme z = —-, il vient : O i

V.

V

^li;

' z ' S,

v s, E

"

. ij

yiiiiiiUUUiiiUiUUUiUi, • En vertu du théorème de Cauchy (RdM) la contrainte tangente en tout point P du plan de trace MM' s'exerce à la fois : - dans ce plan, - et dans le plan de la section droite.

g dxi kg.dx

g . dx

• Au dessous de l'axe neutre, comme on néglige le béton tendu, on a : Sjç = Sl quel que soit 2;

at.b0.d dx g.dx

d'où, entre l'axe neutre et les armatures tendues :

/D

, = — = Cste g dxV'T

V

1

g.dx

dx

• Sur l'élément plan de trace BD, d'aire b 0 . dx ib élevé => ot élevé => risque de fissuration à 45°, 2) risque d'écrasement du béton suivant les « BIELLES » de béton à 45°, découpées par les fissures et soumises à une contrainte de compression ac = xb. ; t • II faut donc : 1) limiter Tb pour limiter la compression des bielles, 2) coudre les fissures obliques par des armatures dites ARMATURES D'ÂME.

a) Charges uniformes Pour l'évaluation de l'effort tranchant au voisinage d'un appui et le tracé de la ligne représentative correspondante : _ on admet que l'intensité de la charge répartie varie de 0 à pu sur une longueur égale à —^-~ à partir du nu d'appui, - on néglige les charges réparties agissant à moins de — du nu d'appui.

• Lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion précédente (at = oc = xh) n'est plus valable. Il y a REDISTRIBUTION DES EFFORTS entre : - les armatures d'âme tendues d'une part, - les bielles de béton comprimé d'autre part.

A 3 ' i-rt"!^

A

lr p

u

2.3.1. Contrainte tangente conventionnelle

V b0.z

V

u

z. u

z « 0,9 . d

V X

./ B A.E. V^ (

K

" ,.tk.-,.

0,9 . b ( ) . d

SIMPLIFICATION

SIMPLIFICATION

vv umax X.

b

M'vi'vvvi'vvvi

A^

n

Pour u = b 0 = épaisseur minimale de l'âme sous l'axe neutre, la contrainte tangente te vaut : t =

u

\l 5J '

2.3. PRESCRIPTIONS RÉGLEMENTAIRES

D'après ce qui précède, on a :

p

'

V n

u°

On considère à l'E.L.U. la contrainte tangente conventionnelle : ÀL

b. 2

avec : b 0 = épaisseur minimale de l'âme, d = hauteur utile, Vu = effort tranchant ultime à prendre en compte à l'E.L.U., V u = 1,35.VG+ 1,5.VQ en général.

'

•

•'if" nt.l

2.3.2. Effort tranchant à prendre en compte au voisinage des appuis L'expérience montre que lorsqu'une charge est voisine d'un appui, elle est transmise à dernier directement par mise en compression d'une bielle partant du nu d'appui sans en traction les armatures d'âme (phénomène de « transmission directe »).

BAFT .• => -^ U n ,-< X v