Práctica. Ecuaciones de Saint-Venant.

 

Práctica1: Ecuaciones de Saint-Venant

Rocío Rodríguez Ruiz DNI:47545656

 

1.  Calcular la evolución espacio-temporal del calado y la velocidad del flujo para esas condiciones, interpretando el resultado.

Para la resolución del siguiente apartado hemos empleado las ecuaciones características de Saint-Venant, cada ecuación es válida únicamente a lo largo de la curva definida a continuación:

          

a lo largo de

      

            

a lo largo de

      

Estas curvas son, respectivamente, c1(adelantada de

    ) 

     ). En los puntos en los que interceptan

Curva C2(atrasada 

ambas curvas se puede resolver el problema al tener dos ecuaciones y dos incógnitas.

Curvas C1 y C2. Arriba para flujo subcrítico y abajo para flujo supercrítico.

 

En el flujo subcrítico, reflejado en la imagen superior, la perturbación se  propaga tanto aguas arriba como aguas abajo. Por tanto, tendremos una curva adelantada propagándose en la dirección del flujo, y otra atrasada, dirección aguas arriba. Para la obtener la solución en nuestra práctica utilizaremos el método Hartree, que consiste en resolver las ecuaciones en el punto M, conociendo los valores de los tres puntos anteriores definidos en la malla como muestra la imagen:

 

Empezamos definiendo la malla con los valores de x y t. En nuestro caso dt=0,5 y dx=10, tf=1800(s). Dado que se trata de derivadas parciales necesitamos para resolverlas, a lo largo del canal, una condición inicial y dos condiciones de contorno. Las curvas características que pasan por M tendrán la siguiente forma:

                        

             a lo largo de               en                      en        a lo largo de

Suponiendo un flujo subcritico tendremos que interpolar entre A y B, B y C, para conseguir los valores del flujo en los puntos L y R.

 

                                                                                        A partir de los valores de las expresiones anteriores, se obtiene el flujo en M:

                                             La condición de contorno impuesta aguas arriba consiste en una crecida  positiva, de la que se conoce su calado de entrada: yentrada = yn1 + sin(2πt/ 2tf)  2tf)  La condición de contorno aguas abajo son los valores de caudal que deja  pasar la compuerta que funciona según las siguientes condiciones: El caudal desciende linealmente durante dos minutos desde el caudal inicial hasta cero, en los tres minutos siguientes el caudal que pasa por la

 

compuerta es nuevo, hasta que el en el minuto cinco vuelve a abrirse la compuerta y este sube linealmente desde 0 hasta su máximo, 4 m3/s Como condición inicial tomamos el calado normal para el primer tramo del 3 canal, con un caudal de Q=2 m /s. En el instante inicial se presenta una discontinuidad entre los dos tramos del canal, debido a que hemos impuesto el flujo normal para cada uno de ellos (con pendientes diferentes) La compuerta se cierra por completo en el punto t=120 s y el caudal desciende linealmente desde 2m3/s hasta 0 en ese intervalo de tiempo.  

 

Para t=60 s. La compuerta comienza a cerrarse y el flujo en el canal  pasa de flujo uniforme a flujo variado.

t=120 s. Momento en el que se cierra por completo la compuerta aguas abajo.

 

 

Después de este instante la compuerta permanece cerrada hasta t=300s, a consecuencia de esto, el calado aguas abajo comienza a aumentar.  

t=210s. Compuerta aguas abajo cerrada.

 

   

 

t=300s. La compuerta vuelve a abrirse, otra vez linealmente, hasta dejar pasar a 4m3/s en t=480s.

t=400s podemos apreciar como a variar el calado por la onda  producida aguas arriba del canal.

 

 

t=480s.

Para este instante la compuerta alcanza su máxima capacidad y el caudal evacuado permanece constante hasta finalizar la simulación en el instante t=1800s. En las siguientes imágenes podemos ver como aumenta el calado aguas arriba gradualmente en cada una de las secciones.

 

 

t=600s

 

t=1000s

 

 

t=1400s

 

t=1800s=tf.

 

El valor máximo del calado se da para el instante final (t=1800s) y al final de nuestro canal aguas abajo. Podemos observar cómo se da el fenómeno de rebose aguas abajo que eleva la cota de la lámina de agua a lo largo del canal. En el punto L=0, en el instante final, se da una disminución del calado,  producida por el rebose del agua que la compuerta no es capaz de evacuar. evacuar. Los puntos situados aguas abajo no se ven afectados por el rebose del canal aguas arriba. Podemos observar también, la variación de la velocidad (m/s) a lo largo del canal para 3 tiempos diferentes en la siguiente tabla:

t (s)

L=1000 m

L=2000m

0 60 120 200 300 400 480 600 1000 1400 1800

0,8418 1,3038 1,1906 1,1207 1,0603 0,9886 0,9379 0,9296 1,0361 0,8049 0,3439

1,2689 0,4109 0,0025 0 0 0,4357 0,8074 0,7724 0,6075 0,4662 0,4039

Comprobamos que la velocidad (En los puntos escogidos) va descendiendo a medida que aumenta el calado.

 

  2. Comprobar la estabilidad de la solución numérica adoptada, así como la validez de las ecuaciones usadas para ello. Para comprobar la estabilidad de la solución debemos verificar la ecuación de Courant introduciendo nuestros parámetros utilizados en el problema, sabiendo que Courant es la siguiente:

      

x

= 10 y t= 0,5, y que la condición de



    

Comprobamos los valores de esta condición para cada uno de los espacios de nuestra malla:

En las imágenes se muestra la distribución del valor de la condición de Courant a lo largo de toda la longitud del canal, y para todo t, en función del espaciamiento espacial y temporal escogido. En nuestro caso, se tomó un =10 m, y un =0.5 s.





 

.Podemos comprobar que no se dan valores superior a 1 en ningún punto de nuestro dominio espacio temporal, por lo que podemos concluir que se cumple la condición de Courant en ambas ecuaciones y que nuestra solución es estable. Al principio de este ejercicio hemos supuesto, supues to, además, que el estado del flujo a lo largo de todo el canal era subcrítico dando lugar a las ecuaciones anteriormente utilizadas. Para que estas operaciones sean válidas, debemos comprobar que tenemos flujo subcrítico en todo nuestro dominio. La condición que ha de cumplir un flujo subcrítico es la siguiente:

         Donde F= es el número de Froude, un parámetro adimensional que relaciona las fuerzas gravitatorias e inerciales del flujo, y da lugar a un flujo crítico cuando su valor es igual a 1. El flujo subcrítico se corresponde con un flujo de velocidades bajas y calados mayores. Este es su valor para un canal rectangular. Comprobamos esta condiciones para cada una de las secciones

 

  Podemos verificar, entonces, que el número de Froude n no o supera el valor unitario en ningún punto de nuestro cana para todos los instantes de tiempo,  por lo tanto, el flujo es subcrítico.

3.                      ..

En una situación sin compuerta aguas abajo con flujo uniforme, en el cambio brusco de pendiente entre dos tramos, se daría un flujo crítico en la transición entre ambos. Sin embargo, la condición inicial de nuestro ejercicio consiste en suponer un calado normal, que calculamos con la ecuación de Manning para cada una de las secciones del canal con un caudal inicial de Q=2m3/s, siendo el calado mayor aguas arriba (tramo de menor pendiente), por lo que en el instante inicial se forma una discontinuidad entre ambos calados. Por lo que podemos asumir que los valores iniciales en esta sección no serían válidos. Al comenzar la simulación el flujo uniforme empieza la transición a un flujo variable que se mantendrá hasta el instante final. Los valores de la sección intermedia se irán sustituyendo, a medida que avanza el vector t,  por los calculados con las ecuaciones de Saint-Venant, por lo que podemos observar cómo se va atenuando esta discontinuidad hasta formar una curva continua.

 

              . .

En este ejercicio tenemos en cuenta la fricción del material en el que se construye el canal a través del parámetro n de Manning. Este parámetro es utilizado en dicha ecuación para calcular el calado normal, utlizado como condición inicial, siendo el mismo valor de n para ambos tramos del canal. También es usado en el cálculo de la línea de energía e influye indirectamente en todos los parámetros hidráulicos que definen el problema. El valor inicial de n=0,025 por lo que representamos primero los valores asociados a este número en los contornos del canal para los siguientes valores de t.

n=0,025  n=0,025  t(s) 0 1000 1400 1800

Y (m) 1,1879 2,1728 1,8313 1,1888

X=0 V (m/s) 0,814 1,551 0,7951 0,0979

X=2000 Y (m) V (m/s) 0,7881 1,2689 3,289 0,6081 4,2837 0,4664 4,4188 0,4518

Y (m) 1,3678 2,3527 2,011 1,3686

X=0 V (m/s) 0,7311 1,4074 0,8713 0,1014

X=2000 Y (m) V (m/s) 0,9010 1,109 2,9406 0,6801 3,7081 0,5394 4,437 0,4507

n=0,030  n=0,030  t(s) 0 1000 1400 1800

n=0,020 X=0 t(s) 0

Y (m) 1,003

V (m/s) 0,9970

X=2000 Y (m) 0,6709

V (m/s) 1,4905

 

1000 1400 1800

1,9879 1,6464 1,0038

1,6475 0,520 -0,975

3,7504 4,9320 5,2184

0,533 0,4055 0,3833

Hemos variado el valor del parámetro n, en el primer caso aumentándolo  para n=0,030 enpuntos el segundo, disminuirlo disminuirlo con n=0,020. Comparando los valores en ylos x=0 ypara X=2000, coincidiendo con el principio y final del canal. En primer lugar, podemos observar que al aumentar n, generalmente el calado aumenta y la velocidad disminuye, esto no es exacto en cada uno de los puntos, ya que dependen también de otros parámetros. Cuando n disminuye, como podemos ver en la tabla anterior, ocurre lo contrario, el calado disminuye en la sección inicial, aunque aumenta ligeramente en la final Al aumentar la fricción del canal dejamos de tener velocidades negativas aguas arriba en (t=1800s) por lo que no se produciría el rebosamiento del canal.

 

5.           que el canal rebose aguas arriba?

La condición para evitar que el canal rebose aguas arriba sería que no apareciesen velocidades negativas en los últimos instantes de la simulación, como ocurre en el dominio del problema calculado. El problema principal es que el caudal que transporta el canal excede su capacidad, por lo que tendremos que aumentar el valor del caudal que admite la compuerta hasta que se cumpla la condición citada. Como la capacidad de la compuerta es de Q=4 m3/s iremos aumentando este caudal:

-  Para Q=4,2 m3/s aparecen velocidades negativas, por lo que el canal rebosa -  Para Q=4,4 m3/s aparecen velocidades negativas, el canal rebosa. -  Para Q=4,6m3/s aparecen velocidades negativas, el canal rebosa -  Para Q=4,8 m3/s ya no aparecen velocidades negativas, por lo que se cumple la condición y el canal no rebosa. El valor ajustado se encontrará entre 4,6 y 4,8 m 3/s, para quedarnos del lado de la seguridad, admitiremos el valor Q=4,8 m3/s como capacidad requerida de la compuerta.