Practica Dirigida 0101 1

 

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTTAD DE CIENCIAS FACUL CI ENCIAS CONTABLES CONTABLES CURSO: Estadísca Inferencial CURSO: Estadísca SESIÓN: No 1

TEMA: Distribuciones Discretas TEMA: Distribuciones PRÁCTICA DIRIGIDA: No 1

I.- DISTRIBUCION BINOMIAL

1.-  El pr preesi side den nte de dell dir direc ecttor orio io de un unaa en end dad ad n nan anci cier eraa rea ealilizzó un unaa invesgación, donde en dicha endad se aenden diariamente 1000 clientes. Los re resul sulta tados dos de la en encue cuest staa en encon contr trar aron on que 33% de cl clien iente tess en enen en su propia tarjeta de crédito. a) En una muestra de seis clientes, ¿cuál es la probabilidad de que dos tengan su propia tarjeta de crédito? X: NUMERO DE CLIENTES QUE TIENEN SU PROPIA TARJETA DE CREDITO n=6 p=0.33 q=0.67 x=2   6!

 P ( X =2 ) =

∗0.332∗ 0.674 =0.3292

2 ! ( 6 −2 ) !

b) En una muestr muestraa de ocho clientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos tengan su propia tarjeta de crédito? X: NUMERO DE CLIENTES QUE TIENEN SU PROPIA TARJETA DE CREDITO n=8 p=0.33 q=0.67 x≥2 (2,3,….,8)  P ( X ≥ 2 )= P ( X =2 ) + P ( X =3 ) + … . + P ( X =8 )  P ( X ≥ 2 )=1 −[ P ( X = 0 ) + P ( X =1 ) ]   8!

0

8

  8!

1

7

 P ( X ≥ 2 )=1 − 0 ! ( 8− 0 ) ! ∗0.33 ∗0.67 + 1 ! ( 8− 1 ) ! ∗0.33 ∗0.67 =1− [ 0.0406 + 0.1600 ] =0.7994

]

[

c) En una muestra de 10 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno tenga su propia tarjeta de crédito? X: NUMERO DE CLIENTES QUE TIENEN SU PROPIA TARJETA DE CREDITO n=10 p=0.33 q=0.67 x=0  P ( X =0 )=

  10 ! 0 ! ( 10−0 ) !

∗0.330∗0.6710=0.0182

d) ¿Cuántos clientes se esperan que tenga su propia tarjeta de crédito? X: NUMERO DE CLIENTES QUE TIENEN SU PROPIA TARJETA DE CREDITO

   

E(X) = np = 1000(0.33) = 330

e) ¿Cuál es la desviación estándar? X: NUMERO DE CLIENTES QUE TIENEN SU PROPIA TARJETA DE CREDITO V(X)=npq=330(0.67)=221.1 S X =√ npq npq= √ 221.1 221.1 =14.87

2.- El Banco Santander, ha anunciado la venta de sus principales inmuebles en Madrid, la

operación constuye un intercambio de acvos por terrenos propiedad de otra empresa para llevar a cabo un ambicioso desarrollo inmobiliario que incluiría la construcción de sedes para sus diversos servicios, en el norte de Madrid. El gerente del Banco Santander reporta que 30% de accionistas del banco han empleado un corredor nanciero. En una muestra al azar de nueve n ueve accionistas: a) ¿Cuál a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente exactamente cuatro accionistas hayan empleado un corredor nanciero?

 ¿Cuál es la probabilidad de que ningún accionista haya empleado un corredor nanciero? b) b) ¿Cuál

c) c) ¿Cuál  ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos accionistas hayan emple empleado ado un corredor nanciero?

 

 ¿Cuántos accionistas se esperan que hayan empleado un corredor nanciero? d) d) ¿Cuántos

e) ¿Cuál e) ¿Cuál es la desviación estándar?

3.- Un estudio reciente realizado por una asociación de contadores mostró que 23% de

los estudian estudiantes tesestudiantes. de con contad taduría uría eligen la rama rama de contaduría contaduría pública. Se selecciona selecciona una muestra de 15 a) ¿Cuál es la probabilidad de que tres hayan seleccionado contaduría contaduría pública? X: NUMERO DE ESTUDIANTES QUE ELIGEN LA RAMA DE CONTADURI CONTADURIA A PUBLICA n= 15 p= 0.23 q=0.77 x=3   15 ! 3 12  P ( X =3 )= 0.23 ∗0.77 =0.2405 3 ! ( 15 −3 ) ! .

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos hayan seleccionado contaduría pública?

X: NUMERO DE ESTUDIANTES ELIGEN RAMAx=0, DE CONTADURI CONTADURIA A PUBLICA n= QUE 15 p= 0.23 LA q=0.77 1, 2  P ( X ≤ 2 )= P ( X =0 ) + P ( X =1 ) + P ( X =2 ) =

  15 ! 0 ! ( 15 −0 ) ! .

0.23

0

∗0.7715 +

  15 ! 1 ! ( 15 − 1 ) ! .

0.23

∗0.77 14+

1

  15 ! 2 ! ( 15−

 

c) ¿Cuántos estudiantes se espera que hayan seleccionado contaduría pública? X: NUMERO DE ESTUDIANTES QUE ELIGEN LA RAMA DE CONTADURI CONTADURIA A PUBLICA E(X)=np=15*0.23=3.45 ESTUDIANTES ESTUDIANTES QUE ELIGEN LA RAMA DE CONTADURIA CONTADURIA PUBLICA

d) ¿Cuál es la desviación estándar? X: NUMERO DE ESTUDIANTES QUE ELIGEN LA RAMA DE CONTADURI CONTADURIA A PUBLICA V  ( X )=npq =15∗0.23∗0.77= 2.6565 S X =√ npq npq= √ 15 15∗0.23∗0.77 = 1.6299 estudiantes

4.4.- Una  Una empresa de telemercadeo realiza seis llamadas telefónicas por hora, y es capaz de realizar una venta en 30% de estos contactos. Para las próximas dos horas determine: a) La a) La probabilidad de hacer exactamente 4 ventas

b) La b) La probabilidad de no realizar una sola venta

 La probabilidad de lograr por lo menos 2 ventas c) c) La

d) El d) El numero medio de ventas en el periodo de dos horas

 La rapidez con la que una compañía telefónica puede resolv resolver er los problemas de servicios de sus clientes es muy 5.5.- La importante. Una empresa de teléfonos asegura que, en 70% de los casos, puede solucionar los problemas de servicios que indican sus clientes, el mismo día en que los reportan. Supóngase que los 15 problemas que se reportaron el día de hoy son representavos representavos de todas las quejas. a)  a)  ¿Cuántos de estos problemas se espera que se solucionen hoy?

b) ¿Cuál b) ¿Cuál es la desviación estándar?

 

c) c) ¿Cuál  ¿Cuál es la probabilidad de que 10 de estos problemas se solucionen hoy?

d) d) ¿Cuál  ¿Cuál es la probabilidad de que más de 13 de estos problemas se solucionen este día?

 El 75% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 6.6.- El 80% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. El 60% del total de la mercadería lo adquiere de A y el resto de B. Si se selecciona al azar 4 unidades de mercadería. ¿Qué probabilidad hay de que se encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional? Rpta: p=0.77, x~B(4, p) P(x=2)=0.188 P(x=2)=0.188

 En una empresa donde los empleados son 80% auditores y 20% contadores, están realmente aptos para 7.7.- En  jubilarse el 10% de contadores contadores y el 10% de auditores. De cinco solicitudes presentadas presentadas para jub jubilarse. ilarse. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estén realmente aptos para jubilarse? Rpta: p=0.10, x~B(5, 0.1), P(x≥2)=0.0815

 

 Un vendedor a domicilio compra diariamente 10 unidades de un producto a $2 cada una. Por cada producto 8.8.- Un gana $13 si lo vende o pierde $1 además del costo si no lo vende en el día. Si la probabilidad de venta de cada unidad es 0.2 y si las ventas son independientes. independientes. a) Obtenga a) Obtenga la distribución de probabilidad del número de unidades vendidas  vendidas 

b) Calcule b) Calcule la ulidad esperada del vendedor Rpta: 2

Rpta: B(10, 0.2)

9.9.-   Una prueba de aptud consta de 12 preguntas con 4 alternavas cada una, de las cuales solo una es la correcta. Si usted contesta al azar y en forma independiente todas las preguntas. a) Obtenga a) Obtenga el modelo de probabilidad del número de respuestas correctas

Rpta: B(12, 0.25)

b) ¿Calcule b) ¿Calcule su media y su desviación estándar? Rpta: E(x)=3, S=1.5

II.- DISTRIBUCION DE POISSON

10.-  El mu muni nici cipi pio o de un dist distri rito to rep epor ortta; qu quee el nú núme mero ro de ven ende dedo dore ress informales por día sigue una distribución aproximadamente de Poisson, con media de 1.5 de vendedores informales por día. a)  Hal Hallar lar la pr proba obabil bilida idad d de b) Hallar la probabilidad de al menos haya un quee ha qu hayya tres tres ven ende dedo dorres vendedor informal por día informales por día X: nú núm mero de vende ndedo dorres X: número de vendedores informales por día informales por día λ=1.5 de vendedores por dia λ=1.5 de vendedores por dia e=2.72 e=2.72 x=1,2,3,………….

 

x=3  P ( x  x = 3 ) =

1.5

 P ( x  x ≥ 1 ) =1− P ( X =0 )=1 −

− 1.5

3

∗2.72

1.5

=0.1254

3!

∗2.72−1.5   =1 −0.2229=0.777

0

0!

11.-  Un su supe perv rviso isorr de segu segurid ridad ad en una una empr empres esaa cr cree ee que que el número esperado de accidentes laborales por mes es de 3.4 a) Cual es la l a probabilidad de que el próximo mes ocurran exactamente exactamente dos accidentes X: NUMERO DE ACCIDENTES POR MES E(X)=λ=3.4 ACCIDENTES POR MES e=2.72 x=2  P ( X =2 ) =

3.4 2∗2.72 −3.4 2!

 

=0.1924

b) Cual es la probabilidad de que el próximo mes ocurran tres o más accidentes X: NUMERO DE ACCIDENTES POR MES E(X)=λ=3.4 ACCIDENTES POR MES e=2.72 x=3,4,5………. (

 P  X ≥ 3

) = P (  X =3 ) + P ( X =4 ) + P ( X =5 ) + … … … .=1− P ( X ≤ 2 )=1−[ P ( X =0 ) + P ( X =1 )+ P ( X =2 ) ]=1

12.- Los 12. Los automóviles llegan al estacionamiento de un supermercado, a razón de dos por minuto. La distribución de las llegadas se aproxima a una distribución de poisson. a) ¿Cuál a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto especico no lleguen automóviles?

b) b) ¿Cuál  ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto llegue al menos un automóvil?

 ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 segundos llegue a los más un automóvil? c) c) ¿Cuál

13.- Se 13. Se esma que 0.5% de las llamadas telefónicas al departamento de facturación de Telephone Company, reciben la señal de ocupado.  a) ¿Cuál a) ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1200 llamadas del día de hoy, al menos 3 hayan recibido dicha señal?

 

 ¿Cuál es la probabilidad de que de las 1200 llamadas del día de hoy, a lo más 3 hayan recibido dicha señal? b) b) ¿Cuál

14.- Los 14. Los autores y las editoriales de libros trabajan arduamente para minimizar el número de errores de un texto. Sin embarg embargo, o, alguno algunoss errore erroress in invol volun untar tarios ios son inevit inevitabl ables. es. El señor señor J. A. Carmen Carmen,, superv superviso isorr edito editorial rial de Estadísca, informa que el número medio de errores por capitulo es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 2 errores en un capitulo especico?

 Los pasajeros de aerolíneas llegan aleatoria e independientement independientementee a un punto de revisión de pasajeros en un 15.- Los 15.aeropuerto internacional. La tasa media de llegada es de 10 pasajeros por minuto. a) ¿Cuál a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llegadas en el periodo de 1 minuto?

b) b) ¿Cuál  ¿Cuál es la probabilidad de 3 llegadas o menos en un periodo de 1 minuto?

c) c) ¿Cuál  ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de 15 segundos?

 

 ¿Cuál es la probabilidad de al menos una llegada en un periodo de 15 segundos? d) d) ¿Cuál

 El banco “A&H” aende todos los días de 8am a 4pm y se sabe que el número de clientes por día que van a 16.- El 16.solicitar un préstamo por más de $10000 ene una distribución de Poisson con una media de 3 clientes por día. a) ¿Cuál a) ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $10000?  $10000? 

 ¿Cuál es la probabilidad de que en dos de cuatro días, hasta el mediodía no se haya producido una solicitud b) b) ¿Cuál de préstamo por más de $10000?

 El número promedio de automóviles que llegan a una garita de peaje es de 120 por hora. 17.- El 17.a) ¿Calcule a) ¿Calcule la probabilidad de que en un minuto cualquiera no llegue automóvil alguno?

 ¿Calcule la probabilidad de que en el periodo de 3 minutos lleguen más de 5 automóviles? b) b) ¿Calcule

 

 Si tal garita puede atender a un máximo de tres automóviles en 30 segundos. ¿Calcule la probabilidad de que c) c) Si en un medio minuto dado lleguen más automóviles de lo que puede atender?

 La demanda mensual de cierto producto ene una distribución de Poisson. Actualmente su media es de 3 por 18.- La 18.semana. Se esma que después de una campaña publicitaria, el valor esperado de la demanda se duplicará con probabilidad 0.8 y se triplicará con probabilidad 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que después de la campaña la demanda sea igual a 4 4??

19.- Cierta panadería dispone de una masa con frutas contadas para hacer 200

panetones. 2000 aleatoria pasas de uvas a la masa la promedio mezcla bien. el número de pasas es Agrega una variable de Poisson conyun 10 Suponga pasas porque panetón. a) ¿Calcule la probabilidad de que un panetón cualquiera no contenga ninguna pasa? X: NUMERO DE PASAS X~P(10) λ=10 e=2.72 x=0 0

 P ( X =0 )=

10 ∗2.72 0!

−10

  =0.00004511

b) ¿Cuántos panetones se espera que contengan seis pasas? X: NUMERO DE PASAS X~P(10) λ=10 e=2.72 x=6 6

10 ∗2.72

 P ( X =6 )=

6!

− 10

  =0.0626

Y: NUMEO DE PANETONES QUE CONTIENEN SEIS PASAS  E ( Y )=200∗ P ( X =6 ) =200∗0.0626 =12.5 12.5 13 P  PANETONES ANETONES

 

c) Suponga que en tal producción hay hay 15 panetones con a lo más seis pas pasas, as, si un cliente adquiere 5 panetones, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan más de seis pasas? X: número de panetones que contenga más de seis pasas N=200 r=185 n=5 x=2 185

15

C 2 C 3

  17020∗455

 P ( X =2 ) = C 200   = 2535650040 = 0.0031 5

III.- DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA HIPERGEOMETRICA 20.- Con 20. Con el n de rechazar un lote de 20 arculos embarcados por una compañía productora se toma 5 arculos de uno en uno sin restución. Se decide rechazar el lote si la muestra ene más de un arculo defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si en este existen 4 arculos que son defectuosos?

X=número de arculos defectuosos N=20 r=4 n=5

x=0, 1

21.- La compañía Colgate Palmolive acaba de desarrollar una pasta de dientes con sabor a

miel. Probaron este producto producto en un grupo de 10 personas, 6 de las cuales dijeron que si les gustaba el nuevo sabor sabor,, y 4 indicaron que denivamente no les agrado. Se eligieron cuatro de las diez personas para hacerles una entrevista más exhausva. ¿Cuál es la probabilidad de que a dos de las personas elegidas para esta entrevista entrevista les guste? ¿Cuál es la probabilidad de que a dos de las personas elegidas para esta entrevista entrevista les guste?

X: NUMERO DE PERSONAS QUE GUSTAN LA PASTA DEL SABOR A MIEL N=10 r=6

 

n=4 x=2 4

6

 P ( X =2 ) =

C 2 C 2 10

C 4

  = 0.4285

22.- Un comerciante recibe para su venta, cierto po de objeto en cajas que conenen 10 unidades cada una. El control de calidad por caja consiste en extraer una muestra de 4 objetos al azar uno por uno sin reposición y aceptar la caja si la muestra conene a lo más un defectuoso. Si la caja escogida ene 3 objeto defectuosos.

a)  De Detter erm min inee la dis distr trib ibuc ució ión n de pr prob obab abililid idad ad de dell nú núme merro de ob obje jettos defectuosos en la muestra. D1 D2 D3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 X: NUMERO DE OBJETOS DEFECTUOSOS Ω={ B 1 B 2 B 3 B 4, B 2 B 5 B 6 B 10, … … …  D 1 B 1 B 2 B 3, D 2 B 2 B 4 B 5 , … … … . .  D 1 D 2 B 1 B 2 , D 2 D 3 B 4 B 7 , … … …  D 1  D 2 D 3 B

4, D 1  D 2  D 3 B 5 … … . . }

 R X ={0 , 1 , 2 , 3 }

 P ( X =0 )=

C 30 C 74 10

C 4

7

3

 P ( X =1 ) =

C 1 C 3 10

C 4

C 2 C 2 10

C 4

 =

7

3

 P ( X =3 )=

 =

7

3

 P ( X =2 ) =

 =

C 3 C 1 10

C 4

 =

1∗35 210 3∗35 210

3∗21 210 1∗7 210

= =

=

=

  35 210 105 210

  63 210

 7 210

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE NUMERO DE OBJETOS OBJ ETOS DEFECTUOSOS x 0 1 2 3

pi

 

35 210

105 210

63 210

7 210

b) Calcular la probabilidad de rechazar una caja X: NUMERO DE OBJETOS DEFECTUOSOS N=10 r=3 n=4 x=2,3 (rechaza la caja) 7

3

 P ( X ≥ 2 )= P ( X =2 ) + P ( X =3 ) =

7

3

C 2 C 2 C 3 C 1 10

C 4

 +

10

C 4

 =

3∗21 210

+

1∗7 210

=0.3333

23.-  Un embarque embarque de sustancia sustancia químicas químicas llega en 15 contenedor contenedores, es, 2 de las cuales no cumple cum plen n con con los reque requerim rimien ientos tos de pur purez eza. a. Se eligen eligen 3 conte contened nedor ores, es, al az azar ar,, sin remplazo,, para hacer una inspección de la pureza del producto. remplazo

 

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los contenedores que no cumplen los requerimientos esté en la muestra? X: NUMERO DE CONTENEDORES QUE NO CUMPLEN CON LOS REQUERIMIENTOS DE PUREZA N=15 r=2 n=3 x=1, 2,…  P ( X ≥ 1 )= P ( X =1 ) + P ( X =2 ) =

C 21 C 13 2 15

C 3

 +

C 22 C 13 1 15

C 3

 =

2∗78 455

+

1∗13 455

=0.3429 + 0.0286 =0.3714

 SONY CORPORATION, CORPORATION, acaba de recibir un embarque de 10 aparatos de televisión. Poco después de haberse 24.- SONY 24.efectuado la entrega, el fabricante llamo para informar que por descuido se habían enviado tres televisores defectuosos. La señora Kolzak, propietaria de la empresa, decidió probar dos de los 10 aparatos recibidos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos tenga defectos?

X: NUMERO DE APARATOS CON DEFECTOS N= 10 r= 3 7

3

 P ( X =0 )=

C 0 C 2 10

C 2

 =

1∗21 45

n=2 xx=0 =0

= 0.4667

25.-  La FLORERÍA FLORERÍA ROSAZUL ROSAZUL ene 15 camiones de repa reparto rto que se ulizan principalment principalmentee paraa entr par entreg egar ar ores ores y arregl arreglos os or orale ales. s. Supóng Supóngase ase que 6 de los 15 ve vehíc hículo uloss enen enen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco camiones al azar para probarlos.

¿Cuál es la probabilidad de que 2 de los vehículos examinados tengan frenos defectuosos? X: NUMERO DE VEHICULOS COM PROBLEMAS EN LOS FRENOS N= 15 r=6 n=5 x=2 6

9

C 2 C 3  P ( X =2 ) = C 15   = 5

15∗84 3003

=0.4196

 

26.- El bufete jurídico Hagel & Hagel se localiza en el centro de Cincinna. Hay 10 socios en la empresa; siete viven en Ohio, y tres en el norte de Kentucky. La señora Wendy Hagel, accionista principal, quiere nombrar un comité de tres socios que examine la posibilidad de cambiar la ubicación del bufete al norte de Kentucky. Si el comité se selecciona al azar de entre los 10 socios.

¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos resida en el norte de Kentucky? X: NUMERO DE SOCIOS QUE RESIDEN EN KENTUCKY N=10

r=3

n=3

x=1,2,3 7

3

 P ( X ≥ 1 )= P ( X =1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )=1 − P (  X =0 ) =1−

C 0 C 3 10

C 3

  =1 −

1∗35 120

=1− 0.2917=0.7083