Practica 4 Sismica Con Torsion

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09

Ahora procederemos a realizar el cálculo sísmico con torsión del edificio seleccionado el proyecto no realizado de Richard Meier para la Administración Central de Renault en Boulogne-Billancourt. 1. Cálculo del centro de masas de los forjados (CM). Las fuerzas externas del sismo se aplican en los centros de masas de los forjados. Ahora calcularemos los centros de masas de los forjados. Centro de masas de la cubierta. Como el forjado de cubierta es de forma regular y lo suponemos homogéneo el centro de masas coincide con el centro geométrico. Sus coordenadas serán: X CM cub = 18,55 m. YCM cub = 3,275 m. Centro de masas de los forjados de las plantas tipo. Como los forjados de las plantas tipo son iguales todos sus centros de masas tendrán las mismas coordenadas. Sacamos sus coordenadas con la siguiente ecuación: X CM planta tipo = YCM planta tipo =

SR ∙ XCR − SH1 ∙ XH1 − SH2 ∙ XH2 SR − SH1 − SH2 SR ∙ YCR − SH1 ∙ YH1 − SH2 ∙ YH2 SR − SH1 − SH2

= 18,76 m. = 3,84 m.

2. Cálculo de los centros de torsión de las plantas (CT). Las reacciones de los pilares a las fuerzas exteriores se aplican en el centro de torsión. El centro de torsión es el mismo para todas las plantas. Las coordenadas del centro de torsión vienen definidos por la siguiente expresión: X CT = YCT =

∑ Fi ∙ xi ∑ Fi ∑ Fi ∙ yi ∑ Fi

, como F = K ∙ x, si suponemos x = 1, F = K, entonces X CT =

, como F = K ∙ x, si suponemos x = 1, F = K, entonces YCT =

∑ Kyi ∙ xi ∑ Kyi ∑ Kxi ∙ yi ∑ Kxi

.

.

Para obtener el centro de torsión utilizaremos la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL

Kx 5.861,19 8.308,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.308,63 5.861,19 5.861,19 8.308,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.308,63 5.861,19 126.476,32

X CT = 18,8 m. YCT = 4 m.

Ky 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 93.779,04

x 1 7,8 12,2 16,6 21 25,4 29,8 36,6 1 7,8 12,2 16,6 21 25,4 29,8 36,6

y 7,4 7,4 7,4 7,4 7,4 7,4 7,4 7,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6

Kx ∙ y 43.372,806 61.483,862 64.562,262 64.562,262 64.562,262 64.562,262 61.483,862 43.372,806 3.516,714 4.985,178 5.234,778 5.234,778 5.234,778 5.234,778 4.985,178 3.516,714 505.905,28

Ky ∙ x 5.861,19 45.717,282 71.506,518 97.295,754 123.084,99 148.874,226 174.663,462 214.519,554 5.861,19 45.717,282 71.506,518 97.295,754 123.084,99 148.874,226 174.663,462 214.519,554 1.763.045,95

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09

3. Rigidez a torsión de los pilares de las distintas plantas. Para obtener el cálculo de la rigidez a torsión de los pilares de una planta utilizaremos la siguiente fórmula: 2 2 K T planta = ∑16 i=1(K y ∙ x + K x ∙ y ), donde: K x , K y son las rigideces de los pilares en las direcciones x e y. x, y son las distancias del centro de masas a los pilares. Rigidez a torsión de la planta séptima. PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL

Kx 5.861,19 8.308,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.308,63 5.861,19 5.861,19 8.308,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.308,63 5.861,19 126.476,32

Ky 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 5.861,19 93.779,04

x

3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24

Kx ∙ y2 74.282,3776 105.300,253 110.572,471 110.572,471 110.572,471 110.572,471 105.300,253 74.282,3776 61.528,4281 87.220,6743 91.587,6759 91.587,6759 91.587,6759 91.587,6759 87.220,6743 61.528,4281 1.465.304,05

Ky ∙ x2 1.848.722,48 704.055,521 252.228,106 27.345,9681 29.409,1069 258.417,523 714.371,215 1.865.415,15 1.848.722,48 704.055,521 252.228,106 27.345,9681 29.409,1069 258.417,523 714.371,215 1.865.415,15 11.399.930,1

3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24

Kx ∙ y2 59.780,484 92.767,7103 99.006,0365 99.006,0365 99.006,0365 99.006,0365 92.767,7103 59.780,484 49.516,4444 76.839,9126 82.007,1462 82.007,1462 82.007,1462 82.007,1462 76.839,9126 49.516,4444 1.281.861,83

Ky ∙ x2 1.487.802,74 566.605,179 202.986,479 22.007,3086 23.667,668 207.967,557 574.906,975 1.501.236,56 1.487.802,74 566.605,179 202.986,479 22.007,3086 23.667,668 207.967,557 574.906,975 1.501.236,56 9.174.360,93

y -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84 -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84

K T 7ª = 12.865.234,2 N∙m. Rigidez a torsión de las plantas dos a sexta. PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL

Kx 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 110.642,68

K T 2ª a 6ª = 10.456.222,8 N∙m.

Ky 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 4.716,93 75.470,88

x

y -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84 -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09

Rigidez a torsión de la planta primera. PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL

Kx 5.693,03 9.973,30 10.909,93 10.909,93 10.909,93 10.909,93 9.973,30 5.693,03 5.693,03 9.973,30 10.909,93 10.909,93 10.909,93 10.909,93 9.973,30 5.693,03 149.944,76

Ky 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 5.693,03 91.088,48

x

y -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84 -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84

3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24

Kx ∙ y2 72.151,185 126.397,615 138.268,089 138.268,089 138.268,089 138.268,089 126.397,615 72.151,185 59.763,1517 104.695,714 114.528,081 114.528,081 114.528,081 114.528,081 104.695,714 59.763,1517 1.737.200,01

Ky ∙ x2 1.795.681,86 683.855,872 244.991,576 26.561,4008 28.565,3473 251.003,415 693.875,605 1.811.895,61 1.795.681,86 683.855,872 244.991,576 26.561,4008 28.565,3473 251.003,415 693.875,605 1.811.895,61 11.072.861,4

K T 1ª = 12.810.061,4 N∙m. Rigidez a torsión de la planta baja. PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL

Kx 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 218.112,32

Ky 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 218.112,32

x

y -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84 -17,76 -10,96 -6,56 -2,16 2,24 6,64 11,04 17,84

3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 3,56 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24 -3,24

Kx ∙ y2 172.766,769 172.766,769 172.766,769 172.766,769 172.766,769 172.766,769 172.766,769 172.766,769 143.103,493 143.103,493 143.103,493 143.103,493 143.103,493 143.103,493 143.103,493 143.103,493 2.526.962,09

Ky ∙ x2 4.299.779,03 1.637.500,05 586.634,896 63.601,5525 68.400,0236 601.030,309 1.661.492,41 4.338.603,02 4.299.779,03 1.637.500,05 586.634,896 63.601,5525 68.400,0236 601.030,309 1.661.492,41 4.338.603,02 26.514.082,6

K T pbaja = 29.041.044,7 N∙m. 4. Momento torsor de cada planta (𝐌𝐓𝐎𝐑𝐒𝐎𝐑). El momento torsor de una planta es la sumatoria de los momentos producidos por todos los forjados situados por encima de la planta considerada. El momento torsor es el producto de la fuerza sísmica en la dirección x que actúa en el forjado por la excentricidad del centro de torsión y el de gravedad en la dirección y. A la excentricidad hay que añadirle una excentricidad adicional de 1/20 la longuitud del edificio en la dirección perpendicular al sismo.

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09

Dirección del sismo X: Los pilares situados por encima del centro de torsión (pórtico 1-8) tendrán un momento torsor más desfavorable si subimos la excentricidad hacia arriba y los pilares por debajo del centro de torsión (pórtico 9-16) si bajamos la excentricidad. Ahora realizaremos el cálculo de los momentos de torsión para las plantas ayudándonos de la siguiente tabla: PLANTA

F (KN)

CMy

CTy P BAJA

ey

ey 1/20

Cubierta 7 6 5 4 3 2 1 TOTAL

708,67 812,93 771,32 703,53 611,87 499,44 370,07 250,96

3,275 3,84 3,84 3,84 3,84 3,84 3,84 3,84

4 4 4 4 4 4 4 4

-0,725 -0,16 -0,16 -0,16 -0,16 -0,16 -0,16 -0,16

0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

ey + ey 1/20 -1,125 -0,56 -0,56 -0,56 -0,56 -0,56 -0,56 -0,56

𝑀𝑥 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑆𝑈𝑃 -797,25375 -455,2408 -431,9392 -393,9768 -342,6472 -279,6864 -207,2392 -140,5376 -3.048,52095

5. Ángulo de giro de cada planta (𝛉𝐭 ). Como MT = K T ∙ θ, el giro es θ = θ7 = θ6 = θ5 = θ4 = θ3 = θ2 =

MT 7 KT 7 MT 6 KT 6 MT 5 KT 5 MT 4 KT 4 MT 3 KT 3 MT 2 KT 2

= = = = = =

797,26 12.865.234,2 455,24 10.456.222,8 431,94 10.456.222,8 393,98 10.456.222,8 342,65 10.456.222,8 279,69 10.456.222,8

MT KT

. Para cada una de las plantas el giro será:

= 6,197 ∙ 10−5 rad. = 4,354 ∙ 10−5 rad. = 4,131 ∙ 10−5 rad. = 3,768 ∙ 10−5 rad. = 3,277 ∙ 10−5 rad. = 2,675 ∙ 10−5 rad.

ey + ey 1/20 -0,325 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24 0,24

𝑀𝑥 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝐼𝑁𝐹 -230,31775 195,1032 185,1168 168,8472 146,8488 119,8656 88,8168 60,2304 734,51105

ESTRUCTURAS IV

θ1 =

MT 1 KT 1

θPB =

=

MT PB KT PB

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

207,24 12.810.061,4

=

11/12/09

= 1,618 ∙ 10−5 rad.

140,54 29.041.044,7

= 4,840 ∙ 10−6 rad.

6. Cálculo de los cortantes en los pilares debidos al momento torsor. El incremento de cortante en los pilares debido al momento torsor se obtiene de la siguiente fórmula: Vxi = θTi ∙ ypi ∙ K xi. El incremento de cortante en los pilares de planta baja se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02 13.632,02

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6 4,84 ∙ 10−6

Δ Vx 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264 0,264

El incremento de cortante en los pilares de planta primera se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 5.693,03 9.973,30 10.909,93 10.909,93 10.909,93 10.909,93 9.973,30 5.693,03 5.693,03 9.973,30 10.909,93 10.909,93 10.909,93 10.909,93 9.973,30 5.693,03

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5 1,618 ∙ 10−5

Δ Vx 0,369 0,646 0,71 0,71 0,71 0,71 0,646 0,369 0,369 0,646 0,71 0,71 0,71 0,71 0,646 0,369

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

El incremento de cortante en los pilares de planta segunda se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5 2,675 ∙ 10−5

Δ Vx 0,505 0,784 0,836 0,836 0,836 0,836 0,784 0,505 0,505 0,784 0,836 0,836 0,836 0,836 0,784 0,505

El incremento de cortante en los pilares de planta tercera se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5 3,277 ∙ 10−5

Δ Vx 0,619 0,96 1,024 1,024 1,024 1,024 0,96 0,619 0,619 0,96 1,024 1,024 1,024 1,024 0,96 0,619

El incremento de cortante en los pilares de planta cuarta se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5 3,768 ∙ 10−5

Δ Vx 0,711 1,104 1,178 1,178 1,178 1,178 1,104 0,711 0,711 1,104 1,178 1,178 1,178 1,178 1,104 0,711

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ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

El incremento de cortante en los pilares de planta quinta se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5 4,131 ∙ 10−5

Δ Vx 0,780 1,210 1,291 1,291 1,291 1,291 1,210 0,780 0,780 1,210 1,291 1,291 1,291 1,291 1,210 0,780

El incremento de cortante en los pilares de planta sexta se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93 4.716,93 7.319,76 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.811,99 7.319,76 4.716,93

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5 4,354 ∙ 10−5

Δ Vx 0,822 1,275 1,361 1,361 1,361 1,361 1,275 0,822 0,822 1,275 1,361 1,361 1,361 1,361 1,275 0,822

El incremento de cortante en los pilares de planta séptima se representan en la siguiente tabla: PILAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kx 5.861,19 8.308,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.308,63 5.861,19 5.861,19 8.308,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.724,63 8.308,63 5.861,19

y 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

θ 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5 6,197 ∙ 10−5

Δ Vx 1,453 2,06 2,163 2,163 2,163 2,163 2,06 1,453 1,453 2,06 2,163 2,163 2,163 2,163 2,06 1,453

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ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

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7. Diagrama de esfuerzos en el pórtico 1-8. Los cortantes aplicados a los pilares debidos al sismo más la torsión en el pórtico 1-8 en el forjado 1 son:

Los momentos debidos al sismo se anulan en la mitad de los pilares. Los cortantes totales en los pilares son la suma del cortante sin torsión más el cortante con torsión. Calculamos la viga 1-2: Ya conocemos los diagramas debidos a las cargas gravitatorias. Ahora hallaremos los debidos al sismo, los momentos aplicados al nudo dependen de los cortantes. El momento transmitido por sismo en el nudo 1 será: M = 297 KN ∙ 2,5 m + 171 KN ∙ 1,65 m = 1.024,65 KN∙m. Este momento es absorbido por la barra 1-2. El momento transmitido por sismo en el nudo 2 será: M = 297 KN ∙ 2,5 m + 300 KN ∙ 1,65 m = 1.237, 5 KN∙m. Este momento del nudo se transmite a las barras en función de las rigideces: CR =

I12 / L12 (I12 / L12 )+(I23 / L23 )

= 0,39.

Gravitatorias

1.237,5 KN∙m ∙ 0,39 = 482,63 KN∙m. Sismo

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

La envolvente de la viga será:

Calculamos la viga 2-3: El momento transmitido por sismo en el nudo 2 será: M = 297 KN ∙ 2,5 m + 300 KN ∙ 1,65 m = 1.237, 5 KN∙m. Este momento del nudo se transmite a las barras en función de las rigideces: CR =

I23 / L23 (I23 / L23 )+(I12 / L12 )

= 0,61.

1.237,7 KN∙m ∙ 0,61 = 754,88 KN∙m.

El momento transmitido por sismo en el nudo 3 será: M = 297 KN ∙ 2,5 m + 328 KN ∙ 1,65 m = 1.283,7 KN∙m. Este momento del nudo se transmite a las barras en función de las rigideces: CR =

I23 / L23 (I23 / L23 )+(I34 / L34 )

= 0,5.

Gravitatorias

1.283,7 KN∙m ∙ 0,5 = 641,85 KN∙m. Sismo

11/12/09

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09

La envolvente de la viga será:

8. Predimensionamiento de la viga para el momento más desfavorable. Para el cálculo de la sección de la viga procederemos de forma análoga a como realizábamos el cálculo para las cargas gravitatorias. Viga 1-2: El canto útil mínimo (dmin ) debe cumplir la siguiente condición: dmin ≥ 1,77 ∙ √

Md b ∙ fcd

, sustituyendo en la

expresión anterior tenemos: 1.081,72 ∙ 106 N∙mm

dmin ≥ 1,77 ∙ √

350 mm ∙

25 N 1,5

= 762,21 mm.

El recubrimiento de las armaduras viene definido en el artículo 37.2.4.1 de la EHE, con un ambiente de exposición I, nos da un recubrimiento de 15 mm. Como hemos llamado recubrimiento (r) a la distancia desde el centro de la armadura inferior a la fibra inferior de la viga, si las armaduras inferiores son de ∅ 30, nuestro recubrimiento (r) será: 15 + 15 = 30 mm. Con los valores de dmin y r, podemos hacer un dimensionamiento del canto de la viga: h = d + r = 762,21 mm + 30 mm = 792,21 mm. Este sería el canto mínimo de la viga. Aumentamos el canto de la viga (h) a 80 cm. - Disposición de la armadura de la viga: La tensión de la armadura superior de la viga y el momento que soporta se relacionan por la siguiente expresión: Md = z ∙ T, donde z es el brazo mecánico. Suponemos que z = 0,9 d, y la tensión es T = As ∙ fyd . SustituyendoMd = 0,9d ∙ As ∙ fyd . De esta expresión despejamos el área de acero: As =

Md 0,9d ∙ fyd

=

1.081,72 ∙ 106 0,9 ∙ 770 ∙

400 1,15

= 4.487,66 mm2.

Utilizaremos armaduras ∅ 25 que tiene un área por redondo de 491 mm2 . Así que necesitaremos 4.487,66 /491 = 9,14 ~ 10 ∅ 20. Ahora veremos la distribución de los redondos en la sección de la viga. La separación entre armaduras será el mayor de los 3 siguientes parámetros: 2 cm, 1,25 ∅ árido o el ∅ del redondo. Suponeniendo un diámetro máximo del árido de 15 mm. la separación entre armaduras será de 25 mm. El ancho (b´) necesario para introducir las armaduras será: b´ = 10 ∙ 25 ∙ 1,2 + 9 ∙ 25 + 2 ∙ 15 = 555 mm.

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09

Como el ancho de nuestra viga es de 350 mm y no cabrían las armaduras que necesitamos, dispondremos las armaduras en grupos de dos para que quepan en nuestra viga. Así el armado de nuestra armadura será:

Viga 2-3: El canto útil mínimo (dmin ) debe cumplir la siguiente condición: dmin ≥ 1,77 ∙ √

Md b ∙ fcd

, sustituyendo en la

expresión anterior tenemos: 768,72 ∙ 106 N∙mm

dmin ≥ 1,77 ∙ √

350 mm ∙

25 N 1,5

= 642,54 mm.

El recubrimiento de las armaduras viene definido en el artículo 37.2.4.1 de la EHE, con un ambiente de exposición I, nos da un recubrimiento de 15 mm. Como hemos llamado recubrimiento (r) a la distancia desde el centro de la armadura inferior a la fibra inferior de la viga, si las armaduras inferiores son de ∅ 30, nuestro recubrimiento (r) será: 15 + 15 = 30 mm. Con los valores de dmin y r, podemos hacer un dimensionamiento del canto de la viga: h = d + r = 642,54 mm + 30 mm = 672,54 mm ~ 68 cm. Este sería el canto mínimo de la viga. Aumentamos el canto de la viga (h) a 70 cm. - Disposición de la armadura de la viga: La tensión de la armadura superior de la viga y el momento que soporta se relacionan por la siguiente expresión: Md = z ∙ T, donde z es el brazo mecánico. Suponemos que z = 0,9 d, y la tensión es T = As ∙ fyd . SustituyendoMd = 0,9d ∙ As ∙ fyd . De esta expresión despejamos el área de acero: As =

Md 0,9d ∙ fyd

=

768,72 ∙ 106 0,9 ∙ 670 ∙

400 = 1,15

3.665,13 mm2.

Utilizaremos armaduras ∅ 20 que tiene un área por redondo de 314 mm2 . Así que necesitaremos 3.665,13 /314 = 11,67 ~ 12 ∅ 20. Ahora veremos la distribución de los redondos en la sección de la viga. La separación entre armaduras será el mayor de los 3 siguientes parámetros: 2 cm, 1,25 ∅ árido o el ∅ del redondo. Suponeniendo un diámetro máximo del árido de 15 mm. la separación entre armaduras será de 20 mm. El ancho (b´) necesario para introducir las armaduras será: b´ = 12 ∙ 20 ∙ 1,2 + 11 ∙ 20 + 2 ∙ 15 = 490 mm. Como el ancho de nuestra viga es de 350 mm y no cabrían las armaduras que necesitamos, dispondremos las armaduras en grupos de dos para que quepan en nuestra viga. Así el armado de nuestra armadura será:

ESTRUCTURAS IV

PRÁCTICA Nº4. CÁLCULO SÍSMICO CON TORSIÓN.

11/12/09