PRÁCTICA 6-cinematica

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

PRACTICA 6: MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RIGIDO

BRIGADA 2

INTEGRANTES: Balderas Zamora Itzel Yuma. Correa Alcantara Ramses. Mejia Vilchis Carlos Alfredo. Lòpez de la Fuente Maria Fernanda.

GRUPO: 15

LABORATORIO DE CINEMATICA Y DINAMICA

OBJETIVOS:

Calcular el momento de inercia de una barra de metal, utilizando dos métodos diferentes.

INTRODUCCION:

Significado fisico del momento de inercia: Si consideramos una puerta, ya sea de un hogar, de un salon de clases etc. al aplicar una fuerza horizontal y perpendicular al plano sobre la puerta esta tendra un efecto de rotacion, a este efecto se le llama momento de inercia y la fuerza que se tenga que aplicar a la puerta para generar este momento dependera directamente del punto donde se aplique la fuerza. Considerando un plano x,y,z podemos espresar a los momentos de inercia de la siguiente manera:

 = ∫ +   = ∫ +   = ∫ +  Dimensiones, unidades y signo del momento de inercia de la masa de un cuerpo: Las unidades del momento de inercia en el Sistema internacional son:

En el Sistema gravitatorio son:

 · , ·   · , · 

El signo de un momento de inercia siempre es positive en caso de que el giro sea en sentido antihorario y es negative cuando el giro se presente en sentido horario

Radio de giro de la masa de un cuerpo con respecto a un eje:

El radio de giro se puede definer como aquella longitude que elevada al cuadrado y multiplicada por la masanos da el momento de inercia de la masa de un cuerpo con respect al eje considerado, matematicamente lo expresamos de la siguiente forma:

O bien:

 =   =  

Teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner: El momento de inercia por lo general se tiende a tomar desde el centroide de alguna figura, sin embargo no siempre la fuerza es aplicada en el centroide del cuerpo, puede ser aplicada en un extremo o en algun punto cualquiera a lo largo de cuerpo haciendo que el momento de inercia vaya cambiando con respect al del origen, para ello existe un teorema que nos ayuda a trasladar el momento de inercia hasta el punto en el que estemos aplicando la fuerza y es el terema de ejes paralelos el cual expresado de forma matematica es la siguiente:

Donde:

´ =  + 

I´x= momento de inercia en el eje trasladado Ix= momento de inercia con respecto al centro de masa d= distancia desde el centro de masa del objeto hasta el eje donde aplicamos la fuerza m= masa del objeto

Tablas de momento de inercia y productos de inercia de la masa de cuerpos homogéneos de forma común:

A travez de los años se han estudiado los momentos de inercia de las distintas formas geométricas comunes y se ha llegado a tener directamente las formulas de los momentos de inercia para cada una de ellas facilitando a nuestras generaciones el poder obtener el valor del dicho momento de inercia, para esta practicar utilizaremos el momento de inercia de un prisma rectangular el cual es el siguiente:

 = 121  + 

Y el momento de inercia de una barra cilíndrica el cual es el siguiente:

 = 121 3 + ℎ

En esta practica aprenderemos a calcular el momento de inercia de forma experimental de ambos cuerpos y las compararemos con el valor teorico para comprobar que los modelos matemáticos cumplen con la realidad.

DESARROLLO:

Para esta practica comenzamos por utilizer nuestro programa de “data studio” para programar el equipo que en esta ocasion utilizaremos para poder usar el sendor de movimiento y asi medir los periodos de la rotacion de un cuerpo para asi determiner su momento de inercia.

Una vez que calibramos el equipo procedimos a armar el dispositivo tal y como nos mostraba el manua l de practica, una vez que se monto el dispositivo seleccionamos un cuerpo y como primer paso utilizando una balanza determinamos su masa, una vez hecho esto colgamos el cuerpo en nuestro dispositivo y tomandolo desde un Angulo pequeño dejamos que el cuerpo rotara hacienda u n efecto tipo pendulo y marcando 20 veces con el sensor de movimiento esto para poder obtener los periodos del movimiento rotacional de nuestro cuerpo. Cuando terminamos de registrar los 20 valores de un cu erpo procedimos a hacer el mismo procedimiento pero esta vez con nuestro Segundo cuerpo el cual tenia forma cilindrica, con la balanza calculamos su masa y en el dispositivos lo hicimos rotar para tomar 20 lecturas utilizando el sensor de movimiento. Como parte final de la practica debimos calcular los periodos de cada oscilacion que tenia nuestros cuerpos esto lo haciamos tomando los 2 primeros valores registrados y sumandolos, posterior a ellos los siguientes 2 valores sumarlos y de esa manera hasta obtener solamente 10 valores y una vez calculado esto haciamos un promedio de los 10 valores para obtener asi un period promedio para cada cuerpo y ultilizando formulas calculabamos el momento de inercia de nuestro cuerpo y por ultimo utilizando conceptos teoricos obteniamos el momento de inercia teorico que debe ser y con el valor obtenido experimentalmente del momento de inercia obteniamos un porcentaje de error y con esto concluimos nuestra practica. RESULTADOS:

Barra lisa:

Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T PROM

periodo 1.1569 1.1570 1.1555 1.1555 1.1582 1.1581 1.1580 1.1582 1.1570 1.1565 1.1569

Masa= 77 g= 0.077 kg

c= 50 cm = 0.5 m

espesor = 3 mm = 0.003 cm b= 2 cm = 0.02 cm

valor teorico

´ = 121  +  = 121 0.0770.5 + 0.02 = 1.606410−

Valor experimental

   1. 1 583   = ( 2 ) ℎ = ( 2 ) 0.0679.780.5 = 3.197410− Utilizando teorema de ejes paralelos

3.1910− + 0.0770.25 = 2.839410− Porcentaje de error

% =   100 = 0.38%

Barra cilindrica:

Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T PROM

h= 50.2 cm=0.0502 m

periodo 1.1603 1.1588 1.1592 1.1592 1.1592 1.1591 1.1561 1.1592 1.1589 1.1585 1.1588

r= 1.46 cm = 0.0146 m

masa= 168.5 g =0.1685 kg

Valor teorico:

´ = 121 3 + ℎ = 121 0.168530.0146 + 0.0502 = 4.436410−

Valor experimental

   1. 1 588   = ( 2 ) ℎ = ( 2 ) 0.16859.780.0502 = 2.8110− Utilizando teorema de ejes paralelos

2.8110− + 0.16850.251 = 2.916110− % =   100 = 6473%

CUESTIONARIO:

1. Realice el diagrama de cuerpo libre de la barra de metal en la posición que se muestra en la Figura No. 3. Considere a la barra como un cuerpo homogéneo. 2. Obtenga las ecuaciones de movimiento con base a un sistema de referencia normal y tangencial tomando como origen el punto A. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrardo de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

∙   = ∫∙  = ∫ 

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volúmen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple. Este concepto desempeña en el movimiento de rotaciín un papel análogo al de masa inercial en el caso de MRU. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo en a ser acelerado en rotación.

 =  donde:   

   

es el momento aplicado al cuerpo.  el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotació.  la aceleración angular.

3. Determine la ecuación diferencial que describe el movimiento de la barra de metal. Considere la aproximación en serie de McClaurin para un ángulo de desplazamiento pequeño, es decir, sen T = T. La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación x=A·sen(ωt+φ) Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial

4. ¿Qué tipo de movimiento representa dicha ecuación? Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación: x=A·sen(ωt+φ) Donde:    

A es la amplitud. w la frecuencia angular. w t+j la fase.  j la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son: 



Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .

P=2π/ω

5. Obtenga la expresión correspondiente para el periodo de oscilación de la barra en función del momento de inercia de la barra de metal con respecto a su centro de masa IG.

 =  +   = ^2  = 4    = 

 = 

 =  = 2√ 

      8     +  =    4 

6. Determine la expresión para el momento de inercia IG para cada una de las barras, utilizando lo obtenido en el punto anterior y calcule los momentos de inercia para cada una de las barras. IG1 =

3.1974x10−

IG2 =

2.81x10−

7. Con las dimensiones de la barra obtenidas, obtenga sus momentos de inercia I’G utilizando la expresión geométrica correspondiente. I’G1 =

1.6064x10−

I’G2 =

4.4364x10−

8. Compare los valores de IG e I’G para cada barra y realice sus conclusio nes. Al obtener los valores de cada uno y compararlo se obtuvo un error porcentual de el 3% por lo que el experimento estuvo realizado correctamente teniendo un margen de error menor al 5% permitido.

9. ¿Cómo son entre sí dichos valores? ¿Qué característica física influye en la diferencia obtenida? Son muy pequeños, el momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. La característica física que influye en la diferencia obtenida entre los valores es la geometría de las barras ya que de manera teórica podemos asumir la figura ideal para estas, sin embargo cuando se trata de manera experimental nunca serán figuras ideales aunque se acercarán de gran forma

Conclusión El momento de inercia de un cuerpo es un concepto confuso pero esta práctica plasma muy bien este concepto ayudando al estudiante a comprender estos conocimientos que son de mucha utilidad para los ingenier os civiles ya que el momento de inercia de un cuerpo tiene gran aplicación en el calculo estructural de vigas columnas, trabes etc. Y es importa te aprender bien estos conceptos para que en el ámbito laboral se pueda realizar un buen trabajo en la construcción de estructuras que tengan gran estabilidad, los objetivos se cumplieron. Además de encontrar como válido el modelo matematico propuesto, como lo es la relacion lineal entre fuerzas externas e internas de un cuerpo rigido que es equivalente producto de la masa por la acleracion del mismo cuerp, se puede encontrar muchas aplicacions a brazos que aplique el torque y dependiendo del uso sera las caracteristicas de este.