Practica y Examenes IO1 UNI 2014-1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Jueves 10.04.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-203

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 Duración 45 Minutos

Prueba de Entrada 1. Sabiendo que los tres jugadores más altos de un equipo de basquetbol tienen un promedio de estatura de 1.96 metros, ¿Qué promedio de estatura deben alcanzar los dos ju gadores más bajos del equipo si el promedio del equipo debe ser por lo menos de 1.92 metros? 2. Un furgón pesa 875 kg. La diferencia entre el peso del furgón vacío y el peso de la carga que ll eve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales de idéntico peso, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ese furgón? 3. Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:

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Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Viernes 11.04.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-110

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 Duración 120 Minutos

Primera Práctica Calificada 1. Una compañía de productos químicos dispone de 2 procesos de reacción mediante los cuales debe producir 2 tipos de compuestos. Con el primer proceso se producen 2 [Kg/Hr] del compuesto Aspirina y 1 [Kg/Hr] del compuesto Dipirona. Mientras que el segundo proceso produce 3 [Kg/Hr] de Aspirina y 1 [Kg/Hr] de Dipirona. La gerencia ha determinado las siguientes condiciones:  La cantidad del compuesto Aspirina no puede sobrepasar los 30 [kg] por día.  La cantidad del compuesto Dipirona debe ser mayor a los 7 [kg] por día.  Las horas que se ejecuta el primer proceso no deben ser mayor a 5 [Hr] en el día con respecto a las horas que se ejecuta el proceso 2. El máximo tiempo que se corre cada proceso es de 9 [Hr].  El precio de venta del compuesto Aspirina es 20 [$/Kg], mientras que la Dipirona se vende a 60 [$/Kg]. El costo por hora de proceso es $40 y $50, para los procesos 1 y 2 respectivamente. A partir de los datos entregados, se pide responder las siguientes preguntas: Realice un Modelo de Programación Lineal que resuelva el problema. Indique claramente objetivo, variables, restricciones y función objetivo. Resuelva el Modelo anterior (método gráfico) e indique la solución del problema. 6 puntos 2. “Tintex”, una tintorería textil que se dedica a hacer trabajos por pedidos, cuenta con dos tipos de estampadoras: rápidas y lentas. Dispone de 70 estampadoras rápidas y 60 lentas. Aclaremos que estampar consiste en imprimir dibujos con colores sobre tela cruda, de modo que el rollo de tela cruda va pasando por la estampadora y ésta le va imprimiendo el dibujo con los colores y formas seleccionados. Tintex ha tomado dos trabajos para hacer: Dibujo Snoopy y dibujo Scooby. Cada uno de estos estampados se puede hacer en una máquina de cualquiera de los dos tipos, sólo que la eficiencia será distinta según el tipo. Una máquina rápida estampa 10 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina lenta estampa 2 m de dibujo Snoopy por hora. Una máquina rápida estampa 7 m. de dibujo Scooby por hora. Una máquina lenta estampa 3 metros de dibujo Scooby por hora. Una misma estampadora (sea rápida o lenta) no puede destinarse en el mismo día a trabajar en dos tipos distintos de dibujo. El costo por hora de energía para las máquinas rápidas y lentas son $5 y $3, respectivamente. El costo para la máquina rápida es mayor debido a que ésta requiere una mayor potencia. Los costos de tintes para Snoopy y Scooby son de $1.3 y $1.8 por metro de tela cruda, respectivamente. Cada metro de tela estampada con Snoopy se vende a $4 y un metro de tela estampada con Scooby se vende a $6. Para mañana le han pedido a Tintex que entregue 3,500 metros de tela Snoopy y 1,500 metros de Scooby. Tiene todo el día de hoy (ocho horas) para trabajar. Formule el

problema de programación lineal para determinar si se puede o no cumplir el pedido. Y, en cualquier caso, se pueda determinar cómo sería la distribución del estampado de tela en los dos tipos de máquinas para maximizar los beneficios del pedido. 6 puntos 3. La Corporación Financiera de Desarrollo (COFIDE) está estudiando un plan inversiones para los próximos dos años. Actualmente, COFIDE tiene tres millones de dólares para invertir. COFIDE espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las inversiones previas. En al siguiente tabla se presentan los datos: Ingresos de inversiones previas 6 MESES

12 MESES

18 MESES

Ingreso $300,000 $400,000 $180,000 Hay tres proyectos de desarrollo (a los que llamaremos proyecto 1, proyecto 2 y proyecto 3) en los que COFIDE está planeando participar. En la siguiente tabla se muestra el flujo de caja que se tendría si COFIDE participara a un nivel del 100% en el proyecto 1 (los números negativos son inversiones y los positivos son ingresos). Así, para participar en el proyecto 1 a un nivel de 100% COFIDE tendría que desembolsar de inmediato $1,000,000. A los seis meses erogaría otros $700,000, etc. TABLA 1: Flujo de Caja del Proyecto 1 Ingreso

INICIAL

6 MESES

12 MESES

18 MESES 24 MESES

-$1,000,000

-$700,000

$1,800,000

$400,000

$600,000

En las siguientes tablas se muestran los flujos de caja de los proyectos 2 y 3: TABLA 2: Flujo de Caja del Proyecto 2 Ingreso

INICIAL

6 MESES

12 MESES

18 MESES 24 MESES

-$800,000

$500,000

-$200,000

-$700,000 $2,000,000

TABLA 3: Flujo de Caja del Proyecto 3 Ingreso

INICIAL

6 MESES

12 MESES

18 MESES 24 MESES

-$500,000

$100,000

-$200,000

$300,000

$1,000,000

Debido a la política de COFIDE la inversión mínima en cada uno de los tres proyectos tiene que ser de $100,000. A COFIDE no se le permite pedir prestado dinero. Sin embargo, al comienzo de cada período de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que no sean colocados en los proyectos 1, 2 y 3) se invierten con un interés del 7% para este período de 6 meses. COFIDE puede participar en cualquiera de los proyectos a un nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirán en forma proporcional. Por ejemplo, si COFIDE opta por participar en el proyecto 1, a un nivel de 30%, el flujo de caja asociado con esta decisión sería 0.3 veces los datos de la Tabla 1. El problema que actualmente encara COFIDE es decidir qué parte de los tres millones en efectivo debe invertirse en cada proyecto y cuánto debe colocarse simplemente por la renta del 7% semestral. La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habrá al final de los 24 meses. Formule este problema como modelo de programación lineal. 8 puntos

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: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Viernes 09.05.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-110

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 Duración 120 Minutos

Segunda Práctica Calificada 1. Resolver por el método simplex e indicar que tipo de solución es. Si existiesen múltiples soluciones, entonces ponga su solución en función del parámetro t que vimos en clase. (10 puntos)

Maximizar Z  4 x1  2 x2  6 x3  3x4 s.a

2x1  5 x2  3 x3  x4  36 2x1  x2  3x3  x4  10 2x1  x2  3 x3  x4  30 x 1 , x2 , x3 , x4  0

2. Resolver por el método simplex e indicar que tipo de solución es. Si existiesen múltiples soluciones, entonces ponga su solución en función del parámetro t que vimos en clase. (10 puntos)

Minimizar Z  - x1  3 x2  2 x3  x4 s.a

x1  3 x2  x3  2 x4  127 5x1  x2  4 x3  3 x4  59 - x1  2 x2  6 x3  x4  83 x1 , x2 , x3 , x4  0

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: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “X” : Ing. Luis Medina Aquino : Miércoles 14.05.2014 – 8:00 – 10:00 Horas - AULA S4-208

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 Duración 120 Minutos

Examen Parcial 1. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada corrida (de una hora) que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de D por corrida de una hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de US$500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$100. Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo gráficamente. Encuentre la solución óptima (todas en caso de existir óptimos alternativos). 6 puntos. 2. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de junio a mediados de septiembre) y 4000 horashombre durante el verano. En caso de que se necesite una parte de estas horas hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6.00 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horashombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombre en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:

Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso neto anual [$]

Soya

Maíz

Avena

20 50 600

35 75 900

10 40 450

La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 7 puntos.

3. Resolver por el método simplex el siguiente programa lineal. 7 puntos Maximizar Z = V s.a: 1x1 - 4x2 >= V -2x1 + 5x2 >= V x1 + x2 = 4 x1>=0, x2>=0, V srs

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: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Jueves 15.05.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-203

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 Duración 120 Minutos

Examen Parcial 1. En un criadero deben alimentarse dos distintos tipos de aves: gallinas para la producción de huevos y pollos parrilleros. De acuerdo con estos objetivos, la alimentación de cada especie debe ser distinta, buscándose satisfacer estas necesidades mediante la mezcla, en distintas proporciones, de un conjunto de alimentos básicos disponibles. Necesidades de alimentación: - Gallinas: 0.01 proteínas; 200 unidades de vitamina A como mínimo y 250 como máximo; no más de 0.004 unidades de fósforo y por lo menos 0.01 de sales. - Pollos: 0.015 proteínas, de 300 a 400 unidades de vitamina A, no más de 0.003 unidades de fósforo y por lo menos 0.005 gr de sales. - Cada ave debe comer 250 gr de alimento por día. Existen 15,000 gallinas y 18000 pollos, en el criadero. Elementos disponibles: - Alfalfa deshidratada: se dispone de 10,000 kg Cada kg de este alimento contiene 0.02 proteínas; 150 unidades de vitamina A; 0.000 unidades de fósforo y 0.02 gr de sales. - Harina de pescado: se dispone de 3,000 kg. Cada kg de este alimento contiene 0.06 proteínas, 700 unidades de vitamina A y 0.015 unidades de fósforo. - Avena se dispone de 5,000 kg Cada kg de este alimento contiene 0.01 proteínas, 500 unidades de vitamina A y 0.08 gr de sales. Los alimentos se preparan en el criadero, con una máquina que tritura avena o alfalfa desecada a razón de 100 kg /hora y hay 140 horas disponibles. Luego se mezclan los elementos en un equipo a 80 kg por hora, y que tiene 120 horas disponibles. La alfalfa cuesta 24 $/kg. La harina de pescado 47 $/kg y la avena 15 $/kg. En el proceso de triturado se derrama un % de lo procesado: 4%, lo que se recoge y vende a 10 $/kg. Se desea definir la ración para cada tipo de ave que haga mínimo el costo de la alimentación total. 8 puntos 2. En la ciudad de Armenia se va a demoler un barrio de 10 acres y la alcaldía debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden construir 20 y 15 unidades de cada vivienda por acre, respectivamente. Los costos por unidad de las viviendas a bajo y medio costo son 13 millones y 18 millones, respectivamente. Los límites superior e inferior establecidos por la alcaldía sobre el número de viviendas de bajo costo son 100 y 60 respectivamente. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe estar entre 30 y 70. Se estima que el mercado potencial combinado máximo para las viviendas es de 150

(que es menor que la suma de los límites de los mercados individuales debido al traslapo entre los dos mercados). Se desea que la hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda los 2.000 millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea por lo menos de 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo medio. Formule y resuelva el problema GRAFICAMENTE. 6 puntos 3. Resolver por el método simplex el siguiente programa lineal. 6 puntos Minimizar Z = V s.a: 1x1 - 2x2 =0, V srs

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Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Viernes 06.06.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-110

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Práctica Dirigida

Química del Pacífico es una pequeña empresa que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materias primas para elaborar tres productos: A, B y C. Para formar los tres productos se mezclan tres materias primas, cuya composición y disponibilidad se muestran en la siguiente tabla: Materia Materia Materia Prima 1 Prima 2 Prima 3 Producto A 2/5 0 3/5 Producto B 1/2 1/5 3/10 Producto C 1/4 1/2 1/4 Disponibilidad 200 ton 150 ton 230 ton Esta tabla muestra que una tonelada del producto A es una mezcla de 2/5 de tonelada de materia prima 1 y 3/5 de tonelada de la materia prima 3. Una tonelada del producto B es una mezcla de 1/2 tonelada de la materia prima 1, 1/5 de tonelada de la materia prima 2 y 3/10 de tonelada de la materia prima 3. Una tonelada del producto C es una mezcla de 1/4 de tonelada de la materia prima 1, 1/2 de tonelada de la materia prima 2 y 1/4 de tonelada de la materia prima 3 Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. El precio de venta se determinó en 80, 60 y 80 dólares por cada tonelada de los productos A, B y C, respectivamente. Los costos por cada tonelada de materia prima 1, 2 y 3 son 30, 40 y 50 dólares, respectivamente. Las demandas máximas de los productos A, B y C son 175, 210 y 250 toneladas, respectivamente. El reporte de Análisis de Sensibilidad se presenta a continuación: Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [solver quimica del pacifico.xls]Hoja1 Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$6 Cant. a producir A 175 0 X 1E+30 12 $C$6 Cant. a producir B 137.5 0 Y 12 6 $D$6 Cant. a producir C 245 0 Z 15 29 Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual Precio lado derecho permisible permisible $E$8 Materia Prima 1 200 15 200 29 5 $E$9 Materia Prima 2 150 72.5 150 2 58 $E$10 Materia Prima 3 207.5 0 230 1E+30 22.5 $E$11 Cant. Max. de A 175 12 175 12.5 72.5 $E$12 Cant. Max. de B 137.5 0 210 1E+30 72.5 $E$13 Cant. Max. de C 245 0 250 1E+30 5

Responda las preguntas en forma independiente: a) Determine los valores correspondiente a la utilidad (X, Y, Z) de la función objetivo y la contribución total a la utilidad. b) Debido a la competencia los precios de los productos A, B y C, deben ser rebajados en un 5% ¿Variará el plan de producción óptimo? ¿Cuál es la nueva utilidad? Haga sus cálculos. c) ¿Qué debemos hacer para que sea rentable aumentar la producción de B? d) Una tonelada de un nuevo producto D tiene la siguiente composición: 0.3, 0.6 y 0.1 toneladas de materia prima 1, 2 y 3, respectivamente. ¿Cuál debe ser su precio mínimo, por tonelada, para que sea rentable producirlo? e) La materia prima 2 está escasa y su proveedor le ofrece cambiarle 5 toneladas de materia prima 1, que le sobra, por una tonelada de materia prima 2 que usted tiene. Usted ¿haría ese cambio? Justifique su respuesta con cálculos. f) Se piensa producir un nuevo producto E, que consiste en 30% de materia prima 1, 10% de materia prima 2 y 60% de materia prima 3. Su precio en el mercado sería de $55 la tonelada. El gerente de producción opina que como el precio es el más bajo, comparado con los demás productos, no resulta rentable producirlo. ¿usted opina lo mismo? Justifique su respuesta con cálculos. g) Un agente vendedor conoce de una empresa en que puede comprar 10 toneladas del producto A, si es que le hacen un descuento del 5% en el precio. Pero este vendedor desea a cambio $100 de comisión. ¿Usted recomienda hacer esta operación? Justifique su respuesta con cálculos. h) Actualmente existe escasez de materia prima 2. Sin embargo, existe en el mercado una materia prima similar, que llamaremos materia prima 4, el cual es una mezcla de un 80% de materia prima 2 y un 20% de otros componentes. La materia prima 2 se puede separar de los demás componentes a través de un tratamiento especial que cuesta $5 por tonelada de materia prima 4. El costo por tonelada de esta materia prima 4 es de $40, y hay disponible para comprar solo tres toneladas. ¿Valdrá la pena comprar esta materia prima? Si es así ¿cuántas toneladas de MP4 compraría y cuál sería la utilidad adicional? Justifique su respuesta con cálculos. i) Suponga que en realidad la demanda del producto C es de 240 toneladas ¿Cómo afecta ésto en la utilidad? Haga sus cálculos.

PRACTICA DIRIGIDA a) X = 80 – 30 (2/5) – 40(0) – 50 (3/5) = 38 Y = 60 – 30 (1/2) – 40(1/5) – 50 (3/10) = 22 Z = 80 – 30 (1/4) – 40(1/2) – 50 (1/4) = 40 Función objetivo Z = 38 (175) + 22 (137.5) + 40 (245) = 19,475 b) Se aplica regla del 100% A B C -4 + -3 + -4 = 97.12%, Como la suma de variaciones porcentuales es menor -12 -6 -29 del 100%, entonces la solución óptima se mantiene. La nueva utilidad será 34 (175)+ 19 (137.5) + 36 (245) = 17382.50 c) Para aumentar la producción del producto B se debe aumentar el precio en más de 12 dólares por tonelada. d) El costo de una tonelada de producto D será: 30 (0.3) + 40(0.6) + 50 (0.1) = 38 Precio 1 tonelada Disminución Sombra de D requiere de utilidad MP1 15 0.3 4.50 MP2 72.5 0.6 43.50 MP3 0 0.1 0 Como mínimo la utilidad debe ser $48, por tanto el precio mínimo debe ser $48 + $38 = $86 f) El costo de una tonelada de producto E será: 30 (0.3) + 40(0.1) + 50 (0.6) = 43 La utilidad por tonelada del producto E será: 55 – 43 = $12 Precio 1 tonelada Disminución Sombra de E requiere de utilidad MP1 15 0.3 4.50 MP2 72.5 0.1 7.25 MP3 0 0.6 0 Como mínimo la utilidad debe ser $11.75. Como $12 es mayor que 11.75 entonces si resulta rentable producirlo. g) El aumento permisible de la cuarta restricción es de 12.5 toneladas, y el nuevo cliente pide 10 toneladas, h El aumento permisible de materia prima 2 es de 2 toneladas por tanto conviene comprar 2/0.8 = 2.5 toneladas de materia prima 4 para hacer tratamiento y conseguir 2 toneladas de materia prima 2. Dos toneladas adicionales aumenta la utilidad $145 (2 x 72.50). Los costos para obtener dos toneladas de materia prima 2 son: Costo de 2.5 toneladas de materia prima 4 = $100 (2.5 x $40) Costo de tratamiento de 2.5 toneladas de materia prima 4 = $12.50 ($5 x 2.5) Entonces el efecto neto será una utilidad adicional de $32.50 ($145 - $100 $12.50)

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Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Viernes 13.06.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-110

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 Duración 100 Minutos

Tercera Práctica Calificada

1. Winco vende cinco tipos de productos. En la siguiente tabla se dan los recursos requeridos para producir un kilo de cada producto, y los precios de venta. Prod 1

Prod 2

Prod 3

Prod 4

Prod 5

Materia prima 1 (kilos)

2

3

4

5

1

Materia prima 2 (kilos)

6

5

2

4

3

Horas de trabajo

2

5

8

6

3

Precio de venta ($ por kilo)

80

95

90

95

60

En la actualidad, se dispone de 4000 kilos de materia prima 1, 6000 kilos de materia prima 2 y de 5000 horas de trabajo. El costo por kilo de materia prima 1 y 2 es de $2 cada uno, y la hora de trabajo es de $4. La demanda máxima de los productos 3 y 5 son de 150 kilos cada uno. El objetivo de Winco es maximizar sus utilidades. La siguiente es la salida del Solver de Excel Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$6 Cantidad Optima P1 707.5 0 A 5 4.736842105 $C$6 Cantidad Optima P2 45 0 B 3.461538462 3.333333333 $D$6 Cantidad Optima P3 150 0 C 1E+30 4.5 $E$6 Cantidad Optima P4 310 0 D 10 8.5 $F$6 Cantidad Optima P5 150 0 E 1E+30 11 Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible $G$8 MP1 4000 4.25 4000 60 620 $G$9 MP2 6000 7.25 6000 3100 900 $G$10 HORAS 5000 2 5000 1550 75 $G$11 MAXIMO P5 150 11 150 112.5 150 $G$12 MAXIMO P3 150 4.5 150 34.61538462 150 Responder las siguientes preguntas de manera independiente: a) ¿Cuáles son las utilidades de los cinco productos que produce Winco? ¿Cuál es la utilidad máxima? Haga sus cálculos. 2 puntos. b) ¿Qué sucede con la solución si aumenta $0.5 la hora de trabajo y disminuye en $0.5 el kilo de materia prima 2? Haga sus cálculos. 2 puntos. c) El producto P1 es rediseñado de tal forma que sus horas de trabajo aumenta de 2 a 3, y el uso de materia prima 2 disminuye de 6 a 5 kilos. La cantidad de materia prima 1 seguirá siendo la misma. ¿Cambiará el Plan de producción? ¿Por qué? ¿Cuál es la nueva utilidad? Escriba sus cálculos. 2 puntos.

d) Para producir un kilo de un nuevo producto P6 se necesita 0.80 kilos de materia prima 1, 0.7 kilos de materia prima 2 (existe 0.5 kilos de merma) y 3 horas de trabajo. Si el precio de venta por kilo es de $28 ¿Valdrá la pena producirlo? Escriba sus cálculos. 2 puntos e) Con la información del cuadro de sensibilidad ¿cuál y cuánto de uno de los tres recursos (materia prima 1, materia prima 2 o horas de trabajo) recomendaría comprar o subcontratar? 2 puntos f) Una empresa consultora sugiere hacer publicidad para aumentar la demanda de cada uno de los productos en 100 kilos, pero la inversión en publicidad difiere para cada uno de ellos: Para el producto P1, P2, P3, P4 y P5 se necesita invertir $600, $1200, $900, $800 y $400, respectivamente. ¿A qué producto se debería invertir en publicidad? 2 puntos. 2a) Determinar la solución óptima, los precios sombra, los rangos de variación de los coeficientes del lado derecho de las restricciones y los coeficientes de la función objetivo del siguiente programa lineal: 4 puntos

Minimizar Z   x1  5 x2  2 x3  2 x4 s.a

x1  4 x2  5 x3  2 x4  60 4x1  x2  2 x3  2 x4  44 - x1  x2  2 x3  x4  22 x1 , x2 , x3 , x4  0

Tomando en cuenta que las variables básicas son X1, X3 y X4, y que la matriz inversa de estas variables básicas es la siguiente:

1/8 1/8 -1/8

3/16 1/48 7/48

-1/8 5/24 11/24

2b) Si el coeficiente tecnológico de X4 en la tercera restricción cambia de 1 a 4. Determinar la nueva solución óptima, los nuevos precios sombra, los rangos de variación de los coeficientes del lado derecho de las restricciones y los rangos de variación de los coeficientes de la función objetivo. 4 puntos

1. Tres productos químicos (A, B y C) resultan de la composición porcentual de las siguientes materias primas: Materia Prima

Producto A

Producto B

Producto C

Costo x Kg

1

50%

20%

25%

$5

2

20%

35%

15%

$7

3

30%

45%

60%

$9

Precio x Kg :

$28

$38

$40

Las disponibilidades de las materias primas 1, 2 y 3, son 4, 5 y 6 toneladas respectivamente. Las demandas de los productos A, B y C son 6, 5 y 8 toneladas, respectivamente. El reporte de análisis de sensibilidad SOLVER de este problema se presenta a continuación:

Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad Hoja de cálculo: [solver abc.xls]Hoja1 Celdas cambiantes Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Celda Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible $B$6 Cantidad Producida A 3833.333333 0 X 39 6.3 $C$6 Cantidad Producida B 5000 0 Y 1E+30 7.64 $D$6 Cantidad Producida C 4333.333333 0 Z 10.41818182 19.5 Restricciones Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Celda Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible $E$8 Materia Prima 1 4000 16.8 4000 812.5 1437.5 $E$9 Materia Prima 2 3166.666667 0 5000 1E+30 1833.333333 $E$10 Materia Prima 3 6000 43.33333333 6000 1650 1950 $E$11 Cantidad Máxima de A 3833.333333 0 6000 1E+30 2166.666667 $E$12 Cantidad Máxima de B 5000 7.64 5000 5909.090909 5000 $E$13 Cantidad Máxima de C 4333.333333 0 8000 1E+30 3666.666667 a) Determine los valores de los coeficientes X, Y y Z de la función objetivo (1 punto) Conteste las siguientes preguntas de forma independiente: b) ¿Qué debemos hacer para que sea rentable producir la demanda máxima del producto A? ( 1 punto) c) Sucede que el precio por kilo de la materia prima 1 sube a $10. ¿Afectará las cantidades óptimas en el plan de producción? Explique su respuesta con cálculos (2 puntos) d) Se piensa producir un nuevo producto D, que consiste en 10% de materia prima1, 50% de materia prima 2 y 40% de materia prima 3. Su precio en el mercado sería de $20 el kilo. El gerente de producción opina que como el precio

es muy bajo, comparado con los demás productos, no resulta rentable para producirlo. ¿usted opina lo mismo? Justifique su respuesta con cálculos. (2 puntos) e) ¿Qué sucede si disminuimos el precio del producto B a $33 el kilo? (1 punto) f) Un intermediario conoce de una empresa en el extranjero que puede comprar 4 toneladas del producto B, si es que le hacen un descuento del 10%. Pero este intermediario desea a cambio $2,000 de comisión. ¿Usted recomienda hacer esta operación? (2 puntos) g) Actualmente existe escasez de materia prima 3. Sin embargo, existe en el mercado una materia prima similar, que llamaremos materia prima 4, el cual es una mezcla de un 60% de materia prima 3 y un 40% de otros componentes. La materia prima 3 se puede separar de los demás componentes a través de un tratamiento especial que cuesta $5 por kilo de materia prima 4, más un costo fijo de $2,000. El costo por kilo de esta materia prima 4 es de $15, y hay disponible para comprar solo una tonelada. ¿Valdrá la pena comprar esta materia prima? Justifique su respuesta con cálculos. (2 puntos). h) La empresa desea seguir produciendo los productos A, B o C, de tal forma que le sea rentable. Debido a la escasez, las materias primas 1 y 3 han subido a $10 y $30 el kilo, respectivamente, mientras que la materia prima 2 no ha subido de precio. Si debe comprar solo un tipo de materia prima y tiene disponible $1000 ¿Qué materia prima y cuántos kilos recomendaría usted que se compren? (2 puntos) i) Un nuevo cliente desea 1 tonelada del producto B, pero quisiera cambiarlo por 1 tonelada materia prima 1 que le sobra. ¿Usted aceptaría? ¿Cuál es el efecto en las utilidades? (2 puntos)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “Y” : Ing. Luis Medina Aquino : Jueves 12.01.2006 – 18:00 – 22:00 Horas - AULA S4-107

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Cuarta Práctica Calificada

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “V” : Ing. Luis Medina Aquino : Jueves 19.01.2014 – 14:00 – 16:00 Horas - AULA S4-107

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Examen Final

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “X” : Ing. Luis Medina Aquino : Miércoles 19.01.2014 – 8:00 – 10:00 Horas - AULA S4-107

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Examen Final 1. La empresa Gemstone Tool Company (GTC) compite en el mercado de herramientas de construcción. La planta produce sólo llaves, tenazas, alicates y desarmadores. Todas se fabrican con acero, y el proceso requiere moldear las herramientas en una fresadora y después ensamblarlas en una máquina de ensamblaje. La cantidad de acero utilizada en la producción de llaves, tenazas, alicates y desarmadores, así como las tasas de utilización de las máquinas (horas por unidad) usadas en la producción, se muestra en la Tabla I. Tabla I Llaves

Tenazas

Alicate

Desarmador

Acero 0.6 0.4 0.4 0.3 (kilos por unidad) Fresadora 0.4 0.4 0.5 0.3 (horas por unidad) Máquina ensamblaje 0.2 0.3 0.3 0.2 (horas por unidad) Precio $ 320 $ 340 $340 $270 (En $ por cada 100 unidades) La demanda máxima diaria (estimada) para los desarmadores y tenazas son de 30,000 y 13,000 unidades. La empresa tiene que cumplir con la fabricación de un pedido diario de 12,000 llaves. GTC quiere planificar la producción diaria de llaves, tenazas, alicates y desarmadores en su planta de Winnipeg para maximizar su contribución a sus ganancias. El costo por tonelada de acero es de $200. El costo por hora en la fresadora es de $2. El costo por hora en ensamblaje es de $4. La disponibilidad diaria de acero es de 25,000 kilos. La capacidad diaria de fresado y ensamblaje son de 33,000 y 18,000 horas, respectivamente.

Nombre Cantidad a producir Llaves Cantidad a producir Tenazas Cantidad a producir Alicate Cantidad a producir Desarmador

Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminución Igual reducido objetivo permisible permisible 12000 0 A 0.2 1E+30 13000 0 B 1E+30 0.2 1500 0 C 0.12 0.133333333 30000 0 D 1E+30 0.12

Nombre Cantidad Máxima desarmador Cantidad de Acero Horas de Fresado Horas de ensamblaje Cantidad Máxima de Tenazas

Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Igual precio lado derecho permisible permisible 30000 0.12 30000 1500 30000 25000 2.8 25000 7000 600 19750 0 33000 1E+30 13250 12750 0 18000 1E+30 5250 13000 0.2 13000 1500 13000

Cantidad Mínima de Llaves

12000

-0.2

12000

1000

12000

Responda las preguntas en forma independiente: a) Determine los valores correspondiente a la utilidad (A, B, C y D) de la función objetivo y la utilidad total . (2 puntos) b) El precio del acero sube un 50%. ¿Variará el plan de producción óptimo? Haga sus cálculos (2 puntos). c) ¿Cuál producto y cuantas unidades se fabricarán con 1 tonelada adicional de acero? Haga sus cálculos (2 puntos) d) Un nuevo producto, tenaza de corte, va a ser evaluado para producirlo con los recursos disponibles. Para esta nueva tenaza se necesita 0.3 Kg. de acero, 0.6 horas de fresado y 0.4 horas de ensamblaje. ¿Cuál debe ser el precio mínimo, por pieza, para que sea conveniente producirlo? (2 puntos) e) Un nuevo comprador desea adquirir 1,000 desarmadores, si es que le hacen un descuento del 5% en el precio. ¿Usted recomienda hacer esta operación? Justifique su respuesta con cálculos. (1 punto) f) Según la tabla de análisis de sensibilidad no conviene producir llaves. Si éstas se dejasen de producir ¿cuál producto y cuántas unidades se producirán?. Haga sus cálculos (2 puntos) g) Según el departamento de control de calidad, ha detectado problemas de acabado en el lote diario de alicates por lo que deben pasar al proceso de fresado. El tiempo invertido es de 0.2 horas por unidad. ¿Cómo afecta este problema en la utilidad? (1 punto) 2. Una fábrica va a introducir un nuevo producto y debe decidir sobre el sitio y el tamaño de las plantas para elaborar el producto. La fábrica desea minimizar los costos de producción y distribución, así como los de construcción y operación de las instalaciones. Hay tres sitios disponibles. Puede construirse una fábrica pequeña o una grande en cada sitio. En uno de ellos, también es posible construir una planta extra grande (inmensa). La tabla 1 muestra los costos y capacidades para estas opciones; en el costo anual se incluyen los gastos generales de fabricación y un costo anual para la construcción. La fábrica debe suministrar el producto a cuatro regiones. El costo de distribución desde cada planta a cada región y los requerimientos de las regiones se muestran en la tabla 2. El problema de la fábrica es decidir sobre los sitios a utilizar, cuál debe ser el tamaño de la planta en los sitios seleccionados y cuánto debe enviar cada planta a cada región. (8 puntos) Tabla 1: Costo Anual Capacidad Costos de Sitio Tamaño (en miles de (en miles de fabricación dólares) unidades) (en dólares/unidad) Pequeña 1,000 600 5.00 A Grande 1,500 1,200 4.00 Pequeña 1,200 600 5.00 B Grande 1,600 1,200 4.00 Inmensa 2,000 2,000 3.50 Pequeña 900 600 6.00 C Grande 1,400 1,200 5.00 Tabla 2: Hasta Desde Sitio de la fábrica Región 1 Región 2 Región 3 Región 4 A 1 2 3 4 B 2 3 2 3 C 4 3 2 1 Requerimiento en las regiones (miles de unidades) 500 200 700 800

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

Asignatura Profesor Fecha

: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I – ST-113 “Y” : Ing. Luis Medina Aquino : Jueves 02.02.2006 – 18:00 – 22:00 Horas - AULA S4-107

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Examen Sustitutorio 2. Una compañía de aviación debe tomar una decisión acerca de cuantos asistentes de vuelo debe contratar y entrenar en los próximos 6 meses. Las necesidades de staff en términos de horas-asistente de vuelo son respectivamente 8000, 9000, 7000, 10000, 9000 y 11000 en los meses de enero a junio. Un asistente de vuelo es entrenado durante un mes previo a ser asignado a un vuelo regular, y por lo tanto debe ser contratado con un mes de avance al inicio de sus tareas. Cada entrenado requiere 100 horas de supervisión por asistentes de vuelo experimentados durante el mes de entrenamiento, de tal manera que se reduce la disponibilidad de horas de asistente de vuelos para los vuelos regulares. Cada asistente de vuelo experimentado puede trabajar hasta 150 horas por mes, y la aerolínea cuenta con 60 asistentes de vuelo al inicio del mes de enero. Si el máximo de tiempo disponible de los asistentes de vuelo experimentados excede un mes de las necesidades de vuelo y de entrenamiento, ellos trabajan menos horas. Al final de cada mes, 10% de los asistentes de vuelo experimentados renuncian a su trabajo. Un asistente de vuelo le cuesta a la compañía $1700 y $900 por un asistente recién entrenado. Formular el problema como un modelo de programación lineal. 5 puntos. 3. Una fabrica de zapatos ha pronosticado la demanda para los siguientes seis meses: 5.000, 6.000, 5.000, 9.000, 6.000 y 5.000 pares de zapatos respectivamente. A principios del mes 1, la empresa tiene 13 empleados. Cada empleado de la fabrica utiliza 15 minutos para producir un par de zapatos y trabaja al mes 150 horas y hasta 40 horas de tiempo extra. Asimismo, cada empleado recibe un salario de 2.000 dólares al mes más 50 dólares por cada hora de tiempo extra que trabaje. A principios de cada mes la empresa puede contratar o despedir empleados. A la empresa le cuesta 1.500 dólares contratar un trabajador y 1.900 dólares despedir un empleado. El costo mensual de almacenamiento de cada par de zapatos es igual al 3% del costo de producir un par de zapatos en tiempo normal. La materia prima necesaria para producir un par de zapatos cuesta 10 dólares. Formule un modelo de programación lineal de modo tal que minimice el costo de satisfacer la demanda de los siguientes seis meses. 7 puntos 1. Una financiera tiene $1000 000 en fondos nuevos que debe asignar a préstamos hipotecarios, personales y educativos. Las tasas de interés anual para los tres tipos de préstamo son 7% para los hipotecarios, 12% para los personales y 9% para los educativos. El comité de planeación de la financiera ha decidido que al menos 40% de los nuevos fondos deben asignarse a préstamos hipotecarios. Además, el comité de planeación ha especificado que la cantidad asignada a préstamos personales no puede exceder de 60% de la cantidad asignada a préstamos educativos. La formulación del problema es la siguiente: Variables de Decisión:

Pi = Cantidad en dólares que se debe asignar a préstamos tipo i(= 1, hipotecarios; 2, personales; y 3, educativos) Función Objetivo: Maximizar Z = 0.07 * P1 + 0.12* P2 + 0.09 * P3 Restricciones: Fondo Total a Invertir: P1+ P2 + P3 = $1’000,000 Préstamos hipotecarios: P1 ≥ $400,000 Relación de préstamos: P2  0.60 P3  P2 – 0.60 P3  0 Pi ≥ 0 i = 1, 2, 3 El reporte de Análisis de Sensibilidad se presenta a continuación: Valor Gradiente Coeficiente Aumento Disminucuón Nombre Igual reducido objetivo permisible permisible Asignación Óptima P1 400000 0 0.07 0.03125 1E+30 Asignación Óptima P2 225000 0 0.12 1E+30 0.03 Asignación Óptima P3 375000 0 0.09 0.03 0.05 Valor Sombra Restricción Aumento Disminución Nombre Igual precio lado derecho permisible permisible Fondo Total a Invertir 1000000 0.10125 1000000 1E+30 600000 Préstamos Hipotecarios 400000 -0.03125 400000 600000 400000 Relación de Préstamos 0 0.01875 0 600000 360000 Responda las preguntas en forma independiente: a. Si la tasa de interés sobre préstamos hipotecarios aumenta a 9%. ¿variaría la cantidad asignada a cada tipo de préstamo? ¿Cuánto varía la tasa de interés anual? 2 puntos b. Suponga que la cantidad total de nuevos fondos disponibles es en realidad $2’000,000. ¿Qué efecto tendría ésto en el interés anual total? Explique 2 puntos. c. Por efectos de demanda, la financiera incrementa 1% la tasa de interés de préstamos hipotecarios y educativos, y a su vez, disminuye 1% la tasa de interés de los préstamos personales. Habrá cambios en la asignación óptima? Justifique. ¿Cuánto sería la variación de la tasa de interés anual? 2 puntos d. Suponga que la financiera tiene el millón de dólares original en nuevos fondos disponible y que el comité de planeación ha acordado disminuir el requerimiento de que al menos 40% de los nuevos fondos deben asignarse a préstamos hipotecarios en 2%. ¿Cuánto cambiaría en el interés anual? ¿Cuánto cambiaría el porcentaje de interés anual? 2 puntos e. Se está analizando asignar dinero del fondo hacia préstamos de automóviles que tiene una tasa de interés de 11%. ¿Conviene hacer esa asignación?. Haga el análisis. 2 puntos. f. Si no existiera la segunda restricción ¿Cuál sería el interés y la tasa óptima de interés? 2 puntos. g. Suponga que la cantidad total de nuevos fondos disponibles se incrementa en $15 000 pero este dinero adicional no forma parte en la asignación de los créditos hipotecarios. ¿Qué efecto tendría ésto en el monto y tasa de interés anual total? Explique. 2 puntos. h. El riesgo que se asume por cada dólar es un índice de riesgo tal como 1, 2 y 3 para los préstamos hipotecarios, personales y educativos, respectivamente. Si como máximo se desea asumir un índice de riesgo promedio de 1.8. ¿Se aceptará la asignación óptima actual o deberá ser diferente? 2 puntos.