Practica General Primer Parcial

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO PREFACULTATIVO I/2015

MATERIA:

Aux : Materia :

MATEMATICA

DOC:

Ing.

AUX:

Univ. CONDORI MAQUERA EDGAR VICTOR

“GRUPO:1” GUIA DE EJERCICIOS PRIMER PARCIAL I. LEYES DE LOS EXPONENTES x

3 =2 1. (8 puntos) “II – 2007”. Si a) 29/5 e) ninguno

3 x  3  2 y 1 2y2

y

entonces el valor de b) 29/4

c) -29/4

es: d)

18/2

2. (20 puntos) “II – 2007”. Simplifique la siguiente expresión.

E= R.

2 1 ( x +x−2) 2 x−4

{[( ) ( ) ] x

2

2 8x

x

16 8x

}

−1

E=2

3. (5 puntos) “I – 2009”. La suma de los exponentes de

E=

√√ √ √ √√ a b

xa b yb

después de simplificar es: c b a) b) c) 1 d) 0 4. (10 puntos).“I–2008” Aplicando conceptos básicos la expresión

3 x  3 x 1  3 x  2  3 x  3  3 x  4 121 Se simplifica en: a)

3 x 4

b)

3 x 2

c)

3



d)

 2   32

 5. (5 puntos). “I–2008” La expresión:

3 x4



2



20

es igual a:

c

yb zc

c a

zc xa

e)

a

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” a)

212

b)

Aux : Materia :

218

281

c)

d)

A 3

20

e) 2

6. (20 puntos) “II–2008” Si

, evaluar la expresión:



A2 A



1/ 3



X

7. (20 puntos) “II–2008” Si

2

X

2

, evaluar la expresión:

X

X 1 2 X  2 X

X 1

.

64

8. (20 puntos) “II–2011” simplificar la siguiente ecuación si se sabe que

ab =ba

a −b

−a −a (¿¿−b) ( b ) 2ab A= √ ¿

−b−a

−a

A=b

R.

9. (20 puntos) “II–2012” Simplificar la siguiente exprecion

E=

{√ [(

2 3

1+ a −x

)

x

−1 3

−6

]} 2

1 2 2 3

−

2 1 ( a2−x 2 ) + 4 a2 x 2 2 a

√

R . E=−1 10.

(20 puntos) “II–2012” Simplificar 3

E= 11.

( x+1)(1+ x−√ x 2) 3

3

1+ √ x+ √ x 5

(20 puntos) “II–2013” Simplificar la siguiente expresión algebraica

E=

R.

.

381

R.

R.

 

 A A

A

3 A1

[

1 2

(

1 2

2−a ( a ) + a +1 1 2

2

1 2

1 2

)

1 2

1 −1 2

( a + 1) −(a−a x )(a −x )

E=

1 27

]

−3

3

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” 12.

Aux : Materia :

(20 puntos) “I–2014” Calcular el valor de:

E= [ √ a √b √c ][ √ b √ c √ a ][ √c √ a √ b ] Si

abc=x 8

R. 13.

x7 (20 Puntos ) “II–2014” Simplificar:

{√

E= 1+ [ ( a2 /3−x 2 /3 ) R.

1 /2

2

x−1 /3 ]

−6

}

−

2 1 ( a2 −x2 ) + 4 a2 x 2 2 a

√

E=−1

II. GRADO DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA, POLINOMIOS  

1. (5 puntos) “II – 2007”. ¿Cuál es el grado absoluto de: R. Uno

2 



x 2 y 2  x 4 y 3  

x 2 y 8 z  3 z 11  y 4 z 3  2

2. (5 puntos) “II – 2007”. El polinomio i) Homogéneo ii) completo iii) heterogéneo

?

es 3

x2m 4 xm

3. (8 puntos) “II – 2007”. El valor de “m” en la expresión de

que tiene

sexto grado es: a) 6

b) 9

c) 8

4. (8 puntos) “II – 2007”. El valor de homogéneo a) 10.5 ninguno

d)

(a+ b+c)

5 x a  3  2ax b  a  ( xy) c  x 2 y b  2 b) 11

e) ninguno

en el siguiente polinomio

es: c) 12

d) 14





5. (10 puntos) “PI – 2008” Si R. 34

1  x  6 x 

12

2  x 

, calcular el valor de:



e)

1   x2 

.

6. (10 puntos) “PI – 2008” Si se divide un monomio de tres variables con grado absoluto de seis y máximo grado relativo de tres, entre otro monomio con las mismas variables y grado absoluto de tres, ¿cuál es el grado absoluto del resultado?

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” a) 0 b) 1 c) 2

Aux : Materia : d) 3

e) 4 3

7.

4

x 2m x m

(10 puntos). “I – 2009” Cual es el valor de “m” del monomio de sexto grado: a) 0

b) 8

c) 9

d)

, que es

7

8. (10 puntos). “PI – 2008” Si P(x) = 6xm-1yn+6 – 7xm-2y n+5 + 2xm-3 y n+4 es un polinomio cuyo grado absoluto es 17 y su grado relativo respecto a x es 6. El producto mn es: R. 9. (10 puntos). “PI – 2008” Si el polinomio P(x,y) = mxm+8 + mnxmyn – n yn+16 es homogéneo entonces la suma m+n es: R. 10. (10 puntos). “iI – 2008” Sabiendo que el grado de:

P( x) 

x  a 2 b 2

2  a .b  1

x4 Es 16 calcular el grado respecto a “y” en:

M ( x, y )  a b x 3 y a b 12 R. es 2

P( x, y )  3 x m  2 y n 1 ( x 7  y 2 n 3 )

11. (10 puntos). “iI – 2009” Si el polinomio homogéneo, de grado absoluto 16, entonces (m-n) es: a) 12.

2

b)

(10

P  x, y   x y 3

6

puntos). n 2

 5x y n

a) 6 y 5 f) Ninguno 13.

c)

-2

“II

m 1

 xy

–

d)

4

2009”

En

e) el

5

es

f)ninguno

polinomio

homogéneo

m 3

b) 4 y 3

los valores de “m” y “n” respectivamente son: c) 2 y 1

d) 3 y 4

e) 6 y 4

(10 puntos). “II – 2009” Indicar el grado absoluto del monomio:

P x, y , z    

a) 24 14.

b)

22

x y x  02

20

22



16

c)

32

d)

(10 puntos). “II – 2009” Si

A

 2  P 2 P  2

21

e)

20

f)

P x   x 3  2 x 2  3 x  4

ninguno , Encontrar A de:

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” a) 2 b) - 14/5 f) ninguno 15.

Aux : Materia : c) 7/8

d) - 2

e) 3/4

(10 puntos). “II – 2009” Indicar el grado absoluto del monomio:

P x, y , z    

a) 24

22

x y x  02

20

22



b)

16

c)

32

d)

21

e)

20

f)

ninguno

16. (20 puntos) “II–2010 Hallar el valor de m para que la siguiente expresión sea de primer grado

P=

√ 3

4

xm −1 √ xm √6 x 5 m−4

R .m=8 17.

(20 puntos) “II–2012” Si x

F ( x −2 )=

x

xx

1+ 4 x

xx

1+ 2x

F( 0)

Hallar R.

√

x

F ( 0) =

1 64

18. (20 puntos) “I–2014” Hallar el valor de a, si el grado del producto de los tres polinomios: a

2

a

P ( x )=( x a + 7 x a +8 ) a

a

a

a

a

Q ( x )=( 6 x + 2 x −5 x ) aa

R ( x ) =8 x+ 9 R. 19.

aa

a

a

:es 289

a=2 (20 2 6

Puntos

( m+n ) √ z

m −n

4

−mn √ z

m+ n

)

“II–2014”

Si

la

siguiente

+(n−m) z

se puede reducir como un monomio, hallar dicho monomio. R. III.

5z

FRACCIONES ALGEBRAICAS “SIMPLIFICACIONES” 1. (20 puntos). “Propuesto”

Si x+ y=10 ; xy=24

x2 y2 calular: y + x

expresión

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

35 3

R.

2. (20 puntos). “PI – 2008” Se pide simplificar la expresión:



4 ab  ab 1  4 ab   ab   4    4 1  ab ab   1  a 3b3

4

 E= R. 2 3. (20



puntos)

 A

“I

–

 

2009”.



 n  3 xn2  x  3 nx 2  1 3



A

1 x4



3

x 3 n

n  23 x



3



  

1 

4



ab  ab ab

Simplificar

la

 siguiente

expresión:

6

1  

x 

6

R. 4. (20 puntos) “I – 2009”. El valor simplificado de la expresión fraccionaria será:



y x 

x y

E

x y xy

E



2

x  y 



y x 

x y

 

x  y 

x  y 





y  x 

R. 5. (10 puntos) “II – 2009”. La simplificacion de:

x3 ( x− y ) (x−z)

+

y3 ( y −z ) ( y−x)

+

z3 ( z−x ) ( z− y)

es a) x2 + y2 + z2

b) x +y + z

c) xyz

d)x-y-z

e) 3x +2y + z

f)

Ninguno

1 1 10  2  , entonces ( x  y ) 2 2 9 x y

xy  3; 6. (10 puntos) “II – 2009”. Si a) 1 7. (10

b)

2

puntos)

c) “II

es:

4

d) –

16

2009”.

 x 2 3x  x 2   1  x3 ax  2a 2 x 2  x  2ax  2a 

 

 es:

e)

8

f)

Simplificación

ninguno la

expresión:

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” a) 2 b) 2a c) 8. (10 4

puntos)

a 



E 

4

y

1/a

d)

–

1/2a e) 2009”.

a *4 b  2

4

el

a/2

f)a

Simplificar

valor

sabiendo

de

la



es:

]

1 3 √ a+ √ b ÷ a √ b+b √a + 4 a 2−b2 − 2 2 2 2 4a √ a+ √ b a √ b−ab √ a b +3 ab+2 a 2 a + ab−b2

R.

expresión

b a 

a) 15 b) 16 c) 8 d)9 e) 10 9. (20 puntos) “II–2010 Simplificar al máximo la siguiente expresión

[

que:

4



a b 



Materia :

“II

b 4

3

Aux :

(

f) Ninguno

)

a2 −1 a

10. (20 puntos) “II–2011” Simplificar

√

3

√

(1+ a) √ 1+ a 3 √3 A= 3a 9+18 a−1 +9 a−2 6

R.

a A= √ 3

11. (20 puntos) “II–2012” Simplificar −1

R ,C=

a

( 2 a+1 )

(

−5 3

3a

( ) (−a ) − a

C=

−1 3

{ [ ] } −2 3 3

1 1 − 10 2 a a

3 5

+

2 a3

−1 5

)

1 a

12. (20 puntos) “I–2013” Si se sabe que 3

a b c = = x y z 3

x3 + a3 y 3 +b3 z 3 +c 3 ( x+ y+ z ) + ( a+ b+c ) M= 2 2 + 2 2 + 2 2 − x + a y +c z + c ( x+ y+ z )2 + ( a+ b+c )2 13. (20 puntos) “II–2013” Simplificar

calcular el valor de M dado por:

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

E=

Materia :

1 1 1 + + a ( a−b )( a−c ) b ( b−a )( b−c ) c ( c−a )( c −b )

E=

R.

Aux :

1 abc

14. (20 puntos) “II–2013” Simplificar la siguiente expresión algebraica

E=

[

1 2

2

1 2

1 2

1 2

)

1 −1 2

1 2

]

−3

3

2−a ( a ) + a +1

( a + 1) −(a−a x )(a −x )

E=

R.

(

1 2

1 27

15. (20 puntos) “I–2014” Simplificar al máximo la siguiente expresión:

[[

R.

]

−3

1 −a a

3

√ ][ √ ]

3 1 3 1 √a+ 3 +1 √ a+ 3 −1

a

+√a

a

a

16. (10 puntos) “P” Demostrar la siguiente identidad

√ a−

a−a−2

+ −1

1−a−2 1 2

√ a−a 2 a +a

−1 2

+

2 a

3 2

=0

17. (10 puntos) “P” Simplificar:

resp . E=

IV.

E=

(

√ a+ √ x − √ a+ x √ a+ x √ a+ √ x

−2

) ( −

√a−√ x − √ a+ x √a+ x √ a−√ x

−2

)

a+ x √ ax

DIVISION ALGEBRAICA “RUFINI HORNER, TEOREMA DEL RESTO” 1. (5 puntos) “II – 2007”. ¿Cuál es el residuo de dividir R. Cero 2. (8 puntos) “II – 2007”. El valor de m+n para que

x x2

x 4  16

entre

x2

x 4  3 x 3  5 x 2  mx  n

?

sea divisible

2

por

a) -27

es: b) 27

c) 20

d) -19

e) ninguno

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

3. (20 puntos) “II – 2007”. Calcular “m” si el resto de la división de: entre, x−3 R.

es el triple del resto de dividir

x 3−( m−5 ) x 2+7

x 3−m x 2 +7 x−3 x−5 .

entre

m=11

4. (20 puntos) “Propuesto”. Calcular el residuo en:

x 41  x  2   x  1 x2  2x  1 41

R.

16

R=257

5. (5 puntos) “Propuesto”. Sean P(x) y Q(x), al dividir: Q(x) entre P(x), el resultado se puede expresar de modo general:

a)

Q x   R x  P x 

C x  b)

R x  P x 

C x  c)

R x  P x 

d)

C  x   R x  P x 

e)

Q x   R x  P x 

6. (20 puntos) “PI - 2008”. Si (x2 - 4) (x + 1) son factores del polinomio P (x) = x4 – 9x3 + mx2 + nx + p con m, n, y p enteros, determinar el valor de E=m+n+p R. -26

p

7. (10 puntos) “I - 2009”. Calcular el valor de sea exacto:

 4x

4

 3 px 2  2 x  1  p  

para que el residuo de la división,

 2 x  1

R. -1

8. (10 puntos) “I - 2009”. Hallar “m*n” si la siguiente división: tiene por residuo R.

x 5  mx 3  nx 2  x  2 x2  3

R( x)  2 x  7

mn=6

9. (10 puntos) “I - 2009”. Encontrar los valores de

P( x)  x  2 x  3x  4 x  mx  nx 6

m  34

5

4

3

m

y

n

2

sea divisible entre

para que

Q( x)  ( x  2)( x  1)

n  36 R. 10. (10 puntos) “I – 2009” 10 puntos) Si la siguiente ecuación tiene como factores (x-1) y (x+2). Hallar los valores de m, n y la tercera solución

x 3  mx2  5 x  2n  0

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” R.

m2  n3

Aux : Materia :

La tercera solución es:

x3

11. (10 puntos) “II – 2009” Al dividir un polinomio P(x) entre (x-3) , se obtiene un residuo de 5 y un cociente cuya suma de coeficientes es 3 . Hallar el residuo de dividir P(x) entre (x-1) a)

3

12.

b) 5

c) -1

d) 9

(10 puntos) “P” Hallar el valor de

x 5−m x 3+ n x2− x−2 x 2−3 Resp. 13.

tiene por residuo

m∙ n

e) 8

f) Ninguno

si la siguiente división

R(x)=2 x+ 7

m=2 y n=3 n ∙ m=6

(10 puntos) “P” Calcular

como resto:

a+b+c sila division

8 x 5 +4 x3 + a x 2 +bx +c 2 x 3 +3 x 2+3

deja

2

5 x +11 x +7

Resp. 83 14.

(10 puntos) “P” Calcular

ab

si la división

20 x 4 +7 x 3 +4 a x2 −10 x +b 2 4 x +3 x−a

deja

3 x−1

como resto Resp. 14 15.

P( x )=x 3−b x 2−( 4 b+3 ) x +c

(10 puntos) “P” Si

( x+ 3 )( x−4 ) hallar b,c, Resp. 16.

es divisible entre

P (1 ) .

b=2; c=12: P ( 1 )=0 (20 puntos) “P” Hallar m si la división es exacta:

6

5

4

3

2 x +2 √2 x −3 x −3 √ 2 x +6 x +m √ 2 x +√ 2 Resp.

m=6

√ 3 x 4− √ 8 x 3− √( √ 12−1 ) x2 −√ 6 x +m x−√ 6 2

17.

(20 puntos) “P” Al dividir:

como resto Resp

m=2

R=3 m−4

calcular

m.

se obtuvo

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” 18.

Aux : Materia :

(20 puntos) “P” Al dividir:

a x 5 +b x 4 + ( c−a ) x 3+ ( a−b ) x 2 + ( b−a ) x+ a x−1

el resto

que se obtiene es 13. Hallar la suma de los coeficientes del cociente

suma=39

Res. 19.

(20 puntos) “P” Calcular el valor de

x 6 + 4 x 5+2 x 3 + A x2 + B x 3+ 1 Resp,

es

( A+ B) si el residuo de dividir

x 2+1

A + B=4 o 7

V. COCIENTES NOTABLES

x3  y 6 x  y2

1. (5 puntos) “II – 2007”. ¿El cociente es cociente notable? R. No 2. (5 puntos) “II – 2007”. El número de términos en el desarrollo del cociente notable:

a p  bq am  bn

; con

p  km

q  kn

es:

q i) p

ii)

iii) kq

iv) k

3. (5 puntos) “PI – 2008”. Para que la expresión: debe cumplirse que:

2 p q 5

a) e) ninguno

b)

p 2

sea impar

x p  yq x2  y5

c) p y q sean enteros

sea un cociente notable,

d) todos los anteriores

4. (10 puntos) “II – 2008” Hallar el número de términos del siguiente cociente notable:

x m  y 18 x2  ym R. 3

UMSA Aux : Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería Materia : MATEMATICA “MAT – 99” 5. (10 puntos) “II – 2008” Siendo “A” el decimosexto término del cociente notable de:

a 100  1 a5 1

A11  b 44 A  b4

, proporcione el término central de

t6  a b

100 20

R.

6. (20 puntos) “II–2010 En el cociente notable

y m−z 30 y 2−z n , si el cuarto termino es de

grado relativo respecto a “z” igual a 9. Hallar la relación entre los términos centrales.

R.

y2 3 z

7. (20 puntos) “II–2011” dado el cociente notable

x 21− y 21 x n− y m Determinar los valores de m y n sabiendo que el cuarto término es a la vez el término central

m=n=3

R.

8. (20 puntos) “II–2012” En el siguiente cociente notable se sabe que el segundo termino es: n

x 210 y 15 calcular el valor de

pn

n

x 3 −3− y 3 2

2

x 2 p −1− y 2 p −1 R .np=± 10 √ 2 9. (20 puntos) “II–2012” En el siguiente cociente notable: n

n

x2 − y2 x 3 −1− y 3 −1 m

m

Tiene como segundo termino R. 4

x 16 y 8 . Hallar el numero de términos

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” 10. (20 puntos) “II–2012” Si

C=

x 5 n+3 − y 10 n+13 x n−1 − y 2 n−1

hallar

Aux : Materia :

( x a−b y ab )

es el quinto termino del cociente notable

a+b

a+b=± 12

R.

11. (20 puntos) “I–2013” Uno de los términos del siguiente cociente notable es:

x m − y 12 14 4 es x y 2 n x −y

¿Cuántos términos tendrá su desarrollo?

12. (20 puntos) “I–2014” Hallar m y n para que el tercer termino se

a14 b16

en el

siguiente cociente notable

a

5(n−1)

2(3 m−1)

−b m n a −b

m=7 y n=8

R.

13. (20 Puntos ) “II–2014” hallar m y n sabiendo que el cuarto termino del desarrollo de

x

4 n+3

2 (3 m −1 )

−y m n x −y

7

es igual a x y

24

m=7 y n=8

R.

14. (20 Puntos ) “P” Cuantos términos admite el desarrollo del cociente notable:

x 25 n−2−a 25n +22 x n +an +1 a) 30

b) 28

c) 32

d) 24

e) 20

15. (20 Puntos ) “P” Hallar el número de términos si “n” es positivo 29−7n

( an )

−1

27

2

n −1

−( b29−7 n )

n

n 2 −1

−1

√ a27 −81√ b9

a) 68 b) 74 c) 32 d) 72 e) 48 16. (20 Puntos ) “P” Hallar q y p para que el segundo término del primer cociente notable elevado al cuadrado, sea igual al termino central del segundo:

x 5− y 5 x p− y 6 C. N.1 ;C . N . 2 q 2 x− y x −y a)

q=3 y p=21

b)

q=4 y p=14

c)

q=6 y p=18

UMSA Aux : Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería Materia : MATEMATICA “MAT – 99” 17. (20 Puntos ) “P” Calcular el número de términos del cociente notable si se cumple

t 10 ∙t 50 ∙ t 100=x 236

que:

C.N. a) 132

b)198

c) 134 a

28

16

x y ;x y

18. (20 Puntos ) “P” Si:

x n−1 x−1

d) 164

2(a−6)

e) 210

son términos equidistantes del cociente

m+ n+a

notables hallar

m

C. N. a) 215

b) 235

n

x −y 4 7 x −y

c) 185

d) 305

e) 245

19. (20 Puntos ) “P” cual es lugar que ocupa un término en el siguiente Cociente notable

x 350 − y 140 5 2 x −y Contando a partir del primer término sabiendo que la diferencia del grado absoluto (GA) de este con el (GA) del término que ocupa la misma posición contando a partir del extremo final es 9 a)

t 36

b)

t 34

c)

t 40

d)

t 32

e)

t 28

20. (20 Puntos ) “P” Hallar el primer término del cociente notable:

( m+n+ p )4−( m+n− p )4 p Resp

3

t 1 =2 ( m+n+ p )

21. (20 Puntos ) “P” Determinar el término de lugar 21 del siguiente cociente notable 2

2 w−w 20 1− √ w−1 resp . t 21=w−1 22. (20 Puntos ) “P” Determinar el termino central del cociente notable

( a+ b )14 +b14 a2 +2b 2+ 2ba 6

6

resp t C =−( a+b ) b

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

23. (20 Puntos ) “P” Si el siguiente cociente es notable:

x

6 n +3

+a

6 n−22

n−6 n−8 ( ( ) 2 ) x +a 2

Hallar: a) El valor de “n” b) El número de términos c) El termino 19 Resp. n=12

; N=25

t 19=x 18 y 36

;

24. (20 Puntos ) “P” Siendo “m” un numero natural en el cociente notable 2

2

a2 m −3+ b2 m +22 am−3 +b m−2 Hallar: d) El valor de “m” a) El número de términos del cociente notable b) El o los términos centrales c) El o el termino que equidiste de Resp m=8

n=25

t c =a60 b72

a110 b 12 t eq=a10 b 132

25. (20 Puntos ) “P” Si el siguiente cociente es notable

x 2 n+7 − y 3 n−12 x

(

n−1 ) 3

−y

n 5

Hallar: a) El número de términos del cociente notable b) El o los términos centrales c) Desarrollar los 4 primeros términos Resp. a) 9 : b)

t c =x12 y 8

26. (20 Puntos ) “P” Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3 y si además el

t 40 de su desarrollo tiene GA=87 Hallar el número de

términos del cociente notable

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

x np−a p n x −a Resp.

p=52

27. (20 Puntos ) “P” Dado el cociente notable

a x −b y √3 a−√ b3 Determinar los valores de x,y y para que el GA del tercer término del desarrollo tenga 2 unidades menos que el grado relativo a “b” del quinto termino: Resp. x=2 ; y=9 28. (20 Puntos ) “P” Simplificar

1 x x2 x3 xn x n+1 E= + 2 + 3 + 4 + …+ n+1 + n+1 a a a a a a (a−x) resp . E=

1 a−x

29. (20 Puntos ) “P” Simplificar

E=

x 78+ x 76 + x 74+ …+ x 4 + x 2 +1 x 38+ x 36 + x 34+ …+ x 4 + x 2 +1

resp . E=x 40 +1

VI.

BINOMIO DE NEWTON

 5    3

1. (5 puntos) “II – 2007”. El valor numérico de es: i) 42 ii) 7 iii) 10 2. (5 puntos) “II – 2007”. El coeficiente del quinto término del desarrollo de: ( a−b ) es: i) 1

ii) 8

iii) 70

iv) ninguno

3. (10 puntos) “II – 2008” Hallar el término central del desarrollo del binomio



1  x  x  R.

t c =6

4

8

,

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

p

4. (10 puntos) “I – 2008” Indicar el valor de

x

5

R.

 yp



30

si el ter min o 16 , contiene a x 75 y 60 .

p=4

5. (10 puntos) “I – 2009”



x  

1   3x 2 

en

Hallar el término independiente de x en el desarrollo de:

10

R. El término independiente es igual a 5 6. (10 puntos) “I – 2009” Hallar el término independiente del desarrollo de:

( x n  x 299n ) 300 R.

t 2 =300

7. (10 puntos) “I – 2009” Del siguiente Binomio, hallar el coeficiente del término independiente  a 2 4b 2  6    2b 3  a 4    R.

∄

8. El grado relativo de x en el término que ocupa el 23avo lugar del desarrollo de:

x

3

 y

37

es: a) 3 b) 42 c) 14 d) 45 e) 15 f) ninguno VII. FACTORIZACION 1. (20 puntos) “II – 2007”. Simplificar aplicando los métodos de factorización:

F R.



(1  a ) 1  ax 2  a  x 2 (1  ax) 2  ( x  a) 2



F=1 F   x  1  3x  x  2   17 4

2. (20 puntos) “Propuesto”. Factorizar R.

F=( x 2−8 ) ( x2 −x+2)

3. (20 puntos) “PI – 2008” Factorizar: R.

2

6

5

4

3

2

x + 7 x +10 x −x +10 x +7 x +1

( x+ 1)(x 2 + x+ 1)( x 2 +5 x+1)( x 2+3 x +1)

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” 4. (10 puntos) “II – 2008” Factorizar la siguiente expresión

Aux : Materia :

E  6 x 4  35 x 3  62 x 2  35 x  6 R.

E  (3 x  1)( x  3)( 2 x  1)( x  2)

5. (10 puntos) “II – 2008” Factorizar la siguiente expresión:

2 x 2  2 y 2  3 xy  4 x  7 y  6

 2 x  y  2 x  2 y  3

R. 6. (10 puntos) “II – 2009” El resultado de Factorizar la siguiente espresión es: x5 - 6x4y - 17 x3 y2 + 17 x2 y3 + 6x y4 – y5 (x-y)(x2+y2 - 8xy )(x2+y2 +3xy ) (x2+y2 - 3xy )(x2+y2 +4xy )

b)(x+y)(x2+y2 - 8xy )(x2+y2 + 8xy )

d)(x-y)(x2+y2 - xy )(x2+y2 +2xy ) f)Ninguno

x-y)(x2+y2 - 8xy )(x2+y2 +2xy )

e) (

7. (10 puntos) “II – 2009” Factorizar

P( x)  x 3  4 x 2  x  6

a)(x+1)(x+2)+x3 b)(x+4)(x+1)(x-6) c) (x-1)(x+2)(x+3) 2) e) no es factorizable f) ninguno

d)(x+1)(x+3)(x-

(10 puntos)“ P ” E=x5 + x 4 +1

8.

9. (10 puntos)“P ” E=1+ x ( x +1 ) ( x +2 ) ( x+3 ) 5

4

10. (10 puntos) “P” E=x + x y + y 4

5

3

2

11. (10 puntos) “P” E=12 z −56 z +89 z −56 z +12 12.

(20 puntos )“ P ” Factorizar y simplificar

E=

3 x 4−4 x 2 y 2 + 4 x 2 y +2 x3 y−3 x 2 + y 4 −4 y 3 −2 x y 3+ 3 y 2 2 2 3 x +2 xy +3 x +3 y− y

resp . E=( x− y)( x + y −1) VIII.

RACIONALIZACION

x 3

1. (5 puntos) “II – 2007” ¿Qué factor usaría para racionalizar

3 R.

 x2  3y 2

c) (x-y)

x 2  3y ?

UMSA Aux : Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería Materia : MATEMATICA “MAT – 99” 2. (20 puntos) “II – 2007” Racionalizar transformando el radical doble a radical simple la expresión:

E=

√ 2 x +1+2 √ x +x−12 2

x4  x3

E=¿

R.

7

3. (10 puntos) “II – 2008” Si se sabe que la siguiente expresión es un factor racionalizante: 5

4

2y  5 2y

3

5

x  3  5 2y

2

5

2

3

x  3  5 2y5 x  3  5 x  3

4

, cuál es la expresión a racionalizar?. 5

2y  5 x  3

R. 4. (20 puntos) “I – 2009” Racionalizar y simplificar al máximo la siguiente expresión:



1

  1  x2 1  x

 

x  x2 1 

R

x x2 1 

x3

x 2 1 x  x 2 1

x 2 1  x

5. (20 puntos) “I – 2009” Racionalizar y simplificar al máximo la siguiente expresión



  x  4 xy    x3  y3 x  y  2 xy   x y

E    

1

y   





2





 x 2  xy  y 2   

R. 2 6. (20 puntos) “II–2012” Racionalizar y simplificar la siguiente exprecion algebraica

[

3

2−b √ b+ ( √ b+ 1 ) 2 b− by ( √ b+1 ) − √ √ b−√ y

][ √

2 √ 4− y 2+ 8−2 y 2 2 2 y − +1 2 y 2 √ 4− y 1− 4

R. 1 7. (20 puntos) “II–2012” Simplificar 3

( x−1) √ x 2 3

3

√ x + √ x2 +1

]

−1

(

2 √ 4− y 2 3

)

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

3

x−√ x2

R.

8. (20 puntos) “II–2013” Racionalizar y simplificar

[

M = 1−

2 √ a−1 1+ √ a+1 }

[] √ √ √ ]

2 a−1+a +1 a−2 a−1

9. (20 puntos) “II–2013” Racionalizar y simplificar la siguiente expresión.

E=

√3 y ( y−1 ) [ y+ 1 ]−1 − 1 √ √ y−√3 y √3 √ y +1

[

R . E= y

−1

]

1 3

10. (10 puntos) “P” Racionalizar y simplificar:

E=

[

1 1

x 2 −4 x

2

]

2∙ √3 x + −√ x 2−8 x+16 −1 3 3 x ∙ √ x−4 ∙ √ x 2

resp . E=−4 ( √ x−2)

11. (10 puntos) “P” Racionalizar y simplificar:

√a+ √ b a 2 b √a E= a+ √ ab

( (

2 ab

−1

−1

√ a+ √b +b 2 a √b −1 −1 b+ √ ab +

) ( ) ) ( 2 ab )

resp . E=√ ab IX.

ECUACIOINES Y ECUACION DE SEGUNDO GRADO 1. (15 p) “PI – 2008” Si  y  son las raíces de la ecuación x2 + bx +c = 0,

encontrar los valores de: R.

    2

b−4 ac

Ax 2  Bx  C  0

2. (20 puntos) “PI – 2008” Dada la ecuación: , construir otra ecuación cuadrática en función de A, B y C, de manera que sus raíces, sean las recíprocas de la ecuación original R.

C x 2+ Bx +C=0

3. (20 puntos) “II – 2008”resolver la ecuación:

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

 6 x  5x  x7  5



3

 1  x 2  

Aux : Materia :

3x  2 x 2

x

1 x

3

2



x2 

1 x2

 



1 1 x2  

3   x 

x  





x 1=±

√

5 3

√



1

; x 2=± 2

4. (20 puntos) “II – 2008” Obtener de las dos siguientes ecuaciones las raíces recíprocas y formar una nueva ecuación

1)

x 3  6 x 2  5 x  12  0

2)

20 x 2  9 x  1  0

2

R . 4 y −17 y + 4=0 5. (20 puntos) “II – 2008” Dada la ecuación: 2

n

a

3n

n

a 4 n  a 3n 2

a 2n  a n an 1

2

2

x 2  ax 

1 0 4

Construir otra ecuación cuyas raíces sean el doble y el triple de las raíces de la ecuación dada. R.

2a 2 x 2  5ax  3  0

6. (10 puntos) “II – 2009” Para que una de las raíces de la ecuación px 2 – qx + r = 0 sea el cuadrúple de la otra, la relación entre los coeficientes es: a) q2 = 25rp b) 4q2 = 5rp c) 2q2 = 25rp d) 4q2 = 25rp e) 2q2 = 5rp

f) Ninguno

x  x   0 2

7. (10 puntos) “II – 2009” Si

 m

raíces, determinar el valor de a) 6 b) faltan datos c) -1

y

3x 2   x  m  0

d) -3 e) 0

tienen las mismas

f) ninguno

8. (10 puntos) “II – 2009” Para qué valor de “m” distinto de cero, la ecuación

x 2  2(m 2  4m) x  m 4  0 a)

1/4

b)

0

tiene dos raíces iguales c) 1/2 d) 4

e)

-2

f)

2

UMSA Aux : Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería Materia : MATEMATICA “MAT – 99” 9. (10 puntos) “II – 2009” Hallar una ecuación cuyas raíces sean recíprocas de las que se obtienen con:

1  x  2x 2

a)

2x 2  x  1  0  x2  x  2  0

b)

f) ninguna 10. (20 puntos) “II–2010 Si

x1 y

c)

x2  x  2  0

d)

x2  x  2  0

e)

x 2 son las raíces de la ecuación

x2 1  0

x 2−6 x+ C=0

hallar el valor de

x 21+ x 22 +2 C S= 9 R. 11.

S=4 (20 puntos) “II–2011” si m y n son raíces de la ecuación

2

x −6 x+ c=0

calcular el valor de:

A= R.

m 3 +n3 +18 c 36

A=6

12. (20 puntos) “II–2012” Hallar los valores de “m” y “n”, si las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen las mismas raíces.

( 2 m+1 ) x 2−( 3 m−1 ) x +2=0 ( n+2 ) x 2−( 2 n+1 ) x+ 1=0 R. 13.

m=

−1 ; n=−2 2

(20 puntos) “II–2012” Si una de las raíces de la ecuaciones

es el cuadrado de la otra, demuestrese que

p3−q (3 p−1 )+ q2=0

X. SISTEMA DE ECUACIONES 1. (20 puntos) “Propuesto”. Resolver el sistema de ecuaciones:

2

x + px +q=0

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

{

Aux : Materia :

1 1 1 + − =6 …(1) x y z 1 1 1 − + =4 … (2) x y z 1 1 1 + = …(3) y z x 1 1 1 x= ; y= ; z= 5 3 2

R.

2. (20 puntos) “PI- 2008”. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

{

x+ y+ z =6 …(1) x + y 2 + z 2=14 …(2) xy=2… (3)

R.

2

x 1=2, x 2=1, y 1=1, y 2=2 , z=3

3. (20 puntos) “PI- 2008”. Resolver:

{

√3 x 5 + y √3 x 2= 43y

3 √x

…(1)

y 2 −5 … (2) x

()

x+ y=

10

50

R. x 1=1; x 2= 3 ; y 1=3 ; y 2= 9

4. (20 puntos) “II- 2008”. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x 2  2 y 2  9...(1) xy  2...(2) R.

y=± 2 ; x =±1

5. (20 puntos) “II- 2008”. Resolver el sistema dado:

 3 x 2  xy  y 2  9 

 x 2  4 xy  y 2  3 R.

x=± 1 y y=± 2

6. (20 puntos) “I- 2009”. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:



 x 2  y 2  4  2 xy  x  y  8

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

Aux : Materia :

x 1=3 ; y 1=5 x2 =5; y 2 =3

R.

7. (20 puntos) “I- 2009”. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x 2+ xy + y 2 =91(1) x−+ y=7 (2)

x  9 y 1

x 1

y9

R. 8. (20 puntos) “I- 2009”. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:



x 2   ( x  y) x  3 y   ( x  y) y 

2 2

y R.

 x 2

y

3 4

9. (20 puntos) “I- 2009”. Resolver:

 y1  4   x1  3

 y 2  3   x2  4

{

1 =13 √ x− y x + y=36

 x

3 3 4

 x2  y2  25   x y  xy  12 

Solo hallar las soluciones enteras

R. 10. (20 puntos) “II–2011” resolver el siguiente sistema

√x+ y+

R. (x,y)=(20,16) 11. (20 puntos) “II–2012” Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

{

x 2−xy + y 2=3 2 x 2+ xy+ y 2=2 1 −1 x= √7 √7 4 −1 y=−1 y=1 y= x= √7 √7 x=1 x =−1 x=

R.

12. (20 puntos) “II–2012” Resovler

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99”

{

Aux : Materia :

2

3 x −2 xy=160 2 2 x −3 xy −2 y =8

13. (20 puntos) “II–2012” Resolver el siguiente sistema

{

1 ( x− y ) √ y= √ x 2 ( x + y ) √ x=3 √ y

R.

(√ 2 , √22 )

14. (20 puntos) “I–2013” Resolver:

{

x2 + y2 =8 x+ xy 2 x2 y2 1 + = x− y y −x 2 xy−1

15. (20 puntos) “II–2013” Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

{

2 x 2+ xy−6 y 2=−40 2 x 2−7 xy +6 y 2=20

R . x 1,2=± 2 ; y 1,2=± 3 16. (20 Puntos ) “II–2014” Resolver:

{ R.

XI.

y3 + z 3−9 yz=0 y + z−6=0

y=4 ∧ y =2 z =2 z=4

PROBLEMAS DE PLANTEO 1. (20 puntos) “II – 2007” Las edades de A y de B suman 55 años y hace 10 años atrás, la mitad de la edad de A y la quinta parte de la de B sumaban 10. ¿Cuáles son las edades actuales? R. 20 y 35 años 2. (20 puntos) “II – 2007”

En la fabricación de pólvora para romper rocas que

consiste de carbón y el salitre están en la razón 16:5 en la razón de 10:3 pólvora?

y el salitre con el azufre

¿Cuántos Kgs de cada uno de ellos están en 585 Kg de

UMSA Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería MATEMATICA “MAT – 99” R.

Aux : Materia :

carbon 416 kg , salitre 130 kg , azufre 39 kg

3. (20 puntos) “PI – 2008” Dentro de 8 años la edad de Pedro será la que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años; Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? R. 24 4. (20 puntos) “PI – 2008” ¿Cuántas naranjas tenía una casera para vender?, si al primer cliente le vende la mitad de lo que tenía más una naranja. Al segundo cliente le vende la mitad de lo que le queda luego de su primera venta más una naranja. Finalmente vende al último cliente la mitad de lo que le queda de sus anteriores ventas más tres naranjas. Quedándose de este modo sin naranjas. R. 30 5. (20 puntos) “PI – 2008” Pedro le dice a Carlos: Actualmente tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía tu edad, y cuando tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años. ¿Cuántos años tengo actualmente? R. 6. (20 puntos) “II – 2008” Un joyero debe entregar un collar en 15 días. Si se sabe que trabajando solo tardaría 25 días y su ayudante solo el doble de este tiempo. Como juntos no lograrían terminar la obra a tiempo, llaman a un amigo y entre los tres logran entregar el collar justo a tiempo. ¿ en qué tiempo realizaría la obra el amigo si trabajaría solo? R. 150 días. 7. (20 puntos) “II – 2008” Pedrito, desea comprarle a su mamá un regalo sorpresa para lo que rompe su alcancía y cuenta todas sus monedas que son en total 65. Observa que las monedas de cinco bolivianos son cinco, que las de 20 centavos son el doble de las de 10 y que las de cincuenta centavos son igual en número a la suma de las de 10 y 20. como no le alcanza el dinero, pide a su papá 5 bolivianos y corre a comprar el regalo deseado. ¿cuánto costaba el regalo? R. 50bs 8. (20 puntos) “II – 2008” Hallar un numero de dos dígitos donde la suma del número de las decenas más el número de las unidades es 10. Si se invierte el número (el de las decenas por el número de las unidades) el número resultante es igual a 3 veces el numero original menos dos unidades R. 28 9. (20 puntos) “I – 2009” Un mayorista compra bananas por un total de 180 Bs., sin embargo, se da cuenta que comprando de otro distribuidor, habría obtenido por el mismo precio 600 bananas más (de las que compró), ello equivaldría un ahorro de 1 centavo por cada banana. ¿Determine cuántas bananas adquirió inicialmente R. 3000 10. (20 puntos) “I – 2009” Una piscina rectangular de 4 metros de ancho por 9 metros de largo, tiene un paseo de anchura uniforme alrededor de la piscina. El área del paseo es de 68 metros cuadrados. ¿Cuál es la anchura del paseo? R. 2metros 11. (20 puntos) “I – 2009” En un micro se observa que hay 56 personas de las cuales están sentadas 22. Los varones que están sentados son tanto como las damas que están paradas, y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de los varones que están parados ¿Cuántos varones hay en el micro?

UMSA Aux : Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería Materia : MATEMATICA “MAT – 99” R. 34 varones 12. (20 puntos) “II – 2009” Dos tuberías tardan 6 horas en llenar una piscina. Una sola la llenaría en 5 horas antes que la otra sola. ¿Cuánto tardaría cada tubería sola en llenar la piscina? R. 10 horas y 15 horas 13. (10 puntos) “II – 2009” Me falta “ a “ Bs para comprar “ n “ camisas y me sobra “ b “ Bs si compro “ n - 1 “ camisas. Entonces el precio de una camisa es: a)

a+ 2b f)Ningun

b)

a-b

c) 2a + b

d) 2a - b

e) a + b

14. (10 puntos) “II – 2009” Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12, hallar las partes. a) 100, 80 b) 90, 90 c) Falta datos d) 70, 120 e) 179, 1f) 99, 81 15. (10 puntos) “II – 2009” Dentro de 12 años la edad de Juan será el doble de la edad que tenía hace 4 años, ¿cuál es la edad actual de Juan? a) 15

b) 25

c) 16

d) 20

e) 24

f)12

16. (20 puntos) “II–2010” El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede al dígito de las decenas en 5 unidades. Si los dígitos se invierten y el nuevo número se divide entre el número original, el cociente es 8/3. Hallar el número original. R. 27 17. (20 puntos) “II–2012” Hace 10 años la edad de juan er el doble de la edad de maria, dentro de 20 años sus edades sumaran 90 años. ¿Cuál es la edad de maria? R.

20 años

18. (20 puntos) “I–2013” Matias pensó en un numero de dos dígitos, de tal forma que sumándole al numero que resulta de invertir sus dígitos, obtiene 99, además la relación del numero que pensó y el numero resultante de invertir los dígitos es

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¿en que numero pensó matias?

19. (20 puntos) “II–2013” Un coleccionista de arte compro dos dibujos a lápiz en 225 Bs. Pero se sorprendio que dichos dibujos eran muy conocidos y no pudo resistir venderlos, obteniendo un beneficio del 40%. Cuanto pago por cada dibujo si el primero dejo un beneficio de 25% y el segundo un beneficio de 50% R. el primer costo 90bs y el segundo 135 bs 20. (20 puntos) “I–2014” en un restaurante, dos garrafas de gas de igual contenido se encienden simultáneamente; la primera se consume en 4 dias y la segunda en 3 dias. Cuantos días después de haber encendido las garrafas, el contenido de la primera es el doble que el de la segunda? R. 2 dias 21. (20 Puntos ) “II–2014” voy a festejar mi cumpleaños invitando a mis amigos a una fiesta. Si los invito a todos habrían 8 chicos más que chicas. Pero si no invito a 5 varones y pido a Miriam que venga con sus tres primas, seriamos 30 persona en

UMSA Aux : Univ. Edgar Condori Maquera Facultad de ingeniería Materia : MATEMATICA “MAT – 99” total ¿Cuántos amigos y cuantas amigas tengo? Mi nombre es Isabel, soy una chica que estudia en el Pre facultativo de ingeniería de la UMSA R. Tendría 11 amigas y 20 amigos NOTA: FORMATO PARA ENTREGAR LA PRÁCTICA Tamaño de papel: TAMAÑO CARTA -

Se puede presentar con caratula o carimbo: con la inicial del apellido paterno en la parte superior derecha y con los siguientes datos Materia: Numero de práctica: Grupo: Auxiliar: Condori Maquera Edgar Victor Estudiante: apellidos nombres C.I.: fecha de entrega: