Práctica de Elementos Finitos.docx

UNIVERSIDAD MAYOR MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SAN FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA CENTRO DE ESTUDIOS Y POSTGRADO MAESTRÍA EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

PRÁCTICA DE ELEMENTOS FINITOS

Maestrante: Cabrera

Serrudo Luis Alberto

Módulo:

Elementos Finitos

Docente:

Ing. Dr. Juan Ángel Ronda Vásquez

Fecha:

Sucre, 9 de marzo de 2012

Sucre –  Bolivia  Bolivia

SET 1 y 2

SET 1 y 2

1. Generar un algoritmo para determinar el grado de hiperestaticidad interno y externo de una cercha plana.

Datos: m = N° de barras j = N° de nudos nudos r = N° de reacciones reacciones

si

r  – 3 = 0

Estáticamente determinada externamente

m = 2j - r

no

Inestable o hipostática

m < 2j -

no

no

r  – 3 > 0 si

Estáticamente determinada internamente

no

si

r  – 3 < 0

si

no

no

m > 2j si

Estáticamente indeterminad a externamente cuyo grado será la diferencia entre ambos términos de la

Estáticamente indeterminad a internamente cuyo grado será la diferencia entre ambos términos de la

FIN

FIN

si

Inestable o hipostática

2. Identificar cada una de las componentes de la ecuación 5.11indicando a cual de cada una de las componentes de la 5.10 corresponde.

Ecuación 5.10

∫ *        +   

Integrando por partes:

∫ *     +                     

Aplicando el análisis a la viga de estudio la integral se subdivide: I 0 a xm II xm a xk  III xk  a L Tenemos la ecuación 5.11

Donde:

   ∫                ∫                                       

-

La energía interna de deformaciones es:

-

El trabajo de las cargas distribuidas es:

∫        ∫    

               

-

El trabajo de las cargas puntuales es:

-

El trabajo de los momentos es:

3. Indicar los pasos para pasar de la ecuación 5.11 a la ecuación 5.12, identificando las partes correspondientes a las cargas distribuidas, puntuales pun tuales y momentos.

Ya que:

∫                    ∫                       |      

        

  

en los apoyos

Pm = salto en fuerza cortante en xm -Mk = salto en momento flector en xk

Sustituyendo:

∫     ∫        |   |             ∫     ∫        |   |             ∫     ∫  ∑ ∑        ∫ 

Las cargas distribuidas en la ecuación son representadas por:

Las cargas puntuales están representadas por:

Los momentos están representadas por:

∑   ∑ 

4. Realizar la gráfica de cada una de las funciones de la ecuación 5.16 en el intervalo [-1,1]

Para poder graficar las funciones se debe tomar en cuenta que las mismas deben cumplir con las siguientes funciones: H1 H1' H2 H2' H3 H3' H4 H4' ξ = -1 1 0 0 1 0 0 0 0 ξ= +1 0 0 0 0 1 0 0 1 -

H1 1,00 0,99 0,97 0,94 0,90 0,84 0,78 0,72 0,65 0,57 0,50 0,43 0,35 0,28 0,22 0,16 0,10 0,06 0,03 0,01 0,00

Gráfica de la función 1:

ξ

-1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

1.20 1.00    1    H    E    D    S    E    R    O    L    A    V

0.80 0.60 0.40 0.20 0.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00 VALORES DE ξ

0.50

1.00

1.50

-

H2 0,00 0,09 0,16 0,22 0,26 0,28 0,29 0,30 0,29 0,27 0,25 0,22 0,19 0,16 0,13 0,09 0,06 0,04 0,02 0,00 0,00

Gráfica de la función 2:

ξ

-1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

0.35 0.30 0.25

   2    H    E    D    S    E    R    O    L    A    V

0.20 0.15 0.10 0.05 0.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00 VALORES DE ξ

0.50

1.00

1.50

-

H3 0,00 0,01 0,03 0,06 0,10 0,16 0,22 0,28 0,35 0,43 0,50 0,57 0,65 0,72 0,78 0,84 0,90 0,94 0,97 0,99 1,00

Gráfica de la función 3:

ξ

-1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

1.20 1.00 0.80

   3    H    E    D    S    E    R    O    L    A    V

0.60 0.40 0.20 0.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00 VALORES DE ξ

0.50

1.00

1.50

-

H4 0,00 0,00 -0,02 -0,04 -0,06 -0,09 -0,13 -0,16 -0,19 -0,22 -0,25 -0,27 -0,29 -0,30 -0,29 -0,28 -0,26 -0,22 -0,16 -0,09 0,00

Gráfica de la función 4:

ξ

-1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

0.00 -1.50

   4    H    E    D    S    E    R    O    L    A    V

-1.00

-0.50

-0.05

0.00

0.50

1.00

1.50

-0.10 -0.15 -0.20 -0.25 -0.30 -0.35

VALORES DE ξ

5. Desarrollar la ecuación 5.25 de manera explícita y corroborar los valores de la ecuación 5.29.

         ∫                〈          〉   

Desarrollando se tiene:

                                              (  )                ( )  [   ]                      ( )                ∫                ( )  [  ]                 ( )               ∫           ( [  ) ]

Reemplazando 5.25’ y

en la ecuación 5.24 tenemos que:

Integrando elemento a elemento tenemos que:

∫       

∫         ∫         ∫        ∫ ()       ∫          ∫        ∫          ∫ ()     

Ensamblando la matriz tenemos:

                            De donde efectivamente se llega a la expresión de la energía interna de deformación del elemento dada por:

   

Dónde:

                   [      ]

Que llegaría a ser la matriz de rigidez del elemento. Desarrollando la matriz se tiene:

                   [     ]       

SET 3

9

2

1. Para la barra mostrada en la siguiente figura, con E = 2000x10   [N/m ] y P = 300KN. Determine: a) Los desplazamientos nodales, tensiones y reacciones en los apoyos. b) Si las condiciones de borde en el apoyo izquierdo fueran las mismas que las del apoyo derecho, indique si habría algún cambio en los resultados y las razones que justifiquen dicho cambio.

Datos: E = 2x1012 [KN/m2] = 200000 [KN/cm2] P = 300 [KN] A1= 270 [mm2] = 2.7 [cm2] A2= 270 [mm2] = 2.7 [cm2] A3= 450 [mm2] = 4.5 [cm2] Solución a)

Tabla de conectividad ELEMENTO N. I. N. F. A (cm2) L (cm)

1 2 3

a b c

b c d

2,7 2,7 4,5

17 17 34

Las matrices de rigidez de cada elemento serán:

a b 1 -1 = 31764,706 -31764,706 a K 1= 31764,706 -1 1 -31764,706 31764,706  b  b c 1 -1 31764,706 -31764,706  b = K 2= 31764,706 -1 1 -31764,706 31764,706 c c d 1 -1 26470,588 -26470,588 c = K 3= 26470,588 -1 1 -26470,588 26470,588 d La matriz de rigidez global es (se eliminan las filas y columnas correspondientes a los nudos prescritos): a b a b 31764,706 -31764,706 0 0 a -31764,706 63529,412 -31764,706 0  b KG = 0 -31764,706 58235,294 -26470,588 a 0 0 -26470,588 26470,588  b

Qa Qb Qc Qd

63529,412 -31764,706 Qb 300 * = -31764,706 58235,294 Qc 0 Los desplazamientos en los nudos son los siguientes: Qa Q b Qc Qd

= 0 = 6,49E-03 cm = 3,54E-03 = 0

Las tensiones en cada elemento serán: σ1= 11764,70588

σ1=

σ2= 11764,70588

σ2=

σ2= 5882,352941

σ2=

-1

1

-11764,70588 11764,70588

-1

1

-11764,70588 11764,70588 -1

1

-5882,352941 5882,352941

*

*

Qa Qb 0 = 76,389 6,49E-03 Qb Qc

* *

6,49E-03 = -34,722 3,54E-03 Qc Qd

* *

3,54E-03 = -20,833 0

Las reacciones serán las siguientes: a b a b 31764,706 -31764,706 0,000 0,000 a Qa * 0 0 -26470,58824 26470,58824  b Qb R  = 1 Qc R 4 Qd R 1= -206,25 KN R 4= -93,75 KN

b)

En caso que las condiciones de apoyo de la izquierda sean las mismas que las de la derecha, los resultados no sufrirían cambios ya que el único grado de libertad estaría restringido de la misma manera. Como no hay otros grados de libertad no interesaría el tipo de apoyo con tal que ese único grado de libertad este restringido.

6

2. Para la cercha plana de la figura, con E = 30x10  [psi], encuentre: a) Las deflexiones en los nudos, las tensiones en los elementos y las reacciones de apoyos. b) Si la carga fuera horizontal. ¿Cuál sería la tensión en la barra inclinada que incide en el nudo cargado?

Datos: E = 30x106 [psi] A1 = A3 = A4 = A6 = A7 = 20 [in2] A2 = A5 = 15 [in2]

Solución.a)

Tabla de incidencia nodal Nudo

1 2 3 4 5

coord.(x) coord.(y)

0 240 480 360 120

0 0 0 144 144

Tabla de conectividad Elemento nudo i nudo j le (in) Ae (in²)

1 2 3 4 5 6 7

1 1 5 2 2 4 5

5 2 2 4 3 3 4

187,44 240 187,44 187,44 240 187,44 240

20 15 20 20 15 20 20

Matrices de rigidez de cada elemento 1 0,4096 0,4928 k 1= 3,201x106 -0,4096 -0,4928

2 0,4928 0,5929 -0,4928 -0,5929

1 1 0 6 k 2= 1,875x10 -1 0

4 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 -1 0 1 0

9 -0,4096 -0,4928 0,4096 0,4928

10 -0,4928 -0,5929 0,4928 0,5929

1 2 9 10

1 2 3 4

9 0,4096 -0,4928 6 k 3= 3,201x10 -0,4096 0,4928

10 -0,4928 0,5929 0,4928 -0,5929

3 -0,4096 0,4928 0,4096 -0,4928

4 0,4928 -0,5929 -0,4928 0,5929

9 10 3 4

3 0,4096 0,4928 6 k 4= 3,201x10 -0,4096 -0,4928

4 0,4928 0,5929 -0,4928 -0,5929

7 -0,4096 -0,4928 0,4096 0,4928

8 -0,4928 -0,5929 0,4928 0,5929

3 4 7 8

l

m

0,64 1 -0,64 0,64 1 -0,64 1

0,77 0 0,77 0,77 0 0,77 0

3 1 0 6 k 5= 1,875x10 -1 0

4 0 0 0 0

5 -1 0 1 0

6 0 0 0 0

3 4 5 6

7 0,4096 -0,4928 6 k 6= 3,201x10 -0,4096 0,4928

8 -0,4928 0,5929 0,4928 -0,5929

9 1 0 6 k 7= 2,5x10 -1 0

8 0 0 0 0

10 0 0 0 0

7 -1 0 1 0

5 -0,4096 0,4928 0,4096 -0,4928

6 0,4928 -0,5929 -0,4928 0,5929

7 8 5 6

9 10 7 8

Matriz de rigidez global (Se eliminan las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad 4, 5 y 6 ya que se encuentran prescritos) 1 3,1861 1,5775 -1,875 0 K= 106 0 0 0 0 -1,3111 -1,5775

3,1861 1,5775 -1,875 6 10 0 0 -1,3111 -1,5775

2 1,5775 1,8979 0 0 0 0 0 0 -1,5775 -1,8979

1,5775 1,8979 0 0 0 -1,5775 -1,8979

3 -1,875 0 6,3723 0 -1,875 0 -1,3111 -1,5775 -1,3111 1,5775

4 0 0 0 3,7958 0 0 -1,5775 -1,8979 1,5775 -1,8979

5 0 0 -1,875 0 3,1861 -1,5775 -1,3111 1,5775 0 0

6 0 0 0 0 -1,5775 1,8979 1,5775 -1,8979 0 0

7 0 0 -1,3111 -1,5775 -1,3111 1,5775 5,1223 0 -2,5 0

8 0 0 -1,5775 -1,8979 1,5775 -1,8979 0 3,7958 0 0

9 -1,3111 -1,5775 -1,3111 1,5775 0 0 -2,5 0 5,1223 0

10 -1,5775 -1,8979 1,5775 -1,8979 0 0 0 0 0 3,7958

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Q1 0 -1,875 0 0 -1,3111 -1,5775 Q2  -200000 0 0 0 -1,5775 -1,8979 Q3 0 6,3723 -1,3111 -1,5775 -1,3111 1,5775 0 -1,3111 5,1223 0 -2,5 0 x Q7 = Q8 0 -1,5775 0 3,7958 0 0 Q9 0 -1,3111 -2,5 0 5,1223 0 0 1,5775 0 0 0 3,7958 Q10

Luego Q1 = Q2 = Q3 = Q7 = Q8 = Q9 = Q10 =

0,1773 -0,79 0,0887 -0,0825 0,0368 -0,2154 -0,3581

in

El vector de desplazamientos globales de la estructura es:

 〈         〉

Tensiones en cada elemento

0,1773 -0,79 6 σ1 = 30x10 x -0,64 -0,77 0,64 0,77 x -0,2154 = 12987,01299 psi 187,44 -0,3581 0,1773 -0,79 6 σ2 = 30x10 x -1 0 1 0 x 0,0887 = -11082,25108 psi 240 0 -0,2154 -0,3581 6 σ3 = 30x10 x 0,64 -0,77 -0,64 0,77 x 0,0887 = 12987,01299 psi 187,44 0 0,0887 0 6 σ4 = 30x10 x -0,64 -0,77 0,64 0,77 x -0,0825 = -12987,01299 psi 187,44 0,0368 0,0887 0 6 0 = -11082,25108 psi σ5 = 30x10 x -1 0 1 0 x 240 0

-0,0825 0,0368 6 0 = -12987,01299 psi σ6 = 30x10 x 0,64 -0,77 -0,64 0,77 x 187,44 0 -0,2154 -0,3581 6 σ7 = 30x10 x -1 0 1 0 x -0,0825 = 16623,37662 psi 240 0,0368 Las reacciones de los apoyos serán las siguientes 0,1773 -0,79 0,0887 0 0 R 4 0 0 0 3,7958 0 0 -1,5775 -1,8979 1,5775 -1,8979 0 R 5 =106 0 0 -1,875 0 3,1861 -1,5775 -1,3111 1,5775 0 0 x -0,0825 R 6 0 0 0 0 -1,5775 1,8979 1,5775 -1,8979 0 0 0,0368 -0,2154 -0,3581

R 4 400000 0 R 5 = lb R 6 -200000 b)

En el caso de que la carga sea horizontal, la tensión en el elemento inclinado será cero, tal como se demuestra a continuación:

Como todo el procedimiento es el mismo, se tendrá que modificar solamente el vector de fuerzas: 3,1861 1,5775 -1,875 6 10 0 0 -1,3111 -1,5775

1,5775 1,8979 0 0 0 -1,5775 -1,8979

Q1  -200000 -1,875 0 0 -1,3111 -1,5775 Q2 0 0 0 0 -1,5775 -1,8979 Q3 0 6,3723 -1,3111 -1,5775 -1,3111 1,5775 0 -1,3111 5,1223 0 -2,5 0 x Q7 = Q8 0 -1,5775 0 3,7958 0 0 Q9 0 -1,3111 -2,5 0 5,1223 0 0 1,5775 0 0 0 3,7958 Q10

Luego: Q1 = Q2 = Q3 = Q7 = Q8 = Q9 = Q10 =

-0,2133 0,1773 -0,1067 -0,0533 -0,0443 -0,0533 0,0443

in

Finalmente la tensión en el elemento 1 será:

σ1 =

-0,2133 0,1773 3,0E+07 x -0,64 -0,77 0,64 0,77 x -0,0533 = -3,33174E-12 ≈ 0  psi 187,44 0,0443

3. Obtener de manera específica, la matriz de rigidez consistente sobre base elástica (5.38).

De acuerdo a la ecuación 5.37 la matriz de rigidez aplicada a viga sobre lecho elástico es

     ∫    〈     〉                                    ∫                                  ∫             [  ]

En la que H, vine dada por la expresión siguiente:

A su vez:

Reemplazando la ecuación de H en la ecuación de la matriz de rigidez tenemos:

Finalmente remplazando las ecuaciones correspondientes a H1, H2, H3 y H4 en la última expresión y realizando la integración se obtiene:

            [     ] 

SET 4

1. Para la siguiente viga de la figura, determinar la curva de deflexión y las reacciones de apoyo. Determinar: a) De manera analítica, en al menos un punto central de cada tramo. b) Si desaparece el apoyo D ¿Que ocurre con los valores de deflexión del punto B?

Datos. E = 30x106 [psi] I = 345 [in4] P = 5000 [lb] Q = 1500 [lb/ft] Solución a)

Las matrices de rigidez de cada elemento serán: 1 12 360 -12 360 575000 17250000 K 1= 47916,7 360 14400 -360 7200 = -12 -360 12 -360 -575000 360 7200 -360 14400 17250000

2 1,7E+07 6,9E+08 -2E+07 3,5E+08

3 -575000 -2E+07 575000 -2E+07

4 1,7E+07 3,5E+08 -2E+07 6,9E+08

1 2 3 4

3 12 360 -12 360 575000 17250000 K 2= 47916,7 360 14400 -360 7200 = -12 -360 12 -360 -575000 360 7200 -360 14400 17250000

4 1,7E+07 6,9E+08 -2E+07 3,5E+08

5 -575000 -2E+07 575000 -2E+07

6 1,7E+07 3,5E+08 -2E+07 6,9E+08

3 4 5 6

5 12 720 -12 720 71875 4312500 K 3= 5989,58 720 57600 -720 28800 = -12 -720 12 -720 -71875 720 28800 -720 57600 4312500

6 4312500 3,5E+08 -4E+06 1,7E+08

7 -71875 -4E+06 71875 -4E+06

8 4312500 1,7E+08 -4E+06 3,5E+08

5 6 7 8

7 12 504 -12 504 209548,1 8801020,4 K 4= 17462,3 504 28224 -504 14112 = -12 -504 12 -504 -209548,1 504 14112 -504 28224 8801020,4

8 8801020 4,9E+08 -9E+06 2,5E+08

9 -209548 -9E+06 209548 -9E+06

10 8801020 2,5E+08 -9E+06 4,9E+08

7 8 9 10

Realizando el ensamblaje obtenemos la matriz de rigidez global, en la cual se eliminan las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad prescritos: 1 2 3 4 5 6 575000 17250000 -575000 1,7E+07 0 0 1,7E+07 6,9E+08 -17250000 3,5E+08 0 0 -575000 -1,7E+07 1150000 0 -575000 1,7E+07 1,7E+07 3,45E+08 0 1,4E+09 -1,7E+07 3,5E+08 0 0 -575000 -2E+07 646875 -1E+07 K= 0 0 17250000 3,5E+08 -1,3E+07 1E+09 0 0 0 0 -71875 -4E+06 0 0 0 0 4312500 1,7E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 -71875 -4312500 281423,1 4488520,4 -209548,1 8801020,4

8 0 0 0 0 4312500 1,7E+08 4488520 8,4E+08 -9E+06 2,5E+08

9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -209548 8801020 -9E+06 2,5E+08 209548 -9E+06 -9E+06 4,9E+08

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

δa

Ta δb

Tb δc

Tc δd

Td δe

Te

2 3 4 6 8 10 6,9E+08 -1,7E+07 345000000 0 0 0 2 Ta 0 -2E+07 1150000 0 1,7E+07 0 0 3 δb  -5000 3,5E+08 0 1,38E+09 3,5E+08 0 0 4 * Tb = 0 0 17250000 345000000 1E+09 1,73E+08 0 6 Tc 0 0 0 0 1,7E+08 8,38E+08 2,5E+08 8 Td -73500 0 0 0 0 2,46E+08 4,9E+08 10 Te 73500 De donde los desplazamientos y rotaciones son los siguientes: Ta -0,0003411 δb  -0,013177 Tb = 2,3413E-05 Tc 0,00024748 Td -0,000214 Te 0,00025614

Las reacciones en los nudos serán:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 575000 17250000 -575000 1,7E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 -575000 -2E+07 646875 -1E+07 -71875 4312500 0 0 0 0 0 0 -71875 -4E+06 281423,1 4488520 -209548 8801020 0 0 0 0 0 0 -209548,1 -9E+06 209548 -9E+06

1 δa * 5 Ta 7 δb 9 Tb Δc

Tc Δd

Td Δe

Te

Ra 2096,131 0 Rc = 3048,2143 - 0 Rd 226,40306 -5250 Re -370,7483 -5250 Ra Rc Rd Re

= = = =

2096,131 3048,2143 5476,4031 4879,2517

lb lb lb lb

Las deflexiones en los puntos centrales de cada elemento serán:

δa-c = -3,41E-04

in

δc-d =

3,71E-03 + 3,21E-03

δc-d =

6,92E-03

in

δd-e = -2,25E-03 + -2,69E-03 δd-e = -4,94E-03

in

b)

Obtención de las matrices de rigidez para cada elemento: 1 12 360 -12 360 575000 K 1= 47916,7 360 14400 -360 7200 = 17250000 -12 -360 12 -360 -575000 360 7200 -360 14400 17250000

2 1,7E+07 6,9E+08 -2E+07 3,5E+08

3 -575000 -2E+07 575000 -2E+07

4 1,7E+07 3,5E+08 -2E+07 6,9E+08

1 2 3 4

3 12 360 -12 360 575000 K 2= 47916,7 360 14400 -360 7200 = 17250000 -12 -360 12 -360 -575000 360 7200 -360 14400 17250000

4 1,7E+07 6,9E+08 -2E+07 3,5E+08

5 -575000 -2E+07 575000 -2E+07

6 1,7E+07 3,5E+08 -2E+07 6,9E+08

3 4 5 6

5 12 720 -12 720 71875 K 3= 5989,58 720 57600 -720 28800 = 4312500 -12 -720 12 -720 -71875 720 28800 -720 57600 4312500

6 4312500 3,5E+08 -4E+06 1,7E+08

7 12 504 -12 504 209548,1 K 4= 17462,3 504 28224 -504 14112 = 8801020,4 -12 -504 12 -504 -209548,1 504 14112 -504 28224 8801020,4

7 -71875 -4E+06 71875 -4E+06

8 8801020 4,9E+08 -9E+06 2,5E+08

8 4312500 1,7E+08 -4E+06 3,5E+08

9 -209548 -9E+06 209548 -9E+06

5 6 7 8

10 8801020 2,5E+08 -9E+06 4,9E+08

7 8 9 10

La matriz de rigidez global de la que se eliminan las columnas y filas correspondientes a los grados de libertad prescritos, será: 1 575000 1,7E+07 -575000 1,7E+07 K= 0 0 0 0 0 0

2 3 4 5 6 7 8 17250000 -575000 1,7E+07 0 0 0 0 6,9E+08 -17250000 3,5E+08 0 0 0 0 -1,7E+07 1150000 0 -575000 1,7E+07 0 0 3,45E+08 0 1,4E+09 -1,7E+07 3,5E+08 0 0 0 -575000 -2E+07 646875 -1E+07 -71875 4312500 0 17250000 3,5E+08 -1,3E+07 1E+09 -4312500 1,7E+08 0 0 0 -71875 -4E+06 281423,1 4488520 0 0 0 4312500 1,7E+08 4488520,4 8,4E+08 0 0 0 0 0 -209548,1 -9E+06 0 0 0 0 0 8801020,4 2,5E+08

9 0 0 0 0 0 0 -209548 -9E+06 209548 -9E+06

10 0 0 0 0 0 0 8801020 2,5E+08 -9E+06 4,9E+08

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 6 7 8 10

2 3 3 6 7 6,9E+08 -1,7E+07 345000000 0 0 -2E+07 1150000 0 1,7E+07 0 3,5E+08 0 1,38E+09 3,5E+08 0 0 17250000 345000000 1E+09 -4312500 0 0 0 -4E+06 281423,1 0 0 0 1,7E+08 4488520 0 0 0 0 8801020

8 10 0 0 Ta 0 0 0 -5000 δb  0 0 Tb 0 1,7E+08 0 * Tc = 0 δd  4488520 8801020,4 -5250 8,4E+08 246428571 Td -73500 2,5E+08 492857143 Te 73500

Los desplazamientos y giros son: Ta -0,0001087 δb  -0,0027191 Tb 8,1512E-05 Tc = -0,0002173 δd  -0,0602868 Td -9,439E-05 Te 0,00127288 Como se puede ver, la deflexión en B aumenta de -3.41x10-4 a -2.72x10-3.

2. Para el siguiente pórtico plano, determinar la deflexión al centro del tramo BC y las reacciones de apoyo e A y en D. a) De manera analítica b) Si el elemento horizontal tuviera rótulas en los puntos B y C, cuál sería la deflexión en centro del tramo BC?

Datos. I1=I3=350 in4 I2=175 in4 A1=A3= 18 in2 A2=9in2 Q=1500 lb/ft E= CTTE Solución

Conectividad Nudo

coord.(x) coord.(y)

A B C D

0 10 30 40

0 20 20 0

ft ft ft ft

Elem.

nudo i

nudo j

le (in)

Ae (in²)

I(in4)

l

m

1 2 3

A B D

B C C

268,32 240 268,32

18 9 18

350 175 350

0,447 1 -0,447

0,894 0 0,894

Rigideces de los elementos

k'e=

EA/L 0 0 (-EA/L) 0 0 0 12EI/L3 6EI/L2 0 (-12EI/L3) (6EI/L2) 0 6EI/L2 4EI/L 0 (-6EI/L2) 2EI/L (-EA/L) 0 0 EA/L 0 0 0 (-12EI/L3) (-6EI/L2) 0 12EI/L3 (-6EI/L2) 0 6EI/L2 2EI/L 0 (-6EI/L2) 4EI/L

Elemento 1 0,06708 0 1 E * = 0 k’ -0,06708 0 0

0 0,000217 0,029168 0 -0,00022 0,029168

0 -0,06708 0 0 0,02917 0 -0,0002174 0,02916844 5,21765 0 -0,0291684 2,60882528 0 0,06708 0 0 -0,02917 0 0,00021742 -0,0291684 2,60883 0 -0,0291684 5,21765057

Elemento 2 0,0375 0 2 k’ = E * 0 -0,0375 0 0

0 0,000152 0,018229 0 -0,00015 0,018229

0 -0,0375 0 0 0,01823 0 -0,0001519 0,01822917 2,91667 0 -0,0182292 1,45833333 0 0,0375 0 0 -0,01823 0 0,00015191 -0,0182292 1,45833 0 -0,0182292 2,91666667

Elemento 3 0,06708 0 3 0 k’ = E * -0,06708 0 0

0 0,000217 0,029168 0 -0,00022 0,029168

0 -0,06708 0 0 0,02917 0 -0,0002174 0,02916844 5,21765 0 -0,0291684 2,60882528 0 0,06708 0 0 -0,02917 0 0,00021742 -0,0291684 2,60883 0 -0,0291684 5,21765057

Matriz de Transformación L l (-m) L= 0 0 0 0

m l 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 l m 0 (-m) l 0 0 0

0 0 0 0 0 1

Elemento 1 0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 0.447 0 0 0 0 L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 0.447 0 0 0 0 0 0 1

Elemento 2 1 0 L= 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Elemento 3 -0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 -0.447 0 0 0 0 L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 -0.447 0 0 0 0 0 0 1

Transpuesta de L Elemento 1 0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 0.447 0 0 0 0 T L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 0.447 0 0 0 0 0 0 1

Elemento 2 1 0 T L= 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Elemento 3 -0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 -0.447 0 0 0 0 T L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 -0.447 0 0 0 0 0 0 1

Matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas globales:  Notando que k e= LT * k’e * L

Elemento 1 0.013577769 0.026721122 -0.026076585 -0.013577769 0.026721122 0.053659452 0.013038293 -0.026721122 1 k  =E -0.026076585 0.013038293 5.217650566 0.026076585 -0.013577769 -0.026721122 0.026076585 0.013577769 -0.026721122 -0.053659452 -0.013038293 0.026721122 -0.026076585 0.013038293 2.608825283 0.026076585

-0.026721122 -0.053659452 -0.013038293 0.026721122 0.053659452 -0.013038293

-0.026076585 0.013038293 2.608825283 0.026076585 -0.013038293 5.217650566

Elemento 2 0.0375 0 0 -0.0375 0 0 0 0.00015191 0.018229167 0 -0.00015191 0.018229167 k 2=E 0 0.018229167 2.916666667 0 -0.018229167 1.458333333 -0.0375 0 0 0.0375 0 0 0 -0.00015191 -0.018229167 0 0.00015191 -0.018229167 0 0.018229167 1.458333333 0 -0.018229167 2.916666667

Elemento 3 0.013577769 -0.026721122 3 k  =E* -0.026076585 -0.013577769 0.026721122 -0.026076585

-0.026721122 0.053659452 -0.013038293 0.026721122 -0.053659452 -0.013038293

-0.026076585 -0.013038293 5.217650566 0.026076585 0.013038293 2.608825283

-0.013577769 0.026721122 0.026076585 0.013577769 -0.026721122 0.026076585

0.026721122 -0.053659452 0.013038293 -0.026721122 0.053659452 0.013038293

-0.026076585 -0.013038293 2.608825283 0.026076585 0.013038293 5.217650566

La matriz de rigidez global está dada por: 0.051077769 0.026721122 K=E* 0.026076585 -0.0375 0 0

0.026721122 0.053811362 0.005190874 0 -0.00015191 0.018229167

0.026076585 -0.0375 0 0 0.005190874 0 -0.00015191 0.018229167 8.134317233 0 -0.018229167 1.458333333 0 0.051077769 -0.026721122 0.026076585 -0.018229167 -0.026721122 0.053811362 -0.005190874 1.458333333 0.026076585 -0.005190874 8.134317233

VECTOR DE CARGA 15000 lb

15000 lb

600000 lb*in

600000 lb*in

2

0 -15000 F= -600000 0 -15000 600000

Lb Lb Lb*in Lb Lb Lb*in

El conjunto de ecuaciones está dado por: KQ=F Q = K -1*F Resolviendo obtenemos: 138671.9216 -370741.4072 1 -91140.11273 Q= * E -138671.9216 -370741.4072 91140.11273

in in rad in in rad

Cálculo de la deflexión en el centro del tramo BC Transformando Radianes a Grados sexagesimales tenemos: 91140.11273 rad * 1/E= 5221943.804º * 1/E

C

B ∆B

∆c

B

C

ѲC

ѲB ∆BC ѲB

 = - 91140.11273 rad * 1/E = - 5221943.804º * 1/E

ѲC

 = + 91140.11273 rad * 1/E = + 5221943.804º * 1/E

Desplazamientos verticales en los nudos B y C ∆B = ∆C = 1/E * -370741.4072 in

Desplazamiento en el centro del tramo BC:

                  

Por lo tanto la deflexión máxima en el centro del tramo BC es:

CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN LOS NUDOS A Y D

α

α

RAX' R

'

RBX' RBY'

RA

RB

Simplemente haciendo un análisis estático se puede determinar las reacciones en A y D Haciendo sumatoria de verticales se tiene que la reacción vertical en los nudos A y D es:

                   

Ahora se debe descomponer las reacciones verticales en dirección de los elementos 1 y 3:

Los componentes de R A y R B son: Componente X’:

Componente Y’:

Por simetría:

                     

b) Si

el elemento horizontal tuviera rótulas en los puntos B y C, cuál sería la deflexión en centro del tramo BC?

Conectividad Nudo

coord.(x) coord.(y)

A B C D

0 10 30 40

0 20 20 0

ft ft ft ft

Elem.

nudo i

nudo j

le (in)

Ae (in²)

I(in4)

l

m

1 2 3

A B D

B C C

268,32 240 268,32

18 9 18

350 175 350

0,447 1 -0,447

0,894 0 0,894

Rigideces de los elementos

k'e=

EA/L 0 0 (-EA/L) 0 0 0 12EI/L3 6EI/L2 0 (-12EI/L3) (6EI/L2) 0 6EI/L2 4EI/L 0 (-6EI/L2) 2EI/L (-EA/L) 0 0 EA/L 0 0 0 (-12EI/L3) (-6EI/L2) 0 12EI/L3 (-6EI/L2) 0 6EI/L2 2EI/L 0 (-6EI/L2) 4EI/L

Elemento 1 0,06708 0 1 k’ = E * 0 -0,06708 0 0

0 0,000217 0,029168 0 -0,00022 0,029168

0 -0,06708 0 0 0,02917 0 -0,0002174 0,02916844 5,21765 0 -0,0291684 2,60882528 0 0,06708 0 0 -0,02917 0 0,00021742 -0,0291684 2,60883 0 -0,0291684 5,21765057

Elemento 2 0,0375 0 2 E * = 0 k’ -0,0375 0 0

0 0,000152 0,018229 0 -0,00015 0,018229

0 -0,0375 0 0 0,01823 0 -0,0001519 0,01822917 2,91667 0 -0,0182292 1,45833333 0 0,0375 0 0 -0,01823 0 0,00015191 -0,0182292 1,45833 0 -0,0182292 2,91666667

Elemento 3 0,06708 0 3 E * 0 k’ = -0,06708 0 0

0 0,000217 0,029168 0 -0,00022 0,029168

0 -0,06708 0 0 0,02917 0 -0,0002174 0,02916844 5,21765 0 -0,0291684 2,60882528 0 0,06708 0 0 -0,02917 0 0,00021742 -0,0291684 2,60883 0 -0,0291684 5,21765057

Matriz de Transformación L l (-m) L= 0 0 0 0

m l 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 l m 0 (-m) l 0 0 0

0 0 0 0 0 1

Elemento 1 0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 0.447 0 0 0 0 L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 0.447 0 0 0 0 0 0 1

Elemento 2 1 0 L= 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Elemento 3 -0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 -0.447 0 0 0 0 L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0.447 0.894 0 0 0 0 -0.894 -0.447 0 0 0 0 0 0 1

Transpuesta de L Elemento 1 0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 0.447 0 0 0 0 T L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 0.447 0 0 0 0 0 0 1

Elemento 2 1 0 T L= 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Elemento 3 -0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 -0.447 0 0 0 0 T L= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0.447 -0.894 0 0 0 0 0.894 -0.447 0 0 0 0 0 0 1

Matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas globales:  Notando que

k e= LT * k’e * L

Elemento 1 0.013577769 0.026721122 -0.026076585 -0.013577769 0.026721122 0.053659452 0.013038293 -0.026721122 k 1=E -0.026076585 0.013038293 5.217650566 0.026076585 -0.013577769 -0.026721122 0.026076585 0.013577769 -0.026721122 -0.053659452 -0.013038293 0.026721122 -0.026076585 0.013038293 2.608825283 0.026076585

-0.026721122 -0.053659452 -0.013038293 0.026721122 0.053659452 -0.013038293

-0.026076585 0.013038293 2.608825283 0.026076585 -0.013038293 5.217650566

Elemento 2 0.0375 0 0 -0.0375 0 0 0 0.00015191 0.018229167 0 -0.00015191 0.018229167 2 k  =E 0 0.018229167 2.916666667 0 -0.018229167 1.458333333 -0.0375 0 0 0.0375 0 0 0 -0.00015191 -0.018229167 0 0.00015191 -0.018229167 0 0.018229167 1.458333333 0 -0.018229167 2.916666667

Elemento 3 0.013577769 -0.026721122 3 k  =E* -0.026076585 -0.013577769 0.026721122 -0.026076585

-0.026721122 0.053659452 -0.013038293 0.026721122 -0.053659452 -0.013038293

-0.026076585 -0.013038293 5.217650566 0.026076585 0.013038293 2.608825283

-0.013577769 0.026721122 0.026076585 0.013577769 -0.026721122 0.026076585

0.026721122 -0.053659452 0.013038293 -0.026721122 0.053659452 0.013038293

-0.026076585 -0.013038293 2.608825283 0.026076585 0.013038293 5.217650566

La matriz de rigidez global está dada por: 0.051077769 0.026721122 K=E* 0.026076585 -0.0375 0 0

0.026721122 0.053811362 0.005190874 0 -0.00015191 0.018229167

0.026076585 -0.0375 0 0 0.005190874 0 -0.00015191 0.018229167 8.134317233 0 -0.018229167 1.458333333 0 0.051077769 -0.026721122 0.026076585 -0.018229167 -0.026721122 0.053811362 -0.005190874 1.458333333 0.026076585 -0.005190874 8.134317233

VECTOR DE CARGA Debido a que existen rótulas en los nudos B y C los momentos en dichos nudos son igual a 0: 15000 lb

15000 lb

0 lb*in

0 lb*in

2

0 -15000 0 F= 0 -15000 0

Lb Lb Lb*in Lb Lb Lb*in

El conjunto de ecuaciones está dado por: KQ=F Q = K -1*F Resolviendo obtenemos: 99683,11685 -329431,4291 1 -1032,749453 Q= * E -99683,11685 -329431,4291 1032,749453

in in rad in in rad

Cálculo de la deflexión en el centro del tramo BC Transformando Radianes a Grados sexagesimales tenemos: 1032.749453 rad * 1/E= 59172.18495º * 1/E

B

C ∆B

∆c

B

C

ѲC

ѲB ∆BC ѲB

 = - 1032.749453 rad * 1/E = - 59172.18495º * 1/E

ѲC

 = + 1032.749453 rad * 1/E = + 59172.18495º * 1/E

Desplazamientos verticales en los nudos B y C ∆B = ∆C = 1/E * -329431.4291 in

Desplazamiento en el centro del tramo BC:

                   

Por lo tanto la deflexión máxima en el centro del tramo BC es:



Identificar cada una de las componentes de la ecuación 5.11 indicando a cual de cada una de las componentes de la 5.10 corresponde. Ecuación 5.10

∫ *   +    

Integrando por partes:

∫ *   +                    

Aplicando el análisis a la viga de estudio la integral se subdivide: I 0 a xm II xm a xk  III xk  a L Tenemos la ecuación 5.11

Donde:

∫     ∫                              

-

La energía interna de deformaciones es:

-

El trabajo de las cargas distribuidas es:

-

El trabajo de las cargas puntuales es:

∫        ∫   

-

            

El trabajo de los momentos es:

SET 5

1. Resuelva el siguiente problema para Estado Plano de Tensiones, con E = 70 [GPa],t= 10 [mm], a) De manera analítica, a través de la Teoría Elemental de Vigas. b) Lo mismo que a), verificando y comparando los resultados utilizando una discretización en dos elementos triangulares CST. c) De acuerdo a los resultados obtenidos, indique si es posible con una mayor discretización obtener mejores resultados. Explique. d) Si en lugar de usar el elemento CST se pudiera usar elementos cuadriláteros de orden superior, cuáles serían las causas en las diferencias en los resultados obtenidos y saque sus propias conclusiones respectivas en el uso de los dos tipos de elementos finitos para este tipo de problema, identificando los órdenes de variación de las tensiones y deformaciones para este tipo de problema.

a)

Mediante la teoría elemental de las vigas: Calculo de tension:

                    ∫                   ⁄

Calculo de deformación:

             

Si: x=90 ; y=0

Si:

             

x=90 ;

Si:

 

                      x=0 ; y=ymax

b)

Discretizando en dos elementos triangulares CST: 3

2 e=1 e=1

4

1

La matriz de propiedades materiales:

         

  

78554595444

  

1

0,33

0

0,33

1

0

0

0

0,335

78554595444 25923016496

0

25923016496 78554595444

0

0

0

26315789474

La tabla de incidencia nodal será: NUDOS i

Elemento

Haciendo el producto

C*B1=

j

k

1

1

2

4

2

3

4

2



8,72829E+11 -5,76067E+11

0 5,76067E+11 -8,72829E+11

0

2,88034E+11 -1,74566E+12

0 1,74566E+12 -2,88034E+11

0

-5,848E+11

2,92398E+11 -5,84795E+11

0

0 -2,924E+11

C*B2=

-8,73E+11

5,76E+11

0

-5,76E+11

8,73E+11

0,00E+00

-2,88E+11

1,75E+12

0

-1,75E+12

2,88E+11

0,00E+00

5,85E+11

-2,92E+11

5,85E+11

0,00E+00

0,00E+00

2,92E+11

459544383,3 -261194029,9

263157894,7

129615082,5 -196386488,6

131578947

-261194030

K1=

851335428,1 -131578947,4 -785545954,4

263157894,7 -131578947,4

263157894,7

129615082,5 -785545954,4

0

-196386489

129615082,5

131578947,4 -65789473,68

459544383,3 -261194029,9 -261194030 K2=

0

131578947

785545954,4 -129615082,5

0

131578947,4

263157894,7

129615082,5 -785545954,4

0

129615082,5

131578947,4 -65789473,68

-2,61E+08

0

0

65789473,7

129615082,5 -196386488,6

131578947

129615082,5 -65789473,7

0

0

131578947

785545954,4 -129615082,5

0

0 -129615082,5 131578947,4

4,60E+08 -2,61E+08

196386488,6

0

851335428,1 -131578947,4 -785545954,4

263157894,7 -131578947,4

-196386489

0

0 -129615082,5

263157894,7

129615082,5 -65789473,7

196386488,6

0

0

65789473,7

0

2,63E+08

1,30E+08

8,51E+08 -1,32E+08 -7,86E+08

Q1 x

Q2

O O

=

2,63E+08 -1,32E+08

4,60E+08

0,00E+00

Q3

O

1,30E+08 -7,86E+08

0,00E+00

8,51E+08

Q4

-7000

Q1

-1,57E-05

Q2

-8,60E-05

Q3

=

-1,57E-05

Q4

-8,53E-05

Q5

0,00E+00

Q6

0,00E+00

Para el elemento 1, el vector de desplazamientos nodales es:

 〈     〉       〈   〉  〈      〉 

Las tensiones se calculan haciendo

 luego:

 N/m2

Para el elemento 2 :