Practica1_Mat156.pdf

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´ lisis Num´ Analisis a erico

Ecuaciones No Lineales

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Universidad Universidad Mayor de San Andres Facultad acultad de Ciencias Puras y Naturales ´ tica Carrera de Inform atica a

1.

M´ etodo etodo del Punto Punto Fijo

1. Usar el m´ etodo etodo del pun punto to fijo para aproximar aproximar la soluci´ soluci´ on on de cada ecuaci´on on en el intervalo que se indica. a )

x3 − x − 1 = 0, en [1, 2 ]

b)

t2 − t − 1 = 0, en [−1, 0 ]

c )

x = e−x , en [0, 1 ]

d )

m 5 − m + 1 = 0, en [−2, −1 ]

e )

t − sin t = 0, en [−1, 1 ]

2. Considere g(x) = 2−x . a )

Verifique erifique que la funci´on on tienen un ´unico unico punto fijo en el intervalo [−1, 1 ].

b)

¿Podr´ ¿Podr´ıa encontrar enco ntrar una constante positiva pos itiva k < 1 tal que |g (x)

′

≤ k, ∀x ∈ ]1/3, 1/3, 1[? garantizar que la iteraci´on on de punto fijo, iniciando en cualquier x ∈ [1/3, c ) ¿Se puede garantizar 1/3, 1 ], converge 0

al unico u ´ nico punto fijo de g en el intervalo [1/3, 1/3, 1 ]?.

3. Considere x = 0,5(sin(x) + cos(x)). Determine un intervalo [a, b ] d´onde onde la iteraci´on on de punto fijo converge sin importar la elecci´on on de la aproximaci´on on inicial x0 [a, b ]. Justifique su respuesta.

∈

4. Aplique iteraci´on on de punto fijo para resolver el problema x = (2x3 − 2)/(3x2 − 3) tomando x0 = 1,2. Hay algo muy extra˜no no que pasa pa sa aqu´ı. ı. ¿Qu´e es? 5. Considere el problema de punto fijo x = e−x. Muestre que la iteraci´on on de punto fijo converge para cualquier x0 > 0.

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U.M.S.A.–F.C.P.N.

Lic. Ramiro Ramos

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´ lisis Num´ Ana erico

2.

Ecuaciones No Lineales

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M´ etodo de la Regla Falsa

1. Aplicar el m´etodo de falsa posici´on para encontrar un cero de f(x) = x 4 − 2x3 − 4x2 + 4x + 4, en el intervalo [−2, −1 ]. 2. Resolver la ecuaci´on et−1 =

1 en el intervalo [0, 1 ]. t+1

3. Encontrar la ra´ız de f(x) = e−x − ln x en el intervalo [1, 2 ]. 4. Encontrar la ra´ız de f(x) = 1 − x + sin x en el intervalo [0, 1 ]. 5. Resuelva la ecuaci´ on e3x − ln(x2 + 1) − 30 = 0 con al menos cinco decimales exactos.

3.

M´ etodo de Bisecci´ on

1. Si f tienen un u ´ nico cero en [−2, 5 ]. ¿Cu´antas iteraciones de bisecci´on se deben hacer para aproximar este cero con error absoluto menor o igual a 0,5 10− 4 ?

×

2. Resuelva e3(x−1) − ln(x − 1)2 + 1 = 0 con al menos cinco decimales exactos.

√ 

3. Como a es una soluci´on de la ecuaci´on x2 − a = 0, emplee el m´etodo de bisecci´on para estimar la a, cuando a = 3 y a = 1000999 con al menos cinco decimales exactos.

√ 

4. La ecuaci´on (x − 1)2 = 0 tiene claramente una ra´ız en [0, 2 ]. ¿Podemos usar bisecci´on para aproximarla? 5. Si x = 2 es un cero del polinomio P(x) = −1536 + 6272x − 11328x2 + 11872x3 − 7952x 4 + 3528x5 − 1036x6 + 194x7 − 21x8 + x9 . Aproxime esta ra´ız, con un intervalo adecuado.

4.

M´ etodo de Newton

√ 

1. Como a es una soluci´on de la ecuaci´on x2 − a = 0, emplee el m´etodo de Newton para estimar la a, cuando a = 2 y a = 1000999 con al menos cinco decimales exactos.

√ 

2. Resuelva por el m´etodo de Newton x3 = 0 usando x0 = −0,2. Resuelva la misma ecuaci´on usando bisecci´on con el intervalo [−0,2; 0,1 ]. 3. Resuelva f(x) = x5 − 100x 4 + 3995x3 − 79700x2 + 794004x − 3160075 usando x0 = 17. Resuelva usando bisecci´on con [17; 22,2 ]. 4. Resuelva x3 − 2x − 5 = 0. Esta ecuaci´on tiene valor hist´orico: fue la ecuaci´on que us´o John Wallis para presentar por primera vez el m´ etodo de Newton a la academia francesa de ciencias en el siglo XV. 5. Si x = 2 es un cero del polinomio P(x) = −1536 + 6272x − 11328x2 + 11872x3 − 7952x 4 + 3528x5 − 1036x6 + 194x7 − 21x8 + x9 . Aproxime esta ra´ız, con un intervalo adecuado.

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5.

Ecuaciones No Lineales

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M´ etodo de Euler

1. Considere la ecuaci´on (x − 0,123456789)3 = 0. Aplique Newton con x0 = 1. 2. Aplique el m´etodo de Euler para resolver la ecuaci´on 4(x − 1)3 cos(x) = 0 con x0 = 0,5 3. Sea x2 − 2 cos(x) + 1 = 0 Aplique el m´etodo de Euler y el m´etodo de Newton para resolver esta ecuaci´ on con x0 = 0,1. Compare los resultados. 4. Resuelva f(x) = x5 − 100x 4 + 3995x3 − 79700x2 + 794004x − 3160075 usando x0 = 17. 5. Resuelva el polinomio P(x) = −1536 + 6272x − 11328x2 + 11872x3 − 7952x 4 + 3528x5 − 1036x6 + 194x7 − 21x8 + x9 , usando x0 = 2,5.

6.

M´ etodo de la Secante

1. Para aproximar el cero x = 1 de la funci´on f(x) = x20 − 1, ∗

a )

Aplique el m´etodo de la secante con x0 = 0,5 y x1 = 2. ¿Hay alg´un problema?.

b)

Aplique el m´etodo de la secante con x0 = 0 y x1 = 1,005.

c )

Aplique el m´etodo de bisecci´on con x0 = 0 y x1 = 3.

d )

Aplique el m´etodo de Newton con x0 = 0.

2. Resuelva por el m´etodo de Newton x3 = 0 usando x0 = −0,2. Resuelva la misma ecuaci´on usando bisecci´on y secante con el intervalo [−0,2; 0,1 ]. 3. Resuelva f(x) = x5 − 100x 4 + 3995x3 − 79700x2 + 794004x − 3160075 usando Newton con x0 = 17. Resuelva usando bisecci´on y secante con [17; 22,2 ]. 4. Aplique el m´etodo de la secante para resolver la ecuaci´on ln2 x − x − 1 = 0.

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