Practica Matrices Siste Deter

 

1. Sistema Sistemas s de ecu ecuacio aciones nes line lineales ales

1. Consider Consideree el sistema sistema de ecuaciones cuaciones en las variables  variables   x, y   y   z  :

   2ax − 3y − z = −4a + 6b6b 3x

− y + az az =  =  −a − b

 ∈

con a y b  IR  IR

a) Determine Determine el conjunto conjunto soluci´  on si   a  =   92   y   b  = 0.

 1



  57   9 R/   S   = t , t,   :  t  IR  IR . 3 29 29 b) Encuentr Encuentree los valores valores de   a   y   b  para que   ( 2, 2a b, 3) sea 3)  sea soluci´  on del sistema. R/   a = 12   y   b  = 2.

−

−

 ∈

− −

 −

2. Consider Consideree el sistema de ecuaciones cuaciones lineales  lineales 

 1

x    3 p   −1   17 y  = z

−3   p   −7

9

.

b   a) Determine Determine para para que valores valores de   p p  y de  b  b  la matriz   8   es soluci´  on del sistema. b+7

R/   p  = 1; b =

 −5.

b) En el sistema de ecuaciones ecuaciones dado, sustituya  sustituya  p  p  por el valor que encontr´  o en la parte  a)  y determine el conjunto soluci´  on del sistema. R/   S  =  = ( 1 2t, 6 + t, t) :  t  IR  IR .

 { − −

 ∈ }

3. Dado el sistema de ecuacion ecuaciones es lineales  lineales  Determine para que valor o valores de   p  el sistema:

  px  + 2x2x  + 3x3x  = 2  px  +  + px  px  + ( p ( p + 1)x 1)x  =  p   px  +  + px  px  + (2 p (2 p − 2) 2)x x   = 22 p  p − 2 1

2

1

2

1

2

3

3

3

R/   p   = 2.

a) tiene infinitas soluciones

 

 

 

R/   p =   0,   p = 2   y   p = 3.

b) tiene soluci´  soluci´  on u ´ nica

R/   p = 0   y     p  = 3.

c) no tiene tiene soluci´  soluci´  on

4. Para Para cualquier cualquier sistema de ecuacion ecuaciones es lineales lineales con   n   inc´  ognitas siempre se tiene que  Rng((A)   Rng( Rng Rng (A b). Las soluciones de tal sistema se relacionan con el rango de su  matriz correspondiente seg´  un:

 ≤

|

| b) Si   Rng( Rng (A) = Rng  Rng((A | b) =  n  entonces el sistema   posee unica u ´ nica soluci´ o on n. infinitas itas solucion soluciones es c) Si   Rng( Rng (A) =   Rng( Rng (A | b)   < n   entonces el sistema   posee infin caracterizadas por   n − Rng Rng((A)   variables libres.

  no posee soluciones. a) Si   Rng( Rng (A)  < Rng( Rng (A b)   entonces el sistema  no

2

 

Considere un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada est´  a dada por 

 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0



.

Determine el conjunto soluci´  on de dicho sistema con el an´  alisis del rango de la matriz  y de la matriz aumentada.

 { −

−

 IR} .  ∈ IR

R/   S   = ( t2 , t1 , t3 , t2 , t3 ) :  t 1 , t2 , t3 5. Consider Consideree la matriz  matriz   A =

a a

 c

b . b c

 −

a) Pruebe Pruebe que   A  es equivalente por filas a la matriz 

a   0   c  0 b 0

.

b) Determine Determine los valores valores de   a,   b   y   c  para los cuales el sistema de ecuaciones 

   ax + by = by  = c  c ax

− by = by  = c  c  

 

R/   a =   0   y   b = 0 c S   = a, 0 .

(i) tiene soluci´  soluci´  on u ´ nica

  (ii) tiene infinitas infinitas soluciones soluciones que dependen dependen de un pa par´  r´  ametro R/   b  = 0   y   a  =0  c  S  =  = , t  : t  :  t  ∈ IR  IR .

a a = 0,   b = 0   y   c = 0 S  =  = (t, 0) :  t  IR  IR . (iii) tiene infinitas infinitas soluciones soluciones que dependen dependen de dos pa par´  r´  ametros  R/   a  = b  =  b =  = c  c =  = 0 S  =  = (s, t) :  s  IR  IR, t  IR  IR . (iv) es inconsist inconsistente  ente  R/   a  = 0   y   c = 0.

 {

 {

 

 ∈ }

 ∈

 ∈ }  

6. Dado el sistema de ecuacion ecuaciones es lineales: lineales: x1  + 2x 2 x2  + 4x 4 x3  = 2 x1  + 3x 3 x2  + 6x 6 x3  + 5x 5 x4  = 3 kx1  + kx 2  + 2kx 2 kx3  + (k ( k2 + 4k 4k )x4  = 1

 

 −

 −

a) Determine para qu´e valor o valores de   de   k  el sistema tiene infinitas soluciones con  un par´  ametro. R/   k = 1.

   −

b) Resuelva esuelva el sistema para para este caso (es de decir, cir, cuando tiene infinit infinitas as soluciones soluciones con  un par´  ametro). 2 k + 1  1 R/   S  =  = , 2t,t,   :  t  IR  IR . k k k



− −

3

 −

 ∈



 

7. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde corresponde a un sistema de ecuaciones lineales: lineales:

1 0  0   a − 2 0 0   0

0

0 0 b+1     c  

2 0 c 0

  . 

a) Determine Determine cu´  ales son los valores de  a,  a, b  y   y    c  de tal forma que el rango de la matriz  aumentada del sistema sea 1. R/   a = 2,   b  = 1   y   c  = 0.

 −

b) Determine Determine cu´  ales son los valores de  a,  a, b  y   y    c  de tal forma que el rango de la matriz  aumentada del sistema sea 3. R/   a = 2,   b = 1   y   c  = 0.

 

   −

8. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde corresponde a un sistema de ecuaciones lineales: lineales:

 

1 0 2

  −4 3 5

−

7   g 5 h 9 k

 −  −

 .

a) Encuentr Encuentree una ecuaci´  ecuaci´  on que contenta a los valores reales  g reales  g,, h, k  de tal manera que  la matriz aumentada anterior corresponda a un sistema consistente. R/   h + k + 2g 2 g  = 0. b) Determine Determine el conjunto conjunto soluci´  on del sistema consistente correspondiente a la matriz  aumentada anterior. 3g  + 4h 4 h  1  h   5 R/   S   = t,   + t, t  : t  :  t  IR  IR . 3 3 3 3



  −



 ∈

9. Dado el siguiente sistema homog h omog´ ´eneo eneo de ecuaciones lineales:

 2x + kyky + + z + w = 0  3x + (k(k − 1)y 1)y − 2z − w  = 0 2 w  = 0  x − 2y + 4z4z + 2w 2x + y + z + 2w 2 w  = 0   k  para los cuales el sistema de ecuaciones anterior tiene  Determine los valores reales de  k R/   k  =

soluciones distintas de la trivial.

 −1.

10. Determine Determine el conjunto conjunto soluci´  on del sistema de ecuaciones lineales:

 x + 2y2y + 3z3z + 4w 4 w  = 5 7 w  = 11  xx −+ 3y3zy− +25z5wz = + −7w 6 ×

 ∅

S   = .

11. Se Sea  a   Ax = Ax  =  b  un sistema de ecuaciones lineales   m n   y   C  una C  una matriz invertible   n Pruebe que el sistema   (CA  = C  = b CA))x  =  C b  es equivalente al sistema   Ax Ax =  b..

× n.

12. Prueb Pruebee que si   u   y  y    v   son soluciones del sistema de ecuaciones lineales no homog´ homog´eneo eneo AX   =  b,  b , entonces la diferencia   w  =  = v  v u  es soluci´  on del sistema homog´eneo  eneo   AX   = 0.

−

4

 

13. Estudie Estudie el siguiente siguiente sistema de ecuacion ecuaciones es seg´  un los par´  ametros dados.

 x + y + z = 1 2)z  =  a − 2  −−22xx −− ayy +−(b(b2z− =2)z  −a + 3a 3a − 4 2

R/   S   =

2

a

 1

1,

,a

 −

 { −

S   = ( 1 + (b (b

 1

, si   a = 2   y   b = 0.  b    

−b − − 1) 1)t, t, 2 − bt,t bt,t)) :  t  ∈ IR  IR}, si   a  = 2   y   b ∈  IR  IR. S   = ∅, si   a  = 2   y   b  = 0.

14. Consider Consideree el sistema de ecuaciones cuaciones lineales: lineales:

 x + y − z = 2  xx ++ 2y2yy + +(a(az =−35)z 5)z  =  a 2

Utilice el e l m´etodo etodo de d e Gauss-Jo Ga uss-Jordan rdan para determinar  det erminar 

a) El valor de   a  para el cual el sistema no tiene soluci´  on.

R/   a  =

 −2.

b) Resuelva el sistema para para el valor de  a en  a  en el que hay infinitas soluciones y encuentre  estas soluciones. R/   a = 2;   S  =  = (1 + 3t, 3t, 1 2t, t) :  t  IR  IR .

 {

−

 ∈ }

15. Consider Consideree el sistema de ecuaciones: cuaciones:

 x + 2y2y − 3z = 4  34xx −+ yy + + 5z5(a(az =−214) 14)zz  =  a + 2 2

Utilizando el m´ Utilizando etodo etodo de Gauss Jordan Jordan encuentr encuentree los valores valores de   de   a   para los cuales el  sistema posee soluci´  on unica, ´  y encuentre dicha soluci´  on.

   −4, a = 4

R/   a = S   =

 8 −   1 7

,  10  +   2 ,   1 a+4 7 a+4 a+4

.

16. Suponga Suponga que   u1 , u2 ,...,un   son soluciones solucio nes del sistema homog´eneo  eneo   AX  AX    = 0, pruebe que  k1 u1  + k2 u2  + ... + kn un  tam  tambi´ bi´en en es sol soluci uci´  on ´  del sistema homog´eneo. eneo. 17. Consider Consideree el sistema  sistema   2

× 2:

   ax + by = by  = 1

−bx + ay ay =  = 1

Muestre que tiene un n´  umero finito de soluciones para todos los valores de  de    a   y   b. 18. Encuentr Encuentree tres tres soluciones soluciones pa particul rticular ares es del sistema sistema de ecuacion ecuaciones: es:

− 3z + 2t 2 t  = 5 z − 4t  = 2

  x + 4y 4y



R/ Una soluci´  on particular es   (7, (7, 1, 2, 0). 0).

5

 

19. Consider Consideree el sistema de ecuaciones cuaciones lineales: lineales:

   ax + by = by  = e  e

cx + dy dy =  = f   f 

Verifique lo siguiente:  a  b a) si  c = d , esto es, si   ad por 

 

0 , entonces el sistema tiene la soluci´  on unica ´  dada  − bc = 0, x  =

  de ad

− bf , − bc

y  =

 −  − be . − bc

  af  ad

 a  b  e a) si    = = , entonces el sistema no tiene soluci´  on. c d f   a  b  e b) si    =   = , entonces el sistema tiene infinitas soluciones. c d f 

 

20. Determine Determine el conjunto conjunto soluci´  on para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones  lineales.

b)

2x + 3y 3y + z  = 1   a)  53xx −− y2y−−z4 =z =4  −3 R/   S   = {(1,(1, −1, 2)}.    3x − 2y + 3z3z = 5  3  5 1   9

 − 8 t, − 4  + 16 t, t : t  :  t  ∈ IR  IR

− z  = 2   R/   S   ==  x − y − z = 11 c)  x2x++y3y3 +y =z = −73  x − y = 5

2x + 4y 4y

d)



2

 { −

}

R/   S  =  = (9, (9, 7, 5) .

2x + 3y 3y  = 0

R/ Inconsistente.

 3x − 3y = 10

 x + y − z = 3 e)  x2x+−2y2y3y + +2z2zz = = −1 4 R/   S   == {(10 + 4t,4t, −7 − 3t, t) : t ∈ IR IR}.  3x  + 4x4x  − 7x  = −3  1  1  5   2x  + 3x 3 x  − 6x  =  −3  f )  6x  − 1010x −x  + 4x4x  = 3 R/   S  = = 2 , 3 , 6 . x  + x x  = 0  x + 2y2y − 3z = 1 2x + 4y 4y − 6z  = 2 R/   S   = =  {(1 − 2t  + 3t 3 t , t , t  : t  :  t  ∈  IR)  IR)}. g)  3x + 6y6y − 9z = 3 1

2

3

1

2

3

1

1

2

2

3

3

1

21. Consider Consideree el sistema  sistema   3

×3:

6

2

1

2

.

 

3



 j =1

x j   = i   (1 i + j 1

 ≤ i ≤ 3).  3) .

 −

Verifique que dicho sistema de ecuaciones tiene soluci´  on unica. ´  22. Demuestr Demuestree que si  p,  p, q  son   son soluciones soluci ones del sistema homog´eneo AX  eneo  AX    = 0, entonces  αp  αp + βq  es una soluci´  on de   AX   = 0, para todo  todo   α, β  R.

 ∈

23. Verifique erifique que el sistema sistema de ecuacion ecuaciones es lineales: lineales:

 x  + x  − 2x  + 3x3x  = 4  52xx  + + 7x73x3xx  + + 4x43x3xx   +− xx  = = 53 1

es inconsistente.

3

2

4

1

2

3

4

1

2

3

4

24. Dado el sistema de ecuacion ecuaciones es lineales  lineales 

 x + 2y2y − 3z − 2s + 4t4t = 1 2x + 5y 5y − 8z − s + 6t 6t  = 4 x + 4y 4y 7z + 5s 5 s + 2t 2t  = 8  tiene infinitas soluciones dependiendo − de dos variables libres.

 { − r  + 24r  IR}. 24 r , −7 + 2r 2 r  + 8r 8 r , r , 3, r ) :  r , r  ∈ IR

R/   S   = = (21

1

2

1

2

1

2

1

2

25. Muestre Muestre que  a,b,c,   a,b,c, α, β   y   γ   satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones lineales 

 cx + azaz = =  b cy + bz bz =  =  a  bxcy + + ay ay =  = c  c

donde   x  = cos α,   y  = cos β   y   z  = cos γ .

2. Matrices

1. Con   E (x)  se designa el mayor entero que no es mayor que   x. Construya la matriz   A con  A ij   =  E ( j/i  j/i))  y de orden   2 4.

   

×

R/   A  =

   

1



2 3 4 . 0 1 1 2

2. Determine Determine si la matriz   P  de P  de orden 3 con  P  ij   =  E (ij ij))  es  e s si sim´ m´eetrica. tr ica.

√ 5

1 R/   P   = 2

 

2 3 4 6  es sim sim´ ´etrica et rica.. 3 6 9

2 3  al es el valor de   m  3. Consider Consideree la matriz  matriz   M   = 4   −2 1 . ¿Cu´ 

22

7

 ·

 + m21 m23 ?  R/ 6.

 

4. Se Sea  a   N  N    una matriz diagonal de orden 4 tal que para todo   i   = 1, 2, 3, 4  se cumple   nii   = ( 1)2i . Determine los elementos de la diagonal principal.

−

R/   n11  = 1, n22  = 1, n33  = 1, n44  = 1.

×

5. Se Sean  an   P, Q   y   R  matrices de orden   m  p  p,,   n T  orden de la matriz   A = 3P  5QT R .



 3 2

6. Se Sean  an   M  M    =

  −−

× m   y   n × p respectivamente.  p  respectivamente. Determine el  R/   p

1 4

m.

×

1 2

,   N  N    =   y   P  P    = . Suponga que la matriz   M  M    depende  x y 5 2 3 1 de   N  N    y   P  P ;; esto es, existen dos valores  valores    α   y   β  tales β  tales que   M   =  αN   αN    + βP   β P .. Determine los  valores de   α   y   β . R/   α  = 5;   β  =  = 1.

1 2 −3   −2 7. Dadas las matric matrices  es   A = A  = 3 4  y   y  B  B   =  1   −5, hallar la matriz  D  D  de manera que  5 6 4 3 A + B − D  =  = O  O.. −2 0  R/   D  = 4   −1 . 9 9 8. Dadas las matric matrices  es   1 1 4 1 2 1 5   −6 A = −2 2 0 , B  = 1 3   y  C    C   = 2   −3   −2 3

4 3

4 0

3

5

1

Determine las siguientes matrices:

−

a)   2A + 3C 

b)   AB

d)   C T 

 

CB

 −   c)   B A T 

T 

 −1   −13 26 R/ −10 13 6 . −3   −7 3  36   −12 R/  9  7   −73 . 17   −1 15

 

− I   3

R/ 

− 3I 

3

  −1

18

.

−2 2 3  R/   5   −6 5 .

−6   −2   −2 9. Se Sean  an   A  una matriz de orden   m × n,   B  de orden   p × n   y   C  de   de orden   n × m. Demuestre     IR. entrada por entrada, que   k(AB ) + (BC  ( BC )) = k · A + C  · B con   k ∈ IR T 

T 

T 

T 

T 

10. Sean  Sean   A, B   y   C  C  tres  tres matrices tales que el producto  producto   ABC  ABC    es una matriz de orden   orden   3 y el producto  producto   A C T  es una matriz cuadrada. Determine el orden de   A, B   y   C .

·

2

×

R/   A3×2 (IR) (IR);;   B2×3 (IR) (IR)   y   C 3×2 (IR) (IR).. 8

 

11. Se Sea  a   A  M n (IR) (IR) tal  tal que   A2 =  O  O.. Pruebe, entrada por entrada, que 

 ∈

(I   + + A)−1 = I 

 −  − A.

12. Dadas las matrices: matrices:

5 A = 2 0

 a   y  y    B   = c  0 1

2 0 5 0

 ,  1

b 0 c 0

0 0 determine las condiciones que debe cumplir  a,   a, b, c  para que se verifique   AB AB =  =  BA  B A. R/   a = b  =  b =  = c  c.. 13. Suponiend Suponiendo o que las inversas indicadas indicadas existen, demostrar demostrar las siguientes igualdades. igualdades. a) C −1 + D−1

−1

−1

  = C (C   ++ D) D. b)   (I  +  + CD CD)) C   =  C   C ((I   + + DC ) .   D  =  = C   C  D(I   + + D C  c) C  +  + DD −1

−1

T  −1

−1

T 

−1

D)−1 .

14. Se Sea  a   A  una matriz antisim´etrica. etrica. Demuestre Demues tre que   que   A2 y   A4 son matrices mat rices sim´eetricas. tr icas. 15. Se Sea  a   B  una matriz antisim´ antisi m´ etrica. etrica. Pruebe que   que   A3 y   A5 son matrices matr ices anti a ntisim´ sim´eetricas. tr icas. 16. Sean  Sean   A   y   B  las matrices:

0 A  = 1

1 1 1 0 1 0 0

  6   −3   −4    y y    B = −3 2 1  . −4

 ∈

¿Existe una valor de   λ  I  IR R  tal que la igualdad   (A

1

5

− λI  )

2

3

=  B  sea verdadera?  R/   λ  = 2.

17. Se dice dice que una matriz  matriz   A   es  nilpotente   nilpotente  de orden   n, si verifica que   An = 0 2 1 orden de nilpotencia de la matriz  0 0 3 . 0 0 0

 

 O.  Hallar el 

 

R/   n  = 3.

18. Una matriz matriz es  normal   normal  si conmuta con su transpuesta, es decir   decir   AAT  =  AT A. a) Comprob Comprobar ar que la matriz   A =

6   −3 3

6

 es normal.

b) Hallar una expresi´  expresi´  on para todas las matrices normales de orden   orden   2.  a b a b R/  , , b a b a



−



 − 

19. Comprueb Compruebee que to toda da matriz   A  cuadrada de orden 2, verifica la ecuaci´  on: 2

A

(ad − cb) cb) · I   = 0. − (a + d) · A + (ad 2

9

a b b a

.

 

20. Dada la matriz   matriz   A   =

0

a , determine todas las matrices   matrices   B   =  b    tales que  c 0  IR.   R/   B  =  b ,   b ∈  IR

 0

1 1 0 1

AT AB AB =  =  B.  B .

0

21. Prueb Pruebee que si   AB = AB  = A  A   y   BA = BA  = B  B,, la matriz   A  es idempotente. Sug: Multiplique por   A  a la derecha de   AB = AB  =  A  A.. 22. Sean  Sean   A, B   y   C  C  tres  tres matrices para las cuales las operaciones indicadas a continuaci´  on  se pueden realizar. Utilizando las propiedades de las operaciones, pruebe que  2 C   + + 3B T 





T 

T 

· A = 2C  A + 6BA. 6BA.

23. Dadas las matrices  matrices  A =

   cos x   sen x − sen x   cos x

;   B =

   cos y   sen y − sen y   cos y

,

pruebe que   AB = AB  =  B  BA A. 24. Hallar dos matrices  matrices   A   y   B  que verifiquen: 3A

−5 12 

− 2B  = −4   −5

−A + 4B 4B   =

15   −14 8

5

R/   A =

1 2  0

  −1

,  B =

4   −3 2

1

.

25. Demuestr Demuestree que: 2

 0   c   −b a −c   0   a  ab b

  −a

  0

 0  0

ab ac b2 bc  = ac bc c2

 .

0 0 0 0 0 0 0

26. Una matriz  matriz   A  cuadrada de orden   n  es ortogonal si   A AT  =  I n , pruebe que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal.

·

27. Se Sea  a   A  una matriz cuadrada de orden   n   y   B  una matriz de orden   orden   n 3 T  matriz   S   = 2A + 3BB 3BB es sim sim´ ´etrica et rica..

× 1, probar que la 

28. Demuestr Demuestree que el pr prod oducto ucto de dos matrices matrices ortogonale ortogonaless es otra matriz ortogonal. ortogonal. 29. Sean  Sean   A =

1

2   x

 3   −1 2 

  y   B T  = y x   1 . Si   A B   =



 10

·

6

8, determine   x   y   y.

18 6 R/   x  =   19 ;   y  =   19 .

 

30. Calcule Calcule (si existe) existe) la matriz matriz inversa inversa para para ca cada da una de las siguientes siguientes matrices. matrices.

1 a)   A = 2

1 1 2

  − 

 

1   b)   B  = 2

2 3 1

 

1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 c)   C   =  1

1 1 0 0 1

  −   − 1 0 1 1

0 1 0 0

1 3 2 5 d)   D  = −3   −9 −6   −18 x y 

31. Se Sea  a   A =

z w

−3 1 2  R/   A =  5   −1   −3.  −1 1 20   −14 .  R/   B = −   −    1 0 0    −−1  1 0   −1 0 . R/   C  =  −1 0 1 1  −2 1 1 1 −5 3 1   −    2   −1 0 0   R/   D = .  3 0 1 0  −1

−1

1 2

3 2

1 2

  

1 2

3 2

−1

1 2

   −  2   −4

0 0 1

7 2

1 2 3

−1

0

0

  −1

 

1 2

 una matriz cuadrada de orden 2 arbitraria.

a) Obtener Obtener una expresi´  expresion ´  general para la inversa de   A.





  1  w y R/   A = . z x xw yz b) Determinar Determinar la condici´  condici´  on necesaria y suficiente para que   A  sea invertible. R/   xw yz = 0. −1

−

−

 −

−  

32. Calcule Calcule la matriz   X   = A −1 I  A =

T 

−1

  − C   · B para las matrices: 1   −2 2 3 1 2 1

  −3

  B  =

1 2

  C   =

3 4

.

R/   X   = 33. Se dan las matrices matrices cuadradas, cuadradas, del mismo or orden, den,   A, B   y   X  X    con   A T  T  T  que   X A =   I   + + (BX  ) .

11   −18 4

.

  −6

− B   invertible, tales 

a) Use las op oper eracione acioness co con n matrice matricess y sus pr propie opiedades dades para para despejar  despejar   X  X  e  en n t´eermi r mino nos  s  de las matrices   I , A   y   B  (no use sistemas de ecuaciones). B )−1

R/   X   = (A b) Se Seg´  g´  un lo que obtuvo en la parte a) determine   X  X    si 

11



−

T 

.

 

A =

3 5 0 1

  y    B  =

1   −2 1

5

. R/   X   =

4   −1 7

  −2

.

 ∈

34. Se Sea  a   k  I  IR R  y considere las matrices reales   A   y   C   definidas como:

  k   0   −1   −    C   =  0 1 0  .

3 A = 0

0   k 3 1 0 1 2

−1

0   k

Si se sabe que   que   AB T  +  A   = (2C  (2C )T  + 2B T  determine la matriz   matriz   B   que satisface dicha  ecuaci´  on(usando algebra ´  matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno).

 R/   B  = 

− 3   −2   −2    −1 0 0 . −2k + 2k 2k − 2 2k − 2 2k − 3 4k 2

35. Se dan las matrices matrices cuadradas, cuadradas, del mismo orden, orden, A  A,, B,C   Y   X  X    con   A   y   B  invertibles, T  tales que   (AXB ) + C   = I   I  (donde  (donde I es la matriz identidad). a) Use las op oper eracione acioness co con n matrice matricess y sus pr propie opiedades dades para para despejar  despejar   X  X  e  en n t´eermi r mino nos  s  de las matrices  I   I ,A, ,A, B   y   C  C  (no  (no use sistemas de ecuaciones). R/   X   = A −1 I  C T  B −1 .

  − −  ·

b) Se Seg´  g´  un lo que obtuvo en   a), determine   X  X    si 

A =

1   −2 1

  −3

  B =

2 3 1 2

  C   =

1 2 3 4

R/   X   =

36. Sean  Sean   A =



2 0

 −

1 0 1 0   y   B   =



1

11   −18 4

  −6

.

0

−2 1. −1

2

 − I  )− .

a) Determine Determine la siguiente siguiente matriz   (AB

2

1

1 2 1 2

1 4 3 4

 . R/   (AB − I  ) =   b) Utilic Utilicee solamente solamente algebra ´  de matrices para encontrar una matriz  X   X  tal   tal que  A X  B −   2

−1



 −  − T 

I 2  =  X T .

R/   X   =

1 0 2  37. Dada Dada la matriz  matriz   A = 0   −1   −2  determine el rango de   A.  2   −2 0  12

 1 2 1 4

1 2 3 4

−  −

T 

.

R/   Rng Rng((A) = 2.

 

38. Se Sea  a   A  una matriz de orden   m   y   B  una matriz de orden   orden   m

× n.

a) ¿De qu´ e orden deben ser las matrices   X  X    y   D, de modo que la igualdad, X AT 

−B

T 

=  X DT 

  ∈∈

 ∈ M 

R/   X     M n×m (IR) (IR);;   D

tenga sentido?

(IR).. m (IR)

−

b) Para Para que la igualdad dada en  a)  a )  tenga sentido y  (A  ( A D)T  sea invertible, utilice las  operaciones con matrices y sus propiedades para despejar   X  X  e  en n t´eerminos rmi nos de  de    A, B y   D. −1 R/   X   = B T  (A D)T  .

· −

c) Determine expl´ expl´ıcitamente ıcitamente la matriz   X  X    si  A =

   2 3 −1

0

  B =

2 3 4 0

  D  =



2   −1 2

1

R/   X   =

1   k k 39. Consid Consider eree la matriz  matriz   C  C    = 0 1 0 . Det Determ ermine ine la matriz  matriz   C  1   −k   0

−1

3 2 1 3

1 2

−  −

  0

.

en t´erminos erminos del 

par´  ametro  ametro   k.

R/   C −1

0   k = 0 1 1

k

Demuestre que que la matriz 

  1 0

  −2   −

1

k

 .

0 0 1 A  = 0   −1 0 , 1

0

0

es invers inversa a de s´ı misma. 40. Prob Probar ar que   que   A AT A

−1

+ B B T B

−1

B T  =   I , para dos matrices   matrices   A   y   B   cuadradas de 

orden   n.

    0 0 0 1 41. Se Sea  a   A = 1 2 2 3. 0 1

  −1

2

a) Calcular Calcular una matriz   B  escalonada y una matriz   C  escrita C  escrita como producto de matrices elementales   3 3, tales que   B  =  C A. 1 2 2 3 R/   B   = 0 1 1 2 0 1 1 2

×

 

C   =

 −   −

0 1 0 0

1 13

0

   0 1 .  0

 

b) Lo mismo que en   a), pero  pero   B  es escalonada reducida.

1 B   = 0

 

0 4 0 1 1 0 0 0 0 1 C   =  E (F 3  + F 1 )E ( 2F 3  + F 2 )E ( 2F 2  + F 1 )E (F 2 , F 3 )E (F 1 , F 2 ).

−

1   42. Dada la matriz   P   P   = 0

−

1 1 on que   P n = 1 1 . Demostrar por inducci´  0 0 1

01   n1   S n  n



donde:

 −

0 0

1

n

 k = 1 + 2 + ... + n. S    = n

k=1

43. Dada la siguiente siguiente matriz: matriz:

4 A  = 2 6

0 3 3

 .

1 6 4

 −  −

a) Determinar Determinar el rango rango de la matriz   A. R/   Rng Rng((A) = 2. b) Sin hacer c´  alculos adicionales, diga si la matriz   A  es invertible. Justifique su respuesta. R/ La matriz no es invertible pues   Rng Rng((A)