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Estadística Aplicada

Práctica Calificada N° 1: Distribuciones Muestrales Marco Teórico 1. Medias muestrales con reemplazamiento

a) La cantidad total de muestras que se pueden extraer está dada por la relación: n

#Muestras=N

Dónde:

N = Tamaño de la población n = Tamaño de la muestra

b) La media de todas la medias muestrales es igual a la media de la población.

 E  X     

 X 

c) La varianza de la medias muestrales es igual a la varianza poblacional dividido por el tamaño de la muestra. 2

  

 Var  X   

2

  

 X 

n

d) El valor de z es:  Z

 X 



 

N( 0;1 )



 

n 2. Medias muestrales sin reemplazamiento

a) La cantidad total de muestras que se pueden extraer esta dada por la relación: #Mue #Muest stra ras= s=CNn = Donde:

N! n!(N-n)!

N = Tamaño de la población n = Tamaño de la muestra

b) La media de todas la medias muestrales es igual a la media de la población.

 E  X     

 X 

c) La varianza de la medias muestrales es igual a la varianza poblacional dividido por el tamaño de la muestra, todo por el factor de corrección de población finita. 2

  

 X 

 Var  X   

2

  

n

  N  n     N  1 

d) El valor de z es:

 Z

 X   

n

: Ing. Ferly Urday Luna



 



 N



 N 



n 1

N ( 0;1 )

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Como consecuencia de la distribución muestral de medias se analizará para la diferencia de medias, para la distribución muestral de proporciones y para la diferencia de proporciones cuando 2 = conocida y n >30. 3. Distribución muestral de medias

 Z

 X 



 

 Z

N( 0;1 )



 

 X 



 



 N

 

n



 N 

n



n

N( 0;1 )

1

4. Distribución muestral de la diferencia de medias

 Z



( x A  xB )  (  A   B ) 2

  A

n

2



N( 0;1 )

 B

n

5. Distribución muestral de proporciones

 Z

 p ˆ  



p



 pq

 Z

N( 0;1 )

 p  p ˆ  



 pq n

n



N n

N( 0;1 )

N  1

Se podría utilizar el factor de corrección de variable discreta, que es (½ n), para que las aproximaciones de la probabilidad sean más precisas. 6. Distribución muestral de la diferencia de proporciones.

 Z

( p A  pB )  ( p A  p B ) ˆ



ˆ  

 p A q A n A



pBqB

N( 0;1 )

nB

Indicaciones

Para las tres primeras preguntas investigar la propiedad reproductiva de la distribución normal. Para el problema N° 10, 11 y 12 aplicar la distribución muestral para la diferencia de medias. En el problema N° 13 y 14 aplicar la distribución muestral de proporciones. 1. Suponga que los pesos de un grupo de estudiantes están normalmente distribuidos con media de 65 kilos y desviación estándar de 4 kilos. Si se selecciona una m.a. de 20 estudiantes X1; X2;...; X20 y se registra el peso de cada uno, calcular: a) P(X3 – X5 + X9 + X13 – X19  70). b) P(X12  68) c) ¿Cuál es la probabilidad e que el total de los pesos de los 20 estudiantes de la muestra exceda 1350 kilos? 2. Sea X1; X2;...; Xn una m.a. de tamaño n de una población normal N(   2). Si n = 6;  = 20

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y 2 = 25. Calcule la probabilidad de que: a) P(X1 + X3 + X4 – X9 > 70). b) P(22  X  29). c) ¿Cuál es la probabilidad de que el total de la muestra exceda a las 133 unidades?. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el total de la muestra no este entre 115 y 135 unidades?. 3. Sean X1, X2, …, X50; 50 variables aleatorias e independientes cada una distribuida según la función de probabilidad de la figura siguiente. Calcular P[X1 + X2 + … + X50 > 55]

f(X)

1

1

2

4

0

1

2

X

4. Sea P = {300; 305; 308; 310; 310; 312; 312; 315; 318; 320} a. Si se extrae una m.a. de tamaño 4 sin reemplazamiento. Hallar la media y la varianza de la estadística X . b. Si se selecciona una m.a. de tamaño 4 con reemplazamiento. Calcular P(310  X  313). 5. Las alturas de 5000 estudiantes son normalmente distribuidas con media 172 cm. y desviación estándar de 7,5 cm. Si fueron obtenidas 100 muestras con 36 estudiantes cada una, en cuantas muestras se puede esperar que la media muestral se encuentre (Con y sin reemplazamiento y compare los resultados) a) Entre 169 y 174. b) Superior a 170. 6. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.

b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros. 7. Un proveedor de fuentes de 500W para case, determina a través de pruebas que el 4% de fuentes son defectuosas. El proveedor vende lotes de 150 fuentes c/u con la garantía de que el lote contiene 92% de fuentes no defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote no satisfaga la garantía? 8. Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55. 9. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los

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usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%. 10. Una muestra aleatoria de 50 casas en alquiler del distrito de JLByR, produjo una renta mensual promedio de $ 360. Se calculó una renta mensual promedio de $ 370 en base a una m.a. de 45 casas del distrito de Yanahuara. Supongamos que no hay ninguna diferencia entre los dos distritos respecto a las rentas mensuales promedio de las casas. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia entre medias muestrales tan grande o mas grande que la que se acaba de anotar si se supone que  = 25 para ambos distritos? 11. Las quemadoras de DVD del fabricante A tienen una vida media de 1400 horas de quemado con una  = 200h mientras que la vida promedio de las quemadoras del fabricante B es de 1200h con una  = 100h. Si se prueban m.a. de 125 quemadoras de cada marca. Cual es la probabilidad de que las quemadoras de la marca A tengan una vida media de por lo menos: a) 160 horas mas que las quemadoras de la marca B b) 240 horas mas que las quemadoras de la marca B 12. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72 puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en: a) 3 ó más puntos. b) Entre 2 y 5 puntos. 13. Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24% de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de: a) Menos de 0.035 a favor de los hombres. b) Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres. 14. Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina: a) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10? b) ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15?

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