practica_abril_09.pdf

Guía de Trabajos Prácticos Análisis Matemático II Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Abril 2009 2 y

1

1

0.5

0

0

-1

-0.5

-2 2

-1 1

1 z

0.5

0

0

-1

-0.5

-2

-1 -1

-2 -1

-0.5

0 x

0

1

0.5

2

1

2

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

Análisis Matemático II 1º Cátedra Prof. Titular Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos

Editoras y compiladoras Andrea Parma Erica Guzmán Yañez

Colaboraron Pablo Caviezel María José Fernandez Alejandro García Venturini Erica Guzmán Yañez Carlos Hernández Luisa Lazzari Silvia Liaudat Stella Maris Navarro Mónica Novo Andrea Parma Ana Marsanasco

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

3

TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 1) Representar los siguientes puntos en el espacio euclídeo correspondiente: a) (1,2), (-1,3), (-4,-2), (0,-3) b) (1,2,3), (2,1,3), (3,2,1), (–1,3,-5), (0,0,4), (1,0,3) 2) Hallar la distancia entre los siguientes puntos: a) (2,1) y (3,-2)

b) (3,5) y (0,5)

c) (-1,-3) y (-4,2)

d) (5,4,-3) y (2,-6,4)

e) (-2,6,1) y (5,4,-3)

f) (3,-4,1) y (5,-3,0)

3) Describir y representar las siguientes regiones de ℜ 2 a)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x=0

}

b)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x≥0

c)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ y=2

e)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x = 2y

}

d)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x≥0∧ y 5 ∧ x + 2 y < 3} n) {( x , y ) ∈ ℜ / (x − 2) + 4 y ≤ 36} o) {(x , y ) ∈ ℜ / 4 y − x ≥ 4 ∧ y < 3}

}

{(x, y )∈ ℜ / y + 3 > (x − 1) ∧ x ≥ y} m) {(x , y )∈ ℜ / 4 x ≤ 2 y + 1 ∧ x < 1}

k)

2

}

2

2

2

2

2

2

ñ)

{(x , y )∈ ℜ

2

/ xy ≤ 1 ∧ xy ≥ 0

}

p)

{(x, y )∈ ℜ

2

/ x2 − y2 ≥1 ∧ x2 + y2 ≤ 4

2

}

q)

{(x, y )∈ ℜ

2

2

2

2

2

}

/ 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 36 ∧ x − y 2 ≥ 1

4) a) Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto P dado y tiene el vector r normal n indicado: r r n = (7, 1, 4) n = (3, -5, 2) i) P= (1, 4, 5) ii) P= (-5, 1, 2) b) Determinar si los siguientes planos son paralelos: i) x + z = 1

∧

y + z =1

iii)

x + 4 y − 3z = 1

ii) −8 x − 6 y + 2 z = 1

∧

z = 4x + 3y

iv)

∧

− 3x + 6 y + 7 z = 0

2x + 4 y − 2z = 1

∧

x + 2y + z = 7

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

4

5) Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por el punto dado y es paralela al vector

indicado a) A = (1, 4, 5) b) B = (-5, 1, 2) c) C = (1, 2, 3)

v = (7, 1, 4) v = (3, -5, 2) v = (6, 9, 12)

6) Escribir las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P= (1, 0, -3) y es perpendicular al plano de ecuación x + 4 y − 3 z = 1

7) Representar y describir las siguientes regiones de R3 a)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ x=2

}

b)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ y≥3

c)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ z=4

e)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ 4 x + 6 y + 9 z = 36

}

d)

{(x , y , z )∈ ℜ

3

/ 2x = z

f)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ x2 + y2 = 2

g)

{(x, y , z )∈ ℜ

h)

{(x, y , z )∈ ℜ

i)

{(x, y , z )∈ ℜ

}

}

/ y2 + z2 = 4

3

}

/ x2 − y2 =1

3

{(x, y , z )∈ ℜ

o)

3

/ − x2 + y2 =1 + z2

{(x, y , z )∈ ℜ

/ x + y − z =0

r)

{(x, y , z )∈ ℜ

3

/ x2 − y2 = z

2

2

}

⎧ ⎩

1 2⎫ z ⎬ 9 ⎭

l) ⎨( x, y, z ) ∈ ℜ 3 /

1 2 ⎫ y = z⎬ 4 ⎭

{(x, y , z )∈ ℜ

}

3

/ z ≥2

}

q)

3

2

⎧ ⎩

p) ⎨( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / −

/ x + y − z =1 2

}

/ x2 + y2 + z2 =1

}

{(x, y , z )∈ ℜ

2

}

n)

3

2

}

j) ⎨( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / y = x 2 +

1 ⎧ ⎫ k) ⎨( x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x 2 + y 2 + z 2 = 1⎬ 9 ⎩ ⎭

m)

3

}

⎧ ⎩

1 2 ⎫ x − y 2 + z = 0⎬ 2 ⎭

}

8) a) Graficar los siguientes conjuntos de puntos: b) En cada caso analizar si el conjunto es cerrado, abierto y/o acotado c) Determinar cuáles son los puntos interiores, frontera, exteriores y de acumulación

{ B = {(x , y )∈ ℜ C = {( x , y ) ∈ ℜ

}

A = (x , y )∈ ℜ 2 / xy = 1

} ≥ 4}

2

/ 1< x2 + y2 < 4

2

/ y + (x − 1)2

⎧ ⎫ y2 E = ⎨(x , y , z ) ∈ ℜ 3 / x 2 + + z 2 ≤ 1⎬ 4 ⎩ ⎭

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

5

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 Funciones de varias variables 1) Hallar los valores indicados: a) f (3, 2),

f (−1,1), f (0, 2)

si

f ( x, y ) = 4 − x + 2 y 2

b) f (3, −2),

f (−1, 4), f (0, 2)

si

f ( x, y ) = y e x

c) f (2,3,9),

f (−1, 0,1), f (−5,1, 2)

si

f ( x, y, z ) = xy 2 / z

d) f (2, 3, −1, 0), f ( −1, 0,1, −3), f (−5, −2,1, 2)

f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x32 + 2 x3 x4 − x23

si

2) En 1998 se efectuó una inversión de $1000 al 10% anual. Si el inversor paga una tasa anual R de impuestos y la tasa anual de inflación es I, el valor V de la inversión en el año 2008 es:

⎛ 1 + 0.10 (1 − r ) ⎞ V (i, r ) = 1000 ⎜ ⎟ 1+ i ⎝ ⎠

10

Completar la siguiente tabla con el valor de V de la inversión en el año 2008 Tasa de impuestos

Tasa de inflación I 0

0,01

0,05

0 0,28 0,35

3) Hallar el dominio de las siguientes funciones y representarlo en el plano: a) f ( x , y ) = e x / y

b) f ( x , y ) = ln 4 − xy

c) f ( x , y ) = 4 − x 2 − y 2

d) f ( x , y ) =

⎛π ⎞ xy ⎟ ⎝2 ⎠

e) f ( x, y ) = tg ⎜

g) f ( x , y ) =

(

ln x 2 + y 2 - 9 x 2 - y2 - 4

i) f ( x, y ) = ln sen ( x + y )

f) f(x, y) =

)

h) f ( x , y ) =

j) f ( x , y ) =

x+ y xy 1 x2 - y2 - 4

y − x2 x 2 + ( y − 1 )2 1 ⎞ ⎛ x2 + y 2 - 1⎟⎟ ln⎜⎜ ⎠ ⎝ 4

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

6

⎧ 9−x2 −y2 l) f (x, y) =⎪⎨ xy ⎪ ⎩ 0

k) f ( x , y ) = arc cos( y - x )

si (x, y) ≠(0,0) si (x, y) =(0,0)

4) La demanda de dos artículos A y B está relacionada según las funciones: a) q A = 18 − 2 p A − p B

b) q A =

1 p A2 4

c) q A =

ln ( p A - 2 p B ) p 2A p 2B + -1 4 9

- p B2 - 4

donde qA y qB indican las cantidades demandas correspondientes y pA y pB los respectivos precios unitarios. Hallar sus dominios y representarlos en el plano

5) Una compañía produce dos tipos de cassettes, de 60 y de 90 minutos. El costo por unidad es de 30 y 40 centavos, respectivamente. Además, la empresa tiene costos fijos semanales de $1200. Obtener: a) el costo semanal como función de la unidades de los dos tipos de cassettes producidos b) el costo total de producir 1000 cassettes de 60 minutos y 8000 de 90 minutos por semana c) la utilidad mensual como función del número de unidades producidas y vendidas por semana, si la compañía vende los dos tipos de cassettes a 60 y 75 centavos cada uno y vende todo lo que produce.

6) Hallar y representar aproximadamente en el plano las curvas de nivel, para los valores de k indicados, de: a) f ( x , y ) = y − 4 x 2

k = 0, ± 1, ± 2

b) f ( x , y ) = 4 − y 2 − x 2

c) f ( x , y ) = x 2 + 4 y 2

k = 0, ± 1, ± 2

d) f ( x , y ) = e y − x

k = 0, ± 1, ± 2

f) f ( x , y ) =

3

k = 0, 3,-5 k = 1, 4, -

1

e) f ( x , y ) =

x2 + 2 y +1

2x x + y2 2

k = 0,

± 1, ± 2

7) Un fabricante estima que su función de producción es f ( K , L) = 100 K 0.6 L0.4 donde K representa el número de unidades de capital y L el número de unidades de trabajo utilizados. a) Hallar el dominio de f. b) Comparar el nivel de producción cuando K =1000 y L =500 con el nivel de producción para K =2000 y L =1000 ¿Qué sucede en general con la producción si duplicamos el número de unidades de capital y de trabajo? c) Dibujar esquemáticamente las isocuantas correspondientes a producciones de 100 y de 300 unidades. ¿Qué representan?

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

8) La producción z de un bien está dado por z =

7

x2 y2 , donde x e y son las + 4 9

cantidades de los factores de la producción X e Y. a) Representar la función para x>0, y>0 b) Representar las curvas de nivel o isocuantas para z=3, z=2, z=1, dar el significado de las mismas e indicar si corresponden a una función normal. 9) Verificar cual de las condiciones de función normal no cumple la función de utilidad U = (x1-5)2 + (x2-3)2 para: a) Inversiones del bien X1 no superiores a 5 y del bien X2 no superiores a 3 para valores de U=1, U=4, U=9 b) Inversiones del bien X1 no inferiores a 5 y del bien X2 no inferiores a 3 para valores de U=1, U=4, U=16. Graficar las curvas de indiferencia. 10) Si la función de utilidad es U =3x1x2, a) Hallar la ecuación de balance, b) Hallar la máxima utilidad si I =100. Graficar.

p1=5 y p2=6,

11) Dada la función de producción conjunta x=5x1+3x22, sabiendo que p2=5 a) Hallar la función de ingreso, b) Hallar el ingreso máximo para x=30. Graficar.

p1=3

y

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

8

TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 Límite y Continuidad 1) Calcular, si existen, el límite doble, los límites reiterados y el límite radial de las siguientes funciones en los puntos indicados. Sacar conclusiones. Probar por otros caminos si fuera necesario.

(y

a) lim

2

( y − x ) .( 2x − 2)

(x;y)→( 1;1 )

c)

e)

g)

− x 2 ) . ( x 2 − 3x + 2 )

(9x

lim

(x;y)→( 1;3 )

2

− y 2 ) sen ⎣⎡ 2 ( y − 3) ⎦⎤

2 ( y − 3) ( 3 x − y )

3xy lim 2 ( x , y )→(0 ,0 ) 2 x + 2 y 2

lim

(x;y)→( 0 ;0 )

f ( x, y )

i)

lim ( x , y )→(2;−1)

k)

lim

⎧ y senx + x 2 si x ≠ 0 ⎪ si f ( x, y ) = ⎨ x ⎪0 si x = 0 ⎩

3x − y − 7 x + 2y

⎛

⎝

⎛ 1 ⎞⎞ 1⎞ ⎟ + sen ⎜ ⎟ ⎟ ⎝x⎠ ⎝ y ⎠⎠

⎧x − y x+ y ≠0 ⎪ m) Si f ( x , y ) = ⎨ x + y ⎪ 0 x+ y =0 ⎩ Calcular m.i) lim f ( x, y ) y m.ii) lim (x;y)→( 0 ;0 )

x − 3y lim ( x , y )→(0 ,0 ) 2 x + 6 y

d)

xy − 2 y + x − 2 lim ( x , y )→(2;−1) x 2 − 4 . y 3 + 1

f)

lim ( x , y )→(0 ,0 )

h)

j)

( x + y ) . ⎜ sen ⎜⎛

(x;y)→( 0 ;0 )

b)

l)

n)

(x;y)→( 1;1 )

(

lim

(x;y)→( 2 ;3 )

lim

(x;y)→( 0 ;0 )

4x

2

)

3 xy x2 + y2

(x

2

− 4) .( y 2 − 9)

( 2 x − y ) . ( y − 3)

x 2 .y 2 lim ( x , y )→(0 ,0 ) x 4 + y 4

lim

⎛1⎞ y.sen ⎜ ⎟ ⎝x⎠

lim

y2 x y 4 + x2

(x;y)→( 0 ;0 )

(x;y)→( 0 ;0 )

f ( x, y )

x2 + y2

ñ)

)(

− y2

o)

lim

(x;y)→( 0 ;0 )

x2 y2 x10 + y 5

2) Dadas las siguientes funciones determinar si son continuas en el origen. Justificar la respuesta. Si no es continua, clasificar. a) z =

xy + x2 + y2

xy ⎧ ⎪ b) z = ⎨ + x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩

(x; y ) ≠ (0;0) (x; y ) = (0;0)

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

9

3) Analizar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos: P0 = (0;0), P1 = (1;1), P2 = (1;0) ⎧ 3 xy 2 ⎪ a) f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩

⎧ 3 xy 2 si x ≠ y ⎪ b) f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 1 si x = y ⎩

si x ≠ y si x = y

⎧ 3 xy 2 si (x; y ) ≠ (0;0 ) ⎪ c) f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 1 si ( x; y ) = (0 ;0 ) ⎩

⎧ 3 xy 2 si ( x; y ) ≠ (0 ;0 ) ⎪ d) f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 si ( x; y ) = (0;0 ) ⎩

4) Dadas las siguientes funciones determinar si son continuas en el punto P0 = (1;1) ⎧⎪3x 2 - y b) f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪⎩2-x + y

2x

a) f (x; y ) =

+ x− y

si

x-y≠0

si

x-y=0

5) Determinar si las funciones definidas por z = f (x; y ) son continuas en el origen ⎧x− y ⎪ a) z = ⎨ x + y ⎪ 1 ⎩

⎧ ⎛ 1 1⎞ ⎪ (x + y ).⎜⎜ sen + sen ⎟⎟ b) z = ⎨ x y⎠ ⎝ ⎪ 0 ⎩ 3 2 ⎧x + y x+ y ≠ 0 ⎪ d) z = ⎨ x 3 + y 3 ⎪ x+ y =0 ⎩ 0

x+ y ≠ 0 x+ y =0

1 ⎧ ⎪ x.sen y c) z = ⎨ ⎪ 0 ⎩

y≠0 y=0

⎧ 2x 2 + y 2 ⎪ e) z = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ ⎩ 0 ⎧ 5 yx 2 ⎪ g) z = ⎨ x 4 + 3 y 2 ⎪ ⎩ 5

xy ≠ 0 xy = 0

⎧x2 − y2 (x; y ) ≠ (0;0) ⎪ f ) z = ⎨x2 + y2 ⎪ (x; y ) = (0;0) ⎩ 0 . 1 − cos y ) ⎧ (1 + senx )( (x; y ) ≠ (0;0) ⎪ y h) z = ⎨ ⎪ 1 (x; y ) = (0;0) ⎩

(x; y ) ≠ (0;0) (x; y ) = (0;0) (x; y ) ≠ (0;0) (x; y ) = (0;0)

6) Determinar en qué puntos son continuas las funciones dadas por las siguientes fórmulas: 1

a) z = e x y

b) z =

3x + x− y

c) z = ln

(4 − x

2

+ y2 )

d) z = tg

(x

2

+ 2 xy + y 2 )

7) Definir f (0;0), si es posible, para que sean continuas en el origen. x2 − y 2 a) f ( x; y ) = x+ y

⎧ x2 − y 2 ⎪ 2 2 d) z = ⎨ x + y ⎪ ....... ⎩

b) f ( x; y ) =

si

( x; y ) ≠ ( 0;0 )

si

( x; y ) = ( 0;0 )

sen ( x 2 + y 2 ) x +y 2

2

c) f ( x; y ) =

⎧ ⎛ π ⎞ ⎪ y sen ⎜ 2 2 ⎟ e) z = ⎨ ⎝x +y ⎠ ⎪ .......... ⎩

tg ( 2 x y ) sen ( 5 x y )

si

( x; y ) ≠ ( 0;0 )

si

( x; y ) = ( 0;0 )

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

10

8) ¿Se puede asignar al origen una imagen tal que la función definida por la siguiente fórmula sea continua? Justifique la respuesta. a) f ( x; y ) =

xy 2 x + y2

9) Demostrar que

⎧ x2 y2 ⎪ f (x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ ⎩ 0

b) f ( x ; y ) = xy +

(x; y ) ≠ (0;0) (x; y ) = (0;0)

x2 − y 2 x2 + y2

es continua en ℜ 2

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

11

TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 Derivadas Parciales 1) Aplicando la definición, calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones y verificar aplicando las reglas a) f ( x; y ) = 3x 2 − 4 xy + y 2 en P0 = (1; −2)

b) f ( x; y ) = x 2 + y

en P0 = (2; −1)

c) f ( x; y ) = e x − y

en P0 = (1;1)

d ) f ( x; y ) = 3 x 2 + y 2 e) f ( x; y ) =

en P0 = (1;1)

x− y x+ y

en P0 = (2; −1)

f ) f ( x; y ) = xy +

x y

en P0 = (2;1)

2) Hallar las funciones derivadas parciales aplicando las reglas de derivación a ) f ( x; y ) = ln (e 2 x + e y ) b) f ( x; y ) =

e) f ( x; y ) = y x

1 + xy 2 cos x

f ) f ( x; y ) =

e x+ y ex + e y

c) f ( x; y ) = e

x+3 y cos x

g) f ( x; y ; z ) = ln(x 2 + y − z 2 )

d ) f ( x; y ) =

x− y x+ y

h) f ( x; y; z ) = x yz y

3) a ) Si

z = x y + x ex

que x z´x + y z´y = x y + z

verificar

b) Si

z = ln ( x + xy + y ) verificar

c) Si

z = e x ln y

2

2

y

verificar

que x z´x + y z´y = 2

que x z´x + y z´y =

4) Calcular las derivadas parciales en el origen a)

f ( x; y ) = 3 x3 + y 3

b)

f ( x; y ) = x 2 + y 2

z ln y

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

12

c) z =

xy

⎧ xy ⎪ d ) f ( x; y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪0 ⎩

si ( x; y ) ≠ (0;0) si ( x; y ) = (0, 0)

⎧ x 2 − xy ⎪ e) f ( x; y ) = ⎨ x + y ⎪ 0 ⎩

si ( x; y ) ≠ (0; 0) si ( x; y ) = (0; 0)

x ⎧ 2 ⎪ y sen y f ) f ( x; y ) = ⎨ ⎪0 ⎩

si ( x; y ) ≠ ( x;0) si ( x; y ) = ( x, 0)

5) Analizar continuidad de las siguientes funciones en el origen y en los puntos (1; 1) y (1;-1). Si es posible hallar las derivadas parciales en los mismos puntos. ⎧ 3x + 2 y a ) f ( x; y ) = ⎨ ⎩2 ⎧ x ⎪ b) f ( x; y ) = ⎨ x + y ⎪0 ⎩

si xy ≠ 0 si xy = 0 si x + y ≠ 0 si x + y = 0

6) Hallar las derivadas parciales de f (x;y;z) = ln (4xy + 2z) en el punto (1;2;0) 7) Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie definida por z = 9x2 + 4y2 – 1 con el plano y =1 en el punto (1;1;12) 8) Hallar la derivada de la función f (x ;y) = x3 – x2 y+ 4xy2 +2 en el punto (2;1), en la dirección que va desde éste al punto (-1;5) 9) Estudiar la derivabilidad en distintas direcciones en el punto A que se indica en cada caso ⎧ 2 x − xy ⎪ a ) f ( x; y ) = ⎨ x 2 + ( y − 2) 2 ⎪0 ⎩ ⎧ ( x − 1)2 y ⎪ b ) f (x; y ) = ⎨ ( x − 1)2 + y 2 ⎪0 ⎩

si ( x; y ) ≠ (0; 2)

en A = (0;2)

si ( x; y ) = (0; 2) si ( x; y ) ≠ (1;0 ) si (x; y ) = (1;0 )

en A = (1;0)

10) Hallar la derivada direccional de f ( x;y;z) = xy2 +2yz –xz3 en el punto (1;2;-1)en la dirección que va desde éste al punto (0;-2;3).

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

13

11) Hallar la derivada de la función f (x;y) = x3 –2 x2 y+ xy3 +1 en el punto (2;1), en la dirección de la bisectriz del 1º cuadrante. 12) Hallar las derivadas direccionales máximas y mínimas de las siguientes funciones en los puntos indicados. a ) f ( x; y ) = 3 x 2 − 4 xy + y 2

en P0 = (1; −2)

b) f ( x; y; z ) = xy + z 2

en P0 = (2; −1;1)

c) f ( x; y ) = e x − y

d ) f ( x; y; z ) =

xz − y x + yz

en P0 = (1;1)

en P0 = (2; −1;1)

13) Hallar, por definición, las derivadas parciales de 2º orden de las siguientes funciones: a ) f ( x; y ) = 3 x 2 − 4 xy + y 2 b) f ( x; y; z ) = 4 x3 y 2 + z 2

en P = (−1;1) en P = (1; −1; 2)

14) Hallar las derivadas segundas y terceras de las siguientes funciones y verificar que z "xy = z "yx ; z "'xxy = z "'xyx = z "' yxx ; z "'xyy = z "' yxy = z "' yyx a ) z = x 3 − 5 xy 2

b) z = y x

⎛ y⎞ c) z = arc tg ⎜ ⎟ ⎝x⎠

d ) z = e xy

e) z = cos (2 x + 3 y ) 15) Dada la función definida por: ⎧ x2 − y2 si (x, y ) ≠ (0;0 ) ⎪2 xy 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y2 ⎪0 si ( x, y ) = (0;0 ) ⎩ ′′ (0;0 ) ≠ f yx ′′ (0;0 ) a) Verificar que f xy b) Analizar cual o cuales hipótesis del teorema de Schwarz no se cumple. 16) Demostrar que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de Laplace ( f "xx + f " yy = 0 ∨ f "xx + f "yy + f "zz = 0 ) a)

⎛ y⎞ f ( x; y ) = arc tg ⎜ ⎟ ⎝x⎠

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

14

b) f ( x; y; z ) =

1 x + y2 + z2 2

APLICACIONES ECONÓMICAS

1) Dada la función de demanda de un bien D1 = −2 p1 + 5 p 2 − p 2 p 3 + 100 en función de su precio y los precios de otros dos bienes donde p 2 y p 3 a) Calcular las demandas marginales para p 1 = 1 p 2 = 2 p 3 = 1 e indicar su significado económico. b) Clasificar el bien. c) Calcular las elasticidades parciales para p 1 = 1 p 2 = 2 p 3 = 1 e indicar su significado económico. 2) En un mercado de dos bienes Q1 y Q 2 , las demandas son: q1 = 100 −

1 2 1 p1 − 50 4 p2

q 2 = 80 + 12 ln p1 − 3 p 2

Hallar las demandas marginales y las elasticidades parciales para p1 = 8 y p 2 = 5 interpretando económicamente los resultados obtenidos. 3) Dadas las demandas de dos bienes x1 y x 2 cuyos precios son p 1 y p 2 respectivamente. Clasificar ambos bienes. Clasificarlos entre sí. Hallar las elasticidades parciales. a) x1 = p 2 e −2 p1 x 2 = e c) x1 =

7 p1 p2

p −3 p 1 2

b) x1 = − p1 − ln( p 2 p1 ) x 2 =

1 p 2 p1

x 2 = e p1 − p2

4) La función de utilidad de un consumidor en un mercado de dos bienes es U = 4 q1 + q1 q 2 + 2 q 2 donde q1 y q 2 son las cantidades adquiridas de cada bien (canasta de compra). Los precios de los bienes son p1 = 5 u.m. y p 2 = 8u .m. La renta del consumidor es de 140 u.m. que gasta íntegramente. Hallar la canasta de compra para que sean iguales las utilidades marginales e interprete económicamente los resultados obtenidos. 1

2

5) Dada la función de producción de Cobb-Douglas Q = 10 K 3 L3 donde K es el capital y T el trabajo. a) Calcular las productividades marginales para K=4 y L=4 b) Si el gasto en los factores es de 500 u.m. y sus precios son p K = 10 y p L = 20 . Hallar las cantidades de factores a combinar para que sean iguales las productividades marginales. c) Comprobar que para cualquier valor de K y L , la elasticidad de Q respecto a L es el doble que la elasticidad de Q respecto de K y que a su vez estos valores coinciden con los exponentes del capital y del trabajo en la función de producción.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

15

6) Si para un determinado consumidor la función de demanda de un bien en el mercado está dada por x( ( p , I ) = e I p −0 ,2 donde p es el precio unitario del bien e I es la renta del consumidor. Calcular las demandas marginales y clasificar la demanda respecto del precio y del ingreso. 7) Dada la función de producción P( x; y ) = 2 x 2 + 3 y 2 donde x e y son las cantidades de dos factores productivos X e Y. Actualmente se utilizan para producir 1 unidad del factor X y 2 unidades del factor Y. a) Indicar en función de Δx y Δy las componentes de los puntos donde se deben calcular las productividades marginales para que el incremento de la producción pueda obtenerse aplicando el teorema del valor medio. b) Obtener los puntos intermedios si el factor X se incrementa en 0.02 y el factor Y en 0.01. 8) Un inversionista posee un capital de 12500 u.m. que depositará en una entidad bancaria que opera .con capitalización subperiódica con tasa proporcional. kn

i⎞ ⎛ C (i ; k ; n ) = C 0 ⎜ 1 + ⎟ donde C o es el capital inicial, i es la tasa de interés unitaria o k⎠ ⎝

interés ganado en un período para C o = $1000 , n es la cantidad de períodos y k es la cantidad de capitalizaciones en un período. a) Obtener el monto que produce dicho capital. luego de 4½ años de depósito, si la tasa de interés es del 20% anual con capitalización semestral. b) ¿Cuál será la tasa de cambio del monto anterior si el número de períodos en el que se encuentra depositado el capital se incrementa levemente, suponiendo constante la tasa de interés, el tipo de capitalización y el capital inicial.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

16

TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 Diferencial 1) Dada la función z = x 3 − xy + y 2 . a) Hallar el dz y Δz en x = 1 , y = 2, Δx = −0,02 , Δy = 0,01 . Explicar por qué los resultados son aproximadamente iguales. b) Hallar el dz y Δz en x = 1 , y = 2 , Δx = −2 , Δy = 1 . Sacar conclusiones en base a los resultados obtenidos. 2) Si z = f ( x , y ) = x 2 y − 3 y a) Hallar el dz y Δz en x = 4 , y = 3 , Δx = −0 ,01, Δy = 0,02 b) Calcular el valor aproximado de f (5 ,12;6 ,85 ) aplicando diferencial. 3) Calcular el diferencial total de las siguientes funciones:

(

a) u = ln x z y 2

)

b) u = x y z

c) z = x sen(x y ) en x 0 =

π ; y0 = 2 4

4) Dadas las siguientes funciones:

⎧ 2 xy ⎪ a) f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪⎩ 0 ⎧ 2 xy 2 ⎪ c) f ( x , y ) = ⎨ x 2 + y 4 ⎪ 0 ⎩ ⎧ 3x 2 y 2 ⎪ f (x , y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0 ⎩

si (x, y ) ≠ (0 ,0 ) si (x, y ) = (0 ,0 ) si (x, y ) ≠ (0 ,0 ) si (x, y ) = (0 ,0 )

b) f ( x , y ) =

xy

d)

si (x, y ) ≠ (0 ,0 ) si (x, y ) = (0 ,0 )

i) Calcular sus derivadas parciales en el origen. ii) Analizar si son continuas en el origen. iii) Indicar si son diferenciables en el origen. 5) Aplicando diferenciales calcular aproximadamente: a) 1,02 3 ,01

b) 2 ,02

4 ,01

6) Hallar d 2 z y d 3 z para las siguientes funciones: a) z = x 3 y + 2 y 4

b) z = e x cos y

7) Hallar d z , d 2 z y d 3 z en P = (1;2 ) si z = f ( x , y ) = x 2 + y 2 + xy − 4 ln x − 10 ln y 8) Dada la función de producción P( x; y ) = 2 y 3 + 2 x . Calcular la T.S.T.(Y/X) para x=1 e y=2 e interpretar el resultado económicamente. 9) Dada la función de utilidad del consumidor U=2xy. Calcular la T.M.S (Y/X) y la T.M.S (X/Y) para (x;y)=(20;40) e interpretar el resultado económicamente.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

10) Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a) z = x 2 + 2 xy en P = (1;1; z 0 ) b) z = x 3 + ln y en P = (2;1; z 0 ) 11) Dada la función z = x 2 − 2 xy + y 2 . Calcular la variación en el plano tangente al pasar del punto (2; 1) al punto (2,2; 0,9)

17

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

18

TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 Funciones Compuestas e Implícitas DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS 1) Si w = x 2 y + y + xz donde x = cos φ , y = sen φ , z = φ2 . Determine evalúelo en

φ=

(

dw dφ

y

π . 3

)

2) Si w = sen x y z 2 , siendo x = t 3 , y = t 2 , z = t . Determine

dw dt

3) Si z = ln( x + y ) − ln(x − y ), x = t e s , y = e s t determine las derivadas

∂z ∂z . y ∂t ∂s

4) Sea z = F(x; y), donde x = r cos φ ; y = r sen φ , verifique que: 2

2

2

1 ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ + 2 r ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂r ⎠

⎛ ∂z ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂φ ⎠

2

5) Si w = x 2 y + z 2 , , x = ρ cos θ sen φ , y = ρ sen θ cos φ , z = ρ cos θ determine para ρ = 2, θ = π , ϕ =

π 2

.

(

6) Dadas g : R → R 3 / g (t ) = t 2 ; 1 − t ; t 3

)

F : A → R; A ⊆ R / F ( x; y ; z ) = x y z para h(t) h(t)= (F o g )(t ) = F (g (t )) , halle h’(-3), utilizando la regla de la cadena 3

7) Dadas

∂w ∂θ

(

G : A → R 2 ; A ⊂ R 2 / G (u ; v ) = sen u + 2 v3 ; cos (2u ) − u v

definida

por

)

F : B → R ; B ⊂ R 2 / F (x; y ) = e xy ∂H ∂H se define H(u; v)= (F o G )(u ; v ) ; halle , ∂u ∂v

8) Calcular en cada caso las derivadas parciales que se indican en el punto P0 : y ⎧ ⎪u = x ⎪⎪ ∂z (P0 ) y ∂z (P0 ) para P0 = (x0 ; y0 ) = (1,0) i) z = u 2vw , siendo ⎨v = 2 x + y 2 hallar ∂y ∂x ⎪w = x + cos y ⎪ ⎪⎩

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

ii) z =

x3 + 2 x + 3 y 2 ,

siendo

P0 = (u0 ; v0 ) = (0;1)

⎧⎪ x = cos(2u ) + u 2 hallar ⎨ ⎪⎩ y = ln v3 + 2v

19

∂z (P0 ) y ∂z (P0 ) ∂u ∂v

para

9) Calcular el dz en función de dx y dy en las siguiente función: ⎧⎪t = 2 xy z = t u 2 con ⎨ ⎪⎩u = x 2 + y 2 ⎧⎪ x + y = 2t 10) Sabiendo que x = x( t ) e y = y (t ) . Calcular xt′ ; yt′ sabiendo que ⎨ ⎪⎩2 x − y = t 2 ⎧⎪ x 2 + y 2 = t 11) Si z = y cos x donde x = x( t ) e y = y (t ) definidas por el sistema ⎨ ⎪⎩2 x − 3 y = et dz Hallar dt

FUNCIONES IMPLÍCITAS xz 2 + y 2 =0, verificar las hipótesis del teorema de Cauchy-Dini que asegura la x+ y existencia de z = f ( x; y ) en la proximidad de x = -1; y = 2, z = 2. Si se cumplen evaluar ∂z en dicho punto. ∂x

1) Si

2) Idem para e z x = x y z en x = 1, y = - e −1 , z = -1. Si se cumplen evaluar

∂z en dicho ∂y

punto. 3) Idem para

xz + y 2 − xy = 0 para x = 2, y = 2, z = 6. Si se cumplen evaluar

∂z ∂x

4) Si F(x; y; z)=0 demostrar que x y y z z x = −1 para Fx′ ≠ 0 , Fy′ ≠ 0 , Fz′ ≠ 0 5) Si x 3 e y + z − y sen (x − z ) = 0 define a z como función implícita de x e y, determinar ∂z . ∂x 6) Si ye − x + z senx = 0 define a x como función implícita de z e y, determinar la

∂x . ∂z

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

20

2 = y 2 − z 2 define a z como función implícita de x e y, verifique que x ∂z 1 ∂z 1 x2 + = ∂x y ∂y z

7) Si z 2 +

8) Si

∂z ∂z z ⎛ y⎞ = F ⎜ ⎟ ; demuestre que x + y = z sea cual fuere la función derivable F. ∂x ∂y x ⎝z⎠

9) Si x 2 + z 2 − 2 x y = 0 define a z como función implícita de x e y. Calcular ′ , z ′xy ′ , z ′yy ′ z ′x , z ′y , z ′xx 10) Sea z = f (x , y ) determinada por la ecuación 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 − 8 xz − z + 8 = 0 Hallar el d 2 z para x=2, y=0, z=1 11) Calcular el plano tangente y la recta normal a las siguientes superficies a) x 2 / 3 + y 2 / 3 + z 2 / 3 = 14 en P = (1;8;−27 ) b) x 2 = 12 y en P = ( 6 ;3;3 )

APLICACIONES ECONÓMICAS

1) Dada la ecuación q13 p12 p2 − 2 p1q1 − 8 = 0 define implícitamente a la demanda q1 = q1 ( p1 ; p2 ) de un producto X 1 en función de su propio precio p1 y del

(

)

precio p2 de otro bien X 2 en un entorno del punto P0 = p10 ; p 20 ; q10 = (2 , 3,1) , además los precios evolucionan con el tiempo según las leyes p1(t ) = 1 + t ; p2 (t ) = 2 + 3 t . Obtenga la demanda marginal y elasticidad directas del producto X 1 como así también la demanda marginal respecto del tiempo en el instante t0 = 1 . Interprete los resultados obtenidos. 2) La demanda de un producto X 1 está dada por q1 = 20 − p1 − 2 p2 , mientras que la de un producto X 2 es q2 = 50 − 2 p1 − 3 p2 ; por otra parte los precios evolucionan con el

tiempo según las leyes p1 (t ) = 1 + t 2 ; p2 (t ) = 1 + 3 t . En el instante t0 = 1 , determine las demandas marginales y elasticidades directas y cruzadas de ambos productos interpretando los resultados y clasificándolos. Obtener las demandas marginales respecto del tiempo.

3) Partiendo de la Ecuación Cuantitativa del Dinero M.V = P.Y Hallar la ecuación que determina el nivel de inflación. Sabiendo que todas las variables dependen del tiempo, excepto V. ( M Cantidad de dinero, V su velocidad, P nivel de precios, Y nivel de producción. Además la inflación se define como la variación de los precios a través del tiempo)

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

21

4) Si la ecuación 2 Q 2 + 3 L Q + L2 K 3 + 6 K = 0 define implícitamente una función de producción Q = f (K , L ) , hallar las productividades marginales. Además indicar en cuanto debe disminuir K si el trabajo se incrementa en una unidad para mantener la producción constante. 5) Dada la ecuación de demanda D = p12 p23 + 2 p1 p2 − 3 p12 + p22 , en donde los ⎧3 p p 2 + 4 p + 2 t 2 = 0 dD ⎪ 1 precios están determinados por ⎨ 1 2 Hallar dt ⎪ p p3 + 5 p − 5 p + t 2 = 0 1 2 ⎩ 1 2 6) La demanda agregada en una economía abierta es: DA= C +I +G +X –M (C consumo, I inversión, G gasto, X exportación, M importación, Y ingreso). Se sabe, a su vez, que el consumo C y las importaciones M dependen del nivel de ingreso Y (C = 0.6 Y + 600 y M = 300 + 0.3 Y2) Hallar la variación de la demanda ante cambios en el ingreso.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

22

TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 Función Homogénea 1) Determinar si las siguientes funciones son homogéneas y en caso afirmativo determinar su grado y verificar el Teorema de Euler. a) f ( x; y ) = 2 x3 + 5 x 2 y

b) f ( x; y ) = x 3 − xy + y 3

c) f ( x; y ) = 3 x 3 − y 3

d) f ( x; y ) = 2 x + y + 3 xy

e) f ( x; y ; w) =

xy 2 + 2 xw w

f) f ( x; y ) =

g) f ( x; y ; z ) = y 2 (ln x 2 − ln y 2 ) + z 2 .

x2 + y 2 4

x3 + y 3

h) f ( x; y ) = 2 ln( x

1

2

− y ) − ln x3

2) Comprobar que las siguientes funciones son linealmente homogéneas y verificar sus propiedades: a) f ( x; y ) = 2 x + 3 y

b) f ( x; y ) =

x2 + y 2 x

c) f ( x; y ) =

x2 − 3 y 2

3) Se sabe que f ( x; y ) es una función homogénea de grado 2, que f (1;2 ) = 1 y ∂f (1;2) = 3 . Calcular: ∂x ⎛1 ⎞ a) f ⎜ ;1⎟ ⎝2 ⎠ ∂f (2;4) b) ∂x ∂f (2;4) + 4 ∂f (2;4) c) 2 ∂x ∂y APLICACIONES ECONÓMICAS 1) Dada la función de producción de Cobb Douglas f ( x1 ; x2 ) = ax1α x12− α 0 < α < 1 con a una constante positiva. Verificar a) Que es homogénea de grado uno b) Teorema de Euler para todo punto de su dominio c) TST es homogénea de grado cero. d) La trayectoria de expansión para precios unitarios de los insumos constantes es una recta que parte del origen. e) La suma de las elasticidades parciales de la producción respecto a los insumos es igual a uno. 3

2) Dada la función de producción P(a, b) = 8 a 2b donde P es el producto total, a y b las cantidades variables de 2 factores de producción A y B: a) Demostrar que la función es homogénea e interpretar. b) Comprobar el Teorema de Euler.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

23

c) Calcular el producto total para a=b=10. d) Indicar el tipo de rendimiento a escala. e) Hallar la tasa marginal de sustitución TST (B / A) hallar su homogeneidad e interpretar económicamente. f) Calcular la senda de expansión para pa = 4 y pb = 2 3) Estudios econométricos de la industria del algodón en la India indican que puede aplicarse una función de producción Cobb – Douglas y que el exponente del trabajo es 0,92 y el exponente del capital es 0,08. Suponga que se incrementa tanto el capital como el trabajo en un 1%. ¿En qué porcentaje aumentaría el producto? 4) Si z= f(a, b)= 3a² + 4ab + b² z: cantidad de producto total a: cantidad de materia prima ; b: cantidad de mano de obra a) Determinar si la función es homogénea. b) Aplicar el Teorema de Euler. c) Si a=3 , b= 5 ¿Cuál es el producto total? d) Si el trabajo se paga sobre la base de su producción marginal. ¿Cuál es el coeficiente salarial? e) ¿Cuál es la suma total pagada al factor trabajo? 5) Si la función de demanda de un bien Q = f ( p; y ) =

y donde k: constante, p el kp

precio e y la renta. Demostrar que la función es homogénea y dar significado. 6) Se estima que la producción de un determinado país, para un período de estudio, esta dada mediante la función x = a2,13 b0,34. Donde x es el producto total, a el trabajo y b el capital fijo. a) Probar que dicha función es homogénea y dar el grado de homogeneidad. b) Probar el teorema de Euler. c) Hallar la suma de las elasticidades parciales. d) Indicar el tipo de rendimiento a escala. e) Calcular la senda de expansión para pa = 4 26 y pb = 34 7) Siendo pa, pb, pc los precios de 3 artículos diferentes A, B, C, si las demandas de los insumos están dadas por las funciones: Da =

2p b − pa pc

Db =

5p c − p a − 2p b pc

Dc =

10p a − p b pc

a) Verificar que todas las demandas son homogéneas de grado cero. b) ¿Qué ocurre con cada demanda cuando el precio de cada artículo se incrementa en un 20%? c) ¿Qué ocurre si decrecen en un 20%?

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

24

TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 Fórmula de Taylor y Mac Laurin 1) Desarrollar las siguientes funciones en el entorno de los puntos indicados hasta 2º orden y expresar el término complementario. a) z = ln (xy) en P0=(1;1).

π b) z = sen (2xy) en P0= ⎛⎜ ;1⎞⎟ . ⎝4 ⎠

c) z = x.ey en P0 (1;0). 2) Desarrollar las siguientes funciones en el entorno del punto indicado o en las potencias indicadas aplicando la fórmula de Taylor o Mac Laurin según corresponda, hasta las derivadas terceras inclusive. a) b) c) d) e)

z = x3+2xy-x+y3 en un entorno de P0 = (1;2). z = ex+2y en un entorno P0 = (2;0). z = ex.cos y en un entorno del origen. z = exy en P0 = (1;1) y hallar aproximadamente f (1,1;1,2) z = ex+y en potencias de (x-1) y de (y-1).

π π f) z = sen (x+y) en potencias de ⎛⎜ x − ⎞⎟ y ⎛⎜ y − ⎞⎟ . ⎝

2⎠

⎝

2⎠

g) z = sen (x-2y2) en un entorno del origen. h) z = ex.ln (1+y) en un entorno de P0= (0;0). 3) Calcular el valor aproximado aplicando la fórmula de Taylor o Mac Laurin hasta las derivadas segundas inclusive de: a) arc tg

1,05 1,1

b) 1,12.(e0,1)2

4) Calcular el valor aproximado aplicando la fórmula de Taylor o Mac Laurin hasta las derivadas terceras inclusive de (2,03)3.(0,96)2. π π 5) Utilizar la fórmula de Mac Laurin para aproximar f ⎛⎜ ; ⎞⎟ si: ⎝ 30 36 ⎠

z = cos x. cos y, hasta n=4. 6) P (t;c) = 3 t2/3. c1/3 es una función de producción en función del trabajo y del capital. Desarrollar el polinomio en un entorno de P0 = (8;27) hasta 2º orden. Hallar la producción si se incrementan las variables un 5%. 7) Si una función de producción es P(x1;x2) = 4. x1 x 2 , donde x1 y x2 son las cantidades de dos insumos X1 y X2, hallar el polinomio de Taylor hasta segundo orden y calcular P(3,99;1,1). 8) Si D1 =

4 p1 . p 2

estimar la cantidad demandada para p1=4,01, p2=1,02 a través del

polinomio de Taylor de 2º grado. Clasificar el bien. 9) Verificar que para pequeños valores de x e y es: ex . sen y ≅ y + xy. 10) Desarrollando por Taylor hasta 2º orden inclusive calcular f (0,09;1,1). cuando z = f (x;y) viene definida implícitamente por 8xz-3xy + ln (zy) = 0.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ 11) Probar que sen y . cos x ≅ ⎜ x − ⎟.( y − π ) en un entorno de P0 = ⎜ ; π ⎟ . 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 12) Expresar los siguientes binomios en potencias de x e y. Comparar los resultados con el desarrollo del binomio ( a + b ) n b) (xy − 1)3 c) (x + y )4 a) (3x + 2 y )2

25

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

26

TRABAJO PRÁCTICO Nº 9 Extremos Libres y Condicionados EXTREMOS RELATIVOS 1) Calcular los extremos relativos, si existen, de las siguientes funciones: a) z = x 2 + y 2 − xy + 3 x − 2 y + 1

b) z = x 3 − 3 xy + y 3

c) z = x 3 − 12 y − 15 x + 3 xy 2

d) z = x 2 − ( y − 1)2

e) z = x 3 + y 3 +

f) z = (y − x 2 ) + 5

243 243 + x y

2

g) z = senx + seny + sen(x + y ) 0 ≤ x ≤

i) z = e

π 2

0≤ y≤

π 2

−⎛⎜ x 2 + y 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

h) z = xy +

27 8 + y x

j) z = xy − ln(x 2 + y 2 )

k) z = (x − y + 1)2

l) z = (x − y )4 + ( y − 1)4 + 2

2) Hallar los puntos críticos de z = xy 1 − x 2 − y 2 3) Calcular extremos relativos, si existen, de las siguientes funciones, verificando los resultados obtenidos con la interpretación geométrica: a) z = (x − 1)2 + ( y − 2 )2 + 3

b) z =

x2 y2 − 9 4

4) Desarrollar el número positivo k en tres sumandos positivos de modo que el producto de ellos sea máximo. 5) Encontrar los extremos, si existen, de la función z=f(x;y) definida implícitamente: a) x 2 + y 2 + z 2 = 4

b) x 2 + xy − 2 xz + y 2 − z 2 + 21 = 0

EXTREMOS CONDICIONADOS 1) Calcular, si existen, los extremos de las siguientes funciones z = f (x; y ) sujetas a las restricciones dadas: a) z = 4 x 2 + 3 y 2 − xy siendo x + 2y = 21

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

27

b) z = 2 x + y 2 siendo y - 2x = 0 c) z = x + y siendo x 2 + y 2 = 1 d) Hallar los puntos críticos para f (x; y ) = x 2 + 12 xy + y 2 siendo x 2 + y 2 = 4 e) Hallar el mínimo de f (x; y ) = x 2 + y 2 siendo

x y + =1 a b

f) Determinar de todos los triángulos de igual perímetro 2k el que tiene mayor área. 2) Hallar tres números positivos, x, y, z, cuya suma sea 48 y tales que el producto x 4 y 3 z sea máximo. 3) Calcular el radio de la base y la altura del cilindro circular recto de volumen 2dm 3 y de superficie total mínima. 4) Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa igual a 10, hallar el de área máxima. 5) Determinar el punto del plano x-2y+3z=10, más próximo al origen. 6) Determinar la distancia mínima entre un punto (x; y ; z ) y el origen cuando sus coordenadas cumplen las condiciones

⎧ 2 z2 −1=0 ⎪x + y 2 + ⎨ 4 ⎪x + y + z = 0 ⎩

APLICACIONES ECONÓMICAS 1) Consideremos un oferente de 2 artículos I y II que se comporta monopolísticamente. Tiene como objeto maximizar su beneficio. El plan de costos en la empresa se resume en la función C= 3 + 2x1 + 2x2 siendo x1 y x2 la cantidad de demanda de cada artículo I y II respectivamente; supongamos que dicho oferente establece los precios de venta en función de la cantidad demandada según las leyes: p1= 12 – x1 ; p2= 20 – x2 donde p1 y p2 son los precios unitarios de venta. Se desea determinar: a) Las cantidades de los artículos I y II que hacen el beneficio total máximo. b) El beneficio total máximo. 2) Sea G(p,q) la función ganancia dependiente de q cantidad de producto y p la cantidad de dinero invertido en publicidad si: G(p, q) = −q 2 − 2p 2 − 2pq + 10q + 16p Encontrar los valores de p y q para los cuales la ganancia es máxima. 3) Consideremos una empresa productora de 2 bienes A y B en circunstancias de competencia perfecta los precios se mantienen exógenos (no dependen de la demanda ni de otro factor) siendo pa y pb los precios unitarios de cada bien respectivamente, qa y qb el nivel de producción.

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

28

Si la función de costos de la empresa es C= 2qa² + qaqb + 2qb² Se desea maximizar el beneficio para pa=12 y pb= 18 4) Para surtir un pedido una empresa desea distribuir la producción entre 2 plantas la 1 y 2. La función de costo total es: C(q1,q2)= 0,1q1² + 7q1 + 15q2 + 1000 En la cual q1 y q2 son números de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2 respectivamente. ¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos, es posible? 5) Si en el ejercicio 4) se necesita surtir un pedido de 100 unidades. Hallar el costo mínimo. 6) Dada la función utilidad de un consumidor U = x 1.x 2 los precios de los bienes son p1 = 1 y p2 = 3 y el ingreso I = 15. a) Encontrar las cantidades x1 y x2 que hacen máxima la utilidad y a cuanto asciende ésta. b) Relacionar con el concepto de curva de indiferencia, graficar y extraer conclusiones. c) Dar la interpretación económica de λ. 7) El número de fallas N, como función de los números x e y de cambios de dos partes de una máquina esta dado por N(x, y) = 3x 2 + y 2 + 2xy − 22x + 6 . Para minimizar las fallas, ¿qué número de cambios deben realizarse de cada parte si 2x = y ? 8) Un producto se vende en dos mercados diferentes, las leyes de salida-precio son p1 = 26 − q1 y p 2 = 40 − 4q 2 . La función costo es respectivamente: C(q1 , q 2 ) = q12 + 2q1q 2 + q 2 2 . Calcular:

a) b) c) d)

Nivel de producción que debe destinarse a cada mercado. Precios a los que deben venderse para obtener el mayor beneficio. Beneficio máximo. Relación entre el precio de venta y la elasticidad de la demanda.

9) Suponiendo que un empresario utiliza 2 insumos variables x1 y x2 en la producción de un solo artículo y su función de producción esta dada por q= f(x1,x2) y su costo total de producción viene dado por C= r1.x1 + r2.x2 + b siendo r1 y r2 los precios unitarios de x1 ∧ x2 y b el costo de los insumos fijos. Se desea obtener el mayor producto posible con un costo dado en un nivel C0. Relacionar con el concepto de isocuanta. 10) La función de producción de una empresa es f(L,K)= 60L + 30K – 2L² - 3K². El costo por unidad de L y K respectivamente es de $2 y $3, si la empresa desea que el costo total de los insumos sea $30, calcule la máxima producción sujeta a esa restricción. 11) Si la función de producción del bien Y es del tipo Cobb Douglass, con elasticidades de producción iguales a 0,5 y coeficiente fijo igual a 100, siendo los precios de los dos únicos insumos x1 y x2 respectivamente igual a $2 y $8. ¿Cuál es la combinación óptima de insumos para un costo de $400?

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

29

12) Un monopolista productor de dos mercancías X y Y cuyos precios de venta en función de las cantidades demandada son: px = 36 – 3x ; py = 40 – 5y Si la función de costo conjunto o total es: C(x , y) = x² + x y + 3 y² Determinar las cantidades y precios que maximizan la función beneficio. 13) Si la función de producción conjunta es x = q1 + q 2 y los precios de venta son p1 = 20 y p2 = 10, a) Hallar el máximo ingreso si la cantidad de insumos debe ser x0 = 500. b) Hallar la cantidad mínima de un insumo x que proporciona un ingreso de 1500 unidades monetarias. c) Dar la interpretación económica de λ. d) La empresa prevé tener que incrementar en 20 unidades la cantidad de insumos utilizada en la producción, Si el precio total de ambos insumos es de $20, teniendo en cuenta el punto a), determinar si es conveniente para la empresa esta alternativa justificando la respuesta. Resolver realizando la menor cantidad de cálculos. 2

2

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

30

TRABAJO PRÁCTICO Nº 10 Integrales múltiples 1) Resolver a)

3

∫∫

1

−1

2

π

(3 x 2 y + 2 x) dx dy

b)

x2 + 2 2 ∫0 −∫1 x3 + 6 x + 1 3 y dy dx 1 2

c)

2 3 0 1

∫ ∫

( y x sen y ) dx dy

2 1

d)

∫ ∫ 2xy

2

e y dy dx

0 0

1 2

e)

x2 y 4 ∫0 ∫1 xy + y dy dx

2) Ubicar los límites de integración y cambiar el orden en la integral doble ∫∫ f ( x; y) dxdy siendo D el recinto determinado por: D

b) D = { (x;y) ∈ R2 / 2x + 3y ≤ 6 ∧ x ≥ 0 ∧y ≥ 0

a)

c) D = { (x;y) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ 9 } e) D = { (x; y) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ 4x }

d)

f) El triángulo de vértices (0;0), (4;0), (2;1) 3) Hallar el área de cada uno de los siguientes recintos: a) D = { (x;y) ∈ R2 / 1 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 } b) D = { (x;y) ∈ R2 / y ≥ x2 ∧ x ≥ y2 } c) D es la región limitada por los gráficos de f(x) = sen x y g(x) = cos x entre x = yx=5

π 4

.

d) D = { (x;y) ∈ R2 / y2 ≤ x ≤ 4 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 }

π 2

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

31

e) D es la región que se encuentra por debajo de la recta y = -3x + 6, que está comprendida entre la parábola y = 4x – x2 y el eje x . 4) Invertir el orden de integración y evaluar convenientemente la integral: x

4

a)

d)

∫ ∫ 1

1

2

1

1

∫ ∫

b)

1

( y + x ) dxdy

c)

0 1− y

2 ln x

∫∫ 0

1

( y 2 + x 2 ) dydx

( x + y ) dxdy e)

y 2

∫ ∫ 1

0

1

∫ ∫ 0

x3 + 1 dxdy

y

y ln x dydx x

5) Evaluar la integral doble: a)

∫∫ x D

2y dxdy 2 +1

D = { (x;y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤

x }

x

b)

y ∫∫ e dxdy

D = { (x;y) ∈ R2 / 1 ≤ y ≤ 2 ∧ y ≤ x ≤ y3 }

D

6) Hallar el volumen del sólido: a) situado en el primer octante limitado por los planos coordenados y el plano x+y+z =1. b) limitado en el primer octante por los planos z =3; 2y + 3x = 6 . c) limitado por el paraboloide z = x 2 + y 2 + 4 , el plano x + y = 1 y los planos coordenados. 7) Plantear la integral que permite hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x2 + z2 = 16 y los planos x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; 2x+y =2 8) Calcular la siguiente integral 2 2 2 2 ∫∫ ( x + xy + 2 ) dx dy siendo D = { (x;y) ∈ R / - x ≤ y ≤ x ∧ x ≤ 2 } D

9) Plantear la integral que permite calcular el volumen: a) del sólido limitado superiormente por el paraboloide z = 8 − x 2 − y 2 e inferiormente por el paraboloide z = x 2 + y 2 . b) del cuerpo limitado por z = x 2 + y 2 y z = 9 10) Calcular las siguientes integrales triples: 2

a)

x

x+ y

∫∫ ∫ 0

0

0

6 e x ( y + 2 z ) dz dy dx

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

32

b)

c)

d)

1

z

x+ z

0

0

0

∫ ∫ ∫ 1

z

y

0

0

0

2

z

− y2

∫∫∫

4 z e

3x

∫∫ ∫ 1

0

2 x z dy dx dz

dx dy dz

2x dy dx dz x + y2 2

0

11) Calcular, utilizando integrales triples, el volumen del tretraedro limitado por los planos coordenados y el plano 2 x + 3 y + z = 6 . 12) Hallar, utilizando integrales triples, el volumen del sólido limitado en el primer octante por la superficie cilíndrica z = 1 − x 2 y y + x = 1 13) Calcular, mediante integrales triples, el volumen del sólido limitado por: a) y 2 = 4 − 3 x 2

2

b) x + y = 9

∧

y2 = x

∧

z =0

∧ z =4 ∧ z =0 ∧

z=x

1er octante

14) La función de Cobb-Douglas para una industria es f (x ; y) = 100 x0,6 y0,4 donde x representa unidades de trabajo e y el de unidades de capital. Estimar el nivel de producción medio si x varía entre 100 y 200 unidades, e y varía entre 300 y 350. 15) El beneficio en la comercialización de dos productos viene dado por B(x;y) = 200 x + 650 y – x2 – 5 y2 – 2 x y – 4000 donde x e y representan los números de unidades de los dos productos. Plantear utilizando integral doble, el beneficio medio si x varía entre 35 y 45 unidades e y varía entre 40 y 55. 16) Sean x e y variables continuas y la función ⎧ x + y si 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 f ( x; y ) = ⎨ en el resto ⎩ 0 a) Probar que f(x;y) es una función de densidad bivariada. b) Hallar la función de distribución bivariada.

17) Sean x e y variables continuas y la función

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

33

⎧1 ⎪ ( 9 − x − y ) si 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 3 ≤ y ≤ 6 f ( x; y ) = ⎨ 27 ⎪⎩ 0 en el resto

P(0 ≤ x ≤ 2, 5 ≤ y ≤ 6) a) Probar que f(x;y) es una función de densidad de probabilidad conjunta. b) Hallar probabilidad que se específica. 18) Un fabricante estima que cuando se venden x unidades de cierta mercancía en el país , e y unidades en mercados extranjeros , la utilidad está dada por U(x ;y) = (x-30) ( 140 + 10x - 8y)+(2y - 80) (80 - 6x + 7y) cientos de dólares. Si las ventas nacionales varían entre 100 y 125 unidades y las ventas en el extranjero entre 70 y 89 unidades, ¿cuál es la utilidad mensual promedio?

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

34

TRABAJO PRÁCTICO Nº 11 Ecuaciones diferenciales 1) Demostrar que: a) y = e − x ( x + k )

(k constante)

es una solución de y ′ + y = e − x .

b) y = ke 3 x (k constante) es una solución de y ′ = 3 y . Hallar la solución particular que satisface y (0) = 5 c) y =

x2 k + 3 x

d) y =

1 + k1x5 + k2 x (k1, k2 constantes) 12 x

(k constante)

x 2 y ′′ − 5 xy ′ + 5 y =

es una solución de xy ′ + y = x 2 es una solución de

1 x

e) y = k1e x + k2e −2 x (k1, k2 constantes) es una solución de y ′′ + y ′ − 2 y = 0

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

1) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables: a) x dx = (1 − sen 2t )dt

b) y 2 dx − (1 − x)dy = 0

c) (1 + x 2 ) y ′ + xy = 0

d) y ′ = (1 − x) 3 ( y 2 − 9 y )

e) xdx + 2 y 1 + x 2 dy = 0 , y(0) = 1

f)

dy ty + 3t , = 2 dt t +1

y(2) = 2

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: a) ( y 2 − xy)dx + x 2 dy = 0

b) ( x + y )dx + ( x − y )dy = 0

c) ( xy − x 2 ) y ′ = y 2

d) ( x − xy ) dy = y dx , y(4)=1

e) ( xy 2 + x 2 y )dy − xy 2 dx = 0 , y (6) = 1

3) Verificar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y resolverlas: a) (2 x + y )dx + ( x + 2 y )dy = 0

b) ( x 2 − x + y 2 )dx − ( ye y − 2 xy )dy = 0

⎛x ⎞ c) ln y + 3 y 2 + ⎜⎜ + 6 xy ⎟⎟ y ′ = 0 , ⎝y ⎠

y > 0,

y (1) = 1

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

4) Determinar para qué valores de k la ecuación diferencial

35

2 xy y ′ + y k = 0 es

exacta y resolverla. (axy 2 + by ) dx + (bx 2 y + ax) dy = 0

5) Demostrar que la ecuación diferencial es exacta si y sólo si a = b.

6) Demostrar que la ecuación diferencial dada no es exacta y que ϕ es un factor integrante. Resolverla. a) y( y + x ) − x 2 y′ = 0 b)

φ( x , y ) =

(2 y cos x − x y senx )dx + 2 x cos x dy = 0

1 xy 2

φ( x , y ) = xy

7) Hallar un factor integrante y resolver: a)

3xy + 2 y 2 + ( x 2 + 2 xy ) y′ = 0

b)

( y − 6 x 2 y 3 )dx + ( 2 x − 8 x 3 y 2 )dy = 0

c)

1 − xy + x( y − x ) y′ = 0 , x > 0

8) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: a) y′ − 3 y = e x c) xy′ = x cos x − y e) y

b) y′ − 2 xy = x d) x 2 dy + ( y − 2 xy − 2 x 2 )dx = 0

dx = 2 y e3 y + x( 3 y + 2 ) f) x 2 y′ + xy = 1 ( x > 0 ), dy

y( 1 ) = 2

9) Demostrar que la sustitución z = y1− n transforma la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal.

10) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli: a) xy′ + y = − xy 2 c) y′ −

1 y = y 4 ln x 3x

b)

dy 2 y3 + y= 2 dx x x

d) x y′ − 2 y = 4 x3 y

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

36

11) Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales y resolver las que no tienen (*): a) yy ′ + x 2 = 0

b)

( x 2 − 2 xy − y 2 )dy = ( x 2 + 2 xy − y 2 )dx

(*)

c) y ′ + x 2 y = 0

d) dy = ( y + senx)dx

e) xy ′ + y = 0

f) (2 xy − 3tgx) y ′ = 3 y sec 2 x − y 2

g)

h) y ′ =

x y′ + y = 0

cos y xseny − 1

dy e x − y = dx x

i) dy = y senxdx

j)

k) x − e x + 4 y 3 y ′ = 0

l) x( x + y ) 2 dy = y ( x 2 + xy + y 2 )dx

(*) m) 2( x + y y ′ ) + e y (1 + x y ′ ) = 0

n) xy ′ + y 2 = 1

dy x 2 + xy = 2 o) dx x −1

p) x − ( x 2 y + y ) y ′ = 0

(*)

q) 3x 2 y 2 + 2 x 3 y y ′ = 0 (*)

r) y 2 1 + x 3 + y ′ = 0

(*)

s) y ′ + y = xy 3

t) xdy = ( 1 + x 2 + 2 y )dx

(*)

u) xdy = (2 − x 2 − x 2 y 2 + 2 y 2 )dx

v) xy ′ = 2 xy − y

w) ( senxy + xy cos xy ) dy = ( 1 − y 2 cos xy ) dx x) 2 x 2 y + y 2 + ( x 3 + 2 xy ln x) y ′ = 0

y) xy ′ sen

y y = y sen − x (*) x x

12) Una inversión crece de acuerdo a la ecuación diferencial

dA = rA + I (t ) , dt

donde A(t) es el crecimiento del capital en el instante t , 100 r es la tasa de interés nominal e I(t) es la tasa de inversión del capital nuevo. Resolver esta ecuación cuando A(0) = 0 y: a) I(t) es constante k b) I (t ) = 4 + t

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

13) Dada la ecuación diferencial

37

dP = −k ( P − 20 ) , k > 0 , donde P es el precio de dt

un bien que se modifica a través del tiempo t a) Hallar la trayectoria temporal P(t) b) Hallar la solución que satisface P(0) = 40 y aquella que satisface P(0) = 10. Graficar las soluciones. c) Analizar la convergencia de dicha trayectoria temporal. 14) Dada la ecuación diferencial P′ = 0.5 P − 250 , donde P es el precio de un bien que evoluciona a través del tiempo t a) Hallar la solución general. Expresar esta solución suponiendo que P (0) = Po. b) Trazar las gráficas de algunas soluciones tomando distintos valores iniciales (por ejemplo, tomar Po= 0, Po= 800, Po= 500) c) Analizar la convergencia de P(t)

15) Supongamos que la tasa de crecimiento de una población es proporcional a la diferencia entre A (tamaño máximo que puede tener la población) y el número N (t) de individuos en la población que depende del tiempo t. Escribir la ecuación diferencial que debe satisfacer la función N (t) y resolverla. Analizar la convergencia de la solución.

16) La demanda y la oferta de un cierto bien en un mercado de competencia perfecta está dada (en miles de unidades) por, respectivamente, xD = 48 – 2 p +3 p’

xO = 30 + p + 4 p’

Sabiendo que inicialmente (ó sea en t = 0) el precio del bien era $10 a) Hallar el precio en función del tiempo b) Analizar la convergencia de la trayectoria temporal.

17) Considere el modelo de deuda de Domar: D’(t) = α y(t) y’(t) = β y(0) = y0

D(0) = D0 α, β > 0

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

38

D es la deuda nacional e y es el ingreso nacional. Interpretar estas ecuaciones. Determinar ambas funciones de t. Analizar el límite del cociente D/y cuando t→+∞ y sacar conclusiones.

18) Considere este otro modelo de deuda de Domar: D’(t) = α y(t) y’(t) = β y(t) y(0) = y0

D(0) = D0 α, β > 0

D es la deuda nacional e y es el ingreso nacional. Interpretar estas ecuaciones. Determinar ambas funciones de t. Analizar el límite del cociente D/y cuando t→+∞ y sacar conclusiones.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

1) Resolver las siguientes ecuaciones lineales homogéneas: a) y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 0

b) 3 y ′′ − 8 y ′ − 3 y = 0

c) y ′′ + 2 y ′ + 10 y = 0

d) 9 y ′′ + 6 y ′ + y = 0

e) y ′′ + 25 y = 0

f) 2 y ′′ + y ′ = 0

g) y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0 , y (0) = 1, y ′(0) = 2 h) y ′′ − 2 y ′ − 3 y = 0 , i) y ′′ + 9 y = 0 ,

y (1) = 3, y ′(1) = 1

y (π / 3) = 0, y ′(π / 3) = 1

2) Resolver: a) y ′′ − y ′ − 6 y = cos 3x

b) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = e − x

c) y ′′ + 36 y = 2 x 2 − x

d) 4 y ′′ + 5 y ′ + y = e x

e) y′′ − 2 y′ + 5 y = x + sen3x

y( 0 ) = 1, y′( 0 ) = 2

f) y′′ − y = xe3 x

y( 0 ) = 0 , y′( 0 ) = 1

g) y′′ + y′ − 6 y = 15 e 2 x

h) y′′ + 2 y′ = 3x + 4

i) y′′ + 25 y = sen 5 x

j) y′′ − 2 y′ + y = e x

3) Sean las funciones de demanda y oferta x D = 42 − 4 p − 4 p ′ + p ′′

xO = −6 + 8 p con las condiciones iniciales

Análisis Matemático II - Cátedra: Dra. Luisa L. Lazzari Guía de Trabajos Prácticos - Abril 2009

39

p(0) = 6, p’(0) = 4. Hallar la trayectoria temporal p(t), supuesto que el mercado es perfecto en todo momento.

4) Sean las funciones de demanda y oferta x D = 40 − 2 p − 2 p ′ − p ′′

xO = −5 + 3 p

con las condiciones

iniciales p(0) = 12, p’(0) = 1. Hallar la trayectoria temporal p(t), supuesto que el mercado es perfecto en todo momento. Determinar el tipo de fluctuación y la convergencia de p(t). Esbozar un gráfico.