Practico de Calculo II Gestion II-2021

 

Calculo Diferencial e Integral II Departamento de Ciencias Básicas Nivel : Segundo Semestre Semestre: II / 2021

 

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS

Determinar las derivadas parciales de primer orden de las funciones expresadas en forma implícita si  z = f  ( ( x  x , y ) 4

− x  y  z −1= x + y  ; Sol: 5

7

1.− z

4

2.− z

5

3

 xyz

= z 

3.− e

3

4

3

4

Sol:

 xyz

 z  y

2

4

7

3

 xyz

∂ z   yz e  ∂ z   xz e =  , = ∂ x 1− xy e xyz ∂ y 1− xy e xyz

  4. − xz ∓ x + y =e 2

3

∂ z = 3 x2 z 5+ 4 x 3− y , ∂ z = 4  y 3 z2 + 3  y 2− x 4 3 4 4 3 4 ∂x ∂y 5 x  z + 2  y  z 5 x  z + 2 y  z

 x + z  y + y + x = xy  ; Sol: 2

7

∂ z   5 x  y  z + 1  ∂ z   5 x  y  z + 1  , = = ∂ x 4 z 3 −3 x 5  y 7 z 2 ∂ y 4 z3 −3 x5  y 7 z 2

Sol:

 y

2

(  zz + 3 x )

(

(  y + z e )  y ( e − xy )

2

 z  y

 y e − xy

)

 y

;

2

 z  y

4

3

 z  y

DERIVADAS DE ORDENES SUPERIORES 2

2

Determine las segundas derivadas parciales: ∂  z2 , ∂  z2  de las siguientes funciones: ∂x ∂ y 1.− z = x

4

4

3

2

+  y + 6 x  y + 5 xy −2

2.− z =cos ( x + 2 y ) −cos ( 2 x − y ) 3.− z =sen ( 3 x − y ) 2

(

4. − z = 2 x −3  y

2 3

)

Verifique que la conclusión del teorema de Clairauts se cumple es decir  2

2

∂  z   ∂  z   ∂ x ∂ y = ∂ y ∂ x  ; 2

1.− z = senx senx . cos

 y ; Sol : −co cosx sx . se sen n ( 2  y )=−cosx. sen ( 2 y )

(  )

  − x √  x − y ;Sol : −   x =  x √ (  xx − y ) √ (  xx − y ) 2

− z =arc cos

2.

2

2 2

2

2

2 2

Calcular las derivadas parciales indicadas: Sol: 36 ¿)

− z = 3 x + 2 y + 6 x  y ; z xxx 

1.

5

4

3

2

  Sol: −90 x  y z − ¿  f   (( x  x , y , z )= y − 3 x  y  z + 5 x  z ; f  xyz  xyz

2.

8

3

2

5

2

2

2

4

 

3

  ∂  z   2 ∂y∂x

3.− ¿   z = ln [ sen ( 2 y −3 x ) ] , 2

Sol: 72 csc ( 2 y −3 x ) .cotang ( 2 y −3 x ) 2

6

4.

∂  z   2 3 ∂z ∂ y ∂x

−u= x  y  z ; α   β

γ 

α − Sol: αβγ  ( ( α −1 ) ( α −2 ) ( β  β −1 ) x

3

 β − 2

 y

 z

γ 

En cada uno de los problemas determinar las derivadas parciales y demostrar la ecuación diferencial indicada: 2

2

1 ¿ z =e

( x . cosy − yseny ), demostrar ∂  z +  ∂  z =0

2 ¿ z =ln

√   xx + y + . arctan

 x

∂x

2

1

2

2

(  )  y  x

2

∂y 2

2

, demostrar

2

4

¿ z = y e + x e  , demostrar

2

∂  z   ∂  z ∂  z − 2. + =0 2 ∂ x ∂ y ∂ y2 ∂x

2

 y

 x

2

∂  z  ∂  z + 2 =0 2 ∂x ∂ y

, demostrar

3 ¿ z =( x − y ) ln ( x +  y )

2

3

3

∂  z   ∂  z   ∂  z = 2 + 2 ∂x ∂ y ∂x ∂ y ∂ y ∂ x

INCREMENTO Y DIFERENCIAL TOTAL Hállense las diferenciales de las funciones:  x dx

1. Z=ln(y+√   xx + y ¿ 

Sol: dz =

(  ) 3. Z=ln( (  ) ) 

Sol: dz =  y  . sec

2

2. Z=tan

2

 y  x

cos

2

 

√  x + y ( y +√  x + y 2

2

2

) √  x

2

+ y

2

(  ) (  ) (

 y . ( 2 x dy − y dx )  x

Sol : dz =   1  . tan  y 2

4. Z=( xy ) z  

2

  dy

2

2

 x

 x  y

2

+

 x .  x dy− y dx)  y

 z  z  . dx +  . dy + ln ( xy  xy ) dz  x  y

Sol : du =( xy ) z .

(

)

Calcúlese aproximadamente utilizando diferenciales: 5.   ( 2.01 )   Sol : 8 , 29 Sol : 2,95 6.   √ ( 1.02 ) + (1.97 )   7.   f   (( x  x , y )= x . y  , (1.02 ,0.97) Sol : 1,00 3.03

3

3

3

2

Hallar df  ( ( 3 ; 4 ; 5 ) , ssii f ( x , y , z )= 8.   Hallar

  z

√   xx + y 2

2

  Sol.

1 25

. ( 5 dz − 3 dx −4 dy )

APLICACIONES DE INCREMENTO Y DIFERENCIAL TOTAL 9. Un vaso cilíndrico tiene las siguientes dimensiones dimensiones interiores: el radio de la base 2.5 m, la altura 4 m y el espesor de las paredes 1 dm. Hállese aproximadamen aproximadamente te el volumen del material gastado para fabricar el vaso. Sol: 8.2 m

3

 

10. Un paralelepíped paralelepípedoo rectangular de dimensione dimensioness de x=2m, y= 3m, z= 6m. Hállese aproximada aproximadamente mente la magnitud en que varia la longitud de la diagonal, si x aumenta 2 cm, y en 1 cm y z disminuye en 3 cm. Sol: dl = -1.57 cm. 11. En un cono truncado los rad radios ios de las bases son R = 20cm, r = 10cm y la altura h = 30cm. ¿Cómo variara aproximadamente el volumen del cono , si R aumenta en 2 mm, r en 3 mm y h disminuye en 1 mm. Sol: dV= 617.5 cm  . 3

12. En un triángulo, dos lados ad adyacentes yacentes miden 3 y 4 pulg de longitud, longitud, y entre ellos forman un ángulode π   .Los 4

 posibles errores errores de medición sson on 1/16 pulgadas en lo loss lados y 0.02 rad radianes ianes en el ángu ángulo. lo. Aproximar el m máximo áximo error posible al calcular el área. Sol: 0.2395  pulg  . 2

13. El radio r y la altura h de un cilindro circular recto recto se miden con posibles errores errores de 4% y 2% respectivamente. respectivam ente. Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el volumen. Sol. 10 %. 14. La resistencia tota totall R de dos resistencias conectadas conectadas en paralelo es:

1

 R

=

 1

+

 1

 R 1  R 2

 .Aproximar el cambio en R

 decrece ece de 15 ohm ohmss a 13 oh ohms. ms. Sol: - 7 / 50 ohms. cuando R  incrementa de 10 ohms a 10.5 ohms y  R  decr 2

1

2

v  , donde donde v es la 15.−¿ La aceleración centrípeta de una partícula que se mueve en un círculo es a = r

velocidad y r el radio del círculo. Aproximar el error porcentual máximo al medir la aceleración debido debidoss a errores de 3 % en v y 2 % en r. Sol. 4 % 16.- La producción de una cierta fabrica es de Q(x, y)= 0.08  x  + 0.12 x y + 0.03  y  unidades por día, donde x es el número de horas usadas de trabajo experimentado e y es el número de horas usadas de trabajo no experimentado. Actualmente Actualmente se usan cada día 80 horas de trabajo experimen experimentado tado y 200 horas de trabajo no experimentado. Utilice la diferencial total de Q para estimar el cambio que resultara en la  producción si si se usa ½ hora adi adicional cional de trabajo eexperimenta xperimentado do junto con 2 ho horas ras adicionales de 2

2

trabajo no experimentado. Sol : Se producirán aproximadamente 61.6 unidades adicionales .

MAXIMOS Y MINIMOS LIBRES Analizar las funciones de varias variables, indicar los puntos críticos, máximos mínimos y puntos de silla: 1. Z=  x + y −2 x + 4 xy −2 y   Sol. Min (√ 2 ,−√ 2 ,−8 ¿ y min min (− √ 2 , √ 2 , −8 ). 2. Z= 2 x − x y + 5 x + y   Sol. Min (0,0,0 ) , (-5/3 , 0 ) , (1,4) y (1,-4)   Sol. Max (2, 3,36); P silla (0, 9,0). 3. Z= 18 x y – 3 2  x  y  x y Sol :Min(1,1,-1) 4. Z=  x + y −3 xy   − 4

4

3

2

2

2

2

2

3

3

2

2

 

Mediante Multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos críticos y clasificar si es máximo, mínimo o punto de silla: 5.   f (x, y)= 3 x − xy + 4 y   ; restricción y + 2x = 21.  Sol. Min 2

2

π  6.   f   (( x  x , y )=cos  x + cos  y  ; restricción y – x =   4 2

2

Sol.

(

(

  ).

17

 987

2

4

  ,4,

 ).

3 π  5 π  8

 ,

8

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS 7. Que dimen dimensiones siones debe tener una bañera rec rectangular tangular abi abierta, erta, que ten tenga ga capacid capacidad ad de 400 40000 litros; par paraa que su superficie sea la menor posible. Sol. 2 m x 2 m x 1 m. 8. Se dese deseaa fabr fabricar icar un unaa caja re rectang ctangular ular ce cerrad rradaa con un vol volumen umen ddee 6 0 m  ; usando tres tipos de materiales. El costo del del material que llevara en las par partes tes superior e inferior cuesta cuesta 3 $us por m , el de las partes anterior y posterior 4 $us por m  y el de los restantes 5 $us por m  . Calcular las dimensiones de la caja que tenga costo de material mínimo. Sol. x=5m, y=4m, z=3m. 3

2

2

2

9. Un granje granjero ro desea vallar un terreno rectangul rectangular ar con fforraje orraje a lo largo de la orilla de un rio. El área del  pasto ha de ser de de 3200 metros cuadrados, cuadrados, y no es ne necesaria cesaria la valla a lo largo de la ori orilla lla del rio. Halle las dimensiones del terreno que requieren la menor cantidad de valla. Sol: 40 por 80 metros.

10. Hallar las dimensio dimensiones nes de una bañera semicilíndrica semicilíndrica abierta de áre áreaa 27 π  pies cuadrados, de ttal al manera que se tenga la mayor capacidad posible. Sol: Radio igual a 3 pies y altura o largo 6 pies. 11. Una lata cilínd cilíndrica rica cerrada ha de tener un volu volumen men máximo pposible, osible, el costo por pulgada cu cuadrada adrada del metal de construcción de la tapa y la base es dos veces el costo por pulgada cuadrada del cartón de construcción del lado; cuales son las dimens construcción dimensiones iones de la lata si se tiene 48 π  $us  $us disponibles para construir. Sol: r=2, h= 8. 12. Hallar el volum volumen en máximo de una caja rectan rectangular, gular, si su altura m más ás su perímetro alrededor de la caja es de 254 cm. Sol: Sol: 127/3, 254/3; V=151732 V=151732.1. .1. 13. Halle las dimension dimensiones es de paralelepípedo paralelepípedo sin tapa de volumen igua iguall a 256 cm  , de manera que su superficie sea sea mínima .Sol: 8, 8 , 4 ;192 . 14. Un ci cilindro lindro circular recto cerrado tendrá un vvolumen olumen de 25 π m  .La tapa y la base del cilindro se hacen de un metal que cuesta dos dólares por metro cuadrado, la cara lateral se cubre con un metal que cuesta 5/2 dólares por metro cuadrado. Calcular el costo de construcción mínima. Sol: r=2.5 m, h=4m. 15. Se desea construir un dep depósito ósito de la forma de un cilindro superpuesto superpuesto con una semiesfera semiesfera con un material que no se necesita para el piso. Cuáles deben ser las dimensiones del depósito (radio y altura) que contenga un volumen V m  y de tal manera que se gaste lo mínimo en material. 3

3

3

 

16. Se desea construir un em embudo budo cónico, para lo cual se cuenta cuenta con 1.5 metros cuadrad cuadrados os de hojalata metálica, cuáles cuáles deben ser las dimension dimensiones es (radio, altura y generatriz) par paraa que deje circular un volumen máximo. 17. Determinar las dimens dimensiones iones de una caja rectangular de volumen máximo de maner maneraa que sus aristas en total sumen en longitud igual 120 centímetros. Sol: 10 x 10x10 cm 18. Determinar las dimensiones de volumen máx máximo imo de una ca caja ja cerrada cuya diagonal sea ig igual ual igual a 5 √ 3 m. Sol: 5 x 5 x 5 m. 19. Se desea con construir struir un recipien recipiente te cilíndrico co conn 2 tapas canic canicas as en los extremo extremoss y se cuenta con 10 metros cuadrados de plancha plancha de acero; si el radio del cilindro es de 2m .Hallar la altura H del cilindro y la altura h de los conos de manera que contenga un volumen máximo. 20. Si la base y tapa de una caja rectangu rectangular lar cerrada cuesta el doble doble por metro cuadrado que que el de los lados . Hallar las dimensiones de la caja que contenga 20 metros cúbicos y sea lo más económico posible.