Práctica 9. Flujo compresible.pdf

Flujo compresible Los flujos compresibles son aquellos que tienen números de Mach mayores a 0.3 y que presentan variaciones apreciables de densidad. Cuando las variaciones de densidad son significativas, la ecuación de estado nos señala que las de presión y temperatura también lo son. Esas grandes variaciones de temperatura implican que la ecuación de la energía no se puede suprimir. Por lo tanto, el problema se ha complicado al pasar de dos ecuaciones a cuatro: 1) 2) 3) 4)

Ecuación de continuidad. Ecuación de cantidad de movimiento. Ecuación de la energía. Ecuación de estado.

Estas ecuaciones se deben resolver simultáneamente para encontrar las cuatro incógnitas: presión, densidad, temperatura y velocidad (p, ρ, T, u). La teoría general del flujo compresible es muy complicada, por lo que para simplificarla, se supone flujo adiabático reversible o isentrópico. El gas perfecto En todos los gases reales, Cp, Cv y k varían con la temperatura, aunque moderadamente, por lo cual se pueden considerar constantes. p = ρRT C p − C v = R = cte. k= Cp/C v= cte. Para el aire R=287 [J/Kg. K]. Proceso isentrópico La aproximación isentrópica es muy usual en la teoría de los flujos compresibles. Las variaciones de entropía se calculan a partir de la primera y la segunda ley de la termodinámica. T p T ρ s 2 − s1 = C p ln 2 − R ln 2 = C v ln 2 − R ln 2 (10.1) T1 p1 T1 ρ1 Estas ecuaciones se utilizan para calcular la variación de entropía a través de una onda de choque que es un proceso reversible. En flujo isentrópico, si s2=s1, se obtienen las relaciones potenciales siguientes: p2 ⎛ T 2 ⎞ =⎜ ⎟ p1 ⎝ T 1 ⎠

k /( k −1)

⎛ ρ2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ ρ1 ⎠

k

(10.2)

Velocidad del sonido La velocidad del sonido es la velocidad de propagación de un pulso infinitesimal de presión en un fluido en reposo. Es una propiedad termodinámica del fluido. Analicemos un pulso de intensidad finita, figura 10.1. En la figura 10.1a el pulso, u onda de presión, se mueve con una velocidad C hacia el fluido en reposo (p, ρ, T, u=0) a la izquierda, dejando detrás al fluido con otras propiedades (p+∆p, ρ+∆ρ, T+∆T) y con velocidad ∆u hacia la izquierda, siguiendo a la onda, pero mucho más despacio. Estos efectos pueden ser calculados mediante el análisis de un volumen de control que incluye la onda. Para evitar los términos no estacionarios es necesario adoptar el volumen de control de la figura 10.1b que se mueve a la izquierda a la velocidad C. La onda está ahora fija y el fluido pasa de velocidad C a C-∆u. Las propiedades termodinámicas no se ven afectadas por este cambio. En la figura 10.1b el flujo es estacionario y unidimensional. La ecuación de continuidad es ρAC = ( ρ + ∆ρ )( A)(C − ∆u ) ∆ρ ∆u = C (10.3) o ρ + ∆ρ Esto prueba la idea de que la velocidad inducida en el flujo es mucho menor que la velocidad de la onda C.

Figura 10.1 Análisis de una onda de presión de intensidad finita

Debe notarse que no hay gradientes de velocidad a ambos lados de la onda. Por tanto, aunque la velocidad del fluido sea alta, los efectos de fricción quedan confinados al interior de la onda. Generalmente se considera que el espesor de las ondas de presión para gases es del orden de 10-5 m a la presión atmosférica. Por lo anterior se puede despreciar la fricción con confianza y aplicar la ecuación de cantidad de movimiento unidimensional en la onda. ∑ Fder = m& (u sal − u ent )

pA − ( p + ∆p) A = ( ρAC )(C − ∆u − C ) (10.4) o Nuevamente el área desaparece y la variación de presión queda ∆p = ρC∆u (10.5) Si la intensidad de onda es muy pequeña, también lo es la variación de presión. Combinando las ecuaciones (10.3) y (10.5) se tiene finalmente ∆p ∆ρ C2 = (1 + ) (10.6) ρ ∆ρ Cuanto mayor es la intensidad ∆ρ/ρ de la onda, mayor es su velocidad; por ejemplo, las ondas de una explosión se mueven mucho más rápido que las ondas sonoras. En el límite de intensidad infinitesimal, ∆ρ → 0 , se tiene lo que se ha definido como velocidad del sonido a del fluido: ∂p a2 = ∂ρ El cálculo de la derivada implica conocer el proceso termodinámico que sigue el fluido al pasar la onda. En ondas sonoras de intensidad casi nula se tienen un proceso adiabático o isentrópico. La expresión correcta de la velocidad del sonido es 1/ 2

1/ 2

⎛ ∂p ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ = ⎜ γ ∂p ⎟ (10.7) a=⎜ ⎜ ∂ρ ⎟ ⎜ ∂ρ ⎟ s⎠ T ⎠ ⎝ ⎝ para cualquier fluido, gas o líquido. Incluso los sólidos tienen velocidad del sonido. En un gas perfecto se tiene: 1/ 2

⎛ p⎞ a = ⎜⎜ γ ⎟⎟ = (γRT )1 / 2 ⎝ ρ⎠ La velocidad del sonido varía como la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Para el aire se puede calcular de la siguiente manera: a[m / s ] ≈ 20[T ( K )]1 / 2

Si en una sección particular, la velocidad del sonido es a y la de la velocidad del flujo es u, el número de Mach es: Ma = u/a. Valores críticos en el punto sónico Los valores de remanso (a0, T0, p0, ρ0) son una referencia útil en flujo compresible, pero igualmente útiles son las condiciones sónicas, Ma=1. Estas propiedades sónicas, o críticas, están marcadas con asteriscos (a*, T*, p*, ρ) y se pueden relacionar entre sí, considerando k=1.4: p* ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ p0 ⎝ k + 1 ⎠

k /( k −1)

= 0.5283

1 /( k −1)

ρ* ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ ρ0 ⎝ k + 1 ⎠

= 0.6339

T* 2 = = 0.8333 T0 K +1 1/ 2

a* ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ = 0.9129 a0 ⎝ k + 1 ⎠ En todo flujo isentrópico las condiciones críticas son constantes; en flujo adiabático no-isentrópico a* y T* son constantes, y p* y ρ* variables. La velocidad crítica u* es igual a a* por definición y a menudo se usa como referencia en flujo isentrópico o adiabático. ⎛ 2k ⎞ u* = a* = (kRT *)1 / 2 = ⎜ RT0 ⎟ k + 1 ⎠ ⎝

1/ 2

(10.8)

Fórmulas útiles para aire Para k=1.4 se obtienen las siguientes expresiones de flujo isentrópico y adiabático T0 = 1 + 0.2 Ma 2 T

(

)

(

)

ρ0 = 1 + 0.2 Ma 2 ρ

p0 = 1 + 0.2Ma 2 p

2.5

(10.9)

3.5

Flujo isentrópico con cambios de área.

Figura 10.2 Aproximación unidimensional

Se puede hacer una aproximación unidimensional para flujos con cambios de área, aunque los flujos compresibles en las toberas y difusores no siempre satisfacen dichas condiciones. En flujo estacionario unidimensional la ecuación de continuidad es. ρ ( x)u ( x) A( x) = m& = cte. Si se deriva la ecuación anterior. dρ du dA (10.10) + + =0 u A ρ

Otras formas diferenciales son: dρ Cantidad de movimiento: + udu = 0

ρ

Velocidad del sonido: dp = a 2 dρ (10.11) Se puede eliminar dp y dρ entre estas tres ecuaciones para obtener una relación entre cambios de velocidad y área: dp du dA 1 = =− 2 (10.12) u A Ma 2 − 1 ρu Por inspección a esta expresión se puede observar un aspecto fascinante de los flujos compresibles: las variaciones de las propiedades cambian de signo en flujo subsónico y en flujo supersónico debido al término Ma2-1. Hay cuatro combinaciones de variaciones de área y número de Mach, figura 10.3.

En flujos subsónicos (Ma1) la velocidad aumenta al aumentar el área. El mismo comportamiento con cambio de signo aparece en las disminuciones de área, acelerándose el flujo subsónico y frenándose el supersónico. ¿Qué ocurre en el punto sónico, Ma=1? Como una aceleración infinita es físicamente imposible, la ecuación (10.12) indica que du debe ser finita cuando dA=0, esto es, en un mínimo de área (garganta) o en un máximo. Aunque el flujo supersónico aguas abajo de una tobera exige una garganta sónica, el recíproco no es cierto; un flujo compresible puede pasar por una tobera sin alcanzar condiciones sónicas.

Relaciones para un gas perfecto Con la ecuación de gases perfectos y las relaciones de flujo isentrópico se puede convertir la ecuación de continuidad en una expresión algebraica que relacione el número de Mach con el área. Igualemos el flujo másico al flujo másico sónico (que no tiene por qué presentarse). ρuA = ρ * u * A * . A ρ* u* = o (10.13) A* ρ u Los dos factores del segundo miembro son funciones únicamente del número de Mach en flujo isentrópico, por lo tanto si los sustituimos se llega a lo siguiente. A 1 (1 + 0.2 Ma 2 ) 3 (10.14) = A * Ma 1.728

Bloqueo De la ecuación (10.13) se puede ver que A*/A es igual al gasto másico por unidad de área relativo al ρ u . En la figura 10.4 se puede ver que este cociente pasa de cero en Ma=0 a de condiciones críticas ρ* u* uno para Ma=1 y vuelve luego a cero a grandes Ma. Así, para condiciones de remanso dadas, el máximo gasto másico posible a través de un conducto tiene lugar cuando en la garganta hay condiciones críticas. Decimos entonces que el conducto está bloqueado y no puede haber un gasto másico mayor a menos que se agrande la garganta. Si la garganta se constriñe más aún, el gasto másico debe disminuir.

Figura 10.4. Relación de áreas en función del número de Mach para flujo isentrópico

El gasto másico se puede calcular a partir de la siguiente expresión m& = ρ 0 A *

2k p 0 k − 1 ρ0

k +1 ⎞ ⎛ 2 ⎜r k − r k ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

(10.15)

Ondas de mach En la figura 10.5 se muestra un esquema de perturbaciones de presión (ondas sonoras) emitidas por una pequeña partícula moviéndose a la velocidad u en un fluido en reposo cuya velocidad del sonido es a. El comportamiento de los frentes de perturbación es bastante diferente según sea subsónica o supersónica la velocidad de la partícula.

En la figura (10.5a) la partícula se mueve subsónicamente u