Practica de Calculo 2 PDF
April 8, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Estudiante: Sergio Adrián
Zeballos Rocha
Calculo II
2.1. Hallar las distancias y los puntos medios, entre los siguientes pares de puntos: a) P1(1,2,5); P2(3,6,1) DISTANCIA:
= = 33 1 6 2 1 5 = 2 4 44 = √ 36=6 3 6=6 = 2 ; = 2 ; = 2 13 26 51 = 2 = 2, = 2 = 4, = 2 = 3
PUNTO MEDIO:
PM=(2,4,3)
b) P1(1,0,2); P2(3,6,5) DISTANCIA:
= = 33 1 6 0 5 2 = 7 = 2 ; = 2 ; = 2 = 1 2 3 = 2, = 0 2 6 = 3, = 5 2 2 = 72
PUNTO MEDIO:
PM=(2,3,7/2)
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Calculo II
c) P1(3,2,4); P2(7,6,6) DISTANCIA:
= = 77 3 6 2 6 4 = 6
PUNTO MEDIO:
= 2 ; = 2 ; = 2 = 3 2 7 = 5, = 2 2 6 = 4, = 4 2 6 = 5
PM=(5,4,5)
c) P1(0,0,0); P2(3,2,6) DISTANCIA:
= = 33 0 2 0 6 0 = 7
PUNTO MEDIO:
= 0 223 =;32, = 2= 0 ;22== 1,2 = 0 2 6 = 3
PM=(3/2,1,3)
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Calculo II
2.2. Dados los vertices de un triangulo P1(2,4,2); P2(1,1,5); P3(3,7,3)calcular P3(3,7,3)calcula r la longitud de la mediana que parte de P1. HALLAMOS EL PUNTO MEDIO:
= 2 ; = 2 ; = 2 = 1 2 3 = 2, = 1 2 7 = 4, = 5 2 3 = 4
PM=(2,4,4)
AHORA EL P1 CON PM LA LONGITUD DE LA MEDIANA:
= = 22 2 4 4 4 2 = 2
2.3. El segmento comprendido entre P1(-1,8,5); P2(9,-7,0) se debe dividir en cinco partes iguales, hallar las coordenadas de los puntos de division. Se asigna en r valores para dividir en 5 partes:
= 1 ; = 1 ; = 1 84∗7 54∗0 = 14∗9 = 7 , = = 4 , = 14 14 14 = 1
P3 y r=4:
P4 y r=3/2:
= 1 113232∗ 9 = 5, = 8 132∗7 32 = 1, 2 2 1 1 8 ∗ 9 3 = 1 23 = 3, = 13∗7 23 = 2, 1 1 8 ∗7 1 1 ∗ 9 4 4 = 5, = 1, = = 1 14 1 14 P5 y r=2/3:
P6 y r=1/4:
= 5 132 32∗ 0 = 2 2 5 = 1 3 23∗ 0 = 3 1 5 ∗ 0 4 = =4 1 14
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Calculo II
P1=(-1,8,5) P2=(9,-7,0) P3=(7,-4,1) P4=(5,-1,2) P5=(3,2,3) P6=(1,5,4) 2.4. Si los puntos dados son vértices de un triángulo, demostrar que: a) P1(1,-1,3); P2(2,1,7); P3(4,2,6) determinar un triángulo rectángulo.
= = 22 1 1 1 7 3 = √ 2211 = 4 1 2 1 6 3 = √ 2277 =4= 4221 6 7 = √ 6
b) P1(4,2,4); P2(10,2,-2); P3(2,0,-4) determinar un triángulo equilátero.
= = 104 104 2 2 24 24 = √ 7722
= 2 002244 ==√ √ 77277222 2 210 210 4 44 42 42 = =
c) P1(3,-1,2); P2(0,-4,2); P3(-3,2,1) determinar un triángulo isósceles.
= = 00 3 41 41 2 2 = √ 1188 = 33 33 2 1 1 2 = √ 4466 =≠ 30 30 = 2 4 1 2 = √ 4466
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d) P1(3,-1,6); P2(-1,7,-2); P3(1,-3,2) determinar un triángulo equilátero y escaleno.
= = 13 13 7 1 22 = 12 1 31 31 31 37 37 2 62 = √ 2241201420 = 1 ≠ ≠
2.5 a) Hallar vértices de Triángulos, los puntos medios de sus lados son: (3,2,3); (-1,1,5); (0,3,4).
3 = 2 ; 2 = 2 ; 3 = 2 11== ; 1 = ; 5 = 0 = 2 2 ; 3 = 2 2 ; 4 = 2 2 =2; =4; =4 12,0,4 =0; =4; =2 ⋙ 24,4,2 =4; =2; =6 34,2,6 1= 1 = 2,1,0; 2= 2= 4,0,3; 3= 3= 6,1,6 2 1 0 1∙1 ∙ 2×3 2×3 = [64 10 63] = 233 16 04
b) Demostrar que (2,-1,0); (4,0,3); (6,1,6) son colineales.
=0
c) demostrar que los puntos P1(0,0,0); P2(1,0,0); P3(1/2,1/2,1/
√2); P4(0,1,0) son los vértices de un rombo.
= 3 3 1= 1 = 12 , 12 , √ 12 0,0,0 = 12 , 12 , √ 12 =42=0,1,0 1,0,0 = 1,1,0 =42=
∘ = , , √ ∘ 1,1,0 = 0
Entonces A es perpendicular a B.
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d)Hallar el cuarto vértice del paralelogramo entre: P1(4,1,3); P2(2,-1,5); P3(1,2,3).
= 2 2 1= 1 = 2,1,5 4,1,3 =2,2,2 =31=1,2,3 4,1,3 =3,1,0 =31=
4=1 4=1 = 2, 2,2 = 4,3,1,31,0 =5,5,1,21,2= 1,0,5
e) Demostrar que P1(1,3,2); P2(4,10,4); P3(2,6,8); P4(5,13,10) son vértices de un paralelogramo.
= 44 1 103 103 4 2 = √ 6622 = 55 2 136 136 108 108 = √ 6622 6 3 8 2 = √ 4466 = 2 2 1 1310 104 104 = √ 4466 = 55 4 1310
Es un paralelogramo porque dos lados son iguales.
2.6 Hallar las áreas de los triángulos, cuyos vértices son los tríos de puntos: P1(3,3,2)
P1(1,2,6)
P1(0,0,0)
P1(4,2,6)
P2(1,1,5)
P2(2,4,4)
P2(0,0,2)
P2(10,-2,4)
P3(2,6,3) a)
P3(3,6,2)
P3(0,2,0)
P3(-2,0,2)
= 2 2 1= 1 = 2,2,3 = | × | =31=1,3,1 =31= × = 21 32 31 = 11,1,8 | × | = 11 11 11 8 =186 1 ∴ = 2 √ 118686
si
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b)
= | × | = 2 2 1= 1 = 1,2,22 =31=2,4,44 =31= | × =| =21 042 0442=00,=00,0 ⋙=0
si
c)
= 2 2 1= 1 = 0,0,2 =31=0,2,0 =31=
si
= | × |
| ××=| =0 420 020=04, =04,0 ∴ = 12 ⋅4=2
d)
= 2 2 1= 1 = 6,4,22
si
= | × |
=31= =31= × = 66 246,422, =4412,36,3636 | × | = 1212 36 36 36 = 1212√ √ 1199 12√ 19=6√ 1 9=6√ 1199 ∴ = 12 ⋅ 12√
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2.7 Hallar las ecuaciones de la recta que cumplen con las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto Po(3,6,3), su dirección es: a=(1,2,4).
: − = − = − := ,, = 3,6,3 1,2,4
Si por la ec. Vectorial:
b) Pasa por los puntos P1(1,2,2), P2(3,5,4).
− − − :−1 =− 2==− 2
2 3 2 =2,3,2
c) Pasa por los puntos P1(3,2,4), P2(3,6,2).
: 3 33 = 6 22 = 2 44 0, 4 2 = 2 4 = 0,4,22
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d) Pasa por los puntos P1(1,2,3), P2(1,5,3) paralela al eje z.
: 1 11 = 5 22 = 3 33 0, 3 2 , 0 = 0,3,0
e) Pasa por el punto Po(3,5,4).
: 0 3 = 0 5 = 1 4 = 3; = 5; 1 4
f) Paralela a L:
− = − = −
= 1,2,4;13,6,5 : 1 3 = 2 6 = 4 5
. Pasa por P1(3,6,5).
La dirección de L se obtiene a partir de sus denominadores.
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g) Pasa por el origen y por el punto Po(a,b,c). P1=(0,0,0) ; P2=(a,b,c)
: 00 = 00 = 00 ==
2.8 hallar el vector dirección y un punto que pertenezca a las Rectas.
− = − = − − = + = − =9=6 − = − = −
a) L:
a)
a = (7,9,8) Po= (2,4,5) b) L:
a= (4,3,5) ; Po=(6,-7,0) c)
a= (5,1,0) Po= (4,9,6)
d) L:
a= (1,7,2) Po= (9,-2,4)
b)
c)
d)
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2.9 Indicar si pertenecen o no (V o F) a la recta L: P1(8,2,9) P2(4,-4,-1) P3(4,5,9).
a) P1 pertenece a la recta L:
− = + = −
viendo el grafico:
− = −+ = −−
b) P2 pertenece a la recta L:
viendo el grafico:
− = + = −
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− = + = −
c) P3 no pertenece a la recta L:
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viendo el grafico:
2.10 Hallar tres puntos que pertenezcan a las rectas.
a) L:
− = − = −
= 72 72 ;= ; = 8844 ;= ; = 93 9 3 11== 7,8,9 2= 33== 11,16,155
Se da valores arbitrarios a t (0,1,2)
PRIMER PUNTO
SEGUNDO PUNTO
9,12,12)
TERCER PUNTO
b) L:
− = =8
= 59 59 ;= ; = 3 ;= ; = 8 11== 5,0,8 2= 33== 23,6,8
Se da valores arbitrarios a t (0,1,2) PRIMER PUNTO
SEGUNDO PUNTO
TERCER PUNTO
14,3,8)
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2.11 Hallar las ecuaciones cartesianas de las siguientes rectas, expresadas de otras maneras.
a) X+3y+2z-6=0 2x+y+3z-4=0
−−+ −− −+ −+ − = −/ −/ = / −/
X=-3y-2x+6= Y=
X-7y-10 = :
b) 2x-y+4z-8=0 3x+6y-z-6=0
−+ −++ − = −+ −+ = − = −/ −/ = −/ −/
X=
Y=
X= :
C)
X=7+3t Y=8+4t Z=5+2t T=
−− = − ; −
d) X=6+4t Y=9-5t Z=5 t=
− = − =5
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2.12 Hallar el ángulo entre los siguientes pares de rectas.
a)
− = − = − − = − = −
L1: L2:
a= (1,2,1); b=(1,3,2)
→ √6 √14
a*b= 9; lal lbl cos a*b = 9; {a}=
{∗}{}
=Arcos
{b}=
√ = √ √ − = − = − − = − = = 10. 89º
b)
L1:
L2:
a= (2,1,3); b = (1,2,2)
→∗= →∗={ → {∗} {} {}{}{} √14 →= →=27. 0 2º
a*b=10; {a}=
; {b}=3
2.13 Determinar el punto de intersección int ersección entre los siguientes partes de rectas.
a) L1: L2: L1: x=1+2t
−−− = −− = −−
L2: x=2-s
Y=3+2t
y=7+2s
Z=3+t
z=6+2s
1+2t=2-s
→
3+2t=7+2s
3+2t=7+2s
3+t=6+2s .. 3+1=6+2(-1)
→
1+2t=2-s
t=1 ; s=-1
P1(3,5,4)
→
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b) L1: L2:
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− = − = − − = − = −
L1: x=5+4t
y=3+s
Z=6+5t
z=2+s
5+4t=7-6s
5+4t=7-6s
→
4+2t=3+s
4+2t=3+s
6+5t=2+s
t=1 ; s=-1
→
.. 6+5(-1)=2-1
L2: L1: x=1+3t Y=2+2t
P1(1,2,1)
− = − = − − − − ==
2+2t=3+4s 4+t=2+2s
2.14
L2: x=4+s y=3+4s
Z=4+t 1+3t=4-s
L2: x=7+6s
Y=4+2t
c) L1:
z=2+2s
→
Hallar
1+3t=4-s
2+2t=3+4s t=11/10 ; s=-3/10
las
intersecciones
coordenados.
a)
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− = − = +− − = − = 1
Plano XY z=0 .
→ → →→ − =2=→ −−
. x=3; y=6; Plano ZX y=0 .
P1: (3,6,0)
. x=2; z=6; P2: (2,0,3) Plano YZ x=0
− + → 44== →= −
.
. x=-12; y=9;
P3: (0,-12,9)
de
las
rectas
con
los
planos
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− = + − =4 − 03 03;; = = 4
b) L:
Plano XY z=0 . Plano ZX y=0 .
. x=3; Plano YZ
P2: (3,0,4) x=0
→ 33==→−− → →
.
. y=5;
z=4
P3: (0,5,4)
2.15. Hallar la mínima distancia entre las rectas y los puntos indicados:
a)
− = − = −− ; 4,6,5 =|−=|||4,|6| ,5 1,5,2 =3,1,3
L:
= =3,1,3 × 2,6,33 = 21,15,166 | | = √ 922; 922; || = 7 = √ 922/7=4. 922/7=4.33
b)
: − = − = − ; 8,9,7 d = |−||||| = 8,9,7 3,5,4 = 5,4,3 = =5,4,3 × 2,1,2 = 5,4,33 |Pe Poxa| = √ 50;50; |a| = 3 = √ 50/3=2. 50/3=2.357
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2.16. Hallar la mínima distancia entre las rectas:
a)
1: 2 8 = 1 7 = 3 9 5 7 9 2: = ⃑4P1 =⃑P21°a⃑ ⃑ ×= ⃑b 2 ⃑a× b 1 2 = 8,7,9 5,1,6 =3,6,3 = 2,1,3 × 4,3,2 =7,8,2 °()=33; = √ 117117 = √ 33117117 =3.05
B)
: 5 6 = 1 7 ;=8 2: 3 4 = 2 = 1 3 1 2°× = × × 1 =2°=5,16,,07×,×83,=2,4,210,=1, 3 = 2,5,7,5 = √ 75⇒= 7 5⇒= √ =0.23
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C)
: 3 4 = 3 6 = 2 4 2: 2 3 = 4 7 = 2 4 1 12=2°× = 4,6,4 3,/7,4× =1,1,0 × = 3,3,2 × 2,4,2 = 2,2,6 ° × = 0 =44 ⇒= √ = 0
D)
: 2 5 = 2 4 = 1 6 2: 2 9 = 2 7 = 1 8 | 2 = |1|× | 2 1 = 9,7,8 5,4,6 = 4,3,2 2 1× =1, =1,0,2 1 × 7| 4= √5 ;;||| = 3 |=2 5/3=0. 5/3=0.
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2.17. Hallar el punto P1 de la recta L, que determina la mínima distancia entre la L y el punto externo Pe. Hallar también la ecuación de la Recta L1 sobre tal distancia.
: 1 2 = 2 7 = 2 4 ; 3,4,5
=|=|3,|4,5×| ;2,==7,41,=1, 2,2 3,1 ×= ×=8,1,5; || = 3 | × | = √ 90⇒=√ 9 0⇒= √ 10=3, 10=3,162 =12 =72 = = =42 724 425 611⇒=1/3 √ 101=9 1⇒ 01=; =123 10= 123 1/3 ;;== 19/3 ; = 10/3 × ×= ×=12,2115 115 1: 12 3 = 21 4 = 15 5
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B)
: 3 1 = 3 2 = 1 4 ;3,6,5 | = || × | 3,6,57, 1,5,2,466 ;=2,|| =4,1√ 1199 = ×= ×= | × | = √ 110⇒= 1 10⇒= 11011910 =2,406 =13 =23 = = =4 133 110/19= 1=10/19= 133 236 45 110/19=19 3 4 2 8 9 / 1 9 ⇒ = 1 7 / 1 9 70/19 ;; = 89/19 ; = 59/19 1: 13 3 = 25 6 = 36 5
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2.18. Hallar la ecuación de la recta Bisectriz a la siguiente recta:
A)
11 6 6 5 1: 6 9 = 11 = = = 2: 6 7 2 1 2 1:=52 1:=96 =6 =116 =62 =116 117=62 96=52 ⇒116=6 96=52 ⇒=1;=1 116=6 ⇒11711 =62 ⇒117 =6211 ⇒4=4 ⇒13,5,4 =||3| =5 11112,1,113 24 36, 63,7 = 11440, 4540,29,443 : 40/14 = 29/14 = 43/13 ⇒ 40 = 29 = 43
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1: − = − = − 2: 2 3 = 1 3 = 2 1
B)
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1:=43 =42 =76 1:=32 =3 ⇒11, 2,1 =12= |||||+|++|||| = ,,−++,, = 23,13,4 1 = 13/10 2 = 4/10 1 ⇒ 23 1 = 13 2 = 4 1 : 23/10
2.19. Hallar dos puntos pertenecientes unidades. A)
1: 1 2 = 2 5 = 2 4 =2 12,5,4 =52 2,, =42 =
, separados entre sí en 3
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3 = 22 22 525 424 =3 =3;= ;= 7 ;=6 ;= 6 ⇒=± ⇒ = 1 ;= 3 ;=2 ;= 2
B)
1:=14 1: 4 1 = 4 4 = 2 511,4,5 =44 2,, =52 = 3 = 141 141 444 525 = 2 ;;== 5 ;= ; = 11/2 ⇒=± ⇒ = 0 ;;== 3 ;;== 9/2
2.20. Hallar las ecuaciones de los Planos, que cumplen con las siguientes condiciones: A) El plano II pasa por el punto
1,3,2 ° = 0 ,,, 3,5,4°1,3,2 = 0 1⇒3225=0 235 24 =0= 0 .
2,5,3
su vector Normal es su
=
B) El plano II pasa por el punto
0,2,0 ° = 0 ,,, 3,5,4°0,2,0 = 0 .
0 3 25 04 = 0= 0
3,5,4
=
, su Vector Normal es:
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⇒5=0
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C) El plano II pasa por Origen, su Vector Normal es:
° = 0 ,,, 3,5,4°1,3,2 = 0 = 0 1 0 3 0 0 0 = 0 ⇒32=0
.
=1,3,2
D) El plano II paso por el
==1,0 1,2 =3,4,4 ° ̅ =1, ,,, 3,4,4°1,1,2 = 0 = 0 1 3 1 4 2 4 = 0 ⇒215=0 Vector:
, es perpendicular al
E)El plano II intersecta a los ejes coordenados X; Y; Z en 3; 5; 4 respectivamente.
= 1 3 5 4 = 1 2012y15z 60 = 1 20121560=0 =20,12,15
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Calculo II
f) El plano II pasa por puntos (2,2,3); (3,5,2); (1,4,3)
1 ∘ 2 1 × 3 1= = 1 2 1 = 3,5,2 2,2,3 = 1,3,11 3 1 = 1,4,3 2,2,3 = 1,2,0 ⇒,2,,1 ×2,32,3°12,=2, 1,5 1=,50 = 0 2 2 1 2 5 3 = 0 2521=0 1 ∘ 2 1 × 3 1= = 1 2 1 = 3,4,1 1,2,3 = 2,2,22 3211= ×2,3,3611, 2=8,,3 =2,1,64,0 ⇒,,, 1,2,3°8,2,6 = 0 = 0 8 1 2 2 6 3 = 0 4311=0
g) El plano II pasa por los puntos (1,2,3); (3,4,1); (2,6,3)
h) El plano II por los puntos: X
̅;̅=̅=1,0,31,,140,1,=2, 2==122 = 3,114,××3 і= 0= 01,1 ⇒,,, 1,3,4°°0,1,1 = 0 = 0 0 1 1 3 1 4 = 0 7=0
11,3,4;4; 23,4,3
; es paralelo al eje
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Calculo II
i) El plano II pasa por los puntos: eje Y
= 2 1 × ̅; ̅ = 0,1,0 2 1 = 1,5,4 3,4,3 =2,1,1 ⇒,=,2,13,×4, 3і= ̅°=°1,1,00,,2222= 0= 0 11 3 0 4 2 3 = 0 29=0
11,3,4; 21,5,44
; es paralelo al
J)
El plano II pasa por los puntos:
2431=0 32,15=,60 ⇒ 2= 21, 244,4; 31 = 0 1 2 2 5 4 6 = 0 2436=0
III
Si:
2,5,6
; es paralelo al plano
k) El plano II pasa por los puntos: XY
= 0,0,1; 2,5,3 = 0 0 2 0 5 1 3 = 0 3=0
2,5,3
; es paralelo al plano
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Calculo II
L) El plano II pasa por los puntos:
23520=0 2 1 = 2,1,1; 1=2,3,5 = 2 1 × і= ̅ = 8,12,44 88 239=0 3 12126 4 3 = 0
plano
11,3,4; 21,5,44
; es paralelo al
2.21. Determinar si pertenecen al plano:
,,; ,,; ,, 33 5 2200 = 0 1:33∙45∙120=0 0=0⇒1∈ 2: 43∙25∙220=0 0=0⇒2∈ 3: 23∙65∙420=0 20=0⇒3∉
=
los puntos:
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Calculo II
2.22. Indicar un punto que pertenezca los siguientes planos y su vector normal.
2 3 6 12 = 0 ∶ = 0 ; = 0 = 0 0,0, 0, 22 Ñ = 2,2, 3, 66 2 4 – 2020 = 0 ∶ = 0 ; = 0 = 5 0,0, 0, 55 Ñ = 1,1, 2, 44
a)
b)
3 2 55 3300 = 0 ∶ = 0 ; = 0 = 0 10, 10, 0,0, 00 Ñ = 3,3, 2, 55
c)
2.23. Hallar los puntos en que el plano 3x + 2y + z – 6 = 0 intersectar a los Ejes Coordenados.
3 2 – 6 = 0 = 0; = 0 3 22∗∗ 0 0 – 6 = 0 = 2 2,2, 0,0
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= 0; = 0 3 ∗0 22∗∗ 0 – 6 = 0 = 3 0,3,0 3 ∗0= 0; 22∗ ∗=0 0 – 6 = 0 = 0 0,0,6 óó : = 0; = 0 óó : = 0; = 0 óó : = 0; = 0
Calculo II
2.24. Hallar la ecuación del lugar geométrico de intersección entre los siguientes planos.
2 4 – 2020 = 0 2 – 3 6 – 12 = 0 = 1,1, 2, 4 = 2,3,6 = ∗ = 24,2,7 = 0 2 = 20 2 – 3 = 12 = 12; = 4 12,4,0
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0 4 12 = = 24 2 7 2 3 – 6 = 0 4 2 66 1188 = 0 == =02,2 ,∗1,3 =20, =0,04,= 62,6 4 2 = 18 ;
Calculo II
3 – 3 – 2 = 0
43–32 – 3356 =– 3183828 = 0 = 3 4 – 2 = 6 = 5 3 5 = 38 = 4 3,3, 5,4
2.25. Hallar las ecuaciones condiciones siguientes.
de
los
:5 42 = 9 83 = 136 : 3 = 4 = 2 ∶ = 4 2 ∶ = 5 3 3
= 8 3 = 3– 4 2 = 5 3 8 3 0 9 4
= 9 4 = 6 2 4 2 = 5 3 8 3 = 9 4
planos,
que
cumplen
las
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Calculo II
3 – = 6 2 = 1; = 1 3 – 11 = 6 2 11 4 = 4 2,5,4 = 2,3,1 ; = 3,4,2 = ∗ = 10, 7,1 = 0 10 – 2 – 7 – 5 – 1 – 4 = 0 10 – 7 – 19 = 0
: 21 = 56 = 2 7 : 11 = 36 = 2 2 = 2,5,7; = 1,3,2 = 1,1, 2, 5; = 11,, 6, 2 = ∗ = 3344, 7, 4 34– 1– 77 –6– 4 2=0
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34 – 7 – 4 – 5 = 0
Calculo II
: 1 = 3 = 7 : 232 = 184 = 14 5 = 2,4,1; = 3,8,4 = ∗ = 8,8, 5, 4 = 0 8 – 1 – 55 – 3 – 44 – 7 = 0 8 – 5 4 – 21 = 0
: 11 = 45 = 2 3 = 1,1, 5, 22;; 22,, 4,3;; 4,4, 5,6 = ∗ = 1313,, 1,99 = 0 1133 – 2 – 1 – 4 9 3 = 0 13 – 99 – 3 = 0
: 27 = 3 4 = 5 3 : 92 = 16 = 1 7 : = 2 7 : = 9 2 = 84 53 = 71 6
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Calculo II
2 7 = 9 2 2 7 = 9 2 4 3 = 1 6 4 3 = 1 6 8 5 = 7 = 4 / 3; = 7 / 6 8 5 4 / 3 = 7 7 / 6 44 / 3 ≠ 49 / 6 := 8 4 = =4, 7,7 22;9 ;= 25 3,3, 6,4 = 0 4 – 3 7 – 6 – 2 – 4 = 0 4 7 – 2 – 46 = 0
2.26. Hallar las intersecciones entre los planos y rectas.
532 = 7 79 =4 –5125 = 0 = 5 33;; = 3 – 22;; = 8 5 25 3 73 – 2 4848 5 = 51 = 1; = 2; = 5; = 3 = 1
a)
4 2 5 – 85 = 0 6 : 6 1 = 14 = 8 3 = 1 6;6; = 14 – 8;8; = 6 3 21 6 771414 – 88 46 33 = 85 =1 =7 =6 =9
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Calculo II
3 8 5 – 42 = 0 : 4 5 = 1 9 = 4 8
35= 5 444;; 89=9 ; 58=–844–44= 42
2.27. Hallar la mínima Distancia entre el plano II y el punto Pe, hallar además el Punto del plano, que determina esa mínima distancia.
2 2 – 13 = 0 33,, 6, 5 = | ∗ | ; = 2,1,2 ––==3,3|,|6,=5 –300,, , 7,13,50∗ =2,2,33,1,, 2 7=, 59 || = 2 1 2 = 3; = 93 = 3 : = = 2 3 = 1 6 = 2 5 =32 =6 23 2 6 2255 2=– 135 =220 =1 =1 =5 =3
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Calculo II
2 66 33 – 2626 = 0 33,, 9,5 | ∗ = | || ; = 2,6,3
––==3,3, 9,=549–113,10,3,90,,050 ∗=21 , 61, 30,9=,5, 549 || = 7 ; = 7 = 7 : = = 2 3 = 6 9 = 3 5 =32 = 9 66 = 5 33 2 3= 12 6699 6 3535 3 – 26 = 0 =1 =3 =2 6 77 6 – 9933 = 0 14, 14, 223,3, 1515 | ∗ | = || =; 0,0,=312 6,7,6 – = 114,4, 23,23, 12 – = = 1414,, 23, 12 ∗ 6,7,6 = 242 || = 11; = 24211 = 22 : = =
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Calculo II
14 23 15 = = 6 7 6
=146 = 23 7 = 15 6 615 6 = 93 6141==4226 77223 7 615 =9 =3
2.28. Hallar la mínima distancia entre los lugares geométricos indicados:
2 22 – 6 = 0 2 22 – 1818 = 0 | ∗ = | || ; = 2,2,1 – = 0,0, 0, 18 – 00,, 0, 6 = 00,, 0,12 – = = 0, 0, 12 ∗ 22,, 2,1 = 12 || = 2 1 2 = 3 3= 1232 =46 – 12 = 0 : 4 2 = 3 7 = 3 5 ∗ = 3, 2, 6 ∗ 4,4, 3, 3 = 0 | ∗ = | || ; = 3,2,6 | | = 7 ––=∗2,2, 7=, 52,– 700,,3, 0, 2∗3=, 222,, 6, 7,=338
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= 387 = 5.43 6 – 6 7 – 15 = 0 : 2 4 = 4 8 = 3 3
Calculo II
=∗ 4 = 66,22, 6, 7 ∗ 22,, 4, 3 = 9 ≠ 0 = 8 4 = 3 3 64 2 – 6868 4 7373 3 = 15 = 2 = 8 = 16 = 9
;
;
;
2.29. Hallar la ecuación del plano paralelo a II, que diste D unidades del mismo.
A.
22 22 12 12 = 0 ; = 6 1,2,22 ; 1 = 0,0, 6 == == : = − = +− = ,,== 2 , = 6 2 2 = 6 = 0 0 20 626 =2 ,= 2, = 0 2 2 4 210 10 =
= -4 , z=-10
0
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Calculo II
B.
2 33 6 1122 = 0 ; = 21 ==2,3,6 ; 11 = 0,0,2 == 2 :==2 2= ;;= 3== 36;;= =26 2 6 21= 21 = 20 20 3 0 262 =3,, = 6, =9 , =20 =3 =20 = 0 2 6 3 9 620 20 = 0 236159=0
c.
6 77 66 18 18 = 0 ; = 11 ==6,7,6 ; 1= == 1= 0,0,3 : 6 = 7 = 6 3
, =7 , =36 11= 11== 6 60 60 70 363 = 1 ,=6 , =6,,== 7,= , = 9 = 11= 11 = 60 60 70 363 = 0 6 6 7 7 6 9 = 0 676139=0
Estudiante: Sergio Adrián
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Calculo II
2.30. Hallar las ecuaciones de las esferas, que cumplen las siguientes condiciones: a)
Centro en C (3,5,3); radio R= 2
ℎ=3 ℎ3;= 5=33 ;= ;=5;610639=0 ;=2 = 2
b)
Un diámetro esta entre los puntos PI (1,2,5); P2 (3,6,1)
= 3 1 6 2 1 5 = 3 =6 ;= = 6 = 3 =ℎ,, =2=,12,3 =2=ℎ 2 2
= 2 = 2 2 6 =4=
= 2 = 5 2 1 =3= ℎ = R 48620=0 2 4 3 = 3
Estudiante: Sergio Adrián
c)
Zeballos Rocha
Calculo II
Centro en C (2,4,4,): pasa por el origen de coordenadas
= = 22 0 40 40 = ℎ = R 2 488=0 4 4 = 6
d)
Pasa los puntos P1 (6,5,6); P2(5,1,7); P3(2,4,3); P4(2,5,4)
11 6,5,6 =0 6 5 6 656=0 225,1,7 5 1 7 517=0 332,5,4 2 4 3 243=0 442,5,4 2 5 4 254=0
=8 ;=6; =10; =41 861041=0
4 4 35 3 3 =3 5 5
=41
e) Pasa por los puntos P1(9,0,1); P2(3,12,1); P3(12,3,13); P4(0,0,4)
=0 119,0,1 9 0 1 901=0 223,12,1 3 12 1 3121=0
343412,0,03,4,1 33 0 120 34 004=0 13 12313=0
Estudiante: Sergio Adrián
Zeballos Rocha
Calculo II
=12 ;=12; =14; =40 12121440=0 6 6 6 6 7 7 =40 6 6 7 = 9
f)
Centro en C (2,4,3); Tangente al plano: 2x+2y+z-9=0
∗ | | || ; = 2,2,1 0,0,9; 2,4,3 =2,4,3; || = 3 = ∗∗∗= |=| =63;= ; = |63| = 2 ℎ = 2 4 3 = 2
g)
Centro en C (3,5,4); Tangente a la Recta: L=
∗ | ; = 2,6,3 = | 2,2,4; |1,|33,,05,4; || = 7 = = ∗ = 9,3,0 | ∗ | = √ 90;= 9 0;= | 7 90|90| ℎ = 3 5 4 = √ 79900
− = − = −
Estudiante: Sergio Adrián
Zeballos Rocha
Calculo II
2.31. Hallar el centro y el radio de las siguientes esferas.
4684=0 44 66 88 = 4 422 3 343= 25 4 4 = 4 4 3 4 = 5
a)
b)
82415=0 88 22 44 = 15 4 4 1 1 2 2 = 15 4 1 2 = 636
c)
64218=0 66 44 22 =18 3 3 2 2 1 1 =18 33 22 11 == 44
No corresponde a una esfera
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Zeballos Rocha
Calculo II
2-32
4 3 = 2 1 51=0 5 , 16 , 13 ; 5´,12,11 3: 31 = 3 4 = 3 1 2 2 = 1 1 ;= ; = 4422 ;= ; = 32 3 2 :2251=0 1 242 232 51=0 = 4 ; = 5 ; = 12 ; = 11 : 1 4 3 32 3 = 2 1=1 23 ;=153 ; 42 42 = 163 ; 4= 13332 2 6 3 = 2 2 6 = 4 ; =7 = 7 : =7 2 86 86 7 4 = 5 2 6 99== 5 2 6 = 4 36254=0 4 3 = 2 ∗ = | || ; = 3,6,2 =1,4,3 0,0,277 = 1,4,2424 = ∗ = 1,4,2424 ∗ 3,6,2 = 21 a) Entre la esfera
22
y el plano
hallar los puntos más cercanos.
b) Entre la esfera y el plano hallar el lugar geométrico de intersección.
7=0
c) Determinar si se intersecan o no (V o F) la Esfera
con el plano
V
1
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721| = 3 || = 7 ; = |21
Calculo II
V
d) Entre la Esfera
2 6 4 = 3
hallar los puntos de intersección.
0, 7 , 6 ; 4, 8 , 5 , , 9 8 = 4 = 1 = 1 4 = 84 84 ;;== 9 ;;=4=4 2 6 4 = 3 842 842 96 96 44 44 = 3 = 2 ; = 0 ; = 7 ; = 6 = 1 ;= ; = 4 ;= ; = 8 ;= ; = 5
y Recta
− = − = −−
2 5 3 = 3 2224=0 = 4,6,5 2,5,3 = 2,1,2 = 0 2 4 1 6 2 5 = 0 2224=0 e) En la esfera (4,6,5)
Hallar plano tangente en
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Calculo II
2.33. Hallar las ecuaciones ecuaciones d de e Elipso Elipsoide, ide, que cumplen las siguientes condiciones a) Centro en C (3,5,4); Semiejes: a=2; b=4; c=3
= 1 23 45 34 = 1
b) Centro en C (0,0,0); pasa por los puntos P1 (2,2,4); P2(0,0,6); P3(2,4,2)
1: 2 2 =0 4 =0 2: 0 0 6 =0 3: 2 4 2 =0 14 14 36=0 3 6 6 = 1
==141 = =36
2.34. Hallar el Centro y Semiejes de los siguientes Elipsoides:
4 101922462=0 10 16 16 192 4 24 = 621 10 192 24 10 10 1616 12 12 4 66 = 621 5 5 16166 6 43 3 = 621 5 166 43 = 16 165 161616 6 416 3 = 1616 5 6 3 4 1 2 = 1
a)
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Zeballos Rocha
Calculo II
4 9 36 3290197=0 4 32 9 90 36 = 197 32 90 4 88 9 10 10 3636 = 197 44 4 95 5 3636 =197 36 4 95 444 936 5 363636 == 3636 34 25 1 = 1
b)
2.35. Reconocer las siguientes cuádricas: a)
9=0 = 3
b)
36 4 9 36=0 36 4 9 = 36
36136 34362=9361 = 36
Estudiante: Sergio Adrián
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Calculo II
c)
4823=0 423 = 23 442288 = 4 2 4 =3 3 = 2 4
d)
6=0 =6
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