Practica 8

Análisis de Fourier Práctica 8 Vargas Baza, David Azaraf; Maldonado Vázquez Miguel Armando Introducción. La transformada de Fourier de una señal aperiódica produce una transformada continua . Cuando la señal de entrada es periódica, la transformada de Fourier es conocida como la Serie de Fourier. La razón de llamarla “serie” es que en vez de requerir de una función continua para describir el espectro, la frecuencia contenida de una señal periódica puede ser representada por un conjunto de números discretos. Estos números son llamados coeficientes de la serie de Fourier. Estos proporcionan los pesos en las sinusoides armónicamente relacionadas que se pueden utilizar para reconstruir la señal original. Los valores de estos coeficientes se pueden encontrar a través de cálculo directo o mediante el muestreo de la transformada de Fourier de un solo período de la señal de entrada. Una señal de tiempo discreto se define como periódica si existe un entero positivo para el cual

Para toda El periodo fundamental de es el menor entero positivo

para el cual se satisface la ecuación anterior. La secuencia exponencial compleja está definida por: (

Donde

)

, es una secuencia

periódica con periodo fundamental . Las secuencias que difieren en frecuencia por un múltiplo de , son idénticas; es decir,

Sea

donde

y

siendo la frecuencia

fundamental, en función de armónicos correspondientes, representa de la forma

los se

∑ Ecuación de Síntesis Donde los valores de son los coeficientes de Fourier y están dados por ∑ Ecuación de Análisis

La ecuación que define la señal se denomina normalmente serie de Fourier en tiempo Discreto (DTFS, discrete time Fourier serie).Los coeficientes de Fourier{ } proporcionan la descripción de en el dominio de la frecuencia en el sentido de que representa la amplitud y fase asociada a la componente de frecuencia

Desarrollo.

Y

Y como se puede apreciar dado que el coseno es una función real y par sus coeficientes presentan simetría par. Además como l función es periódica solo se calculan los coeficientes para un periodo. b)

{

}

1) Escriba una función en MATLAB que calcule los coeficientes de la serie de Fourier de una secuencia de tiempo discreto a partir de la ecuación de análisis y determine los coeficientes de la serie de Fourier de las siguientes secuencias: a)

Igual que el caso anterior en la imagen superior se muestra la secuencia propuesta en el inciso y en la imagen inferior se observa los coeficientes asociados a la misma y al contrario que la anterior ningún coeficiente es 0.

En la imagen superior se puede ver la función coseno y en la inferior y como se puede apreciar todos los coeficientes son cero excepto:

Grafique el espectro discreto de magnitud de los coeficientes obtenidos para el caso.

2) Compruebe las propiedades de simetría de los coeficientes de la serie de Fourier.  Si es real y par será real y par



En la parte superior se aprecia la función coseno que como es por definición es real y par por tanto los coeficientes asociados son reales y pares por cómo se puede apreciar en la segunda grafica los coeficientes cumplen con esto. Sin embargo aunque en teoría no debería existir componente imaginario en los coeficientes aparecen como se puede apreciar en la tercera grafica más sin embargo son demasiados pequeños por lo que pueden ser considerados 0. Por otro lado si se muestran los coeficientes en la consola de matlab ahí si aparecen como 0:

Si es real e impar será imaginario puro e impar

Para la ilustración de esta propiedad se utilizó la función seno pues como se sabe es real e impar por definición; y como en el caso anterior se puede ver claramente que sus coeficientes son imaginarios e impares pero como en el caso anterior se presenta el mismo fenómeno en la parte real pues aparecen componentes muy pequeñas tanto que se pueden considerar 0 como se muestra en la consola de matlab:

Así que:



|

|

|

|

Como se sabe esta propiedad se expresó de esta manera puesto que la indexación ocupada es de 0 a N pero también se pude ver como: 

|

|

|

|

Como se aprecia se agrega el signo menos pues su simetría es impar y con la gráfica anterior queda visualizado. 

{

}

{

}

Esto es lo mismo que: {

}

{

}

Como se puede apreciar la gráfica de arria que representa la parte derecha de la igualdad es el reflejo de la arriba por tanto queda visualizada esta propiedad  Como en el caso anterior se puede ver: 

La grafica de abajo es el reflejo de la gráfica de arriba y así queda demostrado la propiedad anterior. 

{

}

{

Esto es lo mismo que:

}

{

}

{

}

La grafica anterior muestra que la propiedad se cumple. 3) Utilice la función para determinar la respuesta en frecuencia de los siguientes sistemas:

Este sistema como se aprecia se asemeja a un filtro pasa altas aunque por la falta de más componentes es un poco burda c)

a)

Como se puede apreciar la respuesta en frecuencia de este sistema se asemeja a un filtro pasa bajas aunque un poco burdo ya que la aproximación no es la mejor pero aun así se puede observar con facilidad b)

La respuesta a este sistema se asemeja a un filtro rechaza banda y como en los casos anteriores no es el más óptimo pero aun así se aprecia con claridad d)

En la gráfica de arriba se muestra la señal de entrada y la salida después de pasar por el sistema como se ve la amplitud es modificada al igual que la fase pero como en tiempo discreto no es muy fácil de observar dicho fenómeno se muestra a continuación de forma continua

Salta a simple vista la respuesta se asemeja a un filtro pasa banda no ideal pero sí bastante definido. 4) Utilice MATLAB para calcular la respuesta de los siguientes sistemas a las entradas indicadas: a) (

)

El vector de magnitud resulttante es el siguiente: 0.7559

0.7559

Aquí ya es más fácil de observar el desfasamiento y el cambio de amplitud. (

b)

)

Y el de fase: 0.3335 -0.3335

El sistema también puede ver en el dominio del tiempo de la siguiente manera

El vector de magnitud resultante: 2.8284

2.8284

Y el de fase: -0.7854

0.7854

propuestos logrando con esto el reforzamiento de la teoría vista en clase y el mejor entendimiento de los fenómenos del mismo. Durante el desarrollo nos topamos con diversos problemas empezando por que algunas funciones no sabíamos como usarlas, en el punto 4 no sabíamos cómo hacer lo que nos pedían y cometimos muchos errores en la realización de este inciso Aquí es más notorio el desfasamiento y el cambio de amplitud, aun así se muestra en tiempo continuo para su mejor visualización.

Bibliografía. Señales y Sistemas Continuos Discretos. Samir S. Solimán, Mandyam D. Srinath. Segunda Edición. Ed. Prentice Hall. Madrid, 1999. Digital signal Processing G Proakis, D.Manolakis, 3 edición Ed. Prentice Hall. Madrid, 1996.

Aquí es totalmente claro el efecto del sistema en la señal de entrada pues es fácil ver su desfasamiento y el aumento de la amplitud Conclusión. El desarrollo de esta práctica permitió ver de manera gráfica el comportamiento de los coeficientes de Fourier además de la respuesta en frecuencia de los sistemas