Práctico 1 - Gutierrez Leonardo (2.0)

 

Práctico # 1 Método gráfico ESTUDIANTES: Gutierrez Gutierrez Leonardo JosuéS6395-9   CARRERA:Ing. Industrial CARRERA:Ing. SEMESTRE:Décimo SEMESTRE:Décimo “A”

MATERIA:Optimización Optimización MATERIA: DOCENTE:Ing. DOCENTE: Ing. Erlan Alejo Lamas

Santa Cruz, 04 / 08 / 2021

  

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Práctico 1 Método Gráfico Ejercicio 1 a) Max (Z = 5x + 3y), Sujeto Sujeto a: a: R1 = 2y ≤ 10  R2 = 2x + 3y ≤ 18   x, y ≥ 0 

R1

R2

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(0,9;3) entonces Z = 5x + 3y = 5 (1) + 3 (3) = 14 unid Punt o

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

O

0

0

0

A

0

5

15

B

1.5

5

22.5

D

9

0

45

La solución está acotada. La solución óptima es el vértice D, dónde: (X = 9 unid) & (y = 0 unid) & (z = 45 unid)

 

Alumno: Leona Alumno: Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

b) Max (Z = 5x + 3y), Sujeto Sujeto a: a: R1 = 2y ≥ 4 R2 = 2x + 2y ≤ 24 R3 = 5x + y ≤ 100   x, y ≥ 0 

R3

R1 R2

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(1,10) entonces Z = 5x + 3y = 5 =  5 (1) + 3 (10) = 35 unid Punt o

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

A

0

2

6

B

10

2

56

D

0

12

36

La solución está acotada. La solución óptima es el vértice B, dónde: (X = 10 unid) & (y = 2 unid) & (z = 56 unid)

 

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

c) Max (Z = 8x + 5y), Sujeto Sujeto a: a: R1 = 2x +5y ≥ 6  R2 = 4x + 3y ≤ 16  R3 = y ≤ 3  x, y ≥ 0 

R3 R2

R1

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(2,2) entonces Z = 8x + 5y = 8 = 8 (2) + 5 (2) = 26 unid Punt o

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

A

0

1.2

6

B

3

0

24

D

4

0

32

E

1.75

3

29

F

0

3

15

La solución está acotada. La solución óptima es el vértice D, dónde: (X = 4 unid) & (y = 0 unid) & (z = 32 unid)

 

Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Alumn Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

d) Min (Z = 15x 15x + 12y), 12y), Sujeto Sujeto a: a: R1 = x + 2y ≤ 6  R2 = 2x + 4y ≥ 8   x, y ≥ 0 

R1

R2

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(2,4; 1,5) entonces Z = 15x + 12y = 15 =  15 (2,4) + 12 (1,5) = 54 unid Punt o

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

A

0

3

36

B

6

0

90

C

0

2

24

D

4

0

60

La solución está acotada. La solución óptima es el vértice C, dónde: (X = 0 unid) & (y = 2 unid) & (z = 24 unid)

 

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

e) Min (Z = 10x + 6y), 6y), Suje Sujeto to a: a: R1 = y ≤ 5  R2 = 2x + 4y ≥ 18  R3 = x ≥ 3  x, y ≥ 0  R1

R2

R3

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(3,6; 3) entonces Z = 15x + 12y = 15 =  15 (3,6) + 12 (3) = 90 unid Punto

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

B

3

5

60

D

9

0

90

E

3

3

48

La solución no está acotada, pero como se trata de un problema de minimización es posible encontrar una solución. La solución óptima es el vértice E, dónde: (X = 3 unid) & (y = 3 unid) & (z = 48 unid)

  

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Ejercicio 2  Una empresa arma y vende dos clases de autos, uno de lujo y otro estándar; cada auto requiere un proceso diferente de fabricación. El auto de lujo requiere 20 horas de armado, 2  horas en equipamiento y produce una utilidad de $100,000.00. El auto estándar requiere de 10 horas de armado, 1 hora en equipamiento y produce una utilidad de $65,000.00. Se dispone de 1,000 horas para armado y 400 para equipamiento. Se ha pronosticado que la demanda para el modelo estándar es a lo más de 100 autos.  

¿Cuál es el nivel óptimo de producción? Definición de las variables de decisión:

X -> Número de autos de lujo

[Unidades]

Y -> -> Núm Númer ero o de de aut autos os es esttán ánda darr

[Uni [U nida dade des] s]

Función económica u objetivo:  (Maximizar ingresos)

Max

Z = 100.000*(X) + 65.000*(Y)

Restricciones: ≤≥ R1: 

20*(X) + 10*(Y) ≤ 1.000

R2: 

2*(X 2* (X)) +

R3: 

Disponibilidad de horas de armado

(Y) ≤

400 40 0

Disp Di sponi onibi bililida dad d de ho hora ras s de eq equi uipa pami mien ento to

(Y)) ≤ (Y

100 10 0

Deman Dem anda da pro pronos nosti ticad cada a de dell mo mode delo lo es está tánd ndar  ar 

Condiciones de signo para las variables de decisión:

X≥0

Y≥0

R1 X

Y

0 50

100 0

R2

R2 X

Y

0 400 200 0 R3 X Y

0

R3

100

R1

 

Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Alumn Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(20,40) entonces Z = 100.000 (X) + 65.000 (Y) = 4.600.000 unid Punt o

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

O

0

0

0

A

0

100

6.500.000

B

50

0

5.000.000

 La solución óptima será el vértice A, porque tiene infinitas soluciones, debido a que la función objetivo es paralela a la restricción que pasa por el vértice óptimo: Vértice A X  Y Z

Ejercicio 3

0 100 6.500.000 $us

  

Alumno: Leona Alumno: Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Se desea vender dos clases de acciones de una empresa de manera telefónica y con apoyo de computadoras. Las acciones son de dos tipos, A y B; cada acción tipo A producirá una ganancia de $8.00, mientras que una de tipo B generará una ganancia de $3.00. Para vender una acción tipo A se necesitan 2 minutos por teléfono y 1 minuto en la computadora. La acción tipo B requiere un minuto en el teléfono y 3 minutos en la computadora. Hay dos horas disponibles en el teléfono y cuatro horas de computadora. Suponiendo que todas las llamadas que se realizan concluyen con una venta y que a lo más se pueden vender 150  acciones tipo B, determine la combinación óptima de acciones vendidas que maximicen la utilidad.

Definición de las variables de decisión:

X -> -> Núm Númer ero o de de acc accio ione nes s tip tipo oA

[Uni [U nida dade des] s]

Y -> -> Núm Númer ero o de de acc accio ione nes s tip tipo oB

[Uni [U nida dade des] s]

Función económica u objetivo:  (Maximizar ingresos)

Max

Z = 8*(X) + 3*(Y)

[$us]

Restricciones: ≤≥ R1: 

2*(X) + 1*(Y) ≤ 120 Dispon Disponibili ibilidad dad de minut minutos os en teléf teléfono ono

R2: 

1*(X) + 3*(Y) ≤ 240 Dispon Disponibili ibilidad dad de minut minutos os en comput computadora adora

R3: 

(Y) ≤ 150 Límit Límite e de ventas de accion acciones es tipo B

Condiciones de signo para las variables de decisión:

X≥0

Y≥0

R3

R1 X

Y

0 60

120 0 R2

X

Y

0 240

80 0

R3 X Y

0

150

R1

R2

 

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(20,10) entonces Z = 8*(X) + 3*(Y) = 190 unid Punto

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

O

0

0

0

B

60

0

480

C

24

72

408

D

0

80

240

 La solución óptima será el vértice B, porque tiene infinitas soluciones, debido a que la función objetivo es paralela a la restricción que pasa por el vértice óptimo: Vértice B X 60  Y 0 Z 480 $us

  

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Ejercicio 4 Una agencia financiera maneja $30 millones para financiamiento de pequeñas y medianas empresas. Conocen que la tasa anual de recuperación para las pequeñas empresas es de 8% y de 10% para las medianas. El comité técnico dictaminó que la cantidad total de  financiamiento a las medianas empresas debe ser al menos de tres veces la financiamiento a las medianas empresas debe ser al menos de tres vec es la cantidad  total de f total  de financ inanciamien iamientos  tos de de pequeñ pequeñas as empres empresas. as. ¿Cuá ¿Cuáll es el model modelo o de progra programació mación n lineal que indica la cantidad invertida en cada tipo de financiamiento que la agencia debe  realizar para obtener el máximo monto de recuperación?

Definición de las variables de decisión:

X -> Ca Cant ntid idad ad de de dine dinero ro a fi fina nanc ncia iarr a peq peque ueña ñas s empr empres esas as

[$us [$ us]]

Y -> Ca Cant ntid idad ad de de dine dinero ro a fi fina nanc ncia iarr a med media iana nas s empr empres esas as

[$us [$ us]]

Función económica u objetivo:  (Maximizar ingresos)

Max

Z = 0,08*(X) + 0,1*(Y)

Restricciones: ≤≥ R1:  (X)) + (Y (X (Y)) ≤ 30 R2: 

-3*( -3 *(X) X) + (Y (Y)) ≥ 0

[$us]

Capa Ca paci cida dad d de ca capi pittal [$u $us] s] Rest Re stri ricc cció ión n de fi fina nanc ncia iam mie ient nto o [$ [$us us]]

Condiciones de signo para las variables de decisión:

X≥0

Y≥0

R1 X

Y

0 30

30 0

R1

R2 X

Y

3 6

9 18

R2

 

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

Para graficar Z, nos asignamos un punto cualquiera dentro del área de soluciones factibles P(3,10) entonces Z = 0,08*(X) + 0,1*(Y) = 1,24 unid Punt o

Coordenada X (X1)

Coordenada Y (X2)

Valor de la función objetivo (Z)

O

0

0

0

A

0

30

3

C

7.5

22.5

2.85

La solución óptima será el vértice A, porque tiene infinitas soluciones, debido a que la función objetivo es paralela a la restricción que pasa por el vértice óptimo: Vértice A X  Y Z

0 30 3 millones de $us

  

Alumn Alumno: o: Leona Leonardo rdo J. Gutierrez Gutierrez G. G. Códigos: S6395-9 Carrera: Ing. Industrial Semestre: 10mo “A” II-2021

 Ejercicio 5 Resuelve con el método gráfico el s Resuelve con el  método gráfico el siguiente modelo iguiente modelo::

Min (Z = 12x + 27y), Sujeto a: R1 = x + y ≥ 30  R2 = x + y ≤ 20   x, y ≥ 0 

R2

R1

Debido a que no se llega a obtener un área de soluciones, el problema no tiene soluciones.