Práctica 6

Correlación Práctica 6 Vargas Baza, David Azaraf; Maldonado Vázquez Miguel Armando Introducción. Una operación matemática muy similar a la convolución es la correlación. La correlación implica dos señales cuyo objetivo es medir el grado de semejanza entre ambas señales y, por tanto, extraer alguna información que dependa de forma importante de la aplicación.

Suponiendo que tenemos dos señales y que deseamos comparar, donde es la señal recibida y estará formada por una señal retardada (y con distorsión) de la señal transmitida.

∑

donde el índice es el parámetro de desplazamiento (tiempo o retardo) y el subíndice empleado en la secuencia de correlación cruzada indica las secuencias que se van a correlar. Si invertimos el orden de los índices y , obtenemos la siguiente secuencia de correlación cruzada: ∑ Comparando con la ecuación de , podemos concluir que

donde es un factor de atenuación que representa la pérdida de la señal, es el retardo de ida y vuelta y, es el la distorsión efectuada por otros componentes, como el ruido, por ejemplo.

Suponiendo que estas dos señales son de energía finita, definimos la correlación cruzada como:

Las similitudes entre el cálculo de la correlación y de la convolución es evidente. En la convolución, una de las secuencias se refleja, luego se desplaza, a continuación se multiplica por la otra secuencia para generar la secuencia producto correspondiente a dicho desplazamiento y, por último, se suman los alores de la secuencia producto. Excepto en lo que respecta a la operación de reflexión, el cálculo de la correlación cruzada implica las mismas

operaciones. Por lo tanto, concluimos que:

Observamos que la ausencia de la reflexión hace de la correlación cruzada una operación no conmutativa. En el caso especial en que , tenemos la autocorrelación de , que se define como la secuencia: ∑

.

Las propiedades de la autocorrelación y correlación cruzada se verificarán en el ejercicio dos de esta práctica.

Desarrollo. 1. Calcule: a) La autocorrelación ( )

señal

de la

Arriba se muestra la señal x(n) y debajo su auto correlación

Ejercicio 1.a) Autocorrelación de la señal ( ) donde se observa una simetría perfecta, la función de auto correlación es par. Basta con calcular para y reflejarlo sobre el eje n=0.

y

b) La correlación cruzada para las señales y Utilice la función verifique.

( )

. y

Fig. 1.b) Correlación cruzada para las señales

y

( ) . La secuencia de ) se desplaza unidades de tiempo hacia la derecha para positivo y hacia la izquierda si es negativo. Se suman todas y cada uno de las respuestas para cada momento de .

2. Verifique las propiedades de la correlación.

Fig. 2.a) teniendo

Propiedad

∑ tenemos: que es lo mismo que ∑ . En esta ecuación cambian de posición y . Si invertimos la función a correlar sobre , observamos que una correlación es la reflexión de otra, lo que es equivalente a .

autocorrelación: que o, de

∑ forma equivalente ∑ . Si tomamos en cuenta que la correlación es una convolución donde no reflejamos la señal que se desplaza, tenemos que y esto nos da una respuesta igual a que si tuviéramos .

Fig. 2.c) Supónganse dos señales, y , de energia finita a partir de las cuales formamos la combinación lineal , donde y son constantes arbitrarias. La energía de la [ señal es ∑ ] . En este caso observamos que y , que son las energías de y , respectivamente. En la figura no se alcanza a apreciar adecuadamente pero: Energía de x(n)= 1.3333

Fig. 2.b) Propiedad de correlación. Teniendo la correlación de x sobre y , vemos ∑ que que ∑ es lo mismo que . Si cambiamos el valor de a ,

Rxx(0)= 1.3333

Fig. que

2.d)

Teniendo

que , y suponiendo , entonces podemos dividir entre

para

( )

obtener

( )

.

Factorizando,

tenemos , por lo tanto la correlacion cruzada satisface la siguiente ecuacion: | | √

Fig. 2.e) La distributividad que se cumple en convolución también es válida en la correlación. Sea y ∑ ∑ ∑ ∑

√

Aunque en la gráfica no se aprecia correctamente: √

3. Genere una secuencia de ruido gaussiano con media cero, varianza 1 y longitud 150,000. Determine la autocorrelación de la secuencia de ruido y grafique en el intervalo .

Y √

Fig. 3. Como se puede apreciar su auto correlación es una delta centrada en el origen

4. Para el sistema definido por la ecuación a) Determine la respuesta al impulso del sistema utilizando la función y grafique en el intervalo . b) Determine la correlación cruzada entre la señal de salida y de entrada cuando la entrada es una señal con autocorrelación igual al impulso unitario . Grafique en el intervalo .

Y se nos pide calcular la correlación de la entrada con la salida

Lo cual por propiedades se puede ver como: [

]

Por distribución [

]

Y por identidad se sabe:

Pero de anterioridad se sabe que la auto correlación de la señal es una delta por tanto:

y como se sabe lo anterior es la definición de la respuesta al impulso del sistema, por ende es igual a la gráfica anterior a eso. Conclusión. Fig. 4.a) en la gráfica se arriba se muestra la respuesta al impulso del sistema propuesto y b)se muestra en la parte de abajo la correlación cruzada de la salida del sistema y su entrada que en este caso es el ruido gaussiano normalizado.

c) Explique la similitud entre los resultados contenidos en los incisos a) y b). La respuesta del sistema se puede ver como:

El desarrollo de esta práctica permitió el mejor entendimiento de la correlación cruzada y el auto correlación. Empezando por la auto correlación que se puede ver como una función par. Además nos permitió ver de manera gráfica las propiedades de la correlación y el cómo se aplican.

También aprendimos acerca de algunas propiedades de funciones específicas hablando más claro del ruido gaussiano cuya correlación se vio que resultaba una delta centrada en el origen sin dejar de mencionar que se aprendió a cómo generarlo a partir de código en MATLAB. Por ultimo nos permitió poner en práctica los conocimientos característicos de las propiedades tanto de la convolución como de la correlación para buscar entender y explicar un fenómeno en particular presentado en la realización de la práctica. Bibliografía. Señales y Sistemas Continuos Discretos. Samir S. Soliman, Mandyam D. Srinath. Segunda Edición. Ed. Prentice Hall. Madrid, 1999. Digital signal Processing.J G Proakis, D.Manolakis, 3 edición Ed. Prentice Hall. Madrid, 1996.