Pratica_01_LabControl

INSTITUTO TECNOÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS ESTADO DE MÉXICO LABORATORIO DE CONTROL AUTOMÁTICO Profesor: Carlos I. Ramírez España Fuentes Práctica V.3 “Simulación Analógica y Digital de Sistemas Mecánicos” Integrantes: 1. Objetivos: • Simular el comportamiento de sistemas mecánicos de primero y segundo orden utilizando dispositivos analógicos como lo son los Amplificadores Operacionales • Analizar la respuesta de los sistemas e identificar los parámetros de los mismos. • Observar la repercusión en la respuesta de los sistemas de primero y segundo orden al variar sus parámetros. 2. Marco Teórico Para lograr estudiar el comportamiento de un sistema mecánico debemos de describir el mismo mediante leyes matemáticas que nos ayuden a simular su respuesta, ya sean sistemas de primero o segundo orden. La ley fundamental que rige los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton. Esta ley puede aplicarse a cualquier sistema mecánico. Hay que hacer notar que todos los sistemas que tienen la misma función de transferencia, tienen la misma salida como respuesta a la misma entrada. Se puede dar una interpretación física a la respuesta matemática para cualquier sistema físico. Los sistemas de primero y segundo orden son aquellos que son descritos por ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden respectivamente, los cuales son más fáciles de estudiar y analizar que otros sistemas más complejos. 2.1 Actividades previas a) Investigue la forma general de un sistema de primer orden tanto en el tiempo como en el dominio de Laplace. k b 1 k G (s) = = Donde a = ; b = τ τ τs +1 s + a b) Investigue la forma general de un sistema de segundo orden tanto en el tiempo como en el dominio de Laplace.

ωn 2 G(s) = 2 2 s + 2ξω n s +ωn c) En un sistema de primer orden, ¿qué representa la constante de tiempo? Es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63% de su valor final; esto significa que representa la velocidad de respuesta del sistema. Cuando la constante de tiempo es

pequeña implicará una respuesta del sistema más rápida mientras que para una constante de tiempo grande nos dará una respuesta lenta. d) Para la siguiente función de transferencia, obtenga la constante de tiempo 10 G(s) = s+2 El sistema es de primer orden, lo que significa que su forma general será de la forma b 1 k 1 k G ( s) = donde a = y b = ; entonces a = 2 = y b = 10 = , k = 5 ; s +a τ τ τ τ 1 τ = = 0.5 2 e) Para la siguiente función de transferencia, obtenga el tiempo de establecimiento, el máximo sobre impulso, el facto de amortiguamiento y la 10 frecuencia natural amortiguada G ( s ) = 2 s + s +1 El sistema es de segundo orden, por lo que la forma general implica que: ωn 2 ωn 2 = 1 G ( s) = 2 , el tiempo de 2 ; sustituyendo entonces ωn = 1 s + 2ξω n s + ωn 4 4 = = 8 dado que 2ξ = 1 y ξ = 1 . El máximo establecimiento Ts = ξω n ( 0.5)(1) 2 −ξπ 1 sobreimpulso es de dado que 2ξω n = 1 y ξ = . 1− ξ 2 Mp = e = 0.163x100% = 16.3% 2 La frecuencia natural amortiguada es de ωd = ωn 1 − ξ 2 = ωn 1 − 0.52 = 0.866 dado que ξ =

1 . 2

Preguntas de reflexión ¿Qué relación existe entre el sobreimpulso en la respuesta al escalón de un sistema de segundo orden y el factor de amortiguamiento? En un sistema subamortiguado de segundo orden siempre habrá un sobreimpulso que lo podemos observar como un “sobresalto en la señal”; es decir, si tenemos un factor de amortiguamiento ξ 2 < 1 significará que tendremos un sistema subamortiguado con un sobreimpulso.

Figure 1. Sistema de segundo orden

El valor del sobre impulso se contempla en la siguiente fórmula (véase que depende del valor del factor de amortiguamiento)

En un sistema de segundo orden ¿qué diferencia existe entre la frecuencia natural amortiguada y la no amortiguada? La diferencia radica en que la frecuencia amortiguada toma en consideración el factor de amortiguamiento ξ , mientras que la frecuencia no amortiguada es una característica de una función de transferencia. ¿Qué relación existe entre el factor de amortiguamiento, la frecuencia natural no amortiguada y el tiempo de establecimiento de la respuesta al escalón unitario en un sistema de segundo orden? Existe una relación estrecha que se observa en la fórmula del tiempo de establecimiento: el tiempo de establecimiento es dependiente del factor de amortiguamiento y la frecuencia natural del sistema. 3. Desarrollo Experimental 3.1 Material 5 Amplificadores operacionales LM741 10 Resistencias de 10KΩ} 2 Capacitores de 100μF 1 Resistencia de 22 KΩ 1 Resistencia de 47 KΩ 1 Fuente de voltaje bipolar +-/15 1 Osciloscopio 1 Protoboard

3.2 Actividades Alambre el circuito de la figura siguiente, polarizando los amplificadores operacionales con +-/15.

Este circuito es la simulación de un sistema mecánico masa-resorte-amortiguador de la forma mostrada en la siguiente figura:

En donde x1(t) es la entrada del sistema x2(t) es la salida. Observe que tanto K como M se consideran unitarias y que la relación de resistencias R2/R1 define la constante de amortiguamiento. Considere R=10 KΩ y C=100μF

Pregunta. ¿De qué orden es el sistema de la figura? Se trata de un sistema de segundo orden debido al término cuadrático que agrega la aceleración, lo cual nos indica que tiene dos polos y puede seguir la forma general de un sistema de segundo orden. ¿Cuál es el parámetro que define el factor de amortiguamiento? El factor de amortiguamiento está definido en este caso por la ganancia resultado de R2/R1. 1. Con los siguientes valores de resistencias obtenga en el osciloscopio la respuesta del sistema utilizando como entrada una señal constante de 5V. i) R2 = 10KΩ, R1 = 10KΩ ii) R2 = 22KΩ, R1 = 10KΩ iii) R2 = 47KΩ, R1 = 10KΩ En la siguiente figura se muestra el diagrama de simulación utilizado en SIMULINK para obtener la respuesta de nuestro sistema con diferentes factores de amortiguamiento.

En las siguientes figuras, se muestran graficadas las respuestas del sistema con diferente factor de amortiguamiento, la primera figura corresponde a la simulación en SIMULINK y la segunda a la gráfica de los datos obtenidos en el osciloscopio. i) R2= 10KΩ R1= 10KΩ

Podemos calificar al sistema por su respuesta, como un sistema subamortiguado, ya que tiene un marcado sobre impulso al inicio. ii) R2= 22KΩ R1= 10KΩ

En esta comparación de gráficas podemos observar una pequeña diferencia, ya que en la simulación nos aparece una gráfica con nada de sobre impulso, y en los resultados del osciloscopio obtuvimos un ligero sobre tiro y un tiempo de establecimiento similar. Debido al factor de amortiguamiento mayor a 1 y a su respuesta podemos asumir a este como un sistema sobre amortiguado. iii) R2= 47KΩ R1= 10KΩ

En esta gráfica se puede observar claramente que es un sistema totalmente sobre amortiguado, ya que no existe sobre impulso alguno. La simulación y la gráfica del osciloscopio se muestran muy parecidas. El tiempo de establecimiento se alarga y el sobreimpulso se acorta al tener un factor de amortiguamiento mayor que en los demás casos.

2. En el mismo circuito desconecte el punto A y obtenga la respuesta del sistema en el osciloscopio analógico. Anote sus comentarios.

En estas gráficas podemos observar que al eliminar el factor de amortiguamiento, el sistema jamás llegará a estabilizarse, toma la forma de una onda senoidal y continuará oscilando infinitamente. Tanto en la simulación digital como en los resultados experimentales observamos la misma respuesta. Con esto podemos observar la importancia del factor de amortiguamiento dentro de los sistemas de segundo orden. Pregunta. Compare las respuestas obtenidas experimentalmente con las correspondientes al análisis matemático. ¿Coinciden con una precisión razonable? Si no es así justifique las diferencias. En la mayoría de las comparaciones, resultaron muy parecidas las respuestas experimentales y de simulación, pero en el caso ii de la ganancia 4.7 para el amortiguamiento, la respuesta vario un poco, ya que idealmente el sistema no debió tener sobre impulso debido a que su amortiguamiento era mayor que 1 lo cual vimos reflejado en la simulación, pero en el osciloscopio si tuvo un pequeño sobre tiro. Podemos adjudicar esta pequeña diferencia a la naturaleza analógica de los amplificadores operacionales utilizados en el experimento, y a que el factor de amortiguamiento no era tan grande como para hacer al sistema totalmente sobre amortiguado.

3.3 Actividades complementarias a) Obtenga la función de transferencia del sistema mecánico que se muestra en la siguiente figura. Considere que x2(s) es la salida del sistema y F(s) es la entrada. La constante de rigidez del resorte viene expresada por K, B es el coeficiente de fricción del amortiguador y F(t) es una fuerza aplicada directamente en el punto p1 Sumatoria de fuerzas en p11 F = k (x1 – x2) Sumatoria de fuerzas en p22 k (x1 – x2 ) = De donde obtenemos F = F(s) = β s x2(s)

b) Realizar la simulación digital del sistema del punto anterior considerando que F (t) es una señal escalón unitario. Considere K = 1 y B= 1, 3 y 6

c) Arme el circuito con amplificadores operacionales que simula el mismo sistema mecánico de primer orden d) En el circuito armado considere una señal de entrada escalón unitario, obtenga la respuesta y compárela con la obtenida en la simulación digital. e) Modifique el circuito para que B tome los valores de 1,3 y 6 compare las respuestas.

En las siguientes imágenes se muestra la simulación digital y la gráfica obtenida en el osciloscopio para su comparación. Tomar en cuenta que las escalas de tiempo no son las mismas por lo cual pueden lucir diferente las gráficas. B= 1

Podemos ver como en ambos casos la línea recta que nos trae la integración del escalón tiene una pendiente pronunciada y crece rápidamente. La única diferencia radica en que con la simulación no existe un tope y la línea se prolonga al infinito, mientras que con los Amplificadores operacionales se llega al tope que es el voltaje de alimentación. B=3

En este caso la recta tiene una pendiente menor que la pasada debido a que el factor B se incrementó y la ganancia del sistema disminuyó, por lo cual éste responde más lentamente.

B=6

Por último podemos observar como la pendiente disminuyó drásticamente al incrementar el coeficiente de fricción del amortiguador B. f) A partir de las comparaciones podemos observar que las respuestas son iguales en la simulación y en circuito analógico g) ¿Cuál es la constante de tiempo de cada uno de los sistemas? ¿Dónde están ubicados los polos correspondientes a cada simulación? ¿Cómo son las velocidades de respuesta? La constante de tiempo es el coeficiente de fricción del amortiguador B. Los polos de los sistemas se ubican en el origen. Mientras menor la ganancia del sistema la pendiente de la respuesta disminuye, por lo cual podemos decir que su velocidad de respuesta disminuye, al aumentar la constante de tiempo del sistema, este se hace más lento ya que tarda más en responder. f) ¿Qué relación existe entre la constante de tiempo de un sistema de primer orden y la ubicación del polo en el plano complejo s? 1 s= τ

4. Conclusiones Utilizando los conceptos teóricos de sistemas de primer y segundo orden, modelado matemático, constante de tiempo y transformada de Laplace, concluya sobre: • • • •

El significado físico de la constante de tiempo en un sistema de primer orden La importancia que tiene la constante de tiempo de un sistema de primer orden Las diferencias observadas al desconectar el punto A en la simulación analógica como en la simulación digital. Justifique el porqué de estas diferencias La importancia del factor de amortiguamiento en los sistemas de segundo orden.

5. Fuentes de Información Bibliográficas Ogata, K,. Ingeniería de control moderna, 2ª. Ed., Prentice Hall, 1993. Electrónicas “Respuestas dinámicas de sistemas de segundo orden” www.upcnet.es/~jmg2/sistemas/0606e.htm “Sistemas de Segundo orden” es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_de_segundo_orden