Practica1 207

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA

PRACTICA N° 1 MAT 1207 – ECUACIONES DIFERENCIALES I – PARALELO “G”

DOCENTE: ING. ACHOCALLA TARQUI ESTEVAN AUXILIAR: UNIV. LOPEZ MONASTERIOS MIGUEL ANGEL FECHA DE ENTREGA: 1er EXAMEN PARCIAL TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y APLICACIONES 1.- Encontrar una ecuación diferencial para la familia de círculos con radio 1 y centro en cualquier punto del plano XY. Sol.- ec de una circunferencia (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝟏 Derivando implícitamente 𝟐(𝒙 − 𝒂) + 𝟐(𝒚 − 𝒃)𝒚′ = 𝟎 (𝒙 − 𝒂) + (𝒚 − 𝒃)𝒚′ = 𝟎 (𝒙 − 𝒂) = −(𝒚 − 𝒃)𝒚′ Reemplazando en la primera ecuación (−(𝒚 − 𝒃)𝒚′)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝟏 (𝒚 − 𝒃)𝟐 (𝒚′)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝟏 (𝒚 − 𝒃)𝟐 =

𝟏 (𝒚′)𝟐 + 𝟏

𝟏 (𝒚 − 𝒃) = ±√ (𝒚′)𝟐 + 𝟏 Derivando nuevamente para eliminar b − 𝒚′ =

𝒚′ =

𝟐𝒚′ 𝒚′′ 𝒚′ 𝒚′′ ±𝟐√(𝒚′)𝟐 + 𝟏 = ((𝒚′)𝟐 + 𝟏) ±((𝒚′)𝟐 + 𝟏)√(𝒚′)𝟐 + 𝟏 𝒚′ 𝒚′′

±((𝒚′ )𝟐 + 𝟏)√(𝒚′ )𝟐 + 𝟏

±𝟏=

𝒚′′ ((𝒚′ )𝟐 + 𝟏)√(𝒚′ )𝟐 + 𝟏

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA 𝒚′′ ((𝒚′)𝟐 + 𝟏)

𝟑⁄ 𝟐

2.- Muestre que la solución general de 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑒 −𝑥 𝑥

= ±𝟏 2

es

𝑥

2

2

𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∫0 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫0 𝑒 −𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 Sol.𝑥

𝑥

2

2

𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 0

0

Por el teorema fundamental del calculo 2

2

𝑦 ′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑒 −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑒 −𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝑦 ′ = −𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦 ′′ = −𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑒 −𝑥

𝑠𝑖

𝑥

2

𝑥

2

2

−𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑥 0 𝑥

0 𝑥

2

2

𝑠𝑖𝑛𝑥 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ 𝑒 −𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 = 𝑒 −𝑥 0

2

0 2

2

𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑒 −𝑥 sin 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑒 −𝑥 (−𝑐𝑜𝑠𝑥)) = 𝑒 −𝑥 2

𝑒 −𝑥 (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 𝑒 −𝑥 2

𝑒 −𝑥 = 𝑒 −𝑥

2

2

2

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 𝑦 𝑥

3.- (𝑥𝑦 ′ − 𝑦) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) = 𝑥 ; 𝑦(1) = 0

dividiendo entre x

𝑦 𝑦 (𝑦 ′ − ) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( ) = 1 𝐸𝐷𝑂 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑥 𝑥 𝑦 𝑐. 𝑣. 𝑢 = 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 ( − 𝑢) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) = 1 𝑑𝑥 (𝑢 +

𝑥𝑑𝑢 − 𝑢) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) = 1 𝑑𝑥

(𝑥𝑑𝑢) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) = 𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑢 ( ) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) = 1 𝑑𝑥

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥 𝑥

𝐸𝐷𝑂 𝑣𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

2

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∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 1 𝑢 tan−1(𝑢) − ln(𝑢2 + 1) = ln 𝑥 + ln 𝑐 2

𝑑𝑥 𝑥

1 𝑢 tan−1 (𝑢) = ln(𝑢2 + 1) + ln 𝑥 + ln 𝑐 2 𝑦 𝑦 𝑦2 tan−1 ( ) = ln (𝑥𝑐√( + 1)) 𝑥 𝑥 𝑥

𝑢 tan−1 (𝑢) = ln (𝑥𝑐√(𝑢2 + 1)) 𝑦 𝑦 tan−1 ( ) = ln (𝑐√𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑥 𝑥

𝑠𝑜𝑙. 𝑔𝑟𝑎𝑙. 𝑠𝑖 𝑦(1) = 0

0 0 tan−1 ( ) = ln (𝑐 √12 + 02 ) ln (𝑐 √12 + 02 ) = 0 𝑐 = 𝑒 0 𝑐 = 1 1 1 𝑦 𝑦 tan−1 ( ) = ln (√𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑠𝑜𝑙. 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑥 𝑥 4.- 𝑦 ′′ +

𝑦′ 𝑥−1

=𝑥−1

′

si 𝑦 ′ = 𝑝 𝑝′ +

𝑦 ′ = 𝑝′

𝑝 = 𝑥 − 1 𝐸𝐷𝑂 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑥−1 1

𝐹𝐼 = 𝑒 ∫𝑥−1𝑑𝑥 = 𝑒 ln(𝑥−1) = 𝑥 − 1 𝑝𝐹𝐼 = ∫ 𝐹𝐼 ∗ 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑝(𝑥 − 1) = ∫(𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑝 = 𝑦′ =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

+

𝑡+1 2𝑡

𝑥=

𝑝(𝑥 − 1) =

𝑑𝑦 (𝑥 − 1)2 𝑐 = + 𝑑𝑥 3 𝑥−1 𝑦=

5.-

𝑝(𝑥 − 1) = ∫(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + 𝑐 (𝑥 − 1)3 +𝑐 3

∫ 𝑑𝑦 = ∫ (

𝑝=

(𝑥 − 1)2 𝑐 + 3 𝑥−1

(𝑥 − 1)2 𝑐 + ) 𝑑𝑥 3 𝑥−1

(𝑥 − 1)3 + cln(𝑥 − 1) + 𝑐1 9

𝑡+1 𝑥𝑡

𝑑𝑥 𝑡 + 1 𝑡 + 1 −1 + 𝑥= 𝑥 𝐸𝐷𝑂 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑑𝑡 2𝑡 𝑡 𝑥

𝑑𝑥 𝑡 + 1 2 𝑡 + 1 + 𝑥 = 𝑑𝑡 2𝑡 𝑡 𝑐. 𝑣

1 𝑑𝑧 𝑡 + 1 𝑡+1 + 𝑧= 2 𝑑𝑡 2𝑡 𝑡

𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥

𝑧 = 𝑥 2 𝑑𝑧 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑡 + 1 𝑡+1 + 𝑧=2 𝐸𝐷𝑂 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑡 𝑡 𝑡

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA 𝑡+1 𝑡 𝑑𝑡

𝐹𝐼 = 𝑒 ∫

= 𝑒 𝑡+𝑙𝑛𝑡 = 𝑒 𝑡 𝑒 𝑙𝑛𝑡 = 𝑡𝑒 𝑡 𝑧𝑡𝑒 𝑡 = ∫ 𝑡𝑒 𝑡 2

𝑧𝐹𝐼 = ∫ 𝐹𝐼 ∗ 𝑄(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑐 𝑥 2 𝑡𝑒 𝑡 = 2 ∫ 𝑒 𝑡 (𝑡 + 1)𝑑𝑡 + 𝑐

𝑡+1 𝑑𝑡 + 𝑐 𝑡

𝑥 2 𝑡𝑒 𝑡 = 2𝑡𝑒 𝑡 + 𝑐

𝑡𝑒 𝑡 (𝑥 2 − 2) = 𝑐 6.- 𝑦 ′ = 𝑥 + (1 − 2𝑥)𝑦 − (1 − 𝑥)𝑦 2 𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + (1 − 𝑥)𝑦 − (1 − 𝑥)𝑦 2 𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥𝑦 + (1 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦 2 ) 𝑦 ′ = 𝑥(1 − 𝑦) + (1 − 𝑥)𝑦(1 − 𝑦) 𝑦 ′ = 𝑥(1 − 𝑦) + 𝑦(1 − 𝑦) − 𝑥𝑦(1 − 𝑦) −𝑧 ′ = 𝑥𝑧 2 + 𝑧(1 − 𝑧) −𝑧 ′ = 𝑥𝑧 2 + 𝑧 − 𝑧 2

−𝑢′ + 𝑢 = −(𝑥 − 1)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑐. 𝑣.

𝑧 ′ + 𝑧 = −(𝑥 − 1)𝑧 2

𝑢 = 𝑧 −1 𝑑𝑢 = −𝑧 −2 𝑑𝑧

𝑢′ − 𝑢 = (𝑥 − 1)

𝑢𝑒 −𝑥 = ∫(𝑥 − 1)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

7.-

𝑧 = 1 − 𝑦 𝑑𝑧 = −𝑑𝑦

−𝑧 ′ − 𝑧 = (𝑥 − 1)𝑧 2

𝑧 −2 𝑧 ′ + 𝑧 −1 = −(𝑥 − 1)

𝑧 −1 𝑒 −𝑥 + 𝑥𝑒 −𝑥 = 𝑐

𝑦 ′ = 𝑥(1 − 𝑦)(1 − 𝑦) + 𝑦(1 − 𝑦)

𝐹𝐼 = 𝑒 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑥

𝑢𝑒 −𝑥 = −𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑐

1 ( + 𝑥) 𝑒 −𝑥 = 𝑐 1−𝑦

𝑧 −1 𝑒 −𝑥 = −𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑐 1 + 𝑥 = 𝑐𝑒 𝑥 1−𝑦

2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑦 2 2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑦 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑑𝑦 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + 𝑦 2 = 𝑑𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥

8.- 𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦 ′ ) + (𝑦′)2 𝑦 = 𝑥(1 + 𝑝) + (𝑝)2

𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑑𝑦 = (1 + 𝑝)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑝)𝑑𝑝 𝑝𝑑𝑥 = (1 + 𝑝)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑝)𝑑𝑝 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑝)𝑑𝑝 = 0

𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥

(1 + 𝑝 − 𝑝)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑝)𝑑𝑝 = 0

𝑥 ′ + 𝑥 = −2𝑝

𝐹𝐼 = 𝑒 ∫ 𝑑𝑝 = 𝑒 𝑝

𝑥𝑒 𝑝 = ∫ −2𝑝𝑒 𝑝 𝑑𝑝 + 𝑐 = −2(𝑝 − 1)𝑒 𝑝 + 𝑐

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA 𝑥𝑒 𝑝 + 2(𝑝 − 1)𝑒 𝑝 = 𝑐

𝑥 = −2(𝑝 − 1) + 𝑐𝑒 −𝑝

𝑥 = 2(1 − 𝑝) + 𝑐𝑒 −𝑝 𝑦 = (2(1 − 𝑝) + 𝑐𝑒 −𝑝 )(1 + 𝑝) + 𝑝 2 = 2(1 − 𝑝 2 ) + 𝑝 2 + 𝑐(1 + 𝑝)𝑒 −𝑝 𝑦 = 2 − 𝑝 2 + 𝑐(1 + 𝑝)𝑒 −𝑝 9.- 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑙𝑛𝑦′ 𝑥𝑝 − 𝑦 = 𝑙𝑛𝑝

𝑦 = 𝑥𝑝 − ln 𝑝

𝑒𝑐 𝑐𝑙𝑎𝑖𝑟𝑎𝑢𝑡

𝑦 = 𝑥𝑐 − ln 𝑐 2 3

10.- 𝑥(1 + 𝑦 ′ )2 = 𝑎 2

3 𝑥(1 + 𝑝 2 )2

=𝑎

2 𝑥 3 (1 +

𝑝2 )

=

2 𝑎3

2

(1

+ 𝑝2)

=

2

𝑎3

𝑦′ = √(

2 𝑥3

𝑎3 2 𝑥3

− 1)

2

𝑎3 𝑑𝑦 = √( 2 − 1) 𝑑𝑥 𝑥3

𝑎3 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ √( 2 − 1) 𝑑𝑥 𝑥3 1

3(1 + 𝑝 2 )2 2𝑝 −𝑎 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑝 (1 + 𝑝 2 )3 1

𝑑𝑦 −3𝑎𝑝(1 + 𝑝 2 )2 = 𝑑𝑝 𝑝 (1 + 𝑝 2 )3

−3𝑎𝑝 2

𝑑𝑦 =

𝑑𝑥 =

5 𝑑𝑝

𝑑𝑦 𝑝

∫ 𝑑𝑦 = ∫

(1 + 𝑝 2 )2

11.- 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 + 4𝑦 3 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0

12.- 𝑦 + 𝑥𝑦 ′ =

−3𝑎𝑝 2

6𝑥 2 1+4𝑥 6

+

𝑦′ 𝑥+𝑦

13.- 𝑦 ′′ (𝑥 + 1) + 𝑦 ′ = 𝑒 𝑥+𝑦 [𝑦 ′′ + (1 + 𝑦 ′ )2 ] 14.- 𝑦 ′′ − 2𝑦 = 2𝑥𝑦 ′ + 6𝑎𝑥 3 𝑒 𝑥 15.- {𝑙𝑛[𝑙𝑛(𝑥 − 𝑦)] + 16.- 𝑦 ′ =

2

; 𝑦 ′ (0) = −3𝑎

1 𝑥 } 𝑑𝑥 𝑙𝑛(𝑥−𝑦) 𝑥−𝑦

1 𝑥 ] 𝑑𝑦 𝑙𝑛(𝑥−𝑦) 𝑥−𝑦

−[

𝑥−3𝑦 2

18.- (𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦) + 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑦 ′ = 0 ;

𝑦(1) = 𝑎𝑒 =0

17.- 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑦 6 𝑑𝑥

2𝑦 3 −6𝑥𝑦

5 𝑑𝑝

(1 + 𝑝 2 )2

𝑦(0) = 0

19.- 2(𝑦 ′ )4 − (𝑥 + 4𝑦 + 4)(𝑦 ′ )3 + 2(𝑥 + 4𝑦 + 𝑥𝑦)(𝑦 ′ )2 − 4𝑥𝑦𝑦 ′ = 0

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA 𝑦

21.- 𝑦 ′ = 𝑒 𝑦′

20.- 𝑦 ′ + 𝑠𝑖𝑛𝑦 ′ − 𝑥 = 0

22.- Si se conoce una solución de la ecuación de Ricatti 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 2 + 𝐵(𝑥)𝑦 + 𝐶(𝑥) Probar que: a) El cambio 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 , transforma a una ecuación de Bernoulli de grado 2. b) El cambio 𝑦 = 𝑦1 +

1 𝑢

, transforma a una ecuación lineal. 1 𝑥

23.- Determine 𝑓(𝑥) de: 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑓 ′ ( ) = 0 24.- Resuelva la siguiente ecuación integral:

𝑥

𝑥 3 = ∫0 (𝑥 − 𝑡)2 ∅(𝑡)𝑑𝑡

APLICACIONES 25.- Se da un punto sobre el eje Y, Q(0,b). Se pide calcular la ecuación de una curva que goza de la siguiente propiedad: “Si por un punto P(x,y), cualquiera de la curva, se traza una tangente a la curva, esta corta al eje X en el punto T, que equidista de Q y P. Además la curva pasa por el punto (√8, 3)” 26.- Se analiza un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil sabiendo que la vida media de C-14 es aproximadamente 5600 años. 27.- Un bombardero vuela horizontalmente con velocidad constante “v”, a una altura “h”. ¿A qué distancia de la vertical del objetivo debe soltar la bomba? 28.- Muestre que un peso W, dada una velocidad 𝑣0 , se desliza a una distancia “s” hacia abajo por un plano inclinado sin fricción de inclinación “θ” en el tiempo: 𝑡=

√𝑣02 + 2𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑣0 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

29.- Muestre que la familia de parábolas 𝑦 2 = 4𝐶𝑥 + 4𝐶 2 es asi mismo ortogonal, grafique algunos miembros. 30.- La presión de una columna de aire esta acondicionada por la presión de las capas superiores de la atmosfera. Hallar la dependencia entre la presión y la altura, si se sabe que a nivel del mar la presión es de 1 Kg/cm2 , mientras que a 500m, es de 0,92 Kg/cm2.

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